华师大版的九年级上册第24章 解直角三角形—24.3 锐角三角函数 1.锐角三角函数 同步练习

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华师大版数学九年级上册第24章第3节24.3.1锐角三角函数同步练习
一、选择题
1. 在Rt△ABC中，各边的长度都扩大两倍，那么锐角A的各三角函数值（　　）
A.都扩大两倍 B.都缩小两倍 C.不变 D.都扩大四倍
答案：C
解析：解答：∵各边的长度都扩大两倍，
∴扩大后的三角形与Rt△ABC相似，
∴锐角A的各三角函数值都不变．
故选C.
分析：根据三边对应成比例，两三角形相似，可知扩大后的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠900，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列结论正确的是（　　）
A.csinA=a B.bcosB=c C.atanA=b D.tanB=
答案：A
解析：解答：A、在Rt△ABC中，∠C=90°，
sinA=，csinA=a，正确；
B、在Rt△ABC中，∠C=90°，
cosB=，本项错误；
C、在Rt△ABC中，∠C=90°，
tanA=，btanA=a，本项错误；
D、在Rt△ABC中，∠C=90°，
tanB=，本项错误，
故选：A.
分析：本题可以利用锐角三角函数的定义求解即可．
3. 已知在△ABC中，AB=AC=m，∠B=α，那么边BC的长等于（　　）
A.2m sinα B.2m cosα C.2m tanα D.2m cotα
答案：B
解析：解答：如图，过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB=m，∠B=α，
∴cosα=，
则BD=m cosα．
又∵AB=AC，
∴BC=2BD=2m cosα．
故选：B.
分析：过点A作AD⊥BC于点D，构建直角△ABD，通过解该直角三角形得到BD的长度，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质来求BC的长度．
4. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=α，AC=7，那么BC为（　　）
A.7sinα B.7cosα C.7tanα D.7cotα
答案：C
解析：解答：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=α，AC=7，
∴tanα=，
∴BC=tanα．
故选：C.
分析：根据题意画出图形，由锐角三角函数的定义解答即可．
5. 如图，在正方形网格中，∠1、∠2、∠3的大小关系（　　）
A.∠1=∠1=∠3 B.∠1＜∠2＜∠3 C.∠1=∠2＞∠3 D.∠1＜∠2=∠3
答案：D
解析：解答：如图所示：
根据图形可知：
∠CBD=∠BDE，tan∠ABC=，tan∠EDF=，
∴∠ABC＜∠EDF
∴∠ABC+∠CBD＜∠EDF+∠BDE，即∠1＜∠2．
根据图形可知：∠EDF=∠DFG，tan∠BDE=，tan∠GFH=，
∴∠BDE=∠GFH．
∴∠EDF+∠BDE=∠DFG+∠GFH，即：∠2=∠3．
故选：D.
分析：由平行线的性质可知：∠CBD=∠BDE，∠EDF=∠DFG，然后根据锐角三角形函数的定义可知：tan∠ABC=，tan∠EDF=，tan∠BDE=tan∠GFH=，从而可判定出∠ABC＜∠EDF，∠BDE=∠GFH．然后即可比较它们的大小．
6. 若0°＜α＜45°，则下列各式中正确的是（　　）
A.sinα＞cosα B.cosα＞sinα C.cotα＜1 D.tanα＞cotα
答案：B
解析：解答：∵0°＜α＜45°，
∴sinα＜sin（90°-α）=cosα，
∵tan45°=cot45°=1，
∴cotα＞1，tanα＜1，
∴cotα＞tanα．
故选B.
分析：由于α＜90°-α，利用正弦函数的性质得到sinα＜sin（90°-α），然后利用互余公式得到cosα＞sinα；利用特殊角的三角函数值tan45°=cot45°=1，然后根据正余切的性质得到cotα＞tanα．
7. 若∠A+∠B=90°，则下列各式成立的是（　　）
A.sinA=cosA B.tanA+tanB=1
C.sinA=sinB D.sinA=cosB
答案：D
解析：解答：∵sinA=，
cosB=，
∴sinA=cosB.
