四川省乐山市五通桥区2025届九年级下学期中考一模数学试卷（含详解）

2025年四川省乐山市五通桥区九年级毕业复习适应性检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列四个数中，最小的数是（ ）
A． B．0 C．2 D．
2．下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．改编自中国神话故事的动画电影《哪吒2》．影片自上映以来截至3月底，全球票房已突破150亿．将15000000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A． B．3 C．6 D．
5．如图，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．为了解学生上学的交通方式，刘老师在九年级800名学生中随机抽取了60名进行问卷调查，并将调查结果制作成如下统计表，估计该年级学生乘坐公交车上学的人数为（ ）
交通方式 公交车 自行车 步行 私家车 其它
人数（人） 30 5 15 8 2
A．100 B．200 C．300 D．400
7．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法，如图所示，在中，分别取、的中点、，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成矩形，若，，则的面积是（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
8．已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（ ）
A． B．1 C． D．
9．如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，小明从离地面高度为的处抛出弹力球，弹力球在处着地后弹起，落至点处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的表达式为，在处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．则弹力球第二次落地点距第一次抛出点的水平距离是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．函数中，自变量的取值范围是 ．
12．乐山有着丰富的旅游资源．一个旅游团来到乐山旅游，分别从A，B，C三个景点中随机选择一个景点游览，选择景点B的概率为 ．
13．如图是一个正方体的表面沿着某些棱剪开后展成的一个平面图形，若这个正方体的每两个相对面上的数相等，则 ．
14．如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，且，①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交，于，；②分别以，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点；③作射线，则的大小为 度．
15．如图，在梯形中，，对角线和交于点O，若，则 ．
16．对于正数x，规定，解答下列问题．
（1）计算 ；
（2）计算 ．
三、解答题
17．计算：
18．如图，E、F是线段上两点，，，，求证：．
19．求与的和为正数时，的取值范围，并在数轴上表示出来．
20．为丰富学生的文艺活动，开设以下项目：A．乐器，B．朗诵，C．合唱，D．舞蹈．为了解学生最喜欢哪一项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如图所示两幅不完整的统计图．请回答下列问题：

(1)请你将条形统计图补充完整；
(2)在朗诵小组的训练中，三个同学（1个男生2个女生）表现优秀，现决定从这三名同学中任选两名参加朗诵比赛，求选中两名女生的概率（画出树状图或列表法解答）．
21．已知的两边的长是关于x的方程的两个实数根．
(1)当m为何值时，四边形是菱形？
(2)若，求的周长．
22．如图，中，，以为直径作半圆，交于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求直径的长．
23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，与x轴，y轴分别相交于点B，C．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点P在线段上，过点P作x轴的平行线交反比例函数的图象于点Q，当时，求点Q的坐标．
24．如图，中，点是边上的一点，过点，已知．
(1)求证：为与相切线；
(2)用没有刻度的直尺和圆规，作平行四边形，使得平行四边形的四边都与相切，不写作图过程，保留作图痕迹，并简要说明理由．
25．【解决问题】如图1，点C，D在线段上，，若，求证：．
【知识迁移】如图2，中，，，点C，D在线段上，点F在线段上，若，求证：．
【拓展应用】如图3，点E在平行四边形的边延长线上，，在线段上确定点M，使得，并说明理由．
26．在平面直角坐标系中，已知抛物线（a、b为常数，）．

