【期末真题汇编】期末核心考点 平行四边形（含解析）-2024-2025学年八年级下册数学人教版
文档属性
| 名称 | 【期末真题汇编】期末核心考点 平行四边形（含解析）-2024-2025学年八年级下册数学人教版 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-12 21:09:52 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
期末核心考点 平行四边形
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 平乡县期中）如图，在3×3的小正方形网格中，以线段MN为对角线作平行四边形，使另两个顶点均在网格的格点（网格线的交点）上，这样的平行四边形最多可画n个，则n的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2025春 武威期中）已知△ABC，现有四条信息：①D为AB中点；②E为AC中点；③DE∥BC；④BC＝2DE，若从中任选两条信息作为条件，再从余下的两条信息中任选一条信息作为结论，一共能组成真命题的个数为（ ）
A．6个 B．8个 C．10个 D．12个
3．（2025 江北区校级二模）如图，正方形ABCD中，E、F、H分别在AD、DC、BC边上，BF⊥EH于G，连接EB、DG，若DF＝DE＝2CF，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025春 离石区期中）如图，在 ABCD中，E，F是对角线AC上的两点（不与点A，C重合），且AE＝CF，连接BE，BF，DE，DF，下列结论错误的是（ ）
A．四边形BEDF是平行四边形
B．若四边形ABCD是菱形，则四边形BEDF是菱形
C．若四边形ABCD是正方形，则四边形BEDF是菱形
D．若四边形ABCD是矩形，则四边形BEDF也是矩形
5．（2025 张店区二模）如图，在矩形ABCD中，摆放着正方形ADFE和正方形EHGB（点G在BC上），延长GH交AD于点R．若S正方形ADFE＝5，S正方形EHGB＝3，则阴影部分矩形RDCG的面积等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024秋 济宁期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC
B．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD
C．AD∥BC，OB＝OD
D．∠ABD＝∠BDC，∠ADB＝∠CBD
7．（2025 碑林区模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点E（AE＜BE），F为BC的中点，连接EF．图中等腰三角形的个数是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
8．（2025春 巴彦县月考）如图在坐标系中，四边形ABCD为菱形，顶点A、B在x轴上，A（﹣2，0），B（3，0）点C在y轴上，点D在第二象限，则顶点D的坐标为（ ）
A．（4，5） B．（5，4） C．（﹣5，4） D．（﹣4，5）
9．（2025春 确山县期中）若正方形的一条对角线长为8cm，则这个正方形的面积是_____cm2.（ ）
A．64 B．32 C．48 D．36
10．（2025春 汶上县期中）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是BC的中点，AB＝4，则OE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共6小题）
11．（2025 柳林县二模）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AC＝6，BD＝8，则AE的长是 ．
12．（2025春 济南月考）如图，平行四边形ABCD中，BE、CF分别平分∠ABC、∠BCD交AD于点E、点F，已知AB＝6，BC＝10，则EF的长为 ．
13．（2025春 巴彦县月考）如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝7，AE平分∠BAD交BC于E，点F、N分别为AE、AD的中点，则FN的长度为 ．
14．（2025春 确山县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为CA、CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若AC＝3，BC＝4，则EF的长为 ．
15．（2025春 临颍县期中）已知：如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，若AB＝5，AC＝7，则ED＝ ．
16．（2025春 东平县期中）菱形的面积为24cm2，一条对角线是6cm，那么菱形的另一条对角线长为 ．
三．解答题（共8小题）
17．（2025春 兴宾区期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E，点F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE，DF，AE，EF，AF与DE的交点为点O．
（1）判断AE与DF有什么数量关系，并说明理由．
（2）当AB＝6，BC＝10，求OD的长．
18．（2025 西安模拟）如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，AF⊥DE，垂足为F，AF＝DC．证明AD＝DE．
19．（2025春 淮滨县期中）如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，AE＝CF．请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明．
20．（2025 秦淮区二模）如图，△ABC与△ADC关于直线AC对称，∠BAD＝∠BCD．求证：四边形ABCD是菱形．
21．（2025 无锡校级一模）如图，四边形ABCD是正方形，△BCE是等边三角形，连接AE、DE．
（1）求证：AE＝DE；
（2）求∠AED的度数．
22．（2025 惠阳区二模）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝BO．
（1）求证： ABCD是矩形；
（2）点E在BC边上，满足CE＝CO．若AB＝6，BC＝8，求BE的长．
23．（2025 建湖县三模）在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，点F为AE的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点G．
（1）求证：△ADF≌△EGF；
（2）求证：BG＝CE．
24．（2025 泰州二模）如图，在 ABCD中，连接对角线AC，分别作△ABC和△ACD的中线AE、CF．
（1）求证：AE＝CF；
（2）从下列条件中任选一个作为已知条件，判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．
①AC＝AB；②AC⊥AB．
我选择的条件： ，（填写序号）．（注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分）
期末核心考点 平行四边形
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 平乡县期中）如图，在3×3的小正方形网格中，以线段MN为对角线作平行四边形，使另两个顶点均在网格的格点（网格线的交点）上，这样的平行四边形最多可画n个，则n的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】由所作的平行四边形以MN为对角线，可知该平行四边形另两个顶点关于MN的中点I对称，不重复且无遗漏的找出所给网格的格点中，关于点I对称的每一组对称点，再画出相应的平行四边形，即可得到问题的答案．
【解答】解：∵所作的平行四边形以MN为对角线，
∴该平行四边形另两个顶点关于MN的中点I对称，
如图1，点A与点B关于点I对称，连接AB，作四边形AMBN，
∵MI＝NI，AI＝BI，
∴四边形AMBN是平行四边形，
如图2，点C与点D关于点I对称，则四边形CMDN是平行四边形；
如图3，点E与点F关于点I对称，则四边形EMFN是平行四边形；
如图4，点G与点L关于点I对称，则四边形BMLN是平行四边形；
如图5，点P与点T关于点I对称，则四边形PMTN是平行四边形，
∴以线段MN为对角线作平行四边形，使另两个顶点均在格点上，这样的平行四边形最多可画5个，
∴n的值是5，
故选：C．
【点评】此题重点考查平行四边形的判定，在所给网格的格点中找出关于MN的中点对称的两个点是解题的关键．
2．（2025春 武威期中）已知△ABC，现有四条信息：①D为AB中点；②E为AC中点；③DE∥BC；④BC＝2DE，若从中任选两条信息作为条件，再从余下的两条信息中任选一条信息作为结论，一共能组成真命题的个数为（ ）
A．6个 B．8个 C．10个 D．12个
【答案】A
【分析】根据三角形相关以及三角形中位线定理判断所有可能的命题组合．
【解答】解：条件①②，结论③：根据中位线定理，成立；
条件①②，结论④：根据中位线定理，成立；
条件①③，结论②：由DE∥BC和D为中点，可推E为AC中点，成立；
条件①③，结论④：由DE∥BC和D为中点，可得E为中点，进而BC＝2DE，成立；
条件①④，结论②：由BC＝2DE和D为中点，不可推E为AC中点，不成立；
条件①④，结论③：由BC＝2DE和D为中点，不可推DE∥BC，不成立；
