【期末专项押题卷】填空题-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册（含解析）
文档属性
| 名称 | 【期末专项押题卷】填空题-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 463.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-13 11:06:30 | ||
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文档简介
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【期末专项押题卷】填空题-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
1．（2025 天津）已知i是虚数单位，则||＝ ．
2．（2025 上海）已知复数z满足z2＝（）2，|z|≤1，则|z﹣2﹣3i|的最小值是 ．
3．（2025 金凤区校级模拟）已知复数z＝（1﹣a2）+（a+1）i（i∈R）为纯虚数，则a＝ ．
4．（2025春 和平区校级月考）设m∈R，复数z＝（m2﹣2m﹣3）+（2m2+m﹣1）i，若z为纯虚数，则m＝ ．
5．（2025春 广东月考）已知复数，则|z|的最小值为 ．
6．（2025 信阳二模）已知从小到大排列的一组数据：1，5，a，10，11，13，15，21，42，57，若这组数据的极差是其第30百分位数的7倍，则a的值为 ．
7．（2025 上海模拟）现有如下10个数据：296，301，305，293，293，305，302，303，306，294，则这批数据的第25百分位数为 ．
8．（2025春 七里河区校级期中）已知某地区有小学生12000人，初中生11000人，高中生9000人，现在要了解该地区学生的近视情况，准备抽取320人进行调查，则应该抽取小学生、初中生、高中生的人数分别是 ．
9．（2025春 滨海新区校级期中）某校学生高一年级有880人，高二年级有800人，高三年级有720人，现用分层随机抽样方法共选取n名学生进行竞赛答题，已知高三年级选出9名选手，则n＝ ；选出的高三年级9名选手分别答对题目数量为：2，3，7，5，1，6，8，3，8，则这组数据的第60百分位数为 ．
10．（2025春 保定月考）若数据x1，x2， ，x10的平均数为3，方差为4，则数据4x1+1，4x2+1， ，4x10+1的平均数为 方差为 ．
11．（2025 重庆校级模拟）盒子中有8个除颜色外均相同的小球，其中红球和黑球各有2个，白球有4个．现从中不放回的每次抽出一个，则前两次均抽出红球的概率为 ；若一直抽取直到小球全部抽完为止，则红球最先被抽完的概率为 ．
12．（2025春 长沙月考）在平面直角坐标系中，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1秒等可能地向上、下、左、右四个方向移动1个单位．若第5秒时该质点在（1，0）处，则在此前的运动过程中，质点经过（0，1）处的概率为 ．
13．（2025春 朝阳月考）已知事件A，B相互独立，且P（A）＝p，，则当p＝ 时，P（AB）取得最大值，最大值为 ．
14．（2025 赤峰模拟）小张连续9天去快递店拿快递的个数依次为3，1，5，2，3，4，1，4，6．若从这组数据中随机删除1个数后，得到一组新数据，则这组新数据的中位数与原数据的中位数相等的概率为 ．
15．（2025 天宁区校级三模）10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的．则第二名选手的得分是 ．
16．（2025 和平区校级二模）已知一批零件是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人的产品分别占总产量的20%，40%，40%．若已知三人的次品率分别为各自产品的5%，4%，3%．现任取一个零件，则它是次品的概率为 ．
17．（2025 浦东新区校级模拟）向量、满足，，且与夹角的余弦值为，则 ．
18．（2025 新余校级模拟）已知平面向量，是非零向量，（2）⊥（2），向量在向量方向上的投影向量为，则 ；向量，的夹角为 ．
19．（2025春 青浦区校级月考）如图所示，△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，点M为线段AB中点，P为线段CM的中点，延长AP交BC于点N，则 ．
20．（2025春 徐汇区校级月考）已知非零向量、、互不相等，且，，若，则的最大值为 ．
21．（2025 青浦区校级模拟）若向量与不共线也不垂直，且，则向量夹角 ．
22．（2025春 青羊区校级月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A＝ ．
23．（2025 息县二模）设锐角△ABC三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若a＝2，bsinA，c＝3，则b＝ ．
24．（2025 长沙模拟）在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且a+c＝4，则△ABC面积的最大值为 ．
25．（2025春 青羊区校级月考）半径为5的球内有一个高为8的内接正四棱锥，则该球与该内接正四棱锥体积之比为 ．
26．（2025 山东模拟）已知底面半径均为R的圆锥和圆台，它们的内切球半径也均为r（内切球分别与圆锥和圆台的底面以及侧面均相切），若R＝2r，则圆锥和圆台的体积比为 ．
27．（2025 上海）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BD＝4，DB1＝9，则该正四棱柱的体积为 ．
