四川省泸州市合江县2025届九年级下学期学业水平第二次（5月）诊断性监测数学试卷（含详解）
文档属性
| 名称 | 四川省泸州市合江县2025届九年级下学期学业水平第二次（5月）诊断性监测数学试卷（含详解） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-13 08:54:06 | ||
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文档简介
2025年四川省泸州市合江县九年级下学期学业水平第二次（5月）诊断性监测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．2025的倒数是（ ）
A．2025 B． C． D．
2．“辽宁号”航母是中国海军航空母舰的首舰，满载排水量67500吨，数据67500用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图是一个三棱柱，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直线，将含有角的三角形板的直角顶点C放在直线m上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．数据7，6，4，3，4，6的中位数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形较长的对角线长是（ ）
A． B． C．3 D．6
8．关于的方程有实数根；则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（ ）
A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm
10．已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论：
①当降价为3元时，每星期可卖360件；
②每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为42元或者43元；
③每星期的最大利润为6250元．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
11．在抛物线中，有．已知点，是平面上两点，连接，若抛物线的图象与线段有交点时，则的取值范围是（ ）．
A． B． C．或 D．或
12．如图，半径为2的与x轴的正半轴交于点A，点B是上一动点，点C为弦的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则面积的最小值为（ ）
A．1 B． C．3 D．2
二、填空题
13．函数中，自变量x的取值范围是 ．
14．在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让红灯发光的概率是 ．
15．已知关于的分式方程，若分式方程无解，则的值为 ．
16．如图，是等边三角形的边上的动点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，若，则的最小值为 ．
三、解答题
17．计算：．
18．已知：如图，点，，，在同一条直线上，，，．
求证：．
19．化简：
20．为迎接第个世界读书日，营造爱读书、读好书、善读书的浓厚学习氛围，某校组织开展“书香校园阅读周”系列活动，拟举办类主题活动．：阅读分享会；：征文比赛；：名家进校园；：知识竞赛；∶经典诵读表演．为了解同学们参与这类活动的意向，现采用简单随机抽样的方法抽取部分学生进行调查（每名学生仅选一项），并将调查结果绘制成下面两幅统计图：
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)这次抽样共调查了__________名学生；
(2)请把这幅频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据）
(3)扇形统计图中“”所对应的圆心角的度数等于__________；
(4)该校共有名学生，请你估计该校想参加“知识竞赛和经典诵读表演”活动的学生总人数．
21．为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大课间活动”，该校从商店购买了 A 种品牌的足球 50 个， B 种品牌的足球 25 个，共花费 4500 元，已知 B 种品牌足球的单价比 A 种品牌足球的单价高30 元．
(1)求 A、 B 两种品牌足球的单价各多少元？
(2)根据需要，学校决定再次购进 A、 B 两种品牌的足球 50 个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动， A 种品牌的足球单价优惠 4 元， B 种品牌的足球单价打 8 折．如果此次学校购买 A、 B 两种品牌足球的总费用不超过2750 元，且购买 B 种品牌的足球不少于 23 个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？该方案的购进费用为多少元？
22．如图，将高度为的长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽上边沿处投射到底部处．向水槽注水，水面上升到的中点处时停止注水，光线射到水面处后发生折射落到底部处．已知，直线为法线，，求，两点之间的距离．（结果精确到；参考数据：，，）
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与双曲线的图象交于点，，连接并延长与双曲线交于点，连接，．
(1)求一次函数的解析式；
(2)若，求的值．
24．如图，是的直径，，为圆上两点，且，位于两侧，连接交于，点为延长线上一点，连接，使得，连接，，．
(1)求证：为的切线；
(2)若点为的中点，，，求的长．
25．如图，抛物线经过点，，交轴于点，点是直线上方抛物线上一点，其横坐标为，连接交直线于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出值；若不存在，请说明理由．
(3)点是抛物线上的点，当的值最大时，是否存在点使得是直角三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
《2025年四川省泸州市合江县九年级下学期学业水平第二次（5月）诊断性监测数学试题》参考答案
1．D
解：根据倒数的定义得2025的倒数为，
故选：D．
2．D
把67500缩小到6.75缩小了10000（即）倍，所以67500用科学记数法表示为：6.75×，选项D正确．
故选D．
3．A
解：根据题意得：它的俯视图是：
．
故选：A．
4．D
解：A、与不是同类项，不能合并，故A不正确，不符合题意；