条件②③，结论①：同理，由DE∥BC和E为中点，可推D为AB中点，成立；
条件②③，结论④：成立；
条件②④，结论①：同理，由BC＝2DE和E为中点，不可推D为AB中点，不成立；
条件②④，结论③：不成立；
条件③④，结论①：需同时满足DE∥BC和BC＝2DE，但仅此无法确定D是否为中点，可能不成立（如DE非中位线但满足比例）；
条件③④，结论②：同理，无法确定E是否为中点，可能不成立；
上述组合中共计6个真命题．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理和命题与定理，解题的关键在于确认哪些组合能通过定理或逆推成立，最终排除不成立的情况，得出正确得情况．
3．（2025 江北区校级二模）如图，正方形ABCD中，E、F、H分别在AD、DC、BC边上，BF⊥EH于G，连接EB、DG，若DF＝DE＝2CF，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点A作AM∥EH交BC于点M，过点G作GN⊥CD于点N，设CF＝a，则DF＝DE＝2CF＝2a，AB＝BC＝CD＝AD＝3a，AE＝a，证明四边形AEHM是平行四边形得AE＝MH＝a，证明△BAM和△CBF全等得BM＝CF＝a，则BH＝2a，由勾股定理求出BF＝，再证明△BGH和△BCF全等得BG＝，GH＝，则GF＝，然后证明△GNF和△BCF相似得GN＝，FN＝，则DN＝，进而由勾股定理求出DG＝，由此即可得出的值．
【解答】解：过点A作AM∥EH交BC于点M，过点G作GN⊥CD于点N，如图所示：
设CF＝a，
∴DF＝DE＝2CF＝2a，
∴CD＝DF+CF＝3a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝3a，∠ABC＝∠C＝90°，AD∥BC，
∴AE＝AD﹣DE＝a，
∵AM∥EH，AD∥BC，BF⊥EH，
∴四边形AEHM是平行四边形，BF⊥AM
∴AE＝MH＝a，∠BAM+∠ABF＝90°，
∵∠ABC＝∠ABF+∠CBF＝90°，
∴∠BAM＝∠CBF，
在△BAM和△CBF中，
，
∴△BAM≌△CBF（ASA），
∴BM＝CF＝a，
∴BH＝BM+MH＝2a，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF＝＝＝，
∵BF⊥EH，
∴∠BGH＝∠C＝90°，
又∵∠GBH＝∠CBF，
∴△BGH∽△BCF，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BG＝，GH＝，
∴GF＝BF﹣BG＝＝，
∵GN⊥BC，
∴∠GNF＝∠C＝90°，
∴GN∥BC，
∴△GNF∽△BCF，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴GN＝，FN＝，
∴DN＝DF+FN＝＝，
在Rt△DNG中，由勾股定理得：DG＝＝＝，
∴＝＝．
故选：A．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．
4．（2025春 离石区期中）如图，在 ABCD中，E，F是对角线AC上的两点（不与点A，C重合），且AE＝CF，连接BE，BF，DE，DF，下列结论错误的是（ ）
A．四边形BEDF是平行四边形
B．若四边形ABCD是菱形，则四边形BEDF是菱形
C．若四边形ABCD是正方形，则四边形BEDF是菱形
D．若四边形ABCD是矩形，则四边形BEDF也是矩形
【答案】D
【分析】连接BD交AC于点O，根据平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD，再根据E、F是对角线AC上的两点（不与点A、C重合），AE＝CF，可得OE＝OF，进一步即可判断A选项；根据菱形的性质可得BD⊥AC，进一步即可判断B选项；根据正方形的性质可得 BD⊥AC，进一步即可判断C选项；根据矩形的性质可得 AC＝BD，再根据E、F是对角线AC上的两点（不与点A、C重合），可得EF≠BD，进一步可判断D选项．
【解答】解：连接BD交AC于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵E、F是对角线AC上的两点（不与点A、C重合），AE＝CF，
∴OE＝OF，
∵OB＝OD，
∴四边形BFDE是平行四边形，故A不符合题意；
当四边形ABCD是菱形时，BD⊥AC，
∴EF⊥BD，
又∵四边形BFDE是平行四边形，
∴四边形BFDE是菱形，故B不符合题意；
当四边形ABCD是正方形时，BD⊥AC，
∴EF⊥BD，
又∵四边形BFDE是平行四边形，
∴四边形BFDE是菱形，故C不符合题意；
当四边形ABCD是矩形时，AC＝BD，
∵E、F是对角线AC上的两点（不与点A、C重合），
∴EF≠BD，
∴四边形BFDE不是矩形，故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．
5．（2025 张店区二模）如图，在矩形ABCD中，摆放着正方形ADFE和正方形EHGB（点G在BC上），延长GH交AD于点R．若S正方形ADFE＝5，S正方形EHGB＝3，则阴影部分矩形RDCG的面积等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】设正方形ADFE边长为a，正方形EHGB边长为b，则a2＝5，b2＝3，根据正方形和矩形的性质得CD＝a+b，RD＝a﹣b，则阴影部分矩形RDCG的面积为：CD RD＝（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2＝2，由此即可得出答案．
【解答】解：设正方形ADFE的边长为a，正方形EHGB边长为b，
∵S正方形ADFE＝5，S正方形EHGB＝3，
∴a2＝5，b2＝3，
根据正方形和矩形的性质得：CD＝a+b，RD＝a﹣b，
∴阴影部分矩形RDCG的面积为：CD RD＝（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2＝2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了正方形和矩形的性质，熟练掌握正方形和矩形的性质是解决问题的关键．
6．（2024秋 济宁期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC
B．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD
C．AD∥BC，OB＝OD
D．∠ABD＝∠BDC，∠ADB＝∠CBD
【答案】B
【分析】由∠ABD＝∠BDC，∠AOB＝∠COD，OA＝OC，证明△AOB≌△COD，得OB＝OD，则四边形ABCD是平行四边形，可判断A不符合题意；由∠ABC＝∠ADC，AB＝CD，不能证明△ABC≌△CDA，所以不能确定BC与AD是否相等，则不能判断四边形ABCD是平行四边形，可判断B符合题意；AD∥BC，得∠OCB＝∠OAD，而∠COB＝∠AOD，OB＝OD，可根据“AAS”证明△COB≌△AOD，得OC＝OA，则四边形ABCD是平行四边形，可判断C不符合题意；由∠ABD＝∠BDC，得AB∥CD，由∠ADB＝∠CBD，得AD∥CB，则四边形ABCD是平行四边形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵∠ABD＝∠BDC，
∴∠ABO＝∠CDO，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故A不符合题意；
∵由∠ABC＝∠ADC，AB＝CD，不能证明△ABC≌△CDA，
∴不能确定BC与AD是否相等，
∴不能判断四边形ABCD是平行四边形，
故B符合题意；
∵AD∥BC，
∴∠OCB＝∠OAD，
在△COB和△AOD中，
，
∴△COB≌△AOD（AAS），
∴OC＝OA，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故C不符合题意；
∵∠ABD＝∠BDC，
∴AB∥CD，
∵∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥CB，
四边形ABCD是平行四边形，
故D不符合题意，
故选：B．
【点评】此题重点考查平行四边形的定义和判定定理，根据所给的条件，适当选择平行四边形的定义或判定定理证明四边形ABCD是平行四边形是解题的关键．
7．（2025 碑林区模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点E（AE＜BE），F为BC的中点，连接EF．图中等腰三角形的个数是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】由菱形的性质推出AB＝AD＝CD＝BC，AC⊥BD，由直角三角形斜边中线的性质推出EF＝BF＝FC，即可得到图中等腰三角形的个数．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD＝BC，AC⊥BD，
∴∠BEC＝90°，
∵F为BC的中点，
∴EF＝BC，
∴EF＝BF＝FC，
∴△ABD、△DAC、△CBD、△BAC、△FBE、△FEC是等腰三角形，
∴图中等腰三角形的个数是6个．
故选：C．
【点评】本题考查菱形的性质，等腰三角形的判定，直角三角形斜边的中线，关键是掌握菱形的四条边相等，对角线互相垂直；直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．
8．（2025春 巴彦县月考）如图在坐标系中，四边形ABCD为菱形，顶点A、B在x轴上，A（﹣2，0），B（3，0）点C在y轴上，点D在第二象限，则顶点D的坐标为（ ）
A．（4，5） B．（5，4） C．（﹣5，4） D．（﹣4，5）
