【期末真题汇编】期末核心考点 一次函数（含解析）-2024-2025学年八年级下册数学人教版
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| 名称 | 【期末真题汇编】期末核心考点 一次函数（含解析）-2024-2025学年八年级下册数学人教版 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-12 21:09:35 | ||
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文档简介
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期末核心考点 一次函数
一．选择题（共10小题）
1．（2025 长清区三模）如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是（ ）
A．BD＝10
B．AD＝12
C．平行四边形ABCD的周长为44
D．当x＝15时，△APD的面积为20
2．（2025 盐都区模拟）小军借助几何画板软件研究函数的图象和性质，他设定了一组m，n的值，得到如图所示函数图象，借助之前学习函数的经验，推断小军输入的m，n的值满足（ ）
A．m＜0，n＜0 B．m＜0，n＞0 C．m＞0，n＜0 D．m＞0，n＞0
3．（2025 清镇市模拟）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s（千米）与所用的时间t（分）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法正确的是（ ）
A．前10分钟，甲比乙的速度快
B．甲的平均速度为0.06千米/分钟
C．经过30分钟，甲比乙走过的路程少
D．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米
4．（2025 榕城区二模）如图1，在 ABCD中，连接AC，∠ACB＝90°，tan∠BAC＝.动点M从点A出发，沿AB边匀速运动．运动到点B停止．过点M作MN⊥AC交CD边于点N，连接AN，CM．设AM＝x，AN+CM＝y，y与x的函数图象如图2所示，函数图象最低点坐标为（ ）
A．（2，5） B． C．（2，4） D．
5．（2025 海口模拟）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P，Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动．设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0＜x＜8）之间的函数图象大致是下列图中的（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025 汝南县一模）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，CD＝6cm，AD＝2cm，动点P、Q同时从点B出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到C点停止，两点运动时的速度都是1cm/s，而当点P到达点A时，点Q正好到达点C．设P点运动的时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．下图中能正确表示整个运动中y关于t的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025 宜兴市二模）如图，小王与小张先后从甲地出发前往8千米外的乙地，图中线段PA、OB分别反映了小王和小张骑行所走的路程S（千米）关于小张所用时间t（分钟）的函数关系．根据图象的信息，小张比小王早到乙地的时间是（ ）
A．10分钟 B．12分钟 C．14分钟 D．16分钟
8．（2024秋 盐城期末）如图是一次函数y＝ax+b的图象，则关于x的不等式ax+b＜0的解集为（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x＞2 D．x＜2
9．（2025 朝阳区校级模拟）如图是化学实验仪器圆底烧瓶，现向烧瓶中匀速注水，下列图象中能近似反映烧瓶中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025 松北区二模）如图，在菱形ABCD中，AD＝6，∠A＝60°，动点P从点A出发，沿A﹣B﹣C路线以每秒2个单位的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿CD以每秒1个单位的速度向终点D运动．设点P的运动时间为t秒，△PBQ的面积为S，则下列图象能表示S与t之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共6小题）
11．（2024秋 阳信县期末）水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间t（单位：h）与出水速度v（单位：T/h）之间的关系如表：
出水速度v（T/h） 10 8 5 4 2 …
t（h） 1 1.25 2 2.5 5 …
用式子表示t与v的关系是 ．
12．（2025 常州二模）小明和小丽分别从甲、乙两地同时出发，相向而行．如图，图象表示他们离甲地的路程s（km）与所用时间t（h）的关系．则小丽的速度是 km/h．
13．（2025春 宜宾期中）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
14．（2025春 临淄区校级月考）在2025年春晚的舞台上，名为《秧BOT》的创新节目惊艳亮相!这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．机器人爱好者小刚同学为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间x（h）和搬运货物的重量y（kg）记录如表：
搬运时间x（h） 1 2 3 4 …
搬运货物的重量y（kg） 160 240 320 400 …
则y与x之间的关系式为 ．
15．（2025 任城区二模）张华和王亮平时的耐力与速度相差无几，李老师设计了一个200m赛跑方案，赛跑的全过程如图所示，甲，乙分别代表张华和王亮距起点的距离s（m）与出发时间t（s）的关系．当两人相距20m时，出发的时间是 s．
16．（2025 莱芜区三模）虹吸原理描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒U形管自动流动的过程，如图1，是利用虹吸原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器液面高16cm，设甲容器中的液面高为y1（单位：cm），乙容器中的液面高为y2（单位：cm），小明绘制了y1，y2关于时间x（单位：s）的函数图象，如图2所示，当甲容器中的液面比乙容器中的液面低2cm时，x的值为 ．
三．解答题（共8小题）
17．（2025 杭州模拟）在平面直角坐标系中，对任意三点A，B，C给出如下定义：三点中横坐标的最大值与最小值的差称为“横距”．纵坐标的最大值与最小值的差称为“纵距”．若三点的“横距”与“纵距”相等，我们称这三点为“等距点”．
【提出问题】如果点A（﹣1，0），点B（2，0），动点P（x，y）是“等距点”，请探索动点P（x，y）在x轴上方平面的轨迹．
【解决问题】
（1）列表、描点、连线：先将如表补充完整，然后在图中描出动点P（x，y）在x轴上方平面的轨迹．
x … ﹣2 ﹣1 0 2 3 …
y … 3 …
（2）根据动点P（x，y）在x轴上方平面的轨迹，求出该轨迹的函数解析式．
【拓展应用】在x轴上方平面中，若函数的图象上存在点Q，使得A，B，Q是“等距点”，求出m的取值范围．
18．（2025 广东模拟）【阅读理解】
点P在平面直角坐标系中，记点P到x轴的距离为d1，到y轴的距离为d2，给出以下定义：若d1≤d2，则称d1为点P的“微距值”；若d1＞d2，则称d2为点P的“微距值”；特别地，若点P在坐标轴上，则点P的“微距值”为0．例如，点P（﹣3，5）到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，因为3＜5，所以点P的“微距值”为3．
【知识应用】
（1）点A（2，﹣3）的“微距值”为 ；
（2）若点B（a，3）的“微距值”为2，求a的值；
（3）若点C在直线y＝﹣3x+6上，且点C的“微距值”为2，求点C的坐标．
19．（2025春 邯郸期中）“龟兔赛跑：乌龟和兔子比赛到底谁跑得快．它们确定了赛跑的路线后同时从起点出发．兔子一个箭步冲到了前面，还嘲笑乌龟跑得慢．当兔子看到乌龟被远远抛在了后面，就在旁边睡了一觉，它认为睡醒了乌龟也不一定能追上自己．但是乌龟坚持不懈的爬啊爬，乌龟慢慢地超过了它，当兔子醒了的时候发现乌龟已经距离终点不远了，它拼命追赶，最终还是乌龟先到达了终点．”图中的线段OD和折线OABC表示“龟兔赛跑”时路程与时间的函数关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．
（1）填空：折线OABC表示赛跑过程中 的路程与时间的关系，线段OD表示赛跑过程中 的路程与时间的关系．赛跑的全程是 米．
（2）兔子在起初每分钟跑多少米？乌龟每分钟爬多少米？
（3）乌龟从出发到追上兔子用了多少分钟？
（4）兔子醒来，以48千米/时的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了0.5分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？
20．（2025春 长寿区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线AB为y＝﹣x+b交y轴于点A（0，3），交x轴于点B，经过点E（1，0）且平行于y轴的直线x＝1交AB于点D，P是直线x＝1上一动点．
（1）求点B的坐标；
（2）已知△ABP的面积为2，求P点坐标；
（3）当S△ABP＝时，在第一象限找点C，使△PBC为等腰直角三角形，直接写出所有满足条件的点C的坐标．
21．（2025 上虞区二模）小明爸爸外出散步，从家出发走向离家1200米的报亭，走了15分钟后发现没带上眼镜，就马上电话小明让其送来．小明接到电话带上眼镜立即从家里出发（通话时间忽略不计）．小明爸爸又走了5分钟到达报亭，在没戴眼镜的情况下看报10分钟后，小明终于给爸爸送上了眼镜．戴上眼镜后继续看报10分钟，然后又用了40分钟返回到家里．而小明把眼镜交给爸爸后，按原来的速度继续步行10分钟到达离家m米的文具商店购买圆规（小明在文具商店的时间忽略不计），然后仍按原来的速度由原路返回，在离家还有n米处时追上爸爸后一起回到家里．已知小明和爸爸离开家的路程s（米）与各自的步行时间t（分）之间的函数图象如图所示．
（1）求a和m的值；
（2）求b和n的值；
（3）小明从文具商店出来到追上爸爸的时间段中，求小明离开家的路程s（米）关于步行时间t（分）的函数表达式．
22．（2025 华龙区二模）某物流A公司规定：基础运费覆盖0﹣300公里，超出300公里的部分按每公里单价收费．已知两次运输记录如下：
运输货物甲：货物从南阳运往洛阳，距离320公里，总运费840元 运输货物乙：货物从郑州运往济南，距离460公里，总运费1260元
（1）求该物流A公司的基础运费和超程单价（超过300公里后每公里运费）；
（2）某物流B公司报价如下：
为吸引长途客户，推出分段优惠：0﹣500公里，统一价1200元；超500公里后，每公里加收2.5元．
①分别写出两家公司总运费wA（元）和wB（元）关于运输距离d（公里）（d＞300）的函数表达式；
②一客户运送货物的距离d（公里）（d＞300），该客户选择哪家物流公司更合算？请直接写出你的结论．
23．（2025 大渡口区校级模拟）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，E为AC上一点，CE＝3，动点P从E出发，沿E→A→B方向运动，到达点B时停止运动，连接PB，PC．设点P走过的路程为x，△PBC的面积为y．
