【攻克压轴大题】2025年中考数学压轴题精选：反比例函数

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【攻克压轴大题】2025年中考数学压轴题精选：反比例函数
1．（2025 姑苏区校级二模）一次函数与x轴交于C点，与y轴交于B点，点A（2，a）在直线BC上，过点A作反比例函数的图象．
（1）求出a，k的值；
（2）在x轴上是否存在点D，使得∠BOA＝∠OAD，若不存在，请说明理由；若存在，求出点D的坐标．
2．（2025 锦江区校级模拟）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象相交于点A（3，4）、B（6，m）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点C为线段AB上一点，且，连接AO、CO，求S△AOC；
（3）如果一个矩形的长宽之比为2：1，我们把该矩形称为“倍边矩形”．请探究，在平面内是否存在P、Q两点（点P在直线AB上方），使得四边形APBQ为倍边矩形，若存在，请求P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2025 天桥区三模）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A（2，3），B（6，n）两点，与x轴相交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）点P是y轴上一动点，连接AP，BP，当△ABP面积为10时，请求出点P的坐标；
（3）将线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到线段BD，连接CD，在反比例函数上，是否存在一点Q，使得∠CDB+∠QCO＝90°？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2025 沁阳市二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝ax+3的图象与反比例函数的图象交于点A，B，与x轴、y轴分别交于点C（﹣6，0）、D，点E在第一象限，点F是x轴正半轴上一点，菱形CDEF的边DE与反比例函数的图象交于点G，且．
（1）利用无刻度的直尺，在反比例函数的图象上作出点Q，使S△OCB＝S△OCQ（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）求a的值和反比例函数的表达式；
（3）将菱形CDEF向下平移，当点C落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为　 　 ．
5．（2025 广东模拟）在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形ABCD对角线的两个端点，则定义该函数为矩形ABCD 的“友好函数”．例如：如图1，矩形ABCD，经过点A（﹣1，1）和点C（3，3）的一次函数y是矩形ABCD的“友好函数”．
（1）如图2，矩形ABCD的顶点坐标分别为A（2，1），B（6，1），C（6，3），D（2，3），反比例函数y（x＞0）经过点B，求反比例函数y（x＞0）的函数表达式，并判断该函数是否为矩形ABCD的“友好函数”；
（2）矩形ABCD在第一象限，AB∥x轴，AD∥y轴，且点A的坐标为（1，2），正比例函数y1＝ax经过点A，且是矩形ABCD的“友好函数”，反比例函数y2（x＞0）经过点B，且是矩形ABCD的“友好函数”．
①如图3，当OC＞OA时，将矩形ABCD沿AC折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值；
②设矩形ABCD的周长为y，求y关于k的函数表达式；
③在②的条件下，当矩形ABCD的周长y＝4时，设矩形ABCD的面积为S1；当矩形ABCD的周长y＝8时，设矩形ABCD的面积为S2，请直接写出S2﹣S1的值．
6．（2025春 阳城县期中）综合与探究
如图1，反比例函数的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（1，m），B（6，n）．
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式．
（2）若P是y轴上一动点，连结PA，PB，当PA+PB的值最小时，求点P的坐标．