B、，故B不正确，不符合题意；
C、，故C不正确，不符合题意；
D、，故D正确，符合题意；
故选：D．
5．C
解：过B作，则，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故选：C．
6．B
解：将数据从小到大依次排序为：3、4、4、6、6、7，
∴中位数为第三与第四个数的平均数，
故选B．
7．B
解：如图，菱形ABCD，∠ABC=60°，
∴AB=BC，AC⊥BD，OB=OD，
∴△ABC是等边三角形，
菱形的边长为6，
∴AC＝6，
∴AO＝AC＝3，
在Rt△AOB中，BO＝＝＝3，
∴菱形较长的对角线长BD是：2×3＝6．
故选：B．
8．C
解：方程有两个实数根，
，
，
解得：，
，
，
，
．
故选C
9．A
解：是的一部分，是的中点，，
，．
设的半径为，则．
在中，，
，
，
，
即的半径为．
故选：A．
10．C
设降价x元，则售价为元，每件的盈利元，每天可售出件，
①当降价为3元时，每星期可卖件；
正确；
②根据题意，得，
整理，得，
解得，
每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为58元或者57元；
错误；
③设每星期的利润为y元，根据题意，得
，
故每星期的最大利润为6125元．错误．
故选C．
11．D
解：∵，
∴，，
∴抛物线的表达式为
∴抛物线的对称轴为，
当时： 抛物线开口向上，要使抛物线与线段有交点，
当时，；当时，
把代入得：，
∴，
∴，即，
∴，结合，此条件满足．
把代入得：，
∴，
∴，即，
∴
当时： 抛物线开口向下，要使抛物线与线段有交点，
当时，；当时，
把代入得，
∴，
∴，即，
∴ 把代入得，
∴，
∴，即，
∴，结合，此条件满足．
综上，的取值范围是或
故选：D
12．D
解：如图，连接,取的中点，连接，过点作于，
，
，
的运动轨迹是以点为圆心、半径为1的圆，设交于点，
直线的解析式为，
令，得，
，
令，得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当点与点重合时，
此时面积的最小值，
故选：D．
13．
解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为．
14．
解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让灯发光的有2种情况，
∴能让灯泡发光的概率为：．
故答案为：．
15．或/1或
解：
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
当，即时，此时满足原方程无解；
当，即时，解得，
∵原方程无解，
∴是原方程的增根，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意；
综上所述，或，
故答案为：或．
16．
解：延长到，使．如图：
∵为等边三角形，绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由可得，
∴，
∴，
∴点在的边上运动，
∵，，
∴，
故，，
作点关于的对称点，连接，
则，，
故，
当，，三点共线时，，
当时，的值最小，
故满足，，三点共线，且时，的值最小，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
故最小值为．
故答案为：
17．
解：原式
．
18．见解析
解：证明：∵AF=EC，
∴AC+FC=EF+FC，
即AC=EF，
∵AB=ED，BC=DF，AC=EF，
∴△ABC≌△EDF（SSS），
∴∠A=∠E，
∴AB∥ED．
19．
解：原式
．
20．(1)
(2)见解析
(3)
(4)
（1）解：这次抽样调查的学生人数：，
故答案为：；
（2）参加：知识竞赛的人数有：，
补全条形统计图如下：
（3）“”所对应的圆心角的度数：，
故答案为：；
（4）想参加“知识竞赛和经典诵读表演”活动的学生总人数：
（人）．
21．(1)A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元
(2)共有3种购买方案，为了节约资金，学校应选择购买方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球；总费用为元
（1）解：设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，
根据题意得：，
解得：，
答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元；
（2）解：设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球，
根据题意，得，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为23，24，25，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球，总费用为（元）；
方案2：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球，总费用为（元）；
方案3：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球，总费用为（元）．
∵，
∴为了节约资金，学校应选择购买方案1，总费用为元．
22．，两点之间的距离约为
解：是的中点，为，
，
由题意可知，在中，，，
，
，
由题意可知，在中，，，
，
，
由题可知，，，
四边形是矩形，
，，
在中，，
，
，
，
答：，两点之间的距离约为．
23．(1)
(2)
（1）解：把，代入，
可得，
解得；
一次函数的解析式为
（2）解：联立，
整理得，
直线与双曲线交于点，，
点，的横坐标即为方程的两个解，
，
设，则，且，
把代入，
可得，
，
，
，
，
，
解得，（舍去），
，
把代入反比例函数，
可得，
24．(1)见解析
(2)
（1）证明：连接．
是直径，
，
，
，，
，
，
，
半径于点，
为的切线．
（2）解：如图，过点作于．
是直径，
，
，
设，则，
，
，
∴，
∴，
，
，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
．
25．(1)；
(2)存在，
(3)存在，点坐标为，，，
（1）解：将点，代入得，
，
解得，
该抛物线的函数表达式为：；
（2）解：存在点使，理由如下：
假设存在点使，设，
，
当时，，
，
在中，
，
解得，（不合题意舍去），
则坐标为，
，，
，
，
存在点使；
（3）解：如图作轴交于点，作轴交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
的值最大时即有最大值，
