江苏省南通市启东市2025届九年级下学期中考二模数学试卷(含详解)

2025年江苏省南通市启东市中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．2025的倒数是（ ）
A．2025 B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．将一个含有角的直角三角板和一把直尺按如图方式放置，若，则的度数为（ ）
A． B．
C． D．
4．若一次函数的图象经过点，，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．在下面四个几何体中，其左视图不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
6．已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（　　）
A． B． C．5 D．7
7．如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在左、右两个最高位置时，细绳相应所成的角∠AOB为40°，那么小球在最高位置和最低位置时的高度差为（ ）
A．厘米 B．厘米
C．厘米 D．厘米
8．在献爱心活动中，五名同学捐款数分别是，，，，（单元：元），后来每人追加了元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，不变的是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
9．如图，在等腰三角形中，，点D在上，连接，把绕点A逆时针旋转得到，使，连接，若，，则的长为( )
A． B． C． D．10
10．二次函数，若当时，，则当时，函数值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．量子点是一种重要的低维半导体材料，一般为球形或类球形，直径常在之间．用科学记数法表示是 （其中）．
12．分解因式： ．
13．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM相交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则sin∠AOB的值等于 ．
14．将面积为3πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，若扇形的圆心角是120°，则该圆锥底面圆的半径为 cm．
15．一组数据x，2，3的平均数是3，这组数据的方差是 ．
16．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”意思就是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆（如图所示），它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为 ．
17．如图，的边在轴上，反比例函数的图象经过点，与边交于点，若，，则的值为 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，平面内有一动点，定点，，连结．若点只在第一象限内运动，过点作于，当取得最大值时，点的坐标是 ．
三、解答题
19．（1）计算：；
（2）解不等式组：．
20．【阅读材料】
老师的问题：
已知：如图，中，，是斜边上的中线，求作：菱形
小明的作法：
（1）取的中点，
（2）连接并延长到，使，
（3）连接，，四边形就是所求作的菱形；
【解答问题】
请根据材料中的信息，证明四边形是菱形．
21．某商品博览会在五一节期间举办了“五一不重”的活动，吸引了众多市民前来参观．商品博览会设置了A、B两个安检通道进入场馆内部，又设置了D、E、F三个离场通道．小明和小亮两名同学分别到博览会游玩．
(1)小明从A入口进入商品博览会的概率是 ；
(2)参观结束后，小明和小亮都从D出口走出博览会的概率是多少？（列表或画树状图）
22．如图，在中，．以为直径的圆分别交，于点，．过点作圆的切线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)如果，，求的长．
23．如图1、图2是某种品牌的篮球架实物图与示意图，已知底座BC＝0.6米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，支架AF的长为2.5米，篮板顶端F点到篮筐D的距离FD＝1.4米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝60°，求篮筐D到地面的距离．（精确到0.1米，参考数据：cos75°≈0.3，sin75°≈0.9，tan75°≈3.7，≈1.7，≈1.4）

24．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段表示该产品每千克生产成本单位：元与产量单位：之间的函数关系；线段表示该产品销售价单位：元与产量单位：之间的函数关系，已知，．
(1)求线段所表示的与之间的函数表达式；
(2)若，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？
(3)若，该产品获得的利润最大利润是______．
25．已知关于x的二次函数（实数b，c为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式；
（2）若，当时，二次函数的最小值为21，求b的值；
（3）记关于x的二次函数，若在（1）的条件下，当时，总有，求实数m的最小值．
26．如图，在矩形中，，，点E在上，连接、，相交于点G，作，交于点F，设．
【变中不变】
（1）明明发现：连接，当点E的位置在上发生变化时，的度数始终不变．经过思考，他整理出如下说理过程，请补充完整．
∵，且①_______；
∴；
∴即：；
又∵；
∴②_______；
∴；
∴；
在矩形中，；
∴；
∴③_______°，即度数不变．
【尝试应用】
（2）若，求的长；
【思维拓展】
（3）将绕着点E顺时针旋转得到，是否存在这样的x，使得有顶点落在直线上，若存在，请求出满足条件的x值；若不存在，请说明理由．
《2025年江苏省南通市启东市中考二模数学试题》参考答案
1．D
解：根据倒数的定义得2025的倒数为，
故选：D．
2．C
解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项正确，符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：C
3．B
解：如图所示，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
4．A
解：∵一次函数y=2x+1中，k=2＞0，
∴y随着x的增大而增大．
∵点（-3，y1）和（4，y2）是一次函数y=2x+1图象上的两个点，-3＜4，
∴y1＜y2．
故选：A．
5．C
解：根据题意知，A选项左视图为正方形，是中心对称图形，故该选项不符合题意；
B选项左视图为圆，是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C选项左视图为等腰三角形，不是中心对称图形，故该选项符合题意；
D选项左视图为矩形，是中心对称图形，故该选项不符合题意；
故选：C．
6．C
解：把代入关于的一元二次方程得：
，
，
故选：C
7．D
解：如图：过作于，
中，厘米，，
．
（厘米）．
故选：D．
8．D
解：五名同学捐款数分别是，，，，（单位：元），后来每人追加了元．追加后的个数据与之前的个数据相比，不变的是方差；平均数，众数，中位数都会发生变化，
故选：D．
9．D
解：∵绕点A逆时针旋转得到，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，即，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
10．B
解：由题意得，抛物线的对称轴为直线．
，
．
．
设与轴交点为，（其中，
即：，
当时，，且抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，或1时，，
，．
，
当，即时，随着的增大而减少，
当时，，
，
，
当时，，
，
当时，，
函数值的取值范围为．
故选：B．
11．
解：，
故答案为：．
12．
解：原式
，
故答案为：．
13．
∵以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，
∴OA=OB，
∵以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴sin∠AOB=sin60°=．
故答案为．
14．1
解：设圆锥的母线长为Rcm，底面圆的半径为rcm，
∵面积为3πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，扇形的圆心角是120°，
∴＝3π，
解得：R＝3，
由题意可得：2πr＝，
解得：r＝1．
故答案为：1．
15．
解：利用平均数的计算公式可得：，解得，
∴这组数据为4，2，3，
∴这组数据的方差为．
故答案为．
16．四丈五尺
解：设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，
∴由相似相似原理可知：
解得x=45（尺）．
故答案为：四丈五尺．
17．
解：如图，作轴，垂足为，轴，垂足为，连接，
，，
，
由反比例函数值的几何意义可知：
，
设，则，
，
，
解得：．
故答案为：．
18．
解：依题得，点在的函数图象上，
且需满足，，
当时，，
当时，，
即定点，为函数与坐标轴的交点，
作轴，交于点，
设直线的解析式为，
将，代入可得，
解得，
即直线的解析式为，
，，
中，，
，
，
，
，
，
在中，，
当最长时，最长，
，则，
，，
，
，
，
，
，
当时，取最大值，
此时点的坐标为．
故答案为：．
19．（1）；（2）
解：（1）原式
；
（2）由不等式，得，
由不等式，得，
∴不等式组的解集为．
20．见解析
证明：∵中，，是斜边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
21．(1)
(2)
（1）解：∵一共有两个入口，每个入口被选择的概率相同，
∴小明从A入口进入商品博览会的概率是，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：

