【培优练】人教版数学八年级下学期 20.2 数据的波动程度
一、选择题
1．（2022八下·北仑期中）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是 ，则射击成绩比较稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．（2025八下·鄞州期中）某学习小组A、B、D、E四名同学以及小刚同学的测试成绩如图所示，拿到试卷后，小刚发现自己的成绩少加了15分，老师加回分数后，下列说法正确的是（ ）
A．小刚的成绩位于组内中上等水平
B．该小组成绩不存在中位数
C．小组的成绩稳定性增加，方差变小
D．小组平均分增加2分
3．（2025八下·温州月考）学校食堂对全体同学爱吃哪种水果做调查。下面的调查数据最值得关注的是（ ）
A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数
4．（2025八下·萧山期中）某社团统计成员10天的活动时间情况，列出了方差的计算公式：，则的值是（ ）
A．1 B．5 C．5.25 D．5.5
5．（2025八下·慈溪期中） 方差是刻画数据波动程度的量，对于一组数据，，，，，可用如下算式计算方差：，上述算式中的“3”是这组数据的（ ）
A．最小值 B．平均数 C．中位数 D．众数
6．（2025八下·义乌期中）题目：“已知5个数据，，，，的平均数为6，求这5个数据的方差．”小方和小程计算时所列的式子不同，其中小方的式子为： ，小程的式子为： ．则小方，小程所列的式子（ ）
A．小方正确，小程错误 B．小方错误，小程正确
C．都正确 D．都错误
7．（2025八下·浙江期中）如图是甲、乙两位学生五次数学成绩统计图，则（ ）
A．S甲2>S乙2 B．S甲2＜乙2 C．S甲2=S乙2 D．无法确定
8．（2025八下·义乌期中）为增强学校之间的友谊，某市举办联合篮球比赛，下表是A校篮球队员的身高：
身高 176 178 180 181 182 185
人数 1 2 3 2 1 1
下列说法正确的是（ ）
A．篮球队员身高的众数是
B．篮球队员的平均身高是
C．篮球队员身高的中位数是
D．篮球队员身高的方差是
9．（2025八下·鄞州期中）已知5个均不相等的正数a1，a2，7，a3，a4的平均数为7，方差为，而a1，a2，a3，a4，这四个数的方差，则下列正确的是
A． B． C． D．
10．（2025八下·温州月考）在第 60 届国际数学舆林匹克比赛中，中国队获团体总分第一名．我国参赛选手比赛分数的方差计算公式： ，下列说法正确的是（ ）
A．样本容量为 38 ，平均数为 6
B．样本容量为 6 ，平均数为 6
C．样本容量为 38 ，平均数为 38
D．样本容量为 6 ，平均数为 38
二、填空题
11．（2025八下·长兴期中）小明在计算一组数据的方差时，先计算了这组数据的平均数，然后写出了如下计算公式：，则这组数据的方差 ．
12．（2024八下·鹤山期末）甲，乙，丙，丁四名射击运动员进行射击测试.每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环）如下表所示，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择 ．
甲 乙 丙 丁
9 8 9 9
13．（2022八下·浦江月考）对甲、乙两个超市在九月份每天的营业额进行调查，发现：在九月份两个超市每天营业额的平均值相同，方差分别为 ＝7.5， ＝2.6，则九月份每天营业额较稳定的超市是 （填“甲”或“乙”）.
14．（2025八下·萧山期中）已知一组数据：1，2，3，a，5的平均数为3，则这组数据的方差为 .
15．（2025八下·长兴期中） 小明在计算一组数据的方差时，先计算了这组数据的平均数，然后写出了如下计算公式：，则这组数据的标准差S= .
16．（2025八下·温州月考）已知某样本的方差是4，则这个样本的标准差是 .
17．（2023八下·富阳期中）已知数据x1，x2 ，…，xn的平均数是2，方差是3，则一组新数据2x1+4，2x2+4，…，2xn+4的平均数是 ，方差是 .