故选：D.
分析：根据已知画出图形，得出sinA=，cosB=即可得出答案．
8. 已知α为锐角，那么sinα+cosα的值是（　　）
A.大于1 B.小于1 C.等于1 D.不能确定
答案：A
解析：解答：因为α为锐角，
∴sinαcosα＞0，
∴（sinα+cosα）2=sin2α+cos2α+2sinαcosα
=1+2sinαcosα＞1，
∴sinα+cosα＞1．
故选A.
分析：利用sin2α+cos2α=1和非负数的性质解答．
9. 已知∠α是一副三角板中的某个锐角，则（　　）
A.sinα＞cosα B.sinα＜cosα
C.sinα=cosα D.以上三种都有可能
答案：D
解析：解答：根据∠α是一副三角板中的某个锐角，
∴当∠α=60°时，
cos60°=，sin60°=，
∴sinα＞cosα，故此选项正确；
当∠α=30°时，
sin30°=，cos30°=，
∴sinα＜cosα，故此选项正确；
∴当∠α=45°时，
sinα=cosα=，故此选项正确；
故答案应为D
分析：根据特殊角的三角函数值分别得出各特殊角的三角函数值即可比较得出答案．
10. 已知α、β都是锐角，如果sinα=cosβ，那么α与β之间满足的关系是（　　）
A.α=β B.α+β=90° C.α-β=90° D.β-α=90°
答案：B
解析：解答：∵α、β都是锐角，如果sinα=cosβ，
sinα=cos（90°-α）=cosβ，
∴α+β=90°，
故选：B.
分析：根据α、β都是锐角，sinα=cosβ，可得α、β互为余角．
11. 已知锐角α，且sinα=cos37°，则α等于（　　）
A.37° B.63° C.53° D.45°
答案：C
解析：解答：∵sinα=cos37°，
∴α=90°-37°=53°．
故选C.
分析：根据一个角的正弦值等于它的余角的余弦值即可求解．
12. 若sin10°=cosA，则锐角A=（　　）
A.10° B.80° C.10°或20° D.不确定
答案：B
解析：解答：由sin10°=cosA，得A=90°-10°=80°．
故选：B.
分析：根据在直角三角形中互为余角的两角的三角函数的关系，一个角的正弦等于它余角的余弦．
13. ∠A是锐角，且sinA=cosA，则∠A的度数是（　　）
A.30° B.45° C.60° D.75°
答案：B
解析：解答：∵∠A是锐角，且sinA=cosA，sin45°=sin45°，
∴∠A=45°．
故选B.
分析：直接根据特殊角的三角函数值进行解答即可．
14. 在△ABC中，(tanA 3)2+|2cosB |＝0，则△ABC为（　　）
A.直角三角形
B.等边三角形
C.含60°的任意三角形
D.是顶角为钝角的等腰三角形
答案：B
解析：解答：∵（tanA-3）2+|2cosB-|=0，
∴tanA-3=0，2cosB-=0，
∴tanA=，cosB=，
∠A=60°，∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形．
故选：B.
分析：直接根据特殊角的三角函数值进行解答即可．
15. 如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则sin∠AOB的值等于（　　）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解答：连接AB，
∵以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，
∴OA=OB，
∵以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴sin∠AOB=sin60°=．
故选C.
