甘肃省甘南州玛曲县藏族寄宿制高级中学2025届高三模拟考试数学试题(含解析)

文档属性

名称 甘肃省甘南州玛曲县藏族寄宿制高级中学2025届高三模拟考试数学试题(含解析)
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文件大小 227.0KB
资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2025-06-12 10:06:23

文档简介

甘南州玛曲县藏族中学2025届高三模拟考试
高三 数学
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
已知 是 的共轭复数,则
A. B. C. D.
已知全集 ,集合 ,集合 ,则
A. B.
C. D.
数列 是等差数列,若 ,,则
A. B. C. D.
设 , 是非零向量,则“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.即不充分也不必要条件
在 中,,,点 满足 ,点 为 的外心,则 的值为
A. B. C. D.
如图, 是棱长为 的正方体,, 分别是棱 , 上的动点,且 .当 ,,, 四点共面时,平面 与平面 所成二面角的余弦值为
A. B. C. D.
已知 是 上的减函数,那么 的取值范围是
A. B. C. D.
在第二届乌镇互联网大会中,为了提高安保的级别同时又为了接待方便,现将其中的五个参会国的人员安排在酒店住宿,这五个参会国要在a,b,c三家酒店选择一家,且每家酒店至少有一个参会国入住,则这样的安排方法共有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,有选错的得0分.
“微信运动”是腾讯开发的一个记录跑步或行走情况(步数里程)的公众号,用户通过该公众号可查看自己某时间段的运动情况.某人根据 年 月至 年 月期间每月跑步的里程(单位:十公里)的数据绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论正确的是
A.月跑步里程逐月增加
B.月跑步里程最大值出现在 月
C.月跑步里程的中位数为 月份对应的里程数
D. 月至 月的月跑步里程相对于 月至 月波动性更小,变化比较平稳
若将函数 的图象向左平移 个单位长度,得到函数 的图象,则下列说法正确的是
A. 的最小正周期为 B. 在区间 单调递减
C. 不是函数 图象的对称轴 D. 在 的最小值为
已知 是抛物线 的焦点,, 是经过点 的弦且 , 的斜率为 ,且 ,, 两点在 轴上方,则下列结论中成立的是
A.
B.若 ,则
C.
D.四边形 面积的最小值为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
函数 的图象恒过定点 ,若点 在直线 上,则 的最小值为 .
已知 ,,且 ,则 的最小值为 .
如图,矩形 ,,, 分别是 , 的中点,将平面 沿 折起,使得二面角 的大小为 .在折起后形成的空间图形中,有如下 个结论:
① ;②四边形 是正方形;③直线 和 所成角的正切值是 .
其中所有正确结论的序号是 .
解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(13分)在 中,.
(1) 求 ;
(2) 若 , 的面积为 ,求 的周长.
(15分)如图, 且 ,, 且 , 且 ,,.
(1) 若 为 的中点, 为 的中点,求证:;
(2) 求二面角 的正弦值;
(3) 若点 在线段 上,且直线 与平面 所成的角为 ,求线段 的长.
(15分)学习强国 从 年起,开设了一个“四人赛”的答题模块.规则如下:用户进入“四人赛”后,共需答题两局,每局开局时,系统会自动匹配 人与用户一起答题,每局答题结束时,根据答题情况四人分获第一、二、三、四名.首局中的第一名积 分,第二、三名均积 分,第四名积 分;第二局中的第一名积 分,其余名次均积 分.两局的得分之和为用户在“四人赛”中的总得分.
假设用户在首局获得第一、二、三、四名的可能性相同;若首局获第一名,则第二局获第一名的概率为 ,若首局没获第一名,则第二局获第一名的概率为 .
(1) 设用户首局的得分为 ,求 的分布列.
(2) 求用户在“四人赛”中的总得分的期望值.
(17分)已知椭圆 的一个焦点为 ,离心率为 .点 为圆 上任意一点, 为坐标原点.
(1) 求椭圆 的标准方程.
(2) 记线段 与椭圆 交点为 ,求 的取值范围.
(3) 设直线 经过点 且与椭圆 相切, 与圆 相交于另一点 ,点 关于原点 的对称点为 ,试判断直线 与椭圆 的位置关系,并证明你的结论.
(17分)已知函数 .
(1) 证明:;
(2) 数列 满足:,.
()证明:;
()证明:,.参考答案
一、单项选择题(共8题,共40分)
1. 【答案】D
【解析】 ,
所以 ,
所以 ,,
所以 .
故选:D.
2. 【答案】C
【解析】因为集合 ,,,
所以 ,.
3. 【答案】B
【解析】因为数列 是等差数列,,
所以 ,
因为 ,
所以 .
4. 【答案】C
【解析】

即 ,
得 ,
即 ,
则“”是“”的充要条件.
5. 【答案】A
6. 【答案】B
【解析】以点 为原点,,, 所在直线分别为 轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,
因为 ,且 ,,, 四点共面,则 ,,,.
设平面 的法向量为 ,
依题意得
令 ,则 ,,
所以 ,同理得平面 的一个法向量为 ,由题图知,平面 与平面 所成二面角的余弦值为 .
7. 【答案】A
【解析】由题意可知

