【期末真题汇编】期末核心考点 勾股定理（含解析）-2024-2025学年八年级下册数学人教版
文档属性
| 名称 | 【期末真题汇编】期末核心考点 勾股定理（含解析）-2024-2025学年八年级下册数学人教版 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-12 21:11:34 | ||
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文档简介
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期末核心考点 勾股定理
一．选择题（共10小题）
1．（2025 鲁山县三模）在学习了勾股定理后，小张同学对勾股定理产生了浓厚的兴趣，在探索中不断发现，他用9个直角三角形纸片拼成如图所示的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1．记这个图形的周长（实线部分）为l，则下列整数与l最接近的是（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
2．（2025春 鱼台县期中）如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S2﹣S1＝14，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．6 D．7
3．（2025春 西华县期中）下列条件中，不能断定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a2+b2＝c2 B．∠A+∠B＝∠C
C．a：b：c＝3：4：5 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
4．（2025 杭州二模）如图一所示，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图（2）所示的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若S1＝S2，则的值为（ ）
A．﹣1 B． C． D．
5．（2025春 兴宾区期中）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD：BD＝2：3．若BC＝15，则点D到AB边的距离为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
6．（2025春 德城区校级期中）如图是两个型号的圆柱型笔筒，粗细相同，高度分别是8cm和12cm，将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面的部分分别为4cm和2cm，则铅笔的长为（ ）
A．19cm B．21cm C．23cm D．25cm
7．（2025春 巴南区月考）以下列数据为边，不能组成直角三角形的是（ ）
A．5，12，13 B． C． D．3，4，5
8．（2025春 前郭县期中）以下列各组线段为边作三角形，能组成直角三角形的是（ ）
A．，2， B．1，，2 C．3，6，7 D．6，8，12
9．（2025春 云溪区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，AB＝13，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（ ）
A．6 B．7.5 C．4 D．3
10．（2025春 平乡县期中）在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．若c2＝a2﹣b2，则（ ）
A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．无法确定
二．填空题（共6小题）
11．（2025春 巴楚县期中）如图，数轴上点A的坐标是4，AB⊥OA于点A，AB＝2，以原点O为圆心，OB长为半径画弧交数轴于点C，则点C的坐标是 ．
12．（2025 洪山区模拟）如图，已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边AC上一点，∠CBD＝2∠ABD，若CD＝3，BD＝2，则AD的值为 ．
13．（2025春 田家庵区期中）如图，在直角三角形ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S1＝10，S3＝24，则图中阴影部分的面积为 ．
14．（2025春 宜昌期中）如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2）．得到大小两个正方形，若图2中阴影小正方形的面积为49，则a的值为 ．
15．（2025 西城区校级模拟）磁力棋的棋盘为9×9的正方形网格，每个小正方形网格的边长为1．磁力珠（近似看成点）可放在网格交点处，摆放时要求任意两颗磁力珠不吸到一起．若两颗磁力珠不吸到一起，则它们之间的距离应不小于，根据以上规则，回答下列问题：
（1）如图，小颖在棋盘A、B，C三处放置了互不相吸的三颗磁力珠．若她想从P1，P2中选择一个位置再放一颗磁力珠，与其他磁力珠互不相吸，则她选择的位置是 ；
（2）棋盘最多可摆放 颗互不相吸的磁力珠．
16．（2025春 盂县期中）我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”．由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形的MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S2＝6，则S1+S3的值为 ．
三．解答题（共8小题）
17．（2024秋 秦淮区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．已知BD＝3，AB＝5．设CD长为x．
（1）根据勾股定理，得AC2＝ ．（用含x的代数式表示，结果需化简）
（2）求x的值．
18．（2025春 夏邑县期中）洛阳某校开展红色主题研学活动，开启红色文化之旅，在某纪念馆门口离地面一定高度的墙上D处，装有一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口正前方2.4m及2.4m以内时，门铃就会自动发出欢迎语音．如图，一个身高1.6m的学生刚走到B处（学生头顶在A处），门铃恰好自动响起，此时BC＝2.4m，并测得迎宾门铃与地面的距离DC和到该生头顶的距离DA相等．
（1）求DC的长；
（2）若该生继续向前走1.4m，此时迎宾门铃距离该生头顶多少米？
19．（2025春 文水县期中）综合与实践
箭头形标识牌的探究与设计
素材（1） 某科技公司计划开设高峰论坛，图1是该论坛的标识牌，图2为其平面示意图．该标识牌是轴对称图形，由矩形EFHD和等腰三角形ABC组成，且点B，F，E，C四点共线．滨滨测量了点A到DH的距离为1米，C，D两点之间的距离为0.61米，且CE＝0.11米．
素材（2） 因考虑牢固耐用，滨滨打算选用甲、乙两种材料分别制作标识牌中的矩形与等腰三角形（两种图形无缝隙拼接）．已知甲材料的单价为每平方米200元，乙材料的单价为每平方米100元．
根据上述材料，解答下列问题．
（1）滨滨说：“如果CB的长与C，D两点之间的距离相等，那么点B到地面的距离就是线段DE的长．”他的说法对吗？请判断并说明理由．
（2）滨滨发现他设计的方案中，DH＝0.4米．求制作标识牌的总费用．
20．（2025春 淮南期中）如图，OM、ON是两条公路，∠O＝30°，沿公路OM方向离点O为160米的点A处有一所学校，当重型运输卡车沿道路ON方向行驶时，在以重型运输卡车所在的点P为圆心，100m长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且点P与点A的距离越近噪声影响越大．假设重型运输卡车沿着道路ON方向行驶的速度为5米/秒．
（1）求对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离；
（2）求卡车沿道路ON方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间．
21．（2025春 连江县期中）如图，某景区内有一个露营区C，湖边AB上原有两个观景台A和B，且AB＝BC，为了方便游客观赏，现计划在湖边新建一个观景台P（A、P、B在同一直线上），并铺设了步道CP，同时测量了AC＝260m，AP＝100m，CP＝240m，请解决以下问题：
（1）试判断步道CP是否是露营区C到湖边AB的最短路径，并说明理由；
（2）求观景台P与观景台B之间距离PB的长．
22．（2025春 灵宝市期中）现有一楼房发生火灾，消防员决定用消防车上的云梯救人，已知消防车高3m，云梯最多只能伸长到10m，救人时云梯伸至最长．如图所示，消防员先在A处架云梯，完成从9m高处救人，然后前进到B处从12m高处救人．（精确到0.1m，参考数据：，，）
（1）求消防车在A处到楼房的距离（AD的长度）；
（2）求消防车两次救援移动的距离（AB的长度）．
23．（2025春 城步县期中）如图，一架5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙上，这时底端B到墙角C的距离为3米．
（1）此时，这架梯子的顶端A距离地面有多高？
（2）如果梯子的顶端A沿墙向上移动0.8米，则底端B向内移动多少米？
24．（2025春 高唐县期中）如图，莲花湖景区内有一块四边形空地ABCD，景区管理人员想在这块空地上铺满观赏草坪，需要测量其面积，经测量∠ABC＝90°，AB＝20m，BC＝15m，CD＝7m，AD＝24m．
（1）请你帮助管理人员计算出这个四边形对角线AC的长度；
（2）请你用学过的知识计算出求这块空地的面积；
