【期末专项押题卷】解答题-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册（含解析）
文档属性
| 名称 | 【期末专项押题卷】解答题-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-13 11:06:25 | ||
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文档简介
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【期末专项押题卷】解答题-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
1．（2025春 河南期末）已知复数z1＝﹣1+2i，z2＝﹣2﹣6i．
（1）若，求|z|；
（2）在复平面内，复数z1z2对应的向量分别是，，其中O是坐标原点，求∠AOB的大小．
2．（2025春 贵州期末）已知复数z1＝1+i，z2＝a﹣2i（a∈R）．
（1）若z1z2是纯虚数，求a的值；
（2）若复数z1z2在复平面内所对应的点位于第四象限内，求a的取值范围．
3．（2025春 邢台校级期末）已知复数z＝m﹣i（m∈R），且为纯虚数（是z的共轭复数）．
（1）求实数m的值；
（2）设复数，求|z1|；
（3）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
4．（2025春 浙江期末）已知复数z＝1+mi（m∈R），且（3+i）为纯虚数．
（1）求实数m及|z|；
（2）若z是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，求2p+q的值．
5．（2025 湖南学业考试）如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图，并据此回答下列问题．
（1）月均用水量在[2，2.5）范围内的居民有多少人？
（2）请估计居民月均用水量的众数；
（3）请估计居民月均用水量大于等于2t的概率．
6．（2025春 辽宁期末）中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段．为了解中国AI大模型用户的年龄分布，A公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在[15，65]内），按照[15，25），[25，35），[35，45），[45，55），[55，65]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求m的值；
（2）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）；
（3）求这500名中国AI大模型用户的年龄在[45，65]内的人数．
7．（2025春 即墨区校级期末）某学校组织高一、高二年级学生进行了“数学与生活”的知识竞赛．从这两个年级各随机抽取了40名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图（如图）和高二年级成绩的频数分布表（如表）．
成绩分组 频数
[75，80） 2
[80，85） 6
[85，90） 16
[90，95） 14
[95，100] 2
（Ⅰ）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；
（Ⅱ）在抽取的学生中，从成绩为[95，100]的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率；
（Ⅲ）记高一年级知识竞赛成绩的中位数为a，试计算a的值．（四舍五入保留到小数点后两位小数）
8．（2025春 和平区校级期末）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．
（1）列出所有的可能结果；设取出的两个球上标号为相同数字为事件A，写出事件A包含的样本点集合，并求出事件A发生的概率P（A）；
（2）设取出的两个球上标号之积能被3整除为事件B，求事件B发生的概率P（B）．
9．（2025 上海）2024年东京奥运会，中国获得了男子4×100米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子4×100米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．
206.78 207.46 207.95 209.34 209.35
210.68 213.73 214.84 216.93 216.93
（1）求这组数据的极差与中位数；
（2）从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；
（3）若比赛成绩y关于年份x的回归方程为y＝﹣0.311x，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）．
10．（2025春 驻马店期末）已知一个古典概型试验中，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，且事件A和事件B的并集发生的概率为．
（1）求事件A和事件B同时发生的概率P（A∩B）．
（2）若事件C是事件A的对立事件，求事件C和事件B同时发生的概率P（C∩B）．
（3）若事件D是事件A和事件B的交集的对立事件，求事件D发生的概率P（D）．
11．（2025 重庆校级模拟）已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为．
（1）求角A的大小；
（2）D为BC边上一点，DA⊥BA，且BD＝3DC，求cosC．
12．（2025 武昌区校级模拟）已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且．
（1）求A；
（2）若a＝3，求△ABC周长的取值范围．
13．（2025 山西模拟）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
（1）证明：tanA＝2tanB；
（2）已知，求tanAtanBtanC取得最小值时tanB的值．
14．（2025春 墨玉县期末）某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上A，B两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点B50米的点C处建一凉亭，距离点B70米的点D处再建一凉亭，测得∠ACB＝∠ACD，cos∠ACB．
（1）求sin∠BDC的值；
（2）测得AC＝AD，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？
15．（2025春 和平区校级期末）已知向量满足．
（1）若，且，求的坐标；
（2）求；
（3）若向量与向量的夹角为锐角，求实数m的范围．
16．（2025春 青浦区校级期末）空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别在AB，BC，CD，AD上，且满足AE：EB＝CF：FB＝2：1，CG：GD＝AH：HD＝3：1．
（1）判断四边形EFGH的形状？并说明理由．
（2）求证：EH，FG，BD三线共点．
17．（2025春 和平区校级期末）如图所示的多面体中，已知菱形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，其中∠FAC为直角，∠ABC＝60°，EF∥AC，EF．
（1）求证：CE∥平面BDF；
（2）求证：CE⊥BD；
（3）求多面体ABCDEF的体积．
（此题不能利用空间建系方法）
18．（2025春 和平区校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠ADC＝120°，E，F分别为AB，PD的中点．已知，二面角E﹣FC﹣D的大小为60°．