28．（2025 齐齐哈尔三模）已知四面体ABCD中，，则此四面体的体积为 ，若用平行于AB，CD的平面截此四面体，得到截面四边形EFGH，则此四边形EFGH的对角线EG的最小值为 ．
29．（2025春 青浦区校级月考）已知l1，l2，l3是空间三条不同的直线，对下列命题；
①如果l1⊥l2，l2∥l3，则l1⊥l3
②如果l1∥l2，l2∥l3，则l1，l2，l3共面
③如果l1⊥l2，l2⊥l3，则l1⊥l3
④如果l1，l2，l3共点，则l1，l2，l3共面
其中正确的命题是 （填序号）．
30．（2025春 信都区校级月考）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q、R、S、T分别为线段AA1、AB、BC、BD、BB1的中点，联结A1S、D1T对空间任意两点M、N，若线段MN与线段A1S不相交或与线段D1T不相交，则称M、N两点可视．则此正方体中的点A、P、Q、R中与点C1可视的点有 ．（答案从“点A、点P、点Q、点R”中选择）
【期末专项押题卷】填空题-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
参考答案与试题解析
一．填空题（共30小题）
1．（2025 天津）已知i是虚数单位，则||＝ ．
【解答】解：因为1﹣3i，
所以||＝|1﹣3i|．
故答案为：．
2．（2025 上海）已知复数z满足z2＝（）2，|z|≤1，则|z﹣2﹣3i|的最小值是 2 ．
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则z2＝a2﹣b2+2abi，（）2＝a2﹣b2﹣2abi，
因为z2＝（）2，所以abi＝0，即ab＝0，
又|z|≤1，所以z在复平面内对应的点的轨迹为或，
|z﹣2﹣3i|表示点（a，b）到点（2，3）的距离，
由点（a，b）的轨迹可知，当a＝0，b＝1时，|z﹣2﹣3i|有最小值，最小值为2．
故答案为：2．
3．（2025 金凤区校级模拟）已知复数z＝（1﹣a2）+（a+1）i（i∈R）为纯虚数，则a＝ 1 ．
【解答】解：由复数z＝（1﹣a2）+（a+1）i（i∈R）为纯虚数，得，即a＝1．
故答案为：1．
4．（2025春 和平区校级月考）设m∈R，复数z＝（m2﹣2m﹣3）+（2m2+m﹣1）i，若z为纯虚数，则m＝ 3 ．
【解答】解：由复数z＝（m2﹣2m﹣3）+（2m2+m﹣1）i，若z为纯虚数，得，即m＝3．
故答案为：3．
5．（2025春 广东月考）已知复数，则|z|的最小值为 2 ．
【解答】解：，
故|z|，
因为a2≥0，所以|z|2．
故答案为：2．
6．（2025 信阳二模）已知从小到大排列的一组数据：1，5，a，10，11，13，15，21，42，57，若这组数据的极差是其第30百分位数的7倍，则a的值为 6 ．
【解答】解：由题意知这组数据的极差是57﹣1＝56，
由于10×30%＝3，故第30百分位数为，
故，∴a＝6．
故答案为：6．
7．（2025 上海模拟）现有如下10个数据：296，301，305，293，293，305，302，303，306，294，则这批数据的第25百分位数为 294 ．
【解答】解：10个数据：296，301，305，293，293，305，302，303，306，294，
将10个数据从小到大排序为：293，293，294，296，301，302，303，305，305，306，
∵10×25%＝2.5，
∴这批数据的第25百分位数为排序后的第3个数，即294．
故答案为：294．
8．（2025春 七里河区校级期中）已知某地区有小学生12000人，初中生11000人，高中生9000人，现在要了解该地区学生的近视情况，准备抽取320人进行调查，则应该抽取小学生、初中生、高中生的人数分别是 120，110，90 ．
【解答】解：某地区有小学生12000人，初中生11000人，高中生9000人
所占的人数的比例分别为12000：11000：9000＝12：11：9，
故抽取的小学生，初中生，高中生的人数分别．
故答案为：120，110，90．
9．（2025春 滨海新区校级期中）某校学生高一年级有880人，高二年级有800人，高三年级有720人，现用分层随机抽样方法共选取n名学生进行竞赛答题，已知高三年级选出9名选手，则n＝ 30 ；选出的高三年级9名选手分别答对题目数量为：2，3，7，5，1，6，8，3，8，则这组数据的第60百分位数为 6 ．
【解答】解：由题意可知，，
解得n＝30，
数据从小到大排列为：1，2，3，3，5，6，7，8，8，
因为9×60%＝5.4，
所以这组数据的第60百分位数为6．
故答案为：30；6．
10．（2025春 保定月考）若数据x1，x2， ，x10的平均数为3，方差为4，则数据4x1+1，4x2+1， ，4x10+1的平均数为 13 方差为 64 ．
【解答】解：设yi＝4xi+1，设xi，i＝1，2， ，n的平均数为，方差为s2，
yi，i＝1，2， ，n的平均数为，方差为，则，s2＝4，
则，42s2＝16×4＝64．
故答案为：13；64．
11．（2025 重庆校级模拟）盒子中有8个除颜色外均相同的小球，其中红球和黑球各有2个，白球有4个．现从中不放回的每次抽出一个，则前两次均抽出红球的概率为 ；若一直抽取直到小球全部抽完为止，则红球最先被抽完的概率为 ．
【解答】解：根据题意，盒子中有红球和黑球各有2个，白球有4个．
则第一次抽红球的概率为，在次条件下，第二次抽红球的概率为，
故前两次均抽出红球的概率为；
设A表示“红球最先被抽完”，B表示“最后一次抽到白球”，C表示“最后一次抽到黑球”，
所以，
故答案为：；．
12．（2025春 长沙月考）在平面直角坐标系中，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1秒等可能地向上、下、左、右四个方向移动1个单位．若第5秒时该质点在（1，0）处，则在此前的运动过程中，质点经过（0，1）处的概率为 ．
