21.4一次函数的应用巩固强化练习（含解析）

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21.4一次函数的应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一辆慢车以50千米/小时的速度从甲地驶往乙地，一辆快车以75千米/小时的速度从乙地驶往甲地，甲、乙两地之间的距离为500千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与慢车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF//BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA=4，OC=2，∠AOC=45°，EP=3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．李明骑车上学，一开始以某一速度行进，途中车子发生故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上学时间，于是加快马加鞭提高车速，在下图中给出的示意图中(s为距离，t为时间)符合以上情况的是(　　 )
A． B． C． D．
4．节假日期间，某商场搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商场一次性购物超过50元，超过50元的部分按九折优惠”，在此活动中，小明到该商场一次性购买了单价为30元的商品件（），应付款（元），则下列方程中正确的是（）
A． B．
C． D．
5．小张在一条笔直的绿谷跑道上以70米/分钟的速度，从起点出发匀速健步走．30分钟后，他停下来休息了5分钟，然后原地返回起点，全程总用时70分钟．设小张离起点的距离为y米，健步走的时间为x分钟，y关于x的函数关系如图所示，则小张返回的速度是（ ）
A．60米/分钟 B．70米/分钟 C．75米/分钟 D．80米/分钟
6．对于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而减小
C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限
7．如图，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，1），则关于x的不等式kx+b＞1的解集是【 】
A．x＞0 B．x＜0 C．x＞1 D．x＜1
8．商户小李以每件元的价格购进某商品若干件到市场去销售，销售金额元与销售量件的函数关系的图象如图所示，则降价后每件商品销售获得的利润为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
9．已知直线AB∥x轴，且点A的坐标是（﹣1，1），则直线y=x+3与直线AB的交点是（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，1）
10．如图，在中，，点C在边上，且，，点D为的中点，点P为边上的动点，当点P在上移动时，使四边形周长最小的点P 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，直线经过和两点，则不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，已知直线与直线都经过点，直线交y轴于点，交x轴于点A，直线交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接、、，有以下说法：
①方程组的解为
②；
③当的值最小时，点P的坐标为
其中正确说法的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．0
二、填空题
13．已知方程mx+n=0的解为x=-3，则直线y=mx+n与x轴的交点坐标是 ．
14．如图，已知函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是 ．
15．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，直线：分别交x轴和y轴于点A、B两点，点在直线上，点D在直线：上，且点D在直线下方，连接和，若的面积为3，则点D的坐标是 ．
16．甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地．乙车出发1h后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离y（km）与甲车行驶的时间x（h）的函数关系的图象，则
（1） ．
（2） ．
17．小李新买了一部手机，同时想选择一种新套餐．获悉某通信公司新开发了甲、乙两种手机话费套餐，其每月通话费用与通话时间之间的关系如图所示．若平时小李每月的通话时间大约在120分钟，请你帮忙选择一下，小李选择 种套餐合适．
三、解答题
18．某班布置教室，同学们利用彩纸条粘成一环套一环的彩纸链，小橙同学测量了部分彩纸链的长度．
纸环数x（个） 1 2 3 4 5 6 ……
彩纸链长度y（cm） 19 34 49 64 79 94 ……
