七年级数学寒假复习提高专题解析及测试（25个精析测试 各版本通用 有答案）

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七年级数学寒假复习提高专题——有理数及其运算
【本讲教育信息】
一、教学内容：
寒假专题——有理数及其运算
1、通过复习，能在具体情境中理解负数的概念，进一步掌握有理数及其运算的意义.
2、能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小.
3、能熟练地借助数轴理解相反数与绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值.
4、经历探索有理数运算法则和运算律的过程；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算；理解有理数的运算律，并能利用运算律简化运算，及能运用有理数及其运算律解决简单的实际问题.
5、会用计算器进行较复杂的有理数混合运算.
二、学习重难点：
《有理数及其运算》这一章的重点内容是绝对值的概念和有理数的运算（包括法则、运算律、运算顺序、混合运算）等；而绝对值的概念及有关计算，有理数的大小比较，及有理数的运算则是本章的难点.
三、知识要点讲解：
专讲一：基本概念
1. 正数与负数
（1）概念：大于0的数是正数，小于0的数是负数，0既不是正数也不是负数
（2）注意：①了解负数的引入是实际的需要
②带正号的数不一定是正数，带负号的数不一定是负数
③对零的认识：0可以表示没有；0可以表示一个确切的量，如今天的最低气温是0℃；0是整数也是偶数还是自然数；0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是中性数
2. 有理数的分类
整数和分数统称为有理数
3. 有理数中的“三重锤”
（1）数轴
数轴：原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可. 有理数可以用数轴上的点表示，但数轴上的点并不都表示有理数.
在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
（2）相反数：
只有符号不同的两个数是互为相反数，除零以外，相反数总是一正一负，成对出现的. 在数轴上看，表示互为相反数的两个点分别在原点的两侧，而且到原点的距离相等.
①通常用a与表示一对相反数.
②若a与b互为相反数，则.
③互为相反数的两个数的绝对值相等，即.
④若，则，或（a与b互为相反数）.
（3）绝对值：
由绝对值的几何意义可知：一个数的绝对值是指在数轴上表示该数的点与原点的距离. 因为距离总是正数或零，所以有理数的绝对值不可能是负数，即.
从绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它的本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，综合到一起我们可以得到任何一个有理数的绝对值都是非负数.
①若，则；
②若，则；
③，绝对值的非负性。
④互为相反数的绝对值相等，即
⑤若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数.
即：
⑥绝对值最小的数是0.
【典型例题】
例1. 若a与－5互为相反数，那么a是（ ）
A. －5 B. C. D. 5
析解：本题根据互为相反数的概念和意义，两个互为相反数的数之和为0，可以得到a＝５，故应选D
例2. 点A在数轴上表示+2，从点A沿数轴向左平移3个单位到点B，则点B所表示的实数是（ ）
A. 3. B. －1. C. 5. D. －1或3.
析解：本题主要考查学生对数轴知识的理解程度，解答本题要画出数轴，注意平移的方向，先找出A点的坐标，就可以找到B点的坐标，应选B
例3. 将正偶数按下表排列：
第1列 第2列 第3列 第4列
第1行 2
第2行 4 6
第3行 8 10 12
第4行 14 16 18 20
……
根据上面的规律，则2006所在的行、列分别是 .
例4. 北京等5个城市的国际标准时间（单位：小时）可在数轴上表示如下：
如果将两地国际标准时间的差称为时差，那么（ ）
A. 汉城与纽约的时差为13小时；
B. 汉城与多伦多的时差为13小时；
C. 北京与纽约的时差为14小时；
D. 北京与多伦多的时差为14小时.
解析：本题是一道与地理知识“联姻”的题，把中时区定为0，东时区定为正数，西时区定为负数.根据时区之间时间的换算规律：同时区相减，异时区相加.所以，汉城与纽约的时差为9＋5=14小时；汉城与多伦多的时差为9＋4=13小时；北京与纽约的时差为8＋5=13小时；北京与多伦多的时差为8＋4=12小时.故应选B.
专练一：
1. 2006年世界杯足球赛在德国举行，本次比赛共32支球队平均分成8个小组首先进行小组赛，每小组内举行单循环比赛（每个球队都与本小组的其它队比赛一场），选出两个球队进入16强. 本次足球赛的小组赛共进行 场比赛.
2. 小敏中午放学回家自己煮面条吃. 有下面几道工序：①洗锅盛水2分钟；②洗菜3分钟；③准备面条及佐料2分钟；④用锅把水烧开7分钟；⑤用烧开的水煮面条和菜要3分钟. 以上各道工序，除④外，一次只能进行一道工序. 小敏要将面条煮好，最少要用 ______分钟.
3. 已知：×2=＋2，×3=＋3，×4=＋4，…，若×10=＋10（a，b都为正整数），则a＋b的最小值是 .
4. 一串有趣的图案按一定的规律排列. 请仔细观察，按此规律第2008个图案是 .
5. 如图，是用火柴棒摆出的一系列三角形图案，按这种方案摆下去，当每边上摆2006根火柴棒时，共需要摆________根火柴棒.
专讲二：基本运算
1. 运算法则
（1）加法：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
②异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数
（2）减法：减去一个数等于加上这个数的相反数
（3）乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘
注意：运算步骤：①确定积的符号；②求出积的绝对值
③几个有理数相乘，只要有一个为0，则乘积为0
④几个不为零的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数，积为负；当负因数的个数为偶数，积为正。
（4）除法：法则1：除以一个数等于乘以这个数的倒数；
法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何非0数都得0。
注意：倒数：乘积为1的两数互为倒数，因为除数不能为零，所以零没有倒数
（5）乘方：
①意义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，记作“” =，乘方的结果叫做幂，在中，a叫做底数，n叫做指数，叫做a的n次方
②乘方运算的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数
2. 运算律：（1）加法交换律：a+b=b+a
（2）加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）
（3）乘法交换律：ab=ba
（4）乘法结合律：a（bc）=（ab）c
（5）乘法分配律：a（b+c）=ab+ac
3. 运算顺序：
有理数的混合运算顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的
4. 用计算器进行简单的运算
注意键盘中各键的功能及运算过程中的按键顺序
【典型例题】
例1. 我市2005年的最高气温为39℃，最低气温为零下7℃，则计算2005年温差列式正确的是（ ）
A. （＋39）－（－7） B. （＋39）＋（＋7）
C. （＋39）＋（－7） D. （＋39）－（＋7）
解析：本题是只列式不计算的题，根据条件要求列出算式即可，应选A
例2. 下列四个运算中. 结果最小的是（ ）
A. 1+（－2） B. 1－（－2） C. l×（－2） D. 1（－2）
解析：本题考查学生简单的加、减、乘、除计算，应选C
例3. 将长为1的绳子，截去一半，然后将剩下的再截去一半，如此下去，若余下的绳子长不足1，则至少需截几次（ ）
A. 6次 B. 7次 C. 8次 D. 9次
解析：本题考查乘方的定义和计算，应选B
例4. 用火柴棒按下图的方式搭三角形，照这样的规律搭下去，搭第10个图形需要 根火柴棒.
解析：观察图形会发现：所搭的图形都是由三角形构成的.搭第1个图形（一个三角形）用了3根火柴棒，而后来所搭的图形都与前面的图形的一边“共享”. 所以第2个图形的火柴棒根数为：2×3－1=5，第3个图形的火柴棒根数为：3×3－2=7，…，第n个图形的火柴棒根数为：3n－（n－1）.
故搭第10个图形需要的火柴棒根数为：3n－（n－1）=3×10－（10－1）=21.
专练二：
1. 计算：.
2. 计算：1－（－）－（－）
3. 下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成。依此规律，第5个图案中白色正方形的个数为 个。
4. 观察下列图形，按规律填空：
5. 观察下列数表：
根据数列所反映的规律，第行第列交叉点上的数应为
6. 用同样大小的正方形按下列规律摆放，将重叠部分涂上颜色，下面的图案中，第n个图案中正方形的个数是 个。
专讲三：有理数综合问题
（一）易错点扫描
1. 有理数常见思维误区
（1）对正、负数的理解有误，如：a一定表示正数，－a一定表示负数
（2）有理数的分类问题，易把小数作为单独的一类，不知道有限和无限循环小数可以转化为分数
2. 数轴、相反数、绝对值常见思维误区
主要是对三者概念的理解有误，应用也容易出错
3. 有理数的运算常见思维误区
（1）对几种运算法则理解不到位；（2）符号易出现错误；（3）运算顺序、运算性质易错；（4）滥用运算律等错误
（二）思想方法归纳
为了深刻理解新的数学概念，新教材渗透了不少的数学思想和方法.
1. 数形结合的思想
在学习数轴后知道了数可以用数轴上的点来表示，反之数轴上的点也表示数，这就初步奠定了数形结合的思想，在后续学习中，这种思想不断地得到体现，如
相反数的几何意义是：在数轴上位于原点的两旁，并且与原点的距离相等的两点表示的数叫互为相反数.
绝对值的几何意义是：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值.
这种形象与抽象的结合，加深了同学们对相反数、绝对值等概念的认识和理解，也为今后的学习奠定了基础.
2. 转化的思想方法
第二章中关于有理数的减法和除法法则分别是减去一个数等于加上这个数的相反数；除以一个数等于乘以这个数的倒数，这两条法则充分体现了数学中的转化思想，即将未知问题转化为已知问题来解决.
3. 分类的思想方法
在学习有理数、绝对值的概念时，都体现了分类的思想方法，即
有了分类思想，根据“不重不漏”的分类原则去处理问题，能使思维变得更严密，考虑问题更全面。例如，若a＞0，b＜0，则a+b 0。就必须讨论（1）当＞时，a+b＞0；（2）当=时，a+b=0；（3）当＜时，a+b＜0.
【典型例题】
例1. 我们把分子为1的分数叫做单位分数. 如，，…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如＝，＝，＝，…
（1）根据对上述式子的观察，你会发现＝. 请写出□，○所表示的数；
（2）进一步思考，单位分数（n是不小于2的正整数）＝，请写出△，☆所表示的式子，并加以验证.
析解：（1）□表示的数为6，○表示的数为30；
（2）△表示的式子为，☆表示的式子为.
∵
例2. 定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行. 例如，取n＝26，则：
若n＝449，则第449次“F运算”的结果是__8________.
析解：根据定义一种对正整数n的“F”运算的法则很容易计算出结果为8
例3. 在实数的原有运算法则中我们补充定义新运算“ ”如下：
当a≥b时，a b＝b2；当a＜b时，a b＝a.
则当x＝2时，（1 x）·x－（3 x）的值为 （“· ”和“－”仍为实数运算中的乘号和减号）.
析解：根据定义新运算的法则应填－2
专练三：
1. 老师在黑板上写出三个算式：5－3= 8×2，9－7=8×4，15－3=8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：11－ 5 =8×12，15－7=8×22，……
（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；
（2）用文字写出反映上述算式的规律；
（3 ）证明这个规律的正确性.
2. 1883年，康托尔构造了一个分形，称为康托尔集. 从数轴上单位长度线段开始，康托尔取走其中间的三分之一而达到第一阶段；然后从每一个余下的三分之一线段中取走其中间的三分之一而达到第二阶段. 无限地重复这一过程，余下的无穷点集就称为康托尔集. 下图是康托尔集的最初几个阶段，当达到第八个阶段时，余下的所有线段的长度之和为 .
3. 一跳蚤在一直线上从O点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，……，依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处离O点的距离是 个单位.
参考答案：
专练一：1. 48；2. 12；3. 19；4. ；5. 6039063 第1个
专练二：1．6；2．0；3．28；4．9，13；5．2n-1；6．2n+1；
专练三：1. （1）略 （2）任意两个奇数的平方差是8的倍数；（3）略
2. ； 3. 50
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 下列说法中，不正确的是（ ）
A. 0既不是正数，也不是负数 B. 0不是整数
C. 0的相反数是0 D. 0的绝对值是0
2. 温度上升－3后，又下降2实际上就是 （ ）
A. 上升1 B. 上升5 C.下降5 D. 下降－1
3. 数轴上点A表示－4，点B表示2，则表示A、B两点间的距离的算式是（ ）
A. －4＋2 B. －4－2 C. 2―（―4） D. 2－4
4. 两个有理数的和为负数，那么这两个数一定（ ）
A. 都是负数 B. 至少有一个负数
C. 有一个是0 D. 绝对值不相等
5. 如果|a|=7，|b|=5，试求a－b的值为（ ）
A. 2 B. 12 C. 2和12 D. 2；12；－12；－2
6. 用计算器求25的值时，按键的顺序是（ ）
A. 5、yx、2、= B. 2、yx、5、=
C. 5、2、yx、= D. 2、3、yx、=
7. 如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，那么 a+b+m2－cd的值为（ ）
A. 3 B. ±3 C. 3± D. 4±
8. 若0A. a29. 学校为了改善办学条件，从银行贷款100万元，盖起了实验大楼，贷款年息为12%，房屋折旧每年2%，学校约1400名学生，仅贷款付息和房屋折旧两项，每个学生每年承受的实际费用为（ ）
A. 约104元 B. 1000元 C. 100元 D. 约21.4元
10. 计算（－2）2004+（－2）2003的结果是（ ）
A. －1 B. －2 C. －22003 D. －22004
二、填空题（每题3分，共30分）
11. 某种零件，标明要求是φ20±0.02（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是19.9mm，它 （填“合格”或“不合格”）.
12. 在太阳系八大行星中，离太阳最近的水星由于没有大气，白天在阳光的直接照射下，表面温度高达427℃，夜晚则低至－170℃，则水星表面昼夜的温差为____________.
13. 数轴上的一点由＋3出发，向左移动4个单位，又向右移动了5个单位，两次移动后，这一点所表示的数是
14. 一个水利勘察队，第一天沿江向下游走km，第二天又向下游走km，第三天向上游走km，第四天向上游走km，这时勘察队在出发点的上游 km处
15. 一口深井，井底有一只青蛙，这只青蛙白天沿着井壁向上爬3米，夜间又落下2米，到了第十天的下午，这只青蛙恰好爬到井口，则这口井的深度是 米。
16. 设n是正整数，则n－（n+1）－（n+2）+（n+3）=0。应用上述结论，在数1，2，3，……2001前分别添加“+”和“－”，并运算，则所得的可能的最小非负数是
17. 小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数共有 个.
18. 存折现有5000元，如果存入记为正，支取为负，上半年某人支存情况为+500元，－300元，+1200元，－600元，则该人现有存款为_____.
19. 当b<0时，a，a－b，a+b，a－2b中从小到大的顺序为___________.
20. 有一次小明在做点游戏时抽到的四张牌分别是＋7，＋3，－3，＋7，他苦思不得其解，相信聪明的你一定能帮他解除困难，请写出一个成功的算式：______________=.
三、解答题（共40分）
21. （共10分）你想提高计算的准确率吗？不妨试试“一步一回头”.抄题与计算时每写一个数都要回头看一下是否有误.开始时可能感觉很慢，一旦形成习惯就会快起来的！计算下列各题：
（1） （2）
（3） （4）|－6＋2|＋（－8）＋|－3－|
22. （本题5分）某气象员为了掌握一周内天气的变化情况，测量了一周内的气温. 下表是一周内气温变化情况（用正数表示比前一日上升数，用负数表示比前一日下降数）
星期 一 二 三 四 五 六 日
气温变化/℃ 2 －1 －2 4 －2.5 1 0.5
试分析这个星期气温的总体变化情况.
23. （本题5分）观察下列各式，完成下列问题。
已知1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，……
（1）仿照上例，计算：1+3+5+7+……+99= 。
（2）根据上述规律，请你用自然数n（n≥1）表示一般规律： 。
24. （本题5分）请你计算下列式子（可用计算器），完成后面的问题。
计算：6×7= ；66×67= ；666×667= ；
6666×6667= ；…………
根据上述各式的规律，你认为4444422222= 。
25. （本题5分）已知ab>0，试求的值
26. （本题5分）利用计算器探索规律：任选1，2，3，…，9中的一个数字，将这个数乘7，再将结果乘15873，你发现了什么规律？你能试着解释一下理由吗？
27. （本题5分）有一面积为1平方米的正方形纸，第一次剪掉一半，第二次剪掉剩下的一半，如此下去，第5次后剩下的纸的面积是多少平方米？
【试题答案】
一、选择题：
BCCBD BAACC
二、填空题：
11. 不合格；12. 597℃；13. 4；14. ；15. 12；16. 1；17. 9；18. 5800元；
19. a+b＜a＜a－b＜a－2b；20.
三、解答题：
21. （1）；（2）－5；（3） （4）－1
22. 解：2＋（－1）＋（－2）＋4＋（－2.5）＋1＋0.5＝2（℃）
答：这星期气温上升了2℃.
23. （1）2500；（2）1+3+5+7+……+（2n+1）=n2
24. 计算结果略，66666×66667
25. 3或－1；
26. 设1，2，3，…，9中的任一数字为m，则根据题意得：m×7×15873=mmmmmm.
因为15873×7=111111，所以只要选1，2，3，…，9中的任一数字，结果都是六位数，且这六个数位上的数字都相同；
27. 平方米
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七年级数学寒假复习提高专题——生活中的数学
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
寒假专题——生活中的数学
生活中处处离不开数学，特别是近几年以现实社会中的生产、生活问题为背景的数学应用题越来越受到关注．这类问题涉及的背景材料十分广泛，所以要求解题者具有丰富的社会常识和较强的阅读理解能力．再加之有些题目中名词、术语专业性太强，使许多同学望而生畏．本讲就生活中的数、式、图形等数学问题举例进行解析．感受数学在生活中的存在，激发学生研究数学的兴趣．
二. 考点分析：
由于数学应用题涉及到的背景材料十分广泛，所以这类题目的难度会比较大一些，更侧重于考查学生的阅读理解能力、综合提高能力等，在中考题中属中等偏难的题目，出现机会非常大，是热门题型．
【典型例题】
例1. 下表是5个城市的国际标准时间（单位：时），那么北京时间2006年6月17日上午9时应是（ ）
A．伦敦时间2006年6月17日凌晨1时
B．纽约时间2006年6月17日晚上22时
C．多伦多时间2006年6月16日晚上20时
D．汉城时间2006年6月17日上午8时
分析：数轴上表示了五个城市，通过下面的数字可以计算出它们之间的时差，北京时间2006年6月17日上午9时，汉城时间是6月17日上午10时，多伦多时间是前一天也就是2006年6月16日晚上21时，纽约是6月16日晚上20时，故选A．
解：A
评析：本题用数轴表示时差，数字0是一个分界点，正数表示后一天，负数表示前一天．
例2. 2008年某市应届初中毕业生人数约10. 8万．比去年减少约0. 2万，其中报名参加高级中等学校招生考试（简称中考）的人数约10. 5万，比去年增加0. 3万，下列结论：
①与2007年相比，2008年该市应届初中毕业生人数下降了×100%；
②与2007年相比，2008年该市应届初中毕业生报名参加中考人数增加了×100%；
③与2007年相比，2008年该市应届初中毕业生报名参加中考人数占应届初中毕业生人数的百分比提高了（－）×100%．其中正确的个数是（B）
A．0 B．1 C．2 D．3
分析：三个小题都是与2007年相比，所以首先要计算出2007年应届毕业生数10. 8＋0. 2＝11万和2007年参加中考人数10. 5－0. 3＝10. 2万．①与2007年相比，2008年该市应届初中毕业生人数下降了×100%；②与2007年相比，2008年该市应届初中毕业生报名参加中考人数增加了×100%；③与2007年相比，2008年该市应届初中毕业生报名参加中考人数占应届初中毕业生人数的百分比提高了（－）×100%．只有③正确．
解：B
评析：与分数、百分数相关的运算，要分清这个分数是相对于哪一个量而言的．
例3. 完成下列各题：
（1）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为（ ）
A．－5吨 B．＋5吨 C．－3吨 D．＋3吨
（2）（哈尔滨）2008年7月1日是星期二，那么2008年7月16日是星期__________．
（3）（太原）在市政府与国家开发银行山西省分行举行的“百校兴学”工程金融合作签约仪式上，首批项目申请银行贷款3. 16亿元．用科学记数法表示3. 16亿的结果是__________．
（4）在“手拉手活动”中，小明为捐助某贫困山区的一名同学，现已存款300元，他计划今后每月存款10元，n个月后存款总数是__________元．
解：（1）A（2）三（3）3. 16×108（4）300＋10n
评析：这四个数学例子来源于实际生活，反过来又可以应用于生活．
例4. （1）一个全透明的玻璃正方体，上面嵌有一根黑色的金属丝，如图，金属丝在俯视图中的形状是（ ）
（2）如图，把一个长方体的礼品盒用丝带打上包装，打蝴蝶结部分需丝带45cm．那么打好整个包装所用丝带总长为__________cm．
分析：（1）从上面看，前面左边的黑色金属丝是一个点，只能看到上面的图案．（2）长方体礼品盒有六个面，把丝带分成8部分，长度和是12×4＋15×2＋10×2＝98（cm），再加上打结部分的45cm，共143cm．
解：（1）C（2）143
评析：这两个小题是现实生活中和几何图形相关的问题，解题时要善于把实际问题转化成几何问题，利用几何图形的性质解题．
例5. 假定有一排蜂房，形状如图，一只蜜蜂在左下角，由于受了点伤，只能爬行，不能飞，而且始终向右方（包括右上，右下）爬行，从一间蜂房爬到右边相邻的蜂房中去．例如，蜜蜂爬到1号蜂房的爬法有：蜜蜂→1号；蜜蜂→0号→1号，共有2种不同的爬法．问蜜蜂从最初位置爬到4号蜂房共有几种不同的爬法（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
分析：根据规则把蜜蜂的爬法分成两类：从2号蜂房进入4号蜂房和从3号蜂房进入4号蜂房．进入2号蜂房有三条路：蜜蜂→0号→2号、蜜蜂→1号→2号、蜜蜂→0号→1号→2号，进入3号蜂房可分成两类：从2号蜂房进入3号和从1号蜂房进入3号．进入2号蜂房有三条路（同上），进入1号蜂房有两条路：蜜蜂→1号和蜜蜂→0号→1号．共8种不同的爬法．
解：B
评析：不同的爬法用图形表示更清晰．如图所示：
例6. 甲乙两种品牌的衬衣共n件，其中甲品牌的衬衣比乙品牌的衬衣多5件．已知甲品牌衬衣的单价为120元，乙品牌衬衣的单价为90元，则买这n件衬衣需付款多少元？
分析：由于甲品牌的衬衣比乙品牌的衬衣多5件，所以n－5件衬衣中甲、乙品牌一样多，各占一半，那么买这n件衬衣需付款（n－5）×120＋（n－5）×90＋5×120元．
解：买这n件衬衣需付款：
（n－5）×120＋（n－5）×90＋5×120
＝（n－5）×210＋5×120
＝105n－525＋600
＝105n＋75
答：买这n件衬衣需付款（105n＋75）元
【方法总结】
新《课标》明确提出：数学教学要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有的知识出发，创设生动有趣的情境，开展观察、操作、猜想、推理、交流等活动．通过数学活动，掌握基本的数学知识和技能，初步学会从数学角度去观察事物，思考问题．掌握将现实生活中的问题转化成数学问题的思想和方法．激发对学习数学的兴趣，以及学好数学的愿望，树立学好数学的自信心．
【模拟试题】（答题时间：50分钟）
一. 选择题
1. 北京2008奥运会的国家体育场“鸟巢”建筑面积达25. 8万平方米，用科学记数法表示应为（ ）
A. 25. 8×104m2 B. 25. 8×105m2 C. 2. 58×105m2 D. 2. 58×106m2
2. 有30张分别标示1～30号的纸牌．先将号码数为3的倍数的纸牌拿掉，然后从剩下的纸牌中，拿掉号码数为2的倍数的纸牌．若将最后剩下的纸牌，依号码数由小到大排列，则第5张纸牌的号码为？（ ）
A. 7 B. 11 C. 13 D. 17
3. 把一张正方形纸片按如图所示对折两次后，再挖去一个小圆孔，那么展开后的图形应为（ ）
**4. 嫦娥一号卫星在未打开太阳翼时，外形是长222厘米、宽172厘米、高220厘米的长方体．若在表面包裹1厘米厚的防震材料层，在这外面还有1厘米厚的木板包装箱，则木板包装箱所需木材的体积至少是（ ）立方厘米．
A. 224×174×222－222×172×220
B. 223×173×221－221×171×219
C. 225×175×223－224×174×222
D. 226×176×224－224×174×222
二. 填空题
1. 一个篮球需要m元，买一个排球需要n元，则买3个篮球和5个排球共需要_______元．
2. 某班a名同学参加植树活动，其中男生b名（b3. （广西桂林）如果向东走３米记作＋３米，那么向西走５米记作__________米．
4. 某水果公司以2元/千克的单价新进了10000千克柑橘，为了合理定出销售价格，水果公司需将运输中损坏的水果成本折算到没有损坏的水果售价中．销售人员从柑橘中随机抽取若干柑橘统计柑橘损坏情况，结果如下表．如果公司希望全部售完这批柑橘能够获得5000元利润，那么在出售柑橘时，每千克大约定价__________元．
柑橘质量（千克） 50 200 500
损坏的质量（千克） 5. 50 19. 42 51. 54
*5. 人民公园的侧门口有9级台阶，小聪一步只能上１级台阶或２级台阶，小聪发现当台阶数分别为１级、２级、３级、４级、５级、６级、７级……逐渐增加时，上台阶的不同方法的种数依次为１、２、３、５、８、13、21……这就是著名的斐波那契数列．那么小聪上这９级台阶共有__________种不同方法．
三. 解答题
**有一种“24点”的扑克牌游戏规则是：任抽4张牌，用各张牌上的数加、减、乘、除四则运算（可用括号）列一个算式，先得计算结果为“24”者获胜．小明抽到了：3，4，5，2；小聪抽到了：J（也就是11），2，10，5．这两组牌都能算出“24点”吗？为什么？如果算式中允许包含乘方运算，你能列出符合要求的不同的算式吗？
【试题答案】
一. 选择题
1. C
2. C
提示：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、…、30
拿掉3的倍数和2的倍数后是：1、5、7、11、13、…、29
第5张牌是13．
另解：从1开始考虑，如果这个数不是3的倍数也不是2的倍数，把它写下来．再考虑2，…，一直找到第5个数为止．
3. C
提示：把正方形折成三角形，在中间挖去一个圆孔，展开后的圆孔应对着正方形四边的中间．故选C．
4. D
提示：在长方体表面包裹1厘米厚的防震材料后长方体的长、宽、高都增加了2厘米，再加1厘米的木板以后，长、宽、高就都比原来增加了4厘米．
二. 填空题
1. 3m＋5n 2. 3. －5 4. 2. 8元 5. 55
三. 解答题
52－（4－3）＝24；52－（11－10）＝24．
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七年级数学寒假复习提高专题——列方程、列不等式解应用题
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
寒假专题——列方程、列不等式解应用题
二. 教学目标：
1. 通过此专题复习掌握列方程、列不等式解应用题的方法步骤。
2. 通过此专题复习，熟练地列方程、列不等式解决实际问题。
三. 本周重点难点：
重点：列方程解应用题、列不等式解应用题。
难点：有关解应用题中的综合性、决策性问题。
四. 本周知识要点：
1. 列方程或列不等式解应用题的关键是从问题中找出一个等量关系或不等关系，恰当地设未知数，把相等的各个量或不等的各个量用已知数和未知数的代数式表示，这样可列出方程和不等式。
2. 列方程、列不等式解应用题的一般步骤
（1）审：审题。分析题中已知什么、未知什么、求什么、明确量之间关系。
（2）找：找出能够表示应用题全部含义的相等关系或不等关系。这一步要抓住题中关键性语句。
（3）设：设未知数，一般求什么就设什么为x，有时可间接设未知数，一般设的时候要带单位。
（4）列：列方程或不等式，把相等关系或不等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来。
（5）解：解所列出的方程不等式，求出未知数的值。
（6）答：检验所求解是否符合题意，是否符合实际，写出答案。
3. 列方程或不等式解应用题时要注意的几点
（1）设未知数和写答案时，一定要写清楚单位。
（2）列方程或不等式时，两边所表示的量应该相同，并且单位要统一。