当时，最大，点的坐标为，
设，，，
当是直角三角形时，有以下三类情况，
①时，
，
解得，（不合题意舍去），
；
②，，
，
解得，（不合题意舍去），
；
③，，
，
解得，（不合题意舍去），
，；
综上所述，点坐标为，，，．
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．2025的倒数是（ ）
A．2025 B． C． D．
2．“辽宁号”航母是中国海军航空母舰的首舰，满载排水量67500吨，数据67500用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图是一个三棱柱，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直线，将含有角的三角形板的直角顶点C放在直线m上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．数据7，6，4，3，4，6的中位数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形较长的对角线长是（ ）
A． B． C．3 D．6
8．关于的方程有实数根；则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（ ）
A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm
10．已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论：
①当降价为3元时，每星期可卖360件；
②每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为42元或者43元；
③每星期的最大利润为6250元．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
11．在抛物线中，有．已知点，是平面上两点，连接，若抛物线的图象与线段有交点时，则的取值范围是（ ）．
A． B． C．或 D．或
12．如图，半径为2的与x轴的正半轴交于点A，点B是上一动点，点C为弦的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则面积的最小值为（ ）
A．1 B． C．3 D．2
二、填空题
13．函数中，自变量x的取值范围是 ．
14．在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让红灯发光的概率是 ．
15．已知关于的分式方程，若分式方程无解，则的值为 ．
16．如图，是等边三角形的边上的动点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，若，则的最小值为 ．
三、解答题
17．计算：．
18．已知：如图，点，，，在同一条直线上，，，．
求证：．
19．化简：
20．为迎接第个世界读书日，营造爱读书、读好书、善读书的浓厚学习氛围，某校组织开展“书香校园阅读周”系列活动，拟举办类主题活动．：阅读分享会；：征文比赛；：名家进校园；：知识竞赛；∶经典诵读表演．为了解同学们参与这类活动的意向，现采用简单随机抽样的方法抽取部分学生进行调查（每名学生仅选一项），并将调查结果绘制成下面两幅统计图：
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)这次抽样共调查了__________名学生；
(2)请把这幅频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据）
(3)扇形统计图中“”所对应的圆心角的度数等于__________；
(4)该校共有名学生，请你估计该校想参加“知识竞赛和经典诵读表演”活动的学生总人数．
21．为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大课间活动”，该校从商店购买了 A 种品牌的足球 50 个， B 种品牌的足球 25 个，共花费 4500 元，已知 B 种品牌足球的单价比 A 种品牌足球的单价高30 元．
(1)求 A、 B 两种品牌足球的单价各多少元？
(2)根据需要，学校决定再次购进 A、 B 两种品牌的足球 50 个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动， A 种品牌的足球单价优惠 4 元， B 种品牌的足球单价打 8 折．如果此次学校购买 A、 B 两种品牌足球的总费用不超过2750 元，且购买 B 种品牌的足球不少于 23 个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？该方案的购进费用为多少元？
22．如图，将高度为的长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽上边沿处投射到底部处．向水槽注水，水面上升到的中点处时停止注水，光线射到水面处后发生折射落到底部处．已知，直线为法线，，求，两点之间的距离．（结果精确到；参考数据：，，）
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与双曲线的图象交于点，，连接并延长与双曲线交于点，连接，．
(1)求一次函数的解析式；
(2)若，求的值．
24．如图，是的直径，，为圆上两点，且，位于两侧，连接交于，点为延长线上一点，连接，使得，连接，，．
(1)求证：为的切线；
(2)若点为的中点，，，求的长．
25．如图，抛物线经过点，，交轴于点，点是直线上方抛物线上一点，其横坐标为，连接交直线于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出值；若不存在，请说明理由．
(3)点是抛物线上的点，当的值最大时，是否存在点使得是直角三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
《2025年四川省泸州市合江县九年级下学期学业水平第二次（5月）诊断性监测数学试题》参考答案
1．D
解：根据倒数的定义得2025的倒数为，
故选：D．
2．D
把67500缩小到6.75缩小了10000（即）倍，所以67500用科学记数法表示为：6.75×，选项D正确．
故选D．
3．A
解：根据题意得：它的俯视图是：
．
故选：A．
4．D
解：A、与不是同类项，不能合并，故A不正确，不符合题意；
B、，故B不正确，不符合题意；
C、，故C不正确，不符合题意；
D、，故D正确，符合题意；
故选：D．
5．C
解：过B作，则，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故选：C．
6．B
解：将数据从小到大依次排序为：3、4、4、6、6、7，
∴中位数为第三与第四个数的平均数，