由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中小明和小亮都从D出口走出博览会的结果数有1种，
∴小明和小亮都从D出口走出博览会的概率为.
22．(1)见解析
(2)
（1）证明：，
，
又，
，
，
；
（2）解：连接，交于，
为的直径，
，
在中，，，
，
，，
，
，
在中， ，
，
为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
23．2.9米
解：延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，
∴AB＝BC tan75°＝0.60×3.732＝2.22，
∴GM＝AB＝2.22，
在Rt△AGF中，∵∠FAG＝∠FHE＝60°，sin∠FAG＝，
∴sin60°＝＝，
∴FG＝2.125，
∴DM＝FG+GM﹣DF≈2.9米．
答：篮筐D到地面的距离是2.9米．

24．(1)
(2)若，该产品产量为时，获得的利润最大，最大利润是元
(3)元
（1）解：设线段所表示的与之间的函数关系式为，
根据题意，得：，
解得：，
与之间的函数关系式为；
（2）解：若，设与之间的函数关系式为，
根据题意，得：，
解得：，
这个函数的表达式为：，
设产量为时，获得的利润为元，
根据题意，得：，
当时，取得最大值，最大值为，
答：若，该产品产量为时，获得的利润最大，最大利润是元；
（3）解：设，
由题意得：，
解得：，
这个函数的表达式为：，
，
，
，，
，即该抛物线对称轴在轴左侧，
当时，随的增大而增大，
当时，的值最大，元．
时，该产品产量为时，获得的利润最大，最大利润为元．
故答案为：元．
25．（1）；（2）或4；（3）4．
解：（1）将点代入得：，
二次函数的对称轴为，
，解得，
则此二次函数的表达式为；
（2），即，
，
则此二次函数的对称轴为，
由题意，分以下三种情况：
①当，即时，
在内，随的增大而减小，
则当时，取得最小值，
因此有，
解得或（不符题设，舍去）；
②当，即时，
在内，随的增大而减小；在内，随的增大而增大，
则当时，取得最小值，
因此有，
解得或（均不符题设，舍去）；
③当，即时，
在内，随的增大而增大，
则当时，取得最小值，
因此有，
解得或（不符题设，舍去），
综上，的值为或4；
（3）由（1）可知，，
由得：，即，
令，
在内，随的增大而增大，
要使得当时，总有，则只需当时，即可，
因此有，
解得，
则实数的最小值为4．
26．（1）；；；（2）；（3）或或．
解：（1）∵，且；
∴；
∴即：；
又∵；
∴；
∴；
∴；
在矩形中，；
∴；
∴，即度数不变．
故答案为：；；；
（2）∵矩形中，，，
∴，，，
∵，
∴，
由（1）知，，
∴，
∴，即，
解得；
（2）存在，①当点与点重合时，点都在直线上，此时；
②当点落在直线上时，由旋转得，，，
过点作交分别为，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
由勾股定理得，
同理，
在中，，即，
整理得，
解得或，
∵，
∴不合题意，舍去，
∴；
③当点落在直线上时，过点作交分别为，
同理四边形为矩形，
∴，
由旋转得，，，
同理得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，
解得（舍去负值），
∴，
综上，或或．