（1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）一次函数y1＝kx+3的图象与y的图象有且仅有1个交点，请直接写出常数k的取值范围．
24．（2025 乾安县模拟）某校八年级学生外出研学，为了提前做好准备工作，学校安排小轿车送志愿者前往，同时其余学生乘坐大客车前往目的地，小轿车到达目的地后立即返回学校，大客车在目的地等候，如图是两车距学校的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象．
（1）目的地距离学校 km，小轿车出发去目的地的行驶速度是 km/h；
（2）当两车行驶3h后在途中相遇，求点P的坐标；
（3）在第（2）题的条件下，大客车与小轿车相距20km时，行驶时间x为 h．
期末核心考点 一次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 长清区三模）如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是（ ）
A．BD＝10
B．AD＝12
C．平行四边形ABCD的周长为44
D．当x＝15时，△APD的面积为20
【答案】D
【分析】分别分析当点P位于点B处和点D处的x和y的值的实际含义，即可求出AB、BD、AD，判断出A、B、C的正确性，作BH⊥AD，求出BH，再求出三角形ABD的面积，即可求出当x＝15时的y值．
【解答】解：当点P运动到点B处时，x＝10，即AB＝10，故A正确，不符合题意；
当点P运动到点D处时，y＝12，即AD＝12，故B正确，不符合题意；
∴平行四边形ABCD的周长为2（10+12）＝44，故C正确，不符合题意；
当x＝15时，点P在BD中点处，如图，
此时y＝S△ADP＝S△ABD，
作BH⊥AD，
∵AB＝BD＝10，
∴AH＝DH＝6，
∴BH＝＝8，
∴S△ABD＝×12×8＝48，
∴y＝×48＝24，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，能从图象中得到有用的条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键．
2．（2025 盐都区模拟）小军借助几何画板软件研究函数的图象和性质，他设定了一组m，n的值，得到如图所示函数图象，借助之前学习函数的经验，推断小军输入的m，n的值满足（ ）
A．m＜0，n＜0 B．m＜0，n＞0 C．m＞0，n＜0 D．m＞0，n＞0
【答案】B
【分析】由两支曲线的分界线在y轴左侧可以判断n的正负，由x＞0时的函数图象判断m的正负．
【解答】解：对于函数，
∴x的取值范围是x≠n，
由图可知，两支曲线的分界线位于y轴的右侧，
∴n＞0，
由图可知，当x＞0时的函数图象位于x轴的下方，
∴当x＞0时，y＜0，
又∵当x＞0时，（x﹣b）2＞0，
∴m＜0，
综上，n＞0，m＜0．
故选：B．
【点评】本题考查了函数图象的性质，抓住函数的变化规律是解决本题的关键．
3．（2025 清镇市模拟）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s（千米）与所用的时间t（分）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法正确的是（ ）
A．前10分钟，甲比乙的速度快
B．甲的平均速度为0.06千米/分钟
C．经过30分钟，甲比乙走过的路程少
D．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米
【答案】D
【分析】根据函数图象逐项判断即可．
【解答】解：A．前10分钟，甲走了0.8千米，乙走了1.2千米，所以乙比甲的速度快，故此选项错误，不符合题意；
B．根据图象可知，甲40分钟走了3.2千米，所以甲的平均速度为＝0.08千米/分钟，故此选项错误，不符合题意；
C．经过30分钟，甲走了2.4千米，乙走了2千米，所以甲比乙走过的路程多，故此选项错误，不符合题意；
D．经过20分钟，由函数图象可知，甲、乙都走了1.6千米，故此选项正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查一次函数的图象及其在行程问题中的应，理解函数图象是解题关键．
4．（2025 榕城区二模）如图1，在 ABCD中，连接AC，∠ACB＝90°，tan∠BAC＝.动点M从点A出发，沿AB边匀速运动．运动到点B停止．过点M作MN⊥AC交CD边于点N，连接AN，CM．设AM＝x，AN+CM＝y，y与x的函数图象如图2所示，函数图象最低点坐标为（ ）
A．（2，5） B． C．（2，4） D．
【答案】B
【分析】延长DA至A′，使AA′＝DA，连接A′M，连接A′C交AB于M′，当A、M、C三点共线时，A′M+CM最小，即AN+CM最小，当M运动到M′时，AN+CM最小，由图2得当x＝0时，y＝6，此时M与A重合，N与D重合，结合平行四边形的判定方法及性质和勾股定理，即可求解．
【解答】解：延长DA至A，使AA′＝DA，连接A′M，连接A′C 交AB于M′，
∵MN⊥AC，∠ACB＝90°，
∴MN∥BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，
∴MN∥AD∥BC，
∴四边形AMND是平行四边形，
∴MN＝AD，
∴AA′＝MN＝BC，
∴四边形AAMN是平行四边形，
∴A′M＝AN，AA′MN，
∴AA′∥BC，
∴∠AA′C＝90°，
∴四边形AA′BC是矩形，
∴，
当A′、M、C三点共线时，A′M+CM最小，即AN+CM最小，
∴当M运动到M′时，AN+CM最小，
由图2得：当x＝0时，y＝6，此时M与A重合，N与D重合，
∴AD+AC＝6，
∴BC+AC＝6，
∵tan∠BAC＝2，
∴，
∴AC＝2BC，
∴BC+2BC＝6，
∴BC＝2，AC＝4，
∴ ＝ ＝，
∴，
∴当时，
y＝A′M′+CM′＝，
∴函数图象最低点坐标为，
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题函数图象，平行四边形的判定及性质，矩形的判定及性质，勾股定理，正切函数等；掌握平行四边形的判定及性质，矩形的判定及性质，能熟练利用勾股定理求解及找到取得最小值的条件是解题的关键．
5．（2025 海口模拟）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P，Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动．设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0＜x＜8）之间的函数图象大致是下列图中的（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：①0＜x≤4时，根据四边形PBDQ的面积＝△ABD的面积﹣△APQ的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象；②4≤x＜8时，根据四边形PBDQ的面积＝△BCD的面积﹣△CPQ的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．
【解答】解：①0＜x≤4时，
∵正方形的边长为4cm，
∴y＝S△ABD﹣S△APQ，
＝×4×4﹣ x x，
＝﹣x2+8，
②4≤x＜8时，
y＝S△BCD﹣S△CPQ，
＝×4×4﹣ （8﹣x） （8﹣x），
＝﹣（8﹣x）2+8，
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图象符合．
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．
6．（2025 汝南县一模）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，CD＝6cm，AD＝2cm，动点P、Q同时从点B出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到C点停止，两点运动时的速度都是1cm/s，而当点P到达点A时，点Q正好到达点C．设P点运动的时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．下图中能正确表示整个运动中y关于t的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．
【解答】解：做AE⊥BC于E，根据已知可得，AB＝BC，∴AB2＝62+（AB﹣2）2，解之得，AB＝BC＝10cm．
由图可知：P点由B到A，△BPQ的面积从小到大，且达到最大此时面积＝×10×6＝30cm2．
当P点在AD上时，因为同底同高，所以面积保持不变；
当P点从D到C时，面积又逐渐减小；又因为AB＝10cm，AD＝2cm，CD＝6cm，速度为1cm/s，
则在这三条线段上所用的时间分别为10s、2s、6s．
故选：B．
【点评】要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
7．（2025 宜兴市二模）如图，小王与小张先后从甲地出发前往8千米外的乙地，图中线段PA、OB分别反映了小王和小张骑行所走的路程S（千米）关于小张所用时间t（分钟）的函数关系．根据图象的信息，小张比小王早到乙地的时间是（ ）
A．10分钟 B．12分钟 C．14分钟 D．16分钟
【答案】B
【分析】根据速度＝路程÷时间分别求出小王和小张的速度及各自到达乙地所用的时间，从而求出小张比小王早到乙地的时间．
【解答】解：小王的速度为（5﹣2）÷30＝（千米/分钟），到达乙地所用时间为（8﹣2）÷＝60（分钟），
小张的速度为5÷30＝（千米/分钟），到达乙地所用时间为8÷＝48（分钟），
60﹣48＝12（分钟），
∴小张比小王早到乙地的时间是12分钟．
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键．
8．（2024秋 盐城期末）如图是一次函数y＝ax+b的图象，则关于x的不等式ax+b＜0的解集为（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x＞2 D．x＜2
【答案】A
【分析】利用一次函数的性质，写出直线y＝ax+b在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：一次函数y＝ax+b的图象与x轴的交点是（1，0），
观察图象，关于x的不等式ax+b＜0的解集为x＞1．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质．
9．（2025 朝阳区校级模拟）如图是化学实验仪器圆底烧瓶，现向烧瓶中匀速注水，下列图象中能近似反映烧瓶中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分成3段分析可得答案．
【解答】解：第一阶段，烧瓶底部的半径由小变大，水面上升的速度由快变慢；
第二阶段，烧瓶底部的半径由大变小，水面上升的速度由慢变快；
第三阶段，烧瓶顶部是圆柱形状，所以水面上升的速度不变（即一条线段）．
故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的图象，利用分类讨论思想，根据不同时间段能装水部分的宽度的变化情况分析水的深度变化情况是解题关键．
10．（2025 松北区二模）如图，在菱形ABCD中，AD＝6，∠A＝60°，动点P从点A出发，沿A﹣B﹣C路线以每秒2个单位的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿CD以每秒1个单位的速度向终点D运动．设点P的运动时间为t秒，△PBQ的面积为S，则下列图象能表示S与t之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先根据点的位置求出函数的图象，再根据图象求解．