（3）观赏草坪每平方米的价格是30元，请你计算购买草坪需要花多少元．
期末核心考点 勾股定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 鲁山县三模）在学习了勾股定理后，小张同学对勾股定理产生了浓厚的兴趣，在探索中不断发现，他用9个直角三角形纸片拼成如图所示的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1．记这个图形的周长（实线部分）为l，则下列整数与l最接近的是（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
【答案】B
【分析】先计算周长为，再结合，进一步估算即可．
【解答】解：第一个三角形的斜边长＝，
第二个三角形的斜边长＝，
……
第九个三角形的斜边长＝，
则这个图形周长＝，
∵9＜10＜12.25，
∴，
∴与最接近的整数是3，
∴与最接近的整数是13，
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，无理数的估算，直角三角形的性质，找到规律是解题的关键．
2．（2025春 鱼台县期中）如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S2﹣S1＝14，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．6 D．7
【答案】A
【分析】先根据勾股定理和已知的式子算出S2＝7，再根据同底等高的算法即可得到答案．
【解答】解：由图可知，BC2﹣AC2＝AB2，即S3﹣S1＝S2，
∵S3+S2﹣S1＝14，
∴S2＝7，
∵阴影部分的面积为，
∴阴影部分的面积为，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解决此题的关键是合理的运用勾股定理．
3．（2025春 西华县期中）下列条件中，不能断定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a2+b2＝c2 B．∠A+∠B＝∠C
C．a：b：c＝3：4：5 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【答案】D
【分析】A、根据勾股定理的逆定理进行判定即可；
B、根据三角形的内角和为180度，即可计算出∠C的值；
C、根据比值并结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状；
D、根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状．
【解答】解：A、正确，a2+b2＝c2符合勾股定理的逆定理，故成立；
B、正确，因为∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，故为直角三角形；
C、正确，因为a：b：c＝3：4：5，所以设a＝3x，b＝4x，c＝5x，则（3x）2+（4x）2＝（5x）2，故为直角三角形；
D、错误，因为∠A：∠B：∠C＝3：4：5，所以设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，故3x+4x+5x＝180°，解得，x＝15°，5x＝15×5＝75°，故此三角形是锐角三角形．
故选：D．
【点评】此题考查了解直角三角形的相关知识，根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理结合解方程是解题的关键．
4．（2025 杭州二模）如图一所示，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图（2）所示的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若S1＝S2，则的值为（ ）
A．﹣1 B． C． D．
【答案】B
【分析】如图2，由题意可设AB＝CD＝x，则可以用x表示出S2，又由于S1＝S2，S1+S2＝m2，所以可以得到m与x的关系式，在直角△ABC中，利用勾股定理列出方程，得到n与x的关系，等量代换进行运算，即可解决．
【解答】解：设图2中AB＝x，则CD＝AB＝x，
∴S△ACD＝×CD AB＝x2，
∴S2＝4S△ACD＝2x2，
∵S1＝S2，S1+S2＝m2，
∴4x2＝m2，
∴m＝2x，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，
∴x2+（x+n）2＝m2，
∴x2+（x+n）2＝4x2，
∴x+n＝x，
∴n＝（﹣1）x，
∴＝，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，以及勾股定理的应用，设出参数，用参数表示出线段或者面积，利用勾股定理列方程，是解决本题的关键．
5．（2025春 兴宾区期中）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD：BD＝2：3．若BC＝15，则点D到AB边的距离为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【分析】先根据题意求出CD＝6，再利用角平分线上的点到两边的距离相等，即可得出结论．
【解答】解：设CD＝2x，则BD＝3x，
∴BC＝CD+BD＝5x，
∵BC＝15，
∴5x＝15，
∴x＝3，
∴CD＝6，
过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝6．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质，线段的和差，正确进行计算是解题关键．
6．（2025春 德城区校级期中）如图是两个型号的圆柱型笔筒，粗细相同，高度分别是8cm和12cm，将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面的部分分别为4cm和2cm，则铅笔的长为（ ）
A．19cm B．21cm C．23cm D．25cm
【答案】C
【分析】由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径平方＝（x﹣4）2﹣82；第二个笔筒中：直径平方＝（x﹣2）2﹣122；因直径相等，列方程即可求解．
【解答】解：粗细相同的笔筒高度分别是8cm和12cm，铅笔露在笔筒外面的部分分别为4cm和2cm，设铅笔长度为x cm，
依题意得：（x﹣4）2﹣82＝（x﹣2）2﹣122，
解得：x＝23，
故铅笔的长为23cm；
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
7．（2025春 巴南区月考）以下列数据为边，不能组成直角三角形的是（ ）
A．5，12，13 B． C． D．3，4，5
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵52+122＝169，132＝169，
∴52+122＝132，
∴能组成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵（）2+（）2＝5，（）2＝5，
∴（）2+（）2＝（）2，
∴能组成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵（）2+12＝3，（）2＝5，
∴（）2+12≠（）2，
∴不能组成直角三角形，
故C符合题意；
D、∵32+42＝25，52＝25，
∴32+42＝52，
∴能组成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．
8．（2025春 前郭县期中）以下列各组线段为边作三角形，能组成直角三角形的是（ ）
A．，2， B．1，，2 C．3，6，7 D．6，8，12
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵（）2+22＝7，（）2＝5，
∴（）2+22≠（）2，
∴不能组成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵（）2+12＝4，22＝4，
∴（）2+12＝22，
∴能组成直角三角形，
故B符合题意；
C、∵32+62＝45，72＝49，
∴32+62≠72，
∴不能组成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵82+62＝100，122＝144，
∴82+62≠122，
∴不能组成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．
9．（2025春 云溪区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，AB＝13，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（ ）
A．6 B．7.5 C．4 D．3
【答案】A
【分析】根据勾股定理求出BC，再根据三角形中位线定理求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC＝，
∵DE垂直平分AC，
∴∠ADE＝∠C＝90°，AD＝CD，
∴DE∥BC，
∴DE是三角形ABC的中位线，
∴DE＝＝＝6，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质，熟记勾股定理，三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
10．（2025春 平乡县期中）在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．若c2＝a2﹣b2，则（ ）
