21.5一次函数与二元一次方程的关系巩固强化练习（含解析）

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21.5一次函数与二元一次方程的关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若直线与的交点在第一象限，则b的值可以是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
2．将直线y＝2x+2向上平移4个单位长度后，直线与坐标轴围成的三角形的面积增加了（　　）
A．9 B．2 C．14 D．8
3．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．随的增大而增大
B．
C．当时，
D．关于的方程组的解为
4．如图，已知一次函数和的图象交于点，则二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知，，且满足，点在线段上，m、n满足，点D在y轴负半轴上，连接交x轴的负半轴于点E，且，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象交于点．若动点在射线上运动，当的面积是面积的时，点的坐标为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
7．下列关于一次函数的图象性质的说法中，不正确的是（ ）
A．直线与y轴交点的坐标是 B．与坐标轴围成的三角形面积为
C．直线经过第一、二、四象限 D．若点，在直线上，则
8．在直角坐标系中A（2，0）、B（－3，－4）、O（0，0），则△AOB的面积（ ）
A．4 B．6 C．8 D．3
9．关于一次函数与，下列说法：
①两函数的图象关于轴对称；
②两函数的图象和轴围成的三角形的面积为24；
③函数（是常数，且）的图象一定过点．
其中正确的个数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
10．直线y=2﹣x与y=﹣x+的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．重合 D．不确定
11．下列哪个方程组的解组成的有序数对是一次函数y＝2－x和y＝3x＋2的图象的交点坐标（ ）
A． B．
C． D．
12．在平面直角坐标系中，一次函数和图象交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，直线y＝ax＋b与直线y＝cx＋d相交于点(2，1)，则关于x的一元一次方程ax＋b＝cx＋d的解为 ．
14．如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(a，2)，则关于x的方程组的解为________．
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=－2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，过点B的直线BC：y=kx+b交x轴于点C（－8，0）．
（1）k的值为 ；
（2）点M为直线BC上一点，若∠MAB=∠ABO，则点M的坐标是 ．
16．把直线沿y轴向上平移m个单位后，与直线的交点在第二象限，则m的取值范围是 ．
17．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随x的增大而增大；②；③当时，；④关于x，y的方程组的解为，⑤，正确的有 ．（填序号）
三、解答题
18．如图，平面直角坐标系中，直线与直线交于点．
(1)求，的值；
(2)关于、的二元一次方程组的解为___________；
(3)当时，的取值范围是___________．
19．【活动回顾】：
七年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．发现：以方程的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数的图象相同，是同一条直线；结论：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线．

示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线．
（1）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）；
（2）观察图象，上述两条直线的交点坐标为________，由此得出这个二元一次方程组的解是________；
【拓展延伸】：
（3）已知二元一次方程的图象经过两点和，试求的值．
（4）在同一平面直角坐标系中，一次函数图象和一次函数的图象，如图3所示．请根据图象，判断方程组的解的情况，并说明理由．
20．如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b）．
（1）求b的值；
（2）不解关于x、y的方程组，请你直接写出它的解；
（3）直线l3：y＝nx+m是否也经过点P？请说明理由．
21．如图，直线：与直线：相交于点.
（1）求关于，的方程组的解；
（2）已知直线经过第一、二、四象限，则当______时，.
