2024-2025学年上海上师大附中高二下学期数学期中试卷（含答案）

上师大2024-2025学年第二学期高二年级数学期中
2025.4
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.已知函数在处可导，且，则________．
2.曲线在点处的切线方程是________．
3.2名教师与3名学生站成一排照相，要求2名教师分别站在两侧，则不同的站法共
有________种.
4.二项式的展开式中，常数项是________．
5.今年国际国内金价屡创新高，金价波动也被金融媒体竞相报道．现抽取2024年前11个月的每月1日的实物黄金价格数据（如下表所示），则这组黄金价格数据的第75百分位数是________．
月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月
黄金价格（元/克） 624 616 630 691 708 716 714 737 743 768 815
6.某电子设备有两套相互独立的供电系统和，在时间内系统和系统发生故障的概率别为0.2和．若在时间内至少有一个系统不发生故障的概率为0.94，则____．
7．函数的单调减区间是________．
8.函数，的最小值是________．
9．记，，，，，为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，则为偶数的排列有________个．
10.若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是________．
11．已知函数，有下列命题：①的递增区间是和；②有三个零点；③不等式的解集为R；④关于的不等式恒成立，则的最大值为1．其中正确的命题是________．（写出所有正确命题的序号）
12.已知关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分）13-14选对得4分，15-16选对得5分．
13.已知事件和相互独立，且，，则（ ）
A． B． C. D.
14.甲，乙两组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下：
甲组：244，245，245，246，248，251，251，253，254，255，257，263
乙组：239，241，243，245，245，247，248，249，251，252
则下列说法错误的的是（ ）
A．甲组数据的第75百分位数是255 B、乙组数据的众数是245
C、从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在248.5厘米以上的概率为
D．乙组中存在这样的成员，将其调派到甲组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都降低
15.如图是函数的导函数的图像，则下面判断正确的是（ ）
A．在上是增函数
B．在上是减函数
C．当时，取得极小值
D．当时，取得极小值
16、已知偶函数的图像是一条连续不断的曲线，其导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B. C． D．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．
17、（本题满分14分，第（1）小题7分，第（2）小题7分）
已知函数在处取得极值，在点处的切线方程为．
（1）求函数的解析式及单调增区间；
（2）求函数在区间的最大值与最小值．
18、（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题10分）
某商场开展一项促销活动，凡在商场消费金额满200元的顾客可以免费抽奖，抽奖规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10个小球，其中红球2个，白球3个，黄球5个，顾客从箱子中摸出2个球，摸完后放回，根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖．将顾客摸出的2个球的颜色分成以下四种情况：A：个红球1个白球，B：2个红球，C：2个白球，D：至少一个黄球．若四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖．
（1）求顾客摸到均为红球的概率；
（2）求顾客分别获一、二、三等奖时对应的概率．
19、（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）
某中学高二年级举行了一次知识竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）：
（1）求的值，并估计本次竞赛成绩的平均分；
（2）按分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人中有来自组的学生的概率；
（3）在此次竞赛成绩中抽取了6名学生的分数；，，，，，，已知这6个分数的平均数，标准差，若再抽取两名分数分别为82和88的学生，求这8个分数的方差．
20、（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）
某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳5元的值理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为元时，产品一年的销售量为（e自然对数的底数）万件，已知每件产品的售价为40元时，该产品的一年销售量为500万件，经物价部门核定每件产品的售价最低不低于35元，最高不超过41元．
（1）求的值；
（2）求分公司经营该产品一年的利润（万元）与每件产品的售价（元）的函数关系；
（3）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值．
21、（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）
已知函数的导函数为，对给定的实数，若不等式在上恒成立，则称为上的“函数”．
（1）判断函数是否为上的“函数”，并说明理由；
（2）若函数是上的“函数”，求实数的取值范围；
（3）若函数是上的“函数”，且存在，对任意，，且，都有恒成立，求实数的最大值．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11.①③④ 12.
11．已知函数，有下列命题：①的递增区间是和；②有三个零点；③不等式的解集为R；④关于的不等式恒成立，则的最大值为1．其中正确的命题是________．（写出所有正确命题的序号）
【答案】①③④
【解析】对于①，函数
当时，，令；
当时，，令，
所以的递增区间是和，故①正确；
对于②，当时，；当时，；
当时，，又在上为递减函数，在为递增函数，
做出函数图象如下：
所以函数有两个零点，故②错误；
对于③，，结合图象可得不等式的解集为，故③正确；
对于④，当时，不等式恒成立
等价于即恒成立，
令，令可得，
所以当时，，为递减函数；
当时，，为递增函数，所以，即，
当时，不等式恒成立，
当时，，即，
当时，由简单复合函数的单调性可得；
当时，，此时即可；
综上的最大值为1，故④正确．
12.已知关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】由，可得方程，
可化为，
令，因为在上单调递增，
所以函数在上单调递增，故时，值域为．
方程可化为，
当时，方程可化为，不成立，故，故原方程可化为，
由已知在有两个不相等的实根，
即和有两个不同的交点．
，当和时，，
即在上递减，在上递减；
当时，在递增．
另外，时，时，；
，当时，，
当，且时，，当，且时，，
根据以上信息，函数大致图象如下，
当时，和，的图象有两个不同的交点．所以的取值范围是．故答案为：．
二、选择题
13.C 14.A 15.D 16.D
15.如图是函数的导函数的图像，则下面判断正确的是（ ）
A．在上是增函数
B．在上是减函数
C．当时，取得极小值
D．当时，取得极小值
【答案】D
【解析】对于选项在上是增函数，
由图知，当时，的符号有正有负，不是单调的函数，所以A错误;
对于选项在上是减函数，
由图知，当时，是增函数，所以B错误;
对于选项，当时，取得极小值，
由图知，且在左侧附近，，在右侧附近，，
所以是极大值点，在处取到极大值，所以C错误;
对于选项，当时，取得极小值，
由图知，且在左侧附近，，在右侧附近，，
所以是极小值点，在处取到极小值，所以D正确，故选：D．
16、已知偶函数的图像是一条连续不断的曲线，其导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B. C． D．
【答案】D
【解析】设，因为是偶函数，即，
则，所以也是偶函数．
又
当时，，则在上单调递增．
已知，则，所以．
又不等式可化为即
又因为是偶函数且在上单调递增，
所以只需，解得或．同时要注意，即．
综上，不等式的解集为．故选：D．
三．解答题
17.（1）单增区间，单减区间；
（2）
18.（1） （2）；；；
19.（1） （2） （3）
20、（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）
某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳5元的值理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为元时，产品一年的销售量为（e自然对数的底数）万件，已知每件产品的售价为40元时，该产品的一年销售量为500万件，经物价部门核定每件产品的售价最低不低于35元，最高不超过41元．
（1）求的值；
（2）求分公司经营该产品一年的利润（万元）与每件产品的售价（元）的函数关系；
（3）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值．
【解析】（1）由题意，该产品一年的销售量为，将代入得．
（2）由（1）知该产品的销售量为，
所以41）
（3）由（2）知，
所以在上，单调递增，在上，单调递减，
所以．
21．（1）是 （2） （3）略