（3）如图2，已知直线AB与y轴交于点C，与x轴交于点D，连结AO，BO，Q是直线AB上的第一象限内的一点，点Q的横坐标为a，过点Q作QE⊥x轴于点E，连结QO，若S△OEQ，求a2﹣7a﹣3的值．
7．（2025 商丘模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点O为坐标原点，顶点A、C在反比例函数的图象上，且点A的纵坐标为，点C的纵坐标为，点B的坐标为（a，a）．
（1）利用无刻度的直尺，在反比例函数的图象上作出点D，使（不用写作法，保留作图痕迹）
（2）求k的值；
（3）直接写出a的值．
8．（2025 榕城区二模）已知反比例函数的图象与正比例函数y＝x的图象交于点A（2，a），点P在线段OA的延长线上．
（1）如图1，过点P作y轴的平行线l，l与的图象交于点B，与x轴交于点C，当线段时，求反比例函数的表达式和点B的坐标；
（2）在（1）的条件下，如图2，连接AB并延长，与x轴交于点D，点Q为x轴上一点，且满足∠AQO＝∠ADO+∠OPC，求点Q的坐标．
9．（2025 翠屏区二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数y＝kx+b相交于点A（a，1）和点B（1，4），AO的延长线交反比例函数的图象于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）点D是线段AB上一点．连结CD，交反比例函数在第一象限的图象于点E，连结OE、AE．当的值最小时，求的值．
10．（2025 莱芜区三模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx﹣2的图象与反比例函数的图象交于点A（1，﹣4），B（﹣2，n）两点．
（1）求反比例函数的关系式和一次函数的关系式；
（2）如图1，点C是第二象限内反比例函数图象上一点，且点C位于点B右侧，若△ABC的面积为6，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，点M是坐标轴上的点，点N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形BCMN是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2025春 梁溪区校级月考）在图中，A，B两点在反比例函数的图象上，AB过点O，△ABC是等边三角形，请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）图1中，作AE⊥BC，垂足为点E；
（2）图2中，点D为AC的中点，在x轴上作出点F，使四边形ADBF为矩形；
（3）图3中，在第二象限内作出点G，使四边形ACBG为菱形．
12．（2025春 宜宾期中）如图，一次函数y＝kx﹣4k（k≠0）的图象与反比例函数1≠0）的图象交于点C，与x轴交于点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为B，连接OC，AB．已知四边形ABCO是平行四边形，且其面积是12．
（1）求点A的坐标及m和k的值；
（2）若两函数图象另一个交点坐标D的纵坐标为，请结合图象，直接写出不等式的解集；
（3）若直线y＝x+t与 ABCO有交点时，求t的取值范围．
13．（2025春 玄武区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的顶点C在y轴上，B在x轴上，把矩形ABOC沿对角线BC所在的直线翻折，点A恰好落在反比例函数的图象上点D处，BD与y轴交于点E，延长CD交x轴于点F，点D刚好是CF的中点．已知B的坐标为（﹣2，0）．
（1）求∠DBF的度数；
（2）求反比例函数的函数表达式；
（3）若Q是反比例函数图象上的一点，P点在x轴上，若以P，Q，B，E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出P点的坐标 　 　 ．
14．（2025春 常熟市月考）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点A，B，点A的横坐标为﹣4，点B的横坐标为2．
（1）求k和b的值；
（2）若点C在反比例函数第一象限内的图象上，直线OC与直线AB交于点M，且BM＝4AM，求点C的坐标；
