湖北省2025届八校三统联考
高三数学试题
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若a,b∈R,则“a+b>4”是“a,b中至少有一个大于2”的 (A)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 当a+b>4时,假设a,b都不大于2,即a≤2,b≤2,则a+b≤4,这与a+b>4矛盾,所以“a+b>4”是“a,b中至少有一个大于2”的充分条件;反之,当a,b中至少有一个大于2时,a+b>4不一定成立,如a=3,b=1时,a+b=4,所以“a+b>4”不是“a,b中至少有一个大于2”的必要条件。故选A。
2.镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法,在如图所示的模型中,已知人眼距离地面高度h=1.5 m,某建筑物高h1=4.5 m,将镜子(平面镜)置于平地上,人后退至从镜中能够看到建筑物顶部的位置,测量人与镜子间的距离a1=1.2 m,将镜子后移a m,重复前面的操作,测量人与镜子间的距离a2=3.2 m,则a= (A)
A.6 B.5
C.4 D.3
解析 如图,设建筑物最高点为A,建筑物底部为O,第一次观察时镜面位置为B,第一次观察时人眼睛位置为C,第二次观察时镜面位置为D,设O到B之间的距离为a0 m,由光线反射性质,得∠ABO=∠CBD,所以tan∠ABO=tan∠CBD,即 ①,同理可得 ②,由①②可得,解得a0=,代入①整理,得a==6。故选A。
3.设复数z满足|z-2i|=1,在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是 (D)
A.1 B.
C. D.3
解析 解法一:由题意可知,在复平面内复数z对应的点为复平面内一动点到定点(0,2)的距离为1的点的集合,即以(0,2)为圆心,1为半径的圆,圆心(0,2)到原点的距离为2,所以圆上任一点到原点的距离的最大值为2+1=3。故选D。
解法二:设复数z=x+yi(x,y∈R),则x2+(y-2)2=1,所以-1≤y-2≤1,即1≤y≤3,所以x2+y2=4y-3≤9,所以≤3,即在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是3。故选D。
4.某学校于3月12日组织师生举行植树活动,购买垂柳、银杏、侧柏、海桐四种树苗共计1 200棵,所占比例如图所示。高一、高二、高三年级报名参加植树活动的人数分别为600,400,200,若每种树苗均按各年级报名人数的比例进行分配,则高三年级应分得的侧柏的数量为 (C)
A.34 B.46
C.50 D.70
解析 由扇形图知,购买的1 200棵树苗中,侧柏的数量为1 200×25%=300,依题意,高一、高二、高三分得的侧柏的棵数之比为600∶400∶200=3∶2∶1,所以高三年级应分得的侧柏的棵数为×300=50。故选C。
5.在平面直角坐标系中,某菱形的一组对边所在直线的方程分别为x-2y+1=0和x-2y+3=0,另一组对边所在的直线方程分别为3x+4y+c1=0和3x+4y+c2=0,则|c1-c2|= (B)
A.2 B.2
C.2 D.4
解析 因为菱形四条边都相等,所以每条边上的高也相等,且菱形对边平行,直线x-2y+1=0和x-2y+3=0之间的距离为,直线3x+4y+c1=0和3x+4y+c2=0之间的距离为,于是有,得|c1-c2|=2。故选B。
6.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=20,S20=10,则S30= (C)
A.0 B.-10
C.-30 D.-40
解析 由等差数列{an}的前n项和的性质可得S10,S20-S10,S30-S20成等差数列,所以2(S20-S10)=S10+(S30-S20),所以2×(10-20)=20+S30-10,解得S30=-30。故选C。
7.若不等式xex-a≥ln x+x-1恒成立,则实数a的最大值为 (B)
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 因为xex-a≥ln x+x-1,所以eln x+x-a≥ln x+x-1,令t=ln x+x,则et-a≥t-1恒成立,则a≤et-t+1恒成立,令φ(t)=et-t+1,则φ'(t)=et-1,当t∈(-∞,0)时,φ'(t)<0;当t∈(0,+∞)时,φ'(t)>0,所以φ(t)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以φ(t)min=φ(0)=2,所以a≤2,故a的最大值为2。故选B。
8.某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有 (D)
A.种 B.种
C.种 D.种
解析 根据分层随机抽样的定义知初中部共抽取60×=40人,高中部共抽取60×=20人,根据组合数公式和分步乘法计数原理,不同的抽样结果共有种。故选D。
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知等边三角形ABC内接于☉O,D为线段OA的中点,E为BC的中点,则= (AC)