【答案】C
【分析】由A、B的坐标求出OA＝2，OB＝3，得到AB＝OA+OB＝5，由菱形的性质推出DC＝BC＝AB＝5，DC∥AB，由勾股定理求出OC＝4，即可得到D的坐标．
【解答】解：∵A（﹣2，0），B（3，0），
∴OA＝2，OB＝3，
∴AB＝OA+OB＝5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC＝BC＝AB＝5，DC∥AB，
∵∠BOC＝90°，
∴OC＝＝4，
∵DC∥AB，AB⊥y轴，
∴DC⊥y轴，
∴D的坐标是（﹣5，4）．
故选：C．
【点评】本题考查菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，关键是由菱形的性质推出DC＝BC＝AB＝5，DC∥AB．
9．（2025春 确山县期中）若正方形的一条对角线长为8cm，则这个正方形的面积是_____cm2.（ ）
A．64 B．32 C．48 D．36
【答案】B
【分析】正方形对角线是边长的倍，求出正方形的边长即可求出面积．
【解答】解：∵正方形对角线＝8cm，正方形对角线是边长的倍，
∴正方形边长＝4（cm），
∴正方形面积＝＝32（cm2）．
故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质，解题的关键是关键是相关知识．
10．（2025春 汶上县期中）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是BC的中点，AB＝4，则OE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA＝OC；再根据点E是BC的中点，得出OE是△ABC的中位线，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC；
又∵点E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴根据三角形的中位线定理可得：AB＝2OE＝4．
则OE＝2，
故选：B．
【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角形中位线的性质：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半．
二．填空题（共6小题）
11．（2025 柳林县二模）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AC＝6，BD＝8，则AE的长是 ．
【答案】．
【分析】由菱形的性质推出AC⊥BD，OC＝AC＝3，OB＝BD＝4，由勾股定理求出BC＝5，由菱形ABCD的面积＝BC AE＝AC BD，即可求出AE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OC＝AC，OB＝BD，
∵AC＝6，BD＝8，
∴OC＝3，OB＝4，
∴BC＝＝5，
∵AE⊥BC，
∴菱形ABCD的面积＝BC AE＝AC BD，
∴5×AE＝×6×8，
∴AE＝．
故答案为：．
【点评】本题考查菱形的性质，关键是由菱形的面积公式得到BC AE＝AC BD．
12．（2025春 济南月考）如图，平行四边形ABCD中，BE、CF分别平分∠ABC、∠BCD交AD于点E、点F，已知AB＝6，BC＝10，则EF的长为 2 ．
【答案】2．
【分析】结合平行四边形的性质，先证∠ABE＝∠AEB，则AB＝AE＝6，同理可证FD＝CD＝6，进而得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝6，AD∥BC，AD＝BC＝10，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝6，
同理可证：DF＝CD＝6，
∴EF＝AE+FD﹣AD＝6+6﹣10＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明AE＝AB是解题的关键．
13．（2025春 巴彦县月考）如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝7，AE平分∠BAD交BC于E，点F、N分别为AE、AD的中点，则FN的长度为 2.5 ．
【答案】2.5．
【分析】连接DE，由矩形的性质推出DC＝AB＝4，BC＝AD＝7，AD∥BC，∠C＝90°，由平行线的性质和角平分线定义推出∠AEB＝∠BAE，得到BE＝AB＝4，求出CE＝3，由勾股定理求出DE＝5，判定FN是△ADE的中位线，推出FN＝DE＝2.5．
【解答】解：连接DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝4，BC＝AD＝7，AD∥BC，∠C＝90°，
∴∠AEB＝∠DAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴BE＝AB＝4，
∴CE＝BC﹣BE＝7﹣4＝3，
∴DE＝＝5，
∵点F、N分别为AE、AD的中点，
∴FN是△ADE的中位线，
∴FN＝DE＝2.5．
故答案为：2.5．
【点评】本题考查矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，角平分线定义，关键是由三角形中位线定理推出FN＝DE．
14．（2025春 确山县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为CA、CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若AC＝3，BC＝4，则EF的长为 1 ．
【答案】1．
【分析】根据勾股定理得到AB＝5，根据三角形中位线定理得到DE∥AB，DE＝，根据平行线的性质和角平分线的定义得到得到∠DAF＝∠DFA，根据等腰三角形的判定得到结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵D、E分别为CA、CB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DE＝AB＝，
∴∠DFA＝∠FAB，
∵AF平分∠BAC，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴DF＝AD＝AC＝×3＝．
∴EF＝DE﹣DF＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
15．（2025春 临颍县期中）已知：如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，若AB＝5，AC＝7，则ED＝ 1 ．
【答案】1．
【分析】延长BE交AC于F，由已知条件可得△BAF是等腰三角形，由等腰三角形的性质可得BE＝EF，又因为BD＝CD是，所以DE是△BCF的中位线，由三角形中位线定理即可求出DE的长．
【解答】解：延长BE交AC于F，
∵AE平分∠BAC，BE⊥AE，
∴∠BAE＝∠CAE，∠AEB＝∠AEF＝90°，
在△ABE与△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（ASA），
∴BE＝EF，AB＝AF，
∵AB＝5，
∴AF＝5，
∵AC＝7，
∴CF＝AC﹣AF＝7﹣5＝2，
∵D为BC中点
∴BD＝CD，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE＝CF＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了三角形中位线定理以及等腰三角形的判定，解题的关键是正确作出辅助线，得到△BAF是等腰三角形．
16．（2025春 东平县期中）菱形的面积为24cm2，一条对角线是6cm，那么菱形的另一条对角线长为 8cm ．
【答案】8cm．
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，设另一条对角线为x，即可得出一个一元一次方程，解出即可得出结论．
【解答】解：设另一条对角线为x cm，
∵菱形的面积为24cm2，一条对角线是6cm，
∴，
解得：x＝8，
∴菱形的另一条对角线长为8cm．
故答案为：8cm．
【点评】本题考查了菱形的性质、解一元一次方程，解本题的关键在熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半．
三．解答题（共8小题）
17．（2025春 兴宾区期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E，点F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE，DF，AE，EF，AF与DE的交点为点O．
（1）判断AE与DF有什么数量关系，并说明理由．
（2）当AB＝6，BC＝10，求OD的长．
【答案】（1）AE＝DF，理由见解析；
（2）．
【分析】（1）根据三角形中位线定理得到EF∥AB，AB＝2EF，则可证明EF∥AD，AD＝EF，进一步可证明四边形AEFD是平行四边形，得到AE＝DF．
（2）由勾股定理求出AC＝8，利用平行四边形对角线互相平分和线段中点的定义求出OA的长，再利用勾股定理即可求出OD的长．
【解答】解：（1）AE＝DF，理由如下：
∵E，F分别是BC，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，AB＝2EF，
∵AB＝2AD，
∴EF∥AD，AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形．
∴AE＝DF；
（2）∵∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，