（3）是否存在点C在反比例函数第一象限内的图象上，点D是平面直角坐标系内的一点，使得以点A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，若存在，直接写出C的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2025 山东模拟）如图①，点A的坐标为（3，0），把点A先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，可以平移到点D的位置．
（1）①请直接写出点D的坐标为（ 　 　 ，　 　 ）；
②若反比例函数y（x＞0）的图象与线段AD有且只有一个交点时，请确定k的取值范围并说明理由；
（2）如图②，当k＝12时，以AD为一边的平行四边形ABCD的另外两个顶点B与C均在反比例函数y（x＞0）的图象上．请求出△ABC的面积．
【攻克压轴大题】2025年中考数学压轴题精选：反比例函数
参考答案与试题解析
一．解答题（共15小题）
1．（2025 姑苏区校级二模）一次函数与x轴交于C点，与y轴交于B点，点A（2，a）在直线BC上，过点A作反比例函数的图象．
（1）求出a，k的值；
（2）在x轴上是否存在点D，使得∠BOA＝∠OAD，若不存在，请说明理由；若存在，求出点D的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（2，a）在直线BC：yx+2上，
∴a2+2＝3，
∴A（2，3），
∵反比例函数y经过点A（2，3），
∴3，
解得：k＝6；
（2）在x轴上存在点D，使得∠BOA＝∠OAD．
当点D在x轴正半轴上时，如图，过点A作AD1∥y轴交x轴于点D1，
则∠BOA＝∠OAD1，
此时点D1（2，0）；
当点D2在x轴负半轴上时，如图，设AD2与y轴交于点E（0，n），
∵∠BOA＝∠OAD2，
∴AE＝OE，
∴（2﹣0）2+（3﹣n）2＝n2，
解得：n，
∴E（0，），
设直线AE的解析式为y＝sx+t，
则，
解得，
∴直线AE的解析式为yx，
令y＝0，得x0，
解得：x，
∴D2（，0）；
综上所述，点D的坐标为（2，0）或（，0）．
2．（2025 锦江区校级模拟）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象相交于点A（3，4）、B（6，m）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点C为线段AB上一点，且，连接AO、CO，求S△AOC；
（3）如果一个矩形的长宽之比为2：1，我们把该矩形称为“倍边矩形”．请探究，在平面内是否存在P、Q两点（点P在直线AB上方），使得四边形APBQ为倍边矩形，若存在，请求P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得：n＝3×4＝12，
则反比例函数的表达式为：y，
将点B的坐标代入上式得：m2，
即点B（6，2），
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：yx+6；
（2）连接OA、OB，
由一次函数的表达式知，点E（9，0），
则S△AOB＝S△OEA﹣S△OEBOE×（yA﹣yB）9×（4﹣2）＝9，
∵，
则S△AOCS△AOB＝3；
（3）存在，理由：
由题意得，∠APB＝90°，AP：BP＝2，
过点P作x轴的平行线分别交过点A、B和y轴的平行线于点M、N，
则△AMP和△PNB的相似比为1：2或2：1，
当△AMP和△PNB的相似比为1：2时，
设PN＝m，BN＝n，
则AMm，MPn，
则MNn+m＝xB﹣xA＝3且BN﹣AMm＝yA﹣yB＝2，
解得：m，n，
则点P（，），
由中点坐标公式得：点Q（，）；
即P（，）、点（，）；
当△AMP和△PNB的相似比为2：1时，
同理可得：2m+n＝2且2n﹣m＝3，
解得：m，n，
则P（，）、点Q（，）．
综上，P（，）、点Q（，）或P（，）Q（，）．
3．（2025 天桥区三模）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A（2，3），B（6，n）两点，与x轴相交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）点P是y轴上一动点，连接AP，BP，当△ABP面积为10时，请求出点P的坐标；
（3）将线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到线段BD，连接CD，在反比例函数上，是否存在一点Q，使得∠CDB+∠QCO＝90°？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵反比例函数经过点A（2，3），