22．如图，已知函数y=–2x+3与y=–x+m的图像交于点P(n，–2)且分别与y轴交于点A，点B．
(1)求出m、n的值；
(2)直接写出不等式–x+m ＞–2x+3；
(3)求出ABP的面积．
23．如图，函数与的图象交于点．
(1)求出，的值．
(2)直接写出的解集．
(3)求出的面积．
24．已知一次函数的图象过点A（3，0），B（—1，2），
（1）求直线AB的解析式；
（2）在给出的直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象写出方程组的解．
《21.5一次函数与二元一次方程的关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D D A C C D A B A
题号 11 12
答案 B D
1．A
【分析】如图，画函数与的图象如下：对于，令 则 求解 当过E时，则 此时交点在y轴上，再往上平移，两条直线的交点落在第一象限，从而可得答案．
【详解】解：如图，画函数与的图象如下：
对于，令 则
∴
当过E时，则
此时交点在y轴上，再往上平移，两条直线的交点落在第一象限，
即此时
∴符合题意，
故选A
【点睛】本题考查的是一次函数的交点位置的问题，利用函数图象判断交点位置是解本题的关键．
2．D
【分析】求得平移前后直线与坐标轴围成的三角形的面积，即可求得结论．
【详解】解：在y＝2x+2中，令x＝0，则y＝2；令y＝0，则x＝﹣1，
∵直线y＝2x+2与y轴的交点为（0，2），与x轴的交点为（﹣1，0），
∴直线与坐标轴围成的三角形的面积为：＝1，
将直线y＝2x+2向上平移4个单位长度后得到直线y＝2x+6，
令x＝0，则y＝6；令y＝0，则x＝﹣3，
∵直线y＝2x+2与y轴的交点为（0，6），与x轴的交点为（﹣3，0），
直线与坐标轴围成的三角形的面积为：＝9，
∵9﹣1＝8，
∴将直线y＝2x+2向上平移4个单位长度后，直线与坐标轴围成的三角形的面积增加了8，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图像与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，根据平移的规律“左加右减，上加下减”得到平移后的直线解析式是解题的关键．
3．D
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．根据一次函数的图象即可判断选项A错误；根据一次函数与轴的交点位于一次函数与轴的交点的上方即可判断选项B错误；根据函数图象可得当时，一次函数的图象位于一次函数的图象的下方，由此即可判断选项C错误；根据两个一次函数的交点坐标即可判断选项D正确．
【详解】解：A、由函数图象可知，随的增大而减小，则此项错误，不符合题意；
B、由函数图象可知，一次函数与轴的交点位于一次函数与轴的交点的上方，所以，此项错误，不符合题意；
C、由函数图象可知，当时，一次函数的图象位于一次函数的图象的下方，所以，此项错误，不符合题意；
D、由函数图象可知，两个一次函数的交点坐标为，所以关于的方程组，即方程组的解为，此项正确，符合题意；
故选：D．
4．A
【分析】由一次函数和的图象交于点的坐标是： 可得二元一次方程组的解，从而可得答案．
【详解】解：由函数图像可得：
一次函数和的图象交于点的坐标是：
所以二元一次方程组的解是，
故选：
【点睛】本题考查的是一次函数与二元一次方程组的关系，掌握利用函数图像解二元一次方程组是解题的关键．
5．C
【分析】根据非负数的性质可求A、B点的坐标，结合图形由，可得，
，再根据三角形的面积公式列出方程求解.
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，，
如图,由，
∴，
∵，
连接 ，作 轴于M，轴于F，
∵，
∴，即，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴点D的坐标为；
故选：C.
【点睛】本题考查三角形的面积、非负数的性质(完全平方数和平方根)以及坐标与图形性质，解题的关键是将图形中的线段的长度与点的坐标联系起来，充分利用数形结合表示三角形的面积.
6．C
【分析】先求出点A的坐标，再求出直线的解析式，再求出点B的坐标，得到，设点，由，解得或，即可求得点M的坐标．
【详解】解：∵函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴，
∵函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴直线的解析式是，
当时，，
∴，，
当的面积是面积的时，
即，
∵点M在直线在射线上运动，
∴可设点，
∴，
解得或，
当时，，
当时，，
∴点M的坐标是或，
故选：C
【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式、直线与坐标轴围成的三角形的面积等知识，熟练掌握直线与坐标轴围成的三角形的面积是是解题的关键．
7．D
【分析】利用一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征判断即可．
【详解】解：A、∵当x=0时，y=2， ∴直线与y轴交点的坐标是（0，2），正确，故此选项不符合题意；
B、∵当y=0时，-x+2=0，解得：x=2，∴直线与x轴交点的坐标是（2，0），∴直线与坐标轴围成的三角形面积=×2×2=2．正确，故此选项不符合题意；
C、∵k=-1＜0，b=2＞0，∴直线经过第一、二、四象限；正确，故此选项不符合题意；
D、∵k=-1＜0，∴y随x的增大而减小，∵点A（-1，a），B（1，b）在直线上，∵-1<1，∴a＞b，故a故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数图象和性质是解题的关键．
8．A
【详解】由三个点的坐标可得，△AOB的边OA=2，高为0-（-4）=4，据此求三角形的面积即可．解：△AOB的面积=×2×4=4．
故选A．
“点睛”解决本题的关键是得到三角形相应的底边长度和高．当一边在坐标轴时，通常选用坐标轴上的边为三角形的底边．
9．B
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，两个一次函数的交点问题，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质．
本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握函数与方程间的关系是解题的关键．
首先画出两个一次函数的图象，然后根据图象即可判断①；然后利用三角形面积公式即可判断②；首先得到，然后将代入求解即可判断③．
【详解】一次函数与的图象如图所示，
由图象可得，两函数的图象关于轴对称，故①正确；
的面积，故②错误；
函数
当时，
∴函数（是常数，且）的图象一定过点，故③正确．
综上所述，其中正确的个数是2个．
故选：B．
10．A
【分析】在直角坐标系中画出两函数即可求解.