A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．无法确定
【答案】A
【分析】由c2＝a2﹣b2，可知a是斜边且∠A＝90°．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．若c2＝a2﹣b2，
则∠A＝90°，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟记勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．（2025春 巴楚县期中）如图，数轴上点A的坐标是4，AB⊥OA于点A，AB＝2，以原点O为圆心，OB长为半径画弧交数轴于点C，则点C的坐标是 2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由AB⊥OA于点A，得∠OAB＝90°，则OC＝OB＝＝2，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AB⊥OA于点A，
∴∠OAB＝90°，
∵OA＝4，AB＝2，
∴OB＝＝＝2，
由作图知OC＝OB＝2，
∴点C的坐标是2，
故答案为：2．
【点评】此题重点考查勾股定理、同圆的半径相等等知识，根据勾股定理求得OB＝2是解题的关键．
12．（2025 洪山区模拟）如图，已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边AC上一点，∠CBD＝2∠ABD，若CD＝3，BD＝2，则AD的值为 ．
【答案】．
【分析】1
【解答】解：△CDE∽△CBD，
x＝
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
13．（2025春 田家庵区期中）如图，在直角三角形ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S1＝10，S3＝24，则图中阴影部分的面积为 7 ．
【答案】7．
【分析】由正方形的面积得AC2＝10，BC2＝24，由勾股定理得，即可求解．
【解答】解：∵S1＝10，S3＝24，
∴AC2＝10，
BC2＝24，
∴，
＝
＝，
∴
＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了勾股定理，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键．
14．（2025春 宜昌期中）如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2）．得到大小两个正方形，若图2中阴影小正方形的面积为49，则a的值为 4 ．
【答案】4．
【分析】由图1可知，图2中直角三角形中较长直角边长为2a+3，较短直角边长为a，根据图2中小正方形的面积等于两直角边差的平方得出方程求出a即可．
【解答】解：由图1可知，图2中直角三角形中较长直角边长为2a+3，较短直角边长为a，
∵图2中阴影小正方形的面积为49，
∴（2a+3﹣a）2＝49，
∴a＝4（负值舍去），
故答案为：4．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出小正方形的面积是解题的关键．
15．（2025 西城区校级模拟）磁力棋的棋盘为9×9的正方形网格，每个小正方形网格的边长为1．磁力珠（近似看成点）可放在网格交点处，摆放时要求任意两颗磁力珠不吸到一起．若两颗磁力珠不吸到一起，则它们之间的距离应不小于，根据以上规则，回答下列问题：
（1）如图，小颖在棋盘A、B，C三处放置了互不相吸的三颗磁力珠．若她想从P1，P2中选择一个位置再放一颗磁力珠，与其他磁力珠互不相吸，则她选择的位置是 P2 ；
（2）棋盘最多可摆放 20 颗互不相吸的磁力珠．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）分别计算P1，P2和点A、B、C之间的距离，与比较后即可判断应选择的位置；
（2）由（1）得：A、B、C、P2互不相吸，以四边形ABP2C为基本图形，在磁盘中继续作放置磁力珠，可得最多摆放磁力珠的颗数．
【解答】解：（1）∵P1C＝＝＜，
∴P1C不符合题意．
∵P2B＝＝，P2C＝＝，P2A＝＝，
∴P2符合题意．
故答案为：P2；
（2）由（1）得：A、B、C、P2互不相吸，以四边形ABP2C为基本图形，在磁盘中继续作放置磁力珠，可得磁盘中一共有20颗互不相吸的磁力珠．
故答案为：20．
【点评】本题考查勾股定理的应用．由（1）得到符合题意的基本图形并加以应用是解决本题的关键．
16．（2025春 盂县期中）我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”．由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形的MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S2＝6，则S1+S3的值为 12 ．
【答案】12．
【分析】根据面积加减关系求解减即可得到答案．
【解答】解：图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形的MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S2＝6，设这八个全等的直角三角形的面积都是S△，
∴S1﹣4S△＝S3+4S△＝S2＝6，
∴S1+S3＝（S1﹣4S△）+（S3+4S△）＝6+6＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查勾股定理的证明，解题的关键掌握运用勾股定理解决问题．
三．解答题（共8小题）
17．（2024秋 秦淮区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．已知BD＝3，AB＝5．设CD长为x．
（1）根据勾股定理，得AC2＝ 16+x2 ．（用含x的代数式表示，结果需化简）
（2）求x的值．
【答案】（1）16+x2；
（2）．
【分析】（1）根据题意可知，AB＝5，BD＝3，∠ADB＝90°，再根据勾股定理可以求得AD的长，然后根据CD＝x和∠ADC＝90°，即可用含x的代数式表示出AC2；
（2）根据∠BAC＝90° 和勾股定理，可以求得x的值．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵BD＝3，AB＝5，
∴AD＝＝＝4，
∵CD长为x，
∴AC2＝AD2+CD2＝42+x2＝16+x2，
故答案为：16+x2；
（2）∵∠BAC＝90°，AB＝5，BC＝BD+CD，BD＝3，CD＝x，
∴BC＝BD+CD＝3+x，
∵AC2＝BC2﹣AB2，AC2＝16+x2，
∴（3+x）2﹣52＝16+x2，
解得x＝．
【点评】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答．
18．（2025春 夏邑县期中）洛阳某校开展红色主题研学活动，开启红色文化之旅，在某纪念馆门口离地面一定高度的墙上D处，装有一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口正前方2.4m及2.4m以内时，门铃就会自动发出欢迎语音．如图，一个身高1.6m的学生刚走到B处（学生头顶在A处），门铃恰好自动响起，此时BC＝2.4m，并测得迎宾门铃与地面的距离DC和到该生头顶的距离DA相等．
（1）求DC的长；
（2）若该生继续向前走1.4m，此时迎宾门铃距离该生头顶多少米？
【答案】（1）2.6m；
（2）m．
【分析】（1）过点A作AE⊥CD于点E，则CE＝AB＝1.8m，AE＝BC＝2.4m，设迎宾门铃距离地面x m，则AD＝CD＝x m，DE＝（x﹣1.8）m，在Rt△AED中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）MN为该生向前走1.4m后的位置，则AN＝1.4m，NE＝1m，由（1）可知，DE＝1m，然后在Rt△NED中，由勾股定理求出DN的长即可．
【解答】解：（1）AD＝CD，BC＝2.4m，AB＝1.6m，∠ABC＝∠DCB＝90°，
过点A作AE⊥CD于点E，如图1，
则CE＝AB＝1.6m，AE＝BC＝2.4m，
设迎宾门铃距离地面x m，则AD＝CD＝x m，DE＝（x﹣1.6）m，
∵AE2+DE2＝AD2，即2.42+（x﹣1.6）2＝x2，
∴x＝2.6，
答：DC的长为2.6m；
（2）MN为该生向前走1.4m后的位置，如图2，
则AN＝1.4m，
∴NE＝AE﹣AN＝2.4﹣1.4＝1（m），
由（1）可知，DE＝2.6﹣1.6＝1（m），
∴DN＝＝（m），
答：此时迎宾门铃距离该生头顶m．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，二元一次方程组，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
19．（2025春 文水县期中）综合与实践
箭头形标识牌的探究与设计
素材（1） 某科技公司计划开设高峰论坛，图1是该论坛的标识牌，图2为其平面示意图．该标识牌是轴对称图形，由矩形EFHD和等腰三角形ABC组成，且点B，F，E，C四点共线．滨滨测量了点A到DH的距离为1米，C，D两点之间的距离为0.61米，且CE＝0.11米．
素材（2） 因考虑牢固耐用，滨滨打算选用甲、乙两种材料分别制作标识牌中的矩形与等腰三角形（两种图形无缝隙拼接）．已知甲材料的单价为每平方米200元，乙材料的单价为每平方米100元．
根据上述材料，解答下列问题．
（1）滨滨说：“如果CB的长与C，D两点之间的距离相等，那么点B到地面的距离就是线段DE的长．”他的说法对吗？请判断并说明理由．
