华师大版数学九年级上册第23章 23.3.3相似三角形的性质课时作业

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华师大版数学九年级上册第23章第3节23.3.3相似三角形的性质
课时作业
一、选择题
1. 如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF：FD=1：3，则BE：EC=（　　）
A． B． C． D．
答案：A
解析：解答：∵ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴△BFE∽△DFA
∴BE：AD=BF：FD=1：3
∴BE：EC=BE：（BC-BE）=BE：（AD-BE）=1：（3-1）
∴BE：EC=1：2
故选A．
分析：由平行四边形的性质易证两三角形相似，根据相似三角形的性质可解．
2. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，D是AB延长线上一点，连接CD，若∠DCB=∠A，BD：DC=1：2，则△ABC的面积为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
答案：B
解析：解答：∵∠DCB=∠A，∠CDB=∠ADC
∴△DCB∽△DAC
∴==
∵AB=5
∴BC=，AC=2
∴△ABC的面积=BC AC=5．故选B．
分析：由三角形相似，利用相似比，结合勾股定理就可以求出△ABC的面积．
3. 如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则 等于（　　）
A． B. C. D.
答案：A
解析：解答：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠DAO+∠EAO=90°，
∵E为AB的中点，
∴AE=AB=AD，
∵AF⊥DE，
∴∠AOE=∠DOA=90°，
∴∠DAO+∠ADO=90°，
∴∠EAO=∠ADO，
∴△AOE∽△DOA，
∴＝＝．
故选：A
分析：先证明△AOE∽△DOA，得出AO：DO=AE：AD，再由AE=AB=AD，即可得出结论．
4. 如图，在△ABC中，DE∥BC，如果DE=2，BC=5，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
答案：B
解析：解答：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝=，
∴＝；
故选：B．
分析：先由平行线证明△ADE∽△ABC，得出对应边成比例 ＝ = ，即可得出 的值．
5. 如图，在口ABCD中，E为BC边上的点，若BE：EC=4：5，AE交BD于F，则BF：FD等于（　　）
A．4：5 B．3：5 C．4：9 D．3：8
答案：C
解析：解答：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵BE：EC=4：5，
∴BE：AD=4：9，
∵AD∥BC，
∴BF：FD=BE：AD=4：9，
故选：C．
分析：根据BE：EC=4：5和AD=BC，证明BE：AD=4：9，根据AD∥BC，得到BF：FD=BE：AD，得到答案．
6. 如图，点D、E分别在线段AB、AC上且∠ABC=∠AED，若DE=4，AE=5，BC=8，则AB的长为（　　）
A． B．10 C． D．
答案：B
解析：解答：∵∠ABC=∠AED，∠A=∠A，
∴ADE∽△ACB，
∴=，
∵DE=4，AE=5，BC=8，
∴AB=10，
故选：B．
分析：根据已知∠ABC=∠AED，∠A=∠A，证明△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质，列出比例式，代入已知数据求出AB的长．
7. 如图，DE∥BC，AD：DB=1：2，则△ADE和△ABC的相似比为（　　）
A．1：2 B．1：3 C．2：1 D．2：3
答案：B
解析：解答：∵AD：BD=1：2，
∴AD：AB=1：3，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
则△ADE和△ABC的相似比为：AD：AB=1：3，
故选：B．
分析：根据AD：BD=1：2，得到AD：AB=1：3，根据DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，根据相似比的概念求出相似比．
8. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，AD=CE．若AB：AC=3：2，BC=10，则DE的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
答案：B
解析：解答：∵DE∥BC，
∴AD：AE=AB：AC=3：2，
∵AD=CE．
∴CE：AE=3：2，
∴AE：AC=2：5，
∴DE：BC=2：5，
∵BC=10，
∴DE：10=2：5，
解得DE=4．
故选：B．
分析：运用DE∥BC，可得出AD：AE的值，由AD=CE，求出CE：AE，可得出AE：AC即DE：BC，利用BC=10，即可求出DE的长．
9. 如图，在 ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，DE：EC=2：3，则S△DEF：S△ABF=（　　）
A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．4：25
答案：D
解析：解答：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，CD=AB．
∴△DFE∽△BFA，
∴S△DEF：S△ABF=DE2：AB2，
∵DE：EC=2：3，
∴DE：DC=DE：AB=2：5，
∴S△DEF：S△ABF=4：25
故选：D．
分析：据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方就可得到答案．
10. 如图，若D、E分别为△ABC中AB、AC边上的点，且∠AED=∠B，AD=3，AC=6，DB=5，则AE的长度为（　　）
A. B. C. D.4
答案：D
解析：解答：∵∠A=∠A，∠AED=∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∴AE：AB=AD：AC，