【解答】解：根据题意，若第5秒时该质点在（1，0）处，
分3种情况讨论：
①左2次右3次，共有种情况；
②上下各1次，左1次右2次，共有种情况；
③上下各2次，右1次，共有种情况；
若在此前的运动过程中，质点经过（0，1）处，
情况②中：上下各1次，左1次右2次，要经过（0，1）处的情况是向上的一次在向下的一次前面移动，
则第一步向上平移有：上下左右右，上下右右左，上下右左右，上右下左右，上右下右左，上右右下左，上右右左下，上右左右下，上右左下右，
上左右右下，上左右下右，上左下右右，12种情况；
第一步向左平移有左上右下右，左上右右下，左右上下右，左右上右下，4种情况；
第一步向右平移有右左上下右，右左上右下，右上左下右，右上左右下，4种情况；
满足条件的种数为12+4+4＝20种；
情况③中：上下各2次，右1次，要经过（0，1）处，
则第一步向上平移有：上上下下右，上上右下下，上上下右下，上下下上右，上下下右上，
上下上下右，上下上右下，上下右下上，上下右上下，上右上下下，上右下下上，上右下上下，12种情况；
第一步向下平移有下上上下右，下上上右下2种情况；
第一步向右平移不合题意；所以经过（0，1）处的情况的种数为12+2＝14种；
共有14+20＝34种情况经过（0，1）且第5秒时该质点在（1，0）处；
故要求概率P．
故答案为：．
13．（2025春 朝阳月考）已知事件A，B相互独立，且P（A）＝p，，则当p＝ 时，P（AB）取得最大值，最大值为 ．
【解答】解：根据题意，P（A）＝p，，
则，解可得0≤p，
事件A，B相互独立，则P（AB）＝p（p），
又由0≤p，则P（AB）＝p（p）≤（）2，当且仅当p时，等号成立，
故当p，P（AB）取得最大值，最大值为．
故答案为：；．
14．（2025 赤峰模拟）小张连续9天去快递店拿快递的个数依次为3，1，5，2，3，4，1，4，6．若从这组数据中随机删除1个数后，得到一组新数据，则这组新数据的中位数与原数据的中位数相等的概率为 ．
【解答】解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为1，1，2，3，3，4，4，5，6，则这组数据的中位数为3，
若删除的数字是4或5或6，所得一组新数据的中位数也是3，
若删除的数字是1或2或3，所得一组新数据的中位数是3.5，
故所求概率为P．
故答案为：．
15．（2025 天宁区校级三模）10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的．则第二名选手的得分是 16 ．
【解答】解：每个选手需要进行9场比赛，则全胜的选手得：9×2＝18（分），
而最后五名之间赛10场，至少共得：10×2＝20（分），
所以第二名的选手得分至少为2016（分）．
故答案是：16
16．（2025 和平区校级二模）已知一批零件是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人的产品分别占总产量的20%，40%，40%．若已知三人的次品率分别为各自产品的5%，4%，3%．现任取一个零件，则它是次品的概率为 0.038 ．
【解答】解：由题意利用全概率公式得所求概率为：0.2×0.05+0.4×0.04+0.4×0.03＝0.038．
故答案为：0.038．
17．（2025 浦东新区校级模拟）向量、满足，，且与夹角的余弦值为，则 ．
【解答】解：由题意，，，且与夹角的余弦值为，
则．
故答案为：．
18．（2025 新余校级模拟）已知平面向量，是非零向量，（2）⊥（2），向量在向量方向上的投影向量为，则 ﹣1 ；向量，的夹角为 ．
【解答】解：因为向量在向量方向上的投影向量为，
所以，即；
因为平面向量，是非零向量，（2）⊥（2），
所以，即，
设向量，的夹角为θ，
所以，
所以，
因为θ∈[0，π]，所以．
故答案为：﹣1；．
19．（2025春 青浦区校级月考）如图所示，△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，点M为线段AB中点，P为线段CM的中点，延长AP交BC于点N，则 ．
【解答】解：在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，
由余弦定理可得cosA，
因为点M为线段AB中点，P为线段CM的中点，
所以2，两边平方可得4222 AB2+AC2+AB ACcosA9+4+2×3×（），
可得||，
设μμμ，
又因为B，D，C三点共线，所以x（1﹣x），
可得，两式相加可得μ，
所以||||．
故答案为：．
20．（2025春 徐汇区校级月考）已知非零向量、、互不相等，且，，若，则的最大值为 ．
【解答】解：已知非零向量、、互不相等，且，
则，
又，
则，
即，
又，
则，
又，
则，当且仅当时取等号，
即的最大值为．
故答案为：．
21．（2025 青浦区校级模拟）若向量与不共线也不垂直，且，则向量夹角 ．
【解答】解：∵，
∴，
则，即向量夹角．
故答案为：．
22．（2025春 青羊区校级月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A＝ ．
【解答】解：因为，
所以，即b2+c2﹣a2＝bc，
由余弦定理得，
所以．
故答案为：．
23．（2025 息县二模）设锐角△ABC三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若a＝2，bsinA，c＝3，则b＝ ．
【解答】解：法一：因为a＝2，bsinA，
所以sinA，
由余弦定理得，cosA，
由题意知A为锐角，且1，
整理得，b4﹣26b2+133＝0，
所以b或b，
当b时，a＝2，c＝3，此时a2+c2＜b2，B为钝角，与已知矛盾，