（2）滨滨发现他设计的方案中，DH＝0.4米．求制作标识牌的总费用．
【答案】任务1：他的说法对，理由见解析；
任务2：制作标识牌的总费用为48.64元．
【分析】（1）过点B作BG⊥DC于点G，可证得△BCG≌△DCE（AAS），据此即可判定；
（2）根据轴对称图形的性质得到BF＝CE＝0.11米，EF＝DH＝0.4米，求得BC＝0.62米，根据勾股定理得到DE＝＝＝0.36（米）求出△ABC的高为1﹣0.36＝0.64（米），得到长方形的面积为0.144（平方米），三角形ABC的面积为0.1984（平方米），于是得到结论．
【解答】解：（1）他的说法对，理由如下：
如图：过点B作BG⊥DC于点G，
∴∠BGC＝90°，
∵四边形EFHD是长方形，
∴∠DEC＝90°，
∴∠BGC＝∠DEC，
在△BCG与△DCE中，
，
∴△BCG≌△DCE（AAS），
∴BG＝DE，
∴最高点B到地面的距离就是线段DE长；
（2）∵该指示牌是轴对称图形，四边形EFHD是长方形，
∴BF＝CE＝0.11米，EF＝DH＝0.4米，
∴BC＝0.62米，
∵DE＝＝＝0.36（米）
∴△ABC的高为1﹣0.36＝0.64（米），
长方形的面积为：DH DE＝0.4×0.36＝0.144（平方米），
三角形ABC的面积为：BC×0.64＝×0.62×0.64＝0.1984（平方米），
当长方形用甲种材料制作，三角形用乙种材料制作时，
根据题意得：200×0.144+0.1984×100＝48.64（元），
答：制作标识牌的总费用为48.64元．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定及性质，不等式的实际应用，理解题意，灵活运用全等三角形的判定及性质，不等式的实际应用是解决本题的关键．
20．（2025春 淮南期中）如图，OM、ON是两条公路，∠O＝30°，沿公路OM方向离点O为160米的点A处有一所学校，当重型运输卡车沿道路ON方向行驶时，在以重型运输卡车所在的点P为圆心，100m长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且点P与点A的距离越近噪声影响越大．假设重型运输卡车沿着道路ON方向行驶的速度为5米/秒．
（1）求对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离；
（2）求卡车沿道路ON方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间．
【答案】（1）卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离为80m；
（2）卡车沿道路ON方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为24s．
【分析】（1）过点A作AH⊥ON于H，可知点A到射线ON的最短距离为线段AH的长度；AH的长度为对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离；
（2）如详解图形所示，当AC＝AD＝100m时，则卡车在CD段对学校A有影响，根据勾股定理可求得CN的长度．
【解答】解：（1）如图1，过点A作AH⊥ON于H，可知点A到射线ON的最短距离为线段AH的长度．
∴AH的长度为对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离．
∵∠O＝30°，OA＝160m，
∴．
答：卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离为80m；
（2）如图2，在ON上取两点C、D，连接AC，AD，
当AC＝AD＝100m时，则卡车在CD段对学校A有影响．
∵AC＝AD，AH⊥CD，
∴CH＝DH．
由（1）知AH＝80m，
在直角三角形ACH中，由勾股定理得：CH＝＝＝60（m）．
∴CD＝2CH＝120m，
∵重型运输卡车沿着道路ON方向行驶的速度为5米/秒，
∴影响时间为：120÷5＝24（秒），
答：卡车沿道路ON方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为24s．
【点评】本题主要考查了勾股定理得实际应用，含30度角的直角三角形的性质，解答本题的关键是添加辅助线，构造直角三角形解决问题．
21．（2025春 连江县期中）如图，某景区内有一个露营区C，湖边AB上原有两个观景台A和B，且AB＝BC，为了方便游客观赏，现计划在湖边新建一个观景台P（A、P、B在同一直线上），并铺设了步道CP，同时测量了AC＝260m，AP＝100m，CP＝240m，请解决以下问题：
（1）试判断步道CP是否是露营区C到湖边AB的最短路径，并说明理由；
（2）求观景台P与观景台B之间距离PB的长．
【答案】（1）步道CP是露营区C到湖边AB的最短路径，理由详见解析；
（2）238m．
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明CP⊥AB，依据垂线段最短即可得出结论；
（2）设观景台P与观景台B之间距离PB的长为x m，利用勾股定理列等式即可求得PB的长．
【解答】解：（1）步道CP是露营区C到湖边AB的最短路径，
理由如下：
∵AP2+CP2＝1002+2402＝67600，
AC2＝2602＝67600，
∴AC2＝AP2+CP2，
∴∠APC＝90°，
即CP⊥AB，
∴步道CP是露营区C到湖边AB的最短路径；
（2）设观景台P与观景台B之间距离PB的长为x m，
∵AB＝BC，
∴BC＝（x+100）m，
由勾股定理得BC2＝PB2+CP2，
即（x+100）2＝x2+2402，
解得x＝238，
∴观景台P与观景台B之间距离PB的长为238m．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，垂线，熟练掌握相关定理是解题的关键．
22．（2025春 灵宝市期中）现有一楼房发生火灾，消防员决定用消防车上的云梯救人，已知消防车高3m，云梯最多只能伸长到10m，救人时云梯伸至最长．如图所示，消防员先在A处架云梯，完成从9m高处救人，然后前进到B处从12m高处救人．（精确到0.1m，参考数据：，，）
（1）求消防车在A处到楼房的距离（AD的长度）；
（2）求消防车两次救援移动的距离（AB的长度）．
【答案】（1）8m；
（2）3.6m．
【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理求得BD，进而可求解．
【解答】解：（1）由题意，A′A＝B′B＝10m，DM＝3m，A′M＝9m，B′M＝12m，∠A′DA＝90°，
∴在Rt△A′DA中，A′D＝9﹣3＝6（m），
则，
答：消防车在A处到楼房的距离为8m；
（2）由题意，在Rt△B′DB中，B′D＝12﹣3＝9（m），B′B＝10m，
∴，
∴，
答：消防车两次救援移动的距离约为3.6m．
【点评】本题考查勾股定理的应用，熟知在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用是解题的关键．
23．（2025春 城步县期中）如图，一架5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙上，这时底端B到墙角C的距离为3米．
（1）此时，这架梯子的顶端A距离地面有多高？
（2）如果梯子的顶端A沿墙向上移动0.8米，则底端B向内移动多少米？
【答案】（1）这架梯子的顶端A距离地面有4m高；
（2）底端B向内移动了1.6m．
【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）先求出CD，再根据勾股定理求出CE的长，然后根据BE＝CB﹣CE即可求解．
【解答】解：（1）一架5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙上，这时底端B到墙角C的距离为3米，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+CB2＝AB2，
即AC2+32＝52，
∴AC＝4m（负值舍去），
答：这架梯子的顶端A距离地面有4m高；
（2）CD＝AC+AD＝4+0.8＝4.8（m），DE＝5m，
在Rt△DCE中，由勾股定理得DC2+CE2＝DE2，
即CE2+4.82＝52，
∴CE＝1.4m（负值已舍去），
∴BE＝CB﹣CE＝3﹣1.4＝1.6（m），
答：底端B向内移动了1.6m．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
24．（2025春 高唐县期中）如图，莲花湖景区内有一块四边形空地ABCD，景区管理人员想在这块空地上铺满观赏草坪，需要测量其面积，经测量∠ABC＝90°，AB＝20m，BC＝15m，CD＝7m，AD＝24m．
（1）请你帮助管理人员计算出这个四边形对角线AC的长度；
（2）请你用学过的知识计算出求这块空地的面积；
（3）观赏草坪每平方米的价格是30元，请你计算购买草坪需要花多少元．
【答案】（1）25米；
（2）234平方米；
（3）7020元．
【分析】（1）利用勾股定理求出AC即可；
（2）利用勾股定理的逆定理证明∠ADC＝90°，计算两个直角三角形面积即可解决问题
（3）根据总价＝单价×面积
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20m，BC＝15m，
由勾股定理得：AC＝＝＝25（米）．
（2）在△ADC中，CD＝7m，AD＝24m，AC＝25m，
∵AD2+DC2＝242+72＝625＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝×20×15+×24×7＝234（米2），
（3）购买草坪需要的总价为：234×30＝7020（元），