又∵AD=3，AC=6，DB=5，
∴AB=AD+DB=8，
∴AE=8×3÷6=4．
故选D．
分析：根据相似三角形的判定首先证出△ADE∽△ACB，然后根据相似三角形的性质得出AE：AB=AD：AC，从而求出AE的长度．
11. 如图所示，在△ABC中D为AC边上一点，若∠DBC=∠A，BC=3，AC=6，则CD的长为（　　）
A. 1 B. 2 C. D.
答案：C
解析：解答：∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB，
∴= ，
∴=
∴CD=，
故选：C．
分析：由∠DBC=∠A，∠C=∠C，可证得△BCD∽△ACB，所以有=，代入数据可求得．
12. 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的平分线交BD于点E，交CD于点F，交BC的延长线于点G，则下列结论中正确的是（　　）
A．AE2=EF FG B．AE2=EF EG C．AE2=EG FG D．AE2=EF AG
答案：B
解析：解答：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴△ADE∽△EGB，△DEF∽△AEB，
∴=，=，
∴=，
即AE2=EF EG．
所以选项B正确，
故选B．
分析：解答此题的关键是利用平行四边形证明出△ADE∽△EGB，△DEF∽△AEB，然后利用对应边成比例即可解答此题．
13. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，下列条件：①∠B+∠DAC=90°；②∠B=∠DAC；③= ；④AB2=BD BC．其中一定能够判定△ABC是直角三角形的有（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
答案：B
解析：解答：（1）∠B+∠DAC=90°，该条件无法判定△ABC是直角三角形；
（2）∵∠B=∠DAC，∠BAD+∠B=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，即∠BAC=90°，故该条件可以判定△ABC是直角三角形；
（3）=，该条件无法判定△ABC是直角三角形；
（4）∵AB2=BD BC，
∴=，
∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBA，
∴∠BAC=90°，故该条件可以判定△ABC是直角三角形；
故选 B
分析：对题干中给出的条件逐一验证，证明∠BAC=90°即可解题．
14. 如图，在△ABC中，点D是AB边上一点，DE∥BC交AC于E，AD：DB=1：2，则△ADE与△ABC的面积之比为（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：9
答案：D
解析：解答：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴= ，
∵AD：DB=1：2，
∴==，
∴△ADE与△ABC的面积之比为：．
故选：D．
分析：首先利用相似三角形的判定与性质得出 = = ，进而利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出答案即可．
15. 如图，△ABC中，E、D分别是AC、BC的中点，AD、BE交于点O，则S△DOE：S△AOB=（　　）
A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．1：4
答案：D
解析：解答：∵△ABC中，E、D分别是AC、BC的中点，
∴DE=AB，DE∥AB，
∴△DOE∽△AOB，
∴S△DOE：S△AOB=1：4．
故选：D．
分析：根据三角形中位线定理可得DE= AB，DE∥AB，再根据平行线性质和相似三角形的判定与性质即可求解．
二、填空题
16. 如图，已知△ABC中，DE∥BC，AE：AC=1：3，EM、CN分别是∠AED、∠ACB的角平分线，EM=5，则CN= 15．
答案：15
解析：解答：∵EM、CN分别是∠AED、∠ACB的角平分线，
∴∠AEM=∠AED，∠ACN=∠ACB，
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠ACB，
∴∠AEM=∠ACN，
∴EM∥CN，
∴△AEM∽△ACN，
∴=，
∵AE：AC=1：3，EM=5，
∴=，CN=15，
故答案为：15．
分析：根据角平分线定义得出∠AEM=∠AED，∠ACN=∠ACB，根据平行线性质得出∠AED=∠ACB，求出∠AEM=∠ACN，推出EM∥CN，得出△AEM∽△ACN，得出比例式= ，代入求出即可．
17. 如图，D是△ABC的边AC上的一点，若∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，则线段CD的长为 5．
答案：5
解析：解答：∵∠ABD=∠C，∠BAD=∠CAB，
∴△ABD∽△ACB，
∴＝，即＝，
∴AC=9，
∴CD=AC-AD=5．
分析：由∠ABD=∠C，∠BAD=∠CAB，证出△ABD∽△ACB，得出AB：AC=AD：AB，求出AC的长，即可求出CD的长．
18. 如图，O是四边形ABCD对角线的交点，已知∠BAD+∠BCA=180°，AB=5，AC=4，AD=3，=，则BC= ．
答案：
解析：解答：过D点作AO的平行线，交BA延长线于E点．
∵AO∥ED，
∴=，求得AE=，
∵AO∥ED，
∴∠BAC=∠AED，
∵∠BAD+∠BCA=180°，∠BAD+∠EAD=180°，
∴∠BCA=∠EAD，
∴△EAD∽△ACB，
∴=，
求得BC=．
故答案为：．
分析：过D点作AO的平行线，交BA延长线于E点，构建△ADE，根据题干中条件可证明△EAD∽△ACB，可以求得BC的值．