18．（2024八下·西湖期末）已知某组数据的方差为，则的值为 ．
三、解答题
19．（2025八下·瑞安期中）为督促学生及时查漏补缺，甲、乙两班的数学老师倡导每名学生每星期至少收录一道自己的错题到错题本上。某天，该老师对甲、乙两班学生上周的错题本完成情况进行调查，统计每人在上周收录的错题数，制作了频数分布表，并对数据进行了整理，信息如下：
错题数（个） 1 2 3 4 5
甲班频数（人） 10 10 5 17 8
乙班频数（人） 4 12 20 8 6
统计量 平均数 中位数 众数 方差
甲班 3.06 4 1.9764
乙班 3 3 1.2
（1）根据上述信息求出和的值．
（2）你认为哪个班表现更好？请结合题目中的统计量进行比较分析，说明理由。
20．（2023八下·阳泉期末）2023年3月5日，中华人民共和国第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京召开，某校为使学生更好地了解“两会”，争做新时代好少年，开展了“两会”知识竞赛活动，分别从八（1）班和八（2）班各随机抽取10名学生的竞赛成绩（单位：分，满分100分），并对数据进行了如下分析与整理：
收集数据
八（1）班学生知识竞赛成绩：84，75，82，70，91，83，80，74，79，82
八（2）班学生知识竞赛成绩：80，65，75，68，95，82，84，80，92，79
分析数据
平均数/分 中位数/分 众数/分 方差
八（1）班 80 b 82 31.6
八（2）班 a 80 c 78.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ．
（2）请你对八（1）班和八（2）班抽取的这10名学生的知识竞赛成绩作出评价．
（3）该校除开展两会知识竞赛活动外，还组织了制作关于“两会”手抄报的评比活动，并对手抄报进行评分（单位：分，满分100分）．在八（2）班抽取的这10名学生中，甲同学和乙同学的知识竞赛成绩分别为95分和92分，手抄报成绩分别为70分和80分．现对甲同学和乙同学进行综合评分，若知识竞赛成绩占70%，手抄报成绩占30%，则哪位同学的综合成绩较好？
21．（2025八下·瑞安期中）温州市以“数据+能力”双轮驱动，创新打造区域医疗AI集成平台，通过12项医学AI服务、云端智能算力调度和全场景智慧应用，为百姓健康保驾护航.为了进一步了解AI系统在患者就诊中资源调配的作用，在引入AI系统前后对患者就诊时长进行了抽样调查.以下是患者就诊时长随机抽样统计表（单位：分钟）：
患者就诊时长随机抽样统计表（样本容量：40）
10 20 30 40 50 60 众数（分钟） 中位数（分钟） 平均数（分钟） 方差（分钟）
AI系统（人数） 1 21 15 3 0 0 20 46.15
老系统（人数） 0 8 18 11 2 1 30 32.5 85.9
（1）老系统就诊时长的众数是 ，Al系统就诊时长的中位数是 .
（2）计算Al系统患者的平均就诊时长：
（3）结合以上数据，评价Al系统在患者就诊中是否起到了资源调配的作用，
22．（2025八下·宁海期中）某球队对甲、乙两名球员进行3分球投篮测试，测试共五组，每组投10次，进球的个数统计结果如下：
甲：9，9，9，6，7；
乙：4，9，8，9，10；
列表进行数据分析：
选手 平均成绩 中位数 众数 方差
甲 8 b 9 d
乙 a 9 c 4.4
（1）b= ，c= .
（2）试计算乙的平均成绩a和甲的方差d；（方差公式：）
（3）根据以上数据分析，如果你是教练，你会选择哪名队员参加3分球大赛？请说明理由.
23．（2025八下·余姚期中）近年来，网约车给人们的出行带来了便利，姚姚和数学兴趣小组的同学对“美团”和“滴滴”两家网约车公司司机月收入进行了一项抽样调查，两家公司分别抽取的10名司机月收入（单位：千元）如图所示：
“滴滴”网约车司机收入的频数分布表：
月收入 4千元 5千元 9千元 11千元
人数（个） 4 3 2 1
根据以上信息，整理分析数据如表：
平均月收入/千元 中位数 众数 方差
“滴滴” 6 4 6.2
“美团” 6 1.2
（1）填表：在表格的空白处填入相应的数据；
（2）姚姚的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是姚姚，请从平均数、中位数，众数，方差这几个统计量中选择两个统计量进行分析，并建议他的叔叔选择哪家公司？
24．（2024八下·荔湾期末）某中学七、八年级各选派10名选手参加学校举办的知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，成绩达到6分或6分以上为合格，达到9分或10分为优秀．现对两支代表队选手的成绩进行统计，绘制的成绩条形统计图和成绩统计分析表如下图所示，其中七年级代表队得6分，10分的选手人数分别为a，b．
成绩统计分析表
队别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率
七年级 m
八年级 n
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，______，______；
（2）小荔说七年级队的合格率、优秀率均高于八年级，所以七年级队成绩比八年级队好，但小湾说八年级队成绩比七年级队好．请你给出两条支持八年级队成绩好的理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵四人10次射击成绩的平均数都是9环，S2丁＜S2乙＜S2丙＜S2甲，
∴射击成绩比较稳定的是丁.
故答案为：D.
【分析】根据四人10次射击成绩的平均数都是9环，方差越小，成绩越稳定，据此即可得出正确答案.