答：赏草坪每平方米的价格是30元，请你计算购买草坪需要花7020元．
【点评】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
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期末核心考点 勾股定理
一．选择题（共10小题）
1．（2025 鲁山县三模）在学习了勾股定理后，小张同学对勾股定理产生了浓厚的兴趣，在探索中不断发现，他用9个直角三角形纸片拼成如图所示的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1．记这个图形的周长（实线部分）为l，则下列整数与l最接近的是（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
2．（2025春 鱼台县期中）如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S2﹣S1＝14，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．6 D．7
3．（2025春 西华县期中）下列条件中，不能断定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a2+b2＝c2 B．∠A+∠B＝∠C
C．a：b：c＝3：4：5 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
4．（2025 杭州二模）如图一所示，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图（2）所示的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若S1＝S2，则的值为（ ）
A．﹣1 B． C． D．
5．（2025春 兴宾区期中）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD：BD＝2：3．若BC＝15，则点D到AB边的距离为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
6．（2025春 德城区校级期中）如图是两个型号的圆柱型笔筒，粗细相同，高度分别是8cm和12cm，将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面的部分分别为4cm和2cm，则铅笔的长为（ ）
A．19cm B．21cm C．23cm D．25cm
7．（2025春 巴南区月考）以下列数据为边，不能组成直角三角形的是（ ）
A．5，12，13 B． C． D．3，4，5
8．（2025春 前郭县期中）以下列各组线段为边作三角形，能组成直角三角形的是（ ）
A．，2， B．1，，2 C．3，6，7 D．6，8，12
9．（2025春 云溪区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，AB＝13，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（ ）
A．6 B．7.5 C．4 D．3
10．（2025春 平乡县期中）在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．若c2＝a2﹣b2，则（ ）
A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．无法确定
二．填空题（共6小题）
11．（2025春 巴楚县期中）如图，数轴上点A的坐标是4，AB⊥OA于点A，AB＝2，以原点O为圆心，OB长为半径画弧交数轴于点C，则点C的坐标是 ．
12．（2025 洪山区模拟）如图，已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边AC上一点，∠CBD＝2∠ABD，若CD＝3，BD＝2，则AD的值为 ．
13．（2025春 田家庵区期中）如图，在直角三角形ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S1＝10，S3＝24，则图中阴影部分的面积为 ．
14．（2025春 宜昌期中）如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2）．得到大小两个正方形，若图2中阴影小正方形的面积为49，则a的值为 ．
15．（2025 西城区校级模拟）磁力棋的棋盘为9×9的正方形网格，每个小正方形网格的边长为1．磁力珠（近似看成点）可放在网格交点处，摆放时要求任意两颗磁力珠不吸到一起．若两颗磁力珠不吸到一起，则它们之间的距离应不小于，根据以上规则，回答下列问题：
（1）如图，小颖在棋盘A、B，C三处放置了互不相吸的三颗磁力珠．若她想从P1，P2中选择一个位置再放一颗磁力珠，与其他磁力珠互不相吸，则她选择的位置是 ；
（2）棋盘最多可摆放 颗互不相吸的磁力珠．
16．（2025春 盂县期中）我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”．由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形的MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S2＝6，则S1+S3的值为 ．
三．解答题（共8小题）
17．（2024秋 秦淮区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．已知BD＝3，AB＝5．设CD长为x．
（1）根据勾股定理，得AC2＝ ．（用含x的代数式表示，结果需化简）
（2）求x的值．
18．（2025春 夏邑县期中）洛阳某校开展红色主题研学活动，开启红色文化之旅，在某纪念馆门口离地面一定高度的墙上D处，装有一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口正前方2.4m及2.4m以内时，门铃就会自动发出欢迎语音．如图，一个身高1.6m的学生刚走到B处（学生头顶在A处），门铃恰好自动响起，此时BC＝2.4m，并测得迎宾门铃与地面的距离DC和到该生头顶的距离DA相等．
（1）求DC的长；
（2）若该生继续向前走1.4m，此时迎宾门铃距离该生头顶多少米？
19．（2025春 文水县期中）综合与实践
箭头形标识牌的探究与设计
素材（1） 某科技公司计划开设高峰论坛，图1是该论坛的标识牌，图2为其平面示意图．该标识牌是轴对称图形，由矩形EFHD和等腰三角形ABC组成，且点B，F，E，C四点共线．滨滨测量了点A到DH的距离为1米，C，D两点之间的距离为0.61米，且CE＝0.11米．
素材（2） 因考虑牢固耐用，滨滨打算选用甲、乙两种材料分别制作标识牌中的矩形与等腰三角形（两种图形无缝隙拼接）．已知甲材料的单价为每平方米200元，乙材料的单价为每平方米100元．
根据上述材料，解答下列问题．
（1）滨滨说：“如果CB的长与C，D两点之间的距离相等，那么点B到地面的距离就是线段DE的长．”他的说法对吗？请判断并说明理由．
（2）滨滨发现他设计的方案中，DH＝0.4米．求制作标识牌的总费用．
20．（2025春 淮南期中）如图，OM、ON是两条公路，∠O＝30°，沿公路OM方向离点O为160米的点A处有一所学校，当重型运输卡车沿道路ON方向行驶时，在以重型运输卡车所在的点P为圆心，100m长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且点P与点A的距离越近噪声影响越大．假设重型运输卡车沿着道路ON方向行驶的速度为5米/秒．
（1）求对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离；
（2）求卡车沿道路ON方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间．
21．（2025春 连江县期中）如图，某景区内有一个露营区C，湖边AB上原有两个观景台A和B，且AB＝BC，为了方便游客观赏，现计划在湖边新建一个观景台P（A、P、B在同一直线上），并铺设了步道CP，同时测量了AC＝260m，AP＝100m，CP＝240m，请解决以下问题：
（1）试判断步道CP是否是露营区C到湖边AB的最短路径，并说明理由；
（2）求观景台P与观景台B之间距离PB的长．
22．（2025春 灵宝市期中）现有一楼房发生火灾，消防员决定用消防车上的云梯救人，已知消防车高3m，云梯最多只能伸长到10m，救人时云梯伸至最长．如图所示，消防员先在A处架云梯，完成从9m高处救人，然后前进到B处从12m高处救人．（精确到0.1m，参考数据：，，）
（1）求消防车在A处到楼房的距离（AD的长度）；
（2）求消防车两次救援移动的距离（AB的长度）．
23．（2025春 城步县期中）如图，一架5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙上，这时底端B到墙角C的距离为3米．
（1）此时，这架梯子的顶端A距离地面有多高？
（2）如果梯子的顶端A沿墙向上移动0.8米，则底端B向内移动多少米？
24．（2025春 高唐县期中）如图，莲花湖景区内有一块四边形空地ABCD，景区管理人员想在这块空地上铺满观赏草坪，需要测量其面积，经测量∠ABC＝90°，AB＝20m，BC＝15m，CD＝7m，AD＝24m．
（1）请你帮助管理人员计算出这个四边形对角线AC的长度；
（2）请你用学过的知识计算出求这块空地的面积；
（3）观赏草坪每平方米的价格是30元，请你计算购买草坪需要花多少元．