（1）求PB和AD所成角的余弦值；
（2）求直线AC与平面EFC所成角的正弦值；
（3）求点B到面EFC的距离．
19．（2025春 信都区校级期末）一正三棱台木块ABC﹣A1B1C1如图所示，已知2AC＝3A1C1＝6，AA1＝2，点O在平面ABC内且为△ABC的重心．
（1）证明：BB1∥平面OA1C1；
（2）设平面OA1C1∩平面ABC＝l，试判断直线AC与l的位置关系，并给出证明；
（3）在棱台的底面A1B1C1上（包括边界）是否存在点M，使得直线OM∥平面ACC1A1？若存在，说明点M的轨迹，并进行证明；若不存在，说明理由．
20．（2025春 海安市校级期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在BC上，AD⊥DC1．
（1）证明：AD⊥平面BB1C1C；
（2）若，AB⊥AC，二面角C﹣AC1﹣D的大小为．
①求AC与平面ADC1所成角的大小；
②点E在侧面ABB1A1内，且三棱锥E﹣ADC1的体积为，求E的轨迹长度．
【期末专项押题卷】解答题-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
参考答案与试题解析
一．解答题（共20小题）
1．（2025春 河南期末）已知复数z1＝﹣1+2i，z2＝﹣2﹣6i．
（1）若，求|z|；
（2）在复平面内，复数z1z2对应的向量分别是，，其中O是坐标原点，求∠AOB的大小．
【解答】解：（1）复数z1＝﹣1+2i，z2＝﹣2﹣6i，
则，
故|z|；
（2）复数z1z2对应的向量分别是，，其中O是坐标原点，
则，
，，
因为∠AOB∈[0，π]，
所以cos∠AOB，
故∠AOB．
2．（2025春 贵州期末）已知复数z1＝1+i，z2＝a﹣2i（a∈R）．
（1）若z1z2是纯虚数，求a的值；
（2）若复数z1z2在复平面内所对应的点位于第四象限内，求a的取值范围．
【解答】解：（1）复数z1＝1+i，z2＝a﹣2i，
则．
因为z1z2是纯虚数，
所以，解得a＝﹣2；
（2）复数z1z2在复平面内所对应的点位于第四象限内，
则，解得﹣2＜a＜2，即a的取值范围为（﹣2，2）．
3．（2025春 邢台校级期末）已知复数z＝m﹣i（m∈R），且为纯虚数（是z的共轭复数）．
（1）求实数m的值；
（2）设复数，求|z1|；
（3）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）因为z＝m﹣i，则，
所以，又为纯虚数，
所以m＝3；
（2），
所以；
（3）因为i2025＝i506×4+1＝i，
所以，
因为复数在复平面内对应的点在第一象限，则，
解得，所以实数a的取值范围为．
4．（2025春 浙江期末）已知复数z＝1+mi（m∈R），且（3+i）为纯虚数．
（1）求实数m及|z|；
（2）若z是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，求2p+q的值．
【解答】解：（1）复数z＝1+mi（m∈R），
则，
则
因是纯虚数，
则，得m＝﹣3，
则z＝1﹣3i，得．
（2）由题意可知，（1﹣3i）2+p（1﹣3i）+q＝0，
则﹣8+p+q+（﹣6﹣3p）i＝0，
则﹣8+p+q＝0且﹣6﹣3p＝0，
得p＝﹣2，q＝10，故2p+q＝6．
5．（2025 湖南学业考试）如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图，并据此回答下列问题．
（1）月均用水量在[2，2.5）范围内的居民有多少人？
（2）请估计居民月均用水量的众数；
（3）请估计居民月均用水量大于等于2t的概率．
【解答】解：（1）根据题意可得所求人数为100×（2.5﹣2）×0.5＝25（人）；
（2）估计居民月均用水量的众数为；
（3）由频率分布直方图可知，居民月均用水量大于等于2t的概率为：
（0.5+0.28+0.12）×0.5＝0.45．
6．（2025春 辽宁期末）中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段．为了解中国AI大模型用户的年龄分布，A公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在[15，65]内），按照[15，25），[25，35），[35，45），[45，55），[55，65]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求m的值；
（2）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）；
（3）求这500名中国AI大模型用户的年龄在[45，65]内的人数．
【解答】解：（1）由频率分布直方图得：
（0.01+0.03+0.04+m+0.005）×10＝1，
解得m＝0.015．
（2）由频率分布直方图得：
（20×0.01+30×0.03+40×0.04+50×0.015+60×0.005）×10＝37.5，
∴估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）为37.5岁；
（3）由频率分布直方图可知中国AI大模型用户的年龄在[45，65]内的频率为：
0.15+0.05＝0.2，
则这500名中国AI大模型用户的年龄在[45，65]内的人数为500×0.2＝100．
7．（2025春 即墨区校级期末）某学校组织高一、高二年级学生进行了“数学与生活”的知识竞赛．从这两个年级各随机抽取了40名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图（如图）和高二年级成绩的频数分布表（如表）．
成绩分组 频数
[75，80） 2
[80，85） 6
[85，90） 16
[90，95） 14
[95，100] 2
（Ⅰ）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；
（Ⅱ）在抽取的学生中，从成绩为[95，100]的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率；
（Ⅲ）记高一年级知识竞赛成绩的中位数为a，试计算a的值．（四舍五入保留到小数点后两位小数）
【解答】解：（Ⅰ）因为高一样本中各组的频率依次为0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，
又成绩不低于80分为“达标”，
所以计高一年级知识竞赛的达标率为1﹣0.15＝0.85；
（Ⅱ）因为样本中高一成绩在[95，100]中的学生数为40×0.1＝4，
样本中高二成绩在[95，100]中的学生数为2，
所以从成绩为[95，100]的6名学生中随机选取2名学生，这2名学生来自于同一年级的概率为；
（Ⅲ）因为高一样本中各组的频率依次为0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，
所以高一年级知识竞赛成绩的中位数a∈（85，90），
所以a86.67分．
8．（2025春 和平区校级期末）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．
（1）列出所有的可能结果；设取出的两个球上标号为相同数字为事件A，写出事件A包含的样本点集合，并求出事件A发生的概率P（A）；
（2）设取出的两个球上标号之积能被3整除为事件B，求事件B发生的概率P（B）．
【解答】解：由题意，设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x、y，用（x，y）表示抽取结果，
可得（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），
则所有可能的结果有16种，
（1）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A，