(1)若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式；
(2)如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接．求证：平分；
(3)当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若的最大值为4，求的值．
《2025年四川省乐山市五通桥区九年级毕业复习适应性检测数学试题》参考答案
1．A
解：，
最小的数是，
故选：A．
2．C
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，故本选项符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
3．B
解：．
故选：B．
4．D
解：把代入，得
．
故选：D．
5．B
解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：．
6．D
解：估计该年级学生乘坐公交车上学的人数为：
（人），
故选：D．
7．C
解：∵点D、E分别是的中点，
∴，
由题意可得：，
∴，
故选：C．
8．A
解：∵关于x的方程有两个实数根，
∴判别式，
整理得：，
∴，
∴，，
∴
．
故选：A．
9．D
解：连接，
根据题意可得，
∵矩形，∴，，
在中，，
∴图中阴影部分的面积．
故选：D．
10．C
解：由题可知：弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，且过点，代入解析式中得：，
∴，
∴解析式为：，
当时，的最大值为，
令，则，
解得：或（舍去），
∴，
∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的，
∴其最大高度为：，
∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，
设B处着地后弹起的抛物线解析式为：，
将点代入该解析式得：，
解得：或（舍去），
∴该抛物线的解析式为：，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点B的坐标为，则点的坐标为，
即弹力球第二次落地点距第一次抛出点的水平距离是．
故选：C．
11．
解：依题意，得，
解得：，
故答案为．
12．
解：∵一个旅游团来到乐山旅游，分别从A，B，C三个景点中随机选择一个景点游览，
∴选择景点B的概率为，
故答案为：
13．
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“2”与“”是相对面，
“3”与“”是相对面，
“”与“5”是相对面，
这个正方体的每两个相对面上的数相等，
，，，解得，
．
故答案为：．
14．15
解：为半圆的直径，点为半圆上一点，
．
，
，
．
由作图步骤可知，平分，
．
故答案为：15．
15．
解：设的距离为，
∴，即，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
解：（1）
，
故答案为：．
（2）∵，
∴，
，
故答案为：．
17．
解：原式
．
18．见详解
证明：∵，
∴,
在和中，
，
，
，
．
19．，数轴见解析
解：由题得
解得
表示在数轴上：
20．(1)见解析
(2)
（1）解：由在扇形统计图中，则占调查人数的
∴调查人数：（人）
的人数为（人）
（2）树状图如下：

∵共有6种等可能的结果，其中恰好抽到两名女生的参赛的有2种，
∴选中两名女生的概率为
21．(1)
(2)
（1）解：∵为菱形，
∴只需要满足即可，
∵的两边的长是关于x的方程的两个实数根，
∴当关于x的方程有两个相等的实数根时，符合题意，
∴，
∴，
解得，
∴当时，四边形是菱形；
（2）解：∵，
∴是方程的一个根，
∴，
解得，
∴原方程为，
解得或，
∴，
∴的周长为．
22．(1)见解析；
(2)．
（1）解：连接，
∵为半圆直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
设，，，
则，，
∴，
∴，
解得，
∴．
23．(1)
(2)
（1）解：∵点在上，
∴，
∴，
∴，解得，
故反比例函数的解析式为．
（2）解：根据点P在线段上，设，根据题意得，由得，
整理得，
解得，（舍去）；
故点Q的坐标为：．
24．(1)见解析
(2)见解析，
（1）解：在和中
∴
∴
又∵
∴
又∵是圆的半径，
∴为与相切线
（2）如图，利用切线长定理，用圆规在圆上确定切点，再作射线和垂线，方法不唯一，合理即可
由（1）可得，
∴，
又∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴
∴
∴四边形是平行四边形，
由作图可得平行四边形的四边都与相切，
∴四边形即为所求．
25．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
证明：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
证明：（2），
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：在上截取，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
同（1）（2）题证明得．
26．(1)
(2)见解析
(3)
（1）解：分别将，代入，
得，
解得．
函数表达式为；
（2）解：连接，
，
．
当时，，即点，当时，，即点．
，，
，，，
在中，．
，
，
．
，
．
．
平分．
（3）解：设，则，．
当时，．
令，
解得，．
，
，
点在的上方（如图1）．

设，
故，
其对称轴为，且．
①当时，即．
由图2可知：

当时，取得最大值．
解得或（舍去）．
②当时，得，
由图3可知：

当时，取得最大值．
解得（舍去）．
综上所述，的值为．