∴3，
∴m＝2×3＝6，
∴反比例函数的解析式为y．
将点B（6，n）代入y得，n1，
∴B（6，1），
把A（2，3）和B（6，1）分别代入y＝kx+b，得，
解得
∴一次函数的解析式为yx+4；
（2）设直线交y轴于点G，如图，
令x＝0 得，y＝4，
则G（0，4），
设P（0，y），则 PG＝|y﹣4|，
∵S△ABPPG （xB﹣xA）＝10，
∴|y﹣4|×（6﹣2）＝10，
解得：y＝﹣1 或9，
∴点P的坐标为（0，﹣1）或（0，9）；
（3）存在，如图2，设CQ交y轴于点M，
∵直线AB与x轴交于点C，
∴y＝﹣x+4＝0，
解得 x＝8，
∴C（8，0），
∵A（2，3），B（6，1），
∴BC，AB2，
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到线段BD，
∴BD＝AB＝2，∠ABD＝∠CBD＝90°，
∵∠COM＝90°，
∴∠CBD＝∠COM，
∴∠CDB+∠DCB＝90°，∠CDB+∠QCO＝90°，
∴∠DCB＝∠QCO，
∴△CMO∽△CDB，
∴，
∴，
∴OM＝16，
∴M（0，16），
∴直线CQ的解析式为 y＝﹣2x+16，
∴，
解得：，．
∴点Q的坐标为（4，8+2）或（4，8﹣2）．
4．（2025 沁阳市二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝ax+3的图象与反比例函数的图象交于点A，B，与x轴、y轴分别交于点C（﹣6，0）、D，点E在第一象限，点F是x轴正半轴上一点，菱形CDEF的边DE与反比例函数的图象交于点G，且．
（1）利用无刻度的直尺，在反比例函数的图象上作出点Q，使S△OCB＝S△OCQ（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）求a的值和反比例函数的表达式；
（3）将菱形CDEF向下平移，当点C落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为　　 ．
【解答】解：（1）如图，点Q为所求解；
（2）∵点C（﹣6，0）在一次函数y＝ax+3 的图象上，
∴﹣6a+3＝0，
∴a，
∴一次函数的表达式为：y1x+3，
∵一次函数y1x+3与x轴、y轴分别交于点C（﹣6，0）、D，
∴D（0，3），
∴，
∵四边形OCDE是菱形，
∴，
∵DE∥x轴，，
∴DG＝2，点G的纵坐标为3，
∴点G（2，3），
∴，
∴反比例函数的表达式为y2；
（3）设平移的距离为h，
∵点C（﹣6，0），将菱形CDEF向下平移，
∴点C平移后的对应点的坐标为（﹣6，﹣h），
∵点C落在这个反比例函数的图象上，
∴﹣h，
∴h，
故答案为：．
5．（2025 广东模拟）在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形ABCD对角线的两个端点，则定义该函数为矩形ABCD 的“友好函数”．例如：如图1，矩形ABCD，经过点A（﹣1，1）和点C（3，3）的一次函数y是矩形ABCD的“友好函数”．
（1）如图2，矩形ABCD的顶点坐标分别为A（2，1），B（6，1），C（6，3），D（2，3），反比例函数y（x＞0）经过点B，求反比例函数y（x＞0）的函数表达式，并判断该函数是否为矩形ABCD的“友好函数”；
（2）矩形ABCD在第一象限，AB∥x轴，AD∥y轴，且点A的坐标为（1，2），正比例函数y1＝ax经过点A，且是矩形ABCD的“友好函数”，反比例函数y2（x＞0）经过点B，且是矩形ABCD的“友好函数”．
①如图3，当OC＞OA时，将矩形ABCD沿AC折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值；
②设矩形ABCD的周长为y，求y关于k的函数表达式；
③在②的条件下，当矩形ABCD的周长y＝4时，设矩形ABCD的面积为S1；当矩形ABCD的周长y＝8时，设矩形ABCD的面积为S2，请直接写出S2﹣S1的值．
【解答】解：（1）将点B的坐标代入反比例函数表达式得：k＝1×6＝6，
则反比例函数的表达式为：y，
当x＝2时，y＝3，即点D在反比例函数表达式上，
故该函数是否为矩形ABCD的“友好函数”；
（2）将点A的坐标代入正比例函数表达式得：2＝k，
则正比例函数表达式为：y＝2x，
∵正比例函数是矩形ABCD的“友好函数”，
即点C在直线y＝2x上，故设点C（m，2m），
①当OC＞OA时，