∴，．
由（1）知四边形AEFD是平行四边形，F是AC的中点，
∴OA＝OF，AF＝CF．
∴，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAO＝90°，
∴．
【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，熟知以上知识是解题的关键．
18．（2025 西安模拟）如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，AF⊥DE，垂足为F，AF＝DC．证明AD＝DE．
【答案】见试题解答内容
【分析】由矩形的性质推出∠C＝90°，AD∥BC，由平行线的性质推出∠ADF＝∠CED，由垂直的定义得到∠AFD＝∠C＝90°，又AF＝DC，由AAS证明△ADF≌△DEC，推出AD＝DE．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AD∥BC，
∴∠ADF＝∠CED，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝∠C＝90°，
在△ADF和△DEC中，
，
∴△ADF≌△DEC（AAS），
∴AD＝DE．
【点评】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由矩形的性质推出△ADF≌△DEC（AAS）．
19．（2025春 淮滨县期中）如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，AE＝CF．请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明．
【答案】BE∥DF，BE＝DF，证明见解答．
【分析】由平行四边形的性质得CB＝AD，CB∥AD，则∠BCE＝∠DAF，由AE＝CF，推导出AF＝CE，即可根据“SAS”证明△BCE≌△DAF，则BE＝DF，∠CEB＝∠AFD，所以BE∥DF．
【解答】解：BE∥DF，BE＝DF，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CB＝AD，CB∥AD，
∴∠BCE＝∠DAF，
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
∴AF＝CE，
在△BCE和△DAF中，
，
∴△BCE≌△DAF（SAS），
∴BE＝DF，∠CEB＝∠AFD，
∴BE∥DF．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△BCE≌△DAF是解题的关键．
20．（2025 秦淮区二模）如图，△ABC与△ADC关于直线AC对称，∠BAD＝∠BCD．求证：四边形ABCD是菱形．
【答案】证明见解答过程．
【分析】根据轴对称的性质求出AB＝AD，CB＝CD，∠BAC＝∠DAC＝∠BAD，∠BCA＝∠DCA＝∠BCD，进而求出∠BAC＝∠BCA，结合等腰三角形的判定求出AB＝AD＝CB＝CD，再根据“四边相等的四边形是菱形”即可得证．
【解答】证明：∵△ABC与△ADC关于直线AC对称，
∴AB＝AD，CB＝CD，∠BAC＝∠DAC＝∠BAD，∠BCA＝∠DCA＝∠BCD，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝CB，
∴AB＝AD＝CB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
【点评】此题考查了菱形的判定、轴对称的性质，熟记菱形的判定定理、轴对称的性质是解题的关键．
21．（2025 无锡校级一模）如图，四边形ABCD是正方形，△BCE是等边三角形，连接AE、DE．
（1）求证：AE＝DE；
（2）求∠AED的度数．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由正方形的性质得AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，由等边三角形的性质得BE＝CE，∠EBC＝∠ECB＝60°，则∠ABE＝∠DCE，即可证明△ABE≌△DCE，得AE＝DE；
（2）由（1）得△ABE、△CDE、△ADE是等腰三角形，设∠DAE＝x°，依题意得180﹣2x＝360﹣60﹣2（90﹣x），求出x，再用180﹣2x即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，
∵△BCE是等边三角形，
∴BE＝CE，∠EBC＝∠ECB＝60°，
∴∠ABC﹣∠EBC＝∠ECB﹣∠ECB，
∴∠ABE＝∠DCE，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴AE＝DE；
（2）由（1）得△ABE、△CDE、△ADE是等腰三角形，设∠DAE＝x°，依题意得
180﹣2x＝360﹣60﹣2（90﹣x），
x＝15，
180﹣2×15＝150，
∴∠AED为150度．
【点评】此题重点考查正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ABE≌△DCE是解题的关键．
22．（2025 惠阳区二模）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝BO．
（1）求证： ABCD是矩形；
（2）点E在BC边上，满足CE＝CO．若AB＝6，BC＝8，求BE的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）3．
【分析】（1）根据平行四边形性质得AC＝2AO，BD＝2BO，再根据AO＝BO得AC＝BD，然后根据对角线相等平行四边形是矩形即可得出结论；
（2）先由勾股定理求出AC＝10，进而根据矩形行得CO＝AO＝5，则CE＝CO＝5，由此即可得出BE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∴AC＝2AO，BD＝2BO，
∵AO＝BO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，且AB＝6，BC＝8，
∴∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝10，
∴CO＝AO＝AC＝5，
∵CE＝CO，
∴CE＝5，
∴BE＝BC﹣CE＝8﹣5＝3．
【点评】此题主要考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理是解决问题的关键．
23．（2025 建湖县三模）在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，点F为AE的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点G．
（1）求证：△ADF≌△EGF；
（2）求证：BG＝CE．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【分析】（1）先由平行四边形性质得到AD∥BC，再由平行线性质和中点定义确定相关角度与边长，再由全等三角形的判定定理即可得证；
（2）由全等三角形的性质和平行四边形的性质得到GE＝CB，数形结合表示出BG、CE即可得证．
【解答】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，点F为AE的中点，
∴∠DAF＝∠GEF，AF＝EF，
在△ADF和△EGF中，
∴△ADF≌△EGF（ASA）；
（2）解：由（1）知△ADF≌△EGF，
∴GE＝DA，
∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝BC，
∴GE＝CB，
∵GE＝GB+BE，CB＝BE+CE，
∴BG＝CE．
【点评】本题考查的是平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解决问题的关键．
24．（2025 泰州二模）如图，在 ABCD中，连接对角线AC，分别作△ABC和△ACD的中线AE、CF．
（1）求证：AE＝CF；
（2）从下列条件中任选一个作为已知条件，判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．
①AC＝AB；②AC⊥AB．
我选择的条件： ① ，（填写序号）．（注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分）
【答案】（1）见解析；
（2）①，见解析．
【分析】（1）利用平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，由中线的定义得到，，得出AF＝CE，再利用平行四边形的性质与判定即可证明；
（2）根据矩形、菱形的判定即可解答．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵△ABC和△ACD的中线分别为AE、CF．
∴，，
∴AF＝CE，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF；
（2）解：若选择条件①，则四边形AECF是矩形．理由如下：
∵AC＝AB，AE是△ABC的中线，
∴AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
由（1）得，四边形AECF是平行四边形，
∴平行四边形AECF是矩形；
若选择条件②，则四边形AECF是菱形．理由如下：
∵AC⊥AB，AE是△ABC的中线，
∴，
由（1）得，四边形AECF是平行四边形，
∴平行四边形AECF是菱形．