由①②③得 .
8. 【答案】D
【解析】根据题意,分 步:
①五个参会国要在a,b,c三家酒店选择一家,且每家酒店至少有一个参会国入住,
所以可以把五个参会国分成三组,一种是 ,,,另一种是 ,,.
当按照 ,, 来分时,共有 (种)分组方法;
当按照 ,, 来分时,共有 (种)分组方法,
则一共有 (种)分组方法.
②将分好的三组对应安排在三家酒店,有 (种)安排方法.
则安排方法共有 (种).
二、多项选择题(共3题,共18分)
9. 【答案】B;C;D
【解析】在A中, 月跑步里程比 月的小, 月跑步里程比 月的小, 月跑步里程比 月的小,故A错误;
在B中,月跑步里程 月最大,故B正确;
在C中,月跑步里程高峰期大致在 , 月,从小到大依次为 月、 月、 月、 月、 月、 月、 月、 月、 月、 月、 月,故C正确;
在D中, 月至 月的月跑步平均里程相对于 月至 月,波动性更小,变化比较平稳,故D正确.
故选BCD.
10. 【答案】A;C;D
11. 【答案】A;C
【解析】设 ,, 的方程为 ,
由 可得 ,

所以 ,
同理可得 ,
则有 ,所以A正确;
与 无关,同理 ,
故 ,C正确;
若 ,由 ,
得 ,解得 ,故B错误;
因为 ,所以四边形 的面积
当且仅当 ,即 时,等号成立,故D错误.
三、填空题(共3题,共15分)
12. 【答案】
【解析】 ,当 时,,
所以定点 为 ,
点在直线 ,则 ,
,则 同号,
,则 ,,
(此处用到均值不相等),
所以 的最小值为 .
13. 【答案】
【解析】因为 ,,且 ,
所以
当且仅当 且 ,
即 , 时取等号,
故 的最小值为 .
14. 【答案】①②③
四、解答题(共5题,共77分)
15. 【答案】
(1) 由 ,得 ,
所以 ,即 ,
所以 .
由正弦定理,得 ,又 ,
所以 ,即 ,,
所以 .
(2) 由 , 的面积为 ,得 ,
解得 ,即 .
由余弦定理 ,可得 ,
解得 .
所以 的周长为 .
16. 【答案】
(1) 依题意,可以建立以 为原点,分别以 ,, 的方向为 轴, 轴, 轴的正方向的空间直角坐标系(如图),
可得 ,,,,,,,,.
依题意 ,.设 为平面 的法向量,则 即
不妨令 ,可得 .
又 ,可得 ,
又因为直线 ,
所以 .
(2) 依题意,可得 ,,.
设 为平面 的法向量,则 即
不妨令 ,可得 ,
设 为平面 的法向量,则 即
不妨令 ,可得 .
因此有 ,于是 .
所以,二面角 的正弦值为 .
(3) 设线段 的长为 ,则点 的坐标为 ,可得 .
易知, 为平面 的一个法向量,故 ,
由题意,可得 ,解得 .
所以线段 的长为 .
17. 【答案】
(1) 的所有可能取值为 ,,,
其分布列为
(2) 方法一:设总得分为 ,则 的取值为 ,,,,
则有化简得 的分布列为所以 .
方法二:,
设第二局得分为 ,则 的取值为 ,,
则有化简得 的分布列为,
四人赛总分期望为 .
18. 【答案】
(1) 由题意,知 ,,
所以 ,,
所以椭圆 的标准方程为 .
(2) 由题意,得 .
设 ,则 .
所以 ,
因为 ,
所以当 时,;当 时,.
所以 .
(3) 由题意,点 在圆 上,且线段 为圆 的直径,
所以 .
当直线 轴时,易得直线 的方程为 ,
由题意,得直线 的方程为 ,
显然直线 与椭圆 相切.
同理当直线 轴时,直线 也与椭圆 相切.
当直线 与 轴既不平行也不垂直时,
设点 ,直线 的斜率为 ,则 ,直线 的斜率 ,
所以直线 ,直线 ,
由 消去 ,
得 .
因为直线 与椭圆 相切,
所以 ,
整理,得
同理,由直线 与椭圆 的方程联立,

因为点 为圆 上任意一点,
所以 ,即 .
代入①式,得 ,
代入②式,得
所以此时直线 与椭圆 相切.
综上,直线 与椭圆 相切.
19. 【答案】
(1) 由题意知,,,
当 时,, 在 上单调递减.
当 时,令 ,
因为 .
所以 在 上单调递增,,
所以当 时,, 在 上单调递增,
所以 ,即 .
(2) ()由()知, 在 上单调递增,
因为 ,
所以 ,
又因为 ,所以 ,

()函数 ,则 ,
令 ,则 ,所以 在 上单调递增;
因此 ,
所以 在 上单调递减.
所以 ,因此 ,
所以 ,.
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