【解答】解：过点D作DH⊥AB于H，过Q作QE⊥BC于E，
在菱形ABCD中，有AB＝AD＝BC＝6，∠C＝∠A＝60°，
∴DH＝ADsin60°＝3，QE＝ADsin60°＝t，
当0≤t≤3时，点P在AB上，S＝3（6﹣2t）＝﹣3t+9，为一次函数，图象为呈下降趋势的线段；
当3＜t≤6时，P再BC上，S＝（2t﹣6）t＝t2﹣t，为开口向上的二次函数，
故选：C．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，掌握三角形的面积公式和函数的图象是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．（2024秋 阳信县期末）水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间t（单位：h）与出水速度v（单位：T/h）之间的关系如表：
出水速度v（T/h） 10 8 5 4 2 …
t（h） 1 1.25 2 2.5 5 …
用式子表示t与v的关系是 vt＝10 ．
【答案】vt＝10．
【分析】根据表格中变量的变化规律解答即可．
【解答】解：由表格可知，vt＝10．
故答案为：vt＝10．
【点评】本题考查函数关系式，找到变量之间的变化规律是解题的关键．
12．（2025 常州二模）小明和小丽分别从甲、乙两地同时出发，相向而行．如图，图象表示他们离甲地的路程s（km）与所用时间t（h）的关系．则小丽的速度是 4 km/h．
【答案】4．
【分析】根据图象的点的意义即可解答．
【解答】解：小明从甲地出发，他离甲地的距离随时间t的增大而增大；小丽从乙地到甲地，她离甲地的距离随时间t的增大而减小；
由图象可知，小丽出发2小时所走列出为：18﹣10＝8（km），故小丽的速度是：8÷2＝4（km/h）．
故答案为：4．
【点评】本题考查了函数图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
13．（2025春 宜宾期中）在函数中，自变量x的取值范围是 x≠2 ．
【答案】x≠2．
【分析】根据分式的分母不等于0求解即可得．
【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，
解得x≠2，
故答案为：x≠2．
【点评】本题考查了分式有意义的条件、函数的自变量，熟练掌握分式的分母不等于0是解题关键．
14．（2025春 临淄区校级月考）在2025年春晚的舞台上，名为《秧BOT》的创新节目惊艳亮相!这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．机器人爱好者小刚同学为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间x（h）和搬运货物的重量y（kg）记录如表：
搬运时间x（h） 1 2 3 4 …
搬运货物的重量y（kg） 160 240 320 400 …
则y与x之间的关系式为 y＝80x+80 ．
【答案】y＝80x+80．
【分析】根据变量的变化规律计算即可．
【解答】解：由表格可知，搬运时间增加1h，搬运货物的重量增加80kg，
则y＝160+80（x﹣1）＝80x+80，
∴y与x之间的关系式为y＝80x+80．
故答案为：y＝80x+80．
【点评】本题考查函数关系式，找到变量的变化规律是解题的关键．
15．（2025 任城区二模）张华和王亮平时的耐力与速度相差无几，李老师设计了一个200m赛跑方案，赛跑的全过程如图所示，甲，乙分别代表张华和王亮距起点的距离s（m）与出发时间t（s）的关系．当两人相距20m时，出发的时间是 20或26.5 s．
【答案】20或26.5．
【分析】根据速度＝路程÷时间和路程＝速度×时间分别求出甲，乙距起点的距离s（m）与出发时间t（s）的关系，当两人相距20m时，分别列关于x的方程并求解即可．
【解答】解：甲的速度为200÷40＝5（m/s），
∴甲距起点的距离s（m）与出发时间t（s）的关系为s＝5t．
当0≤t≤25时，乙的速度为100÷25＝4（m/s），
∴当0≤t≤25时，乙距起点的距离s（m）与出发时间t（s）的关系为y＝4t；
当25＜t≤37时，乙的速度为（200﹣100）÷（37﹣25）＝（m/s），
∴当25＜t≤37时，乙距起点的距离s（m）与出发时间t（s）的关系为y＝100+（t﹣25）＝t﹣．
当0≤t≤25时，当两人相距20m时，得5t﹣4t＝20，
解得t＝20；
当25＜t≤37时，当两人相距20m时，得|5t﹣（t﹣）|＝20，
解得t＝26.5或t＝38.5（舍去）；
当37＜t≤40时，当两人相距20m时，得200﹣5t＝20，
解得t＝36（舍去）；
∴当两人相距20m时，出发的时间是20s或26.5s．
故答案为：20或26.5．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键．
16．（2025 莱芜区三模）虹吸原理描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒U形管自动流动的过程，如图1，是利用虹吸原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器液面高16cm，设甲容器中的液面高为y1（单位：cm），乙容器中的液面高为y2（单位：cm），小明绘制了y1，y2关于时间x（单位：s）的函数图象，如图2所示，当甲容器中的液面比乙容器中的液面低2cm时，x的值为 ．
【答案】．
【分析】先求出y1，y2的解析式，再根据题意列式计算即可．
【解答】解：当x＝0时，y1＝a，
∵初始甲容器液面高16cm，
∴a＝16，
又∵x＝1时，y＝0，
设y1＝kx+b，
，
解得，
∵甲容器向乙容器倒液体时，y1+y2始终为16，
∴y2＝16﹣y1＝16﹣（﹣16x+16）＝16x，
∴甲比乙低2cm时，即y1﹣y2＝﹣2，
∴（﹣16x+16）﹣16x＝﹣2，
解得：x＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数的应用，掌握函数的图象是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
17．（2025 杭州模拟）在平面直角坐标系中，对任意三点A，B，C给出如下定义：三点中横坐标的最大值与最小值的差称为“横距”．纵坐标的最大值与最小值的差称为“纵距”．若三点的“横距”与“纵距”相等，我们称这三点为“等距点”．
【提出问题】如果点A（﹣1，0），点B（2，0），动点P（x，y）是“等距点”，请探索动点P（x，y）在x轴上方平面的轨迹．
【解决问题】
（1）列表、描点、连线：先将如表补充完整，然后在图中描出动点P（x，y）在x轴上方平面的轨迹．
x … ﹣2 ﹣1 0 2 3 …
y … 3 …
（2）根据动点P（x，y）在x轴上方平面的轨迹，求出该轨迹的函数解析式．
【拓展应用】在x轴上方平面中，若函数的图象上存在点Q，使得A，B，Q是“等距点”，求出m的取值范围．
【答案】【解决问题】（1）填表见解析，作图见解析；
（2）；
【拓展应用】2≤m≤5．
【分析】【解决问题】（1）根据“等距点”的定义分别求得x＝﹣2，﹣1，2，3时的横距，进而确定纵距，确定点的坐标，完成填表，画图；
（2）根据图形待定系数法求解析式，即可求解；
【拓展应用】分别代入点 （﹣2，4）和点 （2，3），得出b的值，观察图形，即可求解．
【解答】解：【解决问题】（1）根据定义，当x＝﹣1时，横距＝纵距＝3，y＝3，
当x＝﹣2时，横距＝纵距＝2﹣（﹣2）＝4，则 y＝4，
当 x＝2时，横距＝纵距＝3，y＝3，
当 x＝3时，横距＝纵距＝3﹣（﹣1）＝4，则 y＝4，
补全表格.
x … ﹣2 ﹣1 0 2 3 …
y … 4 3 3 3 4 …
如图，
（2）∵当x＜﹣1时，经过点（﹣2，4），（﹣1，3），
设直线解析为 y＝kx+b，代入（﹣2，4），（﹣1，3），
得，
解得：，
∴y＝﹣x+2（x＜﹣1），
同理可得当x＞2时，y＝x+1，
∴点P轨迹的函数解析式为；
【拓展应用】如图，
当经过点（﹣2，4）时，
，
解得：m＝5，
当经过点（2，3）时，
，
解得：m＝2，
∴2≤m≤5．
【点评】本题考查了“等距点”的定义，一次函数的应用，解题的关键是理解题意，注意分类讨论思想的应用．
18．（2025 广东模拟）【阅读理解】
点P在平面直角坐标系中，记点P到x轴的距离为d1，到y轴的距离为d2，给出以下定义：若d1≤d2，则称d1为点P的“微距值”；若d1＞d2，则称d2为点P的“微距值”；特别地，若点P在坐标轴上，则点P的“微距值”为0．例如，点P（﹣3，5）到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，因为3＜5，所以点P的“微距值”为3．
【知识应用】
（1）点A（2，﹣3）的“微距值”为 2 ；
（2）若点B（a，3）的“微距值”为2，求a的值；
（3）若点C在直线y＝﹣3x+6上，且点C的“微距值”为2，求点C的坐标．
【答案】（1）2；
（2）a＝2或a＝﹣2；
（3）或（﹣2，12）．
【分析】（1）根据“微距值”的定义，先求出点A（2，﹣3）到x轴和y轴的距离，再比较大小确定“微距值”．点A（2，﹣3）到x轴的距离d1＝|﹣3|＝3，到y轴的距离d2＝|2|＝2，比较d1与d2大小．
（2）由点B（a，3）的“微距值”为2，点B到x轴的距离d1＝|3|＝3，“微距值”为2，根据定义可知d2＝|a|且d2＝2，进而求解a的值．
（3）设点C的坐标为（x，y），由点C在直线y＝﹣3x+6上，得y＝﹣3x+6．点C的“微距值”为2，分两种情况讨论：一是当d1≤d2时，d1＝2；二是当d1＞d2时，d2＝2，分别求解x和y的值确定点C坐标．
【解答】解：（1）∵3＞2，即d1＞d2，
∴点A的“微距值”为d2＝2，
故答案为：2．
（2）点B（a，3）到x轴的距离d1＝|3|＝3，
由条件可知点B到y轴的距离d2＝|a|＝2．
∴a＝2或a＝﹣2．
（3）设点C的坐标为（x，y），
∵点C在直线y＝﹣3x+6上，
∴y＝﹣3x+6．
情况一：当d1≤d2时 此时d1＝2，即|y|＝2．
当y＝2时，代入y＝﹣3x+6，得2＝﹣3x+6，
移项可得3x＝6﹣2，即3x＝4，
解得，
此时，
∵，
∴不满足d1≤d2，舍去．
当y＝﹣2时，代入y＝﹣3x+6，得﹣2＝﹣3x+6，
移项可得3x＝6+2，即3x＝8，解得，
此时，∵，满足d1≤d2，
∴点C坐标为．
情况二：当d1＞d2时 此时d2＝2，即|x|＝2．
当x＝2时，代入y＝﹣3x+6，
得y＝﹣3×2+6＝0，此时d1＝|y|＝0，
∵0＜2，不满足d1＞d2，
∴舍去．
当x＝﹣2时，代入y＝﹣3x+6，
得y＝﹣3×（﹣2）+6＝12，此时d1＝|y|＝12，
∵12＞2，满足d1＞d2，
∴点C坐标为（﹣2，12）．
综上，点C的坐标为或（﹣2，12）．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，以及对新定义“微距值”的理解与应用．解题关键在于准确根据定义判断“微距值”是点到x轴还是y轴的距离，对于含有参数的情况（如第（2）（3）问），要分情况讨论，结合点所在直线方程求解坐标．
19．（2025春 邯郸期中）“龟兔赛跑：乌龟和兔子比赛到底谁跑得快．它们确定了赛跑的路线后同时从起点出发．兔子一个箭步冲到了前面，还嘲笑乌龟跑得慢．当兔子看到乌龟被远远抛在了后面，就在旁边睡了一觉，它认为睡醒了乌龟也不一定能追上自己．但是乌龟坚持不懈的爬啊爬，乌龟慢慢地超过了它，当兔子醒了的时候发现乌龟已经距离终点不远了，它拼命追赶，最终还是乌龟先到达了终点．”图中的线段OD和折线OABC表示“龟兔赛跑”时路程与时间的函数关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．
（1）填空：折线OABC表示赛跑过程中 兔子 的路程与时间的关系，线段OD表示赛跑过程中 乌龟 的路程与时间的关系．赛跑的全程是 1500 米．
（2）兔子在起初每分钟跑多少米？乌龟每分钟爬多少米？
（3）乌龟从出发到追上兔子用了多少分钟？