19. 如图，△ABC和△ECD均为等边三角形，B、C、D三点在一直线上，AD、BE相交于点F，DF=3，AF=4，则线段FE的长为 1．
答案：1
解析：解答：如图
可以认为△BCE是由△ACD逆时针转60°而得；那么CF的起始位是CF′，
∴CF=CF'，
∵∠FCF'=60°，
∴△CFF′是等边△，
∴∠BFC=∠CFD=CF'F=60°，
∴CF平分∠DFB．
∵∠CAD+∠ACF=60°，∠ACF+∠FCE=60°，
∴△ACF∽△CEF，
∴= ，
∵△EFC∽△DF'C，EC=CD，
∴EF=F'D
∴FD=FF'+F'D=CF+EF=3，
解得EF=1．
分析：可证△CFF′是等边△，可得=，可证FD=CF+EF=3，根据EF，FC的关系即可求得EF的值．
20. 如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长为 ．
答案：
解析：解答：：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=3，∠B=∠C=60°，
∴∠BAP+∠APB=180°-60°=120°，
∵∠APD=60°，
∴∠APB+∠DPC=180°-60°=120°，
∴∠BAP=∠DPC，
即∠B=∠C，∠BAP=∠DPC，
∴△BAP∽△CPD，
∴=，
∵AB=BC=3，CP=BC-BP=3-1=2，BP=1，
即=，
解得：CD=，
故答案为：．
分析：根据等边三角形性质求出AB=BC=AC=3，∠B=∠C=60°，推出∠BAP=∠DPC，证△BAP∽△CPD，得出=，代入求出即可．
三、解答题
21. 如图，在平行四边形ABCD中，BC=6，点M在对角线AC上，AM=AC，过点M作EF∥AB，交AD于点E，交BC于点F，求ED的长．
答案：解答：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，AB∥CD，
∵EF∥AB，
∴EM∥DC，
∴△AEM∽△ADC，
∴=，
∵AM=AC，
∴AE=AD=×6=2，
∴DE=6-2=4．
解析：
分析：根据平行四边形性质求出AD=6，推出EM∥CD，得出相似三角形，推出= ，根据AM=AC，求出AE= AD=2，即可求出答案．
22. 如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF．
（1）求证：2EF=BD，
答案：解答：（1）∵DC=AC，CF为∠ACB的平分线，
∴AF=DF，
∵AE=EB，AF=DF，
∴EF为△ABD的中位线，
∴2EF=BD．
（2）四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．
答案：解答：∵EF为△ABD的中位线，
∴EF∥BD，2EF=BD，
∴△AEF∽△ABD
∴两三角形相似比K=1：2，
∴=K2=，
则4（S△ABD-6）=S△ABD，
解得：S△ABD=8．
解析： 分析：（1）根据等腰三角形性质推出F为AD中点，根据三角形的中位线定理推出即可；
（2）根据三角形中位线推出EF∥BD，推出△AEF∽△ABD且两三角形相似比K=1：2，得出面积比是，代入求出即可．
23. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，点E在边AD上，BE与AC相交于点O，且∠ABE=∠BCA．
求证：（1）△BAE∽△BOA；
答案：解答：在梯形ABCD中，
∵AB∥CD，AD=BC，
∴∠EAB=∠CBA
∵∠EBA=∠BCA，
∴△EBA∽△ACB
∴∠AEB=∠BAC
∵∠ABE=∠OBA
∴△BAE∽△BOA
（2）BO BE=BC AE．
答案：解答：∵△BAE∽△BOA，
∴＝
∵∠BAC=∠OAB，
∠EBA=∠BCA
∴△OAB∽△BAC
∴＝
∴＝
∴BE BO=AE BC
分析：（1）利用梯形的性质得到∠EAB=∠CBA，从而证得△EBA∽△ACB，然后利用相似三角形的性质得到∠AEB=∠BAC，从而证明△BAE∽△BOA；
（2）根据上题证得的△BAE∽△BOA得到＝ ，然后再利用∠BAC=∠OAB、∠EBA=∠BCA证得△OAB∽△BAC，从而得到＝ ，再根据＝
得到BE BO=AE BC即可．
24. 如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，E为BC上一点，且AE⊥ED．若BC=12，DC=7，BE：EC=1：2，
（1）求AB的长．
答案：解答：（1）∵AB∥DC，且∠B=90°，
∴∠AEB+∠BAE=90°及∠C=90度．
∴∠AEB+∠CED=90度．
故∠BAE=∠CED．
∴△EAB∽△DEC．
∴=
又BE：EC=1：2，且BC=12及DC=7，
故=
则AB=．
（2）求△AED的面积．
答案：解答：∵△EAB∽△DEC，
∴＝
即：=
解得：CD=7
∴S△AED=S梯形ABCD-S△ABE-S△ECD=（AB+CD） BC-AB BE-EC CD=
（+7） 12-××4-×8×7=
分析：（1）由题意易知AB和CD所在的两个三角形相似，再利用相似比即可求出所求线段的长度．
（2）根据证得的△EAB∽△DEC利用相似三角形对应边的比成比例求得线段CD的长，利用梯形的面积减去两个三角形的面积即可求得三角形AED的面积．
25. 如图，已知E是正方形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，求证：AB2=AE BF．
答案：解答：∵∠ABF+∠DAE=90°，∠DAE+∠BAF=90°，
∴△ABF∽△AED，
∴=，
∴AD2=AE BF，
∵AB=AD，
∴AB2=AE BF．
分析：根据正方形内角为90°的性质可以求证△ABF∽△EAD，即可求得AD2=AE BF，AB=AD即可解题．
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