【详解】解：由图形可知两直线平行．
故选A．
【点睛】此题主要考查函数的位置关系，解题的关键是熟知函数的画法.
11．B
【解析】略
12．D
【分析】联立两个函数解析式，组成方程组求解即可．
【详解】由题意得
解得
则交点坐标为(2，3)
故选D．
【点睛】本题考查了两直线相交的问题，两直线的交点坐标即为两条直线对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解，掌握上述知识点是解答本题的关键．
13．x＝2
【详解】观察图象，∵直线y＝ax＋b与直线y＝cx＋d相交于点(2，1)，
∴关于x的一元一次方程ax＋b＝cx＋d的解为直线y＝ax＋b与直线y＝cx＋d交点的横坐标，
即x＝2，
故答案为：x=2.
14．
【详解】把(a，2)代入y＝x＋1，得a＋1＝2，所以a＝1，所以点P的坐标为(1，2)，由题图得方程组的解为
15． （－2，3），（2，5）
【分析】（1）由y=－2x+4求得点的坐标，根据的坐标待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意画出图形，分在点左边与右边两种情况分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：∵一次函数y=－2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，
令，得，则，令，得，则，
将，代入y=kx+b，
得，
解得，
∴直线得到解析式为，
故答案为：；
（2）∵，，，
∴，
∴，
∴，
如图，∠MAB=∠ABO，点M为直线BC上
①当在点右侧时，
∵∠MAB=∠ABO，点M为直线BC上
,
所以的横坐标为2，代入，得，
所以，
②当在点左侧时，如果，设交轴于点，
∵∠MAB=∠ABO，
∴，
设，所以，
在中，，
∴，
解得，
∴，
设解析式为，
，
解得，
∴的解析式为，
联立解析式得，
解得：，
∴，
综上，，，
故答案为：或
【点睛】本题考查了一次函数综合问题，求一次函数解析式，等角对等边，勾股定理及其逆定理，待定系数法求解析式是解题的关键．
16．
【分析】先求得平移后的解析式，联立两直线解析式求得交点坐标，根据第二象限点的坐标特征列出一元一次不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：把直线沿y轴向上平移m个单位后得到，
，
解得，
∵交点在第二象限，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的平移，求两直线交点的坐标，第二象限点的坐标特征，解一元一次不等式，理解题意求得交点坐标是解题的关键．
17．
【分析】根据一次函数的图象即可判断结论①；根据一次函数与轴的交点在一次函数的图象与轴的交点的下方即可判断结论②；由函数图象可知，当时，一次函数的图象位于一次函数的图象的下方，据此即可判断结论③；根据两个一次函数的交点坐标即可判断结论④；将两个一次函数的交点坐标代入函数解析式，即可判断结论⑤；综上，即可得出所有正确的结论．
【详解】解：由一次函数的图象可知，随的增大而增大，故结论①正确；
∵一次函数与轴的交点在一次函数的图象与轴的交点的下方，
∴，故结论②正确；
由函数图象可知，当时，一次函数的图象位于一次函数的图象的下方，
∴此时，故结论③错误；
由函数图象可知，两个一次函数的交点坐标为，
∴关于，的方程组，即方程组的解为，故结论④正确；
将点代入两个一次函数的解析式，得：，
∴，故结论⑤正确；
综上，正确的结论有：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了判断一次函数的增减性，一次函数的图象，比较一次函数值的大小，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
18．(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查一次函数的解析式，一次函数和二元一次方程组，以及不等式，利用数形结合的思想是解题的关键．
（1）把先代入求出m，再代入求出a即可；
（2）根据图像可知交点坐标即为二元一次方程组的解；
（3）根据图象写出的解集即可．
【详解】（1）解：把代入得，
把代入得：，
解得；
（2）解：由图像可知二元一次方程组的解为．
故答案为：；
（3）解：∵，
∴，
故答案为：．
19．（1）见解析（2）（3，2），（3）4（4）无解，见解析
【分析】（1）首先写出每个二元一次方程的两组解，x为横坐标，y为纵坐标，两点确定一条直线，画出图像即可；
（2）由图可知交点坐标，而交点横坐标即为方程组解中x的值，交点纵坐标即为方程组解中y的值；