（4）兔子醒来，以48千米/时的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了0.5分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？
【答案】（1）兔子；乌龟；1500；
（2）700米；50米；
（3）14分钟；
（4）28.5分钟．
【分析】（1）观察图象直接可得答案；
（2）用速度＝路程÷时间即可得答案；
（3）用时间＝路程÷速度即可得出结论；
（4）用兔子全程用的时间减去起初跑的1分钟和最后跑的1分钟，即可得到答案．
【解答】解：（1）从图象可知：折线OABC表示赛跑过程中兔子的路程与时间的关系，线段OD表示赛跑过程中乌龟的路程与时间的关系、赛跑的全程是1500米．
故答案为：兔子，乌龟，1500；
（2）700÷1＝700（米）；
乌1500÷30＝50（米），
答：兔子在起初每分钟跑700米；龟每分钟爬50米；
（3）700÷50＝14（分钟），
答：乌龟从出发到追上兔子用了14分钟；
（4）48千米/时＝800（米/分），
兔子全程共用30.5分钟，其中，开始跑了1分钟，
后来又跑了（1500﹣700）÷800＝1（分钟），
∵30.5﹣1﹣1＝28.5（分钟），
∴兔子中间停下睡觉用了28.5分钟．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，从函数图象获取信息．
20．（2025春 长寿区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线AB为y＝﹣x+b交y轴于点A（0，3），交x轴于点B，经过点E（1，0）且平行于y轴的直线x＝1交AB于点D，P是直线x＝1上一动点．
（1）求点B的坐标；
（2）已知△ABP的面积为2，求P点坐标；
（3）当S△ABP＝时，在第一象限找点C，使△PBC为等腰直角三角形，直接写出所有满足条件的点C的坐标．
【答案】（1）（4，0）；
（2）或；
（3）（8，3）或（5，7）或或．
【分析】（1）将A（0，3）代入y＝﹣x+b得b＝3，即知，令y＝0，得B（4，0）；
（2）设P（1，n），根据题意得，，S△AOB＝6，当点P在直线AB上方时，可得△ABP的面积为，则；当点P在直线AB下方时，可得△ABP的面积为，则，求解即可；
（3）先求得P（1，4），设C（m，t），（m＞0，t＞0），而B（4，0），可得PC2＝（m﹣1）2+（t﹣4）2，PB2＝25，BC2＝（m﹣4）2+t2，分三种情况：①若PB、BC为直角边，则PB2＝BC2，PC2＝2PB2，即，得C（8，3）；②若PC，PB为直角边，，得C（5，7）；③若PC，BC为直角边，，得或．
【解答】解：（1）将A（0，3）代入，
得：b＝3，
∴，
令y＝0得：，
解得x＝4，
∴B（4，0）；
（2）设P（1，n），
根据题意：，
，
，
当点P在直线AB上方时，
∴，
即；
解得：，
∴P点坐标为；
当点P在直线AB下方时，
可得△ABP的面积为，
即，
解得：，
∴P点坐标为；
综上，点P点坐标为或；
（3）∵，
∴，
解得n＝4，
∴P（1，4），
设C（m，t），（m＞0，t＞0），而B（4，0），
∴PC2＝（m﹣1）2+（t﹣4）2，PB2＝25，BC2＝（m﹣4）2+t2，
①若PB、BC为直角边，则PB2＝BC2，PC2＝2PB2，
∴，
解得或（舍去），
∴C（8，3）；
②若PC，PB为直角边，则PC2＝PB2，BC2＝2PB2，
∴，
解得（舍去）或，
∴C（5，7）；
③若PC，BC为直角边，则PC2＝BC2，PB2＝2BC2，
∴，
解得或，
∴或；
综上所述，C的坐标为：（8，3）或（5，7）或或．
【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想和方程思想的应用．
21．（2025 上虞区二模）小明爸爸外出散步，从家出发走向离家1200米的报亭，走了15分钟后发现没带上眼镜，就马上电话小明让其送来．小明接到电话带上眼镜立即从家里出发（通话时间忽略不计）．小明爸爸又走了5分钟到达报亭，在没戴眼镜的情况下看报10分钟后，小明终于给爸爸送上了眼镜．戴上眼镜后继续看报10分钟，然后又用了40分钟返回到家里．而小明把眼镜交给爸爸后，按原来的速度继续步行10分钟到达离家m米的文具商店购买圆规（小明在文具商店的时间忽略不计），然后仍按原来的速度由原路返回，在离家还有n米处时追上爸爸后一起回到家里．已知小明和爸爸离开家的路程s（米）与各自的步行时间t（分）之间的函数图象如图所示．
（1）求a和m的值；
（2）求b和n的值；
（3）小明从文具商店出来到追上爸爸的时间段中，求小明离开家的路程s（米）关于步行时间t（分）的函数表达式．
【答案】（1）a的值为15，m的值为2000；
（2）b的值为56，n的值为720；
（3）s＝﹣80t+5200（40≤t≤56）．
【分析】（1）根据题意得a＝15，求出小明的速度为1200÷（5+10）＝80（米/分钟），故m＝10×80+1200＝2000；
（2）求出爸爸返回的速度为1200÷40＝30（米/分钟），可得b＝40+＝56，n＝1200﹣（56﹣40）×30＝720；
（3）设小明离开家的路程s（米）关于步行时间t（分）的函数表达式为s＝kt+c，用待定系数法可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，a＝15，
小明的速度为1200÷（5+10）＝80（米/分钟），
∴m＝10×80+1200＝2000，
∴a的值为15，m的值为2000；
（2）爸爸返回的速度为1200÷40＝30（米/分钟），
∴b＝40+＝56，
∴n＝1200﹣（56﹣40）×30＝720；
∴b的值为56，n的值为720；
（3）设小明离开家的路程s（米）关于步行时间t（分）的函数表达式为s＝kt+c，
把（40，2000），（56，720）代入得：，
解得，
∴s＝﹣80t+5200（40≤t≤56）．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，利用数形结合的思想解决问题．
22．（2025 华龙区二模）某物流A公司规定：基础运费覆盖0﹣300公里，超出300公里的部分按每公里单价收费．已知两次运输记录如下：
运输货物甲：货物从南阳运往洛阳，距离320公里，总运费840元 运输货物乙：货物从郑州运往济南，距离460公里，总运费1260元
（1）求该物流A公司的基础运费和超程单价（超过300公里后每公里运费）；
（2）某物流B公司报价如下：
为吸引长途客户，推出分段优惠：0﹣500公里，统一价1200元；超500公里后，每公里加收2.5元．
①分别写出两家公司总运费wA（元）和wB（元）关于运输距离d（公里）（d＞300）的函数表达式；
②一客户运送货物的距离d（公里）（d＞300），该客户选择哪家物流公司更合算？请直接写出你的结论．
【答案】（1）该物流公司的基础运费为780元，超程单价（超过300公里后每公里运费）为3元；
（2）①；②选择B公司合算．
【分析】（1）设该物流公司的基础运费为a元，超程单价（超过300公里后每公里运费）为b元，根据两次运输记录中的等量关系列出二元一次方程组，求解即可；
（2）①求出A公司在d＞300时，wA的表达式；求出B公司在300＜d≤500及d＞500时的表达式即可；
②分别当300＜d＜440时；当d＝440时；当d＞440时，进行考虑即可．
【解答】解：（1）设该物流公司的基础运费为a元，超程单价（超过300公里后每公里运费）为b元．
∴．
解得：；
答：该物流公司的基础运费为780元，超程单价（超过300公里后每公里运费）为3元．
（2）①由题意得：
A公司：当d＞300时，wA＝780+3（d﹣300）＝3d﹣120，
∴wA＝3d﹣120（d＞300）；
B公司：当300＜d≤500时，wB＝1200，
当d＞500时，wB＝1200+2.5（d﹣500）＝2.5d﹣50，
∴wB＝2.5d﹣50；
∴；
②若3d﹣120＜1200，即d＜440，
故当300＜d＜440时，wA＜wB，故选择A公司合算；
当d＝440时，wA＝wB，故选择A、B公司一样合算；
当d＞440时，wA＞wB，故选择B公司合算．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，列函数表达式，解一元一次不等式的应用等知识，根据数量关系列出方程组与函数表达式是解题的关键．
23．（2025 大渡口区校级模拟）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，E为AC上一点，CE＝3，动点P从E出发，沿E→A→B方向运动，到达点B时停止运动，连接PB，PC．设点P走过的路程为x，△PBC的面积为y．
（1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）一次函数y1＝kx+3的图象与y的图象有且仅有1个交点，请直接写出常数k的取值范围．
【答案】（1）；
（2）作图见解析；
（3）常数k的取值范围且k≠0，理由见解答过程．
【分析】（1）当点P在AE上时，PE＝x，则PC＝3+x，作PD⊥BC，再根据相似三角形的对应边成比例表示出PD，即可得出关系式；当点P在AB上时，AP＝x﹣2，则BP＝4﹣（x﹣2）＝6﹣x，然后根据面积公式可得答案；
（2）列出表格，描点，连线即可；
（3）先画出图象，根据直线y＝kx+3经过点（6，0）时，两个图象没有交点，求出k，则范围可得．
【解答】解：（1）当点P在AE上时，PE＝x，则PC＝3+x，
根据勾股定理，得，
过点P作PD⊥BC，交BC于点D，如图1.1，
∴∠PDC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，
∴△PDC∽△ABC，
∴，
即，
解得，
∴；
当点P在AB上时，如图1.2，AP＝x﹣2，则BP＝4﹣（x﹣2）＝6﹣x，
∴．
∴；
（2）在中，
当x＝0时，得：y＝；
当x＝2时，得：y＝6；
当x＝6时，得：y＝0，
在给定的平面直角坐标系中，这个函数的图象如下：
由图象可知，当x＝2时，y有最大值；
（3）常数k的取值范围为且k≠0；理由如下：
当直线y＝kx+3经过点（6，0）时，两个图象没有交点，
即，
当且k≠0时，两个图象有1个交点．
【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查了求一次函数关系式，画一次函数图象，相似三角形的判定和性质，一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
24．（2025 乾安县模拟）某校八年级学生外出研学，为了提前做好准备工作，学校安排小轿车送志愿者前往，同时其余学生乘坐大客车前往目的地，小轿车到达目的地后立即返回学校，大客车在目的地等候，如图是两车距学校的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象．
（1）目的地距离学校 120 km，小轿车出发去目的地的行驶速度是 60 km/h；
（2）当两车行驶3h后在途中相遇，求点P的坐标；
（3）在第（2）题的条件下，大客车与小轿车相距20km时，行驶时间x为 或或 h．
【答案】（1）120，60；
（2）P（3，80）；
（3）或或．
【分析】（1）根据图象得出距离，进而计算出速度即可；
（2）设直线AB的解析式是y＝kx+b，把A（2，120），B（5，0）代入解析式，得出解析式，再把x＝3代入解答即可；
（3）得出直线OC的解析式，再根据题意分情况列方程求解即可；
【解答】解：（1）目的地距离学校120千米，
小车出发去目的地的行驶速度是120÷2＝60千米/时；
故答案为：120；60；
（2）设直线AB的解析式是y＝kx+b，
把A（2，120），B（5，0）代入解析式得：
，
解得：，
∴y＝﹣40x+200，
当x＝3时，y＝80；
则点P坐标为：（3，80）；
（3）设直线OA为：y＝kx，
将（2，120）代入函数解析式，可得：120＝2k，
解得：k＝60，
即直线OA的函数解析式为：y＝60x，
设直线OC的函数解析式为：y＝kx，
将（3，80）代入函数解析式，可得：80＝3k，