（3）对于求得的方程或不等式的解，还要看是否符合题意与实际情况。
（4）有时应用题解答需要分情况讨论，才能做决策。
【典型例题】
例1. 现有甲、乙两项工程甲工程的工作量是乙工程的工作量的2倍，第一组有19人，第2组14人（设每人工作效率相同），怎样调配两组的人数，才能使两项工程同时开工又同时完工呢？（一种答案即可）
分析：甲工程的工作量为乙工程的工作量的2倍，且人均工作效率相同，所以甲工程需要的人数是乙工程需要的人数的2倍，第一组人数多于第二组人数，但第一组人数不是第二组人数的2倍，甲、乙工程的人数必须互相抽调，可从第二组抽人数到第一组中去完成甲工程，也可从第一组抽调人数到第二组中去做甲工程，但必有等量关系为：做甲工程的人数＝做乙工程的人数×2。
解法一：设从第二组抽x人到第一组去完成甲工程，依题得：
答：从第二组抽3人去第一组做甲工程，第二组做乙工程。
解法二：设从第一组抽y人到第二组，由第二组做甲工程，依题意得
答：从第一组抽8人到第二组做甲工程，第一组做乙工程。
说明：做甲工程的人数还可以从第一组抽18人，第二组抽4人。
从第一组抽17人，第二组抽5人。
……
[
例2. 一个长方形如图所示，恰分成六个正方形，其中最小的正方形的面积为1cm2，求这个长方形的面积。
分析：本题要求长方形的面积，只要求出这个长方形的长与宽。这里只知道最小的正方形的面积为1cm2，即边长为1cm。其他正方形边长、面积均为不知道，如图（2）中，n个正方形分别标以A、B、C、D、E、F可观察得到。
正方形E的边长＝正方形F的边长，
正方形D的边长＝正方形E的边长＋1，
正方形C的边长＝正方形D的边长＋1
正方形B的边长＝正方形C的边长＋1，
原长方形的长＝正方形E、F、D的边长和
原长方形的宽＝正方形D、C的边长和
原长方形的长＝正方形B的边长＋正方形C的边长＝正方形D的边长＋2＋正方形C的边长
即原长方形的长＝正方形D、C的边长和＋2＝原长方形宽＋2
正方形A、B、C、D、E、F的边长都有联系，设正方形E的边长为xcm
求出x，其他的边长，长方形长、宽可求出，面积可求出。
解：设正方形E的边长为xcm，则原长方形的长为（3x＋1）cm
宽为（x＋1＋x＋1＋1）cm依题得
解之x＝4，则3x＋1＝13，x＋1＋x＋1＋1＝11
所以长方形面积＝13×11＝143
答：这个长方形面积为143cm2。[、
说明：此题采用了间接设未知数的办法，通过图形观察、分析找到等量关系，才列出方程。
例3. 一个两位数，十位上的数比个位上的数小1，十位与个位上的数的和是这个两位数的，求这个两位数。
分析：本题的等量关系为“十位与个位上的数的和是这个两位数的”求两位数不能直接设两位数，而要先设个位数为x，则十位数为（x－1），这个两位数可表示为：10（x－1）＋x
解：设个位数字为x，则十位上的数为（x－1），依题得
答：这个两位数为45。
说明：此题也是间接设未知数，要注意两位数的大小是如何表示的。
例4. 在知识竞赛的预选赛中共有20道题，对于每一道题答对得10分，答错或不答扣5分，总得分不少于80分者通过预选赛，小明通过预选赛，小明可能答对了多少道题？
分析：抓住“不少于80分”这个关键语句，可以找到一个不等关系：“小明的得分大于或等于80分”，设小明答对x道题，则小明的得分可表示为：10x－5（20－x）
解：设小明答对x道题，依题得：
取满足题意的整数解：12，13，14，15，16，17，18，19，20。
答：小明可能答对了12或13或14或15或16或17或18或19或20道题。
说明：此应用题作答时要注意用词恰当。
例5. 某童装加工企业今年五月份工人每人平均加工童装150套，最不熟练的工人加工的童装为平均套数的60%，为了提高工人的积极性，按时完成外商订货，企业计划从六月份起进行工资改革，改革后每位工人的工资分二部分：一部分为每人月基本工资200元，另一部分为每加工一套童装奖励若干元。
（1）为了保证所有工人的每月工资收入不低于市有关部分规定的最低工资标准450元，按五月份工人加工的童装的套数计算，工人每加工1套童装企业至少奖励多少元？（精确到分）
（2）根据经营情况，企业决定每加工1套童装奖励5元，工人小张争取六月份工资不少于1200元，问小张在六月份应至少加工多少套童装？
分析：（1）可找不等关系：基本工资＋奖励≥450
（2）可找不等关系：基本工资＋5×童装套数≥1200
解：（1）设企业每套奖励x元，由题意得：
因此该企业每套至少奖励2.78元。
（2）设小张在六月份加工y套，由题得：
答：小张六月份至少加工200套童装。
说明：本题取材于实际生活中的工作量，奖金问题。利用不等式解决实际问题的题较多，应多加关注、多练习。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 甲、乙二人在体育场400m环形跑道上赛跑，甲的速度是乙的速度的2倍，若两人同时同地同向出发，1分40秒后甲、乙首次相遇，问二人速度各为多少？若两人同时同地背向而行，几分钟可相遇？
2. 某工人在一定时间内加工一批零件，如每天加工44个就比任务少加工20个，如每天加工50个，则可超额10个，求规定的零件数与加工天数。
3. 某种商品换季处理，若按标价的七五折出售，将亏25元，而按标价的九折出售将赚20元，问这种商品的标价是多少？进价为多少？
4. 某公司向银行贷款40万元，用来生产新产品，已知货款的年利率为15%（不计复利：即还贷时每年利息不重复计息）每个新产品成本2.3元，售价4元，应纳税为销售额的10%，如每年生产该种产品20万个，并把所有利润全部用来还贷，问用几年后一次可还清？
5. 两位老师准备带若干名学生外出旅游，甲、乙两家旅游公司的定价相同，且都表示提供优惠，甲公司对老师和学生一律7折收费，乙公司对老师全价，学生按半价收费，问选择哪个公司合算？
6. 某宾馆底楼比二楼少5间，某旅游团有48人，若全安排在底楼，每间4人，房间不够，每间5人，有房间没住满5人，又若全安排在二楼，每间3人，房间不够，每间4人，有房间没有住满4人，该宾馆底楼有多少间房？
【试题答案】
1. 解：设乙的速度为x米/秒，则甲的速度为（2x）米/秒，依题得；
解得[
（米/秒）
答：甲的速度为8米/秒，乙的速度为4米/秒，分钟后相遇。
2. 解：设计划加工x天，依题得：
（个）
答：规定的零件个数为240个，加工天数为5天。
3. 解：设这种商品标价x元，则
解之得
进价为：（元）
答：商品标价为300元，进价为250元。
4. 解：设需x年还清，依题得
解之x=2
答：2年后才能一次还清。
5. 解：设带x个学生，两公司原定价为1个单位，若甲公司优惠，则列不等式为：
解之，x为正整数，取
当时，乙公司优惠，带3个学生两公司一样优惠。
答：带1名或2名学生，甲公司合算。
带3名学生，两公司一样合算。
带3名以上学生，乙公司合算。
6. 解：设宾馆底楼有x间房，依题得：
即[
则x取10或11 ①
又即 ②
由①②知
答：宾馆底楼有10间房。
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七年级数学寒假复习提高专题——列方程
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
寒假专题——列方程
二、教学要求
（一）复习单项式、多项式、同类项、一元一次方程、相反数、倒数、绝对值、代数式的值、方程的解等相关概念性质，能够根据具体问题中的数量关系及相等关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型；
（二）能够把文字语言叙述的问题转化为数学语言表达的式子，能够找出并抓住关键词语列出方程；
（三）掌握和使用代数式中的方程去反映现实世界中的相等关系，并逐步体会代数方法的优越性，培养学生分析问题、解决问题的能力及综合运用知识的能力。
三、重点及难点
（一）重点
1、根据基本概念及性质，分析相等关系
2、文字语言叙述问题中关键词语的把握
（二）难点
知识的综合运用
四、课堂教学
（一）知识要点
我们知道方程是一个等式而等式表示了一个相等关系，因此列方程解决问题的关键在于找出相等关系。
1、利用基本概念及性质列方程
（1）单项式的相关概念
由数字与字母的积组成的代数式叫做单项式（特别是单独的一个数或字母也是单项式），单项式中的数字因数叫做单项式的系数，单项式中所有的字母的指数之和叫做单项式的次数，可以利用单项式系数及次数的规定列出方程解题。
例如：已知是关于、的系数为的6次单项式，则其中、的值可以由单项式的系数与次数的定义列出方程求解。
列出方程，且，解得，
（2）同类项的相关概念
所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项（特别，几个常数项也是同类项），其相等关系往往在于相同字母的指数也分别相同。
如：已知与是同类项，则可知，，解得，
（3）多项式的次数与项
由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项。其中不含有字母的项叫做常数项。一个多项式含有几项就叫做几项式。多项式中次数最高项的次数叫做这个多项式的次数。
根据多项式次数规定找出相等关系列出方程求出字母的值，如已知多项式是六次三项式，可知，解得
已知关于多项式是二次三项式，可知，得
（4）一元一次方程
只含有一个未知数的次数是1的方程叫做一元一次方程。
注意：列方程的关键往往在于未知数的次数是1。
如：已知是一元一次方程，则可得，解得
（5）相反数的性质
互为相反数的两个数的和为0是应用很广泛的性质，也提示出了列方程所必需的相等关系。
如：代数式与互为相反数，则可知，解得
（6）倒数的性质
互为倒数的两个数积为1，因此一个数的倒数可以表示为，求解倒数为本身的数时，可以利用倒数性质，改此数为，则，即，。
再如与0.5互为倒数，则可知，解得
（7）绝对值的意义
绝对值的符号内容有未知数的方程叫做含有绝对值的方程。
根据绝对值的意义，从正负两个方向考虑绝对值符号内代数式的值，则可以转化此种方程为一元一次方程，从而解决问题。
如：，可以转化为或，分别解得或
（8）代数式的值
用数值代替代数式里的字母，按照代数式原有的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值。
已知的值为4，可知，解得
（9）方程的解
能够使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。只含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。
题目问法虽然不同，但有一点不变的是方程的解就是方程中未知数的值这也是解题的关键。
如：已知是方程的根，可知方程中的值为0，可得，转化为关于的方程，解得。
还可以说已知关于的方程与方程是同解方程，则后面方程中的的值即为前面方程中的值，则为0，其解法与前面相同。
2、由文字叙述列方程
这实际上就是把文字语言叙述问题转化为数学语言表达的式子，列方程的关键在于找等量关系。在实际问题中，等量关系通常隐含在一些关键词语中，如和、差、积、商、大、小、多、少、几倍、几分之几，比、是、等于、相等、为、得等，列方程时审题要抓住关键词语，并从中灵活地悟出等量关系，其中列代数式的能力是十分必要的，特别注意运算顺序，一般先读的先写，运算级别是先低后高的要加括号，而先高后低的就不必加括号了。
如某数的2倍少5和某数的3倍多7相等；某数与7的差的等于1；某数与它的倍的和再减去1.5得2；某数的平方与10 的积是该数2倍的相反数。
设某数为，则可分别列得；； ；。
3、由公式列出方程
利用常见的面积、周长等公式列方程求其中一个变量的值也是一种常见的问题。如长方形面积为24㎝2，长为8㎝，则设宽为，由长方形面积公式长×宽＝面积，可知，解得，则宽为3㎝。[
4、利用规律列方程
如：在一条直线上取个点，出现了30条射线，则求的值。由相关的规律可知取个点出现2 条射线，得，解得＝15。
【典型例题】
例1：若与的和仍然是一个单项式，求、的值。
分析：＋是单项式，则与必为同类项，可以合并；由同类项定义可知，，可求出、的值。
解：由题意得，，解得，代入，得，
，
例2：已知关于的方程是一元一次方程，求的值。
分析：关于的方程是指未知数为，若此方程为一元一次方程，则未知数的指数为1，得到，解此绝对值方程即可。
解：由题意得，则或，解得或
例3：如果的值是5的相反数，求的值。
分析：可有两种思路：（1）利用互为相反数的两个数的和为0，与5互为相反数，则＋5＝0；（2）5的相反数为－5，原题理解为是－5，即＝－5，这两个方程的解相同，我们以思路（2）为例说明。
解：由题意得＝－5，解得
例4：已知的值与的值互为相反数（问法2已知），求、的值。
分析：问法1，利用相反数的性质可知，由于，，可知只可能＝0，且＝0，则，，可解出、的值。问法2，利用代数式的值的定义可知，其解法同前一问相同。
解：由题意得
解得，
得，
例5：已知代数式的值比的值小1，则求的值。
分析：找出关键词语“比”、“小”，分析数量关系，列出方程
解：由题意得
解得
例6：已知三个连续偶数之和为30，求这三个数。
分析：此题中关键在于设，两个连续偶数之间差为2，则可设这三个偶数为，，，再列方程。
解：设这三个偶数分别为，，
由题意得
解得
则
这三个连续的偶数是8、10、12。
小结：
1、复习单项式、多项式、同类项、一元一次方程、代数式的值、方程的解等相关概念，及相反数、倒数、绝对值的性质；
2、明确列方程的关键在于找出等量关系，能够由语言文字叙述列方程；[
3、能够综合运用知识分析相等关系列方程。
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
（一）填空
1、方程是一元一次方程，则 ，方程的解为 。
2、 时，代数式的值等于18的相反数。
3、关于的方程的根为3，则的值是 。
4、，则 。
5、已知与的差为2，则 。
6、代数式2x－11的值与－9x的值相等，则x＝ 。
7、已知与 是同类项，则m＝ ,n＝ .
8、x＝ 时，代数式2x＋8的值等于－4
9、代数式2x＋1的值与－1互为倒数，则x＝______.
10、代数式2a－3与3－a的值互为相反数，则a＝______.
11、已知：关于x的多项式是二次三项式则k＝______.
（二）根据下列条件列出方程
1、5减去某数3倍的差等于某数与4的和。
2、某数的5倍加上7等于22.
3、某数的4倍与2的和等于－3.
4、某数与5的差的一半等于1.
（三）解答题
1、观察下面的一列数
1，6，11，16，21，…
则它的第多少项等于2006？
2、在多项式中不含x2项，求a的值。
3、已知，x－1＝m与2x＋5＝m的解相同,求m的值。
4、已知，关于x的方程ax－2x＋3＝0的解使，求a的值。
【试题答案】
（一）1、3 ， 2、－1 3、1 4、5或－1 5、－1
6、1 7、3， 8、－6 9、－1 10、0 11、2[
（二）1、解：设某数为x，由题意得[
5－3x＝x＋4
2、解：设某数为x，由题意得
5x＋7＝22
3、解：设某数为x，由题意得
4x＋2＝－3
4、解：设某数为x，由题意得
（三）1、解：观察规律得第n项为5n－4
设第n项等于2006，则由题意得5n－4＝2006
解得n＝402
所以，这一列数第402项等于2006.
2、解整理得
由题意得 解得a＝－4
所以a＝－4
3、解：整理x－1＝m得x＝1＋m,整理2x＋5＝m得
由题意得
解得m＝－7
4、解：解 ＝0 得x－1＝0,x＝1
由题意得
解得a＝－1
所以a＝－1
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七年级数学寒假复习提高专题——数学规律探索题
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
寒假专题——数学规律探索题
【典型例题】
例1. 一个用数字1和0组成2002位的数码，其排列规律是101101110101101110101101110…，则这个数码中，数字“0”共有（ ）
A. 666个 B. 667个 C. 668个 D. 223个
分析：由给定的数可知：九个数码的“101101110”是一个循环结，这里有3个0。而一共有2002个数码，因此用2002÷9=222……4，最后还余四个数码“1011”。所以一共有（3×222+1）=667个“0”
答：选B。
说明：关键在于找出循环结。
例2. 下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如（其中为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出展开式中所缺的系数。
+
分析：根据杨辉三角系数表，向下递推知：
则按照这样的规律第2项系数为4。
答：+
说明：要准确地从给出的系数表内找出规律并能往下递推。
例3. 观察下列分母有理化的计算：
，，，，…从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：]
= 。
分析：从给定的几个等式中可以发现：相邻两个数平方根的和的倒数就等于它们的差（大的减小的）
解：
说明：找出数与数之间的关系。有时候很多有规律的数相加的时候可以转化一下利用错位相减方法，从而使得计算简化。
例4. 观察下列方程：⑴；⑵；⑶；……按此规律写出关于的第个方程为 ，此方程的解为 。
分析：按照给定形式推导：发生变化的地方是的系数和等于号后面的数值。
的系数的变化规律是：1×2=2；2×3=6；3×4=12；4×5=20……n×(n+1)=n(n+1)
等于号后面的数值的变化规律则为：1+2=3；2+3=5；3+4=7；4+5=15……n+(n+1)=2n+1[来
解：第个方程为，此方程的解为
说明：此题稍难，但若能跳出给定的模式，而转向方程的解去考虑则化难为易。
例5. 观察下面一列数的规律并填空：0，3，8，15，24…，则它的第2002个数是 。
分析：由于要求的是第2002个数，则我们需要找出这列数的第n个数的表示形式。
；；；；……
解：第2002个数是=4008003
说明：题目中虽然没有要求表示出第n个数，但是我们依然从这里入手才好把一个很大的项数的值求出来。
例6. 如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形，接着把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，再把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，如此进行下去。试利用图形揭示的规律计算：
= 。
分析：如图所示：
解：
例7. 观察下列各式：
；；；
；……
想一想，什么样的两数之积等于这两数之和？设表示正整数，用关于的等式表示这个规律为： × = ＋ 。
分析：抓住给定的形式即可。
解：
说明：
例8. 如图，有边长为1的等边三角形卡片若干张，使用这些三角形卡片拼出边长分别是2，3，4，…的等边三角形（如图所示）。根据图形推断，每个等边三角形所用卡片总数与边长的关系式是 。
分析：边长为1时，使用1个等边三角形
边长为2时，使用4个等边三角形
边长为3时，使用9个等边三角形
边长为4时，使用16个等边三角形
……
边长为时，使用个等边三角形
解：= 说明：从图形入手，但可以从数字的规律上找图形规律。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 观察下面的三个等式：，，，请猜测：_____________。
2. 观察下列各式：
； ； ； …… ；……
请你将猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来： 。
3. 观察下列算式：
； ； ；
； ；……
若字母表示自然数，请把你观察到的规律用含的式子表示出来. 你认为的正确答案是 。
4. 观察下面一列有规律的数，并根据此规律写出第五个数，，，，， ，，…
5. 如图，是2002年6月份的日历。现用一矩形任意框出4个数，请用一个等式表示、、、之间的关系： 。
6. 按下图方式摆放餐桌和椅子。
即一张餐桌可坐6人，两张餐桌可坐10人，三张餐桌可坐14人，…，按此规律推断，张餐桌可坐人数为 。
7. 如图1，是棱长为的小正方体，图2，图3由这样的小正方体摆放而成。按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第一层、第二层、……、第层，第层的小正方体的个数记为。解答下列问题：
（1）按照要求填表：
1 2 3 4 …
1 3 6 …
（2）写出当=10时，= 。
【试题答案】
1.
2. 或者
3.
4. 5. a+d=b+c 6. 4n+2
7. （1）
1 2 3 4 …
1 3 6 10 …
（2）当=10时，=55
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七年级数学寒假复习提高专题——图形的认识
【本讲教育信息】
一、教学内容
专题复习——图形的认识
1、生活中的几何体
2、三视图的概念，画出几何体的三视图；根据三视图确定物体的形状.
3、线段、直线、射线等简单的平面图形.
4、线段中点的概念，线段的大小比较.
5、角的有关概念，认识角的表示，认识度、分、秒，会进行简单的换算.
6、会比较角的大小，能估计一下角的大小.
7、认识角的平分线，能画出一个角的平分线.
8、平行线的概念及平行线的基本性质，会用平行线关系的传递性进行推理
9、垂线的定义、性质和点到直线的距离，掌握垂线的性质和点到直线的距离.
二、教学目标
1、认识圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球，并能用自己的语言描述它们的某些特征，知道几何体的分类.
2、圆柱、圆锥的侧面可以展开成平面图形.
3、了解几何体的截面由平面与几何体各表面交线构成；理解正方体的截面可以是三角形、四边形、五边形、六边形.
4、了解三视图的概念，能画出几何体的三视图；能根据三视图确定物体的形状.
5、理解线段、直线、射线等简单的平面图形，感受图形世界的丰富多彩，了解两点确定一条直线等事实.
6、了解“两点之间的所有连线中，线段最短”的性质. 借助直尺、圆规等工具比较两条线段的长短，能用圆规作一条线段等于已知线段.
7、理解线段中点的概念，会通过线段的数量关系判断某点是否是线段的中点.
8、理解角的有关概念，认识角的表示，认识度、分、秒，会进行简单的换算.
9、会比较角的大小，能估计一下角的大小.
10、认识角的平分线，能画出一个角的平分线.
11、平行线的概念及平行线的基本性质，会用平行线关系的传递性进行推理
12、垂线的定义、性质和点到直线的距离，掌握垂线的性质和点到直线的距离.
三、知识要点分析
1、生活中的立体图形（这是重点）.
（1）常见的几何体.
在生活中常见的立体图形有三大类，分别是柱体，锥体和球体，其中柱体包括棱柱和圆柱，锥体包括棱锥和圆锥，棱柱与圆柱的区别是棱柱是由平面组成，其中上下面是相同的多边形，圆柱是由两个圆和一个曲面组成；棱锥由一个多边形和边数相同的三角形组成，圆锥由一个圆和一个曲面组成.
（2）立体图形的展开
棱柱根据它的名称可以展开成由几个长方形和两个与其名称相同的平面几何图形组成的一个新平面图形，圆柱可以展开成一个长方形和两个圆，如下图是一个三棱柱的展开图.
（3）立体图形的折叠
（这是难点）因为正方体是由六个小正方形组成，所以要想围成正方体，必须要有六个小正方形，其中四个做侧面，两个做底面，如下图中的几个图形都可以围成正方体.
（4）正确认识用一个平面截一个几何体得到的图形的形状
（这是重点）当用一个平面去截一个几何体时，平面与几何体的相交位置不同，所得到的平面图形是不一样的，下图是用一个平面去截一个正方体，所有可能得到的图形如下：
（5）由立体图形画出三视图
当一个几何体放在我们面前，观察几何体的位置不同，所看到的形状也是不同的，从正面看这个几何体称为主视图，从左面看这个几何体称为左视图，从上面看这个几何体称为俯视图，如图所示。
2、平面图形及其位置关系（重点、难点）
（1）直线、射线和线段的概念及性质
概念：绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似地看做线段，线段有两个端点；将线段向一个方向延长就形成了射线，射线有一个端点；将线段向两个方向无限延长就形成了直线，直线没有端点.
直线的性质：①经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线；②两条直线相交，有且只有一个交点.
线段的性质：两点之间的所有连线中，线段最短，即两点之间，线段最短.
（2）线段长短的比较
一种方法是利用直尺和圆规把两条线段放在同一条直线上，使得两条线段的其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点的同侧，根据另一个端点与重合端点之间距离的大小来确定两条线段的长短.
另一种方法是用刻度尺分别量出两条线段的长度，再根据长度的大小来确定两条线段的长短.
对于线段的中点，应注意两点：第一，线段的中点必须在线段上；第二，这个点必须是将原线段二等分，可见，线段的中点有且只有一个. 这两个意义缺一不可.
（3）角的概念
概念：角的定义方法有两种，其一是：角是由公共端点引出的两条射线所组成的图形，公共端点叫角的顶点，两条射线叫角的两边，其二是：角也可以看成是由一射线绕着它的端点，从一个位置旋转到另一个位置形成的图形. 起始的位置叫角的始边，终止的位置叫角的终边，其中射线旋转时所经过的部分叫做角的内部，另一部分叫角的外部.
从角的定义可以看出角的大小只与开口大小有关，而与角的两边画出的长短无关，同样，与角所处的位置无关.
（4）角的比较方法及角平分线
①度量法：用量角器直接测量出结果并进行比较.
②重合法
两个角比较大小时，将两个角的顶点及一条边重合，另一条边在重合边的同侧，根据第二条边的位置确定角的大小.
∠AOB>∠COD ∠AOB<∠COD ∠AOB＝∠COD
定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
（5）平行线的概念及基本性质
平行线概念：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
我们通常用“∥”表示平行，如图中直线AB与直线CD平行，记作AB∥CD，如果用m，n表示这两条直线，那么直线m与直线n平行，记作m∥n.
两条直线的位置关系：在同一个平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种.
平行线的基本性质：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
（6）垂直的定义与性质
（这是重难点）
垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.
我们通常用“⊥”表示垂直，如图中直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD，如果用m，n表示这两条直线，那么直线m与直线n垂直，记作m⊥n，O为垂足.
[
垂线的两个性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. ②直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短（简称垂线段最短）.
直线外一点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离.
【典型例题】
考点一：生活中的立体图形
例1. 请说出分别与下列展开图对应的立体图形的名称.
【思路分析】注意分析平面图的特点，同时结合一些常见的立体图的平面展开图，如三棱锥，三棱柱，四棱柱等等，再作出判断.
答案：（A）是一个三棱锥沿侧面的棱剪开得到，（B）是一个长方体的平面展开图，（C）是三棱柱适当剪开得到，（D）是一个六棱锥的展开图，原来的立体图如下：
规律与方法：通过面数来确定所得立体图形的形状.
例2. 已知下面是某些立体图形的三视图，猜一猜它们所对应的立体图各是什么？
（1）
（2） （3）
【思路分析】对（1）从正视图和左视图可以猜测出，该立体图应有两个底面，且互相平行，从而是柱体，再从俯视图看出，它应该是三棱柱；
（2）从正视图和左视图都是三角形可猜测，原来的立体图形是一个锥体，再由俯视图可以确认为四棱锥；
（3）的俯视图显示最底层应有四个方块，关键在于确定上面一层的方块的位置，从正视图看出只有左边一排有方块，而左视图表明：靠近纸面的一行有方块，从而确定这层只有一个方块，位于左上方，靠近纸面。
解：
例3. 下列几何体中，同一个几何体的主视图与俯视图不同的是（ ）
【思路分析】A的主视图和俯视图都是长方形，B的主视图和俯视图都是正方形，D的主视图和俯视图都是圆，答案为C.
解：C
友情提示：熟悉各种图形的视图是解决问题的关键.
考点二：平面图形及其位置关系
例4. 已知线段AB=12cm，在直线AB上有一点C，且BC=4cm，M是线段AC的中点，求线段AM的长.
【思路分析】从“在直线AB上有一点C”中可以得到，点C可能在线段AB上，也可能在线段AB的延长线上，所以分两种情况进行讨论.
解：（1）点C在线段AB上，AC=AB－BC=12－4=8，又因M是AC的中点，所以AM=4.
（2）点C在线段AB的延长线上，AC=AB+BC=12+4=16，又因M是AC的中点，所以AM=8.
答：线段AM的长是4cm或8cm.
规律与方法：从题目中找出点与线段的位置关系来分情况讨论.
例5. 观察下图，回答下列问题：
（1）在图①中有几个角？
（2）在图②中有几个角？
（3）在图③中有几个角？
（4）以此类推，如图④所示，若一个角内有n条射线，此时共有多少个角？
【思路分析】图①有一个角，图②有三个角，即3=1+2；图③有六个角，即6=1+2+3；图④有1+2+3+…+（n+1）个角.
解：1，3，6，
例6. 如图，OA⊥OB，OC⊥OD，OE为∠BOD的平分线，∠BOE=17°18′，求∠AOC的度数
【思路分析】从图形上可以看出∠AOC=360 －∠AOB－∠BOE－∠DOE－∠COD，因为OA⊥OB，OC⊥OD，所以∠AOB=∠COD=90 ，因为OE为∠BOD的平分线，所以∠DOE=∠BOE=17°18′.
解：∠AOC=360 －∠AOB－∠BOE－∠DOE－∠COD，因为OA⊥OB，OC⊥OD，所以∠AOB=∠COD=90 ，因为OE为∠BOD的平分线，所以∠DOE=∠BOE=17°18′，所以∠AOC=360 －90°－90°－17°18′－17°18′=145°24′.
【本讲涉及的数学思想和方法】
本讲主要讲述生活中的立体图形和平面图形，本节课涉及的思想是转化的数学思想和对学生空间思维能力的培养.
预习导学案
（图形的认识）
（一）预习要点
（1）认识圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球
（2）圆柱、圆锥的侧面可以展开成平面图形.
（3）了解几何体的截面由平面与几何体各表面交线构成；正方体的截面可以是三角形、四边形、五边形、六边形.
（4）三视图的概念，画出几何体的三视图；根据三视图确定物体的形状.
（5）线段、直线、射线等简单的平面图形，两点确定一条直线.
（6）线段中点的概念，会通过线段的数量关系判断某点是否是线段的中点.
（7）角的有关概念，认识角的表示，认识度、分、秒，会进行简单的换算.
（8）会比较角的大小，能估计一下角的大小.