A. B.
C. D.
解析 如图所示,则
()=。故选AC。
10.已知直线l1:ax-y+1=0,l2:x+ay+1=0,a∈R,以下结论正确的是 (ABD)
A.不论a为何值时,l1与l2都互相垂直
B.当a变化时,l1与l2分别经过定点A(0,1),B(-1,0)
C.不论a为何值时,l1与l2都关于直线x+y=0对称
D.如果l1与l2交于点M,O为坐标原点,则|MO|的最大值是
解析 对于A,a×1+(-1)×a=0恒成立,l1与l2互相垂直恒成立,故A正确。对于B,直线l1:ax-y+1=0,当a变化时,x=0,y=1恒成立,所以l1恒过定点A(0,1);l2:x+ay+1=0,当a变化时,x=-1,y=0恒成立,所以l2恒过定点B(-1,0),故B正确。对于C,在l1上任取点(x,ax+1),关于直线x+y=0对称的点的坐标为(-ax-1,-x),代入l2:x+ay+1=0,得等式左边不等于0,故C不正确。对于D,联立所以|MO|=,所以|MO|的最大值是,故D正确。故选ABD。
11.已知a>b>1,e为自然对数的底数,则下列不等式一定成立的是 (ACD)
A.aea>beb B.aln b>bln a
C.aln a>bln b D.bea>aeb
解析 设f(x)=xex,x>1,则f'(x)=(x+1)ex>0在(1,+∞)上恒成立,故函数f(x)单调递增,故f(a)>f(b),即aea>beb,故A正确。设g(x)=,x>1,则g'(x)=,易知函数g(x)在(1,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,故当1
g(b),即,故aln b1,则h'(x)=ln x+1>0在(1,+∞)上恒成立,故函数h(x)单调递增,故h(a)>h(b),即aln a>bln b,故C正确。设k(x)=,x>1,则k'(x)=>0在(1,+∞)上恒成立,故函数k(x)单调递增,故k(a)>k(b),即,故bea>aeb,故D正确。故选ACD。
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12.若函数y=f(x)的图象过点(1,1),则函数y=f(4-x)的图象一定经过点 (3,1) 。
解析 由于函数y=f(4-x)的图象可以看作y=f(x)的图象先关于y轴对称,再向右平移4个单位长度得到,而点(1,1)关于y轴对称的点为(-1,1),再将此点向右平移4个单位长度,所以函数y=f(4-x)的图象过定点(3,1)。
13.已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作直线交椭圆于A,B两点,若F2为线段AB的中点,则△AF1B的面积为 。
解析 由题意可知F1(-,0),F2(,0),因为点F2为线段AB的中点,所以AB⊥F1F2,所以|AB|==1,所以。
14.某射击选手射击环数的分布列为
X 7 8 9 10
P 0.3 0.3 a b
若射击不小于9环为优秀,其射击一次的优秀率为 40% 。
解析 由分布列的性质,得P(X≥9)=a+b=1-0.3-0.3=0.4,故射击一次的优秀率为40%。
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+6。
(1)解关于a的不等式f(1)>0;（7分）
(2)若不等式f(x)>b的解集为(-1,3),求实数a,b的值。（8分）
解 (1)由题意知f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+3>0,即a2-6a-3<0,解得3-2。所以所求不等式的解集为{a|3-2}。（7分）
(2)因为f(x)>b的解集为(-1,3),所以方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0的两根为-1,3,所以故a的值为3±,b的值为-3。（8分）
16.（本小题满分15分）
在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos Csin(A-B)=cos Bsin(C-A)。
(1)求tan A的最小值;（7分）
(2)若tan A=2,a=4,求c。（8分）
解 (1)由已知得cos C(sin Acos B-cos Asin B)=cos B(sin Ccos A-cos Csin A),又sin(B+C)=sin A,所以整理得2cos Csin Acos B=cos Asin A,因为sin A>0,所以2cos Ccos B=cos A。又cos A=-cos(B+C)=-cos Bcos C+sin Bsin C,所以sin Bsin C=3cos Ccos B,即tan Btan C=3。tan A=-tan(B+C)=,当且仅当tan B=tan C=时等号成立,故tan A的最小值为。（7分）