故b．
法二：由正弦定理得，asinB＝bsinA，
又a＝2，
所以sinB，
由B为锐角得，B，
由余弦定理得，b2＝a2+c2﹣2accosB＝4+9﹣27，
所以b．
故答案为：．
24．（2025 长沙模拟）在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且a+c＝4，则△ABC面积的最大值为 ．
【解答】解：因为，
所以由正弦定理得：，
化简得：a2+c2﹣b2＝ac，
由余弦定理得：，
因为B∈（0，π），所以B＝60°，
因为a+c＝4，所以，当a＝c＝2时取等号，
所以S△ABC的最大值为．
故答案为：．
25．（2025春 青羊区校级月考）半径为5的球内有一个高为8的内接正四棱锥，则该球与该内接正四棱锥体积之比为 125π： ．
【解答】解：根据题意可得球心到正四棱锥的底面的距离为8﹣5＝3，
所以底面正三角形的外接圆的半径为4，
所以底面正三角形的边长为2×4×sin60°，
所以该球与该内接正四棱锥体积之比为125π：．
故答案为：125π：．
26．（2025 山东模拟）已知底面半径均为R的圆锥和圆台，它们的内切球半径也均为r（内切球分别与圆锥和圆台的底面以及侧面均相切），若R＝2r，则圆锥和圆台的体积比为 ．
【解答】解：设圆锥的高为h，圆台的上底面圆的半径为a，
则根据相似比可得：，又R＝2r，
化简可得h，
又（2r）2+（R﹣a）2＝（R+a）2，化简可得a，
所以圆锥和圆台的体积比为：
．
故答案为：．
27．（2025 上海）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BD＝4，DB1＝9，则该正四棱柱的体积为 112 ．
【解答】解：由题知，底面ABCD为正方形，所以2AB2＝BD2＝32，所以AB＝4，
因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，
所以BB1⊥底面ABCD，因为BD 底面ABCD，
所以BB1⊥BD，所以，
所以，
所以该正四棱柱的体积为4×4×7＝112．
故答案为：112．
28．（2025 齐齐哈尔三模）已知四面体ABCD中，，则此四面体的体积为 ，若用平行于AB，CD的平面截此四面体，得到截面四边形EFGH，则此四边形EFGH的对角线EG的最小值为 ．
【解答】解：（1）将四面体ABCD补成长方体，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，如图所示：
根据长方体面对角线的性质，得．
三式相加得2（a2+b2+c2）＝4+6+6＝16，则a2+b2+c2＝8．
分别求解可得c2＝4，b2＝2，a2＝2，解得a，b，c＝2．
因为四面体ABCD的体积V等于长方体体积减去四个等体积的三棱锥体积．
长方体体积为V＝abc2＝4．
一个三棱锥的体积为V1abc2．
四个三棱锥体积为4V1＝4．
所以四面体ABCD的体积为V＝V﹣4V1＝4．
（2）因为平面EFGH∥AB，平面EFGH∥CD，平面ABC∩平面EFGH＝EF，平面ABC∩AB＝AB，
根据面面平行的性质知EF∥AB，同理HG∥AB，EH∥CD，FG∥CD，所以四边形EFGH是平行四边形．
设x（0＜x＜1），则1﹣x．
由△AEH～△ACD，可得x，因为CD＝2，所以EH＝2x．
由△CEF～△CAB，可得1﹣x，因为AB＝2，所以EF＝2（1﹣x）．
因为a，b，补成的长方体上下底面为正方形，可得AB⊥CD，
所以∠HEF＝90°，则EG2＝EH2+HG2＝EH2+EF2．
将EH＝2x，EF＝2（1﹣x）代入可得EG2＝（2x）2+[2（1﹣x）]2＝4x2+4（1﹣2x+x2）＝8x2﹣8x+4．
令y＝8x2﹣8x+4，0＜x＜1，这是一个二次函数，图象开口向上，对称轴为x．
当x时，y取得最小值，ymin＝884＝2，所以EGmin．
故答案为：；．
29．（2025春 青浦区校级月考）已知l1，l2，l3是空间三条不同的直线，对下列命题；
①如果l1⊥l2，l2∥l3，则l1⊥l3
②如果l1∥l2，l2∥l3，则l1，l2，l3共面
③如果l1⊥l2，l2⊥l3，则l1⊥l3
④如果l1，l2，l3共点，则l1，l2，l3共面
其中正确的命题是 ① （填序号）．
【解答】解：因为l1，l2，l3是空间三条不同的直线，
若l1⊥l2，l2∥l3，则l1⊥l3，所以①正确；
若l1∥l2，l2∥l3，则l1∥l3，但l1，l2，l3不一定共面，所以②错误；
若l1⊥l2，l2⊥l3，则l1与l3可以成任意角，所以③错误；
若l1，l2，l3共点，则l1，l2，l3共面不一定成立，所以④错误．
故答案为：①．
30．（2025春 信都区校级月考）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q、R、S、T分别为线段AA1、AB、BC、BD、BB1的中点，联结A1S、D1T对空间任意两点M、N，若线段MN与线段A1S不相交或与线段D1T不相交，则称M、N两点可视．则此正方体中的点A、P、Q、R中与点C1可视的点有 点A，点Q，点R ．（答案从“点A、点P、点Q、点R”中选择）
【解答】解：对于点A，连接AD1，BC1，AC1，因为D1、A、C1∈平面D1C1BA，T 平面D1C1BA，且D1 AC1，
所以直线D1T与AC1是异面直线，
所以点C1与点A可视；
对于点P，如图，连接A1C1，PC1，BD，AC，得A1S、PC1 平面A1C1CA，且A1S与PC1相交，
连接D1P，PT，TC1，因为D1C1∥PT，D1C1＝PT，
所以四边形D1C1TP是平行四边形，得D1T与PC1相交，所以点C1与点P不可视，
对于点Q，如图，连接A1C1，AC，C1Q，
因为A1、S、C1∈平面A1C1CA，Q 平面A1C1CA，且C1 A1S，
所以直线A1S．与QC1是异面直线，所以点C1与点Q可视；