解得：，
即直线OC的函数解析式为：，
当时，解得：；
当，解得：；
当，解得：；
故答案为：或或．
【点评】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题关键．
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期末核心考点 一次函数
一．选择题（共10小题）
1．（2025 长清区三模）如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是（ ）
A．BD＝10
B．AD＝12
C．平行四边形ABCD的周长为44
D．当x＝15时，△APD的面积为20
2．（2025 盐都区模拟）小军借助几何画板软件研究函数的图象和性质，他设定了一组m，n的值，得到如图所示函数图象，借助之前学习函数的经验，推断小军输入的m，n的值满足（ ）
A．m＜0，n＜0 B．m＜0，n＞0 C．m＞0，n＜0 D．m＞0，n＞0
3．（2025 清镇市模拟）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s（千米）与所用的时间t（分）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法正确的是（ ）
A．前10分钟，甲比乙的速度快
B．甲的平均速度为0.06千米/分钟
C．经过30分钟，甲比乙走过的路程少
D．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米
4．（2025 榕城区二模）如图1，在 ABCD中，连接AC，∠ACB＝90°，tan∠BAC＝.动点M从点A出发，沿AB边匀速运动．运动到点B停止．过点M作MN⊥AC交CD边于点N，连接AN，CM．设AM＝x，AN+CM＝y，y与x的函数图象如图2所示，函数图象最低点坐标为（ ）
A．（2，5） B． C．（2，4） D．
5．（2025 海口模拟）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P，Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动．设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0＜x＜8）之间的函数图象大致是下列图中的（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025 汝南县一模）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，CD＝6cm，AD＝2cm，动点P、Q同时从点B出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到C点停止，两点运动时的速度都是1cm/s，而当点P到达点A时，点Q正好到达点C．设P点运动的时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．下图中能正确表示整个运动中y关于t的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025 宜兴市二模）如图，小王与小张先后从甲地出发前往8千米外的乙地，图中线段PA、OB分别反映了小王和小张骑行所走的路程S（千米）关于小张所用时间t（分钟）的函数关系．根据图象的信息，小张比小王早到乙地的时间是（ ）
A．10分钟 B．12分钟 C．14分钟 D．16分钟
8．（2024秋 盐城期末）如图是一次函数y＝ax+b的图象，则关于x的不等式ax+b＜0的解集为（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x＞2 D．x＜2
9．（2025 朝阳区校级模拟）如图是化学实验仪器圆底烧瓶，现向烧瓶中匀速注水，下列图象中能近似反映烧瓶中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025 松北区二模）如图，在菱形ABCD中，AD＝6，∠A＝60°，动点P从点A出发，沿A﹣B﹣C路线以每秒2个单位的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿CD以每秒1个单位的速度向终点D运动．设点P的运动时间为t秒，△PBQ的面积为S，则下列图象能表示S与t之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共6小题）
11．（2024秋 阳信县期末）水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间t（单位：h）与出水速度v（单位：T/h）之间的关系如表：
出水速度v（T/h） 10 8 5 4 2 …
t（h） 1 1.25 2 2.5 5 …
用式子表示t与v的关系是 ．
12．（2025 常州二模）小明和小丽分别从甲、乙两地同时出发，相向而行．如图，图象表示他们离甲地的路程s（km）与所用时间t（h）的关系．则小丽的速度是 km/h．
13．（2025春 宜宾期中）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
14．（2025春 临淄区校级月考）在2025年春晚的舞台上，名为《秧BOT》的创新节目惊艳亮相!这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．机器人爱好者小刚同学为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间x（h）和搬运货物的重量y（kg）记录如表：
搬运时间x（h） 1 2 3 4 …
搬运货物的重量y（kg） 160 240 320 400 …
则y与x之间的关系式为 ．
15．（2025 任城区二模）张华和王亮平时的耐力与速度相差无几，李老师设计了一个200m赛跑方案，赛跑的全过程如图所示，甲，乙分别代表张华和王亮距起点的距离s（m）与出发时间t（s）的关系．当两人相距20m时，出发的时间是 s．
16．（2025 莱芜区三模）虹吸原理描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒U形管自动流动的过程，如图1，是利用虹吸原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器液面高16cm，设甲容器中的液面高为y1（单位：cm），乙容器中的液面高为y2（单位：cm），小明绘制了y1，y2关于时间x（单位：s）的函数图象，如图2所示，当甲容器中的液面比乙容器中的液面低2cm时，x的值为 ．
三．解答题（共8小题）
17．（2025 杭州模拟）在平面直角坐标系中，对任意三点A，B，C给出如下定义：三点中横坐标的最大值与最小值的差称为“横距”．纵坐标的最大值与最小值的差称为“纵距”．若三点的“横距”与“纵距”相等，我们称这三点为“等距点”．
【提出问题】如果点A（﹣1，0），点B（2，0），动点P（x，y）是“等距点”，请探索动点P（x，y）在x轴上方平面的轨迹．
【解决问题】
（1）列表、描点、连线：先将如表补充完整，然后在图中描出动点P（x，y）在x轴上方平面的轨迹．
x … ﹣2 ﹣1 0 2 3 …
y … 3 …
（2）根据动点P（x，y）在x轴上方平面的轨迹，求出该轨迹的函数解析式．
【拓展应用】在x轴上方平面中，若函数的图象上存在点Q，使得A，B，Q是“等距点”，求出m的取值范围．
18．（2025 广东模拟）【阅读理解】
点P在平面直角坐标系中，记点P到x轴的距离为d1，到y轴的距离为d2，给出以下定义：若d1≤d2，则称d1为点P的“微距值”；若d1＞d2，则称d2为点P的“微距值”；特别地，若点P在坐标轴上，则点P的“微距值”为0．例如，点P（﹣3，5）到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，因为3＜5，所以点P的“微距值”为3．
【知识应用】
（1）点A（2，﹣3）的“微距值”为 ；
（2）若点B（a，3）的“微距值”为2，求a的值；
（3）若点C在直线y＝﹣3x+6上，且点C的“微距值”为2，求点C的坐标．
19．（2025春 邯郸期中）“龟兔赛跑：乌龟和兔子比赛到底谁跑得快．它们确定了赛跑的路线后同时从起点出发．兔子一个箭步冲到了前面，还嘲笑乌龟跑得慢．当兔子看到乌龟被远远抛在了后面，就在旁边睡了一觉，它认为睡醒了乌龟也不一定能追上自己．但是乌龟坚持不懈的爬啊爬，乌龟慢慢地超过了它，当兔子醒了的时候发现乌龟已经距离终点不远了，它拼命追赶，最终还是乌龟先到达了终点．”图中的线段OD和折线OABC表示“龟兔赛跑”时路程与时间的函数关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．
（1）填空：折线OABC表示赛跑过程中 的路程与时间的关系，线段OD表示赛跑过程中 的路程与时间的关系．赛跑的全程是 米．
（2）兔子在起初每分钟跑多少米？乌龟每分钟爬多少米？
（3）乌龟从出发到追上兔子用了多少分钟？
（4）兔子醒来，以48千米/时的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了0.5分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？
20．（2025春 长寿区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线AB为y＝﹣x+b交y轴于点A（0，3），交x轴于点B，经过点E（1，0）且平行于y轴的直线x＝1交AB于点D，P是直线x＝1上一动点．
（1）求点B的坐标；
（2）已知△ABP的面积为2，求P点坐标；
（3）当S△ABP＝时，在第一象限找点C，使△PBC为等腰直角三角形，直接写出所有满足条件的点C的坐标．
21．（2025 上虞区二模）小明爸爸外出散步，从家出发走向离家1200米的报亭，走了15分钟后发现没带上眼镜，就马上电话小明让其送来．小明接到电话带上眼镜立即从家里出发（通话时间忽略不计）．小明爸爸又走了5分钟到达报亭，在没戴眼镜的情况下看报10分钟后，小明终于给爸爸送上了眼镜．戴上眼镜后继续看报10分钟，然后又用了40分钟返回到家里．而小明把眼镜交给爸爸后，按原来的速度继续步行10分钟到达离家m米的文具商店购买圆规（小明在文具商店的时间忽略不计），然后仍按原来的速度由原路返回，在离家还有n米处时追上爸爸后一起回到家里．已知小明和爸爸离开家的路程s（米）与各自的步行时间t（分）之间的函数图象如图所示．
（1）求a和m的值；
（2）求b和n的值；
（3）小明从文具商店出来到追上爸爸的时间段中，求小明离开家的路程s（米）关于步行时间t（分）的函数表达式．
22．（2025 华龙区二模）某物流A公司规定：基础运费覆盖0﹣300公里，超出300公里的部分按每公里单价收费．已知两次运输记录如下：
运输货物甲：货物从南阳运往洛阳，距离320公里，总运费840元 运输货物乙：货物从郑州运往济南，距离460公里，总运费1260元
（1）求该物流A公司的基础运费和超程单价（超过300公里后每公里运费）；
（2）某物流B公司报价如下：
为吸引长途客户，推出分段优惠：0﹣500公里，统一价1200元；超500公里后，每公里加收2.5元．
①分别写出两家公司总运费wA（元）和wB（元）关于运输距离d（公里）（d＞300）的函数表达式；
②一客户运送货物的距离d（公里）（d＞300），该客户选择哪家物流公司更合算？请直接写出你的结论．
23．（2025 大渡口区校级模拟）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，E为AC上一点，CE＝3，动点P从E出发，沿E→A→B方向运动，到达点B时停止运动，连接PB，PC．设点P走过的路程为x，△PBC的面积为y．
（1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）一次函数y1＝kx+3的图象与y的图象有且仅有1个交点，请直接写出常数k的取值范围．