2．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】解：从图表可以看出小刚的成绩低于70分，B同学的成绩高于80分低于85分，A同学成绩高于B同学低于90 分，D同学高于90分低于95分，E同学90分；
A、小刚的成绩加上15分后，仍然处于下等水平，故选项A说法错误，不符合题意；
B、小刚的成绩加上15分后，高于B同学成绩低于A同学成绩，该小组成绩存在中位数，即A的成绩，故选项B说法错误，不符合题意；
C、小刚的成绩加上15分后，小组的成绩分布更加集中一些，稳定性增加，方差变小，故选项C说法正确，符合题意；
D、小刚的成绩加上15分后，小组的平均分增加15÷5=3分故选项D说法错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】首先根据统计图提供的信息，判断出五位同学近似成绩，进而找出小刚的成绩加上15分后的近似成绩；然后根据中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此可判断A、B选项；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此可判断C选项；平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，据此可判断D选项.
3．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：A、方差是反映数据稳定情况的数据，不能客观反映学生的好恶；
B、众数能比较客观反映学生的好恶；
C、中位数不能客观反映学生的好恶；
D、平均数只能反映学生喜欢各种水果的情况。
故答案为：B.
【分析】方差是衡量一组数据稳定情况的数据，方差越大，数据稳定性越差；众数是一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个，也可能是多个；中位数是把一组数据按照从小到大的顺序排列后最中间或最中间两个数据的平均值；平均数是一组数据的总和与样本容量的商.
4．【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：
由题意知，这组数据为2、5、5、5、6、6、6、6、6、8，
∴这组数据的平均数为
故答案为：D.
【分析】根据方差的计算公式，可得该组数据为有1个2，3个5，5个6，1个8，从而计算这组数据的平均值.
5．【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：对于一组数据x1，x2，x3，...，xn可用如下算式计算方差：
，
其中“3”是这组数据的平均数，
故答案为：B.
【分析】根据方差的定义，方差是每个数据与平均数的差的平方的平均数.
6．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵5个数据，，，，的平均数为6，
∴，
∴方差为
∴小方，小程所列的式子都正确．
故选：C
【分析】
先由平均数的计算公式知这5个数据的和为30，再根据方差计算公式结合完全平方公式可得两个人的计算都正确．
7．【答案】B
【知识点】折线统计图；方差
【解析】【解答】解：观察折线统计图可得，甲的波动情况更大，乙更稳定，
∴ S甲2故答案为：B.
【分析】根据方差越大，越不稳定，数据波动情况越大，方差越小，越温度，数据波动情况越小，据此解答即可.
8．【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解： 由表格可知，身高180 cm出现了3次，是出现次数最多的数，所以众数是180 cm，故A错误；
篮球队员的平均身高是(cm)，故B正确；
由表格可知，排列后的数据为：176， 178， 178， 180， 180， 180， 181， 181， 182， 185。
因为数据个数为10（偶数），所以中位数是第5个和第6个数的平均数，即(cm)，故C错误；
篮球队员身高的方差是
=5.49，故D错误.
故答案为：B.
【分析】（1）根据众数的概念求解；
（2）根据加权平均数的算法求解；
（3）根据中位数的概念求解；
（4）根据方差公式求解.
9．【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵5个均不相等的正数a1，a2，7，a3，a4的平均数为7，
∴
∴
∴正数a1，a2，a3，a4的平均数为7，
∴ 与原数据的平均数相同，
，，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据平均数的定义得到则正数a1，a2，a3，a4的平均数为7，分别根据方差的计算法则计算出，即可求解.
10．【答案】D
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：
样本容量为6，平均数为38.
故答案为：D.
【分析】方差是一组数据中的每一个数据与平均值的差的平方和的平均值.
11．【答案】
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：计算公式：，
这组数据为、、、，
这组数据的平均数为：，
，
故答案为：．
【分析】
根据方差的计算公式，这组数据为、、、，先求出平均数再代回方差公式即可解答.
12．【答案】丁
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由表知甲、丙、丁射击成绩的平均数相等，且大于乙的平均数，
从甲、丙、丁中选择一人参加竞赛，
丁的方差较小，
选择丁参加比赛，
故答案为：丁．
【分析】根据平均环数比较成绩的优劣，再根据方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定．
13．【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵ ＝7.5， ＝2.6，
∴ ，
∴九月份每天营业额较稳定的超市是乙，
故答案为：乙.
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此解答即可．
14．【答案】2
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由平均数的公式得：（1+2+3+5+x）÷5=3，
解得x=4；
则方差=[（1-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（4-3）2+（5-3）2]=2
故答案为：2.
【分析】 根据平均数确定出x后，再根据方差的公式进行计算即可.
15．【答案】
【知识点】平均数及其计算；方差；标准差
【解析】【解答】解：由题意知：
故答案为：.
【分析】先由方差的计算公式可求得平均数和样本容量n，再把平均值和n代入到公式中求出方差，则标准差就是主差的算术平方根.
16．【答案】2
【知识点】标准差
【解析】【解答】解：
故答案为：2.
【分析】标准差是方差的算术平方根.