则A＝{（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}，共4种，
故取出的两个球上的标号为相同数字的概率P（A）；
（2）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B，
则B＝{（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）}，共7种，
故取出的两个球上标号之积能被3整除的概率P（B）．
9．（2025 上海）2024年东京奥运会，中国获得了男子4×100米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子4×100米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．
206.78 207.46 207.95 209.34 209.35
210.68 213.73 214.84 216.93 216.93
（1）求这组数据的极差与中位数；
（2）从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；
（3）若比赛成绩y关于年份x的回归方程为y＝﹣0.311x，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）．
【解答】解：（1）数据从小到大排列为：206.78，207.46，207.95，209.34，209.35，210.68，213.73，214.84，216.93，216.93，
所以这10个数据的极差为216.93﹣206.78＝10.15，中位数为210.015．
（2）由题意知，10个数据中在211以上有4个，
从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率P．
（3）由题意知，（206.78+207.46+207.95+209.34+209.35+210.68+213.73+214.84+216.93+216.93）＝211.399，
则0.311211.399+0.311×2006＝835.265，
所以y＝﹣0.311x+835.265，
令x＝2028，得y＝204.557≈204.56．
故预测2028年冠军队的成绩为204.56．
10．（2025春 驻马店期末）已知一个古典概型试验中，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，且事件A和事件B的并集发生的概率为．
（1）求事件A和事件B同时发生的概率P（A∩B）．
（2）若事件C是事件A的对立事件，求事件C和事件B同时发生的概率P（C∩B）．
（3）若事件D是事件A和事件B的交集的对立事件，求事件D发生的概率P（D）．
【解答】解：（1）根据题意，，，且．
则．
（2）根据题意，因事件C是事件A的对立事件，则B＝（A∩B）∪（C∩B），
依题意，事件A∩B与事件C∩B互斥，则P（B）＝P（A∩B）+P（C∩B），
即，解得．
（3）根据题意，因事件D是事件A和事件B的交集的对立事件，
则．
11．（2025 重庆校级模拟）已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为．
（1）求角A的大小；
（2）D为BC边上一点，DA⊥BA，且BD＝3DC，求cosC．
【解答】解：（1）根据余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，则a2﹣b2﹣c2＝﹣2bccosA，
根据题意可知，，
故，即，所以A∈（0，π），所以；
（2）如图，过C作CE⊥AB交BA延长线于E，
因为，所以，，
因为DA⊥BA，且BD＝3DC，∴AD∥EC，，
在△ABC中，，
即，，
故cosC的值为．
12．（2025 武昌区校级模拟）已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且．
（1）求A；
（2）若a＝3，求△ABC周长的取值范围．
【解答】解：（1）因为，
所以由正弦定理得：，
在△ABC中，因为sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，
代入上式化简得：sinC＝0，
因为sinC≠0，所以，即，
因为A为锐角，所以；
（2）由正弦定理得：，
所以，，
所以
，
因为△ABC是锐角三角形，所以，
解得，所以，
即，所以，
所以，
所以△ABC周长的取值范围为．
13．（2025 山西模拟）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
（1）证明：tanA＝2tanB；
（2）已知，求tanAtanBtanC取得最小值时tanB的值．
【解答】解：（1）证明：由，有，有3sinAcosB﹣3sinBcosA＝sin（A+B），
有3sinAcosB﹣3sinBcosA＝sinAcosB+cosAsinB，
有2sinAcosB＝4sinBcosA，有tanA＝2tanB；
（2），
故，令tanB＝x（x≥1），
设，，
令f'（x）＞0，解得，f（x）单调递增，令f'（x）＜0，解得，f（x）单调递减，
综上所述，f（x）取得最小值时，，即tanAtanBtanC取得最小值时，tanB为．
14．（2025春 墨玉县期末）某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上A，B两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点B50米的点C处建一凉亭，距离点B70米的点D处再建一凉亭，测得∠ACB＝∠ACD，cos∠ACB．
（1）求sin∠BDC的值；
（2）测得AC＝AD，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？
【解答】解：（1）设∠ACB＝∠ACD＝θ，则∠BCD＝2θ∈（0°，180°），所以θ∈（0°，90°），
因为cosθ，所以，
所以，在△BCD中，由正弦定理：，
所以；
（2）由（1）知，sin，cos，sin，cos，
所以sin∠CBD＝sin[π﹣（∠BCD+∠BDC）]＝sin（∠BCD+∠BDC）＝sin∠BCDcos∠BDC+cos∠BCDsin∠BDC，
在△BCD中，由正弦定理得：，
所以，
设AC＝AD＝y，在△ACD中，由余弦定理有：AD2＝AC2+CD2﹣2AC CD cos∠ACD，
即，解得，
在△ABC中，由余弦定理：AB2＝AC2+BC2﹣2AC BC cos∠ACD＝10001500，
所以AB，
所以总造价为2000×10，所以预算资金够用．
15．（2025春 和平区校级期末）已知向量满足．
（1）若，且，求的坐标；
（2）求；
（3）若向量与向量的夹角为锐角，求实数m的范围．
【解答】解：（1）因为，，
所以，则，
所以（3，1）﹣（2，3）＝（1，﹣2），
由，可设，又，则有，
解得，则或；
（2）因为，
所以；
（3）因为，，
所以，
m（2，3）+（1，﹣2）＝（2m+1，3m﹣2），
因为与的夹角为锐角，则有，
即（2+m）（2m+1）+（3﹣2m）（3m﹣2）＞0，
化简得2m2﹣9m+2＜0，解得，
由与共线，
可得（3﹣2m）（2m+1）＝（2+m）（3m﹣2），解得m＝1或m＝﹣1，
当m＝1时，，，则，
此时与方向相同，夹角为0，不符题意，故m≠1，
综上，实数m的取值范围是．
16．（2025春 青浦区校级期末）空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别在AB，BC，CD，AD上，且满足AE：EB＝CF：FB＝2：1，CG：GD＝AH：HD＝3：1．
（1）判断四边形EFGH的形状？并说明理由．
（2）求证：EH，FG，BD三线共点．
【解答】（1）解：四边形EFGH是梯形理由如下：在△ABC中，因为AE：EB＝CF：FB＝2：1，