24．（2025 乾安县模拟）某校八年级学生外出研学，为了提前做好准备工作，学校安排小轿车送志愿者前往，同时其余学生乘坐大客车前往目的地，小轿车到达目的地后立即返回学校，大客车在目的地等候，如图是两车距学校的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象．
（1）目的地距离学校 km，小轿车出发去目的地的行驶速度是 km/h；
（2）当两车行驶3h后在途中相遇，求点P的坐标；
（3）在第（2）题的条件下，大客车与小轿车相距20km时，行驶时间x为 h．
期末核心考点 一次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 长清区三模）如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是（ ）
A．BD＝10
B．AD＝12
C．平行四边形ABCD的周长为44
D．当x＝15时，△APD的面积为20
【答案】D
【分析】分别分析当点P位于点B处和点D处的x和y的值的实际含义，即可求出AB、BD、AD，判断出A、B、C的正确性，作BH⊥AD，求出BH，再求出三角形ABD的面积，即可求出当x＝15时的y值．
【解答】解：当点P运动到点B处时，x＝10，即AB＝10，故A正确，不符合题意；
当点P运动到点D处时，y＝12，即AD＝12，故B正确，不符合题意；
∴平行四边形ABCD的周长为2（10+12）＝44，故C正确，不符合题意；
当x＝15时，点P在BD中点处，如图，
此时y＝S△ADP＝S△ABD，
作BH⊥AD，
∵AB＝BD＝10，
∴AH＝DH＝6，
∴BH＝＝8，
∴S△ABD＝×12×8＝48，
∴y＝×48＝24，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，能从图象中得到有用的条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键．
2．（2025 盐都区模拟）小军借助几何画板软件研究函数的图象和性质，他设定了一组m，n的值，得到如图所示函数图象，借助之前学习函数的经验，推断小军输入的m，n的值满足（ ）
A．m＜0，n＜0 B．m＜0，n＞0 C．m＞0，n＜0 D．m＞0，n＞0
【答案】B
【分析】由两支曲线的分界线在y轴左侧可以判断n的正负，由x＞0时的函数图象判断m的正负．
【解答】解：对于函数，
∴x的取值范围是x≠n，
由图可知，两支曲线的分界线位于y轴的右侧，
∴n＞0，
由图可知，当x＞0时的函数图象位于x轴的下方，
∴当x＞0时，y＜0，
又∵当x＞0时，（x﹣b）2＞0，
∴m＜0，
综上，n＞0，m＜0．
故选：B．
【点评】本题考查了函数图象的性质，抓住函数的变化规律是解决本题的关键．
3．（2025 清镇市模拟）甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s（千米）与所用的时间t（分）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法正确的是（ ）
A．前10分钟，甲比乙的速度快
B．甲的平均速度为0.06千米/分钟
C．经过30分钟，甲比乙走过的路程少
D．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米
【答案】D
【分析】根据函数图象逐项判断即可．
【解答】解：A．前10分钟，甲走了0.8千米，乙走了1.2千米，所以乙比甲的速度快，故此选项错误，不符合题意；
B．根据图象可知，甲40分钟走了3.2千米，所以甲的平均速度为＝0.08千米/分钟，故此选项错误，不符合题意；
C．经过30分钟，甲走了2.4千米，乙走了2千米，所以甲比乙走过的路程多，故此选项错误，不符合题意；
D．经过20分钟，由函数图象可知，甲、乙都走了1.6千米，故此选项正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查一次函数的图象及其在行程问题中的应，理解函数图象是解题关键．
4．（2025 榕城区二模）如图1，在 ABCD中，连接AC，∠ACB＝90°，tan∠BAC＝.动点M从点A出发，沿AB边匀速运动．运动到点B停止．过点M作MN⊥AC交CD边于点N，连接AN，CM．设AM＝x，AN+CM＝y，y与x的函数图象如图2所示，函数图象最低点坐标为（ ）
A．（2，5） B． C．（2，4） D．
【答案】B
【分析】延长DA至A′，使AA′＝DA，连接A′M，连接A′C交AB于M′，当A、M、C三点共线时，A′M+CM最小，即AN+CM最小，当M运动到M′时，AN+CM最小，由图2得当x＝0时，y＝6，此时M与A重合，N与D重合，结合平行四边形的判定方法及性质和勾股定理，即可求解．
【解答】解：延长DA至A，使AA′＝DA，连接A′M，连接A′C 交AB于M′，
∵MN⊥AC，∠ACB＝90°，
∴MN∥BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，
∴MN∥AD∥BC，
∴四边形AMND是平行四边形，
∴MN＝AD，
∴AA′＝MN＝BC，
∴四边形AAMN是平行四边形，
∴A′M＝AN，AA′MN，
∴AA′∥BC，
∴∠AA′C＝90°，
∴四边形AA′BC是矩形，
∴，
当A′、M、C三点共线时，A′M+CM最小，即AN+CM最小，
∴当M运动到M′时，AN+CM最小，
由图2得：当x＝0时，y＝6，此时M与A重合，N与D重合，
∴AD+AC＝6，
∴BC+AC＝6，
∵tan∠BAC＝2，
∴，
∴AC＝2BC，
∴BC+2BC＝6，
∴BC＝2，AC＝4，
∴ ＝ ＝，
∴，
∴当时，
y＝A′M′+CM′＝，
∴函数图象最低点坐标为，
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题函数图象，平行四边形的判定及性质，矩形的判定及性质，勾股定理，正切函数等；掌握平行四边形的判定及性质，矩形的判定及性质，能熟练利用勾股定理求解及找到取得最小值的条件是解题的关键．
5．（2025 海口模拟）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P，Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动．设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0＜x＜8）之间的函数图象大致是下列图中的（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：①0＜x≤4时，根据四边形PBDQ的面积＝△ABD的面积﹣△APQ的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象；②4≤x＜8时，根据四边形PBDQ的面积＝△BCD的面积﹣△CPQ的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．
【解答】解：①0＜x≤4时，
∵正方形的边长为4cm，
∴y＝S△ABD﹣S△APQ，
＝×4×4﹣ x x，
＝﹣x2+8，
②4≤x＜8时，
y＝S△BCD﹣S△CPQ，
＝×4×4﹣ （8﹣x） （8﹣x），
＝﹣（8﹣x）2+8，
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图象符合．
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．
6．（2025 汝南县一模）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，CD＝6cm，AD＝2cm，动点P、Q同时从点B出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到C点停止，两点运动时的速度都是1cm/s，而当点P到达点A时，点Q正好到达点C．设P点运动的时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．下图中能正确表示整个运动中y关于t的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．
【解答】解：做AE⊥BC于E，根据已知可得，AB＝BC，∴AB2＝62+（AB﹣2）2，解之得，AB＝BC＝10cm．
由图可知：P点由B到A，△BPQ的面积从小到大，且达到最大此时面积＝×10×6＝30cm2．
当P点在AD上时，因为同底同高，所以面积保持不变；
当P点从D到C时，面积又逐渐减小；又因为AB＝10cm，AD＝2cm，CD＝6cm，速度为1cm/s，
则在这三条线段上所用的时间分别为10s、2s、6s．
故选：B．
【点评】要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
7．（2025 宜兴市二模）如图，小王与小张先后从甲地出发前往8千米外的乙地，图中线段PA、OB分别反映了小王和小张骑行所走的路程S（千米）关于小张所用时间t（分钟）的函数关系．根据图象的信息，小张比小王早到乙地的时间是（ ）
A．10分钟 B．12分钟 C．14分钟 D．16分钟
【答案】B
【分析】根据速度＝路程÷时间分别求出小王和小张的速度及各自到达乙地所用的时间，从而求出小张比小王早到乙地的时间．
【解答】解：小王的速度为（5﹣2）÷30＝（千米/分钟），到达乙地所用时间为（8﹣2）÷＝60（分钟），
小张的速度为5÷30＝（千米/分钟），到达乙地所用时间为8÷＝48（分钟），
60﹣48＝12（分钟），
∴小张比小王早到乙地的时间是12分钟．
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键．
8．（2024秋 盐城期末）如图是一次函数y＝ax+b的图象，则关于x的不等式ax+b＜0的解集为（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x＞2 D．x＜2
【答案】A
【分析】利用一次函数的性质，写出直线y＝ax+b在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：一次函数y＝ax+b的图象与x轴的交点是（1，0），
观察图象，关于x的不等式ax+b＜0的解集为x＞1．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质．
9．（2025 朝阳区校级模拟）如图是化学实验仪器圆底烧瓶，现向烧瓶中匀速注水，下列图象中能近似反映烧瓶中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分成3段分析可得答案．
【解答】解：第一阶段，烧瓶底部的半径由小变大，水面上升的速度由快变慢；
第二阶段，烧瓶底部的半径由大变小，水面上升的速度由慢变快；
第三阶段，烧瓶顶部是圆柱形状，所以水面上升的速度不变（即一条线段）．
故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的图象，利用分类讨论思想，根据不同时间段能装水部分的宽度的变化情况分析水的深度变化情况是解题关键．
10．（2025 松北区二模）如图，在菱形ABCD中，AD＝6，∠A＝60°，动点P从点A出发，沿A﹣B﹣C路线以每秒2个单位的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿CD以每秒1个单位的速度向终点D运动．设点P的运动时间为t秒，△PBQ的面积为S，则下列图象能表示S与t之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先根据点的位置求出函数的图象，再根据图象求解．
【解答】解：过点D作DH⊥AB于H，过Q作QE⊥BC于E，
在菱形ABCD中，有AB＝AD＝BC＝6，∠C＝∠A＝60°，
∴DH＝ADsin60°＝3，QE＝ADsin60°＝t，
当0≤t≤3时，点P在AB上，S＝3（6﹣2t）＝﹣3t+9，为一次函数，图象为呈下降趋势的线段；