期末核心考点 勾股定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 鲁山县三模）在学习了勾股定理后，小张同学对勾股定理产生了浓厚的兴趣，在探索中不断发现，他用9个直角三角形纸片拼成如图所示的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1．记这个图形的周长（实线部分）为l，则下列整数与l最接近的是（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
【答案】B
【分析】先计算周长为，再结合，进一步估算即可．
【解答】解：第一个三角形的斜边长＝，
第二个三角形的斜边长＝，
……
第九个三角形的斜边长＝，
则这个图形周长＝，
∵9＜10＜12.25，
∴，
∴与最接近的整数是3，
∴与最接近的整数是13，
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，无理数的估算，直角三角形的性质，找到规律是解题的关键．
2．（2025春 鱼台县期中）如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S2﹣S1＝14，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．6 D．7
【答案】A
【分析】先根据勾股定理和已知的式子算出S2＝7，再根据同底等高的算法即可得到答案．
【解答】解：由图可知，BC2﹣AC2＝AB2，即S3﹣S1＝S2，
∵S3+S2﹣S1＝14，
∴S2＝7，
∵阴影部分的面积为，
∴阴影部分的面积为，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解决此题的关键是合理的运用勾股定理．
3．（2025春 西华县期中）下列条件中，不能断定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a2+b2＝c2 B．∠A+∠B＝∠C
C．a：b：c＝3：4：5 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【答案】D
【分析】A、根据勾股定理的逆定理进行判定即可；
B、根据三角形的内角和为180度，即可计算出∠C的值；
C、根据比值并结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状；
D、根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状．
【解答】解：A、正确，a2+b2＝c2符合勾股定理的逆定理，故成立；
B、正确，因为∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，故为直角三角形；
C、正确，因为a：b：c＝3：4：5，所以设a＝3x，b＝4x，c＝5x，则（3x）2+（4x）2＝（5x）2，故为直角三角形；
D、错误，因为∠A：∠B：∠C＝3：4：5，所以设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，故3x+4x+5x＝180°，解得，x＝15°，5x＝15×5＝75°，故此三角形是锐角三角形．
故选：D．
【点评】此题考查了解直角三角形的相关知识，根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理结合解方程是解题的关键．
4．（2025 杭州二模）如图一所示，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图（2）所示的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若S1＝S2，则的值为（ ）
A．﹣1 B． C． D．
【答案】B
【分析】如图2，由题意可设AB＝CD＝x，则可以用x表示出S2，又由于S1＝S2，S1+S2＝m2，所以可以得到m与x的关系式，在直角△ABC中，利用勾股定理列出方程，得到n与x的关系，等量代换进行运算，即可解决．
【解答】解：设图2中AB＝x，则CD＝AB＝x，
∴S△ACD＝×CD AB＝x2，
∴S2＝4S△ACD＝2x2，
∵S1＝S2，S1+S2＝m2，
∴4x2＝m2，
∴m＝2x，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，
∴x2+（x+n）2＝m2，
∴x2+（x+n）2＝4x2，
∴x+n＝x，
∴n＝（﹣1）x，
∴＝，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，以及勾股定理的应用，设出参数，用参数表示出线段或者面积，利用勾股定理列方程，是解决本题的关键．
5．（2025春 兴宾区期中）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD：BD＝2：3．若BC＝15，则点D到AB边的距离为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【分析】先根据题意求出CD＝6，再利用角平分线上的点到两边的距离相等，即可得出结论．
【解答】解：设CD＝2x，则BD＝3x，
∴BC＝CD+BD＝5x，
∵BC＝15，
∴5x＝15，
∴x＝3，
∴CD＝6，
过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝6．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质，线段的和差，正确进行计算是解题关键．
6．（2025春 德城区校级期中）如图是两个型号的圆柱型笔筒，粗细相同，高度分别是8cm和12cm，将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面的部分分别为4cm和2cm，则铅笔的长为（ ）
A．19cm B．21cm C．23cm D．25cm
【答案】C
【分析】由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径平方＝（x﹣4）2﹣82；第二个笔筒中：直径平方＝（x﹣2）2﹣122；因直径相等，列方程即可求解．
【解答】解：粗细相同的笔筒高度分别是8cm和12cm，铅笔露在笔筒外面的部分分别为4cm和2cm，设铅笔长度为x cm，
依题意得：（x﹣4）2﹣82＝（x﹣2）2﹣122，
解得：x＝23，
故铅笔的长为23cm；
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
7．（2025春 巴南区月考）以下列数据为边，不能组成直角三角形的是（ ）
A．5，12，13 B． C． D．3，4，5
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵52+122＝169，132＝169，
∴52+122＝132，
∴能组成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵（）2+（）2＝5，（）2＝5，
∴（）2+（）2＝（）2，
∴能组成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵（）2+12＝3，（）2＝5，
∴（）2+12≠（）2，
∴不能组成直角三角形，
故C符合题意；
D、∵32+42＝25，52＝25，
∴32+42＝52，
∴能组成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．
8．（2025春 前郭县期中）以下列各组线段为边作三角形，能组成直角三角形的是（ ）
A．，2， B．1，，2 C．3，6，7 D．6，8，12
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵（）2+22＝7，（）2＝5，
∴（）2+22≠（）2，
∴不能组成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵（）2+12＝4，22＝4，
∴（）2+12＝22，
∴能组成直角三角形，
故B符合题意；
C、∵32+62＝45，72＝49，
∴32+62≠72，
∴不能组成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵82+62＝100，122＝144，
∴82+62≠122，
∴不能组成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．
9．（2025春 云溪区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，AB＝13，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（ ）
A．6 B．7.5 C．4 D．3
【答案】A
【分析】根据勾股定理求出BC，再根据三角形中位线定理求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC＝，
∵DE垂直平分AC，
∴∠ADE＝∠C＝90°，AD＝CD，
∴DE∥BC，
∴DE是三角形ABC的中位线，
∴DE＝＝＝6，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质，熟记勾股定理，三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
10．（2025春 平乡县期中）在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．若c2＝a2﹣b2，则（ ）
A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．无法确定
【答案】A
【分析】由c2＝a2﹣b2，可知a是斜边且∠A＝90°．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．若c2＝a2﹣b2，