根据平行线分线段成比例定理，可得EF∥AC．且.在△ADC中，
由于CG：GD＝AH：HD＝3：1，
同样依据平行线分线段成比例定理，可知GH∥AC且，
因为EF∥AC且GH∥AC，根据平行公理（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
所以EF∥GH，EF≠GH，所以四边形EFGH是梯形．
（2）证明：由（1）知四边形EFGH是梯形，所以EH与FG相交，
设EH∩FG ＝P．因为面EH 平面ABD（E、H分别在AB、AD上），
P∈EH，所以P∈平面 ABD．又因为FG 平面BCD（F、G分别在BC、CD上），
P∈FG，所以P∈平面 BCD．平面ABD∩平面BCD＝BD，
因为P∈平面ABD且P∈平面BCD，所以P∈BD，
即EH，FG，BD三线共点．
17．（2025春 和平区校级期末）如图所示的多面体中，已知菱形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，其中∠FAC为直角，∠ABC＝60°，EF∥AC，EF．
（1）求证：CE∥平面BDF；
（2）求证：CE⊥BD；
（3）求多面体ABCDEF的体积．
（此题不能利用空间建系方法）
【解答】（1）证明：连接OE，
因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，
所以△ABC为等边三角形，即AC＝AB，
又因为EF∥AC，EFABAC，
所以四边形EFCO为平行四边形，所以CE∥FO，
而CE 平面BDF，OF 平面BDF，
所以CE∥平面BDF；
（2）证明：因为平面ABCD⊥平面ACEF，∠FAC为直角，
又因为平面ABCD∩平面ACEF＝AC，AF 平面ACEF，
所以AF⊥平面ABCD，
又因为BD 平面ABCD，所以BD⊥AF，
在菱形ABCD中，可得AC⊥BD，
又因为AC∩FA＝A，AC，FA 平面ACEF，
所以BD⊥平面ACEF，而CE 平面ACEF，
所以CE⊥BD；
（3）由（2）可得BD⊥平面ACEF，且S梯形ACEF（EF+AC） FA（1+2） ，
菱形ABCD中，BD＝2 ABsin∠2×22，
所以VABCDEF＝VB﹣ACEF+VD﹣ACEFS梯形ACEF BD23．
18．（2025春 和平区校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠ADC＝120°，E，F分别为AB，PD的中点．已知，二面角E﹣FC﹣D的大小为60°．
（1）求PB和AD所成角的余弦值；
（2）求直线AC与平面EFC所成角的正弦值；
（3）求点B到面EFC的距离．
【解答】解：（1）如图，连接BD，PE，由PD⊥平面ABCD，AD，CD 平面ABCD，
得PD⊥AD，PD⊥CD，
∵四边形ABCD为菱形，∴∠DAB＝60°，
AB∥∥CD，故△ABD为等边三角形，
∵E为AB的中点，
∴AB⊥DE，
故DE⊥CD，DE⊥CD，PD⊥CD，DE∩PD＝D，DE，PD 平面PDE，
∴CD⊥平面PDE，
∵DE 平面PDE，
得DE⊥CD，
故以D为原点，DE，DC，DP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
∵△ADB为正三角形，且，∴DE＝3，
设PD＝2a（a＞0），则F（0，0，a），E（3，0，0），，P（0，0，2a），，，
∴，，
由题意得，平面FCD的一个法向量为，
设平面EFC的法向量为，
则
取x＝2a，可得，
，
解得a＝2，∴，，
∴，
即PB和AD所成角的余弦值为；
（2）设直线AC与平面EFC所成的角为θ，
由（1）知，平面EFC的法向量为，，
∴，
即直线AC与平面EFC所成角的正弦值为；
（3）∵，
由（2）知平面EFC为，
故点B到面EFC的距离．
19．（2025春 信都区校级期末）一正三棱台木块ABC﹣A1B1C1如图所示，已知2AC＝3A1C1＝6，AA1＝2，点O在平面ABC内且为△ABC的重心．
（1）证明：BB1∥平面OA1C1；
（2）设平面OA1C1∩平面ABC＝l，试判断直线AC与l的位置关系，并给出证明；
（3）在棱台的底面A1B1C1上（包括边界）是否存在点M，使得直线OM∥平面ACC1A1？若存在，说明点M的轨迹，并进行证明；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）证明，如图所示：
设A1C1，AC的中点分别为F、G，
易得B1F∥BG，又2AC＝3A1C1＝6，
所以，，
又点O为△ABC的重心，
所以，
所以B1F与BO平行且相等，
从而可得BB1∥OF，又BB1 平面OA1C1，OF 平面OA1C1，
所以BB1∥平面OA1C1；
（2）证明：直线AC与l平行，证明如下：
因为AC∥A1C1，AC 平面OA1C1，A1C1 平面OA1C1，
所以AC∥平面OA1C1，又AC 平面ABC，平面ABC∩平面OA1C1＝l，
所以AC∥l；
（3）分别取B1C1、A1B1的中点K、L，则当点M∈KL时，有OM∥平面ACC1A1，
证明如下：
因为K、L分别为B1C1、A1B1的中点，所以KL∥A1C1，
过点O作AC的平行线交BC、BA于D、E两点，
因为DE∥AC，A1C1∥AC，所以KL∥DE，所以D、E、K、L四点共面，
又2AC＝3A1C1，点O为重心，
所以，
又由正三棱台ABC﹣A1B1C1性质CE∥C1K，
所以四边形CEMC1为平行四边形，所以EK∥CC1，
又EK 平面ACC1A1、CC1 平面ACC1A1，
所以EK∥平面ACC1A1，同理DE∥平面ACC1A1，
又DE∩EK＝E，DE、EK 平面DEKL，
所以平面DEKL∥平面ACC1A1，当点M∈KL时，OM 平面DEKL，
所以OM∥平面ACC1A1．
20．（2025春 海安市校级期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在BC上，AD⊥DC1．
（1）证明：AD⊥平面BB1C1C；
（2）若，AB⊥AC，二面角C﹣AC1﹣D的大小为．
①求AC与平面ADC1所成角的大小；
②点E在侧面ABB1A1内，且三棱锥E﹣ADC1的体积为，求E的轨迹长度．
【解答】解：（1）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，
因为AD 平面ABC，所以CC1⊥AD．
又因为AD⊥DC1，CC1∩DC1＝C1，CC1，DC 平面BB1C1C，
所以AD⊥平面BB1C1C．
（2）①作CG⊥DC1于G，作GH⊥AC1于H，连接CH，
由（1）知AD⊥平面BB1CC1，
因为AD 平面ADC1，所以平面ADC1⊥平面BB1CC1，
因为平面ADC1∩平面BB1CC1＝DC1，CG 平面BB1CC1，CG⊥DC1，
所以CG⊥平面ADC1，
所以AC与平面ADC1所成角正弦值为cos∠ACG，
因为AC1 平面ADC1，所以CG⊥AC1，
因为GH⊥AC1，GHOCG＝G，GH，CH 平面CGH，
所以AC1⊥平面CGH，因为CH 平面CGH，
所以AC1⊥CH，
所以平面ADC1与平面DAC1所成二面角即∠CHG，
设CC1为x，因为，AB⊥AC，所以△ABC为等腰直角三角形，
因为AD⊥DC，所以BD＝CD＝2，
因为，所以，
同理，
在Rt△HGC中，，
解得x＝2，所以，
设AC与平面ADC1所成角为θ，
在Rt△ACG中，．
因为，所以；
②设E到平面ADC1距离为d，
因为，
所以，
取B1C1中点E，连接B1D，BE，AE，
因为C1E，BD平行且相等，
所以四边形C1EBD为平行四边形，
因为BE∥DC1，BE 平面ADC1，DC1 平面ADC1，
所以BE∥平面ADC1，
同理AE∥平面ADC1，
因为BE∩AE＝E，BE、AE 平面ABE，
所以平面ADC1∥平面ABE，
所以平面ADC1与平面ABE间距离为E到平面ADC1距离，
因为B1BDE为正方形，所以B1D⊥BE，因为BE∥DC1，所以B1D⊥DC1，
因为AD⊥平面BB1CC1，B1D 平面BB1CC1，
所以AD⊥B1D，