当3＜t≤6时，P再BC上，S＝（2t﹣6）t＝t2﹣t，为开口向上的二次函数，
故选：C．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，掌握三角形的面积公式和函数的图象是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．（2024秋 阳信县期末）水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间t（单位：h）与出水速度v（单位：T/h）之间的关系如表：
出水速度v（T/h） 10 8 5 4 2 …
t（h） 1 1.25 2 2.5 5 …
用式子表示t与v的关系是 vt＝10 ．
【答案】vt＝10．
【分析】根据表格中变量的变化规律解答即可．
【解答】解：由表格可知，vt＝10．
故答案为：vt＝10．
【点评】本题考查函数关系式，找到变量之间的变化规律是解题的关键．
12．（2025 常州二模）小明和小丽分别从甲、乙两地同时出发，相向而行．如图，图象表示他们离甲地的路程s（km）与所用时间t（h）的关系．则小丽的速度是 4 km/h．
【答案】4．
【分析】根据图象的点的意义即可解答．
【解答】解：小明从甲地出发，他离甲地的距离随时间t的增大而增大；小丽从乙地到甲地，她离甲地的距离随时间t的增大而减小；
由图象可知，小丽出发2小时所走列出为：18﹣10＝8（km），故小丽的速度是：8÷2＝4（km/h）．
故答案为：4．
【点评】本题考查了函数图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
13．（2025春 宜宾期中）在函数中，自变量x的取值范围是 x≠2 ．
【答案】x≠2．
【分析】根据分式的分母不等于0求解即可得．
【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，
解得x≠2，
故答案为：x≠2．
【点评】本题考查了分式有意义的条件、函数的自变量，熟练掌握分式的分母不等于0是解题关键．
14．（2025春 临淄区校级月考）在2025年春晚的舞台上，名为《秧BOT》的创新节目惊艳亮相!这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．机器人爱好者小刚同学为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间x（h）和搬运货物的重量y（kg）记录如表：
搬运时间x（h） 1 2 3 4 …
搬运货物的重量y（kg） 160 240 320 400 …
则y与x之间的关系式为 y＝80x+80 ．
【答案】y＝80x+80．
【分析】根据变量的变化规律计算即可．
【解答】解：由表格可知，搬运时间增加1h，搬运货物的重量增加80kg，
则y＝160+80（x﹣1）＝80x+80，
∴y与x之间的关系式为y＝80x+80．
故答案为：y＝80x+80．
【点评】本题考查函数关系式，找到变量的变化规律是解题的关键．
15．（2025 任城区二模）张华和王亮平时的耐力与速度相差无几，李老师设计了一个200m赛跑方案，赛跑的全过程如图所示，甲，乙分别代表张华和王亮距起点的距离s（m）与出发时间t（s）的关系．当两人相距20m时，出发的时间是 20或26.5 s．
【答案】20或26.5．
【分析】根据速度＝路程÷时间和路程＝速度×时间分别求出甲，乙距起点的距离s（m）与出发时间t（s）的关系，当两人相距20m时，分别列关于x的方程并求解即可．
【解答】解：甲的速度为200÷40＝5（m/s），
∴甲距起点的距离s（m）与出发时间t（s）的关系为s＝5t．
当0≤t≤25时，乙的速度为100÷25＝4（m/s），
∴当0≤t≤25时，乙距起点的距离s（m）与出发时间t（s）的关系为y＝4t；
当25＜t≤37时，乙的速度为（200﹣100）÷（37﹣25）＝（m/s），
∴当25＜t≤37时，乙距起点的距离s（m）与出发时间t（s）的关系为y＝100+（t﹣25）＝t﹣．
当0≤t≤25时，当两人相距20m时，得5t﹣4t＝20，
解得t＝20；
当25＜t≤37时，当两人相距20m时，得|5t﹣（t﹣）|＝20，
解得t＝26.5或t＝38.5（舍去）；
当37＜t≤40时，当两人相距20m时，得200﹣5t＝20，
解得t＝36（舍去）；
∴当两人相距20m时，出发的时间是20s或26.5s．
故答案为：20或26.5．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键．
16．（2025 莱芜区三模）虹吸原理描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒U形管自动流动的过程，如图1，是利用虹吸原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器液面高16cm，设甲容器中的液面高为y1（单位：cm），乙容器中的液面高为y2（单位：cm），小明绘制了y1，y2关于时间x（单位：s）的函数图象，如图2所示，当甲容器中的液面比乙容器中的液面低2cm时，x的值为 ．
【答案】．
【分析】先求出y1，y2的解析式，再根据题意列式计算即可．
【解答】解：当x＝0时，y1＝a，
∵初始甲容器液面高16cm，
∴a＝16，
又∵x＝1时，y＝0，
设y1＝kx+b，
，
解得，
∵甲容器向乙容器倒液体时，y1+y2始终为16，
∴y2＝16﹣y1＝16﹣（﹣16x+16）＝16x，
∴甲比乙低2cm时，即y1﹣y2＝﹣2，
∴（﹣16x+16）﹣16x＝﹣2，
解得：x＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数的应用，掌握函数的图象是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
17．（2025 杭州模拟）在平面直角坐标系中，对任意三点A，B，C给出如下定义：三点中横坐标的最大值与最小值的差称为“横距”．纵坐标的最大值与最小值的差称为“纵距”．若三点的“横距”与“纵距”相等，我们称这三点为“等距点”．
【提出问题】如果点A（﹣1，0），点B（2，0），动点P（x，y）是“等距点”，请探索动点P（x，y）在x轴上方平面的轨迹．
【解决问题】
（1）列表、描点、连线：先将如表补充完整，然后在图中描出动点P（x，y）在x轴上方平面的轨迹．
x … ﹣2 ﹣1 0 2 3 …
y … 3 …
（2）根据动点P（x，y）在x轴上方平面的轨迹，求出该轨迹的函数解析式．
【拓展应用】在x轴上方平面中，若函数的图象上存在点Q，使得A，B，Q是“等距点”，求出m的取值范围．
【答案】【解决问题】（1）填表见解析，作图见解析；
（2）；
【拓展应用】2≤m≤5．
【分析】【解决问题】（1）根据“等距点”的定义分别求得x＝﹣2，﹣1，2，3时的横距，进而确定纵距，确定点的坐标，完成填表，画图；
（2）根据图形待定系数法求解析式，即可求解；
【拓展应用】分别代入点 （﹣2，4）和点 （2，3），得出b的值，观察图形，即可求解．
【解答】解：【解决问题】（1）根据定义，当x＝﹣1时，横距＝纵距＝3，y＝3，
当x＝﹣2时，横距＝纵距＝2﹣（﹣2）＝4，则 y＝4，
当 x＝2时，横距＝纵距＝3，y＝3，
当 x＝3时，横距＝纵距＝3﹣（﹣1）＝4，则 y＝4，
补全表格.
x … ﹣2 ﹣1 0 2 3 …
y … 4 3 3 3 4 …
如图，
（2）∵当x＜﹣1时，经过点（﹣2，4），（﹣1，3），
设直线解析为 y＝kx+b，代入（﹣2，4），（﹣1，3），
得，
解得：，
∴y＝﹣x+2（x＜﹣1），
同理可得当x＞2时，y＝x+1，
∴点P轨迹的函数解析式为；
【拓展应用】如图，
当经过点（﹣2，4）时，
，
解得：m＝5，
当经过点（2，3）时，
，
解得：m＝2，
∴2≤m≤5．
【点评】本题考查了“等距点”的定义，一次函数的应用，解题的关键是理解题意，注意分类讨论思想的应用．
18．（2025 广东模拟）【阅读理解】
点P在平面直角坐标系中，记点P到x轴的距离为d1，到y轴的距离为d2，给出以下定义：若d1≤d2，则称d1为点P的“微距值”；若d1＞d2，则称d2为点P的“微距值”；特别地，若点P在坐标轴上，则点P的“微距值”为0．例如，点P（﹣3，5）到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，因为3＜5，所以点P的“微距值”为3．
【知识应用】
（1）点A（2，﹣3）的“微距值”为 2 ；
（2）若点B（a，3）的“微距值”为2，求a的值；
（3）若点C在直线y＝﹣3x+6上，且点C的“微距值”为2，求点C的坐标．
【答案】（1）2；
（2）a＝2或a＝﹣2；
（3）或（﹣2，12）．
【分析】（1）根据“微距值”的定义，先求出点A（2，﹣3）到x轴和y轴的距离，再比较大小确定“微距值”．点A（2，﹣3）到x轴的距离d1＝|﹣3|＝3，到y轴的距离d2＝|2|＝2，比较d1与d2大小．
（2）由点B（a，3）的“微距值”为2，点B到x轴的距离d1＝|3|＝3，“微距值”为2，根据定义可知d2＝|a|且d2＝2，进而求解a的值．
（3）设点C的坐标为（x，y），由点C在直线y＝﹣3x+6上，得y＝﹣3x+6．点C的“微距值”为2，分两种情况讨论：一是当d1≤d2时，d1＝2；二是当d1＞d2时，d2＝2，分别求解x和y的值确定点C坐标．
【解答】解：（1）∵3＞2，即d1＞d2，
∴点A的“微距值”为d2＝2，
故答案为：2．
（2）点B（a，3）到x轴的距离d1＝|3|＝3，
由条件可知点B到y轴的距离d2＝|a|＝2．
∴a＝2或a＝﹣2．
（3）设点C的坐标为（x，y），
∵点C在直线y＝﹣3x+6上，
∴y＝﹣3x+6．
情况一：当d1≤d2时 此时d1＝2，即|y|＝2．
当y＝2时，代入y＝﹣3x+6，得2＝﹣3x+6，
移项可得3x＝6﹣2，即3x＝4，
解得，
此时，
∵，
∴不满足d1≤d2，舍去．
当y＝﹣2时，代入y＝﹣3x+6，得﹣2＝﹣3x+6，
移项可得3x＝6+2，即3x＝8，解得，
此时，∵，满足d1≤d2，
∴点C坐标为．
情况二：当d1＞d2时 此时d2＝2，即|x|＝2．
当x＝2时，代入y＝﹣3x+6，
得y＝﹣3×2+6＝0，此时d1＝|y|＝0，
∵0＜2，不满足d1＞d2，
∴舍去．
当x＝﹣2时，代入y＝﹣3x+6，
得y＝﹣3×（﹣2）+6＝12，此时d1＝|y|＝12，
∵12＞2，满足d1＞d2，
∴点C坐标为（﹣2，12）．
综上，点C的坐标为或（﹣2，12）．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，以及对新定义“微距值”的理解与应用．解题关键在于准确根据定义判断“微距值”是点到x轴还是y轴的距离，对于含有参数的情况（如第（2）（3）问），要分情况讨论，结合点所在直线方程求解坐标．
19．（2025春 邯郸期中）“龟兔赛跑：乌龟和兔子比赛到底谁跑得快．它们确定了赛跑的路线后同时从起点出发．兔子一个箭步冲到了前面，还嘲笑乌龟跑得慢．当兔子看到乌龟被远远抛在了后面，就在旁边睡了一觉，它认为睡醒了乌龟也不一定能追上自己．但是乌龟坚持不懈的爬啊爬，乌龟慢慢地超过了它，当兔子醒了的时候发现乌龟已经距离终点不远了，它拼命追赶，最终还是乌龟先到达了终点．”图中的线段OD和折线OABC表示“龟兔赛跑”时路程与时间的函数关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．
（1）填空：折线OABC表示赛跑过程中 兔子 的路程与时间的关系，线段OD表示赛跑过程中 乌龟 的路程与时间的关系．赛跑的全程是 1500 米．
（2）兔子在起初每分钟跑多少米？乌龟每分钟爬多少米？
（3）乌龟从出发到追上兔子用了多少分钟？
（4）兔子醒来，以48千米/时的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了0.5分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？
【答案】（1）兔子；乌龟；1500；
（2）700米；50米；
（3）14分钟；
（4）28.5分钟．