则∠A＝90°，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟记勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．（2025春 巴楚县期中）如图，数轴上点A的坐标是4，AB⊥OA于点A，AB＝2，以原点O为圆心，OB长为半径画弧交数轴于点C，则点C的坐标是 2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由AB⊥OA于点A，得∠OAB＝90°，则OC＝OB＝＝2，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AB⊥OA于点A，
∴∠OAB＝90°，
∵OA＝4，AB＝2，
∴OB＝＝＝2，
由作图知OC＝OB＝2，
∴点C的坐标是2，
故答案为：2．
【点评】此题重点考查勾股定理、同圆的半径相等等知识，根据勾股定理求得OB＝2是解题的关键．
12．（2025 洪山区模拟）如图，已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边AC上一点，∠CBD＝2∠ABD，若CD＝3，BD＝2，则AD的值为 ．
【答案】．
【分析】1
【解答】解：△CDE∽△CBD，
x＝
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
13．（2025春 田家庵区期中）如图，在直角三角形ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S1＝10，S3＝24，则图中阴影部分的面积为 7 ．
【答案】7．
【分析】由正方形的面积得AC2＝10，BC2＝24，由勾股定理得，即可求解．
【解答】解：∵S1＝10，S3＝24，
∴AC2＝10，
BC2＝24，
∴，
＝
＝，
∴
＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了勾股定理，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键．
14．（2025春 宜昌期中）如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2）．得到大小两个正方形，若图2中阴影小正方形的面积为49，则a的值为 4 ．
【答案】4．
【分析】由图1可知，图2中直角三角形中较长直角边长为2a+3，较短直角边长为a，根据图2中小正方形的面积等于两直角边差的平方得出方程求出a即可．
【解答】解：由图1可知，图2中直角三角形中较长直角边长为2a+3，较短直角边长为a，
∵图2中阴影小正方形的面积为49，
∴（2a+3﹣a）2＝49，
∴a＝4（负值舍去），
故答案为：4．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出小正方形的面积是解题的关键．
15．（2025 西城区校级模拟）磁力棋的棋盘为9×9的正方形网格，每个小正方形网格的边长为1．磁力珠（近似看成点）可放在网格交点处，摆放时要求任意两颗磁力珠不吸到一起．若两颗磁力珠不吸到一起，则它们之间的距离应不小于，根据以上规则，回答下列问题：
（1）如图，小颖在棋盘A、B，C三处放置了互不相吸的三颗磁力珠．若她想从P1，P2中选择一个位置再放一颗磁力珠，与其他磁力珠互不相吸，则她选择的位置是 P2 ；
（2）棋盘最多可摆放 20 颗互不相吸的磁力珠．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）分别计算P1，P2和点A、B、C之间的距离，与比较后即可判断应选择的位置；
（2）由（1）得：A、B、C、P2互不相吸，以四边形ABP2C为基本图形，在磁盘中继续作放置磁力珠，可得最多摆放磁力珠的颗数．
【解答】解：（1）∵P1C＝＝＜，
∴P1C不符合题意．
∵P2B＝＝，P2C＝＝，P2A＝＝，
∴P2符合题意．
故答案为：P2；
（2）由（1）得：A、B、C、P2互不相吸，以四边形ABP2C为基本图形，在磁盘中继续作放置磁力珠，可得磁盘中一共有20颗互不相吸的磁力珠．
故答案为：20．
【点评】本题考查勾股定理的应用．由（1）得到符合题意的基本图形并加以应用是解决本题的关键．
16．（2025春 盂县期中）我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”．由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形的MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S2＝6，则S1+S3的值为 12 ．
【答案】12．
【分析】根据面积加减关系求解减即可得到答案．
【解答】解：图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形的MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S2＝6，设这八个全等的直角三角形的面积都是S△，
∴S1﹣4S△＝S3+4S△＝S2＝6，
∴S1+S3＝（S1﹣4S△）+（S3+4S△）＝6+6＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查勾股定理的证明，解题的关键掌握运用勾股定理解决问题．
三．解答题（共8小题）
17．（2024秋 秦淮区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．已知BD＝3，AB＝5．设CD长为x．
（1）根据勾股定理，得AC2＝ 16+x2 ．（用含x的代数式表示，结果需化简）
（2）求x的值．
【答案】（1）16+x2；
（2）．
【分析】（1）根据题意可知，AB＝5，BD＝3，∠ADB＝90°，再根据勾股定理可以求得AD的长，然后根据CD＝x和∠ADC＝90°，即可用含x的代数式表示出AC2；
（2）根据∠BAC＝90° 和勾股定理，可以求得x的值．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵BD＝3，AB＝5，
∴AD＝＝＝4，
∵CD长为x，
∴AC2＝AD2+CD2＝42+x2＝16+x2，
故答案为：16+x2；
（2）∵∠BAC＝90°，AB＝5，BC＝BD+CD，BD＝3，CD＝x，
∴BC＝BD+CD＝3+x，
∵AC2＝BC2﹣AB2，AC2＝16+x2，
∴（3+x）2﹣52＝16+x2，
解得x＝．
【点评】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答．
18．（2025春 夏邑县期中）洛阳某校开展红色主题研学活动，开启红色文化之旅，在某纪念馆门口离地面一定高度的墙上D处，装有一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口正前方2.4m及2.4m以内时，门铃就会自动发出欢迎语音．如图，一个身高1.6m的学生刚走到B处（学生头顶在A处），门铃恰好自动响起，此时BC＝2.4m，并测得迎宾门铃与地面的距离DC和到该生头顶的距离DA相等．
（1）求DC的长；
（2）若该生继续向前走1.4m，此时迎宾门铃距离该生头顶多少米？
【答案】（1）2.6m；
（2）m．
【分析】（1）过点A作AE⊥CD于点E，则CE＝AB＝1.8m，AE＝BC＝2.4m，设迎宾门铃距离地面x m，则AD＝CD＝x m，DE＝（x﹣1.8）m，在Rt△AED中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）MN为该生向前走1.4m后的位置，则AN＝1.4m，NE＝1m，由（1）可知，DE＝1m，然后在Rt△NED中，由勾股定理求出DN的长即可．
【解答】解：（1）AD＝CD，BC＝2.4m，AB＝1.6m，∠ABC＝∠DCB＝90°，
过点A作AE⊥CD于点E，如图1，
则CE＝AB＝1.6m，AE＝BC＝2.4m，
设迎宾门铃距离地面x m，则AD＝CD＝x m，DE＝（x﹣1.6）m，
∵AE2+DE2＝AD2，即2.42+（x﹣1.6）2＝x2，
∴x＝2.6，
答：DC的长为2.6m；
（2）MN为该生向前走1.4m后的位置，如图2，
则AN＝1.4m，
∴NE＝AE﹣AN＝2.4﹣1.4＝1（m），
由（1）可知，DE＝2.6﹣1.6＝1（m），
∴DN＝＝（m），
答：此时迎宾门铃距离该生头顶m．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，二元一次方程组，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
19．（2025春 文水县期中）综合与实践
箭头形标识牌的探究与设计
素材（1） 某科技公司计划开设高峰论坛，图1是该论坛的标识牌，图2为其平面示意图．该标识牌是轴对称图形，由矩形EFHD和等腰三角形ABC组成，且点B，F，E，C四点共线．滨滨测量了点A到DH的距离为1米，C，D两点之间的距离为0.61米，且CE＝0.11米．
素材（2） 因考虑牢固耐用，滨滨打算选用甲、乙两种材料分别制作标识牌中的矩形与等腰三角形（两种图形无缝隙拼接）．已知甲材料的单价为每平方米200元，乙材料的单价为每平方米100元．
根据上述材料，解答下列问题．
（1）滨滨说：“如果CB的长与C，D两点之间的距离相等，那么点B到地面的距离就是线段DE的长．”他的说法对吗？请判断并说明理由．
（2）滨滨发现他设计的方案中，DH＝0.4米．求制作标识牌的总费用．
【答案】任务1：他的说法对，理由见解析；
任务2：制作标识牌的总费用为48.64元．
【分析】（1）过点B作BG⊥DC于点G，可证得△BCG≌△DCE（AAS），据此即可判定；