(1)把上表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点．
(2)观察这些点发现，这些点是否在一条直线上，如果在一条直线上，求这条直线所对应的函数表达式．
(3)教室天花板为矩形，一条对角线长为10m，现需沿天花板对角线各拉一根彩纸链，则至少要用多少个纸环？
19．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点N（0，4），动点M从点A以每秒1个单位的速度匀速沿x轴向左运动，点M的运动时间为t秒．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）当△NOM的面积为6时，求t值；
（3）在y轴右侧，当△NOM≌△AOB时，若点G是线段ON上一点，连结MG，△MGN沿MG折叠，点N恰好落在x轴上，直接写出此时点G的坐标．
20．某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配个羽毛球，供社区居民免费借用．该社区附近、两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为元，每个羽毛球的标价为元，目前两家超市同时在做促销活动：
超市：所有商品均打九折（按标价的）销售；
超市：买一副羽毛球拍送个羽毛球．
设在超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元），在超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元）．请解答下列问题：
分别写出、与之间的关系式；
若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？
若每副球拍配个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案．
21．某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球多30元．已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等．
（1）问篮球和足球的单价各是多少元？
（2）若篮球的售价为150元，足球的售价为110元，商场计划用不超过10350元购进两种球共100个，其中篮球不少于40个，问商场共有几种货方案？哪种方案商场获利最大？
（3）某希望小学为庆祝中国共产党成立100周年，举行百人球操表演，准备购买商场购进的这100个篮球和足球，商场知晓后决定从中拿出30个球赠送给这所希望小学，这样，希望小学相当于七折购买这批球．请直接写出商场赠送的30个球中篮球和足球的个数．
22．暑假期间，两位家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人1000元的两家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是：两位家长全额收费，学生都按7折收费；乙旅行社的优惠条件是：学生、家长都按8折收费．假设这两位家长带领x名学生去旅行，甲、乙旅行社的收费分别为y甲，y乙，
（1）写出y甲，y乙与x的函数关系式．
（2）学生人数在什么情况下，选择哪个旅行社合算？
23．过点（0，﹣2）的直线：（）与直线：交于点P（2，m）．
（1）写出使得的x的取值范围；
（2）求点P的坐标和直线的解析式．
24．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数与轴轴分别交于点、点，点是轴上一点．
(1)点的坐标为________，点的坐标为________；
(2)连接，若的面积为10，求点的坐标．
《21.4一次函数的应用》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D D A A B C D C
题号 11 12
答案 A C
1．C
【详解】因为慢车和快车从相距500千米的甲乙两地同时出发,则时间为0小时,两车相距距离为500千米,经过4小时,两车相遇,则此时两车相距距离为0,相遇之后快车经过小时先到达甲地,此时两车相距(75+50) ×=千米>250千米,然后再经过小时,慢车到达乙地,此时两车相距500千米,故选C.
2．A
【分析】先求确定A、C、B三个点坐标，然后求出AB和AC的解析式，再表示出EF的长，进而表示出点P的横坐标，最后根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：由题意可得，
设直线AB的解析式为y=kx+b
则 解得：
∴直线AB的解析式为：y=x-4，
∴x=y+4，
设直线AC的解析式为y=mx+n
则 解得：
∴直线AC的解析式为：，
∴，
∴点F的横坐标为：y+4，点E的坐标为：，
∴，
∵EP=3PF，
∴，
∴点P的横坐标为：，
∵，
∴．
∴
故答案为：A．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形性质、求一次函数的解析式、不等式性质等知识，根据题意表示出点P的横坐标是解答本题的关键．
3．D
【分析】根据题意和一次函数的性质求解即可．
【详解】根据题意得，符合以上情况的图象是
故答案为：D．