【分析】（1）观察图象直接可得答案；
（2）用速度＝路程÷时间即可得答案；
（3）用时间＝路程÷速度即可得出结论；
（4）用兔子全程用的时间减去起初跑的1分钟和最后跑的1分钟，即可得到答案．
【解答】解：（1）从图象可知：折线OABC表示赛跑过程中兔子的路程与时间的关系，线段OD表示赛跑过程中乌龟的路程与时间的关系、赛跑的全程是1500米．
故答案为：兔子，乌龟，1500；
（2）700÷1＝700（米）；
乌1500÷30＝50（米），
答：兔子在起初每分钟跑700米；龟每分钟爬50米；
（3）700÷50＝14（分钟），
答：乌龟从出发到追上兔子用了14分钟；
（4）48千米/时＝800（米/分），
兔子全程共用30.5分钟，其中，开始跑了1分钟，
后来又跑了（1500﹣700）÷800＝1（分钟），
∵30.5﹣1﹣1＝28.5（分钟），
∴兔子中间停下睡觉用了28.5分钟．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，从函数图象获取信息．
20．（2025春 长寿区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线AB为y＝﹣x+b交y轴于点A（0，3），交x轴于点B，经过点E（1，0）且平行于y轴的直线x＝1交AB于点D，P是直线x＝1上一动点．
（1）求点B的坐标；
（2）已知△ABP的面积为2，求P点坐标；
（3）当S△ABP＝时，在第一象限找点C，使△PBC为等腰直角三角形，直接写出所有满足条件的点C的坐标．
【答案】（1）（4，0）；
（2）或；
（3）（8，3）或（5，7）或或．
【分析】（1）将A（0，3）代入y＝﹣x+b得b＝3，即知，令y＝0，得B（4，0）；
（2）设P（1，n），根据题意得，，S△AOB＝6，当点P在直线AB上方时，可得△ABP的面积为，则；当点P在直线AB下方时，可得△ABP的面积为，则，求解即可；
（3）先求得P（1，4），设C（m，t），（m＞0，t＞0），而B（4，0），可得PC2＝（m﹣1）2+（t﹣4）2，PB2＝25，BC2＝（m﹣4）2+t2，分三种情况：①若PB、BC为直角边，则PB2＝BC2，PC2＝2PB2，即，得C（8，3）；②若PC，PB为直角边，，得C（5，7）；③若PC，BC为直角边，，得或．
【解答】解：（1）将A（0，3）代入，
得：b＝3，
∴，
令y＝0得：，
解得x＝4，
∴B（4，0）；
（2）设P（1，n），
根据题意：，
，
，
当点P在直线AB上方时，
∴，
即；
解得：，
∴P点坐标为；
当点P在直线AB下方时，
可得△ABP的面积为，
即，
解得：，
∴P点坐标为；
综上，点P点坐标为或；
（3）∵，
∴，
解得n＝4，
∴P（1，4），
设C（m，t），（m＞0，t＞0），而B（4，0），
∴PC2＝（m﹣1）2+（t﹣4）2，PB2＝25，BC2＝（m﹣4）2+t2，
①若PB、BC为直角边，则PB2＝BC2，PC2＝2PB2，
∴，
解得或（舍去），
∴C（8，3）；
②若PC，PB为直角边，则PC2＝PB2，BC2＝2PB2，
∴，
解得（舍去）或，
∴C（5，7）；
③若PC，BC为直角边，则PC2＝BC2，PB2＝2BC2，
∴，
解得或，
∴或；
综上所述，C的坐标为：（8，3）或（5，7）或或．
【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想和方程思想的应用．
21．（2025 上虞区二模）小明爸爸外出散步，从家出发走向离家1200米的报亭，走了15分钟后发现没带上眼镜，就马上电话小明让其送来．小明接到电话带上眼镜立即从家里出发（通话时间忽略不计）．小明爸爸又走了5分钟到达报亭，在没戴眼镜的情况下看报10分钟后，小明终于给爸爸送上了眼镜．戴上眼镜后继续看报10分钟，然后又用了40分钟返回到家里．而小明把眼镜交给爸爸后，按原来的速度继续步行10分钟到达离家m米的文具商店购买圆规（小明在文具商店的时间忽略不计），然后仍按原来的速度由原路返回，在离家还有n米处时追上爸爸后一起回到家里．已知小明和爸爸离开家的路程s（米）与各自的步行时间t（分）之间的函数图象如图所示．
（1）求a和m的值；
（2）求b和n的值；
（3）小明从文具商店出来到追上爸爸的时间段中，求小明离开家的路程s（米）关于步行时间t（分）的函数表达式．
【答案】（1）a的值为15，m的值为2000；
（2）b的值为56，n的值为720；
（3）s＝﹣80t+5200（40≤t≤56）．
【分析】（1）根据题意得a＝15，求出小明的速度为1200÷（5+10）＝80（米/分钟），故m＝10×80+1200＝2000；
（2）求出爸爸返回的速度为1200÷40＝30（米/分钟），可得b＝40+＝56，n＝1200﹣（56﹣40）×30＝720；
（3）设小明离开家的路程s（米）关于步行时间t（分）的函数表达式为s＝kt+c，用待定系数法可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，a＝15，
小明的速度为1200÷（5+10）＝80（米/分钟），
∴m＝10×80+1200＝2000，
∴a的值为15，m的值为2000；
（2）爸爸返回的速度为1200÷40＝30（米/分钟），
∴b＝40+＝56，
∴n＝1200﹣（56﹣40）×30＝720；
∴b的值为56，n的值为720；
（3）设小明离开家的路程s（米）关于步行时间t（分）的函数表达式为s＝kt+c，
把（40，2000），（56，720）代入得：，
解得，
∴s＝﹣80t+5200（40≤t≤56）．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，利用数形结合的思想解决问题．
22．（2025 华龙区二模）某物流A公司规定：基础运费覆盖0﹣300公里，超出300公里的部分按每公里单价收费．已知两次运输记录如下：
运输货物甲：货物从南阳运往洛阳，距离320公里，总运费840元 运输货物乙：货物从郑州运往济南，距离460公里，总运费1260元
（1）求该物流A公司的基础运费和超程单价（超过300公里后每公里运费）；
（2）某物流B公司报价如下：
为吸引长途客户，推出分段优惠：0﹣500公里，统一价1200元；超500公里后，每公里加收2.5元．
①分别写出两家公司总运费wA（元）和wB（元）关于运输距离d（公里）（d＞300）的函数表达式；
②一客户运送货物的距离d（公里）（d＞300），该客户选择哪家物流公司更合算？请直接写出你的结论．
【答案】（1）该物流公司的基础运费为780元，超程单价（超过300公里后每公里运费）为3元；
（2）①；②选择B公司合算．
【分析】（1）设该物流公司的基础运费为a元，超程单价（超过300公里后每公里运费）为b元，根据两次运输记录中的等量关系列出二元一次方程组，求解即可；
（2）①求出A公司在d＞300时，wA的表达式；求出B公司在300＜d≤500及d＞500时的表达式即可；
②分别当300＜d＜440时；当d＝440时；当d＞440时，进行考虑即可．
【解答】解：（1）设该物流公司的基础运费为a元，超程单价（超过300公里后每公里运费）为b元．
∴．
解得：；
答：该物流公司的基础运费为780元，超程单价（超过300公里后每公里运费）为3元．
（2）①由题意得：
A公司：当d＞300时，wA＝780+3（d﹣300）＝3d﹣120，
∴wA＝3d﹣120（d＞300）；
B公司：当300＜d≤500时，wB＝1200，
当d＞500时，wB＝1200+2.5（d﹣500）＝2.5d﹣50，
∴wB＝2.5d﹣50；
∴；
②若3d﹣120＜1200，即d＜440，
故当300＜d＜440时，wA＜wB，故选择A公司合算；
当d＝440时，wA＝wB，故选择A、B公司一样合算；
当d＞440时，wA＞wB，故选择B公司合算．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，列函数表达式，解一元一次不等式的应用等知识，根据数量关系列出方程组与函数表达式是解题的关键．
23．（2025 大渡口区校级模拟）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，E为AC上一点，CE＝3，动点P从E出发，沿E→A→B方向运动，到达点B时停止运动，连接PB，PC．设点P走过的路程为x，△PBC的面积为y．
（1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）一次函数y1＝kx+3的图象与y的图象有且仅有1个交点，请直接写出常数k的取值范围．
【答案】（1）；
（2）作图见解析；
（3）常数k的取值范围且k≠0，理由见解答过程．
【分析】（1）当点P在AE上时，PE＝x，则PC＝3+x，作PD⊥BC，再根据相似三角形的对应边成比例表示出PD，即可得出关系式；当点P在AB上时，AP＝x﹣2，则BP＝4﹣（x﹣2）＝6﹣x，然后根据面积公式可得答案；
（2）列出表格，描点，连线即可；
（3）先画出图象，根据直线y＝kx+3经过点（6，0）时，两个图象没有交点，求出k，则范围可得．
【解答】解：（1）当点P在AE上时，PE＝x，则PC＝3+x，
根据勾股定理，得，
过点P作PD⊥BC，交BC于点D，如图1.1，
∴∠PDC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，
∴△PDC∽△ABC，
∴，
即，
解得，
∴；
当点P在AB上时，如图1.2，AP＝x﹣2，则BP＝4﹣（x﹣2）＝6﹣x，
∴．
∴；
（2）在中，
当x＝0时，得：y＝；
当x＝2时，得：y＝6；
当x＝6时，得：y＝0，
在给定的平面直角坐标系中，这个函数的图象如下：
由图象可知，当x＝2时，y有最大值；
（3）常数k的取值范围为且k≠0；理由如下：
当直线y＝kx+3经过点（6，0）时，两个图象没有交点，
即，
当且k≠0时，两个图象有1个交点．
【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查了求一次函数关系式，画一次函数图象，相似三角形的判定和性质，一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
24．（2025 乾安县模拟）某校八年级学生外出研学，为了提前做好准备工作，学校安排小轿车送志愿者前往，同时其余学生乘坐大客车前往目的地，小轿车到达目的地后立即返回学校，大客车在目的地等候，如图是两车距学校的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象．
（1）目的地距离学校 120 km，小轿车出发去目的地的行驶速度是 60 km/h；
（2）当两车行驶3h后在途中相遇，求点P的坐标；
（3）在第（2）题的条件下，大客车与小轿车相距20km时，行驶时间x为 或或 h．
【答案】（1）120，60；
（2）P（3，80）；
（3）或或．
【分析】（1）根据图象得出距离，进而计算出速度即可；
（2）设直线AB的解析式是y＝kx+b，把A（2，120），B（5，0）代入解析式，得出解析式，再把x＝3代入解答即可；
（3）得出直线OC的解析式，再根据题意分情况列方程求解即可；
【解答】解：（1）目的地距离学校120千米，
小车出发去目的地的行驶速度是120÷2＝60千米/时；
故答案为：120；60；
（2）设直线AB的解析式是y＝kx+b，
把A（2，120），B（5，0）代入解析式得：
，
解得：，
∴y＝﹣40x+200，
当x＝3时，y＝80；
则点P坐标为：（3，80）；
（3）设直线OA为：y＝kx，
将（2，120）代入函数解析式，可得：120＝2k，
解得：k＝60，
即直线OA的函数解析式为：y＝60x，
设直线OC的函数解析式为：y＝kx，
将（3，80）代入函数解析式，可得：80＝3k，
解得：，
即直线OC的函数解析式为：，
当时，解得：；
当，解得：；
当，解得：；
故答案为：或或．
【点评】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题关键．
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