对于点R，如图，连接RC1，TC1，TD1，
因为C1、T、D1∈平面D1C1T，R 平面D1C1T，且C1 D1T，
所以直线D1T与RC1是异面直线，所以点C1与点R可视，故D错误．
故答案为：点A、点Q、点R．
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【期末专项押题卷】填空题-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
1．（2025 天津）已知i是虚数单位，则||＝ ．
2．（2025 上海）已知复数z满足z2＝（）2，|z|≤1，则|z﹣2﹣3i|的最小值是 ．
3．（2025 金凤区校级模拟）已知复数z＝（1﹣a2）+（a+1）i（i∈R）为纯虚数，则a＝ ．
4．（2025春 和平区校级月考）设m∈R，复数z＝（m2﹣2m﹣3）+（2m2+m﹣1）i，若z为纯虚数，则m＝ ．
5．（2025春 广东月考）已知复数，则|z|的最小值为 ．
6．（2025 信阳二模）已知从小到大排列的一组数据：1，5，a，10，11，13，15，21，42，57，若这组数据的极差是其第30百分位数的7倍，则a的值为 ．
7．（2025 上海模拟）现有如下10个数据：296，301，305，293，293，305，302，303，306，294，则这批数据的第25百分位数为 ．
8．（2025春 七里河区校级期中）已知某地区有小学生12000人，初中生11000人，高中生9000人，现在要了解该地区学生的近视情况，准备抽取320人进行调查，则应该抽取小学生、初中生、高中生的人数分别是 ．
9．（2025春 滨海新区校级期中）某校学生高一年级有880人，高二年级有800人，高三年级有720人，现用分层随机抽样方法共选取n名学生进行竞赛答题，已知高三年级选出9名选手，则n＝ ；选出的高三年级9名选手分别答对题目数量为：2，3，7，5，1，6，8，3，8，则这组数据的第60百分位数为 ．
10．（2025春 保定月考）若数据x1，x2， ，x10的平均数为3，方差为4，则数据4x1+1，4x2+1， ，4x10+1的平均数为 方差为 ．
11．（2025 重庆校级模拟）盒子中有8个除颜色外均相同的小球，其中红球和黑球各有2个，白球有4个．现从中不放回的每次抽出一个，则前两次均抽出红球的概率为 ；若一直抽取直到小球全部抽完为止，则红球最先被抽完的概率为 ．
12．（2025春 长沙月考）在平面直角坐标系中，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1秒等可能地向上、下、左、右四个方向移动1个单位．若第5秒时该质点在（1，0）处，则在此前的运动过程中，质点经过（0，1）处的概率为 ．
13．（2025春 朝阳月考）已知事件A，B相互独立，且P（A）＝p，，则当p＝ 时，P（AB）取得最大值，最大值为 ．
14．（2025 赤峰模拟）小张连续9天去快递店拿快递的个数依次为3，1，5，2，3，4，1，4，6．若从这组数据中随机删除1个数后，得到一组新数据，则这组新数据的中位数与原数据的中位数相等的概率为 ．
15．（2025 天宁区校级三模）10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的．则第二名选手的得分是 ．
16．（2025 和平区校级二模）已知一批零件是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人的产品分别占总产量的20%，40%，40%．若已知三人的次品率分别为各自产品的5%，4%，3%．现任取一个零件，则它是次品的概率为 ．
17．（2025 浦东新区校级模拟）向量、满足，，且与夹角的余弦值为，则 ．
18．（2025 新余校级模拟）已知平面向量，是非零向量，（2）⊥（2），向量在向量方向上的投影向量为，则 ；向量，的夹角为 ．
19．（2025春 青浦区校级月考）如图所示，△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，点M为线段AB中点，P为线段CM的中点，延长AP交BC于点N，则 ．
20．（2025春 徐汇区校级月考）已知非零向量、、互不相等，且，，若，则的最大值为 ．
21．（2025 青浦区校级模拟）若向量与不共线也不垂直，且，则向量夹角 ．
22．（2025春 青羊区校级月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A＝ ．
23．（2025 息县二模）设锐角△ABC三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若a＝2，bsinA，c＝3，则b＝ ．
24．（2025 长沙模拟）在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且a+c＝4，则△ABC面积的最大值为 ．
25．（2025春 青羊区校级月考）半径为5的球内有一个高为8的内接正四棱锥，则该球与该内接正四棱锥体积之比为 ．
26．（2025 山东模拟）已知底面半径均为R的圆锥和圆台，它们的内切球半径也均为r（内切球分别与圆锥和圆台的底面以及侧面均相切），若R＝2r，则圆锥和圆台的体积比为 ．
27．（2025 上海）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BD＝4，DB1＝9，则该正四棱柱的体积为 ．
28．（2025 齐齐哈尔三模）已知四面体ABCD中，，则此四面体的体积为 ，若用平行于AB，CD的平面截此四面体，得到截面四边形EFGH，则此四边形EFGH的对角线EG的最小值为 ．
29．（2025春 青浦区校级月考）已知l1，l2，l3是空间三条不同的直线，对下列命题；
①如果l1⊥l2，l2∥l3，则l1⊥l3