(2)因为tan A=2,所以tan B+tan C=4,又tan Btan C=3,所以tan C=1或tan C=3,当tan C=1时,sin C=,由正弦定理,得c=;当tan C=3时,sin C=,由正弦定理,得c=。综上,c=5或3。（8分）
17.（本小题满分15分）
如图,四棱锥P ABCD的底面为菱形,∠ABC=,AB=AP=2,PA⊥底面ABCD,E是线段PB的中点,G,H分别是线段PC上靠近P,C的三等分点。
(1)求证:平面AEG∥平面BDH;（7分）
(2)求点A到平面BDH的距离。（8分）
解 (1)证明:如图,连接AC,交BD于点O,连接OH,在△PBH中,E,G分别为PB,PH的中点,所以EG∥BH,又EG 平面BDH,BH 平面BDH,所以EG∥平面BDH,同理可得AG∥OH,AG∥平面BDH,因为AG,EG 平面AEG,AG∩EG=G,所以平面AEG∥平面BDH。（7分）
(2)记点A到平面BDH,点H到平面ABD的距离分别为hA,hH。S△ABD=。因为PA⊥平面ABCD,PA=2,CH=CP,所以hH=。在△PBC中,PB=PC=2,BC=2,所以cos∠PCB=。在△BCH中,BH2=BC2+CH2-2BC·CH·cos∠HCB=,则BH=,同理可得DH=。在△BDH中,BH=DH=,BD=2,所以S△BDH=。连接AH,因为VA BDH=VH ABD,所以hA=。（8分）
18.（本小题满分16分）
在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中,E为线段A1B1的中点,F为线段AB的中点。
(1)求点B到直线AC1的距离;（8分）
(2)求直线FC到平面AEC1的距离。（8分）
解 以D1为原点,D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,1),B(1,1,1),C(0,1,1),C1(0,1,0),E,F,所以=(0,1,0),=(-1,1,-1),,,,。
(1)取a==(0,1,0),u=(-1,1,-1),则a2=1,a·u=。所以点B到直线AC1的距离为。（8分）
(2)因为,所以FC∥EC1,又EC1 平面AEC1,FC 平面AEC1,所以FC∥平面AEC1。所以点F到平面AEC1的距离为直线FC到平面AEC1的距离。设平面AEC1的法向量为n=(x,y,z),则取z=1,则x=1,y=2,所以n=(1,2,1)是平面AEC1的一个法向量。又因为,所以点F到平面AEC1的距离为。即直线FC到平面AEC1的距离为。（8分）
19.（本小题满分16分）
已知各项均为正数的等比数列{an},其前n项和为Sn,满足2Sn=an+2-6。
(1)求数列{an}的通项公式;（8分）
(2)记bm为数列{Sn}在区间(am,am+2)中最大的项,求数列{bn}的前n项和Tn。（8分）
解 (1)设{an}的公比为q,q>0。因为2Sn=an+2-6,所以当n=1时,2S1=a3-6,当n=2时,2S2=a4-6,两式相减可得2a2=a4-a3,所以2=q2-q,所以q=2或q=-1(舍去),所以2S1=a3-6=4a1-6,则a1=3,所以等比数列{an}的通项公式为an=3×2n-1。（8分）
(2)由an=3×2n-1,2Sn=an+2-6,得Sn=(an+2-6)=(3×2n+1-6)=3×2n-3,所以Sn=an+1-30,所以Sn≥an,当且仅当n=1时等号成立,所以am≤Sm高三数学试题
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若a,b∈R,则“a+b>4”是“a,b中至少有一个大于2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法,在如图所示的模型中,已知人眼距离地面高度h=1.5 m,某建筑物高h1=4.5 m,将镜子(平面镜)置于平地上,人后退至从镜中能够看到建筑物顶部的位置,测量人与镜子间的距离a1=1.2 m,将镜子后移a m,重复前面的操作,测量人与镜子间的距离a2=3.2 m,则a=( )
A.6 B.5
C.4 D.3
3.设复数z满足|z-2i|=1,在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是( )
A.1 B.