故答案为：①．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定、三角形中位线定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
期末核心考点 平行四边形
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 平乡县期中）如图，在3×3的小正方形网格中，以线段MN为对角线作平行四边形，使另两个顶点均在网格的格点（网格线的交点）上，这样的平行四边形最多可画n个，则n的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2025春 武威期中）已知△ABC，现有四条信息：①D为AB中点；②E为AC中点；③DE∥BC；④BC＝2DE，若从中任选两条信息作为条件，再从余下的两条信息中任选一条信息作为结论，一共能组成真命题的个数为（ ）
A．6个 B．8个 C．10个 D．12个
3．（2025 江北区校级二模）如图，正方形ABCD中，E、F、H分别在AD、DC、BC边上，BF⊥EH于G，连接EB、DG，若DF＝DE＝2CF，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025春 离石区期中）如图，在 ABCD中，E，F是对角线AC上的两点（不与点A，C重合），且AE＝CF，连接BE，BF，DE，DF，下列结论错误的是（ ）
A．四边形BEDF是平行四边形
B．若四边形ABCD是菱形，则四边形BEDF是菱形
C．若四边形ABCD是正方形，则四边形BEDF是菱形
D．若四边形ABCD是矩形，则四边形BEDF也是矩形
5．（2025 张店区二模）如图，在矩形ABCD中，摆放着正方形ADFE和正方形EHGB（点G在BC上），延长GH交AD于点R．若S正方形ADFE＝5，S正方形EHGB＝3，则阴影部分矩形RDCG的面积等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024秋 济宁期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC
B．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD
C．AD∥BC，OB＝OD
D．∠ABD＝∠BDC，∠ADB＝∠CBD
7．（2025 碑林区模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点E（AE＜BE），F为BC的中点，连接EF．图中等腰三角形的个数是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
8．（2025春 巴彦县月考）如图在坐标系中，四边形ABCD为菱形，顶点A、B在x轴上，A（﹣2，0），B（3，0）点C在y轴上，点D在第二象限，则顶点D的坐标为（ ）
A．（4，5） B．（5，4） C．（﹣5，4） D．（﹣4，5）
9．（2025春 确山县期中）若正方形的一条对角线长为8cm，则这个正方形的面积是_____cm2.（ ）
A．64 B．32 C．48 D．36
10．（2025春 汶上县期中）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是BC的中点，AB＝4，则OE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共6小题）
11．（2025 柳林县二模）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AC＝6，BD＝8，则AE的长是 ．
12．（2025春 济南月考）如图，平行四边形ABCD中，BE、CF分别平分∠ABC、∠BCD交AD于点E、点F，已知AB＝6，BC＝10，则EF的长为 ．
13．（2025春 巴彦县月考）如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝7，AE平分∠BAD交BC于E，点F、N分别为AE、AD的中点，则FN的长度为 ．
14．（2025春 确山县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为CA、CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若AC＝3，BC＝4，则EF的长为 ．
15．（2025春 临颍县期中）已知：如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，若AB＝5，AC＝7，则ED＝ ．
16．（2025春 东平县期中）菱形的面积为24cm2，一条对角线是6cm，那么菱形的另一条对角线长为 ．
三．解答题（共8小题）
17．（2025春 兴宾区期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E，点F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE，DF，AE，EF，AF与DE的交点为点O．
（1）判断AE与DF有什么数量关系，并说明理由．
（2）当AB＝6，BC＝10，求OD的长．
18．（2025 西安模拟）如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，AF⊥DE，垂足为F，AF＝DC．证明AD＝DE．
19．（2025春 淮滨县期中）如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，AE＝CF．请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明．
20．（2025 秦淮区二模）如图，△ABC与△ADC关于直线AC对称，∠BAD＝∠BCD．求证：四边形ABCD是菱形．
21．（2025 无锡校级一模）如图，四边形ABCD是正方形，△BCE是等边三角形，连接AE、DE．
（1）求证：AE＝DE；
（2）求∠AED的度数．
22．（2025 惠阳区二模）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝BO．
（1）求证： ABCD是矩形；
（2）点E在BC边上，满足CE＝CO．若AB＝6，BC＝8，求BE的长．
23．（2025 建湖县三模）在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，点F为AE的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点G．
（1）求证：△ADF≌△EGF；
（2）求证：BG＝CE．
24．（2025 泰州二模）如图，在 ABCD中，连接对角线AC，分别作△ABC和△ACD的中线AE、CF．
（1）求证：AE＝CF；
（2）从下列条件中任选一个作为已知条件，判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．
①AC＝AB；②AC⊥AB．
我选择的条件： ，（填写序号）．（注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分）
期末核心考点 平行四边形
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 平乡县期中）如图，在3×3的小正方形网格中，以线段MN为对角线作平行四边形，使另两个顶点均在网格的格点（网格线的交点）上，这样的平行四边形最多可画n个，则n的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】由所作的平行四边形以MN为对角线，可知该平行四边形另两个顶点关于MN的中点I对称，不重复且无遗漏的找出所给网格的格点中，关于点I对称的每一组对称点，再画出相应的平行四边形，即可得到问题的答案．
【解答】解：∵所作的平行四边形以MN为对角线，
∴该平行四边形另两个顶点关于MN的中点I对称，
如图1，点A与点B关于点I对称，连接AB，作四边形AMBN，
∵MI＝NI，AI＝BI，
∴四边形AMBN是平行四边形，
如图2，点C与点D关于点I对称，则四边形CMDN是平行四边形；
如图3，点E与点F关于点I对称，则四边形EMFN是平行四边形；
如图4，点G与点L关于点I对称，则四边形BMLN是平行四边形；
如图5，点P与点T关于点I对称，则四边形PMTN是平行四边形，
∴以线段MN为对角线作平行四边形，使另两个顶点均在格点上，这样的平行四边形最多可画5个，
∴n的值是5，
故选：C．
【点评】此题重点考查平行四边形的判定，在所给网格的格点中找出关于MN的中点对称的两个点是解题的关键．
2．（2025春 武威期中）已知△ABC，现有四条信息：①D为AB中点；②E为AC中点；③DE∥BC；④BC＝2DE，若从中任选两条信息作为条件，再从余下的两条信息中任选一条信息作为结论，一共能组成真命题的个数为（ ）
A．6个 B．8个 C．10个 D．12个
【答案】A
【分析】根据三角形相关以及三角形中位线定理判断所有可能的命题组合．
【解答】解：条件①②，结论③：根据中位线定理，成立；
条件①②，结论④：根据中位线定理，成立；
条件①③，结论②：由DE∥BC和D为中点，可推E为AC中点，成立；
条件①③，结论④：由DE∥BC和D为中点，可得E为中点，进而BC＝2DE，成立；
条件①④，结论②：由BC＝2DE和D为中点，不可推E为AC中点，不成立；
条件①④，结论③：由BC＝2DE和D为中点，不可推DE∥BC，不成立；
条件②③，结论①：同理，由DE∥BC和E为中点，可推D为AB中点，成立；
条件②③，结论④：成立；
条件②④，结论①：同理，由BC＝2DE和E为中点，不可推D为AB中点，不成立；
条件②④，结论③：不成立；