【点睛】本题考查了一次函数的行程问题，掌握一次函数的性质是解题的关键．
4．D
【分析】此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，根据已知得出货款与商品件数的等式是解题关键．根据已知表示出买商品件的总钱数以及优惠后价格，进而得出等式即可．
【详解】解：凡在该商场一次性购物超过50元，超过50元的部分按九折优惠，
小明到该商场一次性购买了单价为30元的商品件（），
则小明应付货款与商品件数的函数关系式是：，
故选：D．
5．A
【分析】根据去时的速度和时间可以求出路程，然后用路程回时的时间即可求出返回时的速度．
【详解】解：路程速度时间，即米，
返回时的时间为：分钟，
则返回时的速度米/分钟，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是明确题意，得出路程．
6．A
【详解】A．当时，，则它的图象与轴交于点，故本选项符合题意；B．随的增大而增大，故本选项不符合题意；C．当时，，故本选项不符合题意；D．它的图象经过第一、三、四象限，故本选项不符合题意．
7．B
【分析】直接根据函数的图象与y轴的交点为（0，1）进行解答即可：
【详解】解：由一次函数的图象可知，此函数是减函数，
∵一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，1），
∴当x＜0时，关于x的不等式kx+b＞1．故选B．
8．C
【分析】本题考查一次函数的利润问题．先根据图象得到降价后的售价，然后利用公式计算利润率即可．
【详解】解：∵由图象可知件销售金额为元，件的销售金额为元，
∴降价后卖了件，销售金额为元，
∴降价后每件商品销售的价格为元，
∴降价后每件商品的销售利润为元，
故选：C．
9．D
【分析】先确定直线AB的解析式为y＝1，则求直线y＝1与直线y＝x＋3的交点，然后解出两解析式所组成的方程组即可．
【详解】解：∵直线AB∥x轴，且点A的坐标是（-1，1），
∴直线AB的解析式为y=1，
把y=1代入y=x+3得x+3=1，解得x=-2，
∴直线y=x+3与直线AB的交点为（-2，1）．
故选D．
【点睛】本题考查了两条直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．例如：若直线y1＝k1x＋b1与直线y2＝k2x＋b2平行，那么k1＝k2．
10．C
【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，等腰直角三角形的性质，正确的找到P点的位置是解题的关键．
根据已知条件得到，，求得，得到，作D关于直线的对称点E，连接交于P，则此时四边形周长最小，，求得直线的解析式为，与联立即可得到结论．
【详解】解：∵在中，，
∴，，直线的解析式为，
∵，点D为的中点，
∴，
∴，
作D关于直线的对称点E，连接交于P，
则此时，四边形周长最小，，
设直线的解析式为，
将点代入得：，
解得，
∴直线的解析式为，
∵直线的解析式为，
，
得，
∴，
故选：C．
11．A
【分析】本题考出来一次函数与一元一次不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．
先找出两条直线的交点，再根据数形结合思想求解．
【详解】解：当时，，
与相交于点，
由图象得：
不等式组的解集为：，
故选：A．
12．C
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，三角形面积以及最短距离问题，①根据一次函数图象与二元一次方程组的关系，利用交点坐标可得方程组的解；②求得和的长，根据三角形面积计算公式，即可得到的面积；③根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当的值最小时，点P的坐标为．
【详解】解：①∵直线与直线都经过点，
∴方程组的解为，
故说法①正确，符合题意；
②把，，代入直线，
可得，
解得，
∴直线，
令，则，
∴，
∴．
把代入直线，可得，
∴直线，
令，则，
∴，
∴，
∴，
故②正确，符合题意；
③点A关于y轴对称的点为，
由点C、的坐标得，直线的表达式为：，
令，则，
∴当的值最小时，点P的坐标为，
故③正确，符合题意；
所以，正确说法的个数有3个，
故选：C
13．（-3，0）
【分析】求直线与x轴的交点坐标，需使直线y=mx+n的y值为0，则mx+n=0；已知此方程的解为x=-3．因此可得答案．
【详解】解：∵方程的解为x=-3，
∴当x=-3时mx+n=0；
又∵直线y=mx+n与x轴的交点的纵坐标是0，
∴当y=0时，则有mx+n=0，
∴x=-3时，y=0．
∴直线y=mx+n与x轴的交点坐标是（-3，0）．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，解题的关键是了解一次函数图像与x轴的交点横坐标就是对应的一元一次方程的解.
14．
【分析】利用函数图象，写出直线y＝2x在直线y＝ax 3上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：根据图象得，当x＞ 1时，2x＞ax 3．
所以不等式2x ax＋3＞0的解集是x＞ 1．