因为AD∩DC1＝D，DC1，AD 平面ADC1，
所以B1D⊥平面ADC1，因为E为B1C1中点，
所以E到平面ADC1距离为．
所以E点轨迹长度即线段A1B长度．
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【期末专项押题卷】解答题-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
1．（2025春 河南期末）已知复数z1＝﹣1+2i，z2＝﹣2﹣6i．
（1）若，求|z|；
（2）在复平面内，复数z1z2对应的向量分别是，，其中O是坐标原点，求∠AOB的大小．
2．（2025春 贵州期末）已知复数z1＝1+i，z2＝a﹣2i（a∈R）．
（1）若z1z2是纯虚数，求a的值；
（2）若复数z1z2在复平面内所对应的点位于第四象限内，求a的取值范围．
3．（2025春 邢台校级期末）已知复数z＝m﹣i（m∈R），且为纯虚数（是z的共轭复数）．
（1）求实数m的值；
（2）设复数，求|z1|；
（3）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
4．（2025春 浙江期末）已知复数z＝1+mi（m∈R），且（3+i）为纯虚数．
（1）求实数m及|z|；
（2）若z是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，求2p+q的值．
5．（2025 湖南学业考试）如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图，并据此回答下列问题．
（1）月均用水量在[2，2.5）范围内的居民有多少人？
（2）请估计居民月均用水量的众数；
（3）请估计居民月均用水量大于等于2t的概率．
6．（2025春 辽宁期末）中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段．为了解中国AI大模型用户的年龄分布，A公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在[15，65]内），按照[15，25），[25，35），[35，45），[45，55），[55，65]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求m的值；
（2）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）；
（3）求这500名中国AI大模型用户的年龄在[45，65]内的人数．
7．（2025春 即墨区校级期末）某学校组织高一、高二年级学生进行了“数学与生活”的知识竞赛．从这两个年级各随机抽取了40名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图（如图）和高二年级成绩的频数分布表（如表）．
成绩分组 频数
[75，80） 2
[80，85） 6
[85，90） 16
[90，95） 14
[95，100] 2
（Ⅰ）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；
（Ⅱ）在抽取的学生中，从成绩为[95，100]的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率；
（Ⅲ）记高一年级知识竞赛成绩的中位数为a，试计算a的值．（四舍五入保留到小数点后两位小数）
8．（2025春 和平区校级期末）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．
（1）列出所有的可能结果；设取出的两个球上标号为相同数字为事件A，写出事件A包含的样本点集合，并求出事件A发生的概率P（A）；
（2）设取出的两个球上标号之积能被3整除为事件B，求事件B发生的概率P（B）．
9．（2025 上海）2024年东京奥运会，中国获得了男子4×100米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子4×100米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．
206.78 207.46 207.95 209.34 209.35
210.68 213.73 214.84 216.93 216.93
（1）求这组数据的极差与中位数；
（2）从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；
（3）若比赛成绩y关于年份x的回归方程为y＝﹣0.311x，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）．
10．（2025春 驻马店期末）已知一个古典概型试验中，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，且事件A和事件B的并集发生的概率为．
（1）求事件A和事件B同时发生的概率P（A∩B）．
（2）若事件C是事件A的对立事件，求事件C和事件B同时发生的概率P（C∩B）．
（3）若事件D是事件A和事件B的交集的对立事件，求事件D发生的概率P（D）．
11．（2025 重庆校级模拟）已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为．
（1）求角A的大小；
（2）D为BC边上一点，DA⊥BA，且BD＝3DC，求cosC．
12．（2025 武昌区校级模拟）已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且．
（1）求A；
（2）若a＝3，求△ABC周长的取值范围．
13．（2025 山西模拟）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
（1）证明：tanA＝2tanB；
（2）已知，求tanAtanBtanC取得最小值时tanB的值．
14．（2025春 墨玉县期末）某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上A，B两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点B50米的点C处建一凉亭，距离点B70米的点D处再建一凉亭，测得∠ACB＝∠ACD，cos∠ACB．
（1）求sin∠BDC的值；
（2）测得AC＝AD，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？
15．（2025春 和平区校级期末）已知向量满足．
（1）若，且，求的坐标；
（2）求；
（3）若向量与向量的夹角为锐角，求实数m的范围．
16．（2025春 青浦区校级期末）空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别在AB，BC，CD，AD上，且满足AE：EB＝CF：FB＝2：1，CG：GD＝AH：HD＝3：1．
（1）判断四边形EFGH的形状？并说明理由．
（2）求证：EH，FG，BD三线共点．
17．（2025春 和平区校级期末）如图所示的多面体中，已知菱形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，其中∠FAC为直角，∠ABC＝60°，EF∥AC，EF．
（1）求证：CE∥平面BDF；
（2）求证：CE⊥BD；
（3）求多面体ABCDEF的体积．
（此题不能利用空间建系方法）
18．（2025春 和平区校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠ADC＝120°，E，F分别为AB，PD的中点．已知，二面角E﹣FC﹣D的大小为60°．
（1）求PB和AD所成角的余弦值；
（2）求直线AC与平面EFC所成角的正弦值；
（3）求点B到面EFC的距离．