当点B、D的坐标分别为：（m，2）、（1，2m），
则AB＝m﹣1，BC＝2m﹣2；
∵将矩形ABCD沿AC折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，
则∠EAC＝∠BAC＝∠CAE，
即OE＝EC，
故OE＝EC＝BC，设点E（0，y），
则y2m﹣2，
解得：m，y，
即点E（0，），
则k＝2m；
②当OC＞OA时，
将点B（m，2）的坐标代入反比例函数表达式得：k＝2m，
∵AB＝m﹣1，BC＝2m﹣2；
则y＝2（AB+BC）＝6m﹣6＝3k﹣6；
当OC＜OA时，
此时，点A、B、C、D的坐标分别为：（1，2）、（1，2m）、（m，2m）、（m，2），
将点B（1，2m）的坐标代入反比例函数表达式得：k＝2m，
∵AB＝2﹣2m，BC＝1﹣m；
则y＝2（AB+BC）＝6﹣6m＝6﹣3k，
综上，y＝|6﹣3k|；
③当OC＞OA时，
当y＝4时，即3k﹣6＝4，
则k，则m，
则S1＝AB×BC＝（m﹣1）（2m﹣2）＝2（m﹣1）2；
当y＝8时，即3k﹣6＝8，
则k，则m，
则S2＝AB×BC＝（m﹣1）（2m﹣2）＝2（m﹣1）2；
则S2﹣S1；
当OC＜OA时，
当y＝4时，即6﹣3k＝4，
则k，则m，
则S1＝AB×BC＝（2﹣2m）（1﹣m）＝2（m﹣1）2；
当y＝8时，即6﹣3k＝8，
则k，不合题意，舍去；
综上，S2﹣S1．
6．（2025春 阳城县期中）综合与探究
如图1，反比例函数的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（1，m），B（6，n）．
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式．
（2）若P是y轴上一动点，连结PA，PB，当PA+PB的值最小时，求点P的坐标．
（3）如图2，已知直线AB与y轴交于点C，与x轴交于点D，连结AO，BO，Q是直线AB上的第一象限内的一点，点Q的横坐标为a，过点Q作QE⊥x轴于点E，连结QO，若S△OEQ，求a2﹣7a﹣3的值．
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（1，m），B（6，n）．
∴m6，n1，
∴点A（1，6），B（6，1），
把点A（1，6），B（6，1）代入y＝kx+b得，
∴，
∴一次函数y＝kx+b的表达式为y＝﹣x+7；
（2）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于P，
则此时，PA+PB的值最小，
∵A（1，6），
∴A′（﹣1，6），
∵设直线A′B的解析式为y＝mx+n，
∴，
∴，
∴直线A′B的解析式为yx，
当x＝0时，y，
∴P（0，）；
（3）如图，过A作AM⊥x轴于M，BN⊥x于n，
∵点A（1，6），B（6，1），
∴S△AOM＝S△OBN，AM＝ON＝6，OM＝BN＝1，
∴S△AOB＝S四边形AMNB，
S△AOB（6﹣1）（6+1），
设Q（a，﹣a+7），
∵QE⊥x轴于点E，
∴E（a，0），
∴S△OEQa（﹣a+7）（a2﹣7a），
∵S△OEQ，
∴（a2﹣7a）（6﹣1）（6+1）4，
∴a2﹣7a＝﹣8，
∴a2﹣7a﹣3＝﹣11．
7．（2025 商丘模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点O为坐标原点，顶点A、C在反比例函数的图象上，且点A的纵坐标为，点C的纵坐标为，点B的坐标为（a，a）．
（1）利用无刻度的直尺，在反比例函数的图象上作出点D，使（不用写作法，保留作图痕迹）
（2）求k的值；
（3）直接写出a的值．
【解答】解：（1）如图（1），点D即为所求；
理由如下：
根据反比例函数的图象，直线AD均是关于点O的中心对称图形，
∴点D，A关于点O对称，
∴OD＝OA，
∵四边形OABC为菱形，
∴OA∥BC，
∴；
（2）如图（2），过点C作CE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥y轴于点F，
则，
∵四边形OABC是菱形，
∴∠AOB＝∠COB，OA＝OC，
∵B（a，a），
∴点B在∠FOE的平分线上，
∴∠FOB＝∠EOB，
∴∠AOB﹣∠FOB＝∠COB﹣∠EOB，即∠AOF＝∠COE，
在△OAF和△OCE中，
，
∴△OAF≌△OCE（AAS），
∴
∴，
将代入，得：
3，
解得：k＝﹣9；
（3）．理由如下：
如图（2），连接AC交OB于点P，则PO＝PB，PA＝PC，