（3）将两点的坐标代入方程，列出关于a，b的二元一次方程组，即可求出a，b的值；
（4）①将方程组的两个二元一次方程转化为两个一次函数，而这两个一次函数的k相等，所以两直线平行；②两直线没有交点，故方程组无解．
【详解】（1）对于的图像，任取两组解：，
即可根据画出的图像；
对于的图像，任取两组解：，
即可根据画出的图像，图象如图所示：

（2）根据图象可知，两直线的交点坐标为
∴二元一次方程组的解为，
故答案为：，；
（3）将点和点代入二元一次方程，
得，
解方程组，得，
∴；
（4）∵与的k值相等，
∴两直线平行，没有交点，
∴方程组的无解．
方程组无解．
【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程（组），方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标，解题关键是掌握两个一次函数求交点与二元一次方程组的关系．
20．（1）；（2）；（3）经过点，理由见解析．
【分析】（1）直接把P（1，b）代入y＝x+1可求出b的值；
（2）利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解；
（3）根据一次函数图象上点的坐标特征进行判断．
【详解】解：（1）把P（1，b）代入y＝x+1得b＝1+1＝2；
（2）由（1）得P（1，2），
所以方程组的解为；
（3）直线l3：y＝nx+m经过点P．理由如下：
因为y＝mx+n经过点P（1，2），
所以m+n＝2，
所以直线y＝nx+m也经过P点．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），涉及待定系数法解一次函数解析式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
21．（1）， （2）
【分析】（1）方程组的解即为两条直线的交点P的坐标，将x＝1，代入直线l1求出P点坐标即可；
（2）不等式x＋1＞mx＋n的解集即直线l1在直线l2的上方时x的取值范围.
【详解】解：（1）由题意可得，关于x，y的方程组的解即为两条直线的交点P的坐标，
当x＝1时，代入直线l1，求得y＝2，即P（1，2）
即方程组的解为；
（2）由题意可知，x＋1＞mx＋n时，直线l1在直线l2的上方，
由函数图象可得，此时x＞1，
故答案为x＞1.
【点睛】本题主要考查一次函数与二元一次方程组及一元一次不等式的关系，熟悉一次函数的图象并熟练应用数形结合的思想是解答本题的关键
22．(1)n=，m=-
(2)x＞
(3)
【分析】（1）将点P（n，-2）代入y=–2x+3求得的坐标，进而代入y=–x+m即可求解；
（2）根据函数图象与交点的横坐标即可求解；
（3）分别求得y=-2x+3，y=-x-与轴的交点，得到A，B的坐标，进而得出AB的值，根据面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵y=-2x+3过P（n，-2）
∴-2=-2n+3，
解得：n=，
∴P() ，
∵y=-x+m的图像过P() ，
∴-2=-×+m，
解得：m=-，
（2） P()，根据函数图象可得，
不等式-x+m＞-2x+3的解集为x＞；
（3）∵当y=-2x+3中，x=0时，y=3
∴A(0，3)
∵y=-x-中，x=0时，y=-，
∴B(0， -)．
∴AB=3，
∴△ABP的面积：AB×=××=
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，根据两直线交点求不等式的解集，求两直线围成的三角形面积，掌握一次函数的性质是解题的关键．
23．(1)，；
(2)；
(3)的面积为．
【分析】（1）将代入，求解n的值，再代入，求解m的值即可；
（2）根据图象求解即可；
（3）求得A、B的坐标，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：将代入得，，
解得，
将代入得，，
解得，
∴m，n的值分别为，；
（2）解：∵，
∴由图象知，不等式的解集为；
（3）解：令，则，，
∴，，
∴，
∴的面积为．
【点睛】本题考查了一次函数解析式，两直线交点求不等式解集．解题的关键在于熟练掌握一次函数的图象与性质．体会数形结合的思想．
24．（1）（2）
【详解】试题分析：（1）点A（3，0），B（—1，2）代入，然后解方程组即可；（2）方程组的解即为两直线的交点坐标，画出函数的图象即可得出结论．
试题解析：（1）由得
解之得
∴
（2）函数图象如图：
观察图象可得方程组的解是
考点：1．一次函数的解析式2．函数的图象与方程组的关系．
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