（9）认识角的平分线，能画出一个角的平分线.
（10）平行线的概念及平行线的基本性质，会用平行线关系的传递性进行推理.
（11）垂线的定义、性质和点到直线的距离，掌握垂线的性质和点到直线的距离.
（二）牛刀小试
1、用一个钉子把一根细木条钉在墙上，木条就可能绕着钉子______，原因是_____；当用两个钉子把木条钉在墙上时，木条就被固定住，其依据是_____________
2、如图（1），用“＞”、“＜”或“＝”连接下列各式，并说明理由. AB＋BC_____AC， AC＋BC_____AB， BC_____AB＋AC，理由是__________
（1） （2） （3）
3、如图（2）中，∠AOB=180°，∠AOC=90°，∠DOE=90°，则图中相等的角有 对，分别为_____；两个角的和为90°的角有____对；两个角的和为180°的角有________对.
4、如图（3），AB的长为m，BC的长为n，MN分别是AB，BC的中点，则MN=_____
5、计算：48°39′+67°41′=_________；90°－78°19′40″=___________
21°17′×5=_______； 176°52′÷3=______（精确到分）
6、同一平面上有五条直线，则这五条直线最多有_____交点，最少有_____个交点.
7、同一平面内有四个点，无三点共线，以其中一点为端点，并且经过另一点的射线共有_______条.
8、同一平面上两条直线的位置关系只有两种，即__________和__________
【模拟试题】（答题时间：60分钟，满分100分）
一、选择题（每小题4分，共40分）
1. 一个直立在水平面上的圆柱体的主视图、俯视图、左视图分别是 （ ）
A. 长方形 、圆、长方形 B. 长方形、长方形、圆
C. 圆、长方形、长方形 D. 长方形、圆、圆
2. 在下面的图形中是正方体的展开图的是 （ ）
3. 按下列线段长度，可以确定点A、B、C不在同一条直线上的是（ ）
A. AB=8㎝，BC=19㎝，AC=27㎝；
B. AB=10㎝，BC=9㎝，AC=18㎝
C. AB=11㎝，BC=21㎝，AC=10㎝；
D. AB=30㎝，BC=12㎝，AC=18㎝
4. 同一平面内，当两直线相交所组成的角为（ ）时，称它们互相垂直。
A. 直线 B. 直角 C. 线段 D. 射线
5. 一个人从A点出发向北偏东60°的方向走到B点，再从B点出发向南偏西15°方向走到C点，那么∠ABC的度数是（ ）
A. 75° B. 105° C. 45° D. 135°
6. 同一平面内互不重合的三条直线的公共点的个数是（ ）
A. 可能是0个，1个，2个 B. 可能是0个，2个，3个
C. 可能是0个，1个，2个或3个 D. 可能是1个或3个
7. 直线a外有一定点A，A到a的距离是5㎝，P是直线a上的任意一点，则（ ）
A. AP>5㎝； B. AP≥5㎝； C. AP=5㎝； D. AP<5㎝
8. 下列说法正确的是（ ）
A. 过一点能作已知直线的一条平行线；
B. 过一点能作已知直线的一条垂线
C. 射线AB的端点是A和B；
D. 端点可以用一个大写字母表示，也可用小写字母表示
9. 同一平面内有四点，每过两点画一条直线，则直线的条数是（ ）
A. 1条 B. 4条 C. 6条 D. 1条或4条或6条
10. 下列推理中，错误的是（ ）
A. 在m、n、p三个量中，如果m=n，n=p，那么m=p.
B. 在∠A、∠B、∠C、∠D四个角中，如果∠A=∠B，∠C=∠D，∠A=∠D，那么∠B=∠C；
C. a、b、c是同一平面内的三条直线，如果a∥b，b∥c，那么a∥c；
D. a、b、c是同一平面内的三条直线，如果a⊥b，b⊥c，那么a⊥c
二、填空题（每题4分，共20分）
11. 已知三棱柱有5个面6个顶点9条棱，四棱柱有6个面8个顶点12条棱，五棱柱有7个面10个顶点15条棱，……，由此可以推测n棱柱有_____个面，____个顶点，_____条侧棱.
12. 如图，在线段AB上，C、D分别是AM、MB的中点，如果AB=a，用含a的式子表示CD的长为_____________.
13. 计算：62°38′－27°3′28″=__________________.
14. 如图，是一副三角板重叠而成的图形，则∠AOD+∠BOC=_____________.
15. 如图所示，PQ是一条线段，有一只蚂蚁从点A出发，按顺时针方向沿着图中实线爬行，最后又回到A点，则蚂蚁共转了___________度的角.
三、解答题（共40分）
16. （本题8分）如图，这是一个由小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数。请你画出它的主视图与左视图.
17. （本题8分）已知下图为一几何体的三视图：（1）写出这个几何体的名称；（2）任意画出它的一种表面展开图；（3）若主视图的长为10，俯视图中三角形的边长为4，求这个几何体的侧面积.
18. （本题5分）已知线段AB=8cm，回答下列问题：
（1）是否存在点C，使它到A、B两点的距离之和等于6cm，为什么？
（2）是否存在点C，使它到A、B两点的距离之和等于8cm，点C的位置应该在哪里？这样的点C有多少个？
19. （本题9分） 灯塔A在灯塔B的南偏东60°，A、B相距4海里，轮船C在灯塔B的正东方向，在灯塔A的北偏东30°，选用适当的比例画图确定轮船C的位置.
20. （本题10分） 据图，回答下列问题：
（1）比较∠AOB、∠AOC、∠AOD的大小，并指出图中的锐角、直角和钝角.
（2）能否看出图中某些角之间的等量关系.
【试题答案】
一、
1. A
2. B【思路分析】正方体有四个侧面，展开后在同一条线上，两个底面分别在这条线的两侧.
3. B【思路分析】因为AB+BC>AC，所以不在同一条直线上.
4. A【思路分析】通过垂直的定义可以得出答案.
5. C【思路分析】画出图形就可以.
6. C【思路分析】三条直线平行时，是0个交点；两条直线平行时，是2个交点，其它情况是1个或3个交点.
7. B【思路分析】如果P是A到直线的垂足，则PA=5，其它情况PA>5.
8. B【思路分析】A选项必须是直线外一点，C射线只有一个端点，D端点只能用大写字母来表示.
9. D【思路分析】过四点画直线，所有可能的情况是1或4或6.
10. D【思路分析】a与c的关系是平行关系.
二、
11. n+2，2n，3n
12. 【思路分析】CD是线段AB的一半.
13. 35°34′32″
14. 180°【思路分析】这两个角的和其实是两副直角三角板的直角之和.
15. 1080【思路分析】从P到Q转了三周半.
三、
16. 解：
主视图 左视图
【思路分析】确定每一层小正方体的个数.
17. 解：（1）这个几何体的名称是三棱柱；
（2）任意一种图形：
（3）
【思路分析】先确定这个几何体的名称，然后计算它的侧面积.
18. 解：（1）不存在，AB+BC<8cm （2）存在，点C在AB上，无数个
【思路分析】根据两点之间线段最短及线段的和差关系确定C的位置.
19. 解：
【思路分析】先根据要求找出A点的位置，然后根据方位找出C点的位置.
20. 解：（1）∠AOB<∠AOC<∠AOD；
锐角为∠AOB、∠COD、∠BOC；
直角为∠AOC、∠BOD；
钝角为∠AOD.
（2）∠AOB=∠COD；∠AOC=∠BOD；∠AOB+∠BOC=90°；∠COD+∠BOC=90°.
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七年级数学寒假复习提高专题——一元一次议程、不等式
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
【教学目标】
1. 通过专题复习，掌握一元一次不等式、一元一次方程的解法。
2. 通过此专题复习，熟悉有关一元一次不等式、一元一次方程的综合题型的解法。
【教学重点、难点】
重点：一元一次方程、一元一次不等式的解法。
难点：一元一次方程、一元一次不等式的综合题型的解答。
【知识要点】
1. 有关一元一次方程的基本概念
①含有未知数的等式叫方程。使方程两边的值相等的未知数的值叫方程的解。求方程的解的过程叫解方程。
②含有一个未知数，并且含未知数的项中未知数的次数为1，这样的方程叫一元一次方程，如3x＋8＝6，6t＋5＝2t。
2. 解一元一次方程的步骤及注意事项
（1）去分母。方程两边都乘以分母的最小公倍数，但不能漏乘无分母的项。
（2）去括号。注意括号前的数要与括号里的每项相乘不漏乘，去括号按去括号法则进行。
（3）移项。注意移项要变号，没有从一边移到另一边的项千万不要变号。
（4）化简。注意方程两边的计算要准确。
（5）化系数为1。方程两边都除以未知数前面的系数，注意不能颠倒了分子分母。如3x＝4
3. 有关不等式的概念
（1）表示不等关系的式子叫不等式。如3x≥5，4m≠m－5，1<2……
（2）满足一个不等式的未知数的每一个值称为这个不等式的一个解，一个不等式的解的全体叫这个不等式的解集。
（3）求一个不等式的解集的过程叫解不等式。
（4）含有一个未知数且含未知数的项中未知数的次数为1的不等式叫一元一次不等式。
4. 一元一次不等式的解法与注意点
（1）去分母。注意不漏乘无分母的项，不等式方向有时会变。
（2）去括号。注意不漏乘括号里的项，去括号时注意符号是否要改变，不等式的方向不变。
（3）移项。移项变号，不等式的方向不变。
（4）化简。注意计算准确，不等式的方向未变。
（5）化系数为1。注意不颠倒分子、分母位置，并且当未知数前的系数为负数时，不等式的方向一定改变。
说明：解方程不存在不等式的方向改变这样的问题。因此，解不等式比解方程更要细心，解方程得到未知数的解一般只有一个，而解不等式得到的未知数的解一般有无数个，是一个集合。
5. 不等式的解集在数轴上表示
（1）画一条数轴，标出原点、正方向、单位长度及数值。
（2）找到不等式的解集的边界值。
（3）确定是否用空心圆圈或实心圆点表示。
（4）注意大于折线开口向右，小于折线开口向左。
【典型例题】
例1. 解下列方程。
解：
解法一：
解法二：
（只对每一个分母为小数的分式，分子、分母同时扩大相同的倍数，其他项不变，尽量乘以最小的倍数，否则数大了，计算复杂些）
例2. 解下列不等式，并在数轴上表示它们的解集。
解：
在数轴上表示：
在数轴上表示：
在数轴上表示：
在数轴上表示：
在数轴上表示为：
在数轴上表示：
说明：找解集的边界值时，要估计大约在什么位置，不能出现大的错误，在还要往左一丁点的位置上，比小得多，离原点要更远一点。
例3.
分析：由已知两方程的解相同，不是指方程相同，而是先把两方程的解求出，用m的表达式表示x，可得到两个m的表达式相等，于是有第3个方程，解之得m。
解：
答：
说明：此题涉及解三个方程，计算复杂，只要细心则行。
例4.
分析：此题中关于x的方程的解为非负，即大于或等于0，也必求出x来，用n的表达式表示，把n看作常数，由已知非负，则可得到n的表达式大于或等于0，解不等式得n的取值范围，此题涉及解方程解不等式知识，关键在理解题目，确保计算准确。
解：
答：n的取值范围为n≥6。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
一、解方程
二、解不等式，并在数轴上表示它们的解集。
三、关于x的方程与的解相同，求m的值。
四、关于x的方程的解为负数，求t的取值范围。
【试题答案】
一、解方程
二、解不等式
三、解：由得
则
由得：
则
由已知有：
则
答：
四、解：由
则
由已知有：得：
解之得：
答：t的取值范围为。
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七年级数学寒假复习提高专题——数学与体育
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
寒假专题——数学与体育
一、比赛场次中的组合问题。
我们经常在体育新闻中听到某某球队提前几轮出现这样的话语，其实这中间包含了很多组合的知识。如果有n支球队进行比赛，比赛的场数会根据比赛的方式不同而不同。我们熟悉的比赛方式主要有淘汰赛和单循环赛。比赛的场数分别是
淘汰赛：场
单循环赛：场
此外还要求同学们根据不同的比赛方式灵活的应用以上公式，分析解决不同问题，图表在这里也同样有着很大作用。
二、联络方案问题。
通过打电话进行联络是同学们日常生活中比较熟悉的事情，要求“尽快地通知到全班的同学”，也就是所需时间尽可能少。
画出清晰的图表是解决这类问题的关键。这部分内容我们在前面的章节中已经做过详细的讲解，在这里就不再赘述。
三、起跑线中的几何应用。
事实上我们可以将所谓“起跑线”问题归结为以上图形所表示的问题：弯道的外圈半径为R米，内圈半径为r米，则在跑过这个圆的弯道时，外圈比内圈多跑了米，也就是外圈的起跑线应提前米。
【例题分析】
例1：4个学校的代表队参加“友好杯”羽毛球比赛。
（1）如果采用单循环赛制，决出冠军和亚军，至少需要多少场？
（2）如果采用淘汰制比赛，决出冠军和亚军，一共需要赛多少场？
分析与解答：此类问题比较简单，关键是审清问题，弄清采用什么赛制，再按照各种赛制的比赛方法计算出比赛场次。
（1）采用单循环赛制可以用图表的方法来解决，共有6场。
（2）采用淘汰制比赛4支球队需要淘汰掉3支，而每淘汰一支球队就需要进行一场比赛，所以共需进行3场。
如果我们将题目改成：“10个学校的代表队参加“友好杯”羽毛球比赛。
1）如果采用单循环赛制，决出冠军和亚军，至少需要多少场？
2）如果采用淘汰制比赛，决出冠军和亚军，一共需要赛多少场？
3）若先分两个小组，在小组内采用单循环制，小组前2名共4支球队再进行淘汰制，决出冠亚季军，则共进行多少场？”
1）采用单循环赛制如果还用图表的方法来解决未免有些麻烦，我们可以用公式法来解决：
比赛场数＝场。
2）采用淘汰制比赛10支球队需要淘汰掉9支共需进行9场。
3）此类问题是综合以上两种比赛方式进行的，可以分为两部分：
循环赛部分：每一小组的比赛场数均为如图所示为10场，两个小组20场。
淘汰赛部分：四支球队淘汰赛共需4场，因为决出季军还得再进行一场。
所以加在一起共进行20＋4＝24场比赛。
例2：现有1角币一张，2角币一张，5角币一张，1元币一张，用这些人民币可以组成多少种不同数额的钱款？
分析与解答：我们可以用列举的方法来解决这道题：
由1张组成不同的钱数为
1角 2角 5角 1元 共计：4种
由2张组成不同的钱数为
1角+2角=3角 1角+5角=6角 1角+1元=11角 3种
2角+5角=7角 2角+1元=12角 2种
5角+1元=15角 1种 共计：3+2+1=6种
由3张组成不同的钱数为
1角+2角+5角=8角 1角+2角+1元=13角 1角+5角+1元=16角
2角+5角+1元=17角 共计：4种
由4张组成不同的钱数为：
1角+2角+5角+1元=18角 共计：1种
所以一共有：4+6+4+1=15种不同的钱数。
如果我们将题目改成：“现有1角币两张，2角币一张，5角币一张，用这些人民币可以组成多少种不同数额的钱款”
我们还用这样的办法试试：
由1张组成不同的钱数为
1角 2角 5角 共计：3种
由2张组成不同的钱数为
1角+2角=3角 1角+5角=6角 2角+5角=7角 共计：3种
由3张组成不同的钱数为
1角+1角+2角=4角 1角+2角+5角=8角 共计：2种
由4张组成不同的钱数为：
1角+1角+2角+5角=9角 共计：1种
所以一共有：3＋3＋2＋1＝9种不同的钱数。
例3：暑假老师有急事电话通知某兴趣小组同学到校，已知兴趣小组的联络网是按分组的形式编排的，共分4组，老师只负责通知给组长，再由组长通知组员，每个电话需要1分钟。
1）如果每个小组的人数一样多，那么最短几分钟能通知到全组20名同学？
2）如果由于某种原因必须按照下图的方案分组，最短几分钟能通知到全组20名同学？
3）如果每个小组的人数可以不一样多，那么如何编排各小组的人数能够在最短的时间内通知到全组20名同学？
分析与解答：第一个问题比较简单，我们这样解决：先将每人编号，再将时间标在每人代号的旁边或下方，所用的最短时间即时间数最大值。
1）如果每个小组的人数一样多，则应有以下图形所示的方案。
所以共需要8分钟能通知到全组20名同学。
2）第二个问题，如果我们按照题中的图形来解决
似乎需要10分钟才能全部通知到，不过我们将图形的位置颠倒一下：
最大的时间数为7，所以共需要7分钟就能通知到全组20名同学。
3）根据2）所做的研究，无论哪一组增加人数或减少人数，最大的时间数都不会小于7，所以2）中的方案能够在最短的时间内通知到全组20名同学，最短时间为7分钟
例4：红、黄两只蚂蚁都认为自己跑得快，于是决定比赛。红蚂蚁沿图中一个大半圆跑，黄蚂蚁沿着两个相同的小半圆跑，都从甲跑到乙，结果同时出发同时到达。你能说明2只蚂蚁谁跑的快吗？
分析与解答：设外面大圆的半径为R，则里面两个小半圆的半径为。
大半圆的长度=лR，小半圆的长度=
两个小半圆的长度之和=+=лR=大半圆的长度
因为这两个图形的长度相等，又同时出发同时到达，说明时间相等。
所以2只蚂蚁的速度相同。
这个图形比较特殊，如果我们将题目改成：“红蚂蚁沿图中一个大半圆跑，黄蚂蚁沿着三个相同的小半圆跑，都从甲跑到乙，结果同时出发同时到达。”此时答案还一样吗？
不难得到：设外面大圆的半径为R，则里面3个小半圆的半径为。
大半圆的长度=лR，小半圆的长度=
三个小半圆的长度之和=+＋=лR=大半圆的长度
所以，2只蚂蚁的速度仍相同。
如果我们将题目改成：“红蚂蚁沿图中一个大半圆跑，黄蚂蚁沿着两个不同大小的小半圆跑，都从甲跑到乙，结果同时出发同时到达。”此时答案还一样吗？
设外面大圆的半径为R，里面2个小半圆的半径分别为、，则里面2个两个小半圆的半径和为＋＝R。
大半圆的长度=лR，小半圆1的长度=，小半圆2的长度=
两个小半圆的长度之和=+==лR=大半圆的长度，规律不变。
最后如果我们将题目改成：“红蚂蚁沿图中一个大半圆跑，黄蚂蚁沿着任意多个不同大小的小半圆跑，都从甲跑到乙，结果同时出发同时到达。”此时答案还一样吗？
设外面大圆的半径为R，里面n个小半圆的半径分别为、……，则里面n个小半圆的半径和为＋＋……＋＝R。
大半圆的长度=лR，小半圆1的长度=，小半圆2的长度=，……，小半圆n的长度=。
n个小半圆的长度之和=+＋……＋=……=лR=大半圆的长度。
所以我们可以将此题总结为：只要黄蚂蚁沿着几个小半圆跑，无论小半圆的半径如何，都与红蚂蚁跑的路程一样。
【模拟试题】（答题时间：20分钟）
1、2名运动员进行400米赛跑，跑道宽1.2米，弯道部分为半圆，则相临两条跑道起跑线的差为__________米。
2、某项比赛，采用单循环制，那么每组4个队的小组会比每组3个队的小组多（ ）场比赛。
A. 1场 B. 2场 C. 3场 D. 6场
3、某市初中12支排球队进行比赛，如果采用单循环赛制，一共举行（ ）场比赛。
A、11 B、12 C、66 D、72
4、某校初中一年（6）班有44人，老师给同学布置这样一个作业题：请你为班级设计一个联络网，并提出如下问题供同学研究：
①借助电话传递一条信息，对于不同的方案打电话次数是否相同？
②如果打一次电话需要1分钟，那么从开始到结束，不超过9分钟传递一条信息，请你设计一种方案。
【试题答案】
1、2.4
2、C
3、C
4、①相同 ②只要方案合理即可。
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七年级数学寒假复习提高专题——规律探索
【本讲教育信息】
一、教学内容：
寒假专题——规律探索
在学习和生活中，我们经常会碰到一些连续重复出现某种现象的有规律的问题．我们如何寻找这些规律，解决这些问题呢？本讲就此问题中常见的几种类型，举例说明如何解决规律性问题．
二、考点分析：
近年来有关规律探索性题目在初中数学的考试题中频繁出现，所占分值不高，但难度偏大．主要类型有：图形规律、数的运算规律、代数式的规律等问题．
【典型例题】
题型一 关于图形排列的规律性问题
例1.观察下列图形，根据变化规律推测第100个与第_______个图形位置相同．
分析：图中的小猪只有三种形态，第4个图和第1个图相同，第5个图和第2个图相同，第6个图和第3个图相同，……．依此规律，第7个图应该和第1个图相同，第10个图和第1个图相同，每过三个图形便重复一次．第99个图形正好重复33次，那么第100个图形与第1个图形位置相同．
解：1
评析：本题也可以把图形转化为数字：1，2，3，4，5，6，……，如果某个数字被3除余1，那么该图形与第1个图形位置相同；如果某个数字被3除余2，那么该图形与第2个图形位置相同；如果某个数字被3整除，那么该图形与第3个图形位置相同．100除以3余数是1，所以第100个图形与第1个图形相同．
例2.观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20个图形共有__________个★．
分析：第1个图形有1×3＝3个★；第2个图形有2×3＝6个★；第3个图形有3×3＝9个★；第4个图形有4×3＝12个★，……，第20个图形有20×3＝60个图形．
解：60
评析：图中三角形是由★组成的，第1个图形中每边有2个★，共有2×3－3＝3个★；第2个图形中每边有3个★，共有3×3－3＝6个★；第3个图形中每边有4个★，共有4×3－3＝9个★；第4个图形中每边有5个★，共有5×3－3＝12个★；……．第20个图形中每边有21个★，共有21×3－3＝60个．
例3. 如图所示，在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；……照此规律，画10条不同射线，可得锐角__________个．
分析：在∠AOB内部画一条射线时第1个图形共有3条射线，以OA为边可以形成∠AOC，∠AOB；以OC为边可以形成∠AOC、∠BOC；以OB为边可以形成∠AOB、∠BOC．这些角两两重复，实际是6÷2＝3个角．即第1个图形有3×2÷2＝3个角．同理，第2个图形有4×3÷2＝6个角，第3个图形有5×4÷2＝10个角，……，画10条不同的射线时是第10个图形，共有12条射线，有12×11÷2＝66个角．
解：66
评析：和本例类似的题目：
（1）在一条直线上取n个不同的点可以组成多少条线段，如图所示．
点A可以和除A以外的所有点（n－1）组成线段，点B可以和除B以外的所有点（n－1）组成线段，……，这样的点A或点B或……共有n个，所以有线段n（n－1）条．在这n（n－1）条线段中两两重复，如以A为端点的线段包含AB，而以B为端点的线段也包含AB，所以组成的不同线段有n（n－1）条．
（2）在联欢会上，到场的n个人每两人握一次手，共握手多少次？
这个问题也可以用类似的方法求解，在一条直线上取n个不同的点，每个点代表一个人，求握手次数可以转变成求不同线段的条数．
题型二 有理数的规律性问题
例4. 有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为__________．
（2）已知an＝（－1）n＋1，当n＝1时，a1＝0；当n＝2时，a2＝2；当n＝3时，a3＝0；…．则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6的值为__________．
分析：（1）观察这组数，正好是从0开始的连续完全平方数加1，如1＝02＋1，2＝12＋1，5＝22＋1，……所以第8个数应为：72＋1＝50．（2）对于an＝（－1）n＋1，当n＝1时，a1＝0；当n＝2时，a2＝2；当n＝3时，a3＝0；…．可见当n为奇数时，an＝0；当n为偶数时，an＝2．则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6的值为6．
解：（1）50（2）6
例5. 观察下图中一列有规律的数，然后在“？”处填上一个合适的数，这个数是__________．
分析：由图中看到第二个数字是由第一个数字加上3得到的，第三个数字是由第二个数字加上5得到的，第四个数字是由第三个数字加上7得到的，后面依次加上9，11，…．
解：63
评析：直接观察0，3，8，15，……，可以发现每个数加上1后都变成完全平方数，也就是0＝12－1，3＝22－1，8＝32－1，……，48＝72－1．下一个数应该是82－1＝63．
例6. 符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）f（1）＝0，f（2）＝1，f（3）＝2，f（4）＝3，…
（2）f（）＝2，f（）＝3，f（）＝4，f（）＝5，…
利用以上规律计算：f（）－f（2008）＝__________．
分析：根据（1）和（2）推测出运算法则，由（1）可得，当取1、2、3、4、…这样的正整数时，结果为0、1、2、3、…的整数，用一个一般性的式子表示是f（n）＝n－1，这里n取正整数．则f（2008）＝2008－1＝2007．由（2）可得，f（）＝n，这里n取大于等于2的整数，所以f（）＝2008，所以f（）－f（2008）＝2008－2007＝1．
解：1
评析：定义新运算也是常见的创新题型，本题主要考查对数量与数量之间关系的理解．
【方法总结】
解答规律性问题要求学生学会观察，懂得分析，善于归纳、总结，在解决这类问题的过程中促进数学知识和数学方法的巩固和掌握，提高学生思维能力的提高和自主探索、创新精神．
【模拟试题】（答题时间：45分钟）
一. 选择题
1. 用M，N，P，Q各代表四种简单几何图形（线段、正三角形、正方形、圆）中的一种．图1～图4是由M，N，P，Q中的两种图形组合而成的（组合用“&”表示）．（ ）
那么，下列组合图形中，表示P&Q的是（ ）
2. 观察下列图形，并按照此规律从左向右第2007个图形是（ ）
3. 观察下面给出的四个点阵，s表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n个点阵中的点的个数s为（ ）
A. 3n－2 B. 3n－1 C. 4n＋1 D. 4n－3
4. 有30张分别标示1～30号的纸牌．先将号码数为3的倍数的纸牌拿掉，然后从剩下的纸牌中，拿掉号码数为2的倍数的纸牌．若将最后剩下的纸牌，依号码数由小到大排列，则第5张纸牌的号码为（ ）
A. 7 B. 11 C. 13 D. 17
*5. 观察表1，寻找规律．表2是从表1中截取的一部分，其中a、b、c的值分别为（ ）
表1
1 2 3 4 ……
2 4 6 8 ……
3 6 9 12 ……
4 8 12 16 ……
…… …… …… …… ……
表2
16 a
20 b
c 30
A. 20，25，24 B. 25，20，24 C. 18，25，24 D. 20，30，25
**6. 23，33和43分别可以按如图所示方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，63也能按此规律进行“分裂”，则63 “分裂”出的奇数中最大的是（ ）
A. 41 B. 39 C. 31 D. 29
二. 填空题
1. 根据下列图形的排列规律，第2008个图形是福娃__________（填写福娃名称即可）．
2. 观察下列图形的排列规律（其中☆，□，●分别表示五角星、正方形、圆）．●□☆●●□☆●□☆●●□☆●……若第一个图形是圆，则第2008个图形是__________（填名称）．
3. 如图，观察下列图案，它们都是由边长为1cm的小正方形按一定规律拼接而成的，依此规律，则第16个图案中的小正方形有__________个．
4. 用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖__________块，第n个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含n的代数式表示）
**5. 如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，…，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为__________．
三. 解答题
*1. 下图是2009年1月的日历．任意画一个方框框住9个数字．
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31
（1）方框中的9个数字之和与该方框中间的数字有什么关系？
（2）这个关系对其他这样的方框成立吗？用代数式表示这个关系．
（3）这个关系对2009年10月的日历也成立吗？
【试题答案】
一. 选择题
1. B 2. C 3. A 4. C 5. A
6. A 提示：观察数字排列规律发现：一个数能“分裂”成的奇数中最大的那个奇数在最下面，且这个奇数与这个数的关系是：5＝2×3－1；11＝3×4－1；19＝4×5－1；…；那么63能“分裂”出的最大的奇数应是：6×7－1＝41．
二. 填空题
1. 欢欢 2. 正方形 3. 136 4. 10，3n＋1
5. n（n＋1）
提示：图①可以看成一个正三角形的每条边变成：（由4条折线组成）；
图②可以看成一个正方形的每条边变成：（由5条折线组成）；
……
图①的边数：3×4＝12；
图②的边数：4×5＝20；
图③的边数：5×6＝30；
图④的边数：6×7＝42；
……
正n边形“扩展”而来的多边形的边数为：n（n＋1）．
三. 解答题
1.（1）方框中的9个数之和是该方框正中间的数的9倍．
（2）这个关系对其他这样的方框仍然成立．
设第一行最左边的数为a，则这9个数的和为：[a＋（a＋1）＋（a＋2）＋（a＋3）＋（a＋4）＋（a＋5）＋（a＋6）＋（a＋7）＋（a＋8）＝9a＋36＝9（a＋4）．而正中间的数为a＋4，所以这九个数的和为正中间的数的9倍．
（3）结论仍然成立，理由同（2）．
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七年级数学寒假复习提高专题————有理数（1）
【本讲教育信息】
一、教学内容
专题复习——有理数
1、有理数的基本概念.