∵点A的纵坐标为，
∴，
由（2）可知，△OAF≌△OCE，
∴，
∴，
∴xA+xC＝2xP＝xO+xB，即，
∴．
8．（2025 榕城区二模）已知反比例函数的图象与正比例函数y＝x的图象交于点A（2，a），点P在线段OA的延长线上．
（1）如图1，过点P作y轴的平行线l，l与的图象交于点B，与x轴交于点C，当线段时，求反比例函数的表达式和点B的坐标；
（2）在（1）的条件下，如图2，连接AB并延长，与x轴交于点D，点Q为x轴上一点，且满足∠AQO＝∠ADO+∠OPC，求点Q的坐标．
【解答】解：（1）已知反比例函数的图象与正比例函数y＝x的图象交于点A（2，a），将点A的坐标代入y＝x得：a＝2，
∴A（2，2），
将点A的坐标代入反比例函数得：
2，
解得：k＝4，
∴反比例函数的解析式为；
设点B的坐标为，则P（m，m），C（m，0），
∴OC＝m，，
∵，
∴，
整理得：m2＝16，
∴m＝4或﹣4（不合题意，舍去），
∴点B的坐标为（4，1）；
（2）∵点P在直线y＝x图象上，PC∥y轴，由（1）可知P（4，4），
∴△POC是等腰直角三角形，
∴∠OPC＝45°，
∵∠AQO＝∠ADO+∠OPC，∠AQO＝∠ADO+∠QAD，
∴∠QAD＝∠OPC＝45°，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A，点B的坐标分别代入得：
，
解得，
∴直线AB的解析式为，
当y＝0时，x＝6，
∴D（6，0），
∴，
∵∠AOD＝∠QAD＝45°，∠ADQ＝∠ODA，
∴△ADQ∽△ODA，
∴，即，
∴，
∴，
∴点Q的坐标为．
9．（2025 翠屏区二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数y＝kx+b相交于点A（a，1）和点B（1，4），AO的延长线交反比例函数的图象于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）点D是线段AB上一点．连结CD，交反比例函数在第一象限的图象于点E，连结OE、AE．当的值最小时，求的值．
【解答】解：（1）把B（1，4）代入，
得，
∴m＝4，
∴反比例函数的解析式为，
把A（a，1）代入，
得，
∴a＝4，
∴A（4，1），
把 A（4，1），B（1，4）代入y＝nx+b得，
，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5；
（2）由函数图象可得，当0＜x＜1或x＞4时，反比例函数图象位于一次函数图象上方，
∴不等式的解集为0＜x＜1或x＞4；
（3）如图，过D，E分别作y轴的平行线，交过C与x轴的平行线交于K，H，EH，AO的交点为N，DK，AE的交点为Q，
∴EH∥DK，
∴，
∵AO的延长线交反比例函数的图象于点C，A（4，1），
∴C（﹣4，﹣1），
设直线CD为y＝k（x+4）﹣1＝kx+4k﹣1，
∴，
∴，
即kx2+（4k﹣1）x﹣4＝0，
∴，
解得，
同理，
解得，
∴
，
∵D在线段AB上，当D，B重合时，同理可得；
当D，A重合时，同理可得，
∴；
当最小，最小，
∵，
∴，
∴此时，
解得，舍去），
∴E（2，2），，
同理可得，直线OA为，
∴，
∴，
同理可得直线AE为，
∴，
∴，
∴．
10．（2025 莱芜区三模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx﹣2的图象与反比例函数的图象交于点A（1，﹣4），B（﹣2，n）两点．
（1）求反比例函数的关系式和一次函数的关系式；
（2）如图1，点C是第二象限内反比例函数图象上一点，且点C位于点B右侧，若△ABC的面积为6，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，点M是坐标轴上的点，点N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形BCMN是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把 A（1，﹣4）代入y＝kx﹣2 得，k＝﹣2，
∴一次函数的表达式为 y＝﹣2x﹣2，
把A（1，﹣4）代入得，m＝﹣4，
∴反比例函数的表达式为；
（2）过C点作CD⊥x轴，交AB于D点，
设，则D（t，﹣2t﹣2）
∴，
将B（﹣2，n）代入得 n＝2，
∴B（﹣2，2），
∵S△ABC＝6
∴S△BCD+S△ACD＝6，
∴，
∴，
∴t1＝﹣1，t2＝2（舍去），
∴C（﹣1，4）；
（3）存在，