条件③④，结论①：需同时满足DE∥BC和BC＝2DE，但仅此无法确定D是否为中点，可能不成立（如DE非中位线但满足比例）；
条件③④，结论②：同理，无法确定E是否为中点，可能不成立；
上述组合中共计6个真命题．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理和命题与定理，解题的关键在于确认哪些组合能通过定理或逆推成立，最终排除不成立的情况，得出正确得情况．
3．（2025 江北区校级二模）如图，正方形ABCD中，E、F、H分别在AD、DC、BC边上，BF⊥EH于G，连接EB、DG，若DF＝DE＝2CF，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点A作AM∥EH交BC于点M，过点G作GN⊥CD于点N，设CF＝a，则DF＝DE＝2CF＝2a，AB＝BC＝CD＝AD＝3a，AE＝a，证明四边形AEHM是平行四边形得AE＝MH＝a，证明△BAM和△CBF全等得BM＝CF＝a，则BH＝2a，由勾股定理求出BF＝，再证明△BGH和△BCF全等得BG＝，GH＝，则GF＝，然后证明△GNF和△BCF相似得GN＝，FN＝，则DN＝，进而由勾股定理求出DG＝，由此即可得出的值．
【解答】解：过点A作AM∥EH交BC于点M，过点G作GN⊥CD于点N，如图所示：
设CF＝a，
∴DF＝DE＝2CF＝2a，
∴CD＝DF+CF＝3a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝3a，∠ABC＝∠C＝90°，AD∥BC，
∴AE＝AD﹣DE＝a，
∵AM∥EH，AD∥BC，BF⊥EH，
∴四边形AEHM是平行四边形，BF⊥AM
∴AE＝MH＝a，∠BAM+∠ABF＝90°，
∵∠ABC＝∠ABF+∠CBF＝90°，
∴∠BAM＝∠CBF，
在△BAM和△CBF中，
，
∴△BAM≌△CBF（ASA），
∴BM＝CF＝a，
∴BH＝BM+MH＝2a，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF＝＝＝，
∵BF⊥EH，
∴∠BGH＝∠C＝90°，
又∵∠GBH＝∠CBF，
∴△BGH∽△BCF，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BG＝，GH＝，
∴GF＝BF﹣BG＝＝，
∵GN⊥BC，
∴∠GNF＝∠C＝90°，
∴GN∥BC，
∴△GNF∽△BCF，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴GN＝，FN＝，
∴DN＝DF+FN＝＝，
在Rt△DNG中，由勾股定理得：DG＝＝＝，
∴＝＝．
故选：A．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．
4．（2025春 离石区期中）如图，在 ABCD中，E，F是对角线AC上的两点（不与点A，C重合），且AE＝CF，连接BE，BF，DE，DF，下列结论错误的是（ ）
A．四边形BEDF是平行四边形
B．若四边形ABCD是菱形，则四边形BEDF是菱形
C．若四边形ABCD是正方形，则四边形BEDF是菱形
D．若四边形ABCD是矩形，则四边形BEDF也是矩形
【答案】D
【分析】连接BD交AC于点O，根据平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD，再根据E、F是对角线AC上的两点（不与点A、C重合），AE＝CF，可得OE＝OF，进一步即可判断A选项；根据菱形的性质可得BD⊥AC，进一步即可判断B选项；根据正方形的性质可得 BD⊥AC，进一步即可判断C选项；根据矩形的性质可得 AC＝BD，再根据E、F是对角线AC上的两点（不与点A、C重合），可得EF≠BD，进一步可判断D选项．
【解答】解：连接BD交AC于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵E、F是对角线AC上的两点（不与点A、C重合），AE＝CF，
∴OE＝OF，
∵OB＝OD，
∴四边形BFDE是平行四边形，故A不符合题意；
当四边形ABCD是菱形时，BD⊥AC，
∴EF⊥BD，
又∵四边形BFDE是平行四边形，
∴四边形BFDE是菱形，故B不符合题意；
当四边形ABCD是正方形时，BD⊥AC，
∴EF⊥BD，
又∵四边形BFDE是平行四边形，
∴四边形BFDE是菱形，故C不符合题意；
当四边形ABCD是矩形时，AC＝BD，
∵E、F是对角线AC上的两点（不与点A、C重合），
∴EF≠BD，
∴四边形BFDE不是矩形，故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．
5．（2025 张店区二模）如图，在矩形ABCD中，摆放着正方形ADFE和正方形EHGB（点G在BC上），延长GH交AD于点R．若S正方形ADFE＝5，S正方形EHGB＝3，则阴影部分矩形RDCG的面积等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】设正方形ADFE边长为a，正方形EHGB边长为b，则a2＝5，b2＝3，根据正方形和矩形的性质得CD＝a+b，RD＝a﹣b，则阴影部分矩形RDCG的面积为：CD RD＝（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2＝2，由此即可得出答案．
【解答】解：设正方形ADFE的边长为a，正方形EHGB边长为b，
∵S正方形ADFE＝5，S正方形EHGB＝3，
∴a2＝5，b2＝3，
根据正方形和矩形的性质得：CD＝a+b，RD＝a﹣b，
∴阴影部分矩形RDCG的面积为：CD RD＝（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2＝2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了正方形和矩形的性质，熟练掌握正方形和矩形的性质是解决问题的关键．
6．（2024秋 济宁期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC
B．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD
C．AD∥BC，OB＝OD
D．∠ABD＝∠BDC，∠ADB＝∠CBD
【答案】B
【分析】由∠ABD＝∠BDC，∠AOB＝∠COD，OA＝OC，证明△AOB≌△COD，得OB＝OD，则四边形ABCD是平行四边形，可判断A不符合题意；由∠ABC＝∠ADC，AB＝CD，不能证明△ABC≌△CDA，所以不能确定BC与AD是否相等，则不能判断四边形ABCD是平行四边形，可判断B符合题意；AD∥BC，得∠OCB＝∠OAD，而∠COB＝∠AOD，OB＝OD，可根据“AAS”证明△COB≌△AOD，得OC＝OA，则四边形ABCD是平行四边形，可判断C不符合题意；由∠ABD＝∠BDC，得AB∥CD，由∠ADB＝∠CBD，得AD∥CB，则四边形ABCD是平行四边形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵∠ABD＝∠BDC，
∴∠ABO＝∠CDO，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故A不符合题意；
∵由∠ABC＝∠ADC，AB＝CD，不能证明△ABC≌△CDA，
∴不能确定BC与AD是否相等，
∴不能判断四边形ABCD是平行四边形，
故B符合题意；
∵AD∥BC，
∴∠OCB＝∠OAD，
在△COB和△AOD中，
，
∴△COB≌△AOD（AAS），
∴OC＝OA，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故C不符合题意；
∵∠ABD＝∠BDC，
∴AB∥CD，
∵∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥CB，
四边形ABCD是平行四边形，
故D不符合题意，
故选：B．
【点评】此题重点考查平行四边形的定义和判定定理，根据所给的条件，适当选择平行四边形的定义或判定定理证明四边形ABCD是平行四边形是解题的关键．
7．（2025 碑林区模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点E（AE＜BE），F为BC的中点，连接EF．图中等腰三角形的个数是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】由菱形的性质推出AB＝AD＝CD＝BC，AC⊥BD，由直角三角形斜边中线的性质推出EF＝BF＝FC，即可得到图中等腰三角形的个数．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD＝BC，AC⊥BD，
∴∠BEC＝90°，
∵F为BC的中点，
∴EF＝BC，
∴EF＝BF＝FC，
∴△ABD、△DAC、△CBD、△BAC、△FBE、△FEC是等腰三角形，
∴图中等腰三角形的个数是6个．
故选：C．
【点评】本题考查菱形的性质，等腰三角形的判定，直角三角形斜边的中线，关键是掌握菱形的四条边相等，对角线互相垂直；直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．
8．（2025春 巴彦县月考）如图在坐标系中，四边形ABCD为菱形，顶点A、B在x轴上，A（﹣2，0），B（3，0）点C在y轴上，点D在第二象限，则顶点D的坐标为（ ）
A．（4，5） B．（5，4） C．（﹣5，4） D．（﹣4，5）
【答案】C
【分析】由A、B的坐标求出OA＝2，OB＝3，得到AB＝OA+OB＝5，由菱形的性质推出DC＝BC＝AB＝5，DC∥AB，由勾股定理求出OC＝4，即可得到D的坐标．
【解答】解：∵A（﹣2，0），B（3，0），