C. D.3
4.某学校于3月12日组织师生举行植树活动,购买垂柳、银杏、侧柏、海桐四种树苗共计1 200棵,所占比例如图所示。高一、高二、高三年级报名参加植树活动的人数分别为600,400,200,若每种树苗均按各年级报名人数的比例进行分配,则高三年级应分得的侧柏的数量为( )
A.34 B.46
C.50 D.70
5.在平面直角坐标系中,某菱形的一组对边所在直线的方程分别为x-2y+1=0和x-2y+3=0,另一组对边所在的直线方程分别为3x+4y+c1=0和3x+4y+c2=0,则|c1-c2|=( )
A.2 B.2
C.2 D.4
6.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=20,S20=10,则S30=( )
A.0 B.-10
C.-30 D.-40
7.若不等式xex-a≥ln x+x-1恒成立,则实数a的最大值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
8.某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有( )
A.种 B.种
C.种 D.种
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知等边三角形ABC内接于☉O,D为线段OA的中点,E为BC的中点,则=( )
A. B.
C. D.
10.已知直线l1:ax-y+1=0,l2:x+ay+1=0,a∈R,以下结论正确的是( )
A.不论a为何值时,l1与l2都互相垂直
B.当a变化时,l1与l2分别经过定点A(0,1),B(-1,0)
C.不论a为何值时,l1与l2都关于直线x+y=0对称
D.如果l1与l2交于点M,O为坐标原点,则|MO|的最大值是
11.已知a>b>1,e为自然对数的底数,则下列不等式一定成立的是( )
A.aea>beb B.aln b>bln a
C.aln a>bln b D.bea>aeb
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12.若函数y=f(x)的图象过点(1,1),则函数y=f(4-x)的图象一定经过点 。
13.已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作直线交椭圆于A,B两点,若F2为线段AB的中点,则△AF1B的面积为 。
14.某射击选手射击环数的分布列为
X 7 8 9 10
P 0.3 0.3 a b
若射击不小于9环为优秀,其射击一次的优秀率为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+6。
(1)解关于a的不等式f(1)>0;（7分）
(2)若不等式f(x)>b的解集为(-1,3),求实数a,b的值。（8分）
16.（本小题满分15分）
在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos Csin(A-B)=cos Bsin(C-A)。
(1)求tan A的最小值;（7分）
(2)若tan A=2,a=4,求c。（8分）
17.（本小题满分15分）
如图,四棱锥P ABCD的底面为菱形,∠ABC=,AB=AP=2,PA⊥底面ABCD,E是线段PB的中点,G,H分别是线段PC上靠近P,C的三等分点。
(1)求证:平面AEG∥平面BDH;（7分）
(2)求点A到平面BDH的距离。（8分）
18.（本小题满分16分）
在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中,E为线段A1B1的中点,F为线段AB的中点。
(1)求点B到直线AC1的距离;（8分）
(2)求直线FC到平面AEC1的距离。（8分）
19.（本小题满分16分）
已知各项均为正数的等比数列{an},其前n项和为Sn,满足2Sn=an+2-6。
(1)求数列{an}的通项公式;（8分）
(2)记bm为数列{Sn}在区间(am,am+2)中最大的项,求数列{bn}的前n项和Tn。（8分）高三数学试题答案