故选B．
7．B
解：如图，菱形ABCD，∠ABC=60°，
∴AB=BC，AC⊥BD，OB=OD，
∴△ABC是等边三角形，
菱形的边长为6，
∴AC＝6，
∴AO＝AC＝3，
在Rt△AOB中，BO＝＝＝3，
∴菱形较长的对角线长BD是：2×3＝6．
故选：B．
8．C
解：方程有两个实数根，
，
，
解得：，
，
，
，
．
故选C
9．A
解：是的一部分，是的中点，，
，．
设的半径为，则．
在中，，
，
，
，
即的半径为．
故选：A．
10．C
设降价x元，则售价为元，每件的盈利元，每天可售出件，
①当降价为3元时，每星期可卖件；
正确；
②根据题意，得，
整理，得，
解得，
每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为58元或者57元；
错误；
③设每星期的利润为y元，根据题意，得
，
故每星期的最大利润为6125元．错误．
故选C．
11．D
解：∵，
∴，，
∴抛物线的表达式为
∴抛物线的对称轴为，
当时： 抛物线开口向上，要使抛物线与线段有交点，
当时，；当时，
把代入得：，
∴，
∴，即，
∴，结合，此条件满足．
把代入得：，
∴，
∴，即，
∴
当时： 抛物线开口向下，要使抛物线与线段有交点，
当时，；当时，
把代入得，
∴，
∴，即，
∴ 把代入得，
∴，
∴，即，
∴，结合，此条件满足．
综上，的取值范围是或
故选：D
12．D
解：如图，连接,取的中点，连接，过点作于，
，
，
的运动轨迹是以点为圆心、半径为1的圆，设交于点，
直线的解析式为，
令，得，
，
令，得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当点与点重合时，
此时面积的最小值，
故选：D．
13．
解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为．
14．
解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让灯发光的有2种情况，
∴能让灯泡发光的概率为：．
故答案为：．
15．或/1或
解：
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
当，即时，此时满足原方程无解；
当，即时，解得，
∵原方程无解，
∴是原方程的增根，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意；
综上所述，或，
故答案为：或．
16．
解：延长到，使．如图：
∵为等边三角形，绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由可得，
∴，
∴，
∴点在的边上运动，
∵，，
∴，
故，，
作点关于的对称点，连接，
则，，
故，
当，，三点共线时，，
当时，的值最小，
故满足，，三点共线，且时，的值最小，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
故最小值为．
故答案为：
17．
解：原式
．
18．见解析
解：证明：∵AF=EC，
∴AC+FC=EF+FC，
即AC=EF，
∵AB=ED，BC=DF，AC=EF，
∴△ABC≌△EDF（SSS），
∴∠A=∠E，
∴AB∥ED．
19．
解：原式
．
20．(1)
(2)见解析
(3)
(4)
（1）解：这次抽样调查的学生人数：，
故答案为：；
（2）参加：知识竞赛的人数有：，
补全条形统计图如下：
（3）“”所对应的圆心角的度数：，
故答案为：；
（4）想参加“知识竞赛和经典诵读表演”活动的学生总人数：
（人）．
21．(1)A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元
(2)共有3种购买方案，为了节约资金，学校应选择购买方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球；总费用为元
（1）解：设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，
根据题意得：，
解得：，
答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元；
（2）解：设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球，
根据题意，得，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为23，24，25，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球，总费用为（元）；
方案2：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球，总费用为（元）；
方案3：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球，总费用为（元）．
∵，
∴为了节约资金，学校应选择购买方案1，总费用为元．
22．，两点之间的距离约为
解：是的中点，为，
，
由题意可知，在中，，，
，
，
由题意可知，在中，，，
，
，
由题可知，，，
四边形是矩形，
，，
在中，，
，
，
，
答：，两点之间的距离约为．
23．(1)
(2)
（1）解：把，代入，
可得，
解得；
一次函数的解析式为
（2）解：联立，
整理得，
直线与双曲线交于点，，
点，的横坐标即为方程的两个解，
，
设，则，且，
把代入，
可得，
，
，
，
，
，
解得，（舍去），
，
把代入反比例函数，
可得，
24．(1)见解析
(2)
（1）证明：连接．
是直径，
，
，
，，
，
，
，
半径于点，
为的切线．
（2）解：如图，过点作于．
是直径，
，
，
设，则，
，
，
∴，
∴，
，
，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
．
25．(1)；
(2)存在，
(3)存在，点坐标为，，，
（1）解：将点，代入得，
，
解得，
该抛物线的函数表达式为：；
（2）解：存在点使，理由如下：
假设存在点使，设，
，
当时，，
，
在中，
，
解得，（不合题意舍去），
则坐标为，
，，
，
，
存在点使；
（3）解：如图作轴交于点，作轴交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
的值最大时即有最大值，
当时，最大，点的坐标为，
设，，，
当是直角三角形时，有以下三类情况，
①时，
，
解得，（不合题意舍去），
；
②，，
，
解得，（不合题意舍去），
；
③，，
，
解得，（不合题意舍去），
，；
综上所述，点坐标为，，，．
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