∴OA＝2，OB＝3，
∴AB＝OA+OB＝5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC＝BC＝AB＝5，DC∥AB，
∵∠BOC＝90°，
∴OC＝＝4，
∵DC∥AB，AB⊥y轴，
∴DC⊥y轴，
∴D的坐标是（﹣5，4）．
故选：C．
【点评】本题考查菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，关键是由菱形的性质推出DC＝BC＝AB＝5，DC∥AB．
9．（2025春 确山县期中）若正方形的一条对角线长为8cm，则这个正方形的面积是_____cm2.（ ）
A．64 B．32 C．48 D．36
【答案】B
【分析】正方形对角线是边长的倍，求出正方形的边长即可求出面积．
【解答】解：∵正方形对角线＝8cm，正方形对角线是边长的倍，
∴正方形边长＝4（cm），
∴正方形面积＝＝32（cm2）．
故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质，解题的关键是关键是相关知识．
10．（2025春 汶上县期中）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是BC的中点，AB＝4，则OE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA＝OC；再根据点E是BC的中点，得出OE是△ABC的中位线，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC；
又∵点E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴根据三角形的中位线定理可得：AB＝2OE＝4．
则OE＝2，
故选：B．
【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角形中位线的性质：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半．
二．填空题（共6小题）
11．（2025 柳林县二模）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AC＝6，BD＝8，则AE的长是 ．
【答案】．
【分析】由菱形的性质推出AC⊥BD，OC＝AC＝3，OB＝BD＝4，由勾股定理求出BC＝5，由菱形ABCD的面积＝BC AE＝AC BD，即可求出AE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OC＝AC，OB＝BD，
∵AC＝6，BD＝8，
∴OC＝3，OB＝4，
∴BC＝＝5，
∵AE⊥BC，
∴菱形ABCD的面积＝BC AE＝AC BD，
∴5×AE＝×6×8，
∴AE＝．
故答案为：．
【点评】本题考查菱形的性质，关键是由菱形的面积公式得到BC AE＝AC BD．
12．（2025春 济南月考）如图，平行四边形ABCD中，BE、CF分别平分∠ABC、∠BCD交AD于点E、点F，已知AB＝6，BC＝10，则EF的长为 2 ．
【答案】2．
【分析】结合平行四边形的性质，先证∠ABE＝∠AEB，则AB＝AE＝6，同理可证FD＝CD＝6，进而得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝6，AD∥BC，AD＝BC＝10，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝6，
同理可证：DF＝CD＝6，
∴EF＝AE+FD﹣AD＝6+6﹣10＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明AE＝AB是解题的关键．
13．（2025春 巴彦县月考）如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝7，AE平分∠BAD交BC于E，点F、N分别为AE、AD的中点，则FN的长度为 2.5 ．
【答案】2.5．
【分析】连接DE，由矩形的性质推出DC＝AB＝4，BC＝AD＝7，AD∥BC，∠C＝90°，由平行线的性质和角平分线定义推出∠AEB＝∠BAE，得到BE＝AB＝4，求出CE＝3，由勾股定理求出DE＝5，判定FN是△ADE的中位线，推出FN＝DE＝2.5．
【解答】解：连接DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝4，BC＝AD＝7，AD∥BC，∠C＝90°，
∴∠AEB＝∠DAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴BE＝AB＝4，
∴CE＝BC﹣BE＝7﹣4＝3，
∴DE＝＝5，
∵点F、N分别为AE、AD的中点，
∴FN是△ADE的中位线，
∴FN＝DE＝2.5．
故答案为：2.5．
【点评】本题考查矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，角平分线定义，关键是由三角形中位线定理推出FN＝DE．
14．（2025春 确山县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为CA、CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若AC＝3，BC＝4，则EF的长为 1 ．
【答案】1．
【分析】根据勾股定理得到AB＝5，根据三角形中位线定理得到DE∥AB，DE＝，根据平行线的性质和角平分线的定义得到得到∠DAF＝∠DFA，根据等腰三角形的判定得到结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵D、E分别为CA、CB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DE＝AB＝，
∴∠DFA＝∠FAB，
∵AF平分∠BAC，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴DF＝AD＝AC＝×3＝．
∴EF＝DE﹣DF＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
15．（2025春 临颍县期中）已知：如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，若AB＝5，AC＝7，则ED＝ 1 ．
【答案】1．
【分析】延长BE交AC于F，由已知条件可得△BAF是等腰三角形，由等腰三角形的性质可得BE＝EF，又因为BD＝CD是，所以DE是△BCF的中位线，由三角形中位线定理即可求出DE的长．
【解答】解：延长BE交AC于F，
∵AE平分∠BAC，BE⊥AE，
∴∠BAE＝∠CAE，∠AEB＝∠AEF＝90°，
在△ABE与△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（ASA），
∴BE＝EF，AB＝AF，
∵AB＝5，
∴AF＝5，
∵AC＝7，
∴CF＝AC﹣AF＝7﹣5＝2，
∵D为BC中点
∴BD＝CD，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE＝CF＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了三角形中位线定理以及等腰三角形的判定，解题的关键是正确作出辅助线，得到△BAF是等腰三角形．
16．（2025春 东平县期中）菱形的面积为24cm2，一条对角线是6cm，那么菱形的另一条对角线长为 8cm ．
【答案】8cm．
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，设另一条对角线为x，即可得出一个一元一次方程，解出即可得出结论．
【解答】解：设另一条对角线为x cm，
∵菱形的面积为24cm2，一条对角线是6cm，
∴，
解得：x＝8，
∴菱形的另一条对角线长为8cm．
故答案为：8cm．
【点评】本题考查了菱形的性质、解一元一次方程，解本题的关键在熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半．
三．解答题（共8小题）
17．（2025春 兴宾区期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E，点F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE，DF，AE，EF，AF与DE的交点为点O．
（1）判断AE与DF有什么数量关系，并说明理由．
（2）当AB＝6，BC＝10，求OD的长．
【答案】（1）AE＝DF，理由见解析；
（2）．
【分析】（1）根据三角形中位线定理得到EF∥AB，AB＝2EF，则可证明EF∥AD，AD＝EF，进一步可证明四边形AEFD是平行四边形，得到AE＝DF．
（2）由勾股定理求出AC＝8，利用平行四边形对角线互相平分和线段中点的定义求出OA的长，再利用勾股定理即可求出OD的长．
【解答】解：（1）AE＝DF，理由如下：
∵E，F分别是BC，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，AB＝2EF，
∵AB＝2AD，
∴EF∥AD，AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形．
∴AE＝DF；
（2）∵∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，
∴，．
由（1）知四边形AEFD是平行四边形，F是AC的中点，
∴OA＝OF，AF＝CF．
∴，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAO＝90°，