2、相反数、数轴及绝对值的概念.
3、有理数的加减乘除乘方运算法则.
4、有理数的混合运算.
二、教学目标
1、了解负数的概念，体会负数引入的必要性和有理数应用的广泛性.
2、会判断一个数是正数还是负数，能应用正负数表示生活中具有相反意义的量.
3、理解有理数，并会将有理数进行分类.
4、理解数轴的概念，会画数轴，并会利用数轴比较两个有理数的大小.
5、理解绝对值的概念及性质
6、会求负数的绝对值和比较负数的大小.
7、能进行有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算.
三、知识要点分析
1、有理数的基本概念（这是重点）.
（1）正数与负数.
①正数：比0大的数；②负数：在正数前面加上“－”号的数叫负数，所以负数还可以说成是比0小的数；③正数和负数可以代表意义相反的量.
如：正数可代表：上升，盈利，增加，运入，海平面以上，零度以上……
负数可代表：下降，亏本，减少，运出，海平面以下，零度以下……
④特别要注意的！0既不是正数，也不是负数，但0是整数，是有理数.
（2）有理数分类.
整数和分数统称有理数，有理数可以这样进行分类
（3）数轴的概念
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴
（4）相反数的概念
如2与－2只有符号不同，在数轴上位于原点的两侧，并且到原点都是两个单位的长度，像这样的一对数我们称之为相反数，其中一个数是另一个数的相反数. 同样，3.5的相反数是－3.5，同理，－3.5的相反数是3.5，规定0的相反数是0.
（5）绝对值的概念及性质
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，数a的绝对值记作│a│.
因为一个数可以是正数，可以是负数，也可以是０，由此得到绝对值的代数意义是：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；０的绝对值是０.
2、有理数的运算（重点、难点）
（1）有理数的加法
有理数的加法法则是：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0。一个数同0相加，仍得这个数.
在有理数范围内，加法的交换律和结合律仍然成立.对三个以上的有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可以把其中的几个数相加.
（2）有理数的减法
由于减法是加法的逆运算，如a－b=c就是已知两个数的和a与一个加数b，求另一个加数c的运算。因此，有理数的减法运算可以转化为加法去做，得到有理数的减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数.即a－b=a+（－b），a－（－b）=a+b.
（3）有理数的乘法
小学时我们已经学过正数的乘法，对于正数和负数相乘的意义，如2×（－3）可以看作是水库的水位下降，记为负量.若每小时下降3cm，2个小时就下降了6cm，表示为－6cm，也就是说2×（－3）=－6。也就得到了有理数的乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0.
对于多个有理数相乘，由有理数的乘法法则可以推出：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.即确定符号后把绝对值相乘. 无论有几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为0.
（4）有理数的除法
我们知道，除法是乘法的逆运算，在a×b=c中，如果已知乘数c和一个因数b求另一个因数a，或已知乘数c和一个因数a求另一个因数b的运算都是除法.根据除法的这种含意，我们得到有理数的除法法则：
除以一个数等于乘以这个数的倒数。即a÷b=a×（b≠0）.
（5）有理数的乘方
在有理数的乘法运算中，有一类各因数都相同的特殊的形式，如（－2）×（－2），为了简便起见，可以写成（－2）×（－2）= （－2）2。一般地，几个相同的因数a相乘，即a×a×a×…×a，记作an。这种求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在an中，a叫做底数，n叫做指数，an读作a的n次方. an看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂.
（6）有理数混合运算法则.
有理数的混合运算的运算顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号内，再算括号外.
【典型例题】
考点一：有理数基本概念
例1. －3的相反数是 ，倒数是 ，绝对值是 .
【思路分析】本题主要考查的是相反数，倒数，绝对值的概念。根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数知－3的相反数是3；求倒数时，先把－3化为假分数，即，故其倒数是；根据负数的绝对值是它本身的相反数可以确定－3的绝对值是3
答案：3，－，3
规律与方法：掌握相反数，倒数及绝对值的相关概念.
例2. 已知│a│＝3，求a.
【思路分析】在数轴上离开原点距离为3的数有两个：一个是3，另一个是－3. 所以a的值是3与－3这一对相反数.
解：∵│a│＝3，│±3│=3
∴a=3
友情提示：绝对值是０的数一定是０. 绝对值为正数a的有理数共有两个，是两个互为相反数a和－a.
例3. 比较和的大小.
【思路分析】比较两个负分数的大小，按法则，先要求出它们的绝对值，并比较绝对值的大小，这两个分数的绝对值是两个异分母的正分数，要比较它们的大小，需通分.
解：∵，.∴， ∴<
友情提示：两个有理数比较大小，当它们都是负数时，必须通过比较出它们的绝对值大小来确定它们的大小. 但一定要注意，因为是两个负数，那么它们的绝对值越大，说明在数轴的左边离原点的距离越远，因此它的值越小.
例4.（1）求出大于－5而小于5的所有整数；
（2）求出适合3＜＜6的所有整数；
（3）试求方程=5，=5的x的值；
（4）试求＜3时，x的所有整数.
【思路分析】（1）借助数轴表示±5之间的整数点，有几个整数点，就有几个整数；（2）也借助数轴来找3到6与－3到－6之间有几个整数点；（3）根据一个数的绝对值为正数，这样的数有两个，一正，一负，且它们互为相反数；（4）在数轴上找出－3到3之间的整数点.
答案：
（1）大于－5而小于5的所有整数，在数轴上表示±5之间的整数点，显然有±4，±3，±2，±1，0
（2）3＜＜6在数轴上表示到原点的距离大于3个单位而小于6个单位的整数点?
在原点左侧，到原点距离大于3个单位而小于6个单位的整数点有－5，－4；在原点右侧距离原点大于3个单位而小于6个单位的整数点有4，5?
所以，适合3＜＜6的整数有±4，±5?
（3）=5表示到原点距离有5个单位的数，显然原点左、右侧各有一个，分别是－5和5?
所以=5的解是x=5或x=－5?
同样=5表示2x到原点的距离是5个单位，这样的点有两个，分别是5和－5.
所以2x=5或2x=－5，解这两个简易方程得x=或x=－?
（4）＜3在数轴上表示到原点距离小于3个单位的所有整数点.
很显然－3与3之间的整数点有±1，±2，0.?
考点二：有理数的运算
例5. 计算
（1） （2）（－+）÷
【思路分析】有理数的混合运算，应先计算乘方，然后再计算乘除，最后计算加减。如果有括号，要先计算括号里面的.在进行计算时，要注意运算律的应用.
解：（1）
=－1×（－8+9）
=－1×1
=－1.
（2）（－+）÷
=（－+）×36
=×36－×36+×36
=－27－20+21
=－26
规律与方法：正确掌握有理数的运算顺序是解决问题的关键.
例6. 若 ，
【思路分析】由于一个数的绝对值和平方都是一个非负数，所以若想让两者的和为零，必须两部分同时为零，即x－2=0，，即x=2，.
解：2，
规律总结：掌握平方与绝对值的非负性.
例7. 定义，则______.
【思路分析】本题是一种新定义运算题，定义，所以，故填－2
解：－2
【本讲涉及的数学思想和方法】
本讲主要讲述有理数的基本概念及有理数的运算，本节课涉及的思想是转化的数学思想，分类讨论的数学思想.
预习导学案
（代数式）
（一）预习要点
（1）用字母表示以前学过的运算律和计算公式；体会字母表示数的意义，形成初步的符号感.
（2）代数式的概念，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，发展符号感.
（3）求代数式的值，感受代数式求值可以理解为一个转换过程或某种算法.
（4）合并同类项法则，并能进行同类项的合并.
（5）去括号法则；会根据法则进行去括号的运算；
（6）经历探索数量关系、运用符号表示规律、通过运算验证规律的过程；会用代数式表示简单问题中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律.
（二）牛刀小试
1. 一个正方体边长为a，则它的表面积是_______.
2. 鸡，兔同笼，有鸡a只，兔b只，则共有头_______个，脚_______只.
3. 当a＝2，b＝1，c＝－3时，代数式的值为___________
4. 观察下列图形的排列规律（其中☆，□，●分别表示五角星、正方形、圆）.
●□☆●●□☆●□☆●●□☆●若第一个图形是圆，则第2008个图形是
（填名称）
5. 小红到厨房帮助妈妈切葱条，她把4根长短相等的葱条放整齐后，从正中一刀切断，使4根葱条变成了8节，再把这8节葱条放整齐后从正中一刀切断……如此进行下去，当小红第五刀切下去后，原来的4根葱条就变成了 节细葱.
6. 已知2axbn－1与3a2b2m（m为正整数）是同类项，那么（2m－n）x=________.
7. 当k=______时，3x2y与xky是同类项，它们合并的结果为_________.
【模拟试题】（答题时间：60分钟，满分100分）
一、选择题（每小题4分，共40分）
1. 下列说法中正确的是（ ）
A. 一个数前面加上“－”号，这个数就是负数；
B. 非负数就是正数
C. 正数和负数统称为有理数
D. 0既不是正数又不是负数
2. 一个数的倒数等于它本身的数是（ ）
A. 1 B. C. ±1 D. 0
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 使等式｜－7+x｜=｜－7｜+｜x｜成立的有理数x是（ ）
A. 任意一个正数 B. 任意一个非正数
C. 小于1的有理数 D. 任意一个有理数
5. 如果两个数的绝对值相等，则这两个数（ ）
A. 互为相反数 B. 相等 C. 积为0 D. 互为相反数或相等
6. 若a＜0，b＜0，则下列各式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
7. 若0＜a＜1，则a，，从小到大排列正确的是（ ）
A. B. C. D.
8. 定义a∨b表示a、b两数中较大的一个，a∧b表示a、b两数中较小的一个，则（50∨52）∨（49∧51）的结果是（ ）
A. 50 B. 52 C. 49 D. 51
9. 大于－1999而小于2000的所有整数的和是（ ）
A. －1999 B. －1998 C. 1999 D. 2000
10. 当n为正整数时，的值是（ ）
A. 0 B. 2 C. D. 2或
二、填空题（每题4分，共20分）
11. －5的相反数是 ，0.001的绝对值是 ，－的倒数是 。
12. 计算：－7+（+2）= ，－5－5= ， ， ， ， .
13. 比较大小： ， ， .
14. 绝对值不大于2的所有整数有 ；其所有整数的和为 。
15. 若，b互为倒数，c，d互为相反数，则（c+d）2－b=__________.
三、解答题（共40分）
16. （本题8分）计算：
（1）； （2）
17. （本题8分）运用简便方法计算：
（1）； （2）.
18. （本题5分）列式并计算：的平方除以9的相反数的商.
19. （本题9分）已知a＜0，b＞0，且，求｜a｜－｜b｜的值.
20. （本题10分） 一口水井，水面比井口低3米，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬，第一次爬了0.5米后又往下滑了0.1米，第二次往上爬了0.42米却又滑下了0.15米，第三次往上爬了0.7米却下滑0.15米，第四次往上爬了0.75米却又下滑了0.1米，第五次往上爬了0.55米，没有下滑，第六次又往上爬了0.48米，蜗牛有没有爬出井口？
【试题答案】
一、
1. D
2. C【思路分析】倒数等于本身的数只有1和－1.
3. D【思路分析】是正确的计算，其它都不正确.
4. B【思路分析】只有非正数代入式子，式子才成立.
5. D【思路分析】只有相等或互为相反数的两个数，其绝对值才相等.
6. D【思路分析】因为a＜0，b＜0 ，所以.
7. A【思路分析】因为0＜a＜1，所以是最大的，是最小的.
8. B【思路分析】（50∨52）∨（49∧51）=52∨49=52.
9. C【思路分析】除了1999之外，其它都互为相反数，其和为0.
10. C【思路分析】n为正整数，2n+1是奇数，2n是偶数，所以=－1－1=－2.
二、
11. 5，0.001， －
12. －5，－10，0，－30， ，6
【思路分析】根据有理数的加减乘除的法则进行计算.
13. >，=，<
14. ±1，±2，0；0【思路分析】绝对值小于2的数是±1，±2，0，它们的关系是互为相反数，所以和为0.
15. －1【思路分析】互为相反数的和为0，互为倒数的积为1，所以结果是－1.
三、
16. 解：（1）=100
（2）=－11
【思路分析】按照有理数的乘法法则进行计算.
17. 解：（1）==
（2）= =
【思路分析】解决此类问题的关键是运用乘法分配律与结合律.
18. 解：
【思路分析】正确理解题目中的运算关系，列出式子进行有关计算.
19. 解：因为a＜0，b＞0，所以｜a｜－｜b｜=－a－b=－（a+b）=－4
【思路分析】正确地去掉绝对值，然后找出与已知条件相关的关系求出值.
20. 解：+0.5－0.1+0.42－0.15+0.7－0.15+0.75－0.1+0.55+0.48=2.9<3答：蜗牛没有爬出井口
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七年级数学寒假复习提高专题——应用问题的算术解法与代数解法
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
寒假专题三：应用问题的算术解法与代数解法
二. 重点、难点：
从小学到中学，数学课程最显著的变化，就是从算术学习到代数和几何的学习. 仅就代数来说，它的基本课题是着眼于利用运算来讨论各种数学问题. 从发展的角度看，代数学是在“数”与“运算”的基础上有系统地发展起来的. 首先扩大了数的范围，从正整数、正分数和零发展到有理数、实数；其次，在用字母表示数的基础上，应用“运算律”解代数方程和研究代数式. 由于在常见的数量关系中，可以说应用问题是最基本的讨论对象，因此，在小学和中学的数学课中，都有解应用问题这一内容. 只不过在小学是用“算术解法”，而在中学是用“代数解法”. 下面举几个典型实例，来比较一下这两种解法的不同，从而进一步体会代数解法的优越性.
【典型例题】
　　例1 某农场计划播种小麦与大豆共138公顷，种小麦的面积是种大豆面积的4倍. 试问该农场应种小麦与大豆各多少公顷？
　　算术解法 由本题所给的条件可知，播种总面积等于种大豆面积的（4＋1）倍，因此种大豆的公顷数＝总播种公顷数÷（4＋1），
　　种小麦的公顷数＝总播种公顷数－种大豆的公顷数，即
138÷（4＋1）＝27.6（公顷），
138－27.6＝110.4（公顷）.
　　即应种大豆27.6公顷，小麦110.4公顷.
　　代数解法 用一个字母x表示要求的一个未知量，例如，设种大豆x公顷；再由题目的条件可知，种小麦4x公顷. 因此，只要根据关系式
　　总播种公顷数＝种小麦公顷数＋种大豆公顷数
　　和已知条件“总公顷数为138”，就可以直截了当地写出以下等式（含有未知数的等式，也叫方程） 4x＋x＝138.
　　由于x是一个未知数，但它终归是一个数，所以可以对它应用运算律. 为此，我们对上式做如下变形 （4＋1）x＝138，
　　即 5x＝138.
　　两边同除以5，得 x＝27.6（公顷）. 　从而 4x＝4×27.6＝110.4（公顷）.
　　即种大豆27.6公顷，种小麦110.4公顷.
　　比较分析 本题的算术解法中，要求对题意进行思考，先求得解决问题的公式，然后再逐步地对公式中的计算找出解释的理由，从而作出解答. 而代数解法，只要求用字母x表示待求的未知量，再考虑待求的未知量x与已知数量之间的关系，然后直截了当地列出一个等式，再应用运算律（或等式的基本性质），求出这个未知数x应取的数值，使问题得到解决.
　　例2 鸡兔同笼. 共有56个头，160只脚，试问鸡、兔各多少只？
　　算术解法 这是一个古老而有趣的数学问题，由于思考方法不同，可有不同的解法，以下是较为简单的解法. 由于已知鸡、兔共160只脚，如果我们假定每只兔抬起2只脚，每只鸡抬起一只脚，则落地的脚是160只的一半，即80只脚. 这80只脚中鸡的脚数与头数相等. 因此，
兔数为：　　　80－56＝24（只）；
鸡数为：　　　56－24＝32（只）.
　　代数解法 设兔为x只，则鸡为（56－x）只，兔的脚数为4x，鸡的脚数为2（56－x），又由已知条件，鸡兔一共有160只脚，可列出方程4x＋2（56－x）＝160.
　　去括号4x＋112－2x＝160，
　　合并同类项4x－2x＝160－112，
　　即　　　 2x＝48，
　　所以 　　 x＝24（只）…兔数. 从而 　　56－24＝32（只）…鸡数.
　　比较分析 本题算术解法中，根据题设特点，利用了一个特殊技巧，即鸡、兔各抬起一半脚，然后依据其余脚数中，鸡的脚数与头数一一对应关系，得到解答. 这种解法虽然有效，但不具有一般性，这也是算术解法的一个弱点，即一个问题一种解法，缺乏一般的通用性. 而代数解法则不同，在本题中，只须用一个字母x代表兔（或鸡）的数量，然后便可根据已知条件，顺理成章地找出等量关系，列出方程. 下一步解方程求未知数x的值，只是进行变形和运算，不需要什么特殊技巧. 因此，代数解法具有一般性，这也是它优于算术解法之所在.
　　在前面的两例中，虽然比较分析了应用问题的算术解法和代数解法的特点，但对两者的联系未作进一步的探讨，下面通过例3，初步讨论一下这个问题.
　　例3 设有5元和10元的人民币共12张，共计85元，问其中5元、10元的人民币各几张？
　　算术解法 假如全部是5元的人民币，则共计5×12＝60（元），
　　与总和相差85－60＝25（元）.
　　现在让我们逐次用一张10元的票子去换一张5元的票子，使得总张数保持不变，每换一次，总值将增加10－5＝5（元）.
　　那么换几次才能补足总差额25元呢？这只要做一次除法就行了，即25÷5＝5. 所以答案是10元人民币的张数＝（85－60）÷（10－5） ①＝25÷5＝5.
　　5元人民币的张数＝12－5＝7.
　　代数解法 设10元人民币的张数为x，则5元人民币的张数为（12－x），其中x是一个待求的未知数，在此它只是10元人民币张数的简写，利用上述未知数符号，根据10元人民币的总元数＋5元人民币的总元数＝85，则可写出下列方程
　　10x＋5（12－x）＝85. ②
　　以下的工作便是用“运算律”和“等式的性质”解出方程②的x值，就可得到解答了. 用分配律，去掉②中之括号，得10x＋5×12－5x＝85，
　　由交换律、分配律得 （10－5）x＋60＝85，
由等式性质，两边同减60，得（10－5）x＝85－60，
等式两边同除以（10－5），得 x＝（85－60）÷（10－5）＝5. ③
　　比较分析 在代数解法中，我们先引进一个未知数x，表示问题中待求的量（如10元人民币的张数），然后把未知数代入问题中，列出方程，再用运算律和等式的性质，求出方程中未知量x的值. 在本例中，方程②的解就是③式x＝（85－60）÷（10－5）＝5.
　　容易看出，算术解法其实就是上面由代数方程②所得的求值公式③，然后对于公式③中的每一步进行计算：60＝5×12，85－60＝25，10－5＝5，（85－60）÷（10－5）＝25÷5＝5.
　　并对每一步计算找出合适的理由加以解释就是了.
　　同学们可能会问，在算术解法中，怎么会发现求值公式①呢？对这个问题的回答，大体有两种可能：
　　第一种可能是先用代数解法，由②求得公式①，但由于小学还没有学习代数，所以只好耐心地对①式中的每一步计算，结合题意加以解释，使同学们了解算术解法的合理性.
　　第二种可能是对上述实际问题，做了一番归纳的工作，就是：假如12张人民币都是5元的，则12×5＝60；假如11张为5元，1张为10元，则11×5＋10＝65；假如10张为5元，2张为10元，则10×5＋2×10＝70；以此类推，不难发现当10元人民币的张数由0逐次加1时，总金额由60开始逐次加一个5，而①式就是这个意思.
　　把两种解法加以比较可以看出，算术解法的准备工作，对于给定类型的问题，先做一番实验归纳工作，从而求得解决该类问题的公式，或合理的有顺序的计算步骤，然后还要逐步对公式中的计算找出理由加以解释. 显然，这样做是缺乏普遍性的.
　　而代数解法的准备工作是引入未知数符号，把问题中的数量关系，特别是等量关系用代数方程表示出来，然后再利用“运算律”和“等式性质”，求出方程中未知量应有的值，所以代数解法直截了当、简捷明快，具有高度普遍性.
　　一般说来，算术解法的公式和理由，由问题的类型不同而不同. 但代数解法的基本原理就是有效地利用了“运算律”和“等式性质”，所以这种解法不仅具有普遍性，也具有统一性.
　　例4 有两个图书馆，自建馆以来，每年各进图书5千册，如果今年甲馆藏书23万册，乙馆藏书11万册，今后仍然是每年各进图书5千册，试问由今年起，什么时候甲馆藏书是乙馆的3倍？
　　下面用代数解法来解本题，以便从中进一步体会它的普遍性.
　　解 设由今年起x年后甲馆藏书是乙馆的3倍，则有代数方程
（23＋0.5x）＝3（11＋0.5x）.
　　利用分配律得 23＋0.5x＝33＋1.5x，
　　两边同减0.5x得 23＝33＋1.5x－0.5x，
　　两边同减33得 23－33＝1.5x－0.5x，
　　利用分配律得 23－33＝（1.5－0.5）x， －10＝x，
　　即　 x＝－10·
　　这就是说从今年起，10年后甲馆藏书是乙馆藏书的3倍.
　　由此可见，代数解法，由于用字母表示了未知数，所以对所求的结果用正、负数的意义加以解释，就得到了这一问题的答案. 这也就说明了代数解法比算术解法更具有普遍性.
【模拟试题】（答题时间：20分钟）
1. 试用代数解法解下列应用题，再思考一下用算术解法怎么解？
（1）一个公司把它存货的60％用现金出售，25％用记账出售，15％用支票出售. 如果支票出售的钱比记账出售的钱少4000元，那么现金出售的钱是多少？
（2）有糖块若干，要分给班上的同学，如果每人4块，则余14块，如果每人5块，则又少15块，试问班上共有多少人？共有多少块糖？
2. 制造一种零件第一道工序每人每小时可做5件，第二道工序每人每小时可做3件，现在有工人40人，如何分配劳动力才能使生产配套？
3. 某生产队春播2000公顷小麦，每天比预计多播50公顷，因此提前2天完成，求实际播种天数.
4. 木梁重90千克，比木梁长2米的铁梁重160千克，已知每米木梁比铁梁轻5千克，求两根梁的长.
【试题答案】
1. 试用代数解法解下列应用题，再思考一下用算术解法怎么解？
（1）一个公司把它存货的60％用现金出售，25％用记账出售，15％用支票出售. 如果支票出售的钱比记账出售的钱少4000元，那么现金出售的钱是多少？
设存货为X元：25%X – 15%X＝4000
X＝40000
40000×60%＝24000
（2）有糖块若干，要分给班上的同学，如果每人4块，则余14块，如果每人5块，则又少15块，试问班上共有多少人？共有多少块糖？
设班上有x人，4x＋14＝5x－15
x＝29
共有糖：4×29＋14＝130（块）
2. 制造一种零件第一道工序每人每小时可做5件，第二道工序每人每小时可做3件，现在有工人40人，如何分配劳动力才能使生产配套？
设第一道工序X人，第二道工序（40 – X ）人
X＝25
3. 某生产队春播2000公顷小麦，每天比预计多播50公顷，因此提前2天完成，求实际播种天数.
设预计每天播种X公顷，
X＝200 天
实际播种天数10－2＝8天
4. 木梁重90千克，比木梁长2米的铁梁重160千克，已知每米木梁比铁梁轻5千克，求两根梁的长.
每米木梁重X千克，每米铁梁重（X＋5 ）千克
X＝15
木梁长6米， 铁梁长8米
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七年级数学寒假复习提高专题——走进代数
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
寒假专题——走进代数
［知识要点］
1. 用字母表示数的意义
①用字母表示数是从算术到代数的一个重大转变，为研究问题带来了方便。
②用字母表示数就是将表示基本数量关系的文字语言转化为数学语言，例如：“2πr”简明、准确地表示圆周长的公式。
③用字母表示数的最大作用是能表示各种公式、定理、数学规律等。
2. 代数式
用加、减、乘（乘方）、除等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式。如：2xy＋1、πr3、等都是代数式；单独的一个数或字母也是代数式，如：－5、π、a等。
书写代数式有以下要求：
（1）如果出现乘号，可以写成“”或不写，数字与字母相乘时，数字写在字母前，如：90n写90n，如果数字是带分数，应将带分数改写成假分数或小数，如：1a应写成a或1.5a，不能写成1a，字母与字母相乘时，相同字母写成幂的形式，如：aa写成a2，数字与数字相乘，“×”号不能省。
（2）如果式中出现除法，一般写成分数形式。如s÷v写成。
（3）主体为和的形式，后有单位的要加括号。如教材中：（2x＋500）元，而不能写成2x＋500元。
3. 列代数式：把与数量有关的词语，用含有数、字母、运算符号的式子表示出来，就是列代数式。
列代数式的关键：
①弄清语言叙述中关键词语的意义。如：“和、差、积、商、大小、多少、几倍、几分之几、增加、增加到”等等，以及它们之间的数量关系。
②用“先读先写”的原则写代数式
③注意运算顺序与括号的使用
④明确各种运算的结果
4. 整式：单项式与多项式统称为整式
即：整式
单项式与多项式的相关概念
只含有数字与字母乘积的代数式叫单项式。如：1、a、πr2h都是单项式。
单项式中的数字因数叫单项式的系数；一个单项中所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数。如：a、的系数是1，πr2h的次数是3。
几个单项式的和叫多项式，其中每个单项式叫多项式的项，不含字母的项叫做常数项。如：3a2＋2ab－b2＋5就是一个四项二次式，其中“＋5”它的常数项。
5. 整式的加减
整式加减的实质就是合并同类项。
①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项。
②合并同类项法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
如：3 a2b ＋4a2b －8a2b－a2b=－2 a2b
③去括号、添括号法则：
去括号法则：括号前面是“＋”号把括号连同它前面的“＋”号去掉，括号内各项不变符号。
括号前面是“－”号把括号连同它前面的“－”号去掉，括号内各项都变符号。如：（a＋b）－（c－d）=a＋b－c＋d
添括号法则：所添括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变符号
所添括号前面是“－”号，括到括号里的各项都要改变符号。
如：a＋b－c＋d =（a＋b）－（c－d）
【典型例题】
例1. 先化简再求值：3x2－[7x－（4x－2x2）]，其中，x=－2。
解：原式=3x2－（7x－4x＋2x2）
=3x2－（3x＋2x2）
=3x2－3x－2x2
= x2－3x
当x=－2时：x2－3x=（－2）2－3（－2）=10
例2. 若A和B都是三次多项式，则A＋B一定是（ ）
（A）六次多项式
（B）三次多项式
（C）次数不高于三次的多项式
（D）次数不高于三次的整式
分析：此题通过举反例，用排除法找出正确答案。
解：正确答案为：（D）
例3. 单项式－a2x＋1b3与a3by＋1合并同类项后的结果为a3 b3，求x十y的值。
解：由题意得：2x＋1=3 ∴x=1 y＋1=3 ∴y=2
∴x十y=3
例4. xm＋（n－1）x＋1（m、n为常数）为二次三项式的条件是m= ，n= 。
解：由题意得：m=2 n－1≠0 ∴m=2且n≠1。
例5. 某种手机卡的市话费上次已按原收费标准降低了m元／分，现在再次下调20％，使收费标准为n元／分，那么原收费标准为 。
解：第二次调整后收费标准为：元／分；∴原收费标准为：（＋m）元／分。
例6. 甲种糖果每千克12元，乙种糖果每千克14元，丙种糖果每千克9元，从这三种糖果中分别取出a、b、c千克混合销售，比单独销售快，要使混合销售所得收入与分别销售收入相同，则混合糖果每千克应定价多少元。
分析：混合糖果每千克应定价=总金额÷总质量
解：混合糖果每千克应定价为：元。
例7. 甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a时相遇，若同向而行，则b时后甲追上乙，那么甲的速度是乙的速度的（ ）