理由：设直线BC的表达式为 y＝kx+b，将 B（﹣2，2），C（﹣1，4）代入上式，得，
解得，
∴y＝2x+6，
当四边形BCMN是矩形时，∠BCM＝90°，
∴kBC kCM＝﹣1，
∴kCM，
设直线CM的解析式为yx，
∴当x＝0时，y，
∴M（0，），
当y＝0时，x＝7，
∴M（7，0），
∵把C（﹣1，4）平移到B（﹣2，2），
∴同理N（﹣1，）或（6，﹣2）．
11．（2025春 梁溪区校级月考）在图中，A，B两点在反比例函数的图象上，AB过点O，△ABC是等边三角形，请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）图1中，作AE⊥BC，垂足为点E；
（2）图2中，点D为AC的中点，在x轴上作出点F，使四边形ADBF为矩形；
（3）图3中，在第二象限内作出点G，使四边形ACBG为菱形．
【解答】解：（1）如图：
连接OC、BD交于H，连接AH并延长交BC于E，点E即为所求；
（2）如图：
连接并延长BD交反比例函数y的图象于G，连接并延长GO交反比例函数y的图象于M，连接AM交x轴于F，则点F即为所求；
（3）如图：
与（2）一样方法得到点G，则CO和GF的延长线相交于点G，则四边形ACBG为菱形．
12．（2025春 宜宾期中）如图，一次函数y＝kx﹣4k（k≠0）的图象与反比例函数1≠0）的图象交于点C，与x轴交于点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为B，连接OC，AB．已知四边形ABCO是平行四边形，且其面积是12．
（1）求点A的坐标及m和k的值；
（2）若两函数图象另一个交点坐标D的纵坐标为，请结合图象，直接写出不等式的解集；
（3）若直线y＝x+t与 ABCO有交点时，求t的取值范围．
【解答】解：（1）令y＝0，则kx﹣4k＝0，
∴x＝4，
∴A（4，0），
∴OA＝4，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴BC＝OA＝4，
∵CB⊥y轴，
∴设C（﹣4，b），
∵平行四边形ABCO的面积是12，
∴4b＝12，
∴b＝3，
∴C（﹣4，3），m﹣1＝﹣4×3＝﹣12，
∴m＝﹣11，
∵点C在直线y＝kx﹣4k上，
∴3＝﹣4k﹣4k，
∴k，
即A（4，0），m＝﹣11，k；
（2）由（1）知，k，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+1①，
由（1）知，m＝﹣5，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣②，
联立①②解得，（点C的坐标）或，
∴一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标为（6，﹣1）；
由图可得，当﹣3＜x＜0或x＞6时，反比例函数 的图象在一次函数＝kx﹣3k（k≠0）的图象上方，
∴不等式的解集为：﹣3＜x＜0或x＞6；
（3）如图所示，当直线y＝x+t经过点C时，t 取最大值，当直线y＝x+t经过点A时，t取最小值，
将点C（﹣3，2）代入y＝x+t，得2＝﹣3+t，
解得t＝5；
将点A（3，0）代入y＝x+t，得0＝3+t，
解得t＝﹣3，
∴若直线y＝x+t与四边形ABCO有交点时，t的取值范围为﹣3＜t＜5．
13．（2025春 玄武区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的顶点C在y轴上，B在x轴上，把矩形ABOC沿对角线BC所在的直线翻折，点A恰好落在反比例函数的图象上点D处，BD与y轴交于点E，延长CD交x轴于点F，点D刚好是CF的中点．已知B的坐标为（﹣2，0）．
（1）求∠DBF的度数；
（2）求反比例函数的函数表达式；
（3）若Q是反比例函数图象上的一点，P点在x轴上，若以P，Q，B，E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出P点的坐标 　或或　 ．
【解答】解：（1）∵把矩形ABOC沿对角线BC所在的直线翻折，
∴∠ABC＝∠DBC，∠CDB＝∠A＝90°，
又∵D是CF中点，
∴BD垂直平分CF，
∴BF＝BC，∠DBC＝∠DBF，
∴∠ABC＝∠DBC＝∠DBF＝30°；
（2）由折叠∠ABC＝∠DBC＝30°，
∵AB∥OC，
∴∠OCB＝∠ABC，
∴∠EBC＝∠ECB＝30°，
∴BE＝CE，
∴OE＝DE，
∵B的坐标为（﹣2，0）．
∴OB＝2，又∠DBF＝30°，