17．【答案】8；12
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵ 数据x1，x2 ，…，xn的平均数是2，
∴，
∴；
∵ 数据x1，x2 ，…，xn的方差是3，
∴2x1+4，2x2+4，…，2xn+4的方差是3×22=12.
故答案为：8，12
【分析】利用平均数公式可得到，据此可求出新数据2x1+4，2x2+4，…，2xn+4的平均数和方差.
18．【答案】
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由题意知，这组数据为3、4、7、10，
所以这组数据的平均数为，即的值为
故答案为：6．
【分析】根据一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方和的平均数，叫做这组数据的方差可得这组数据为3、4、7、10，再根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数即可求解.
19．【答案】（1）解：
（2）解：甲班，虽然甲班的方差比乙班大，但从平均数，中位数，众数来看，甲班的收录错题数更多，表现更好
【知识点】平均数及其计算；中位数；分析数据的波动程度
【解析】【分析】（1）根据平均数和中位数的定义计算即可求解；
（2）根据方差、平均数，中位数，众数的定义分析即可求解.
20．【答案】（1）80；81；80
（2）解：两个班平均成绩相同，但八（1）班的中位数及众数均高于八（2）班，并且方差小于八（2）班，所以八（1）班成绩更稳定且优于八（2）班
（3）解：甲的综合成绩为：分，
乙的综合成绩为：分，
故乙的综合成绩较好．
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：平均数，
中位数，
众数c=80，
故答案为：80，81，80.
【分析】（1）根据平均数，中位数和众数计算求解即可；
（2）根据平均数，中位数和众数判断求解即可；
（3）根据加权平均数的计算公式计算求解即可。
21．【答案】（1）30；20
（2）解：根据题意，得AI系统患者的平均就诊时长为（分钟）；
（3）解：从众数、中位数、平均数上分析，Al系统比老系统用时更短；从方差上分析，Al系统就诊时长更稳定.
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得老系统就诊时长的众数是30，
∵AI系统在就诊时长为10、20、30、40、50、60分钟的人数分别是1、21、15、3、0、0人，
∴AI系统就诊时长的中位数是20，
故答案为：30，20.
【分析】（1）根据众数、中位数的定义，结合统计表直接得到答案；
（2）根据平均数的计算公式进行求解即可；
（3）结合统计表以及前两问所求数据，从众数、中位数、平均数上分析，Al系统比老系统用时更短；从方差上分析，根据方差的意义，可知Al系统就诊时长更稳定.
22．【答案】（1）9；9
（2）解：乙的平均数
∵方差的公式：
（3）解：选择甲选手参加比赛.
理由：甲、乙的平均成绩都为8，中位数都为9，众数都为9，
但甲的方差d=1. 6<乙的方差4.4，
∴在平均数、中位数、众数都相同的情况下，甲的方差比乙小，
故甲比乙稳定，选择甲。
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）将甲的进球数据按升序排列：6，7，9，9，9，共5个数。
∴中位数为中间位置的数，即第3个数，故b=9，
乙的进球数据为4，8，9，9，10，其中出现次数最多的数是9，因此c=9，
乙的总进球数：4+9+8+9+10=40，
∴平均数，
甲的平均数为8，各数据与平均数的差的平方分别为：
(9-8)2=1，(9-8)2=1，(9-8)2=1，(6-8)2=4，(7-8)2=1。
∴方差
故答案为：9，9.
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可得到答案；
（2）根据平均数计算公式和方差计算公式直接计算即可；
（3）先比较两人的方差可知甲方差更小，表现更稳定进而即可求解.
23．【答案】（1）解：填表如下，
平均月收入/千元 中位数 众数 方差
“滴滴” 6 5 4 6.2
“美团” 6 6 6 1.2
“滴滴”网约车司机收入的中位数为5；
（千元）；
“美团” 网约车司机收入的众数为6.
（2）解：选择“美团”. 两家公司的平均工资是一样的，但从中位数、众数、方差来看，“美团” 的收入集中度更优，比“滴滴”高，也更稳定.
【知识点】统计表；扇形统计图；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】(1)将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于最中间的一个数据(当数据个数为奇数时)或最中间的两个数据的平均数(当数据个数为偶数时)叫做这组数据的中位数.
一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数叫做这组数据的平均数.
一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数.
(2) 通过比较两家公司的平均数、中位数、众数和方差，选择合适的统计量进行分析 .
24．【答案】（1）
（2）解：①八年级平均分高于七年级；②方差小于七年级，成绩比较稳定，故八年级队比七年级队成绩好．
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：，
且，
解得：，
七年级成绩为，中位数为6，即，
八年级成绩为，平均数；
故答案为：．
【分析】（1）根据题中七年级的平均数和优秀率数据求出，根据中位数和加权平均数定义算出的值即可；
（2）从方差，平均分角度考虑，给出两条支持八年级队成绩好的理由即可．
1 / 1【培优练】人教版数学八年级下学期 20.2 数据的波动程度
一、选择题
1．（2022八下·北仑期中）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是 ，则射击成绩比较稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵四人10次射击成绩的平均数都是9环，S2丁＜S2乙＜S2丙＜S2甲，
∴射击成绩比较稳定的是丁.