（A）倍 （B）倍 （C） 倍 （D）倍
解：设甲、乙两人的速度分别为v甲、v乙。则：
a（ v甲＋v乙）=b（v甲－v乙）
∴ a v甲＋ a v乙=bv甲－bv乙
∴ a v甲－ bv甲=－a v乙－bv乙
∴ （a－ b）v甲=－（a＋b）v乙
∴ = 正确答案为：（C）
例8. 大客车上原有（3a－b）人，中途下车一半人，又上车若干人，使车上共有乘客（8a－5b）人，问上车乘客是多少人 当a=10，b=8时，上车乘客是多少人
解：上车乘客为：（8a－5b）－[（3a－b）－（3a－b）] 人。
化简得：（8a－5b） －（3a－b）= 8a－5b－a＋b
=a－b
当a=10，b=8时；a－b=×10－×8=65－36=29（人）
例9. 某校的一间阶梯教室，第1排的座位数为a，从第2排开始，每一排都比前一排增加b个座位。
（1）请你在下表的空格里填写一个适当的代数式：
第1排的座位数 第2排的座位数 第3排的座位数 第4排的座位数 …
a a＋b a＋2b …
（2）已知第4排有18个座位，第15排座位数是第5排座位数的2倍，求第21排有多少个座位
解：（1）a＋3b
（2）由题意得：a＋3b=18………………①
第15排座位数为：a＋14b；第5排座位数为：a＋4b；第21排座位数为：a＋20b。
由题意得：a＋14b=2（a＋4b）………………②
由②得： a=6b………………③
把a=6b代入a＋3b=18得： 9b=18 b=2 ∴a=12
∴第21排座位数为：a＋20b=12＋20×2=52
【模拟试题】
一、选择题（每小题4分，共32分）
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 单独一个数0不是代数式
B. 某商品单位为m元，降价5％后的价格为m－5％
C. xy的系数是0
D. x2y与－5yx2是同类项
2. 化简－|－|的结果是（ ）
A. 2a－b B. 2a＋b C. b－2a D. －2a－b
3. 若某数为x，则比它的3倍小3的数是（ ）
A. 3x＋3 B. 3x－3 C. 3（x＋3） D. 3（x－3）
4. 一间房屋需a人砌b天，则c人砌需要的天数是（ ）
A. abc B. C. D.
5. 连续五个自然数的和一定是（ ）
A. 2的倍数 B. 5的倍数 C. 10的倍数 D. 20的倍数
6. 代数式（xyz2＋4xy－1）＋（－3xy＋xyz2－3）－（2xyz2＋xy）的值（ ）
A. 与x、y、z的大小无关 B. 与x、y、z的大小有关
C. 仅与x的大小有关 D. 仅与x、y的大小有关
7. 观察下列数表：
1 2 3 4 … 第一行
2 3 4 5 … 第二行
3 4 5 6 … 第三行
4 5 6 7 … 第四行
根据数表所反映的规律，第n行第n列交叉点上的数应为（ ）
A. 2n－1 B. 2n＋l C. n2－1 D. n2
8. 随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑按原售价降低m元后，又降低20％，现售价为n元，则该电脑的原售价为（ ）
A. （n＋m）元 B. （n＋m）元 C. （5m＋n）元 D. （5n＋m）元
二、填空题（每小题4分，共32分）
9. 观察下列顺序排列的等式：9×0＋1=1，9×1＋2=11，9×2＋3=21，9×3＋4=31，…猜想：第n个等式（n为正整数）应为 。
10. 我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格，某种药品在1999年涨价30％后，2001年降价30％到a元，则这种药品在1999年涨价前的价格为 元。
11. 在100克的白开水中，加入a克的糖，则糖水的浓度是 。
12. 某商品的零售价为b元，先提价10％，再降价10％，则现价是 。
13. 非零数a、b的倒数之差可写为 。
14. 一个两位数，十位数字是a，个位数字是b，则比这个两位数的3倍多5的数是 。
15. 有一列数a1，a2，a3，…，an，其中a1=6×2＋1；a2=6×3＋2；a3=6×4＋3，…，则第n个数an= ；当an=2001时，n= 。
16. 某音像店对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在租出后的头两天每天收0.8元，以后每天收0.5元。那么一张光盘在租出的第n天（n是大于2的自然数）应收租金 元。（2001年安徽中考试题）
三、解答题（每小题9分，共36分）
17. 中学物理知识告诉我们：一个弹簧的伸长长度与受到的拉力成正比。一个弹簧原来的长度为12厘米，当受到1千克拉力时，弹簧伸长0.3厘米，当受到2千克拉力时，伸长0.6厘米；当受到3千克拉力时，伸长0.9厘米，若拉力用F表示，弹簧总长度用L表示，
（1）写出用拉力F表示弹簧长度L的公式；
（2）求弹簧受到8千克拉力时的长度。
18. 先化简，再求值：
（1）m－{|n－2m＋|}，其中m=，n=1；
（2）（x－y2）＋（2x－）＋（3x－）＋…＋（9x－），其中x=，y=－3
19. 张华和陈成在一起做数学题，有一题是：已知代数式A=5a3b＋2a4－3a2b2－ab3＋8，
B=6ab3－8a2b2＋3a4－5b4，C=5a3b＋5a4－11a2b2＋5ab3－5b4，张华说“代数式A＋B-C的值与a、b有关”，陈成说“代数式A＋B－C的值与a、b无关”，你同意谁的观点 说说你的理由。
20. 我们知道：正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；零的绝对值还是零。利用上述结论，你能对|x—2|和|x＋3|进行分类讨论吗 再化简|x—2|＋2|x＋3|。
【试题答案】
一、选择题
1、D 2、A或C 3、B 4、B 5、B 6、A 7、A 8、B
二、填空题
9、9（n－1）+n=10（n－1）+1=10n-9
10、
11、
12、0.99b
13、
14、3（10a+b）+5
15、6（n+1）+n；14013
16、0.8×2+0.5（n－2）
三、解答题：
17. （1）L=12+0.3F；（2）14.4cm
18. （1）化简得：6m－3n 值为：0
（2）原式=x－y2＋2x－+＋3x－+＋…＋9x－+
=－2y2+=45x－；值为：－12；
19. 陈成说的对。代数式A＋B－C的值与a、b无关。理由略。
20. 当x＜－3时：|x—2|＋2|x＋3|=－x+2－2x－6=－3x－4
当－3≤x≤2时：|x—2|＋2|x＋3|=－x+2+2x+6=x+8
当x＞2时：|x—2|＋2|x＋3|=x－2+2x+6=3x+4
…第一列
(D)
…第二列
…第四列
…第三列
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七年级数学寒假复习提高专题——有理数（2）
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
寒假专题——有理数
二、知识要点：
1. 有理数的分类：
有理数
按数的正负性来分类：
有理数
注意：①两种分类方法不同，但都包含了所有的有理数。
②零既不是正数也不是负数，但它是整数。
2. 数轴：
要点：①画数轴时，要注意数轴的三要素：原点，正方向，单位长度。
②所有的有理数都可以用数轴上的一个点表示，但数轴上还有些点不代表有理数，如π，这个内容以后学习。
③数轴上不同的两个点表示的数，右边点表示的数总比左边点表示的数大。即：负数小于0，0小于正数，负数小于正数。
两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
3. 相反数、倒数与绝对值
我们用公式的形式来表示它们之间的关系。
①a的相反数是－a。
②a（a≠0）的倒数是。
③|a|=
4. 有理数的运算：
① 加法法则：同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。
如：（+5）+（+6）=+11（－5）+（－6）=－11
异号两数相加，绝对值相等时，和为0，绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
如：（+5）+（－5）=0；（+5）+（－6）=－1；（－5）+（+6）=1；
一个数与零相加，仍得这个数，如（+5）+0=+5 ；（－5）+0=－5
②减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
如：（+5）－（+6）=（+5）+（－6）；（+5）－（－6）=（+5）+（+6）
③乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
如：（+5）×（+6）=30；（－5）×（－6）=30；（+5）×（－6）=－30；（－5）×（+6）=－30；
任何数与零相乘得零。
如：（－5）×0=0；0×（－6）=0
④除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
如：（+9）÷（－3）=－3；（－9）÷（+3）=－3；（－9）÷（－3）=3；（+9）÷（+3）=3 ；
特别的：零除以一个不为零的数仍得零，零不能做除数。
如：0÷（－5）=0； 0÷（+5）=0；
除法法则还可以理解为：除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数。
如：
⑤有理数的乘方：公式：an=
注意：正数的任何次幂都是正数；0的任何次幂都是0；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
⑥运算顺序：先乘方，再乘除，后加减；同级运算从左到右进行；如果有括号，先做括号里的运算。（一般情况下按小括号、中括号、大括号的次序进行）
5. 科学记数法与近似数
一般地一个绝对值大于或等于10的数，都可以记成±a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减1。这种记数方法，在科学技术方面是常用的，习惯上把它叫做科学记数法。
如：1300000000=1.3×109。
由四舍五入法得到的近似数，从左边第一个不是0的数字起到，精确到的那一位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。
如：0.01234 精确到十万分位 ，有四个有效数字，为：1、2、3、4
2060万 精确到百位，有三个有效数字，为：2、6、0
7.8×105 精确到万位，有两个有效数字，为：7、8
误差=近似值－准确值
【典型例题】
例1：某学习小组的数学成绩，采用了80分为标准的办法，高于80分的记为正，低于80分的记为负，现有10名学生的成绩记录如下：+20，－10，－5，+15，+9，－3，+10，+8，+4，－16求这10名同学的平均成绩。
解：方法一：先求出这10名同学的实际得分：100，70，75，95，89，77，90，88，84，66
∴平均成绩=（100+70+75+95+89+77+90+88+84+66）=83.2
方法二：平均成绩=80+（20－10－5+15+9－3+10+8+4－16）=83.2
例2：下表是某年一月份我国几个城市的平均气温，请将各城市按平均气温从低到高的顺序排列：
北京 长沙 哈尔滨 南京
－4.6℃ 3.8℃ －19.4℃ 2.4℃
解：∵－19.4＜－4.6＜2.4＜3.8
∴各城市按平均气温从低到高的顺序为：哈尔滨、北京、南京、长沙。
例3：已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示为这两数的点位于原点的两侧，两点间的距离为8，求这两个数。
解：设乙数为a，则甲数为－3a
∴|a－（－3a）|=8
∴|a|=2
∴a=±2
∴甲数为6，乙数为－2。
例4：已知：|a|＞|b|，a＞0，b＜0，把a、b、－a、－b按由小到大的顺序排列。
解：先把a、b在数轴上表示出来，再把－a、－b在数轴上表示出来得：
∴ －a＜b＜－b＜a
例5：已知m、n互为相反数，x、y互为倒数，求的值。
解：由题意知：m+n=0 xy=1
∴原式=
例6：计算
⑴ －
⑵（－99）×9
⑶÷（0.1）2
解：⑴ 原式=－
=－（－4－2）
=×6=9
⑵ 原式=（－100+）×9
=－900+=－899
⑶ 原式=÷（）2
=（－8+×）×100
=（－8+3）×100
=－5×100
=－500
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一、想一想，填一填（每小题3分，共24分）
1. 0.2的相反数的倒数是 。
2. 在数轴上A点表示－2，B点表示2，那么到原点的距离较远的是 。
3. 小于5而大于－4的所有偶数的和是 。
4. 平方得64的有理数是 。
5. 若－3≤m≤－1，－63≤n≤－6，则m－n的最大值是 。
6. 如果a＞0，b＜0，a+b＞0，那么|a| |b|。（用“>”或“<”填空）
7. 一个数与7的和等于－2，则这个数与7的积等于 。
8. 已知A=a+a2+a3+a4+…+a2000，若a=l，则A= ；若a=－1，则A= 。
二、看一看，选一选（每小题3分，共18分）
9. －0.2，－，－的大小顺序是（ ）
A. －＜－＜－0.2 B.－＜－0.2＜－
C.－＜－＜－0.2 D.－0.2＜－＜－
10. 如果x是有理数，那么（ ）
A. 1－x的值一定比1小 B. 1－x2的值一定比1小
C. 1－x的值不大于1 D. 1－x2的值不大于1
11. 一天有8.64×104s，一年如果按365天计算，则一年有多少秒可用科学记数法表示为（ ）
A. 3.153 6×107 B. 3.153 5×106 C. 3.153 6×103 D. 3.153 6×104
12. 如果由四舍五入得到的近似数是35，那么在下列各数中不可能是其值的是（ ）
A. 34.49 B. 34.51 C. 34.99 D. 35.49
13. a、b为有理数，在数轴上如下图所示，则（ ）
A.＜1＜ B. ＜＜1 C. ＜＜1 D. 1＜＜
14. 已知n表示正整数，则一定是（ ）
A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 无法确定，随n的不同而不同
三、试一试，答一答（共58分）
15. （6分）已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，e的绝对值为1，求e2+2006cd－的值。
16. （12分）计算：
⑴
⑵（－2）3×（－1）4－|－12|÷
17. （8分）已知|a|=3，y2=16，求x+y的值。
18. （10分）如果|a+1|+（b－2）2=0，求（a+b）2003+a2004的值。
19. （12分）计算：
⑴ －2×（－3）3－（－5）2
⑵－（－3）2×2－
20. （10分）某检修小组乘一辆汽车沿公路检修线路，约定向东走为正，某天从A地出发到收工时，行走记录（长度单位：h）为：+15，－2，+5，－1，+10，－3.
（1）问收工时，检修小组在A地的哪一边，距A地多远
（2）若汽车每千米的耗油为aL，求从出发到收工共耗油多少升
【试题答案】
一、想一想，填一填（每小题3分，共24分）
1、－5 2、B 3、4 4、±8 5、62 6、＞ 7、－63 8、2000，0；
二、看一看，选一选（每小题3分，共18分）
9、C 10、D 11、A 12、A 13、B 14、C
三、试一试，答一答（共58分）
15、a+b=0 cd=1 |e|=1 ∴e2=1 值为2007
16、（1） （2）40 17、±1，±7 18、2 19、（1）30 （2）－12
20、（1）问收工时，检修小组在A地的东边，距A地24km处
（2）从出发到收工共耗油36a升
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七年级数学寒假复习提高专题——一元一次方程及应用
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
寒假专题——一元一次方程及应用
1. 一元一次方程的解法
2. 利用一元一次方程解应用题
二、教学目标
1. 理解方程、方程的解
2. 理解并能运用等式性质1，等式性质2
3. 会解一元一次方程
4. 会利用一元一次方程解一些实际问题
三、教学重点、难点
1. 教学重点：能熟练解一元一次方程
2. 教学难点：利用一元一次方程解应用题
四、本周知识点
1. 方程的概念，一元一次方程及解的意义
2. 解一元一次方程的一般步骤，移项的法则
3. 对方程ax＝b解的三种情况能正确区分
4. 运用方程解决实际问题的一般过程：审题→设元→列方程→解方程→检验→答案
5. 解决实际问题时，可通过分析实际问题，利用数学思想去解决，其中列表分析，画线段图是常用方法
【典型例题】
例1. （1）已知：________________
（2）已知关于的方程：的解满足方程则m的值为____________________。
（3）大小两个正方形放在桌上，共遮住了32厘米2的面积，如果两正方形重叠部分面积为4厘米2，小正方形面积为7厘米2，则大正方形面积为 厘米2。
（4）方程：的解为
（5）若方程无解，则的取值为
解：（1） （2）4或1 （3）29 （4） （5）
例2. （1）若关于x的方程：x＝6＋kx的解为自然数，则整数k可取值为（ ）
A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个
答案：选B
（2）一架飞机飞行在两个城市之间，顺风需要5小时30分钟，逆风需要6小时，已知风速是每小时24千米，则两城市之间的距离是 （ ）
A. 552千米 B. 1324千米 C. 3168千米 D. 3456千米
答案：选C
（3）现有含盐15％的盐水400克，要求将盐水的含盐量变为12％，由于计算错误，加进了110克的水，则多加了水 （ ）
A. 8克 B. 9克 C. 10克 D. 11克
答案：选C
（4）某商店卖出两件衣服，每件60元，其中一件赚了25％，另一件亏了25％，那么这两件衣服卖出后，商店是 （ ）
A. 不赚不亏 B. 赚8元 C. 亏3元 D. 赚6元
答案：选C
（5）某商场推销一种彩电，如果单价降低，销售总收入要求保持和降价前一样，那么销售量应增加（ ）
A. B. C. D.
答案：选B
例3. 解下列方程
（1）
解：
（2）
解：
（3）
解：
例4. x取什么值时，一次式的值与一次式的值互为相反数。
解：由题意，得＝
例5. 一个三位数是一个两位数的5倍，若将此三位数放在这个两位数之前，可得一个五位数；若将此三位数放在这个两位数之后，又得一个五位数，后者比前者大18648，求原来的两位数和三位数。
解：设原两位数为x，则原三位数为5x，则
100×5x＋x＝1000x＋5x-18648
解得：x＝37
∴5x＝185
经检验，符合题意。
答：原来的两位数为37，三位数为185。
例6. 如果表示运算x＋y＋z,而A＝;如果表示运算a-b＋c-d，而B＝；若规定a△b＝a2-b,而C＝3△2；而D为按右图程序计算的结果，开始输入的n为2，求A＋B＋C＋D的值。
解：由已知得：
例7. 某批发商欲将一批海产品由A地运往B地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务，已知运输路程为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米/小时和100千米/小时，两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示：
运输工具 运输费单价（元/吨·千米） 冷藏费单价（元/吨·小时） 过路费（元） 装卸及管理费（元）
汽车 2 5 200 0
火车 1.8 5 0 1600
注：“元/吨·千米”表示每吨货物每千米的运费；“元/吨·小时”表示每吨货物每小时的冷藏费。
（1）设该批发商待运的海产品有30（吨），为节省运费，应选择哪个货运公司？
（2）若该批发商待运的海产品有60吨，他又应选择哪个货运公司较为合算？
（3）当该批发商有多少吨海产品时，无论选哪家都一样？
解：从A到B地，汽车需小时；火车需小时
（1）汽车费用：30×120×2＋30×2×5＋200＝7700 元
火车费用：30×120×1.8＋30××5＋1600＝8260 元
∴选汽车货运公司好。
（2）汽车费用：60×120×2＋60×2×5＋200＝15200 元
火车费用：60×120×1.8＋60××5＋1600＝14920 元
∴选铁路货运公司好。
（3）设当该批发商有x吨海产品时，两家公司费用一样，则
120×2x＋10x＋200＝120×1.8x＋×5x＋1600
解得x＝50
答：当批发商有50吨海产品时选两家公司都一样。
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一、选择题
1. 下列等式中是一元一次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 方程去分母后正确的结果是（ ）
A. B.
C. D.
3. 某种商品若按标价的八折出售，可获利20%，若按原标价出售可获利（ ）
A. 25% B. 40% C. 50% D. 66.7%
4. 随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑按原售价降低m元后，再降价20%，现售价为n元，那么该电脑的原售价为（ ）
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
5. 某县某企业9月份的生产总值为80万，10月份的生产总值为92万，则10月份比9月份的生产总值的增长百分率为（ ）
A. 10% B. 12% C. 15% D. 11.5%
6. 我国规定对储蓄存款利息要征收个人所得税，税率为20%，某人在银行存了4000元，定期一年，年息为90元，存款到期时，应缴利息税为（ ）
A. 800元 B. 818元 C. 72元 D. 18元
7. 是同类项，则等于（ ）
A. B. C. D. 1
8. 已知关于的方程无解，则a的值是（ ）
A. 1 B. -1 C. D. 不等于1的数
二、填空题
1. 当时，代数式的值等于18，那么时，这个代数式的值为 。
2. 已知是方程的解，则的值为 。
3. 某代数式的值为8，则代数式的值为 。
4. 根据条件“的2倍与-9的差等于的与6的和”列出方程 。
5. 一件工作，甲独做要3小时完成，乙独做要5小时完成，两人合作完成这件工作的，需要 时完成。
三、解答题
1. 解下列方程。
（1） （2）
（3）
2. k取何值时，代数式的值比的值小1？
3. 某中学有初一学生153人，分成甲、乙、丙三班，乙班比丙班多5人而比甲班少8人，问三个班各有多少名学生？
4. 一台挖土机和200名工人在水利工地挖土和运土，已知挖土机每天能挖土800立方米，每名工人每天能挖立方米或运立方米，如何分配挖土和运土人数，使挖出的土能及时运走？
5. 甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获得利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价，在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样的商店共获利157元，求甲、乙两服装的成本各是多少元？
【试题答案】
一、选择题
1. C 2. D 3. C 4. B 5. C 6. D 7. D 8. D
二、填空题
1. -17 2. 225 3. 2 4. 5. 1.5
三、解答题
1. 解方程
（1） （2） （3）
2.
3. 甲58人、乙50人、丙45人。
4. 挖土25人，运土175人。
5. 甲成本为300元，乙成本200元。
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七年级数学寒假复习提高专题——面积问题与面积方法
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
寒假专题——面积问题与面积方法
二. 学习重难点：
图形的面积的计算及利用面积证明一些几何问题是本讲的重点也是难点
三. 知识要点讲解：
【面积问题知识点】
1、常见图形的面积公式：
①S△ABC＝ ②
③ ④
2、常见的等面积变形：
①等底同高 ②同底等高----有平行条件
③三角形的面积之比：
高相等时，面积之比等于底之比，底相等时，面积之比等于高之比。
3、面积证题的要点：
一个图形的面积，两种不同的求法。
【典型例题】
应用1：面积的计算问题
例1. 求下列图形的面积（网格图形的面积）
例2. 已知：平面直角坐标系中的三个点A（5，2）、B（2，5）、C（0，0）
求：S△ABC＝_______
注：平面直角坐标系中的面积问题实际上就是网格问题
例3. 一次函数y＝0.5x－3与两坐标轴所围成的三角形的面积是：________
例4. 求一次函数y＝和y＝2x –2与两坐标轴所围成的图形的面积。
例5. 已知：在△ABC中，AB＝BC＝CA＝2cm，求：S△ABC＝_______
解：作△ABC的高线AD，BD＝DC＝1cm，
由勾股定理可知：AD＝cm
∴S△ABC＝
总结：此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的三线合一、勾股定理、30°角的直角三角形的性质、三角形的面积公式。
应用2：利用面积法进行有关的计算或证明：
一个图形的面积，两种不同的求法。
例6. 在直角△ABC中，∠C＝90°，若AC＝4，BC＝3，则斜边AB上的高CD＝________。
解：∵ACB＝90° ∴AB2＝AC2＋BC2＝32＋42＝25
∵AB>0 ∴AB＝5
∵
∴AC×BC＝AB×CD 即：3×4＝5×CD ∴CD＝
例7. 在直角△ABC中，∠C＝90°，若AC＝5，BC＝12，求：△ABC的两条角平分线的交点到三条边的距离。
分析：因为，∠C＝90°，若AC＝5，BC＝12，
所以：由勾股定理可知，AB＝13，S△ABC＝30
因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，
所以，点P到三角形的三条边的距离相等，不妨设距离为：x
S△APC＋S△BPC＋S△APB＝S△ABC
0.5×5x ＋0.5×12x＋0.5×13x＝30
x＝2
例8. 在等腰△ABC中，AB＝AC，BD、CE是△ABC的高，求证：BD＝CE
证明：∵，AB＝AC
∴BD＝CE
例9. 已知：在等边△ABC中，AB＝BC＝CA＝2 cm，如果点P是BC边上的一点，求：点P到边AB、AC的距离之和。
例10. （08山东）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是（ ）
A. 10 B. 16 C. 18 D. 20 ]
分析：
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
1、求下列图形的面积
①，②，
③，④。
2、在平面直角坐标系中
①A（－3，0），B（2，0），C（3，2），则_________
*②A（1，－3），B（0，0），C（4，－1），则_________
*3、一次函数与两坐标轴所围成的图形的面积。
4、在等腰△ABC中，∠B＝30°，AB＝AC＝2，则_________。
5、求边长为2的等边三角形的面积。
**6、在等腰△ABC中，AB＝AC＝12，∠B＝15°，求_________。
提示：作高CD。
**7、求直线和与两坐标轴所围成的图形的面积。
8、在平行四边形ABCD中，BC＝4，CD＝3，AE⊥BC，AF⊥CD，且AE＝2。
求：AF。
9、在直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4。则斜边AB上的高CD＝________。
*10、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5。BD是∠ABC的平分线，求点D到AB的距离。[
【试题答案】
1、①9，②10，③7，④10.5
2、①5，②5.5
3、
解：由x＝0得 由得，，x＝6。
∴一次函数与x轴的交点坐标是A（6，0）与y轴的交点B（0，3）
∴一次函数与两坐标轴所围成的三角形面积是
4、解：过点A作高AD。
∵AB＝AC＝2
∴BD＝DC
又∵∠B＝30°，AD⊥BC
∴AD＝1
由勾股定理得：
，
5、
解：（参见4）答案：面积单位。
6、
36面积单位
7、
解：直线与x轴交点A（2，0）
直线与y轴的交点C（0，－4）。
由 得
两直线的交点坐标B（3，－2）[
作BM⊥y轴
∴
8、解：∵BC·AE＝＝CD·AF
∴4×2＝3·AF
9、
10、解：过点D作DM⊥AB。
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°
∴设DM＝DC＝x。
由勾股定理可知。
AB＝13。
又∵
∴点D到AB的距离是。
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七年级数学寒假复习提高专题：绝对值
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
寒假专题——绝对值
二. 重点、难点：
绝对值是中学数学的重要概念，有理数加减法是整式和其它运算的基础，它们是教学的重点，也是难点，如何突破这个难点，降低有理数的教学难度，提高有理数教学的效率，是我们面对的不得不深入思考的问题。
在教学有理数概念时，通过分析有理数的结构，明确有理数是由符号和绝对值组成的，从而引出绝对值概念，这样把有理数的绝对值与小学学习的数统一起来，以利于知识的迁移，也为突出符号教学开了头。
数轴通过分析把一个数用数轴上的点表示，明确一个数的符号决定表示该数的点在原点的哪一边，绝对值决定表示该数的点到原点的距离。因此，我们说，一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离，有了绝对值概念，就可以用绝对值概念定义相反数即符号相反，绝对值相等的两个数（规定0的相反数为0），这比“只有符号不同的两个数互为相反数”更明确，清楚。
有理数的减法是转化为加法来计算的，实际上有理数的加法和减法本质上没有区别，都是代数和，因此，我们可以把加减法放在一起学习。
首先在学习相反数时，符号化简，“同号得正，异号得负”化简符号后，归纳出有理数加减法法则：
两个有理数相加减，化简符号后，同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号相减，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数的和为零。
一个数与零相加仍得这个数。
注意，无论加减，化简符号后看成是省略了加号只剩下符号和绝对值的式子。如－3＋（＋2）化简为－3＋2看成是－3与＋2的和，省略了加号，读作－3加＋2或－3与＋2的和。再如，－3－（＋2）化简为－3－2，看成是－3与－2的和，省略了加号，读作－3加－2或－3与－2的和。这样，计算－3－2就是同号相加，取相同的符号“－”，并把绝对值（这里的绝对值直接认同小学学习过的数）相加即3＋2＝5，结果是－5。计算－3＋2是异号相减，取绝对值（这里的绝对值直接认同小学学习过的数）大的符号“－”并用较大的绝对值减较小的绝对值即3－2＝1，结果是－1。在运算中，零可直接略去，如：0－3＝－3，0＋3＝3，3＋0＝3，3－0＝3。在计算过程中，只考虑性质符号，不考虑运算符号，因而减少了两种符号的混淆带来的错误，绝对值直接认同小学学习过的数，运算学生已经掌握，因此，有理数加减法运算的关键是认准符号。
三. 具体内容：
绝对值
【学习目标】
1. 借助数轴，初步理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值，会利用绝对值比较两个负数的大小．
2. 通过应用绝对值解决实际问题，帮助学生体会绝对值的意义和作用，感受数学在生活中的价值．
【基础知识精讲】
1. 绝对值的有关知识
（1）绝对值的定义及符号
在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值．绝对值用“| |”表示．读作“绝对值”．如：|－2|读作－2的绝对值．
（2）一个数的绝对值与这个数的关系．
正数的绝对值是它本身，如：|5|＝5
负数的绝对值是它的相反数，如|－5|＝5
0的绝对值是0（0的绝对值也是它本身）
（3）互为相反数的绝对值相等
绝对值就是一个数到原点的距离，而互为相反数的两个数到原点的距离相等，即它们的绝对值相等．如：|－3|＝3，|3|＝3．
（4）绝对值的取值范围
正数的绝对值是它本身，即正数＞0．
负数的绝对值是它的相反数，也是正数＞0．0的绝对值是0．
所以，任一个有理数的绝对值都是大于等于0，即≥0，或是说一个有理数的绝对值都是正数或0．
2. 利用绝对值比较两负数的大小．
通过观察数轴，m在n的右边，所以说m＞n．若看绝对值，m点到原点的距离比n到原点的距离小，即|m|＜|n|，而实际上m＞n，所以比较
两个负数就是可以说比较它们的绝对值，即，记住：两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
【典型例题】
［例1］绝对值是它本身的数是_____．
点拨：正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0，也可以说是它本身．
解答：正数和0
［例2］比较下列数轴中的m与n的绝对值的大小．
点拨：比较两个数的绝对值，就看这两个数在数轴上的点到原点的距离大小，距离原点越远，绝对值越大．
解答：|m|＜1，|n|＞1，所以|m|＜|n|．
［例3］绝对值是7的数是_____．
点拨：一个数的绝对值是7，说明在数轴上这个点到原点的距离为7个单位长度．而从数轴上，很容易看出距离原点7个单位长度的数有两个，分别在原点的两侧，是互为相反数．分别是＋7和－7．
小心：易错点：此类题型，在解答时常常只有一个结果．一般来说，只要题目中提到绝对值，都可能会出现正、负两方面的结果．
解答：这个数是±7
［例4］一个数的绝对值为－7，这个数是几？
点拨：由于正数的绝对值是它本身——正数，负数的绝对值是它的相反数——正数，0的绝对值是0，所以任一有理数的绝对值都是大于等于0，不可能为负数．解答：任一有理数的绝对值都是正数，0，不可能为负数，所以绝对值为－7的数不存在．
［例5］计算：|－7|×|＋9|
点拨：注意运算顺序，先将带绝对值符号的数计算出来，再进行乘法运算．
解答：|－7|×|＋9|＝7×9＝63．
［例6］比较下列各组数的大小
（1）－_____－　　　　　（2）0_____|－5|
点拨：（1）两负数比较大小，绝对值大的反而小．
（2）这组数比较之前，先将带绝对值符号的数计算出来，再比较大小．
解答：（1）∵|－|＝，|－|＝（计算绝对值）
∵＜（比较绝对值）
∴－＞－（两负数比较大小，绝对值大的反而小）
（2）∵|－5|＝5，0＜5（0小于正数）
∴0＜|－5|
［例7］正式的乒乓球比赛中的球的质量有严格的规定，下面是4个乒乓球的质量检测结果（用正数表示超过标准质量的克数）：－0.2，＋0.3，－0.3，＋0.15．请指出哪个兵乓球的质量好一些，并说明理由．
点拨：质量好的球，就是接近于标准质量的球．这个球与标准质量越接近（多也可，少也可），球就越好．即看这四个数的绝对值，绝对值越小，球越标准．
解答：|－0.2|＝0.2，|＋0.3|＝0.3，|－0.3|＝0.3，|＋0.15|＝0.15．最后一个球的质量最好．
［例8］化简
　　分析：要化简则需要去掉绝对值符号，然后合并同类项，但本题没有限制x的取值范围，我们应当怎样去讨论呢？对于，只要考虑的正负，即可去掉绝对值符号，这里我们是分与x<－2两种情况加以讨论的，此时是一个分界点。类似地，对于而言，是一个分界点，为同时去掉两个绝对值符号，我们把两个分界点－2和标在数轴上，把数轴分为三个部分（如图2所示），即， ， 这样我们就可以分类讨论化简了。
这两个分界点分别称为代数式“”和“”的“零点”，这种方法也就是所谓的“找零点分区间法”或“零点分段法”
　　解分别令得或
　　（ⅰ）当时，
　　原式
　　（ⅱ）当时，
　　原式
　　（ⅲ）当时，
　　原式
　　说明：在含有绝对值符号的代数式运算中，除应用“零点分段法”求解外，还可根据题意，考虑应用绝对值的几何意义来解题，将显得更加简捷便利。
【拓展训练】
字母a表示一个数．
（1）若|a|＝a，则a是什么数？
（2）若|a|＝－a，则a又是什么数？
点拨：（1）|a|＝a这个式子表示是“绝对值是它本身”的数．（等式左右两边的a表示同一个数）而正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，也可以是它本身，所以此时的a表示正数或零．
（2）|a|＝－a这个等式表示的是“绝对值是它的相反数”的数．负数的绝对值是它的相反数，而对于0这个特殊的数，－0也是0，所以此题中的负数、0都是正确结果．
解答：（1）正数或零　（2）负数或零
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
A　级
★1、已知a，b是有理数，下列命题正确的是（ ）
　　（A）若　　　　　　（B）若
　　（C）若　　　　　　（D）若
★2、已知化简的结果是（）
　　（A）　　　（B）　 　　（C）　　　（D）0
★★3、已知a、b互为相反数，c、d互为负倒数，x的绝对值等于它的相反数的2倍，则的值是____________。
★★4、若则的值是_______。
B　级
★★5、当x取任意有理数时，代数式的值（ ）
　　 （A）最小是0　　 （B）最小是2 　　 （C）最小是3 　（D）最小是1
★★6、已知，则x的取值范围是（ ）
　　 （A）　　　（B）　　　 （C）　　　 （D）
★★7、 若则____________。
★★★★8、若，则等于（ ）。
（A）5　　　 （B）7 　　　（C）　　　　（D）
★★★★9、已知试求
的值。
【试题答案】
A级
1、（B）　　　 　　
2、（C）
3、0，提示；由已知得,.