②如果l1∥l2，l2∥l3，则l1，l2，l3共面
③如果l1⊥l2，l2⊥l3，则l1⊥l3
④如果l1，l2，l3共点，则l1，l2，l3共面
其中正确的命题是 （填序号）．
30．（2025春 信都区校级月考）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q、R、S、T分别为线段AA1、AB、BC、BD、BB1的中点，联结A1S、D1T对空间任意两点M、N，若线段MN与线段A1S不相交或与线段D1T不相交，则称M、N两点可视．则此正方体中的点A、P、Q、R中与点C1可视的点有 ．（答案从“点A、点P、点Q、点R”中选择）
【期末专项押题卷】填空题-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
参考答案与试题解析
一．填空题（共30小题）
1．（2025 天津）已知i是虚数单位，则||＝ ．
【解答】解：因为1﹣3i，
所以||＝|1﹣3i|．
故答案为：．
2．（2025 上海）已知复数z满足z2＝（）2，|z|≤1，则|z﹣2﹣3i|的最小值是 2 ．
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则z2＝a2﹣b2+2abi，（）2＝a2﹣b2﹣2abi，
因为z2＝（）2，所以abi＝0，即ab＝0，
又|z|≤1，所以z在复平面内对应的点的轨迹为或，
|z﹣2﹣3i|表示点（a，b）到点（2，3）的距离，
由点（a，b）的轨迹可知，当a＝0，b＝1时，|z﹣2﹣3i|有最小值，最小值为2．
故答案为：2．
3．（2025 金凤区校级模拟）已知复数z＝（1﹣a2）+（a+1）i（i∈R）为纯虚数，则a＝ 1 ．
【解答】解：由复数z＝（1﹣a2）+（a+1）i（i∈R）为纯虚数，得，即a＝1．
故答案为：1．
4．（2025春 和平区校级月考）设m∈R，复数z＝（m2﹣2m﹣3）+（2m2+m﹣1）i，若z为纯虚数，则m＝ 3 ．
【解答】解：由复数z＝（m2﹣2m﹣3）+（2m2+m﹣1）i，若z为纯虚数，得，即m＝3．
故答案为：3．
5．（2025春 广东月考）已知复数，则|z|的最小值为 2 ．
【解答】解：，
故|z|，
因为a2≥0，所以|z|2．
故答案为：2．
6．（2025 信阳二模）已知从小到大排列的一组数据：1，5，a，10，11，13，15，21，42，57，若这组数据的极差是其第30百分位数的7倍，则a的值为 6 ．
【解答】解：由题意知这组数据的极差是57﹣1＝56，
由于10×30%＝3，故第30百分位数为，
故，∴a＝6．
故答案为：6．
7．（2025 上海模拟）现有如下10个数据：296，301，305，293，293，305，302，303，306，294，则这批数据的第25百分位数为 294 ．
【解答】解：10个数据：296，301，305，293，293，305，302，303，306，294，
将10个数据从小到大排序为：293，293，294，296，301，302，303，305，305，306，
∵10×25%＝2.5，
∴这批数据的第25百分位数为排序后的第3个数，即294．
故答案为：294．
8．（2025春 七里河区校级期中）已知某地区有小学生12000人，初中生11000人，高中生9000人，现在要了解该地区学生的近视情况，准备抽取320人进行调查，则应该抽取小学生、初中生、高中生的人数分别是 120，110，90 ．
【解答】解：某地区有小学生12000人，初中生11000人，高中生9000人
所占的人数的比例分别为12000：11000：9000＝12：11：9，
故抽取的小学生，初中生，高中生的人数分别．
故答案为：120，110，90．
9．（2025春 滨海新区校级期中）某校学生高一年级有880人，高二年级有800人，高三年级有720人，现用分层随机抽样方法共选取n名学生进行竞赛答题，已知高三年级选出9名选手，则n＝ 30 ；选出的高三年级9名选手分别答对题目数量为：2，3，7，5，1，6，8，3，8，则这组数据的第60百分位数为 6 ．
【解答】解：由题意可知，，
解得n＝30，
数据从小到大排列为：1，2，3，3，5，6，7，8，8，
因为9×60%＝5.4，
所以这组数据的第60百分位数为6．
故答案为：30；6．
10．（2025春 保定月考）若数据x1，x2， ，x10的平均数为3，方差为4，则数据4x1+1，4x2+1， ，4x10+1的平均数为 13 方差为 64 ．
【解答】解：设yi＝4xi+1，设xi，i＝1，2， ，n的平均数为，方差为s2，
yi，i＝1，2， ，n的平均数为，方差为，则，s2＝4，
则，42s2＝16×4＝64．
故答案为：13；64．
11．（2025 重庆校级模拟）盒子中有8个除颜色外均相同的小球，其中红球和黑球各有2个，白球有4个．现从中不放回的每次抽出一个，则前两次均抽出红球的概率为 ；若一直抽取直到小球全部抽完为止，则红球最先被抽完的概率为 ．
【解答】解：根据题意，盒子中有红球和黑球各有2个，白球有4个．
则第一次抽红球的概率为，在次条件下，第二次抽红球的概率为，
故前两次均抽出红球的概率为；
设A表示“红球最先被抽完”，B表示“最后一次抽到白球”，C表示“最后一次抽到黑球”，
所以，
故答案为：；．
12．（2025春 长沙月考）在平面直角坐标系中，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1秒等可能地向上、下、左、右四个方向移动1个单位．若第5秒时该质点在（1，0）处，则在此前的运动过程中，质点经过（0，1）处的概率为 ．
【解答】解：根据题意，若第5秒时该质点在（1，0）处，
分3种情况讨论：
①左2次右3次，共有种情况；
②上下各1次，左1次右2次，共有种情况；
③上下各2次，右1次，共有种情况；
若在此前的运动过程中，质点经过（0，1）处，