19．（2025春 信都区校级期末）一正三棱台木块ABC﹣A1B1C1如图所示，已知2AC＝3A1C1＝6，AA1＝2，点O在平面ABC内且为△ABC的重心．
（1）证明：BB1∥平面OA1C1；
（2）设平面OA1C1∩平面ABC＝l，试判断直线AC与l的位置关系，并给出证明；
（3）在棱台的底面A1B1C1上（包括边界）是否存在点M，使得直线OM∥平面ACC1A1？若存在，说明点M的轨迹，并进行证明；若不存在，说明理由．
20．（2025春 海安市校级期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在BC上，AD⊥DC1．
（1）证明：AD⊥平面BB1C1C；
（2）若，AB⊥AC，二面角C﹣AC1﹣D的大小为．
①求AC与平面ADC1所成角的大小；
②点E在侧面ABB1A1内，且三棱锥E﹣ADC1的体积为，求E的轨迹长度．
【期末专项押题卷】解答题-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
参考答案与试题解析
一．解答题（共20小题）
1．（2025春 河南期末）已知复数z1＝﹣1+2i，z2＝﹣2﹣6i．
（1）若，求|z|；
（2）在复平面内，复数z1z2对应的向量分别是，，其中O是坐标原点，求∠AOB的大小．
【解答】解：（1）复数z1＝﹣1+2i，z2＝﹣2﹣6i，
则，
故|z|；
（2）复数z1z2对应的向量分别是，，其中O是坐标原点，
则，
，，
因为∠AOB∈[0，π]，
所以cos∠AOB，
故∠AOB．
2．（2025春 贵州期末）已知复数z1＝1+i，z2＝a﹣2i（a∈R）．
（1）若z1z2是纯虚数，求a的值；
（2）若复数z1z2在复平面内所对应的点位于第四象限内，求a的取值范围．
【解答】解：（1）复数z1＝1+i，z2＝a﹣2i，
则．
因为z1z2是纯虚数，
所以，解得a＝﹣2；
（2）复数z1z2在复平面内所对应的点位于第四象限内，
则，解得﹣2＜a＜2，即a的取值范围为（﹣2，2）．
3．（2025春 邢台校级期末）已知复数z＝m﹣i（m∈R），且为纯虚数（是z的共轭复数）．
（1）求实数m的值；
（2）设复数，求|z1|；
（3）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）因为z＝m﹣i，则，
所以，又为纯虚数，
所以m＝3；
（2），
所以；
（3）因为i2025＝i506×4+1＝i，
所以，
因为复数在复平面内对应的点在第一象限，则，
解得，所以实数a的取值范围为．
4．（2025春 浙江期末）已知复数z＝1+mi（m∈R），且（3+i）为纯虚数．
（1）求实数m及|z|；
（2）若z是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，求2p+q的值．
【解答】解：（1）复数z＝1+mi（m∈R），
则，
则
因是纯虚数，
则，得m＝﹣3，
则z＝1﹣3i，得．
（2）由题意可知，（1﹣3i）2+p（1﹣3i）+q＝0，
则﹣8+p+q+（﹣6﹣3p）i＝0，
则﹣8+p+q＝0且﹣6﹣3p＝0，
得p＝﹣2，q＝10，故2p+q＝6．
5．（2025 湖南学业考试）如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图，并据此回答下列问题．
（1）月均用水量在[2，2.5）范围内的居民有多少人？
（2）请估计居民月均用水量的众数；
（3）请估计居民月均用水量大于等于2t的概率．
【解答】解：（1）根据题意可得所求人数为100×（2.5﹣2）×0.5＝25（人）；
（2）估计居民月均用水量的众数为；
（3）由频率分布直方图可知，居民月均用水量大于等于2t的概率为：
（0.5+0.28+0.12）×0.5＝0.45．
6．（2025春 辽宁期末）中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段．为了解中国AI大模型用户的年龄分布，A公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在[15，65]内），按照[15，25），[25，35），[35，45），[45，55），[55，65]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求m的值；
（2）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）；
（3）求这500名中国AI大模型用户的年龄在[45，65]内的人数．
【解答】解：（1）由频率分布直方图得：
（0.01+0.03+0.04+m+0.005）×10＝1，
解得m＝0.015．
（2）由频率分布直方图得：
（20×0.01+30×0.03+40×0.04+50×0.015+60×0.005）×10＝37.5，
∴估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）为37.5岁；
（3）由频率分布直方图可知中国AI大模型用户的年龄在[45，65]内的频率为：
0.15+0.05＝0.2，
则这500名中国AI大模型用户的年龄在[45，65]内的人数为500×0.2＝100．
7．（2025春 即墨区校级期末）某学校组织高一、高二年级学生进行了“数学与生活”的知识竞赛．从这两个年级各随机抽取了40名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图（如图）和高二年级成绩的频数分布表（如表）．
成绩分组 频数
[75，80） 2
[80，85） 6
[85，90） 16
[90，95） 14
[95，100] 2
（Ⅰ）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；
（Ⅱ）在抽取的学生中，从成绩为[95，100]的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率；
（Ⅲ）记高一年级知识竞赛成绩的中位数为a，试计算a的值．（四舍五入保留到小数点后两位小数）
【解答】解：（Ⅰ）因为高一样本中各组的频率依次为0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，
又成绩不低于80分为“达标”，
所以计高一年级知识竞赛的达标率为1﹣0.15＝0.85；
（Ⅱ）因为样本中高一成绩在[95，100]中的学生数为40×0.1＝4，
样本中高二成绩在[95，100]中的学生数为2，
所以从成绩为[95，100]的6名学生中随机选取2名学生，这2名学生来自于同一年级的概率为；
（Ⅲ）因为高一样本中各组的频率依次为0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，
所以高一年级知识竞赛成绩的中位数a∈（85，90），
所以a86.67分．
8．（2025春 和平区校级期末）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．
（1）列出所有的可能结果；设取出的两个球上标号为相同数字为事件A，写出事件A包含的样本点集合，并求出事件A发生的概率P（A）；
（2）设取出的两个球上标号之积能被3整除为事件B，求事件B发生的概率P（B）．
【解答】解：由题意，设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x、y，用（x，y）表示抽取结果，
可得（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），
则所有可能的结果有16种，
（1）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A，
则A＝{（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}，共4种，
故取出的两个球上的标号为相同数字的概率P（A）；
（2）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B，