4、19900. 　　
B级
5、（B），提示：利用绝对值的几何意义来考虑。
　6、（A），提示：利用绝对值的几何意义来考虑。[
　7、，提示：
8、（D），提示：
原式
9、由
所以原式
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七年级数学寒假复习提高专题——恒等式、恒等变形
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
寒假专题——恒等式、恒等变形
二. 重点、难点：
恒等变形是代数中非常重要的部分，主要用到因式分解以及分式的运算及逆运算。
【典型例题】
[例1] 如果多项式，当，为何值时，P的值最小？并求出P的最小值。
分析：本题要运用因式分解配方，但是有这一项，所以应当有一个三项的完全平方。
解：
∵ 当且仅当取“=”
又当且仅当时，取“=”
解得 ∴ 当时两个等号同时成立
∴ 即P的最小值是1991
[例2] 当变化时，求分式的最小值。
分析：变化时，分子分母都在变化不好求解，所以要把此分式分化至只有一个发生变化。
解：[原式[
当时，所以
则原式所以的最小值为4
[例3] 计算：
分析：本题若直接通分再去化简计算量非常大，因此必须认真分析式子的结构特点，寻找解决问题的突破口，不难发现
，，
，可设，，使问题的形式简捷，有利于问题的解决。
解：
因为
令，，
则原式
[例4] 求证：。
分析：注意等式右边的如果乘到左边，那么问题将大大简化。
左[
右边
[例5] 已知，求证：。
分析：以连比形式出现的结论，容易让人想到非负数的性质，即若干个非负数之和等于零，则这几个非负数均为零，所以应想到配方法。
证明：由已知条件化简得：
移项配方得：[
∴
即故命题成立。
[例6] 若，求证：。
分析：要证明命题成立，只要证：
即可
因为则设
则，
则
∴ 故命题成立
[例7] 已知，求证：。
证明：[
∵ ∴ ∴
同理
于是


[例8] 设，求。
解：由题设知这样有
即
∴
[例9] 已知，求证：。
用分析法欲证：
再把上面的过程倒过来即可
证明：
说明：遇到从条件不好证的题目应用分析法倒推。
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
1. 已知：，求证：。
2. 已知：，，，求证：
。
3. 已知：，，，求证：。
4. 已知：，求证：（其中为任意正整数）。
5. 已知：（其中a，b，c为互不相等的实数），求证：
6. 已知：，求证：
7. 已知：、、为互不相等的实数，求证：
。
8. 若，求证：。
9. 已知：，求证：
（1）
（2）
10. 已知：，求证：。
【试题答案】
1. 证明：
∵ ∴
∴
∴
2. 证明：
左边
右边
3. 证明：
4. 证明：
∴
5. 证明：
设 则
∴
6. 证明：
设 （1）
（2） （3）
（1）×3+（3）得：（4）
（2）×3+（4）×2得： 即
7. 证明：
左边
8. 证明：
∴
9. 证明：
（1）左
左
（2）
10. 证明：
或或[∴ ，，中至少有两个互为相反数
∴
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七年级数学寒假复习提高专题——代数式（1）
【本讲教育信息】
一、教学内容
专题复习——代数式
1、用字母表示数
2、代数式及代数式的值.
3、同类项的概念及合并同类项.
4、去括号.
5、探索规律.
二、教学目标
1、能用字母表示以前学过的运算律和计算公式；体会字母表示数的意义，形成初步的符号感.
2、掌握代数式的概念，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，发展符号感.
3、会求代数式的值，感受代数式求值可以理解为一个转换过程或某种算法.
4、了解合并同类项法则，并能进行同类项的合并.
5、掌握去括号法则；会根据法则进行去括号的运算；
6、经历探索数量关系，运用符号表示规律，通过运算验证规律的方法；会用代数式表示简单问题中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律.
三、知识要点分析
代数式（这是重点）.
1、字母表示数
（1）像a＋b，ab，2（m＋n），等式子都是代数式，但代数式中不含“＝”“>”或“<”.
（2）单独一个数或一个字母也是代数式. 如a，－2都是代数式.
（3）代数式的写法：
①字母相乘：乘号用“·”即可，也可省略.
如：a×b可写作a·b或ab.
②数与字母相乘：数字放在前面，且“×”可用“·”表示或省略.
如：b×a×3可写作3a·b或3ab.
③除法：一般用分数线代替“÷”
（4）代数式的意义
代数式中的字母代表的含义不同，则整个代数式所代表的含义也不同.
（5）代数式的求值.
代数式中的字母可以代表很多的数，当字母的取值不同时，代数式的结果也就不一样. 而所说的代数式求值，就是①用数值代替代数式中的字母，②按照运算顺序求出相应的值.
2、同类项及合并同类项（重点、难点）
（1）同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.
注意：同类项定义中有两个“相同”，必须这两个条件都满足，才是真正的同类项. 同类项与系数无关.
（2）合并同类项①定义：把同类项合并成一项就叫做合并同类项. 换句话说：只有同类项才可以合并.
②法则：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变.
如：2a－b＋3b－a中，2a与－a是同类项，而－b与3b是同类项，可以合并同类项.
③合并同类项步骤：
ⅰ）找出同类项，把同类项放在一起，中间用“＋”连接.
ⅱ）利用合并同类项的法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变.
ⅲ）系数为1时，可省略；系数若不是整数，可写成假分数或小数的形式，不能用带分数. 易错！小心！
3、去括号（这是难点）
括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符号；
括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号.
4、探索规律
在解答这类题目时，先根据特例进行归纳、建立猜想，从而列出代数式.
【典型例题】
[考点一：代数式及代数式的值
例1. 受甲型H1N1流感影响，猪肉价格下降了30%，设原来的猪肉价格为元/千克，则现在的猪肉价格为____________元/千克.
【思路分析】因为猪肉价格下降了30%，按原价的70%出售，所以价格为70%a.
答案：70%a
规律与方法：解决这类问题的关键是能够正确理解题意，列出代数式.
例2. 对于任意两个有理数对（a，b）和（c，d），规定：当且仅当a＝c且b＝d时，（a，b）=（c，d）. 定义运算“”：（a，b）（c，d）=（ac－bd，ad＋bc）. 若（1，2）（3，q）=（5，5），则q＝
【思路分析】这是定义的一种新运算，从定义规则上可以看出3－2q=5，q+6=5，可以求出q=－1.
解：－1
考点二：同类项及合并同类项
例3. 若与的和是单项式，则 .
【思路分析】因为与的和是单项式，这说明与是同类项，所以根据同类项的概念可知m+5=3，n=2，即m=－2，n=2， =4.
解：4
友情提示：熟悉同类项的概念和有理数乘方的计算是解决这类问题的关键.
例4. 已知代数式与是同类项，则 .
【思路分析】根据同类项的概念可得，m－2=3，n+1=2，所以m=5，n=1，2m+3n=10+3=13.
解：13
考点三：去括号
例5. 去括号：
（1）3x－（2y－4z）；（2）a+5（3b－4c）；（3）－（ab－3xy）－4（m－3n）.
【思路分析】①第（1）小题中，－（2y－4z）在去掉括号时，也要同时去掉括号前面的“－”号，而去括号的结果中的－2y项的“－”号，并不是原括号前的“－”号，而是由原来省略的“+”号变号得到的.
②对于括号前有数字因数的情形，如第（2）（3）两小题，在运用去括号法则的同时，还要应用分配律，用数字因数分别去乘以括号里的每一项.在具体运算中要注意防止漏乘，如－4（m－3n）=－4m+3n就是错误的.
解：（1）3x－（2y－4z）=3x－2y+4z.
（2）a+5（3b－4c）=a+15b－20c.
（3）－（ab－3xy）－4（m－3n）=－ab+3xy－4m+12n.
友情提示：去括号时，首先要弄清楚括号前究竟是“+”号，还是“－”号，其次要注意法则中的“都”字，都改变符号或都不改变符号，一定要一视同仁，尤其是括号前面是“－”号时，容易出现只改变括号内首项符号，而其余各项均不变号的错误.
例6. 已知（x+2）2+|y+1|=0，求5xy2－{2x2y－[3xy2－（4xy2－2x2y）]}的值.
【思路分析】先把式子通过去括号合并同类项化简，然后把x，y的值代入化简式求解. 解：5xy2－{2x2y－[3xy2－（4xy2－2x2y）]}
=5xy2－2x2y+[3xy2－（4xy2－2x2y）]
=5xy2－2x2y+3xy2－（4xy2－2x2y）
=5xy2－2x2y+3xy2－4xy2+2x2y
=4xy2.
已知（x+2）2+|y+1|=0，因为（x+2）2≥0，|y+1|≥0，所以（x+2）2=0，|y+1|=0.x=－2，y=－1. 当x=－2，y=－1时，原式=4×（－2）×（－1）2=－8
友情提示：对于多重括号去括号时，一般情况要由里及外，由小括号到大括号按顺序进行；对于绝对值与平方的和为0，实质是0+0=0.
考点四：去括号
例7. 如图①，图②，图③，图④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第个“广”字中的棋子个数是________
【思路分析】从所给的图形上来看，第①个“广”字是7个棋子，第②个“广”字是9个棋子，第③个“广”字是11个棋子，第④个“广”字是13个棋子，所以第⑤个“广”字是15个棋子，第n个“广”字是7+2（n－1）=2n+5个棋子.
解：15，2n+5.
【本讲涉及的数学思想和方法】
本讲主要讲述了用字母表示数来引出代数式的概念，进一步学习了同类项及合并同类项，以及去括号和探索规律的知识，本节课涉及的思想是转化的数学思想.
预习导学案
（一元一次方程）
（一）预习要点
（1）一元一次方程的概念及解
（2）等式的基本性质.
（3）解一元一次方程的步骤.
（4）用一元一次方程解有关的应用题.
（二）牛刀小试
1. 方程的解为 .
2. 当x=_______时，代数式6+与的值互为相反数.
3. x=－4是关于x的方程ax－1=7的解，则a=_______.
4. 小青与父亲下棋，共下10盘，小青胜一盘记2分，负一盘记－1分（若和棋重下），若小青得5分，则小青胜______盘.
5. 某学校为保护环境，绿化家园，每年组织学生参加植树活动，去年植树x棵，今年比去年增加20%，则今年植树___________棵.
6. 某市收取水费按以下规定：若每月每户用水不超过20立方米，则每立方米水价按1.2元收费，若超过20立方米，则超过的部分每立方米按2元收费，如果某户居民在某月所交水费的平均水价为每立方米1.5元，那么他这一个月共用了_____立方米的水.
【模拟试题】（答题时间：60分钟，满分100分）
一、选择题（每小题4分，共40分）
1. 若k为有理数，则|k|－k一定是（ ）.
A. 0 B. 负数 C. 正数 D. 非负数
2. 已知，则的值是（ ）.
A.84 B. 144 C. 72 D. 360
3. 的运算结果为（ ）.
A. －x+y B. –x－y C. x－y D. 3x－y
4. 若，则的值为（ ）.
A. 13 B. 26 C. 28 D. 37
5. 小明和小莉出生于1999年12月份，他们的出生日期不是同一天，但都是星期五，且小明比小莉出生早，两人出生日期之和是22，那么小莉的出生日期是（ ）.
A. 15号 B. 16号 C. 17号 D. 18号
6. ……，请观察左边的三个图形，并判断照此规律从左向右第四个图形是（ ）.
A. B. C. D.
7. 对下列代数式作出解释，其中不正确的是（ ）
A. a－b：今年小明b岁，小明的爸爸a岁，小明比他爸爸小（a－b）岁
B. a－b：今年小明b岁，小明的爸爸a岁，则小明出生时，他爸爸为（a－b）岁
C. ab：长方形的长为acm，宽为bcm，长方形的面积为abcm2
D. ab：三角形的一边长为acm，这边上的高为bcm，此三角形的面积为abcm2
8. 下面是一组按规律排列的数：1、2、4、8、16、……，则第2009个数是（ ）.
A. B. C. D.
9. 计算（3a2+2a+1）－（2a2+3a－5）的结果是 （ ）。
A. a2－5a+6 B. a2－5a－4 C. a2－a－4 D. a2－a+6
10. 如果代数式4y2－2y+5的值为7，那么代数式2y2－y+1的值等于 （ ）。
A. 2 B. 3 C. －2 D. 4
二、填空题（每题4分，共20分）
11. ________________与为同类项，合并的结果为_________________.
12. 化简：____________________.
13. 数学课上，老师给同学们编了如图所示的计算程序，请大家计算：当输入x的值是1时，输出的y值是______________.
14. 我班数学兴趣小组几名同学用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案如下图所示：那么第2010个图案中有白色纸片_______张.
15. 已知一列数：1，－2，－3，－4，5，－6，7，……，将这列数据排成下列形式：
中间方框围成的一列数，从上至下依次为1、5、13、25、……，那么按照上述规律排下去，方框中的第7个数应为_________.
三、解答题（共40分）
16. 化简：（每小题4分，满分8分）
① ②
17.（8分）某同学周末在家自制了一个三角形木架，经测量其三边分别为（2x+1）cm，（3x－2）cm，（8－2x）cm.请你帮他计算这个三角形的周长？如果x=3，那么这个三角形的周长是多少？
18.（8分）已知：a与b互为相反数，c与d互为倒数，x=3（a－1）－（a－2b），y=cd+c（a+b）.
求3x－2y的值
19.（8分）锦联华超市为应对国际金融危机，在处理某种商品时，有如下几种方案：①.先提价20%，再降价20%；②.先降价20%，再提价20%；③.先提价15%，再降价15%。
问：用这三种方案，调价结果是否都恢复了原价？你建议该超市应采取哪种方案调价合算？
20.（8分）学校计划在一块长16m，宽12m的长方形荒地上修建一个花园，请了我班两名数学爱好者进行了设计（图中阴影部分即为花园）.
甲说：我的设计方案如图（1），其中花园四周小路的宽度相等都为a米.
乙说：我的设计方案如图（2），其中花园每个角上的扇形相同，半径为b米.
（1）分别用代数式表示出甲、乙二同学所设计的花园的面积。（可不化简）
（2）如果学校要求花园所占面积约为荒地面积的一半，π取3.14
甲说：a=12可满足要求；乙说：b≈5.5可满足要求. 那么此二人的说法对吗？请通过计算说明理由.
【试题答案】
一、
1. D【思路分析】如果k≥0，则|k|－k=0，如果k<0，则|k|－k>0，所以结果为非负数.[
2. B【思路分析】因为，所以，把这个式子作为一个整体直接代入原式计算.
3. A
4. A【思路分析】因为，所以x+y－5=0，xy－6=0，即x+y=5，xy=6，代入原式计算即可求值.
5. D【思路分析】用排除法，当小莉是18号时，小明是11号或4号，18+4=22，所以答案为D.
6. D【思路分析】它是一个转动的五角星.
7. D【思路分析】三角形的面积公式是底乘以高除以2.
8. C【思路分析】从第一个数开始依次可看为.
9. D
10. A【思路分析】由4y2－2y+5的值为7，所以4y2－2y=2， 2y2－y=1，所以2y2－y+1=2.
二、
11. ，【思路分析】答案不唯一.
12. 0
13. 4
14. 6031【思路分析】白色纸片的张数的规律是3n+1，所以n=2010时，张数是6031.
15. 85【思路分析】5=1+4，13=5+8，第7个是61+24=85.
三、
16. 解：①=2x+x－4－5x+4=－2x
②=
【思路分析】本题是去括号合并同类项，注意括号前是负号时，括号内各项都变号.
17. 解：（2x+1）+（3x－2）+（8－2x）=2x+1+3x－2+8－2x=3x+7
当x=3时，原式=3×3+7=16
【思路分析】三角形的周长是三边的和，然后代入x的值进行计算.
18. 解：x=3a－3－a+2b=2a+2b－3，因为a与b互为相反数，所以x=－3，同理可得：y=1.
把x=－3，y=1代入3x－2y得，原式=3×（－3）－2×1=－9－2=－11.
【思路分析】先根据互为相反数和互为倒数的关系计算出x与y的值，然后代入计算.
19. 解：设这种商品原价为a元，
则①（1+20%）（1－20%）a=0.96a
②（1－20%）（1+20%）a=0.96a
③（1+15%）（1－15%）a=0.9775a
故调价结果没有恢复原价。因为0.9775a>0.96a，所以建议超市应采取第③种调价方案合算。
【思路分析】通过设出原价，然后列出每种情况的代数式，通过代数式的值进行比较.
20. 解：（1）甲：（16－2a）（12－2a） 乙：192－πb2 （2）当a=12时，16－2a<0，不合实际，故甲的说法不对；当b≈5.5时，192－πb2≈97≈×16×12，故乙的说法正确.
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七年级数学寒假复习提高专题——常见的思想方法
【本讲教育信息】
一、教学内容：
1. 数形结合思想.
2. 整体思想.
二、知识要点：
1. 数形结合思想
数形结合思想是通过构建数与形之间的对应关系，在二者的对应和互助中，来分析研究问题并解决问题的一种思想. 常见的数形结合的途径有三种：以形助数、以数助形和数形互助.
数轴是数与形结合的桥梁，数与形结合的工具，具有多方面的功能.
（1）利用数轴能形象地表示有理数，使抽象的数变得具体.
例如有理数的分类，在数轴上，原点右边的是正数，原点左边的是负数，原点是表示0的点，它是正、负数的分界点.
（2）利用数轴能直观地解释相反数，能从运动变化的观点说明互为相反数的点，具有关于原点对称的特征.
（3）利用数轴理解︱a－b︱的意义，绝对值的定义是从几何角度给出的，即︱a︱是表示数a的点到原点的距离，而原点所对应的数为0，故︱a︱也写成︱a－0︱的形式，它反映了数轴上两点间的距离. 这样自然会想到数轴上任意两点的距离如何表示呢？如图所示，数a、b分别对应点A、B，从数轴的定义，我们知道线段OB、OA的数值分别等于b、a，即OB＝b，OA＝a. 从BA＝OA－OB＝a－b，知B点到A点的距离为︱a－b︱.
（4）利用数轴上的点的有序性，可以把复杂的数量关系表示得简明、形象、便于观察解答. 例如，在比较有理数大小的时候，可以把有理数在数轴上表示出来，依据数轴上右边的数总比左边的数大进行比较.
2. 整体思想
在研究问题时不是以某个或某些组成部分为着眼点，而是有意识地放大考虑问题的视角，将要解决的问题看成一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构或作整体处理后，达到顺利而又简洁地解决问题的目的.
【典型例题】
例1. （1）数轴上的点A表示数2，将点A向左平移5个单位长度得点B，则点B表示的数是__________.
（2）（湖南怀化）2008年8月第29届奥运会将在北京开幕，5个城市的国标标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示，那么北京时间2008年8月8日20时应是（ ）
A. 伦敦时间2008年8月8日11时
B. 巴黎时间2008年8月8日13时
C. 纽约时间2008年8月8日5时
D. 汉城时间2008年8月8日19时
分析：（1）表示数2的点A向左平移2个单位到原点，再向左平移3个单位到数－3，所以将点A向左平移5个单位长度得到的点B所表示的数是－3. （2）如图所示，纽约、伦敦、巴黎、北京、汉城五城市的时差可以通过它们对应的数字计算出来，北京时间2008年8月8日20时，伦敦时间是2008年8月8日12时；巴黎时间是2008年8月8日13时；纽约时间是2008年8月8日7时；汉城时间是2008年8月8日21时.
解：（1）－3（2）B
评析：数轴是数形结合思想解题的桥梁.
例2. 已知︱a︱＜︱b︱，a＞0，b＜0，把a、b、－a、－b按由小到大的顺序排列.
分析：从︱a︱＜︱b︱，及a＞0，b＜0知正数a在原点右侧，负数b在原点左侧，且表示数a的点到原点的距离小于表示数b的点到原点的距离，如图所示. 另一方面，a与－a，b与－b互为相反数，由于︱a︱＝︱－a︱，︱b︱＝︱－b︱，故数轴上表示这四个数从左到右的顺序是b，－a，a，－b.
解：b＜－a＜a＜－b.
例3. 如图所示，阴影部分的面积是正方形面积的（ ）
A. B. C. D. [
分析：阴影部分的面积不能求出，考虑把阴影部分通过切割、折叠等方法拼成一个可求面积的图形. 把正方形沿图中对角线对折，阴影部分面积等于三角形面积，等于正方形面积的一半.
解：D
评析：求图形面积时，常用割补、折叠等方法把不规则的图形拼成一个可求面积的规则图形.
例4. 图1是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：cm）. 将它们拼成如图2的新几何体，则该新几何体的体积为__________cm3. （计算结果保留π）
分析：图2几何体体积是图1几何体体积的3倍，但图1中的几何体不规则，体积不可求. 如果把两个图1中的几何体拼在一起便得到一个圆柱体，其体积是π·22·（4＋6）＝40π（cm3）. 那么图2几何体体积是这个几何体体积的倍，所以图2几何体体积是40π·＝60π（cm3）.
解：60π
评析：本题通过拼接，把一个不规则的图形拼成一个圆柱体. 其中体现的思想方法就是把部分图形转化成整体图形.
例5. 若代数式2y2＋3y＋7的值为2，则代数式－6y－4y2＋9的值为（ ）
A. －1 B. 19 C. 9 D. －9
分析：因为2y2＋3y＋7＝2，所以－6y－4y2＋9＝－2（2y2＋3y＋7）＋23＝－2×2＋23＝19.
解：B
评析：将所给条件不对字母进行分离求值，而是视其为一个整体，直接将其整个代入要求值的式子，然后计算求值.
例6. 当x＞0，y＜0，且︱x︱＜︱y︱时，化简︱2x－3y︱－︱3x＋3y︱.
分析：把2x－3y、3x＋3y各看作一个“整体”，先确定出这个“整体”的符号，然后再去掉其绝对值符号.
解：由x＞0，y＜0，且︱x︱＜︱y︱可知2x＞0，－3y＞0，x＋y＜0.
故2x－3y＞0，3x＋3y＜0，
因此，原式＝（2x－3y）－[－（3x＋3y）]
＝2x－3y＋3x＋3y
＝5x.
评析：“整体法”是合并同类项时常用的一种方法，同学们要通过细心观察才能够灵活运用此法.
【方法总结】
本节主要讲解了数形结合思想和整体思想，这两种方法是数学解题中的重要方法，应用十分广泛，在使用过程中注意这两种方法的特点.
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
*1. 有理数a、b、c在数轴上对应的点分别是A、B、C，其位置如图所示，试化简下式：
︱c︱＋︱c－b︱＋︱a－c︱－︱b－a︱.
2. 如图所示，a、b、c表示数轴上的三个有理数，那么a－b，b－c，c－a，c－（－b）分别是正数还是负数？
*3. 求图中阴影部分的面积.
4. 如图所示，正方形的边长为a，你能求出图中阴影部分的面积吗？
5. 已知2x2＋xy＝a，3y2＋2xy＝b. 求：4x2＋8xy＋9y2（结果可用a、b表示）.
6. 如图所示，有一块长方形土地，长40米，宽30米，在这块土地上修两条宽为b米的路，求剩下土地的面积.
**7. 观察下列式子：
（1）－a＋b＝－（a－b）；
（2）2－3x＝－（3x－2）；
（3）5x＋30＝5（x＋6）；
（4）－x－6＝－（x＋6）.
以上四个式子中括号的变化情况，它和去括号法则有什么不同？根据你探索的规律解答下题：已知a2＋b2＝5，1－b＝－2，求－1＋a2＋b＋b2的值.
【试题答案】
1. 由数轴知：a＞c＞b，c＜0，b＜0，a＞0，∴c－b＞0，a－c＞0，b－a＜0.