分析：连接AB，先根据题意判断出△AOB的形状，再得出∠AOB的度数，由特殊角的三角函数值即可得出结论．
二、填空题
16. 如图，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan∠AOB=
答案：
解析：解答：过点A作AD⊥OB垂足为D，
如图，在直角△ABD中，AD=1，OD=2，
则tan∠AOB=．
故答案为：．
分析：连接AB，先根据题意判断出△AOB的形状，再得出∠AOB的度数，由特殊角的三角函数值即可得出结论．
17. 比较下列三角函数值的大小：sin40° sin50°．
答案：＜
解析：解答：∵40°＜50°，
∴sin40°＜sin50°．
故答案为＜．
分析：根据当0＜α＜90°，sinα随α的增大而增大即可得到sin40°＜sin50°．
18. 若α为锐角，则sinα+cosα 1．（填“=”、“≤”、“≥”、“＜”、“＞”）
答案：＞
解析：解答：如图：
sinα+cosα=，
∵a+b＞c，
∴sinα+cosα＞1，
故答案为：＞．
分析：根据当0＜α＜90°，sinα随α的增大而增大即可得到sin40°＜sin50°．
19. 若sin20°=cos（α+25°），则tanα= ．
答案：1
解析：解答：∵sin20°=cos70°，
∴α+25°=70°，
∴α=45°，
则tanα=tan45°=1．
故答案为：1．
分析：根据互余两角三角函数的关系可知sin20°=cos70°，可求出α的度数，继而便可求出tanα的值．
20. 将三角板（不是等腰的）顶点放置在直线AB上的O点处，使AB∥CD，则∠2的余弦值是 ．
答案：
解析：解答：由三角板的特点可知，∠D=60°，
∵AB∥CD，
∴∠D=∠2=60°，
∴cos∠2=cos60°=．
故答案为：．
分析：先根据平行线的性质及直角三角板的特点求出∠2的度数，再根据特殊角的三角函数值进行解答即可．
三、解答题
21. 在锐角△ABC中，AB=15，BC=14，S△ABC=84，求：
（1）tanC的值；
答案：解答：过A作AD⊥BC于点D.
∵S△ABC=BC AD=84，
∴×14×AD=84，
∴AD=12．
又∵AB=14，
∴BD=
∴CD=14-9=5．
在Rt△ADC中，AC=
∴tanC=；
（2）sinA的值．
答案：过B作BE⊥AC于点E．
∵S△ABC=AC EB=84，
∴BE=，
∴sin∠BAC=．
解析：（1）过A作AD⊥BC于点D，利用面积公式求出高AD的长，从而求出BD、CD、AC的长，此时再求tanC的值就不那么难了．
（2）同理作AC边上的高，利用面积公式求出高的长，从而求出sinA的值．
22. 若α是Rt△ABC中的一个锐角，且sinα+cosα=m，sinαcosα=n，则m，n是怎样的关系？
答案：解答：∵sinα+cosα=m，sinαcosα=n，
∴（sinα+cosα）2=sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+2sinαcosα，
即m2=1+2n．
解析：利用完全平方公式以及sin2A+cos2A=1，进而求出即可．
23. 计算：sin218°+cos45° tan25° tan65°+sin72° cos18°．
答案：解答：sin218°+cos45° tan25° tan65°+sin72° cos18°
=sin218°+×1+cos218°
=1+．
解析：先根据互余两角三角函数的关系得出sin72°=cos18°，再由同角三角函数的关系得出sin218°+cos218°=1，又根据互为余角的正切值互为倒数得出tan25° tan65°=1，然后将cos45°=代入计算即可求解．
24. 如图，直角坐标系中，P（3，y）是第一象限内的点，且tanα＝，求sinα．
答案：解：如图：
作PC⊥x于C点，
由tanα＝，得y=4．
由勾股定理，得OP==5，
sinα=．
解析：根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，可得答案．
25. 如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
答案：证明：连接AD、OD
∵AC是直径
∴AD⊥BC
∵AB=AC
∴D是BC的中点
又∵O是AC的中点
∴OD∥AB
∵DE⊥AB
∴OD⊥DE
∴DE是⊙O的切线
（2）若⊙O的半径为2，BE=1，求cosA的值．
答案：解：由（1）知OD∥AE，
∴∠FOD=∠FAE，∠FDO=∠FEA，
∴△FOD∽△FAE，
∴
∴
∴
解得FC=2
∴AF=6
∴Rt△AEF中，cos∠FAE=．
解析：（1）连接AD、OD，根据AC是圆的直径，即可得到AD⊥BC，再根据三角形中位线定理即可得到OD∥AB，这得到OD⊥DE，从而求证，DE是圆的切线．
（2）根据平行线分线段成比例定理，即可求得FC的长，即可求得AF，根据余弦的定义即可求解．
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