则B＝{（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）}，共7种，
故取出的两个球上标号之积能被3整除的概率P（B）．
9．（2025 上海）2024年东京奥运会，中国获得了男子4×100米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子4×100米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．
206.78 207.46 207.95 209.34 209.35
210.68 213.73 214.84 216.93 216.93
（1）求这组数据的极差与中位数；
（2）从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；
（3）若比赛成绩y关于年份x的回归方程为y＝﹣0.311x，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）．
【解答】解：（1）数据从小到大排列为：206.78，207.46，207.95，209.34，209.35，210.68，213.73，214.84，216.93，216.93，
所以这10个数据的极差为216.93﹣206.78＝10.15，中位数为210.015．
（2）由题意知，10个数据中在211以上有4个，
从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率P．
（3）由题意知，（206.78+207.46+207.95+209.34+209.35+210.68+213.73+214.84+216.93+216.93）＝211.399，
则0.311211.399+0.311×2006＝835.265，
所以y＝﹣0.311x+835.265，
令x＝2028，得y＝204.557≈204.56．
故预测2028年冠军队的成绩为204.56．
10．（2025春 驻马店期末）已知一个古典概型试验中，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，且事件A和事件B的并集发生的概率为．
（1）求事件A和事件B同时发生的概率P（A∩B）．
（2）若事件C是事件A的对立事件，求事件C和事件B同时发生的概率P（C∩B）．
（3）若事件D是事件A和事件B的交集的对立事件，求事件D发生的概率P（D）．
【解答】解：（1）根据题意，，，且．
则．
（2）根据题意，因事件C是事件A的对立事件，则B＝（A∩B）∪（C∩B），
依题意，事件A∩B与事件C∩B互斥，则P（B）＝P（A∩B）+P（C∩B），
即，解得．
（3）根据题意，因事件D是事件A和事件B的交集的对立事件，
则．
11．（2025 重庆校级模拟）已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为．
（1）求角A的大小；
（2）D为BC边上一点，DA⊥BA，且BD＝3DC，求cosC．
【解答】解：（1）根据余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，则a2﹣b2﹣c2＝﹣2bccosA，
根据题意可知，，
故，即，所以A∈（0，π），所以；
（2）如图，过C作CE⊥AB交BA延长线于E，
因为，所以，，
因为DA⊥BA，且BD＝3DC，∴AD∥EC，，
在△ABC中，，
即，，
故cosC的值为．
12．（2025 武昌区校级模拟）已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且．
（1）求A；
（2）若a＝3，求△ABC周长的取值范围．
【解答】解：（1）因为，
所以由正弦定理得：，
在△ABC中，因为sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，
代入上式化简得：sinC＝0，
因为sinC≠0，所以，即，
因为A为锐角，所以；
（2）由正弦定理得：，
所以，，
所以
，
因为△ABC是锐角三角形，所以，
解得，所以，
即，所以，
所以，
所以△ABC周长的取值范围为．
13．（2025 山西模拟）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
（1）证明：tanA＝2tanB；
（2）已知，求tanAtanBtanC取得最小值时tanB的值．
【解答】解：（1）证明：由，有，有3sinAcosB﹣3sinBcosA＝sin（A+B），
有3sinAcosB﹣3sinBcosA＝sinAcosB+cosAsinB，
有2sinAcosB＝4sinBcosA，有tanA＝2tanB；
（2），
故，令tanB＝x（x≥1），
设，，
令f'（x）＞0，解得，f（x）单调递增，令f'（x）＜0，解得，f（x）单调递减，
综上所述，f（x）取得最小值时，，即tanAtanBtanC取得最小值时，tanB为．
14．（2025春 墨玉县期末）某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上A，B两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点B50米的点C处建一凉亭，距离点B70米的点D处再建一凉亭，测得∠ACB＝∠ACD，cos∠ACB．
（1）求sin∠BDC的值；
（2）测得AC＝AD，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？
【解答】解：（1）设∠ACB＝∠ACD＝θ，则∠BCD＝2θ∈（0°，180°），所以θ∈（0°，90°），
因为cosθ，所以，
所以，在△BCD中，由正弦定理：，
所以；
（2）由（1）知，sin，cos，sin，cos，
所以sin∠CBD＝sin[π﹣（∠BCD+∠BDC）]＝sin（∠BCD+∠BDC）＝sin∠BCDcos∠BDC+cos∠BCDsin∠BDC，
在△BCD中，由正弦定理得：，
所以，
设AC＝AD＝y，在△ACD中，由余弦定理有：AD2＝AC2+CD2﹣2AC CD cos∠ACD，
即，解得，
在△ABC中，由余弦定理：AB2＝AC2+BC2﹣2AC BC cos∠ACD＝10001500，
所以AB，
所以总造价为2000×10，所以预算资金够用．
15．（2025春 和平区校级期末）已知向量满足．
（1）若，且，求的坐标；
（2）求；
（3）若向量与向量的夹角为锐角，求实数m的范围．
【解答】解：（1）因为，，
所以，则，
所以（3，1）﹣（2，3）＝（1，﹣2），
由，可设，又，则有，
解得，则或；
（2）因为，
所以；
（3）因为，，
所以，
m（2，3）+（1，﹣2）＝（2m+1，3m﹣2），
因为与的夹角为锐角，则有，
即（2+m）（2m+1）+（3﹣2m）（3m﹣2）＞0，
化简得2m2﹣9m+2＜0，解得，
由与共线，
可得（3﹣2m）（2m+1）＝（2+m）（3m﹣2），解得m＝1或m＝﹣1，
当m＝1时，，，则，
此时与方向相同，夹角为0，不符题意，故m≠1，
综上，实数m的取值范围是．
16．（2025春 青浦区校级期末）空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别在AB，BC，CD，AD上，且满足AE：EB＝CF：FB＝2：1，CG：GD＝AH：HD＝3：1．
（1）判断四边形EFGH的形状？并说明理由．
（2）求证：EH，FG，BD三线共点．
【解答】（1）解：四边形EFGH是梯形理由如下：在△ABC中，因为AE：EB＝CF：FB＝2：1，
根据平行线分线段成比例定理，可得EF∥AC．且.在△ADC中，
由于CG：GD＝AH：HD＝3：1，
同样依据平行线分线段成比例定理，可知GH∥AC且，
因为EF∥AC且GH∥AC，根据平行公理（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