故答案为x＞ 1．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx＋b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx＋b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
15．/
【分析】过点C作轴，交于点E，求出A点坐标，C点坐标，设点，的解析式为，求出直线的解析式为，求出点E坐标，用m表示出，根据三角形面积公式列出m的方程，解方程即可得出答案．
【详解】解：过点C作轴，交于点E，如图所示：
把代入得：，
∴，
把代入得：，
∴，
设点，的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
所以直线的解析式为，
把代入得：，
∴点，
∵点D在直线下方，
∴点一定在点C的下方，
∴，
∴，
解得：，
∴点D坐标为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数解析式，三角形面积的计算，解题的关键是设出点D的坐标，用点D的坐标表示出的面积，列出方程．
16． 50 /4.3125
【分析】甲出发时，乙行驶了1小时，此时二人相距60km，则可求出乙的速度，甲出发1.5小时后追上乙，此时可求出乙行驶的距离，除以甲行驶的时间即可求出甲的速度，甲行至B地时，此时是甲乙相距最远的时候，由图可知相距80km，80除以甲乙的速度差即可求出甲追上以后行驶至B地的时间，即可求得b值，甲在B地停留时，甲乙之间的距离在缩短，当甲返程时，甲乙之间的距离在加速缩短，此时可知c=b+0.5h（30分钟），根据乙的速度可以求出甲停留时甲乙之间缩短的距离量，用80km减去此值即可求出a值，甲开始返程时，甲乙相向而行，用a值除以甲乙速度之和即可求得d值．
【详解】乙的速度：60÷1=60（km/h），
甲追上乙时，乙行走的距离为：60×(1.5+1)=150（km），
则甲的速度为：150÷1.5=100（km/h），
追上后甲行至B地的用时：80÷(100-60)=2（h），
则b=1.5+2=3.5（h），
则c=b+0.5=3.5+0.5=4（h），
30分钟内，甲乙之间缩短的距离为：60×0.5=30（km），
则a=80-30=50（km），
甲乙相向而行再次相遇所用时间：50÷(100+60)=0.3125（h），
则d=c+0.3125=4.3125=（h），
故答案为：50，．
【点睛】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，注重数形结合是解答本题的关键．
17．乙
【分析】根据图象中点的含义，图象的性质进行判断即可．
【详解】解：由图象可知，甲、乙两种手机话费套餐，每月通话费用与通话时间之间的关系均为一次函数，图象的交点坐标为
由一次函数图象的性质可知时，
∴小李每月的通话时间大约在120分钟时，小李选择乙种套餐合适
故答案为：乙．
【点睛】本题考查了函数图象，一次函数的应用．解题的关键在于熟练掌握一次函数的图象与性质．
18．(1)见解析
(2)y=15x+4
(3)134个纸环
【分析】（1）直接根据列表数据描点即可；
（2）用待定系数法求得解析式即可；
（3）根据题意列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：平面直角坐标系中描出相应的点如下：
（2）解：观察这些点发现，这些点是在一条直线上，
设这条直线所对应的函数表达式为y=kx+b，
把（1，19），（2，34）代入得：，解得：．
所以这条直线的函数关系式为y=15x+4．
（3）解：根据题意得：15x+4≥1000解得：x≥
∵纸环数x是整数，
∴x最小值为67，
∴拉两根彩纸链至少要用134个纸环．
【点睛】本题主要考查描点画函数图像、一次函数实际应用问题、不等式的应用，解题的读懂题意、用待定系数法求得函数解析式是解答本题的关键．
19．（1）A（4，0），B（0，2）；（2）t=1或t=7；（3）G（0，1）．
【分析】（1）利用直线的解析式，令x=0与y=0，分别解得直线与两坐标轴的交点即可；
（2）由题意可知OM=|4﹣t|，根据△NOM的面积为6，构建方程求解即可；
（3）设G点坐标为（0，y），则可表示出GN的长，再由折叠的性质，可证HM=NM，则可求OH的长，在Rt△BOH中，由勾股定理解得关于y的方程，解出y的值即可得到点G的坐标．
【详解】（1）在yx+2中，
令y=0可求得x=4，
令x=0可得y=2，
∴A（4，0），B（0，2）；
（2）∵A（4，0），B（0，2），N（0，4），
∴OB=2，ON=OA=4，
由题意可知OM=|4﹣t|，
∵△NOM的面积为6，
∴ |4﹣t|×4=6，
∴t=1或7，
即当t的值为1或7时，△NOM的面积为6；
（3）如图，由△NOM≌△AOB，得OM=OB=2，且ON=4，
∴MN2，
∵△MGN沿MG折叠得到△MGH，
∴MH=MN，NG=HG，
∴HO=MH﹣OM=22，
设G点坐标为（0，y），
∵点G是线段ON上一点，
∴OG=y，则HG=NG=4﹣y，
在Rt△BOH中，由勾股定理可得（22）2+y2=（4﹣y）2，
解得：y1，
∴G点坐标为（0，1）．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、折叠、全等三角形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