一、二、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A A D C B C B D AC ABD ACD
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12.(3,1)。 13.。 14.40%。
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
解 (1)由题意知f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+3>0,即a2-6a-3<0,解得3-2。所以所求不等式的解集为{a|3-2}。（7分）
(2)因为f(x)>b的解集为(-1,3),所以方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0的两根为-1,3,所以故a的值为3±,b的值为-3。（8分）
16.（本小题满分15分）
解 (1)由已知得cos C(sin Acos B-cos Asin B)=cos B(sin Ccos A-cos Csin A),又sin(B+C)=sin A,所以整理得2cos Csin Acos B=cos Asin A,因为sin A>0,所以2cos Ccos B=cos A。又cos A=-cos(B+C)=-cos Bcos C+sin Bsin C,所以sin Bsin C=3cos Ccos B,即tan Btan C=3。tan A=-tan(B+C)=,当且仅当tan B=tan C=时等号成立,故tan A的最小值为。（7分）
(2)因为tan A=2,所以tan B+tan C=4,又tan Btan C=3,所以tan C=1或tan C=3,当tan C=1时,sin C=,由正弦定理,得c=;当tan C=3时,sin C=,由正弦定理,得c=。综上,c=5或3。（8分）
17.（本小题满分15分）
解 (1)证明:如图,连接AC,交BD于点O,连接OH,在△PBH中,E,G分别为PB,PH的中点,所以EG∥BH,又EG 平面BDH,BH 平面BDH,所以EG∥平面BDH,同理可得AG∥OH,AG∥平面BDH,因为AG,EG 平面AEG,AG∩EG=G,所以平面AEG∥平面BDH。（7分）
(2)记点A到平面BDH,点H到平面ABD的距离分别为hA,hH。S△ABD=。因为PA⊥平面ABCD,PA=2,CH=CP,所以hH=。在△PBC中,PB=PC=2,BC=2,所以cos∠PCB=。在△BCH中,BH2=BC2+CH2-2BC·CH·cos∠HCB=,则BH=,同理可得DH=。在△BDH中,BH=DH=,BD=2,所以S△BDH=。连接AH,因为VA BDH=VH ABD,所以hA=。（8分）
18.（本小题满分16分）
解 以D1为原点,D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,1),B(1,1,1),C(0,1,1),C1(0,1,0),E,F,所以=(0,1,0),=(-1,1,-1),,,,。
(1)取a==(0,1,0),u=(-1,1,-1),则a2=1,a·u=。所以点B到直线AC1的距离为。（8分）
(2)因为,所以FC∥EC1,又EC1 平面AEC1,FC 平面AEC1,所以FC∥平面AEC1。所以点F到平面AEC1的距离为直线FC到平面AEC1的距离。设平面AEC1的法向量为n=(x,y,z),则取z=1,则x=1,y=2,所以n=(1,2,1)是平面AEC1的一个法向量。又因为,所以点F到平面AEC1的距离为。即直线FC到平面AEC1的距离为。（8分）
19.（本小题满分16分）
解 (1)设{an}的公比为q,q>0。因为2Sn=an+2-6,所以当n=1时,2S1=a3-6,当n=2时,2S2=a4-6,两式相减可得2a2=a4-a3,所以2=q2-q,所以q=2或q=-1(舍去),所以2S1=a3-6=4a1-6,则a1=3,所以等比数列{an}的通项公式为an=3×2n-1。（8分）
(2)由an=3×2n-1,2Sn=an+2-6,得Sn=(an+2-6)=(3×2n+1-6)=3×2n-3,所以Sn=an+1-30,所以Sn≥an,当且仅当n=1时等号成立,所以am≤Sm