故答案为：D.
【分析】根据四人10次射击成绩的平均数都是9环，方差越小，成绩越稳定，据此即可得出正确答案.
2．（2025八下·鄞州期中）某学习小组A、B、D、E四名同学以及小刚同学的测试成绩如图所示，拿到试卷后，小刚发现自己的成绩少加了15分，老师加回分数后，下列说法正确的是（ ）
A．小刚的成绩位于组内中上等水平
B．该小组成绩不存在中位数
C．小组的成绩稳定性增加，方差变小
D．小组平均分增加2分
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】解：从图表可以看出小刚的成绩低于70分，B同学的成绩高于80分低于85分，A同学成绩高于B同学低于90 分，D同学高于90分低于95分，E同学90分；
A、小刚的成绩加上15分后，仍然处于下等水平，故选项A说法错误，不符合题意；
B、小刚的成绩加上15分后，高于B同学成绩低于A同学成绩，该小组成绩存在中位数，即A的成绩，故选项B说法错误，不符合题意；
C、小刚的成绩加上15分后，小组的成绩分布更加集中一些，稳定性增加，方差变小，故选项C说法正确，符合题意；
D、小刚的成绩加上15分后，小组的平均分增加15÷5=3分故选项D说法错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】首先根据统计图提供的信息，判断出五位同学近似成绩，进而找出小刚的成绩加上15分后的近似成绩；然后根据中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此可判断A、B选项；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此可判断C选项；平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，据此可判断D选项.
3．（2025八下·温州月考）学校食堂对全体同学爱吃哪种水果做调查。下面的调查数据最值得关注的是（ ）
A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：A、方差是反映数据稳定情况的数据，不能客观反映学生的好恶；
B、众数能比较客观反映学生的好恶；
C、中位数不能客观反映学生的好恶；
D、平均数只能反映学生喜欢各种水果的情况。
故答案为：B.
【分析】方差是衡量一组数据稳定情况的数据，方差越大，数据稳定性越差；众数是一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个，也可能是多个；中位数是把一组数据按照从小到大的顺序排列后最中间或最中间两个数据的平均值；平均数是一组数据的总和与样本容量的商.
4．（2025八下·萧山期中）某社团统计成员10天的活动时间情况，列出了方差的计算公式：，则的值是（ ）
A．1 B．5 C．5.25 D．5.5
【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：
由题意知，这组数据为2、5、5、5、6、6、6、6、6、8，
∴这组数据的平均数为
故答案为：D.
【分析】根据方差的计算公式，可得该组数据为有1个2，3个5，5个6，1个8，从而计算这组数据的平均值.
5．（2025八下·慈溪期中） 方差是刻画数据波动程度的量，对于一组数据，，，，，可用如下算式计算方差：，上述算式中的“3”是这组数据的（ ）
A．最小值 B．平均数 C．中位数 D．众数
【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：对于一组数据x1，x2，x3，...，xn可用如下算式计算方差：
，
其中“3”是这组数据的平均数，
故答案为：B.
【分析】根据方差的定义，方差是每个数据与平均数的差的平方的平均数.
6．（2025八下·义乌期中）题目：“已知5个数据，，，，的平均数为6，求这5个数据的方差．”小方和小程计算时所列的式子不同，其中小方的式子为： ，小程的式子为： ．则小方，小程所列的式子（ ）
A．小方正确，小程错误 B．小方错误，小程正确
C．都正确 D．都错误
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵5个数据，，，，的平均数为6，
∴，
∴方差为
∴小方，小程所列的式子都正确．
故选：C
【分析】
先由平均数的计算公式知这5个数据的和为30，再根据方差计算公式结合完全平方公式可得两个人的计算都正确．
7．（2025八下·浙江期中）如图是甲、乙两位学生五次数学成绩统计图，则（ ）
A．S甲2>S乙2 B．S甲2＜乙2 C．S甲2=S乙2 D．无法确定
【答案】B
【知识点】折线统计图；方差
【解析】【解答】解：观察折线统计图可得，甲的波动情况更大，乙更稳定，
∴ S甲2故答案为：B.
【分析】根据方差越大，越不稳定，数据波动情况越大，方差越小，越温度，数据波动情况越小，据此解答即可.