∴，，
∴，
∴BH＝3，
∴，
∵点D在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式；
（3）如图2中，作EQ∥x轴交，
∵OB＝2，
∴，
∴，
∴以DQ为边构造平行四边形可得；
如图3，取E关于x的对称点E'（0，，作E′Q∥x轴，交，连接EQ，交x轴于M，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上，P点的坐标为或或，
故答案为：或或．
14．（2025春 常熟市月考）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点A，B，点A的横坐标为﹣4，点B的横坐标为2．
（1）求k和b的值；
（2）若点C在反比例函数第一象限内的图象上，直线OC与直线AB交于点M，且BM＝4AM，求点C的坐标；
（3）是否存在点C在反比例函数第一象限内的图象上，点D是平面直角坐标系内的一点，使得以点A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，若存在，直接写出C的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设点A的坐标为（﹣4，t），代入反比例函数的表达式得k＝﹣4t，
∴点B的坐标为 （2，﹣2t），
将点A，B的坐标分别代入得，
解得
∴k＝﹣4t＝12；
（2）解：由（1），得 A（﹣4，﹣3），B（2，6），
∴直线AB的函数表达式为，
∵直线OC与直线AB交于点M，
∴点M在直线AB上，
设，
①如图1，当点M在线段AB上时，分别过点A、B作x轴和y轴的平行线，交于一点N，过点M作MD⊥AN于点D，如图，
∴MD∥BN，AD＝m+4，AN＝6，
∴△AMD∽△ABN，
∵BM＝4AM，
∴，
∵△AMD∽△ABN，
∴，
解得，
∴点M的坐标为，
设直线CM的函数表达式为 y＝kx，
∴，
解得：，
∴直线CM的函数表达式为，
由得（负值舍去），
∴点C的坐标为；
②如图2，当点M在线段BA的延长线上时，
∵BM＝4AM，
∴，
同理①，得，
解得 m＝﹣6，
∴点M的坐标为 （﹣6，﹣6），
同理可得：直线CM的解析式为y＝x，
由得负值舍去），
∴点C的坐标为，
③由BM＝4AM，知 BM＞AM，则点M不在线段AB的延长线上，
综上所述，点C的坐标为或；
（3）解：设点C的坐标为，且n＞0，
①如图3，当AB为矩形的边时，过点B作x轴的平行线，
分别过点A，C作这条平行线的垂线，垂足分别为M，N，
∴∠AMB＝∠BNC＝∠ABC＝90°，
∴∠ABM+∠NBC＝∠ABM+∠MAB＝90°，
∴∠MAB＝∠NBC，
∴△ABM﹣△BCN，
∴；
即；
化简，得n2﹣11n+18＝0，
解得n1＝9，n2＝2（与点B重合，舍去），
∴点；
②如图4，当AB为矩形的对角线时，过点C作y轴的平行线，分别过点A，B作这条平行线的垂线，垂足分别为P，Q，
同理①可得：△APC﹣△CQB，
∴，
∴，
化简，得（n2+2n﹣8）（n2﹣18）＝0，
解得，（负值舍去），n3＝﹣4（负值舍去），n4＝2与点B重合，舍去；
∴点C的坐标为，
综上所述，点C的坐标为或．
15．（2025 山东模拟）如图①，点A的坐标为（3，0），把点A先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，可以平移到点D的位置．
（1）①请直接写出点D的坐标为（ 　1　 ，　3　 ）；
②若反比例函数y（x＞0）的图象与线段AD有且只有一个交点时，请确定k的取值范围并说明理由；
（2）如图②，当k＝12时，以AD为一边的平行四边形ABCD的另外两个顶点B与C均在反比例函数y（x＞0）的图象上．请求出△ABC的面积．
【解答】解：（1）①∵3﹣2＝1，0+3＝3，
∴D（1，3），
故答案为：1，3；
②如图1，
0＜k≤3，理由如下：
作DE⊥x轴，交反比例函数y（x＞0）的图象于E，
则xE＝1，0＜yE≤3，
∴k＝xy≤3，
∴0＜k≤3；
（2）如图2，
连接BD，
设B（x，），则C（x﹣2，），
∴（x﹣2） ，
∴x1＝4，x2＝﹣2（舍去），
∴B（4，3）C（2，6），
∵D（1，3），
∴BD∥x轴，
∴S△BCDBD （yC﹣yD），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ABC＝S△BCD．
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