（2）根据轴对称图形的性质得到BF＝CE＝0.11米，EF＝DH＝0.4米，求得BC＝0.62米，根据勾股定理得到DE＝＝＝0.36（米）求出△ABC的高为1﹣0.36＝0.64（米），得到长方形的面积为0.144（平方米），三角形ABC的面积为0.1984（平方米），于是得到结论．
【解答】解：（1）他的说法对，理由如下：
如图：过点B作BG⊥DC于点G，
∴∠BGC＝90°，
∵四边形EFHD是长方形，
∴∠DEC＝90°，
∴∠BGC＝∠DEC，
在△BCG与△DCE中，
，
∴△BCG≌△DCE（AAS），
∴BG＝DE，
∴最高点B到地面的距离就是线段DE长；
（2）∵该指示牌是轴对称图形，四边形EFHD是长方形，
∴BF＝CE＝0.11米，EF＝DH＝0.4米，
∴BC＝0.62米，
∵DE＝＝＝0.36（米）
∴△ABC的高为1﹣0.36＝0.64（米），
长方形的面积为：DH DE＝0.4×0.36＝0.144（平方米），
三角形ABC的面积为：BC×0.64＝×0.62×0.64＝0.1984（平方米），
当长方形用甲种材料制作，三角形用乙种材料制作时，
根据题意得：200×0.144+0.1984×100＝48.64（元），
答：制作标识牌的总费用为48.64元．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定及性质，不等式的实际应用，理解题意，灵活运用全等三角形的判定及性质，不等式的实际应用是解决本题的关键．
20．（2025春 淮南期中）如图，OM、ON是两条公路，∠O＝30°，沿公路OM方向离点O为160米的点A处有一所学校，当重型运输卡车沿道路ON方向行驶时，在以重型运输卡车所在的点P为圆心，100m长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且点P与点A的距离越近噪声影响越大．假设重型运输卡车沿着道路ON方向行驶的速度为5米/秒．
（1）求对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离；
（2）求卡车沿道路ON方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间．
【答案】（1）卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离为80m；
（2）卡车沿道路ON方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为24s．
【分析】（1）过点A作AH⊥ON于H，可知点A到射线ON的最短距离为线段AH的长度；AH的长度为对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离；
（2）如详解图形所示，当AC＝AD＝100m时，则卡车在CD段对学校A有影响，根据勾股定理可求得CN的长度．
【解答】解：（1）如图1，过点A作AH⊥ON于H，可知点A到射线ON的最短距离为线段AH的长度．
∴AH的长度为对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离．
∵∠O＝30°，OA＝160m，
∴．
答：卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离为80m；
（2）如图2，在ON上取两点C、D，连接AC，AD，
当AC＝AD＝100m时，则卡车在CD段对学校A有影响．
∵AC＝AD，AH⊥CD，
∴CH＝DH．
由（1）知AH＝80m，
在直角三角形ACH中，由勾股定理得：CH＝＝＝60（m）．
∴CD＝2CH＝120m，
∵重型运输卡车沿着道路ON方向行驶的速度为5米/秒，
∴影响时间为：120÷5＝24（秒），
答：卡车沿道路ON方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为24s．
【点评】本题主要考查了勾股定理得实际应用，含30度角的直角三角形的性质，解答本题的关键是添加辅助线，构造直角三角形解决问题．
21．（2025春 连江县期中）如图，某景区内有一个露营区C，湖边AB上原有两个观景台A和B，且AB＝BC，为了方便游客观赏，现计划在湖边新建一个观景台P（A、P、B在同一直线上），并铺设了步道CP，同时测量了AC＝260m，AP＝100m，CP＝240m，请解决以下问题：
（1）试判断步道CP是否是露营区C到湖边AB的最短路径，并说明理由；
（2）求观景台P与观景台B之间距离PB的长．
【答案】（1）步道CP是露营区C到湖边AB的最短路径，理由详见解析；
（2）238m．
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明CP⊥AB，依据垂线段最短即可得出结论；
（2）设观景台P与观景台B之间距离PB的长为x m，利用勾股定理列等式即可求得PB的长．
【解答】解：（1）步道CP是露营区C到湖边AB的最短路径，
理由如下：
∵AP2+CP2＝1002+2402＝67600，
AC2＝2602＝67600，
∴AC2＝AP2+CP2，
∴∠APC＝90°，
即CP⊥AB，
∴步道CP是露营区C到湖边AB的最短路径；
（2）设观景台P与观景台B之间距离PB的长为x m，
∵AB＝BC，
∴BC＝（x+100）m，
由勾股定理得BC2＝PB2+CP2，
即（x+100）2＝x2+2402，
解得x＝238，
∴观景台P与观景台B之间距离PB的长为238m．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，垂线，熟练掌握相关定理是解题的关键．
22．（2025春 灵宝市期中）现有一楼房发生火灾，消防员决定用消防车上的云梯救人，已知消防车高3m，云梯最多只能伸长到10m，救人时云梯伸至最长．如图所示，消防员先在A处架云梯，完成从9m高处救人，然后前进到B处从12m高处救人．（精确到0.1m，参考数据：，，）
（1）求消防车在A处到楼房的距离（AD的长度）；
（2）求消防车两次救援移动的距离（AB的长度）．
【答案】（1）8m；
（2）3.6m．
【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理求得BD，进而可求解．
【解答】解：（1）由题意，A′A＝B′B＝10m，DM＝3m，A′M＝9m，B′M＝12m，∠A′DA＝90°，
∴在Rt△A′DA中，A′D＝9﹣3＝6（m），
则，
答：消防车在A处到楼房的距离为8m；
（2）由题意，在Rt△B′DB中，B′D＝12﹣3＝9（m），B′B＝10m，
∴，
∴，
答：消防车两次救援移动的距离约为3.6m．
【点评】本题考查勾股定理的应用，熟知在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用是解题的关键．
23．（2025春 城步县期中）如图，一架5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙上，这时底端B到墙角C的距离为3米．
（1）此时，这架梯子的顶端A距离地面有多高？
（2）如果梯子的顶端A沿墙向上移动0.8米，则底端B向内移动多少米？
【答案】（1）这架梯子的顶端A距离地面有4m高；
（2）底端B向内移动了1.6m．
【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）先求出CD，再根据勾股定理求出CE的长，然后根据BE＝CB﹣CE即可求解．
【解答】解：（1）一架5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙上，这时底端B到墙角C的距离为3米，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+CB2＝AB2，
即AC2+32＝52，
∴AC＝4m（负值舍去），
答：这架梯子的顶端A距离地面有4m高；
（2）CD＝AC+AD＝4+0.8＝4.8（m），DE＝5m，
在Rt△DCE中，由勾股定理得DC2+CE2＝DE2，
即CE2+4.82＝52，
∴CE＝1.4m（负值已舍去），
∴BE＝CB﹣CE＝3﹣1.4＝1.6（m），
答：底端B向内移动了1.6m．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
24．（2025春 高唐县期中）如图，莲花湖景区内有一块四边形空地ABCD，景区管理人员想在这块空地上铺满观赏草坪，需要测量其面积，经测量∠ABC＝90°，AB＝20m，BC＝15m，CD＝7m，AD＝24m．
（1）请你帮助管理人员计算出这个四边形对角线AC的长度；
（2）请你用学过的知识计算出求这块空地的面积；
（3）观赏草坪每平方米的价格是30元，请你计算购买草坪需要花多少元．
【答案】（1）25米；
（2）234平方米；
（3）7020元．
【分析】（1）利用勾股定理求出AC即可；
（2）利用勾股定理的逆定理证明∠ADC＝90°，计算两个直角三角形面积即可解决问题
（3）根据总价＝单价×面积
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20m，BC＝15m，
由勾股定理得：AC＝＝＝25（米）．
（2）在△ADC中，CD＝7m，AD＝24m，AC＝25m，
∵AD2+DC2＝242+72＝625＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝×20×15+×24×7＝234（米2），
（3）购买草坪需要的总价为：234×30＝7020（元），
答：赏草坪每平方米的价格是30元，请你计算购买草坪需要花7020元．
【点评】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
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