8．（2025八下·义乌期中）为增强学校之间的友谊，某市举办联合篮球比赛，下表是A校篮球队员的身高：
身高 176 178 180 181 182 185
人数 1 2 3 2 1 1
下列说法正确的是（ ）
A．篮球队员身高的众数是
B．篮球队员的平均身高是
C．篮球队员身高的中位数是
D．篮球队员身高的方差是
【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解： 由表格可知，身高180 cm出现了3次，是出现次数最多的数，所以众数是180 cm，故A错误；
篮球队员的平均身高是(cm)，故B正确；
由表格可知，排列后的数据为：176， 178， 178， 180， 180， 180， 181， 181， 182， 185。
因为数据个数为10（偶数），所以中位数是第5个和第6个数的平均数，即(cm)，故C错误；
篮球队员身高的方差是
=5.49，故D错误.
故答案为：B.
【分析】（1）根据众数的概念求解；
（2）根据加权平均数的算法求解；
（3）根据中位数的概念求解；
（4）根据方差公式求解.
9．（2025八下·鄞州期中）已知5个均不相等的正数a1，a2，7，a3，a4的平均数为7，方差为，而a1，a2，a3，a4，这四个数的方差，则下列正确的是
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵5个均不相等的正数a1，a2，7，a3，a4的平均数为7，
∴
∴
∴正数a1，a2，a3，a4的平均数为7，
∴ 与原数据的平均数相同，
，，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据平均数的定义得到则正数a1，a2，a3，a4的平均数为7，分别根据方差的计算法则计算出，即可求解.
10．（2025八下·温州月考）在第 60 届国际数学舆林匹克比赛中，中国队获团体总分第一名．我国参赛选手比赛分数的方差计算公式： ，下列说法正确的是（ ）
A．样本容量为 38 ，平均数为 6
B．样本容量为 6 ，平均数为 6
C．样本容量为 38 ，平均数为 38
D．样本容量为 6 ，平均数为 38
【答案】D
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：
样本容量为6，平均数为38.
故答案为：D.
【分析】方差是一组数据中的每一个数据与平均值的差的平方和的平均值.
二、填空题
11．（2025八下·长兴期中）小明在计算一组数据的方差时，先计算了这组数据的平均数，然后写出了如下计算公式：，则这组数据的方差 ．
【答案】
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：计算公式：，
这组数据为、、、，
这组数据的平均数为：，
，
故答案为：．
【分析】
根据方差的计算公式，这组数据为、、、，先求出平均数再代回方差公式即可解答.
12．（2024八下·鹤山期末）甲，乙，丙，丁四名射击运动员进行射击测试.每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环）如下表所示，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择 ．
甲 乙 丙 丁
9 8 9 9
【答案】丁
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由表知甲、丙、丁射击成绩的平均数相等，且大于乙的平均数，
从甲、丙、丁中选择一人参加竞赛，
丁的方差较小，
选择丁参加比赛，
故答案为：丁．
【分析】根据平均环数比较成绩的优劣，再根据方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定．
13．（2022八下·浦江月考）对甲、乙两个超市在九月份每天的营业额进行调查，发现：在九月份两个超市每天营业额的平均值相同，方差分别为 ＝7.5， ＝2.6，则九月份每天营业额较稳定的超市是 （填“甲”或“乙”）.
【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵ ＝7.5， ＝2.6，
∴ ，
∴九月份每天营业额较稳定的超市是乙，
故答案为：乙.
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此解答即可．
14．（2025八下·萧山期中）已知一组数据：1，2，3，a，5的平均数为3，则这组数据的方差为 .
【答案】2
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由平均数的公式得：（1+2+3+5+x）÷5=3，
解得x=4；
则方差=[（1-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（4-3）2+（5-3）2]=2
故答案为：2.
【分析】 根据平均数确定出x后，再根据方差的公式进行计算即可.
15．（2025八下·长兴期中） 小明在计算一组数据的方差时，先计算了这组数据的平均数，然后写出了如下计算公式：，则这组数据的标准差S= .
【答案】
【知识点】平均数及其计算；方差；标准差
【解析】【解答】解：由题意知：
故答案为：.
【分析】先由方差的计算公式可求得平均数和样本容量n，再把平均值和n代入到公式中求出方差，则标准差就是主差的算术平方根.
16．（2025八下·温州月考）已知某样本的方差是4，则这个样本的标准差是 .
【答案】2
【知识点】标准差
【解析】【解答】解：
故答案为：2.
【分析】标准差是方差的算术平方根.
17．（2023八下·富阳期中）已知数据x1，x2 ，…，xn的平均数是2，方差是3，则一组新数据2x1+4，2x2+4，…，2xn+4的平均数是 ，方差是 .
【答案】8；12
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵ 数据x1，x2 ，…，xn的平均数是2，
∴，
∴；
∵ 数据x1，x2 ，…，xn的方差是3，
∴2x1+4，2x2+4，…，2xn+4的方差是3×22=12.