20．；；（2）当时，到超市购买划算，当时，两家超市一样划算，当时在超市购买划算；（3）最佳方案是先选择超市购买副羽毛球拍，然后在超市购买个羽毛球．
【分析】（1）根据“购买费用=单价×数量”建立关系就可以表示出、的解析式；
（2）分三种情况进行讨论，当=时，当＞时，当＜时，分别求出购买划算的方案；
（3）分两种情况进行讨论计算求出需要的费用，再进行比较就可以求出结论．
【详解】解：由题意，得；
；
当时，，得；
当时，，得；
当时，，得；
∴ 当时，到超市购买划算，当时，两家超市一样划算，当时在超市购买划算．
由题意知，，
∴选择超市，（元），
先选择超市购买副羽毛球拍，送个羽毛球，然后在超市购买剩下的羽毛球：
（元），
共需要费用（元）．
∵元元，
∴最佳方案是先选择超市购买副羽毛球拍，然后在超市购买个羽毛球．
【点睛】本题考查一次函数的应用，根据题意确列出函数关系式是本题的解题关键．
21．（1）足球的单价为90元，则篮球的单价为120元；（2）有6种方案，购进篮球45个，购进足球55个，商场获利最大；（3）商场赠送的30个球中篮球14个，足球16个
【分析】（1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为（x+30）元，根据用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等可得出方程，解出即可；
（2）根据题意所述的不等关系：商场计划用不超过10350元购进两种球，其中篮球不少于40个，等量关系：两种球共100个，可得出不等式组，解出即可．
（3）设商场赠送的30个球中篮球有z个，足球有（30-z）个，根据相当于七折购买这批球列方程即可；
【详解】解：（1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为（x+30）元，
根据题意，得
解得：x=90，
经检验x=90是原方程的解，
x+30=120．
即足球的单价为90元，则篮球的单价为120元；
（2）设购进足球y个，则购进篮球（100-y）个．商场获利w元；
，
解得：55≤y≤60．
∵y为整数，
∴y=55，56，57，58，59，60．
∴有6种方案：
w=（110-90）y+（150-120）（100-y）=-10y+3000
∵k=-10＜0，w随y的增大而减小，
∴当y=55时，w有最大值=2450
∴购进篮球45个，购进足球55个，商场获利最大；
（3）设商场赠送的30个球中篮球有z个，足球有（30-z）个
150（45-z）+110[55-（30-z）]= （150×45+110×55）×0.7
解得：z=14
30-14=16
答：商场赠送的30个球中篮球14个，足球16个．
【点睛】本题考查了列分式方程的运用，一元一次不等式组解实际问题的运用，设计方案的运用，一次函数的解析式的性质的运用，解答本题的关键是仔细审题，根据题意所述的等量关系及不等关系，列出不等式．
22．（1）y甲、y乙与x的函数关系式分别为：y甲=700x+2000，y乙=800x+1600；（2）当学生人数超过4人时，选择甲旅行社更省钱，当学生人数少于4人时，选择乙旅行社更省钱，学生人数等于4人时，选择甲、乙旅行社相等．
【分析】（1）根据甲旅行社的收费=两名家长的全额费用+学生的七折费用，可得到y1与x的函数关系式；再根据乙旅行社的收费=两名家长的八折费用+学生的八折费用，可得到y2与x的函数关系式；
（2）根据题意知：y甲＜y乙时，可以确定学生人数，选择甲旅行社更省钱．
【详解】试题解析：（1）由题意得：=2000+1000×0.7x=700x+2000，=2000×0.8+1000×0.8x =800x+1600；
（2）当＜时，即：700x+2000＜800x+1600
解得：x＞4 ，
当＞时，即：700x+2000＞800x+1600
解得：x＜4 ，
当＝时，即：700x+2000＝800x+1600
解得：x＝4 ，
答：当学生人数超过4人时，选择甲旅行社更省钱，当学生人数少于4人时，选择乙旅行社更省钱，学生人数等于4人时，选择甲、乙旅行社一样．
考点: 一次函数的应用.
23．（1）x＜2；（2）P（2，3），．
【分析】（1）观察函数图象可得到当x＜2时，直线在直线的下方，则；
（2）先P（2，m）代入可求出m得到P点坐标，然后利用待定系数法求直线的解析式．
【详解】（1）观察函数图象可得，当x＜2时，；
（2）把P（2，m）代入得m=2+1=3，则P（2，3），
把P（2，3）和（0，﹣2）分别代入得：，解得：，所以直线的解析式为：．
考点：两条直线相交或平行问题．
24．(1)，
(2)点的坐标为或
【分析】（1）由一次函数，分别令，，求出对应的、，即可得出答案；
（2）由的面积为10，求出，由（1）点的坐标则可求出点的坐标．
【详解】（1）解：在中，
令，得，
，
令，得，
解得，
，
故答案为：，；
（2）解：，点点都在轴上，
，
，
，
，
，
点的坐标为或．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，三角形的面积，求得交点的坐标是解题的关键．
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