情况②中：上下各1次，左1次右2次，要经过（0，1）处的情况是向上的一次在向下的一次前面移动，
则第一步向上平移有：上下左右右，上下右右左，上下右左右，上右下左右，上右下右左，上右右下左，上右右左下，上右左右下，上右左下右，
上左右右下，上左右下右，上左下右右，12种情况；
第一步向左平移有左上右下右，左上右右下，左右上下右，左右上右下，4种情况；
第一步向右平移有右左上下右，右左上右下，右上左下右，右上左右下，4种情况；
满足条件的种数为12+4+4＝20种；
情况③中：上下各2次，右1次，要经过（0，1）处，
则第一步向上平移有：上上下下右，上上右下下，上上下右下，上下下上右，上下下右上，
上下上下右，上下上右下，上下右下上，上下右上下，上右上下下，上右下下上，上右下上下，12种情况；
第一步向下平移有下上上下右，下上上右下2种情况；
第一步向右平移不合题意；所以经过（0，1）处的情况的种数为12+2＝14种；
共有14+20＝34种情况经过（0，1）且第5秒时该质点在（1，0）处；
故要求概率P．
故答案为：．
13．（2025春 朝阳月考）已知事件A，B相互独立，且P（A）＝p，，则当p＝ 时，P（AB）取得最大值，最大值为 ．
【解答】解：根据题意，P（A）＝p，，
则，解可得0≤p，
事件A，B相互独立，则P（AB）＝p（p），
又由0≤p，则P（AB）＝p（p）≤（）2，当且仅当p时，等号成立，
故当p，P（AB）取得最大值，最大值为．
故答案为：；．
14．（2025 赤峰模拟）小张连续9天去快递店拿快递的个数依次为3，1，5，2，3，4，1，4，6．若从这组数据中随机删除1个数后，得到一组新数据，则这组新数据的中位数与原数据的中位数相等的概率为 ．
【解答】解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为1，1，2，3，3，4，4，5，6，则这组数据的中位数为3，
若删除的数字是4或5或6，所得一组新数据的中位数也是3，
若删除的数字是1或2或3，所得一组新数据的中位数是3.5，
故所求概率为P．
故答案为：．
15．（2025 天宁区校级三模）10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的．则第二名选手的得分是 16 ．
【解答】解：每个选手需要进行9场比赛，则全胜的选手得：9×2＝18（分），
而最后五名之间赛10场，至少共得：10×2＝20（分），
所以第二名的选手得分至少为2016（分）．
故答案是：16
16．（2025 和平区校级二模）已知一批零件是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人的产品分别占总产量的20%，40%，40%．若已知三人的次品率分别为各自产品的5%，4%，3%．现任取一个零件，则它是次品的概率为 0.038 ．
【解答】解：由题意利用全概率公式得所求概率为：0.2×0.05+0.4×0.04+0.4×0.03＝0.038．
故答案为：0.038．
17．（2025 浦东新区校级模拟）向量、满足，，且与夹角的余弦值为，则 ．
【解答】解：由题意，，，且与夹角的余弦值为，
则．
故答案为：．
18．（2025 新余校级模拟）已知平面向量，是非零向量，（2）⊥（2），向量在向量方向上的投影向量为，则 ﹣1 ；向量，的夹角为 ．
【解答】解：因为向量在向量方向上的投影向量为，
所以，即；
因为平面向量，是非零向量，（2）⊥（2），
所以，即，
设向量，的夹角为θ，
所以，
所以，
因为θ∈[0，π]，所以．
故答案为：﹣1；．
19．（2025春 青浦区校级月考）如图所示，△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，点M为线段AB中点，P为线段CM的中点，延长AP交BC于点N，则 ．
【解答】解：在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，
由余弦定理可得cosA，
因为点M为线段AB中点，P为线段CM的中点，
所以2，两边平方可得4222 AB2+AC2+AB ACcosA9+4+2×3×（），
可得||，
设μμμ，
又因为B，D，C三点共线，所以x（1﹣x），
可得，两式相加可得μ，
所以||||．
故答案为：．
20．（2025春 徐汇区校级月考）已知非零向量、、互不相等，且，，若，则的最大值为 ．
【解答】解：已知非零向量、、互不相等，且，
则，
又，
则，
即，
又，
则，
又，
则，当且仅当时取等号，
即的最大值为．
故答案为：．
21．（2025 青浦区校级模拟）若向量与不共线也不垂直，且，则向量夹角 ．
【解答】解：∵，
∴，
则，即向量夹角．
故答案为：．
22．（2025春 青羊区校级月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A＝ ．
【解答】解：因为，
所以，即b2+c2﹣a2＝bc，
由余弦定理得，
所以．
故答案为：．
23．（2025 息县二模）设锐角△ABC三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若a＝2，bsinA，c＝3，则b＝ ．
【解答】解：法一：因为a＝2，bsinA，
所以sinA，
由余弦定理得，cosA，
由题意知A为锐角，且1，
整理得，b4﹣26b2+133＝0，
所以b或b，
当b时，a＝2，c＝3，此时a2+c2＜b2，B为钝角，与已知矛盾，
故b．
法二：由正弦定理得，asinB＝bsinA，
又a＝2，
所以sinB，
由B为锐角得，B，
由余弦定理得，b2＝a2+c2﹣2accosB＝4+9﹣27，
所以b．
故答案为：．
24．（2025 长沙模拟）在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且a+c＝4，则△ABC面积的最大值为 ．