故答案为：8，12
【分析】利用平均数公式可得到，据此可求出新数据2x1+4，2x2+4，…，2xn+4的平均数和方差.
18．（2024八下·西湖期末）已知某组数据的方差为，则的值为 ．
【答案】
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由题意知，这组数据为3、4、7、10，
所以这组数据的平均数为，即的值为
故答案为：6．
【分析】根据一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方和的平均数，叫做这组数据的方差可得这组数据为3、4、7、10，再根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数即可求解.
三、解答题
19．（2025八下·瑞安期中）为督促学生及时查漏补缺，甲、乙两班的数学老师倡导每名学生每星期至少收录一道自己的错题到错题本上。某天，该老师对甲、乙两班学生上周的错题本完成情况进行调查，统计每人在上周收录的错题数，制作了频数分布表，并对数据进行了整理，信息如下：
错题数（个） 1 2 3 4 5
甲班频数（人） 10 10 5 17 8
乙班频数（人） 4 12 20 8 6
统计量 平均数 中位数 众数 方差
甲班 3.06 4 1.9764
乙班 3 3 1.2
（1）根据上述信息求出和的值．
（2）你认为哪个班表现更好？请结合题目中的统计量进行比较分析，说明理由。
【答案】（1）解：
（2）解：甲班，虽然甲班的方差比乙班大，但从平均数，中位数，众数来看，甲班的收录错题数更多，表现更好
【知识点】平均数及其计算；中位数；分析数据的波动程度
【解析】【分析】（1）根据平均数和中位数的定义计算即可求解；
（2）根据方差、平均数，中位数，众数的定义分析即可求解.
20．（2023八下·阳泉期末）2023年3月5日，中华人民共和国第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京召开，某校为使学生更好地了解“两会”，争做新时代好少年，开展了“两会”知识竞赛活动，分别从八（1）班和八（2）班各随机抽取10名学生的竞赛成绩（单位：分，满分100分），并对数据进行了如下分析与整理：
收集数据
八（1）班学生知识竞赛成绩：84，75，82，70，91，83，80，74，79，82
八（2）班学生知识竞赛成绩：80，65，75，68，95，82，84，80，92，79
分析数据
平均数/分 中位数/分 众数/分 方差
八（1）班 80 b 82 31.6
八（2）班 a 80 c 78.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ．
（2）请你对八（1）班和八（2）班抽取的这10名学生的知识竞赛成绩作出评价．
（3）该校除开展两会知识竞赛活动外，还组织了制作关于“两会”手抄报的评比活动，并对手抄报进行评分（单位：分，满分100分）．在八（2）班抽取的这10名学生中，甲同学和乙同学的知识竞赛成绩分别为95分和92分，手抄报成绩分别为70分和80分．现对甲同学和乙同学进行综合评分，若知识竞赛成绩占70%，手抄报成绩占30%，则哪位同学的综合成绩较好？
【答案】（1）80；81；80
（2）解：两个班平均成绩相同，但八（1）班的中位数及众数均高于八（2）班，并且方差小于八（2）班，所以八（1）班成绩更稳定且优于八（2）班
（3）解：甲的综合成绩为：分，
乙的综合成绩为：分，
故乙的综合成绩较好．
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：平均数，
中位数，
众数c=80，
故答案为：80，81，80.
【分析】（1）根据平均数，中位数和众数计算求解即可；
（2）根据平均数，中位数和众数判断求解即可；
（3）根据加权平均数的计算公式计算求解即可。
21．（2025八下·瑞安期中）温州市以“数据+能力”双轮驱动，创新打造区域医疗AI集成平台，通过12项医学AI服务、云端智能算力调度和全场景智慧应用，为百姓健康保驾护航.为了进一步了解AI系统在患者就诊中资源调配的作用，在引入AI系统前后对患者就诊时长进行了抽样调查.以下是患者就诊时长随机抽样统计表（单位：分钟）：
患者就诊时长随机抽样统计表（样本容量：40）
10 20 30 40 50 60 众数（分钟） 中位数（分钟） 平均数（分钟） 方差（分钟）
AI系统（人数） 1 21 15 3 0 0 20 46.15
老系统（人数） 0 8 18 11 2 1 30 32.5 85.9
（1）老系统就诊时长的众数是 ，Al系统就诊时长的中位数是 .
（2）计算Al系统患者的平均就诊时长：
（3）结合以上数据，评价Al系统在患者就诊中是否起到了资源调配的作用，
【答案】（1）30；20
（2）解：根据题意，得AI系统患者的平均就诊时长为（分钟）；
（3）解：从众数、中位数、平均数上分析，Al系统比老系统用时更短；从方差上分析，Al系统就诊时长更稳定.
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得老系统就诊时长的众数是30，
∵AI系统在就诊时长为10、20、30、40、50、60分钟的人数分别是1、21、15、3、0、0人，
∴AI系统就诊时长的中位数是20，
故答案为：30，20.