所以EF∥GH，EF≠GH，所以四边形EFGH是梯形．
（2）证明：由（1）知四边形EFGH是梯形，所以EH与FG相交，
设EH∩FG ＝P．因为面EH 平面ABD（E、H分别在AB、AD上），
P∈EH，所以P∈平面 ABD．又因为FG 平面BCD（F、G分别在BC、CD上），
P∈FG，所以P∈平面 BCD．平面ABD∩平面BCD＝BD，
因为P∈平面ABD且P∈平面BCD，所以P∈BD，
即EH，FG，BD三线共点．
17．（2025春 和平区校级期末）如图所示的多面体中，已知菱形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，其中∠FAC为直角，∠ABC＝60°，EF∥AC，EF．
（1）求证：CE∥平面BDF；
（2）求证：CE⊥BD；
（3）求多面体ABCDEF的体积．
（此题不能利用空间建系方法）
【解答】（1）证明：连接OE，
因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，
所以△ABC为等边三角形，即AC＝AB，
又因为EF∥AC，EFABAC，
所以四边形EFCO为平行四边形，所以CE∥FO，
而CE 平面BDF，OF 平面BDF，
所以CE∥平面BDF；
（2）证明：因为平面ABCD⊥平面ACEF，∠FAC为直角，
又因为平面ABCD∩平面ACEF＝AC，AF 平面ACEF，
所以AF⊥平面ABCD，
又因为BD 平面ABCD，所以BD⊥AF，
在菱形ABCD中，可得AC⊥BD，
又因为AC∩FA＝A，AC，FA 平面ACEF，
所以BD⊥平面ACEF，而CE 平面ACEF，
所以CE⊥BD；
（3）由（2）可得BD⊥平面ACEF，且S梯形ACEF（EF+AC） FA（1+2） ，
菱形ABCD中，BD＝2 ABsin∠2×22，
所以VABCDEF＝VB﹣ACEF+VD﹣ACEFS梯形ACEF BD23．
18．（2025春 和平区校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠ADC＝120°，E，F分别为AB，PD的中点．已知，二面角E﹣FC﹣D的大小为60°．
（1）求PB和AD所成角的余弦值；
（2）求直线AC与平面EFC所成角的正弦值；
（3）求点B到面EFC的距离．
【解答】解：（1）如图，连接BD，PE，由PD⊥平面ABCD，AD，CD 平面ABCD，
得PD⊥AD，PD⊥CD，
∵四边形ABCD为菱形，∴∠DAB＝60°，
AB∥∥CD，故△ABD为等边三角形，
∵E为AB的中点，
∴AB⊥DE，
故DE⊥CD，DE⊥CD，PD⊥CD，DE∩PD＝D，DE，PD 平面PDE，
∴CD⊥平面PDE，
∵DE 平面PDE，
得DE⊥CD，
故以D为原点，DE，DC，DP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
∵△ADB为正三角形，且，∴DE＝3，
设PD＝2a（a＞0），则F（0，0，a），E（3，0，0），，P（0，0，2a），，，
∴，，
由题意得，平面FCD的一个法向量为，
设平面EFC的法向量为，
则
取x＝2a，可得，
，
解得a＝2，∴，，
∴，
即PB和AD所成角的余弦值为；
（2）设直线AC与平面EFC所成的角为θ，
由（1）知，平面EFC的法向量为，，
∴，
即直线AC与平面EFC所成角的正弦值为；
（3）∵，
由（2）知平面EFC为，
故点B到面EFC的距离．
19．（2025春 信都区校级期末）一正三棱台木块ABC﹣A1B1C1如图所示，已知2AC＝3A1C1＝6，AA1＝2，点O在平面ABC内且为△ABC的重心．
（1）证明：BB1∥平面OA1C1；
（2）设平面OA1C1∩平面ABC＝l，试判断直线AC与l的位置关系，并给出证明；
（3）在棱台的底面A1B1C1上（包括边界）是否存在点M，使得直线OM∥平面ACC1A1？若存在，说明点M的轨迹，并进行证明；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）证明，如图所示：
设A1C1，AC的中点分别为F、G，
易得B1F∥BG，又2AC＝3A1C1＝6，
所以，，
又点O为△ABC的重心，
所以，
所以B1F与BO平行且相等，
从而可得BB1∥OF，又BB1 平面OA1C1，OF 平面OA1C1，
所以BB1∥平面OA1C1；
（2）证明：直线AC与l平行，证明如下：
因为AC∥A1C1，AC 平面OA1C1，A1C1 平面OA1C1，
所以AC∥平面OA1C1，又AC 平面ABC，平面ABC∩平面OA1C1＝l，
所以AC∥l；
（3）分别取B1C1、A1B1的中点K、L，则当点M∈KL时，有OM∥平面ACC1A1，
证明如下：
因为K、L分别为B1C1、A1B1的中点，所以KL∥A1C1，
过点O作AC的平行线交BC、BA于D、E两点，
因为DE∥AC，A1C1∥AC，所以KL∥DE，所以D、E、K、L四点共面，
又2AC＝3A1C1，点O为重心，
所以，
又由正三棱台ABC﹣A1B1C1性质CE∥C1K，
所以四边形CEMC1为平行四边形，所以EK∥CC1，
又EK 平面ACC1A1、CC1 平面ACC1A1，
所以EK∥平面ACC1A1，同理DE∥平面ACC1A1，
又DE∩EK＝E，DE、EK 平面DEKL，
所以平面DEKL∥平面ACC1A1，当点M∈KL时，OM 平面DEKL，
所以OM∥平面ACC1A1．
20．（2025春 海安市校级期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在BC上，AD⊥DC1．
（1）证明：AD⊥平面BB1C1C；
（2）若，AB⊥AC，二面角C﹣AC1﹣D的大小为．
①求AC与平面ADC1所成角的大小；
②点E在侧面ABB1A1内，且三棱锥E﹣ADC1的体积为，求E的轨迹长度．
【解答】解：（1）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，
因为AD 平面ABC，所以CC1⊥AD．
又因为AD⊥DC1，CC1∩DC1＝C1，CC1，DC 平面BB1C1C，
所以AD⊥平面BB1C1C．
（2）①作CG⊥DC1于G，作GH⊥AC1于H，连接CH，
由（1）知AD⊥平面BB1CC1，
因为AD 平面ADC1，所以平面ADC1⊥平面BB1CC1，
因为平面ADC1∩平面BB1CC1＝DC1，CG 平面BB1CC1，CG⊥DC1，
所以CG⊥平面ADC1，
所以AC与平面ADC1所成角正弦值为cos∠ACG，
因为AC1 平面ADC1，所以CG⊥AC1，
因为GH⊥AC1，GHOCG＝G，GH，CH 平面CGH，
所以AC1⊥平面CGH，因为CH 平面CGH，
所以AC1⊥CH，
所以平面ADC1与平面DAC1所成二面角即∠CHG，
设CC1为x，因为，AB⊥AC，所以△ABC为等腰直角三角形，
因为AD⊥DC，所以BD＝CD＝2，
因为，所以，
同理，
在Rt△HGC中，，
解得x＝2，所以，
设AC与平面ADC1所成角为θ，
在Rt△ACG中，．
因为，所以；
②设E到平面ADC1距离为d，
因为，
所以，
取B1C1中点E，连接B1D，BE，AE，
因为C1E，BD平行且相等，
所以四边形C1EBD为平行四边形，
因为BE∥DC1，BE 平面ADC1，DC1 平面ADC1，
所以BE∥平面ADC1，
同理AE∥平面ADC1，
因为BE∩AE＝E，BE、AE 平面ABE，
所以平面ADC1∥平面ABE，
所以平面ADC1与平面ABE间距离为E到平面ADC1距离，
因为B1BDE为正方形，所以B1D⊥BE，因为BE∥DC1，所以B1D⊥DC1，
因为AD⊥平面BB1CC1，B1D 平面BB1CC1，
所以AD⊥B1D，
因为AD∩DC1＝D，DC1，AD 平面ADC1，
所以B1D⊥平面ADC1，因为E为B1C1中点，
所以E到平面ADC1距离为．
所以E点轨迹长度即线段A1B长度．
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