︱c︱＋︱c－b︱＋︱a－c︱－︱b－a︱
＝－c＋（c－b）＋（a－c）－[－（b－a）]
＝－c＋c－b＋a－c＋b－a
＝－c.
2. 因为c＜b＜0，a＞0，
所以a－b＞0，b－c＞0，c－a＜0，c－（－b）＝c＋b＜0.
3. 2π（）2－a2
4. a2－πa2
阴影部分的面积＝正方形面积－1个圆的面积.
5. 4x2＋8xy＋9y2＝4x2＋2xy＋9y2＋6xy
＝2（2x2＋xy）＋3（3y2＋2xy）.
因为2x2＋xy＝a，3y2＋2xy＝b，
所以4x2＋8xy＋9y2＝2a＋3b.
6. 1200－30b－40b＋b2或（30－b）（40－b）.
如图所示，把水平的路向下平移到最下边，把竖直方向的路向左平移到最右边，变化前后空白部分的面积相等. 变化后空白部分两边长分别变为30－b和40－b.
7. 规律：把代数式中的某几项添到前面带“＋”的括号内时，添到括号内的项都不变号；添到前面带“－”号的括号内时，添到括号内的项都变号.
－1＋a2＋b＋b2
＝（a2＋b2）－（1－b）
＝5－（－2）
＝7.
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七年级数学寒假复习提高专题——数学与交通
【本讲教育信息】
寒假专题——数学与交通
一、平均速度与平均数
平均速度同学们都很熟悉了，，它的一些变形也需要同学们掌握。平均数还涉及很多方面，比如说人均票价＝所有买票的钱÷所有人数，平均分数＝总分÷打分人数等。
具体包括：“平均速度”和“旅游费用”中的部分内容。
二、图表与行程问题
关于统计表的有关知识，我们在之前的课程中已经讲过。本章中我们将接触一些特殊的统计表和图表。它们在一些特殊的领域有着不同的用途。
其实关于里程表中的一些计算，同学们已经很熟悉了，下面列出两个图说明其中数据的关系。
如图1、图2所示，我们求里程表中任何一格时都可以采取“最外面格相加”的方法，也可以采取如图3所示的“右面格与最上面格相加”等方法。
具体包括：“里程表”和“运行图”中的部分内容。
三、旅游费用问题
这一部分内容主要是通过计算比较，找出最佳策略。
具体包括：“旅游费用”中的部分内容。
【例题分析】
例1：在一次独唱比赛中，6个评委给①号选手打的分数分别是：
评委 1 2 3 4 5 6
得分 9.65 9.25 8.75 10.00 8.35 7.70
假如你是第七位评委，你打的分数又不想影响①号选手原先的名次，应该给他打几分？说说你的理由。
分析与解答：首先我们先算出前6名评委打的分数的平均分数
（9.65+9.25+8.75+10+8.35+7.7）/6=8.95
要想不影响①号选手原先的名次，就不能改变他的平均成绩，给出的分数比平均分数不能高，也不能低，所以只能是8.95分。
答：要想不影响①号选手原先的名次，打的分数应为8.95分。
例2：一个人上山和下山的路程都是S，上山的速度是，下山的速度是，那么此人上山和下山的平均速度是多少？
分析与解答：此题较为容易，但也非常容易出错。同学们经常将平均速度计算为。其实要求平均速度只需知道两个量，总路程和总时间，没有第二个关系。第一种做法实际求的是“速度的平均数”，而不是平均速度。所以正确的做法是：
总时间为：，而总路程为2S
所以平均速度为：
此题告诉我们，“速度的平均数”不是“平均速度”。
例3：一辆汽车从A地驶往B地，平均速度为60千米/时；从B地沿原路返回A地，平均速度为40千米/时，求该车往返的平均速度。
分析与解答：题目看起来并不复杂，不过条件越少的问题往往更不容易解决。题中只有两个数据：60千米/时与40千米/时。因为从A地到B地的距离没有改变，所以我们设A地到B地的距离为S，则
从A地到B地的时间为小时，从B地到A地的时间为小时
平均速度为（千米/时）
解决这道题的关键是设出A、B两地的距离而不将其解出。
错误的做法是：（千米/时）
例4：这是一个古老的问题，称为“波利亚迷题”：某人步行了5小时，现沿着平路走，然后上山，最后又沿着原路返回原地。假如他在平路上每小时走4千米，上山每小时走3千米，下山每小时走6千米。试求他5小时共走了多少里？
分析与解答：题目中没有给出任何一段路程的长度，也没有给出走过任何一段路程所用的时间。
没有尝试就没有突破，因此我们先假设平路路程为，上坡路程为，下坡路程为。
此人行走的过程是平路、上坡、下坡、上坡、下坡、平路，所以5小时是由六部分组成的，即
所以（千米）
我们来看一下他这一段路的平均速度：（千米/时），正好与平路的速度一致，这是否是一种巧合？事实上，由于此人在同一段路上上坡与下坡的距离相等，所以这一过程也可以看成这个人始终在走平路，即始终以4千米/时的速度行走，5×4＝20（千米/时）也可解决问题。
例5：“冰雪节”期间，某旅行社组织了35名游客去“亚布力”滑雪场游玩，由一名导游带领。滑雪场入口处的“购票须知”写道：“每人凭票进门。儿童、成人一律每张30元，40张开始可以享受团体八折优惠”。导游买票时付给售票员1000元，你认为够了吗？请用所学的数学知识来说明你的观点？
分析与解答：如果我们按照要求买票，则只能买35张，但根据已知条件“40张开始可以享受团体八折优惠”，可以尝试多买票而少花钱的情况。
导游若按“儿童、成人一律每张30元”付钱
则旅游团所花总费用为30×35=1050（元）>1000元。
所以付给的1000 元不够
若按“40张开始可以享受团体八折优惠” 的方案买票
则旅游团所花总费用为40× 30× 80％=960（元）<1000元。
所以付给的1000元足够了
这类问题不要求没有浪费，所以可以根据具体情况采取最佳策略。
例6：为满足广大市民春节期间旅游需求，某城市特加开一列风景旅游号列车，从A景点出发，途经B、C、D最后到达E，全程行驶约3小时（停站休息忽略不计），已知C到B和D的距离一样。
（1）根据已有信息，完成下表（单位：km）
风景旅游号列车A景点至E景点站间里程表
（2）求出列车从D到E所需时间？
分析与解答：第（1）问，数据给的不全，如果只按照里程表中的数据只能得到以下答案：
这就要求同学们回到已知条件中认真读题，结合CB=CD和下图才可较容易地解决。
所以将里程表补全应是：
以往关于里程表的问题，都附带一问求平均速度，而第（2）问没有直接问平均速度，而是求时间，这就需要同学们仔细审题，彻底明白里程表问题，实际要想求结果也必须先求平均速度才能解决。
（2）列车的平均速度为300÷3=100（千米/时）
从D到E所需时间50÷100=0.5（小时）
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1、暑假，李明同学和爸爸、妈妈、爷爷、奶奶一家五口乘飞机旅游。航空公司有两种优惠政策。A种：大人按标准收费，学生六折。B种：四人以上一律八折。选择（ ）种方式最合算。
A、A种 B、B种 C、李明选A种，其他家人选B种
2、在一次登山活动中，小明上山时每分钟走50米，18分钟到达山顶，然后按原路下山，每分钟走75米。小明上、下山的平均速度是多少。
3、下面是京、广线铁路部分站间里程表（单位：千米），请将表格填完整。
北京 北京 郑州 长沙 广州
郑州 689
长沙 898
广州 707
此次列车硬卧票价表（部分）如下：
里程/千米 671－700 701－740 861－900 1551－1610 2271－2340
票价/元 156 163 191 310 411
完成下表：
京广线铁路部分站间票价表（单位/元）
北京 北京 郑州 长沙 广州
郑州 156
长沙
广州
4、甲、乙两岸相距24海里，一艘游艇顺水航行的时速为12海里，逆水航行时速为8海里，求这艘游艇的平均速度。
【试题答案】
1、C 2、60（米/分）
3、
北京 北京 郑州 长沙 广州
郑州 689
长沙 1587 898
广州 2294 1605 707
北京 北京 郑州 长沙 广州
郑州 156
长沙 310 191
广州 411 310 163
4、9.6海里/小时
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七年级数学寒假复习提高专题——分情况讨论
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
寒假专题——分情况讨论
二、教学要求
1、巩固有理数的几种分类方法，加法及乘法法则，深入理解相反数、乘方、绝对值的概念，知道几何图形的分类及角的分类方法；
2、树立分类意识，能够从问题环境中抓住分类的对象，并能根据对象的特点找出科学合理的分类标准；
3、能够在实际背景中理解各数量关系及变化规律，合理分情况讨论；发展应用数学知识解决问题的意识和能力，进一步加深对相关数学知识的理解；认识数学知识之间的联系。
三、重点、难点
重点：
1、巩固基本概念与法则；
2、从问题情景中抓住分类的对象并找出正确的分类标准；
3、能够逐类讨论并概括归纳。
难点：
1、确定分类对象及标准
2、正确、全面地讨论、归纳
四、课堂教学
（一）知识要点
1、基本概念的讨论
在本学期的学习中，我们接触了许多的新概念及概念之间的关系，如整式分为单项式与多项式、等式分为方程、恒等式与矛盾式，几何图形分为平面图形与立体图形，角按角度分为零角、锐角、直角、钝角、平角、优角、周角。以上这些都是对一个较大的概念按一定的标准进行分类，而我们往往通过对其中每一小类的讨论，掌握其性质，从而对大概念这一整体进行把握。我们所接触的事物往往不是单一的，一成不变的，因此需要我们能够分清它的不同情况，逐一讨论，通过概括总结解决问题。
（1）有理数的分类
有理数按不同的目的标准有不同的分类方法，我们常见的两种是：
注意：确定统一的分类标准，按照标准分类要做到既不重复又不遗漏。我们对有理数的相反数、绝对值及倒数的讨论往往建立在有理数分类的基础上。
（2）相反数、绝对值、倒数
（A）相反数
数的相反数表示为，不一定是负数。对于的符号的确定需要分类讨论。
（B）绝对值
数的绝对值表示为，对于的化简要有具体分类讨论的思想，把可能出现的情况都想到，做到解题准确。一般是对绝对值里面的式子按正数、负数、0进行分类，确定为哪一类，再根据其性质讨论。
如：
（C）倒数
数的倒数表示为，与的符号相同，即
对于一个数的倒数大小的讨论有四种情况：
①时，
②时，
③时，
④时，
2、加法与乘法的法则
加法法则：（1）同号的两个数相加，符号不变，并把两个加数的绝对值相加。（2）异号的两个数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数和为0。（3）0和任何一个有理数相加，仍得这个有理数。
乘法法则：同号两个数相乘得正，异号两个数相乘得负，并把绝对值相乘，任何有理数和0相乘都得0。
加法与乘法法则都要对进行运算的两个数分类讨论，对每类的运算结果进行规定，进行计算时首先要确定进行运算的两个数属于哪一类，特别地，除法与减法可以转化为乘法和加法进行。
在－2、3、4、－5这四个数中求任何两个数相乘，所得的积中最大的。
共有－2×3、－2×4、－2×（－5）、3×4、3×（－5）、4×（－5）六种情况，积最大的值为正数，因此必为同号相乘，只有－2×（－5）、3×4两种情况，可知最大的积是3×4＝12。
通过分析几种情况利用法则可准确判断结果，而不出现漏掉最大值的现象。
3、比较大小
对于一些没有具体数值而比较大小的问题，需要分情况讨论其结果。
如与比较，
①时，
②时，
③时，
，则与比较。、都有三种情况：正数、0、负数，分别讨论。
①时有三种可能，，此时
②时有三种可能，，此时
③时不可能，因为最小的绝对值为0。
综合 ，当时，；当时。
4、
有两种情况，
如化简[
。
为偶数，为奇数，如
另外，由于为正偶数时，
则可知，互为相反数的偶数次幂相等，则偶数次幂为一个正数的数有两个，如，则。由乘法法则可知，任何数的偶次幂都为正数。
5、应用题
在现实生活中存在一些问题需要分不同情况讨论，总结结论。
如某出租车收费标准是4千米以内为10元，超过4千米不足20千米时，每千米1.2元；超过20千米后，每千米1.8元。甲乘坐出租车走了千米，则应付多少车费？
其中没有给出在哪一范围内。这段路有三种情况。因此，要对分情况讨论。分、和三种情况讨论。[①时，收费10元；②在4－20千米时，收费（10＋1.2×（－4））元；③时，收费［（10＋1.2×16＋1.8×（－20））］元。
6、几何方面
在几何中分情况讨论的问题也相当普遍，同学们往往看不到分类的必要性。
如过平面上三点，两两画一条直线，可有几条直线。
分两种情况：三点在一条直线上，则可画一条直线；三点不在一条直线上，则可以画三条直线。
一个钝角减去一个锐角是什么角，有三种情况。
①钝角，如170°－20°＝150°
②直角，100°－10°＝90°
③锐角，120°－60°＝60°
【典型例题】
例1：在直线AB上取点C，已知AB＝8㎝，BC＝2㎝，求AC。
分析：作图是其中的关键。C点在直线AB上，但是C点是否取在A、B之间没有确定，要分情况讨论。
情况1：C点在AB之间，可知，AC＝AB－BC＝8－2＝6（㎝）。
情况2：C点在AB之外，可知AC＝AB＋BC＝8＋2＝10（㎝）。
例2：已知互为相反数，互为倒数，，求的值。
分析：，则，分两种情况：
解：（1）当时，原式＝0－1＋2＝1
（2）当时，原式＝0－1－2＝－－3
例3：表示有理数，那么一定小于吗？
分析：是有理数，有三种可能：正数、0、负数。对三种情况分别讨论。
解：①时，
②时，
③时，。
例4：比较与的大小。
分析：与都为正数，由加法法则，可知比和都大。化简，要判断符号。
由加法法则可知，有5种情况：①同号；②异号且负数绝对值较大；③异号且正数绝对值较大；④互为相反数；⑤中一数为0。
分别讨论，
情况①＝
情况②<
情况③<
情况④<
情况⑤＝
综合以上情况，则
解：。
例5：已知4条线段，长度分别是5㎝、6㎝、11㎝、16㎝，任取三条可组成几个三角形。
分析：如图三角形ABC，线段BC是B到C的连线，AB＋AC为B到C的折线，由两点之间线段最短可知，AB＋AC>BC。则以上四个数据中任取三个也应满足这个关系。
解：①取长度分别为5㎝、6㎝、11㎝的线段，5＋6＝11不符合规定；
②取长度分别为5㎝、6㎝、16㎝的线段，5＋6＝11<16不符合规定；
③取长度分别为5㎝、11㎝、16㎝的线段，5＋11＝16不符合规定；
④取长度分别为6㎝、11㎝、16㎝的线段，6＋11＝17>16
11＋16＝27>6
16＋6＝22>11符合规定。
则可知能组成一个三角形。
小结：
（一）能够确定树立分类的意识，分类时统一分类标准；
（二）按分类标准做到既不重复又不遗漏；
（三）逐步讨论完全；
（四）善于总结概括结论。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
一、填空
1、将下列各数填入相应的括号内。
正数集合｛ ｝ 负整数集合｛ ｝
整数集合 ｛ ｝ 有理数集合 ｛ ｝
2、已知，，则的最大值为 。
3、若，则 （填>、<或＝）
4、，则 0（填<、 >或＝）。
5、若，且，那么 0（填<、 >或＝）。
6、若，则 （填<、 >或＝）
7、化简＝
8、，则 0。
9、三条直线两两相交有 个交点。
10、的倒数是 ，相反数是 绝对值是 。
二、选择
1、两个数的积是负数，则（ ）
A. 两个数都是负数 B. 一个数是负数，一个数是正数
C. 至少有一个数是负数 D. A或B
2、如果有理数的倒数的绝对值分别是3和2，那么的值是（ ）
A. 是 B. C. 是 D. 或
3、两个数的积是零，下列判断中正确的是（ ）
A. 两个数都是零 B. 其中只有一个数是零
C. 至少有一个数是零 D. 一个数不小于零，另一个数不大于零
4、若为正整数，那么的结果是（ ）
A. 0 B. C. D. 或
三、化简
1、 2、
【试题答案】
一、填空
1、正数集合 ｛｝
负整数集合 ｛－15 ｝
整数集合 ｛ －15，97，0 ｝
有理数集合 ｛ ｝
2、4007
3、<（提示若，则）
4、>
5、<
6、＝
7、
8、＝
9、1或3
10、
二、选择题
1、B 2、D 3、C 4、A
三、化简
1、解：当时，即时，＝
当时，即时，＝
当时，
2、解：当时，＝
当时，＝0
当时，＝
所以＝
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七年级数学寒假复习提高专题——数轴与有理数
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
寒假专题——数轴与有理数
（一）了解数轴上的点与有理数的关系；理解相反数、绝对值的几何意义
（二）建立数轴上的某些点与有理数的一一对应关系，树立数形结合的思想意识
（三）通过数轴上的某些点与有理数的一一对应关系，掌握一些特殊有理数的性质，弄清相反数与绝对值的性质与求法的几何意义；
（四）能够利用数轴比较有理数的大小，解决一些有关相反数、绝对值的复杂问题。
二、重点、难点：
（一）重点
1、树立数形结合的意识，能够利用数轴描述有理数的有关概念和运算；
2、能够利用数轴进行有理数大小的比较；
3、能够利用数轴解决有关相反数与绝对值的一些问题。
（二）难点
1、有理数运算法则的理解；
2、利用相反数与绝对值的几何意义解题。
课堂教学
（一）知识要点
1、利用数轴上的点表示有理数
通过具有原点、正方向和单位长度的直线建立数轴，从而使所有有理数在数轴上都能找到它们的对应点，这样把有理数的一些问题直观形象化，达到快速、有效解决问题的目的。
例如：有理数的分类，原点右侧的点表示有理数为正有理数，左侧的点表示的有理数为负有理数，通过数轴可直观反映出正、负有理数所在的范围。
原点右边的点表示的数比0大，所以正数通常表示为，类似的有负数表示为
非负数表示为，非正数表示为。
再如，一些特殊的有理数可由数轴直接观察到。最小的正整数为1，最大的负整数为-1，没有最大或最小的有理数，最小的自然数为0等。如：大于-3且小于2的整数有：-2、-1、0、1。
2、相反数与绝对值的几何定义
引入数轴后，使抽象的数变成了具体的点，为我们的研究和应用带来了极大的方便。在数轴上原点的两旁离开原点距离相等的两个点所表示的数叫做互为相反数（注：0的相反数为0），由此在数轴上可直接观察到-3的相反数为3；的相反数为，相反数为本身的数只有0。
一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。数的绝对值记作，观察可知，。
正数的绝对值等于其本身，负数的绝对值为它的相反数。
总结得到：
可知：任何一个数的绝对值总是非负数，即。绝对值为本身的数为非负数；绝对值最小的数是0。
从数轴上观察可知，绝对值为一个正数的有两个，如，则。
注意：从数轴上正负两个方向考虑。
绝对值不小于5的整数有：-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5；
距离-3两个单位长度的点有两个：-1、-5。
，有两种可能，即或（即、互为相反数）。
3、利用数轴比较有理数的大小
由于数轴的某些点与有理数是一一对应关系，即所有的有理数都可以在数轴上找到一个点与之相对应，而数轴上的点表示的数，右边表示的数比左边的大，因此，可以直观准确地比较数的大小，如、、。
注意：进行数的比较时，可考虑这些数的对应点在数轴上的位置，再写出其大小关系。观察
可知，、为负数，为正数。
数轴上表示有理数的点的位置决定了正数大于一切负数，负数都小于零。而两个负数
比较，表示负数的点离原点越远则越靠左，因而越小。由此得到两个负数比较大小的法则：两个负数相比较，绝对值越大反而该数小。
4、有理数的加减运算
有理数的加减法运算结果可以通过数轴直接得到。
-3+5
可以理解为从表示-3的点向正方向移动5个单位长度，其结果为2。
3-5可以理解为从表示3的点向负方向移动5个单位长度，其结果为-2。
可以得知：一定比大。
【典型例题】
例1. 在数轴上表示下列各数，再按大小顺序用“>”连接起来。
－4、0、、1、-1、2.5
分析：在画数轴时，原点、单位长度、正方向不能少；是在原点左侧距离原点个单位的点。[
解：
例2. 有理数、、在数轴上的位置如图所示，化简下式。
求：
分析：由数轴观察可知，、为正数，为负数
则为较小数减去较大数，结果为负数；而负数的绝对值为其相反数，因此有；为较大数减去较小数，结果为正数，而正数的绝对值等于其本身，于是有；为负数，因此有。
解：
例3. 判断若，则 （ ）
分析：的绝对值大于的绝对值，是指表示的点比表示的点距离原点远，但在数轴上可以看到，可以分别从正负两个方向取得到原点距离某一单位长度的点，若正负不能确定，不能得到、大小关系的结论。对于判断题还可以采用举反例的方法，即举出一个符合条件却不满足结论的例子，即可以判断其为错误。
例如，，则，但是；
同时，若，也不能判断。若，，，但是。
解： （×）
例4. 若，，，把、、、按由小到大的顺序排列。
分析：按照所给条件将在数轴上对应点的位置找出来，就可以比较大小了。利用数轴把抽象的字母直观形象化是解决这类问题的好方法。
解：由，可知，为正数，为负数，、的对应点分别在原点的右边和左边；由可知，表示的点比表示的点距离原点近，首先确定、的位置，而表示、的点分别与表示、的点到原点的距离相等，而在原点的另一侧，可以得到、的位置。可以得到表示的、、、点在数轴上的位置。