【分析】（1）根据众数、中位数的定义，结合统计表直接得到答案；
（2）根据平均数的计算公式进行求解即可；
（3）结合统计表以及前两问所求数据，从众数、中位数、平均数上分析，Al系统比老系统用时更短；从方差上分析，根据方差的意义，可知Al系统就诊时长更稳定.
22．（2025八下·宁海期中）某球队对甲、乙两名球员进行3分球投篮测试，测试共五组，每组投10次，进球的个数统计结果如下：
甲：9，9，9，6，7；
乙：4，9，8，9，10；
列表进行数据分析：
选手 平均成绩 中位数 众数 方差
甲 8 b 9 d
乙 a 9 c 4.4
（1）b= ，c= .
（2）试计算乙的平均成绩a和甲的方差d；（方差公式：）
（3）根据以上数据分析，如果你是教练，你会选择哪名队员参加3分球大赛？请说明理由.
【答案】（1）9；9
（2）解：乙的平均数
∵方差的公式：
（3）解：选择甲选手参加比赛.
理由：甲、乙的平均成绩都为8，中位数都为9，众数都为9，
但甲的方差d=1. 6<乙的方差4.4，
∴在平均数、中位数、众数都相同的情况下，甲的方差比乙小，
故甲比乙稳定，选择甲。
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）将甲的进球数据按升序排列：6，7，9，9，9，共5个数。
∴中位数为中间位置的数，即第3个数，故b=9，
乙的进球数据为4，8，9，9，10，其中出现次数最多的数是9，因此c=9，
乙的总进球数：4+9+8+9+10=40，
∴平均数，
甲的平均数为8，各数据与平均数的差的平方分别为：
(9-8)2=1，(9-8)2=1，(9-8)2=1，(6-8)2=4，(7-8)2=1。
∴方差
故答案为：9，9.
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可得到答案；
（2）根据平均数计算公式和方差计算公式直接计算即可；
（3）先比较两人的方差可知甲方差更小，表现更稳定进而即可求解.
23．（2025八下·余姚期中）近年来，网约车给人们的出行带来了便利，姚姚和数学兴趣小组的同学对“美团”和“滴滴”两家网约车公司司机月收入进行了一项抽样调查，两家公司分别抽取的10名司机月收入（单位：千元）如图所示：
“滴滴”网约车司机收入的频数分布表：
月收入 4千元 5千元 9千元 11千元
人数（个） 4 3 2 1
根据以上信息，整理分析数据如表：
平均月收入/千元 中位数 众数 方差
“滴滴” 6 4 6.2
“美团” 6 1.2
（1）填表：在表格的空白处填入相应的数据；
（2）姚姚的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是姚姚，请从平均数、中位数，众数，方差这几个统计量中选择两个统计量进行分析，并建议他的叔叔选择哪家公司？
【答案】（1）解：填表如下，
平均月收入/千元 中位数 众数 方差
“滴滴” 6 5 4 6.2
“美团” 6 6 6 1.2
“滴滴”网约车司机收入的中位数为5；
（千元）；
“美团” 网约车司机收入的众数为6.
（2）解：选择“美团”. 两家公司的平均工资是一样的，但从中位数、众数、方差来看，“美团” 的收入集中度更优，比“滴滴”高，也更稳定.
【知识点】统计表；扇形统计图；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】(1)将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于最中间的一个数据(当数据个数为奇数时)或最中间的两个数据的平均数(当数据个数为偶数时)叫做这组数据的中位数.
一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数叫做这组数据的平均数.
一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数.
(2) 通过比较两家公司的平均数、中位数、众数和方差，选择合适的统计量进行分析 .
24．（2024八下·荔湾期末）某中学七、八年级各选派10名选手参加学校举办的知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，成绩达到6分或6分以上为合格，达到9分或10分为优秀．现对两支代表队选手的成绩进行统计，绘制的成绩条形统计图和成绩统计分析表如下图所示，其中七年级代表队得6分，10分的选手人数分别为a，b．
成绩统计分析表
队别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率
七年级 m
八年级 n
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，______，______；
（2）小荔说七年级队的合格率、优秀率均高于八年级，所以七年级队成绩比八年级队好，但小湾说八年级队成绩比七年级队好．请你给出两条支持八年级队成绩好的理由．
【答案】（1）
（2）解：①八年级平均分高于七年级；②方差小于七年级，成绩比较稳定，故八年级队比七年级队成绩好．
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：，
且，
解得：，
七年级成绩为，中位数为6，即，
八年级成绩为，平均数；
故答案为：．
【分析】（1）根据题中七年级的平均数和优秀率数据求出，根据中位数和加权平均数定义算出的值即可；
（2）从方差，平均分角度考虑，给出两条支持八年级队成绩好的理由即可．
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