∴．
【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，熟知以上知识是解题的关键．
18．（2025 西安模拟）如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，AF⊥DE，垂足为F，AF＝DC．证明AD＝DE．
【答案】见试题解答内容
【分析】由矩形的性质推出∠C＝90°，AD∥BC，由平行线的性质推出∠ADF＝∠CED，由垂直的定义得到∠AFD＝∠C＝90°，又AF＝DC，由AAS证明△ADF≌△DEC，推出AD＝DE．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AD∥BC，
∴∠ADF＝∠CED，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝∠C＝90°，
在△ADF和△DEC中，
，
∴△ADF≌△DEC（AAS），
∴AD＝DE．
【点评】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由矩形的性质推出△ADF≌△DEC（AAS）．
19．（2025春 淮滨县期中）如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，AE＝CF．请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明．
【答案】BE∥DF，BE＝DF，证明见解答．
【分析】由平行四边形的性质得CB＝AD，CB∥AD，则∠BCE＝∠DAF，由AE＝CF，推导出AF＝CE，即可根据“SAS”证明△BCE≌△DAF，则BE＝DF，∠CEB＝∠AFD，所以BE∥DF．
【解答】解：BE∥DF，BE＝DF，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CB＝AD，CB∥AD，
∴∠BCE＝∠DAF，
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
∴AF＝CE，
在△BCE和△DAF中，
，
∴△BCE≌△DAF（SAS），
∴BE＝DF，∠CEB＝∠AFD，
∴BE∥DF．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△BCE≌△DAF是解题的关键．
20．（2025 秦淮区二模）如图，△ABC与△ADC关于直线AC对称，∠BAD＝∠BCD．求证：四边形ABCD是菱形．
【答案】证明见解答过程．
【分析】根据轴对称的性质求出AB＝AD，CB＝CD，∠BAC＝∠DAC＝∠BAD，∠BCA＝∠DCA＝∠BCD，进而求出∠BAC＝∠BCA，结合等腰三角形的判定求出AB＝AD＝CB＝CD，再根据“四边相等的四边形是菱形”即可得证．
【解答】证明：∵△ABC与△ADC关于直线AC对称，
∴AB＝AD，CB＝CD，∠BAC＝∠DAC＝∠BAD，∠BCA＝∠DCA＝∠BCD，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝CB，
∴AB＝AD＝CB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
【点评】此题考查了菱形的判定、轴对称的性质，熟记菱形的判定定理、轴对称的性质是解题的关键．
21．（2025 无锡校级一模）如图，四边形ABCD是正方形，△BCE是等边三角形，连接AE、DE．
（1）求证：AE＝DE；
（2）求∠AED的度数．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由正方形的性质得AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，由等边三角形的性质得BE＝CE，∠EBC＝∠ECB＝60°，则∠ABE＝∠DCE，即可证明△ABE≌△DCE，得AE＝DE；
（2）由（1）得△ABE、△CDE、△ADE是等腰三角形，设∠DAE＝x°，依题意得180﹣2x＝360﹣60﹣2（90﹣x），求出x，再用180﹣2x即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，
∵△BCE是等边三角形，
∴BE＝CE，∠EBC＝∠ECB＝60°，
∴∠ABC﹣∠EBC＝∠ECB﹣∠ECB，
∴∠ABE＝∠DCE，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴AE＝DE；
（2）由（1）得△ABE、△CDE、△ADE是等腰三角形，设∠DAE＝x°，依题意得
180﹣2x＝360﹣60﹣2（90﹣x），
x＝15，
180﹣2×15＝150，
∴∠AED为150度．
【点评】此题重点考查正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ABE≌△DCE是解题的关键．
22．（2025 惠阳区二模）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝BO．
（1）求证： ABCD是矩形；
（2）点E在BC边上，满足CE＝CO．若AB＝6，BC＝8，求BE的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）3．
【分析】（1）根据平行四边形性质得AC＝2AO，BD＝2BO，再根据AO＝BO得AC＝BD，然后根据对角线相等平行四边形是矩形即可得出结论；
（2）先由勾股定理求出AC＝10，进而根据矩形行得CO＝AO＝5，则CE＝CO＝5，由此即可得出BE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∴AC＝2AO，BD＝2BO，
∵AO＝BO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，且AB＝6，BC＝8，
∴∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝10，
∴CO＝AO＝AC＝5，
∵CE＝CO，
∴CE＝5，
∴BE＝BC﹣CE＝8﹣5＝3．
【点评】此题主要考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理是解决问题的关键．
23．（2025 建湖县三模）在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，点F为AE的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点G．
（1）求证：△ADF≌△EGF；
（2）求证：BG＝CE．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【分析】（1）先由平行四边形性质得到AD∥BC，再由平行线性质和中点定义确定相关角度与边长，再由全等三角形的判定定理即可得证；
（2）由全等三角形的性质和平行四边形的性质得到GE＝CB，数形结合表示出BG、CE即可得证．
【解答】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，点F为AE的中点，
∴∠DAF＝∠GEF，AF＝EF，
在△ADF和△EGF中，
∴△ADF≌△EGF（ASA）；
（2）解：由（1）知△ADF≌△EGF，
∴GE＝DA，
∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝BC，
∴GE＝CB，
∵GE＝GB+BE，CB＝BE+CE，
∴BG＝CE．
【点评】本题考查的是平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解决问题的关键．
24．（2025 泰州二模）如图，在 ABCD中，连接对角线AC，分别作△ABC和△ACD的中线AE、CF．
（1）求证：AE＝CF；
（2）从下列条件中任选一个作为已知条件，判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．
①AC＝AB；②AC⊥AB．
我选择的条件： ① ，（填写序号）．（注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分）
【答案】（1）见解析；
（2）①，见解析．
【分析】（1）利用平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，由中线的定义得到，，得出AF＝CE，再利用平行四边形的性质与判定即可证明；
（2）根据矩形、菱形的判定即可解答．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵△ABC和△ACD的中线分别为AE、CF．
∴，，
∴AF＝CE，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF；
（2）解：若选择条件①，则四边形AECF是矩形．理由如下：
∵AC＝AB，AE是△ABC的中线，
∴AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
由（1）得，四边形AECF是平行四边形，
∴平行四边形AECF是矩形；
若选择条件②，则四边形AECF是菱形．理由如下：
∵AC⊥AB，AE是△ABC的中线，
∴，
由（1）得，四边形AECF是平行四边形，
∴平行四边形AECF是菱形．
故答案为：①．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定、三角形中位线定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)