因此由小到大的顺序排列为<<<。
例5. 如果，且，求、的值。
分析：从正负两个方向考虑，有两个可能，即；同理，。利用，即表示的点在表示的点的左侧。（可以标在数轴上观察）。
解：
或-3，或-4
或
例6.（1）那么=
（2），那么=
（3），那么=
分析：（1）绝对值为0的数只有0，即
（2）正数的绝对值为本身，但是零的绝对值为零，也可以说零的绝对值为本身；
（3）负数与零的绝对值都是其相反数；
解：（1）
（2）是非负数
（3）是非正数
例7. 已知
则①②③④错误的有
分析：观察可以得知，为绝对值较小的负数，为绝对值较大的正数，可分别画出表示、的点。
则①；②可以看作为两个负数相加，=；③为负数，所以；④为两个正数相加，。
解： ④
小结：
1、初步树立数形结合的思想意识
2、理解相反数、绝对值的几何意义
3、会利用数轴进行相反数绝对值有关问题的分析；利用相反数、绝对值几何定义解决问题，深入理解相反数、绝对值的性质；
4、能够利用数轴比较有理数大小。
【模拟试题】（答题时间：50分钟）
一、填空
1、在数轴上表示的点在表示的点的 边，比 （填大小）。
2、绝对值最小的数是 ，最大的负整数是 。
3、在数轴上，表示的点在表示的点的左边，、两点的距离可以表示为 。
4、数轴上距离原点3个单位长度的数是 。
5、绝对值小于4的整数之积为 。
6、如果是非正数，则= 。
7、比较大小（1） （2） （3）
8、绝对值大于2而小于5的整数是 。
9、，则 （填>或<）
10、，则 （填>或<）
二、选择
1、在下列关于0的说法中，正确的个数是（ ）
①0既不是正数也不是负数；②0是整数也是有理数；③0没有倒数；④0没有相反数
A. 1 B. 2 C. 3 D.4
2、下列说法中正确的是（ ）
A. 表示正数 B. 一定大于0
C. 任何数都有倒数 D. 一定比大
3、如图
下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
4、在数轴上有、两点对应的有理数、的大小关系中正确的是（ ）
A. B. C. D.
5、如图，在数轴上有A、B、C三点对应的有理数是a、b、c，且有，下列不等式关系中错误的是（ ）
A. B. C. D.
三、用数轴上的点表示下列各数，并用“>”号连接。
－1、0、、、－（－5）、2.5
四、已知有理数a、b、c，试比较a、-a、b、-b、c、-c的大小，并用“<”号连接。
五、已知A、B如图所示，
化简
【试题答案】
一、1、右、大；2、0，-1；3、b-a；4、3或-3；5、0；6、-a；7、（1）=，（2）>，（3）>；8、，；9、>；10、>。
二、1、C；2、D；3、C；4、B；5、B
三、解（1）
（2）
四、
五、解：
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七年级数学寒假复习提高专题——代数式（2）
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
寒假专题——代数式
1．理解字母表示数的重要意义以及代数式的意义，会根据实际问题列代数式，会求代数式的值，能解释代数式的值所表示的实际意义。
2．理解同类项、合并同类项的意义，掌握合并同类项的法则，并能正确合并同类项、根据合并同类项化简求值。
3．掌握去括号的法则，并能根据去括号的法则进行代数式的化简与求值。
4．进一步熟悉计算器的使用，能借助计算器探索数量关系，解决某些实际问题。
5．会用代数式表示简单问题中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律。
二. 学习重难点：
1．重点：列代数式，根据代数式化简求值，根据图形进行规律探索。
2．难点：根据代数式说出它所表示的实际意义，利用去括号法则去括号以及探索图形中的规律问题。
3．主要考点：（1）根据实际问题列代数式；（2）代数式的化简求值；（3）探索规律
三. 知识要点讲解：
（一）明确代数式的特征
代数式是一个非常重要的概念，它贯穿于初中代数的始终，我们可以看出代数式的三个特征：
1．代数式是用运算符号把数和表示数的字母连结而成的。如：3a、a+b等。
2．单独一个数或一个字母也是代数式。如：7、x等。
3．代数式中是不含等号的。运算律、公式，它们都是以等号形式出现的，应该说，这些等式的左、右两边，各是一个代数式。如：S=ab，它是用等号把代数式S与ab连结起来而成为公式，所以S=ab不是代数式，而是公式。
（二）注意代数式的书写格式
1．代数式中出现的乘号，通常简记作“·”或省略不写。数字和数字相乘，乘号不能省略；数字和字母相乘，可以省略乘号，但数字必须写在字母前面，如：a×2可记作2a，不能写成a2；字母和字母相乘时，除可省略乘号外，一般习惯按英文字母表示的自然顺序来书写，如：y×x×2，可简记为2xy。
2．带分数和字母相乘时，若要省略乘号，须把带分数化成假分数，如：x×，记作，不能写成，另外，当一个因数是1时，通常省略不写，如1×a，不能写成1a，而应记作a。
　3．代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，如：s÷t应记作，ah÷2记作。
　4．写代数式的答案时，若是乘、除关系的，单位名称直接写在式子的后面，如：正方形面积是12a平方厘米，无需加括号；若是加减关系时，必须把式子用括号括起来，再写单位，如：三角形的周长是（a+b+c）米。
（三）掌握列代数式的要点
　　列代数式就是把问题中与数量关系相关的语句，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来。
　 首先弄清问题中的数量关系，如：和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、增加到、减少到、增加了、减少了等，并把这些语言转化为算式。
　 其次是弄清问题中的运算顺序，特别是注意括号的运用。
　 最后要明确列代数式与小学的算术列式类似，所不同的是把数改为表示数的字母来列式。
　例1. 设甲数为x，用代数式表示乙数
　　（1）乙数比甲数的2倍小3；
　　（2）乙数比甲数大16％，
　　解：（1）中的甲数转化为“x”，“小”转化为运算符号“－”，先表示甲数的2倍2x，再表示比2x小3的数是2x－3。
　 （2）中甲数的16％即为：16％·x，“大”转化为运算符号“+”，即“x+16％·x 或（1+16％）x。
　例2. 设甲数为x，乙数为y，用代数式表示
　　（1）甲乙两数的平方和（即平方的和）。
　　（2）甲乙两数的和与甲乙两数的差的积。
　　解：（1）中就是：甲数的平方+乙数的平方，注意先平方后和，即x2+y2。
　　（2）中就是：（甲数+乙数）×（甲数－乙数），注意先算和、差，再相乘，和、差要添括号，即（x+y）（x－y）。
（四）准确求出代数式的值
　　一般地，把用数值代替代数式里的字母，按照代数式中指明的运算，计算出的结果，叫做代数式的值，在这个概念中，实际上也指出了求代数式的值的方法，即一是代入、二是计算，当代数式中有多个字母时，代入值不要混淆，式中的同一个字母其值应该是相同的，在进行运算时，既要分清运算的种类，又要注意运算顺序。某些求代数式的值的题目，没有直接给出代数式中相关字母的值，而是给出某种关系，这时要认真仔细观察题目特征，运用整体代换的方法来进行求值。
　例3. 若代数式2x+3y+7的值是8，那么4x+6y+10的值是多少
　　解：本题没有给出x、y的值，而是已知2x+3y+7=8，这时易知2x+3y=1，然后再观察4x+6y+10这个代数式，其式中的4x+6y正好是2x+3y的2倍，即4x+6y=2（2x+3y），所以4x+6y=2，此时4x+6y+10的值就是2+10=12了。
（五）会应用代数式解决实际问题
　 应用数学知识解决实际问题是学习数学的目的，灵活应用代数式，可以解决许多实际问题。
　例4. 用a米长的篱笆材料，在空地上围成一个绿化场地。现有两种设计方案：一种是围成正方形的场地；另一种是围成圆形的场地。试问选用哪一种方案，围成的场地面积较大 并说明理由。
　　解：设S1、S2分别表示围成的正方形场地和圆形场地的面积，则
∵π＜4，∴
　　∴S2＞S1，故应选用围成圆形场地的方案，它的面积较大。
　例5. 暑假里父亲、儿子、女儿准备外出旅行，咨询时了解到，甲旅行社规定：大人买一张全票，两个孩子的费用可按全票价的一半优惠；乙旅行社规定：三人旅行可按团体票计价，即按原价的60％收费。已知两个旅行社的原价相同，问选择哪个旅行社，能多省钱
　　解：设两个旅行社的原票价为a（a>0）元，则甲旅行社的收费为a+2×0.5a=2a（元），乙旅行社的收费为3×60％a=1.8a（元）。因为2a>1.8a，所以选择乙旅行社能多省钱。
（六）在列代数式中培养创新能力
　　“创新是一个民族的灵魂。”我们每个中学生都应具有创新意识，在数学学习中创新，就是要对自然界和社会中的数学现象具有好奇心，会从数学的角度发现和提出问题，并加以探索和解决。
　例6. 给出下列算式：
　　32－12=8=8×1，52－32=16=8×2
　　72－52=24=8×3，92－72=32=8×4
　　观察上面一系列等式，你能发现什么规律 用代数式表述这个规律。
　　分析：观察可知左边是连续奇数的平方差（大数减小数），右边是8的倍数，其规律可用代数式表述为 （2n+1）2－（2n－1）2=8n（n为自然数）。
　例7. 问题：你能很快算出19952 吗
为了解决这个问题，我们考察个位数为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可用代数式表示为10n+5，问题即转化求（10n+5）2 的值（n为自然数），试分析n=1，n=2，n=3，…这些简单情况，从中探索其中的规律，并归纳、猜想出结论（在下面横线上填上你的探索结果）。
（1）通过计算，探索规律：
　　152=225，可写成100×1×（1+1）+25，
　　252=625，可写成100×2×（2+1）+25，
　　352=1225，可写成100×3×（3+1）+25，
　　452=2025，可写成100×4×（4+1）+25，
　　752=5625，可写成_____________。
　　852=7225，可写成_____________。　　……
　　（2）从第（1）题的结果，归纳、猜想得：（10n+5）2=_____________。
　　（3）根据上面的归纳、猜想，请算出：19952=______
　　解：（1）l00×7×（7+1）+25，100×8×（8+1）+25；
　　（2）100n（n+1）+25，n为自然数；
　　（3）100×199×（199+1）+25=3980025。
　　本例的实质是先用代数式表示出一般情况，再求特殊情况下代数式值的计算规律，归纳出一般性结论，再求这个一般性结论中代数式的值，体现了“特殊—— 一般 ——特殊”的思想方法，这正是用字母代数 （从特殊到一般）后再求代数式的值（从一般到特殊）这种思想方法的反复应用。发现是创新的前提，以上两例要求同学们从具体、特殊的事例中探究其存在的规律，并把潜藏在现象中的本质挖掘出来，并用代数式加以表示。规律被找出，即是完成了一个创新过程。
四. 思想方法
1．代数思想：用字母表示数，并让字母和数一样参加运算是数学中重要的思想方法.在解决一些实际问题时，通过用字母表示某些量进行计算，可使运算非常简捷。
2．分类思想：字母可以表示正数，也可以表示负数或0，在具体的求值中，如果没有明确字母的具体取值，则需要对字母的取值分类讨论。在求代数式的值或比较代数式的值的大小时，应注意分类思想的应用。
3．整体思想：代数式的化简，有时可以从整体的角度思考问题，即将局部放在整体中去观察分析探究问题的解决方法，从而使问题得以简捷巧妙解决。在代数式的化简中应注意这种数学思想的应用。
【典型例题】
1．列代数式
和列代数式有关的题目主要包含以下几点：①根据实际问题列代数式；②用代数式解决实际问题；③已知代数式，从实际问题角度出发说出代数式所能表示的实际问题。解决问题的关键是理解题目中的数量关系，注意一些公式的应用。
例1. 如图1，某长方形广场的四个角都有一块半径相同的四分之一圆形的草地，若圆形的半径为r米，长方形的长为a米，宽为b米.则空地面积用代数式表示为_____。
图1
分析：本题是一道数形结合题，要用代数式表示空地的面积，观察图形可知：空地的面积等于长方形的面积减去四个四分之一圆的面积，也就是长方形的面积减去一个半径为r米的圆的面积.因为长方形的面积为ab平方米，圆的面积为平方米，所以空地的面积为（ab－）平方米。
解：（ab－）
评注：根据图形中的数量关系列代数式也是一个重要类型，解决此类问题需要了解图形的一些特征，如长方形的面积的公式，圆的面积的公式等。
例2. 代数式的两个实际意义是： ， 。
分析：此类问题的答案较多，只要能用代数式表达出实际意义即可.如：大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，大正方形与小正方形的面积差是多少.再如，摩托车每辆m元，自行车每辆n元，m辆摩托车比n辆自行车贵多少钱。
解：略
评注：说出代数式的实际意义，一定要注意所写的实际问题要有意义.能够和代数式相吻合。
2. 代数式的化简
与代数式的化简有关的题目主要涉及先去括号，再合并同类项.解决问题的关键是正确使用去括号法则以及合并同类项的法则，并注意乘法分配律的使用。
例3. 化简（8xy－3x2）－5xy－3（xy－2x2+3）
分析：本题是一道综合化简题，首先要根据去括号法则去括号，然后再根据合并同类项的法则合并同类项。
解：（8xy－3x2）－5xy－3（xy－2x2+3）
=8xy－3x2－5xy－3xy+6x2－9
=3x2－9.
评注：使用乘法分配律注意不要漏乘括号内的项，括号前是“－”时，去括号应注意变号。
例4. 化简3（x－y）－2（x+y）－5（x－y）+4（x+y）+3（x－y）
分析：此题的一般解法是去括号，然后合并同类项，若按常规的方法，需去5个括号，计算较繁琐，若将（x+y），（x－y）各看作一整体，进行整体合并，则化简快捷方便。
解：3（x－y）－2（x+y）－5（x－y）+4（x+y）+3（x－y）
=3（x－y）－5（x－y）+3（x－y）－2（x+y）+4（x+y）
评注：整体思想是一种重要的数学思想，解题时应注意这种思想的应用。
3. 代数式的求值
和求代数式的值有关的题目主要分两类：一是直接代入求值，这类问题比较简单，常以选择或填空题的形式出现；二是先化简，后求值.这类问题比较常见。
例5. 先化简，再计算： （3a2－ab+7）－（5ab－4a2+7），其中a=2，b=
分析：本题主要考查去括号及合并同类项.解决问题的基本步骤是先去括号，后合并同类项.去括号时，应注意去括号法则的应用。
解：（3a2－ab+7）－（5ab－4a2+7）=3a2－ab+7－5ab+4a2－7=7a2－6ab
当a=2，b=时，原式=28－4=24.
评注：化简求值，一定要保证化简的正确性，否则，代入求值做的就是无用功了。
4. 探索规律
探索规律型问题是考试的一个重点，常见的探索规律型问题与图案中的规律探索有关.解决规律探索问题，一般可采用归纳猜想的方法求解，然后进行特殊验证。
例6. 如图2，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第个图案中白色瓷砖的块数为_________块．
图2
分析：观察第1个图案中白色瓷砖的块数为1+3+1=5块，第2个图案中白色瓷砖的块数为2+4+2=8块，第3个图案中白色瓷砖的块数为3+5+3=11块，依此规律可以得到第n个图案中白色瓷砖的块数为n+（n+2）+n=3n+2块。
解：3n+2
评注：探索规律型问题的解法有时比较多，可以从不同的角度思考问题，但结果都是一样的。本题也可以从5，8，11，…数字之间的关系发现规律。
5. 探究说理题
探究型问题是在代数式化简的基础上，通过对题目的变式提问等方式设计出来的一种题目，解决这类题目的关键还是代数式的化简。
例7. 有一道题“先化简，再求值：17x2－（8x2+5x）－（4x2+x－3）+（－5x2+6x+2006）－3，其中x=2006。”小芬做题时把“x=2006”错抄成了“x=2060”。但她计算的结果却是正确的，请你说明这是什么原因？
分析：本题可通过将多项式进行去括号，合并同类项再进行说理。实际上，当x=2006和x=2060时，多项式的值不变，说明合并同类项后，结果与x无关。
解：17x2－（8x2+5x）－（4x2+x－3）+（－5x2+6x+2006）－3
=17x2－8x2－5x－4x2－x+3－5x2+6x+2006－3
=（17－8－4－5）x2+（－5－1+6）x+（3+2006－3）
=2006
由计算的结果不含字母x，可知此多项式的值与字母x的取值无关.所以小芬将x=2006错抄成x=2060时，计算的结果不变。
评注：与代数式有关的说理型问题，主要是通过代数式的化简进行说理的.正确的化简是说理的基础。
6. 用字母表示数的实际应用
对于有关的实际问题，可以通过用字母表示数，得到有关代数式，通过代数式的化简来解决问题。
例8. 扑克牌游戏：
小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：
第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌现有的张数相同；
第二步：从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；
第三步：从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；
第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆.
这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数.你认为中间一堆牌现有的张数是 张。
分析：因为第一步各堆牌的张数相同，所以可设为n张，则第二步后左边一堆为（n－2）张，中间一堆为（n+2）张；第三步后，中间有（n+2+1）张；第四步，中间一堆为（n+3）－（n－2）=5（张）。
解：5
评注：本题是字母表示数的思想方法应用的重要展现，在解决实际问题时注意对这种思想方法的应用。
【模拟试题】（答题时间：70分钟）
考点1：列代数式
一. 选择题
1. 下面的代数式中，书写表达符合要求的是（ ）.
A．ab3 B． C．4xy2 D．x+y克
2．如果a是有理数，则下面的代数式始终有意义的是（ ）.
A． B． C． D．
3．用代数式表示“x的2倍与y的平方的差”正确的是（ ）.
A．（2x－y）2 B．x－2y2 C．2x2－y2 D．2x－y2
4．a是一个两位数， b是一个一位数，如果把b放在a的左边组成一个三位数，则这个三位数表示为（ ）.
A．100b+a B．100a+b C．10b+a D．10a+b
5．从山顶到山脚共s千米，某人上山用了a小时，下山用了b小时，那么这人在往返过程中的平均速度表示为（ ）.
A．千米/小时 B．千米/小时
C．（ +）千米/小时 D．（ +）千米/小时
二．填空题
6．两个数之和为100，其中一个用x表示，那么另一个数表示为______，它们的积表示为___________。
7．体育用品商店的老板进了某种型号的篮球10个，另一种型号的足球20个，已知这种篮球的进价是a元/个，足球的进价是b元/个，那么老板共用去了________元钱。
8．小明家去年总收入为x元，今年的总收入比去年提高了20％，则今年总收入是________元。
9. 如图1，阴影部分的面积表示为__________。
图1
10．一棵小树苗，刚栽下时高1.5米，以后每年长0.6米，则n年后树高为________米。
三．解答题
11．将左边的语句与右边的式子用线连接起来。
①a与b的平方和 A.
②a与b和的倒数 B. a2－b2
③a与b的差的平方 C. （a+b）2
④a与b的和的平方 D.
⑤a与b的倒数的和 E. a2+b2
⑥a与b的平方差 F. （a－b）2
12．某生活小区有一块长为am，宽为bm的长方形绿地，现打算在绿地中建两条小径，如图2所示，那么建好小径后，陆地的面积用代数式表示为多少？
13. 某一个电影院内共有50排座位，第一排座位有25个，以后每一排比它的前一排多一个座位。
（1）请求出第10排有多少个座位？
（2）请表示出第n排（n是不超过50的正整数）的座位数。
考点2：求代数式的值
一. 选择题
1. 已知x的相反数是－2，y的倒数是2，那么代数式x2+y2+2xy的值是（ ）.
A. 0 B. 16 C. D.
2. 下列说法：①代数式a2+b2的值一定是非负数，②代数式（a+b）2的值一定是非负数；③a2－b2的值一定是非负数，其中正确的有（ ）.
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
3. 当x分别等于1和－1时，多项式x4+2x2+5的值（　　　）.
A. 互为相反数 B. 互为倒数
C. 相等 D. 异号
4. 已知|x|=5，|y|=4，且x+y＜0，那么xy的值等于（ ）.
A. 20 B. －20 C. 20或－20 D. 以上答案都不对
5. 已知y=ax5+bx3+cx，当x=2时，y=100；则当x=－2时，y的值为（ ）.
A. －100 B. －98 C. －102 D. 98
二. 填空题
6. 当代数式3x2－2x－4的值为2时，的值为_________。
7. 小明今年m岁，他爷爷的岁数是他的5倍，那么5年后，爷爷的年龄是______岁。
8. 12世纪，数学家斐波拉契提出了有名的“兔子繁殖问题”，经研究得到一列数：1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，y，z，…，根据你的观察，计算出2y+ x－z=____。
9. 两个圆的直径之和为10㎝，其中一个圆的半径为r㎝，则另一个圆的周长为__________㎝。
10. 已知a+ b=10，ab=－11，那么5 a+5 b－2 a b的值为_________。
三. 解答题
11. 用火柴棒搭了如图3的一些图形。
（1）填表
第n个图形 ① ② ③
火柴棒根数
（2）用含有n的代数式表示第n个图形中火柴棒的根数。
12. 某商店出售一批水果，最初以每箱a元的价格出售m箱；后来每箱降价了b元，又售出m箱；最后剩下的30箱以c元每箱的价格售完。
（1）用代数式表示这批水果共卖了多少元？
（2）如果这批水果每箱的进价为20元，试计算当m=20，a=35，b=7，c=22时，该店共赚了多少元？
考点3：合并同类项及去括号法则
一. 选择题.
1. 下列式子中正确的是（ ）.
A. 3ab－2ba= ab B. 3xy2－2xy2=1
C. 15x+5x3=20x4 D. a2+a2=a4
2. 下列各组整式中，不是同类项的是（ ）.
A. 3a2b与－2ba2 B. 22a3b与22b3a
C. ab2c3与104ab2c3 D. －3a2b与23ba2
3. 下列各式中去括号正确的是（ ）.
A. a－2（2b－3c+d）=a－4b－3c+d
B. a－2（2b－3c+d）=a－2b+3c－d
C. a－2（2b－3c+d）=a－4b+6c+2d
D. a－2（2b－3c+d）=a－4b+6c－2d
4. 若多项式3x2+xy与3y2－3axy+5的和中不再会有xy的项，则a的值为（ ）。
A. 1 B. －1 C. D. －
5. 一个长方形的一边长是2a+3b，另一边长是a+b，则这个长方形的周长是（ ）.
A. 12a+16b B. 6a+8b C. 3a+4b D. 以上都不对
二. 填空题：
6. 代数式－5xy2z3的系数是______，次数是________。
7. 若－2xy6与3xy是同类项，则m=_______，n=_________。
8. 代数式a－2b－3c的相反数是_________。
9. 若M=－5a+3b，N=2a－7b，则M+N=_________，M－N=__________。
10. 在下面的括号内填入适当的式子，使从左到右的变形是正确的：
x－2y+3z－4p=x+（_________）=x－（_________）=x－2（_________）。
三. 解答题
11. 先化简，再求值：（8a2－9a）－2（1－5a+4a2），其中a=－2。
12. 三角形的一边长为（2x2－3x－4）㎝，另一边长是（x2+x+1）㎝，第三边长是这两边差的2倍，求这个三角形的周长。
考点4：整式的加减法及应用
一. 选择题：
1. 一个多项式减去x2—2y2等于x2+y2，则这个多项式是（ ）。
A. 2x2－y2 B. －2x2－y2 C. x2－2y2 D. －x2+2y2
2. 已知－x+2y=3，则3（x－2y）2－4（x－2y）－1的值为（ ）。
A．24 B．25 C．38 D．39
3. 与A的和是x，则A表示的式子是（ ）.
A. B. － C. D. －
4. 如果用a、b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，交换这个两位数的十位数字和个位数字后，得到一个新的两位数，这两个两位数的差一定能够（ ）。
A. 被6整除 B. 被9整除 C. 被10整除 D. 被11整除
5. 要使（ax2－2xy+y2）－（－x2+bxy+4y2）=5x2—6xy+cy2始终成立，则a、b、c的值分别是（ ）。
A. 4，4，3 B. －4，4，－3 C. 4，－4，－3 D. 4，4，－3
二. 填空题
6. 某个学习小组中12岁的学生有a人，13岁的学生有b人，14岁的学生有c人，那么这个小组的平均年龄是_________。
7. 一个三位数，十位数字为x，百位数字比十位数字的2倍少3，个位数字比十位数字多2，那么这个三位数表示为_________。
8. 如果A=m－n，B=n－p，并且A+B+C=0，则C=_________。
9. 图4中阴影部分的面积为_________。
10. 已知甲、乙两地相距S千米，货车需t小时走完全程，客车少用1小时走完全程，则客车每小时比货车多行驶_________千米。
三. 解答题
11. 若|x+2|+（y－3）2=0，并且A=2xy+3y2，B=x2－xy+y2，求2A－6B的值。
12. 某市的出租车有两种车型，它们的收费标准也不同，A型车的起步价为5元，2km后每千米价为1.2元；B型车的起步价为8元，3km后每千米价为1.00元。
（1）如果小明要乘坐出租车到20km处的某地，你帮他计算一下，乘坐哪种车型的出租车合算？
（2）请你计算乘坐A型出租车和B型出租车x（x＞3）km时的差价是多少元？
13. 已知12=1=；
12+22=5=；
12+22+32=14=.
观察上面算式的规律并解答下列各题：
（1）12+22+32+42=
（2）12+22+32+42+…+n2=
（3）计算12+22+32+42+…+1002的值.
（4）计算22+42+62+82+…+1002的值.
【试题答案】
考点1
一. 选择题
1. B 2. C 3. D 4. A 5. B
二. 填空题
6. 100－x，x（100－x） 7. 10a＋20b
8. （1＋20%）x 9. ——
10. 1.5+0.6n
三. 解答题
11. ①E，②D，③F，④C，⑤A，⑥B
12. ab－（bd+ac－cd）
13. （1）34，（2）25－（n－1）
考点2
一. 选择题
1. D 2. A 3. C 4. C 5. B
二. 填空题
6. 3 7. 5m＋5 8. 55 9. 2π（5－r） 10. 72
三. 解答题
11. （1）3，9，18 （2）3（1+2+3+…+n）
12. （1）am+（a－b）m+30c （2）520
考点3
一. 选择题
1. A 2. B 3. D 4. C 5. B
二. 填空题
6. －5，6 7. 5，1 8. －a+2b+3c
9. ―3a―4b，―7a+10b
10. －2y＋3z―4p，2y―3z＋4p，y－1.5z＋2p
三. 解答题
11. 化简为a－2，值为－4
12. （5x2－10x－13）㎝
考点4
一. 选择题
1. A 2. C 3. B 4. B 5. D
二. 填空题
6. 7. 211x－298
8. －m＋p 9. 10. －
三. 解答题
11. －84
12. （1）B型车，（2）2.2x－8.4
13. （1）4，4+1，2×4+1 （2）n，n+1，2n
（3）338350 （4）171700
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七年级数学寒假复习提高专题——分式的技巧
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
寒假专题——分式的技巧
二. 重点、难点
分式求解的技巧一般有：
1. 分组通分
2. 拆添项后通分
3. 取倒数或利用倒数关系
4. 换元化简
5. 局部代入
6. 整体代入
7. 引入参数
8. 运用比例性质
【典型例题】
[例1] 化简
分析：问题的实质是约分、需要消分子、分母分别进行因式分解，由于分母中含有绝对值符号，应考虑如何去掉绝对值符号同时应注意x的取值范围。
解：原式
当且时，原式
当且时，原式
[例2] 计算
分析：观察各分母特点知，式中第一、二项，第三、四项分别组合通分较容易。
原式
[例3] 化简
分析：经观察发现，上式中出现最多的，而由乘法公式可知，
因此令，原式的形式就变得简单了，化简也容易了，这种换元的方法在代数式变形中是十分有用的。
解：设则
原式
[例4] 计算：
解：设 则
原式
[例5] 计算
分析：即不便于分步通分，又不适合分组通分，试图考察其中一项，从中发现规律。
因此不能看出，拆项后通分更容易
解：原式
[例6] 若
记
证明：f是一个整数
证明：若
把上式相加得
∴ ① ②
③ ④
①，②，③，④再分别同时加上x，y，z，t得
即 ∴ 是一个整数
若，则有
∴ 是一个整数
故f是整数
[例7] 计算
分析：经仔细观察可知，四个分母分解因式后分别为，，
每两个因式间相差1，可用
解：原式
[例8] 计算
分析：该分式形式复杂，但各项之间有联系，如，可利用换元的方法进行计算。
解：设
则
∴ 原式
[例9] 设求的值
分析：所求分式中每一项均为x的偶次方项，或先将条件化为x的偶次方的形式，再代入求值。
解：由得 ∴
∴ 原式
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 若①且②
求证：
2. 求证：
3. 已知：，且a、b、c都不等于0。
求证：
4. 已知，求证：
（n为自然数）
5. 若，求证：
6. 设、、为互不相等的非零实数，且，求证：
7. 已知求证：、、中至少有一个等于1。
8. 已知n为自然数，求证：
【试题答案】
1. 证明：①式两边同乘以abc，得 ③
②式去分母，得 ④
∴
∴ ⑤
③+⑤，得
两边同除以得：
2. 证明：∵ 同理：
∴ 左边 右边
∴ 左边=右边 ∴ 原式成立
3. 证明：左边
∵ ∴ 左边
∵ 左边=右边 ∴ 原式成立
4. 证明：两边同乘以，去分母得：[前两项提公因式]
∴ 或或 即或或
将代入左边得：左边 右边 ∴ 原等式成立
5. 证明：将已知等式两边分别乘以得：
①
②
③
①+②+③得：
又 ∵
∴ 原式成立
6. 证明：∵ ∴
∴ ① 同理 ② ③
①×②×③得
7. 证明：由已知得 ∴
∴ 又 ∵ ∴
∴
∵ 或或
即：或或
∴ 、、中至少有一个等于1
8. 证明：∵
∴ 左边
∴ 原式成立
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七年级数学寒假复习提高专题——数的运算和代数式化简
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
寒假专题——数的运算和代数式化简
1. 有理数、实数的运算
2. 代数式的化简
二、教学目标
1. 能熟练掌握有理数、实数中的计算。
2. 掌握代数式中化简求值的问题。
三、重点、难点
1. 重点：实数运算和代数式化简。
2. 难点：平方根、算术平方根的区别，代数式相关综合题较难。
四、本周知识点
1. 理解正负数的概念，有理数的分类，数轴的定义，相反数、绝对值的概念。
2. 有理数加减乘除运算。
3. 用字母表示数，合并同类项，去括号法则。
4. 代数式化简，并能求出相应条件下的值。
【典型例题】
例1. （1）＝ ； ；
（2）若则 ；
（3）若，则的值是 ；
（4）若其中至少有一个正数的五个因数的积是负数，那么这五个因数中，正数的个数是 。
（5） ；的平方根为 ；
解：（1）2；－8；（2）－2或－8；（3）144；（4）1或3；（5）29；
例2. （1）若，则b的值是（ ）
A. 5 B. －5 C. D. 以上均不对
答案：选D
（2）已知：是有理数，都是无理数，现有下列各数：① ②
③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 其中一定是无理数的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
答案：选C
（3）若，则的值是（ ）
A. －1 B. 0 C. 无意义 D. －1或无意义
答案：选D
（4）一个自然数的算术平方根是，则比这个数大1的自然数的算术平方根为（ ）
A. B. C. D.
答案：选C
（5）一辆汽车以a千米/小时的速度从A地开往B地，它又以b千米/小时的速度从B地返回A地，则汽车行驶的平均速度为（ ）
A. B. C. D.
答案：选D
例3. 已知：是的算术平方根，是的算术立方根，求B－A的值。
解：由题意得：
例4. （1）代数式的值与字母的取值无关，求：的值。
（2）已知，关于的多项式中不含有四次项，求多项式的值。
解：⑴
＝
取值与无关
（2）
例5. 设三个互不相等的有理数，既可表示为2、的形式，又可表示为0、的形式，求：的值。
解：由已知可得，这三个数其中两个数为：2、0
例6. 某地电话拨号入网有两种收费方式，用户可以任选其一：
A计时制：0.05元/分；
B包月制：50元/月（限一部个人住宅电话上网）。此外，每一种上网方式都得加收通信费0.02元/分。
（1）某用户每月上网的时间为小时，请你分别写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；
（2）若某用户一个月内上网的时间为20小时，你认为采用哪种方式较为合算？
（3）你认为在何种情况下选用计时制合算？
解：（1）计时制：
包月制：（元）
（2）当小时时
计时制：4.220＝84元
包月制：50＋1.220＝74元
包月制合算[
（3）
当一个月上网时间少于小时时选用计时制合算，大于小时时选用包月制合算。
例7. “严肃”中学初三（1）班计划用勤工俭学收入的66元钱同时购买单价分别为3元，2元，1元的甲、乙、丙三种纪念品，奖励参加校“艺术节”活动的同学，已知购买乙种纪念品的件数比购买甲种纪念品的件数多2件，而购买甲种纪念品的件数不少于10件，且购买甲种纪念品的费用不超过总费用一半。若购买的甲、乙、丙三种纪念品恰好用了66元钱，问可有几种购买方案？每种方案中购买的甲、乙、丙三种纪念品各多少件？
解：设购买的甲纪念品x件，则乙纪念品为（x＋2）件，丙纪念品为y 件。
即：
由已知可得：
为整数
＝10或
当＝10时，
当＝11时，
答：有两种购买方案，方案一：甲、乙、丙分别为10、12、12件，方案二：甲、乙、丙分别为11、13、7件。
【模拟试题】（答题时间：50分钟）
一、选择题：
1. 的倒数是（ ）
A. －5 B. 5 C. D.
2. 象棋比赛中，如果把胜一局记作＋3分，那么输一局记作（ ）
A. －3分 B. －3 C. ＋3分 D. 以上都不对
3. 下列计算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如果互为倒数，互为相反数，则的值为（ ）
A. 10 B. 9 C. 0 D. －1
5. 如果，则等于（ ）
A. 2a B. －2a C. 0 D. a
6. 如图、数轴上的点A和B分别对应有理数a和b，下列各式中错误的是（ ）
A. B. C. D.
7. 人类的遗传物质DNA，人类的DNA是一个很长的链，最短的22号染色体也长达3000,0000用科学计数法表示为（ ）
A. B. C. D.
8. 用代数式表示，两数的和的平方减去它们的平方差（ ）
A. B.
C. D.
9. 当时，代数式的值是（ ）
A. 29 B. 23 C. 19 D. 16
10. 已知一个两位数，将其个位上的数与十位上的数相对调，则所得的新数与原数的差是（ ）
A. 能被11整除 B. 能被10整除 C. 能被9整除 D. 能被6整除
二、填空题
1. 下列的每个框内填入一个四则运算符号（不再添括号），使等式成立。
6□3□2□12＝24
2. 若多项式是四次多项式，则m＝ 。
3. 对于有理数a、b，定义运算☆如下，a☆b＝，则3☆4＝ 。
4. 已知代数式的值是3，则代数式的值是 。
5. 已知，当时，y＝5，则当x＝2时y的值为 。
三、解答题
1. 计算
（1）
（2）
（3）
（4）
2. 已知，求① A＋3B ② x＝2时，A＋3B的值.
3. 已知代数式的值与字母x的取值无关，求a、b的值。
【试题答案】
一、选择题
1. A 2. A 3. D 4. D
5. B 6. C 7. B 8. A
9. A 10. C
二、填空题
1. ＋ ＋ 2. 1 3. 4. 7 5.
三、解答题
1. 计算
（1）4.25 （2） （3）－19 （4）
2. ⑴ －7x＋2 ⑵ －12
3. a＝－2 ， b＝1
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