【解答】解：因为，
所以由正弦定理得：，
化简得：a2+c2﹣b2＝ac，
由余弦定理得：，
因为B∈（0，π），所以B＝60°，
因为a+c＝4，所以，当a＝c＝2时取等号，
所以S△ABC的最大值为．
故答案为：．
25．（2025春 青羊区校级月考）半径为5的球内有一个高为8的内接正四棱锥，则该球与该内接正四棱锥体积之比为 125π： ．
【解答】解：根据题意可得球心到正四棱锥的底面的距离为8﹣5＝3，
所以底面正三角形的外接圆的半径为4，
所以底面正三角形的边长为2×4×sin60°，
所以该球与该内接正四棱锥体积之比为125π：．
故答案为：125π：．
26．（2025 山东模拟）已知底面半径均为R的圆锥和圆台，它们的内切球半径也均为r（内切球分别与圆锥和圆台的底面以及侧面均相切），若R＝2r，则圆锥和圆台的体积比为 ．
【解答】解：设圆锥的高为h，圆台的上底面圆的半径为a，
则根据相似比可得：，又R＝2r，
化简可得h，
又（2r）2+（R﹣a）2＝（R+a）2，化简可得a，
所以圆锥和圆台的体积比为：
．
故答案为：．
27．（2025 上海）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BD＝4，DB1＝9，则该正四棱柱的体积为 112 ．
【解答】解：由题知，底面ABCD为正方形，所以2AB2＝BD2＝32，所以AB＝4，
因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，
所以BB1⊥底面ABCD，因为BD 底面ABCD，
所以BB1⊥BD，所以，
所以，
所以该正四棱柱的体积为4×4×7＝112．
故答案为：112．
28．（2025 齐齐哈尔三模）已知四面体ABCD中，，则此四面体的体积为 ，若用平行于AB，CD的平面截此四面体，得到截面四边形EFGH，则此四边形EFGH的对角线EG的最小值为 ．
【解答】解：（1）将四面体ABCD补成长方体，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，如图所示：
根据长方体面对角线的性质，得．
三式相加得2（a2+b2+c2）＝4+6+6＝16，则a2+b2+c2＝8．
分别求解可得c2＝4，b2＝2，a2＝2，解得a，b，c＝2．
因为四面体ABCD的体积V等于长方体体积减去四个等体积的三棱锥体积．
长方体体积为V＝abc2＝4．
一个三棱锥的体积为V1abc2．
四个三棱锥体积为4V1＝4．
所以四面体ABCD的体积为V＝V﹣4V1＝4．
（2）因为平面EFGH∥AB，平面EFGH∥CD，平面ABC∩平面EFGH＝EF，平面ABC∩AB＝AB，
根据面面平行的性质知EF∥AB，同理HG∥AB，EH∥CD，FG∥CD，所以四边形EFGH是平行四边形．
设x（0＜x＜1），则1﹣x．
由△AEH～△ACD，可得x，因为CD＝2，所以EH＝2x．
由△CEF～△CAB，可得1﹣x，因为AB＝2，所以EF＝2（1﹣x）．
因为a，b，补成的长方体上下底面为正方形，可得AB⊥CD，
所以∠HEF＝90°，则EG2＝EH2+HG2＝EH2+EF2．
将EH＝2x，EF＝2（1﹣x）代入可得EG2＝（2x）2+[2（1﹣x）]2＝4x2+4（1﹣2x+x2）＝8x2﹣8x+4．
令y＝8x2﹣8x+4，0＜x＜1，这是一个二次函数，图象开口向上，对称轴为x．
当x时，y取得最小值，ymin＝884＝2，所以EGmin．
故答案为：；．
29．（2025春 青浦区校级月考）已知l1，l2，l3是空间三条不同的直线，对下列命题；
①如果l1⊥l2，l2∥l3，则l1⊥l3
②如果l1∥l2，l2∥l3，则l1，l2，l3共面
③如果l1⊥l2，l2⊥l3，则l1⊥l3
④如果l1，l2，l3共点，则l1，l2，l3共面
其中正确的命题是 ① （填序号）．
【解答】解：因为l1，l2，l3是空间三条不同的直线，
若l1⊥l2，l2∥l3，则l1⊥l3，所以①正确；
若l1∥l2，l2∥l3，则l1∥l3，但l1，l2，l3不一定共面，所以②错误；
若l1⊥l2，l2⊥l3，则l1与l3可以成任意角，所以③错误；
若l1，l2，l3共点，则l1，l2，l3共面不一定成立，所以④错误．
故答案为：①．
30．（2025春 信都区校级月考）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q、R、S、T分别为线段AA1、AB、BC、BD、BB1的中点，联结A1S、D1T对空间任意两点M、N，若线段MN与线段A1S不相交或与线段D1T不相交，则称M、N两点可视．则此正方体中的点A、P、Q、R中与点C1可视的点有 点A，点Q，点R ．（答案从“点A、点P、点Q、点R”中选择）
【解答】解：对于点A，连接AD1，BC1，AC1，因为D1、A、C1∈平面D1C1BA，T 平面D1C1BA，且D1 AC1，
所以直线D1T与AC1是异面直线，
所以点C1与点A可视；
对于点P，如图，连接A1C1，PC1，BD，AC，得A1S、PC1 平面A1C1CA，且A1S与PC1相交，
连接D1P，PT，TC1，因为D1C1∥PT，D1C1＝PT，
所以四边形D1C1TP是平行四边形，得D1T与PC1相交，所以点C1与点P不可视，
对于点Q，如图，连接A1C1，AC，C1Q，
因为A1、S、C1∈平面A1C1CA，Q 平面A1C1CA，且C1 A1S，
所以直线A1S．与QC1是异面直线，所以点C1与点Q可视；
对于点R，如图，连接RC1，TC1，TD1，
因为C1、T、D1∈平面D1C1T，R 平面D1C1T，且C1 D1T，
所以直线D1T与RC1是异面直线，所以点C1与点R可视，故D错误．
故答案为：点A、点Q、点R．
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