华师大版数学九年级上册第23章 23.3.4相似三角形的应用课时作业

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华师大版数学九年级上册第23章第3节23.3.4相似三角形的应用
课时作业
一、选择题
1. 如图，为估算学校的旗杆的高度，身高1.6米的小红同学沿着旗杆在地面的影子AB由A向B走去，当她走到点C处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC=2m，BC=8m，则旗杆的高度是（　　）
A．6.4m B．7m C．8m D．9m
答案：C
解析：解答：设旗杆高度为h，
由题意得，h=8米．
故选：C．
分析：因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用相似比解题即可．
2. 如图，为估算某河的宽度，在河岸边选定一个目标点A，在对岸取点B、C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A、E、D在同一条直线上，若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（　　）
A．60m B．40m C．30m D．20m
答案：B
解析：解答：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴△BAE∽△CDE，
∴=，
∵BE=20m，CE=10m，CD=20m，
∴＝，
解得：AB=40，
故选B
分析：由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．
3. 如右图所示为我市某农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3米，踏板DE长为1.6米，支撑点A到踏脚D的距离为0.6米，现在踏脚着地，则捣头点E上升了（　　）米．
A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2
答案：B
解析：解答：如图：
∵AB∥EF，
∴△DAB∽△DEF，
∴AD：DE=AB：EF，
∴0.6：1.6=0.3：EF，
∴EF=0.8米．
∴捣头点E上升了0.8米．
故选B．
分析：根据题意将其转化为如图所示的几何模型，易得△DAB∽△DEF，即可得出对应边成比例解答即可．
4. 在某次活动课中，甲、乙两个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：如图1，甲组测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．如图2，乙组测得学校旗杆的影长为900cm．则旗杆的长为（　　）
A．900cm B．1000cm C．1100cm D．1200cm
答案：D
解析：解答：∵同一时刻物高与影长成正比，
∴=，
解得旗杆的高度=1200cm；
故选D．
分析：根据同一时刻物高与影长成正比即可求出旗杆的高度；
5. 已知一棵树的影长是30m，同一时刻一根长1.5m的标杆的影长为3m，则这棵树的高度是（　　）
A．15m B．60m C．20m D．10 m
答案：A
解析：解答：设这棵树的高度为xm，根据在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子的比值是相同的得：＝，
∴x==15
∴这棵树的高度是15m．
故选A．
分析：在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．
6. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DF=50cm，EF=30cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=20m，则树高AB为（　　）
A．12 m B．13.5 m C．15 m D．16.5 m
答案：D
解析：解答：∵∠DEF=∠BCD=90°∠D=∠D
∴△DEF∽△DCB
∴=
∵DF=50cm=0.5m，EF=30cm=0.3m，AC=1.5m，CD=20m，
∴由勾股定理求得DE=40cm，
∴=
∴BC=15米，
∴AB=AC+BC=1.5+15=16.5米，
故选D．
分析：利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．
7. 冬至时是一年中太阳相对于地球位置最低的时刻，只要此时能采到阳光，一年四季就均能受到阳光照射．此时竖一根a米长的竹杆，其影长为b米，某单位计划想建m米高的南北两幢宿舍楼（如图所示）．当两幢楼相距多少米时，后楼的采光一年四季不受影响？（　　）
A． 米 B．米 C．米 D．abm米
答案：A
解析：解答：根据题意可得：=，
∵AB=m，
∴BC=，
∴两幢楼相距米时，后楼的采光一年四季不受影响．
故选A．
分析：运用同一时刻物体与影长成比例，得出=，进而求出即可．
8. 身高为1.8m的墨墨站在离路灯底部6m处时发现自己的影长恰好为2m，如图所示，则该路灯的高度是（　　）
A．5.4m B．6m C．7.2m D．8m
答案：C
解析：解答：如图，AB=1.8m，DB=6米，BE=2米，
∵△EAB∽△ECD，
∴=，
即：=，
解得：CD=7.2米，
故选C．
分析：如图，设AB为小亮，CD为路灯，DB=10米，利用相似三角形求得CD的长即可．
9. 在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比．如果高为1.5米的人的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高是（　　）
A．18米 B．16米 C．20米 D．15米
答案：A
解析：解答：根据题意解：标杆的高：标杆的影长=旗杆的高：旗杆的影长，
即1.5：2.5=旗杆的高：30，
∴旗杆的高= =18米．
故选A．
分析：在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
10. 如图，有一块锐角三角形材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长为（　　）
A．40mm B．45mm C．48mm D．60mm
答案：C
解析：解答：设正方形的边长为xmm，
则AK=AD-x=80-x，
∵EFGH是正方形，
∴EH∥FG，
∴△AEH∽△ABC，
∴= ，
即，
解得x=48mm，
故选C．
分析：设正方形的边长为x，表示出AI的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．
11. 如图是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD．且测得AB=1.4米，P=2.1米，PD=12米．那么该古城墙CD的高度是（　　）
A．6米 B．8米 C．10米 D．12米
答案：B
解析：解答：∵∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP，
∴△ABP∽△CDP
∴=
即=
解得：CD=8米．
分析：由光学知识反射角等于入射角不难分析得出∠APB=∠CPD，再由∠ABP=∠CDP=90°得到△ABP∽△CDP，得到= 代入数值求的CD=8．
故选B．
12. 一个钢筋三角形框架三边长分别为20厘米，50厘米、60厘米，现要再做一个与其相似的钢筋三角形框架，而只有长是30厘米和50厘米的两根钢筋，要求以其中一根为边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，则不同的截法有（　　）
A．一种 B．二种 C．三种 D．四种
答案：B
解析：解答：①当把30厘米的钢筋作为最长边，把50厘米的钢筋按10厘米与25厘米两部分截，则：＝＝＝；
②当30厘米的钢筋作为中长边，把50厘米分截出12厘米和36厘米两部分，
则有＝＝＝．
③当30cm作为最短边：则另两边都会超过50cm，此时不合题意，
∴一共有两种截法．
故选B．
分析：①当把30厘米作为最长边，50厘米的钢筋截成10与25即可，利用三组对应边的相似比相等即可得所求三角形；②当把30厘米作为中长边，50厘米的钢筋截成12与36即可，③当30cm作为最短边，分别利用三组对应边的相似比相等即可得所求三角形．
13. 王大爷家有一块梯形形状土地，如图，AD∥BC，对角线AD，BC相交于点O，王大爷量得AD长3米，BC长9米，王大爷准备在△AOD处种大白菜，那么王大爷种大白菜的面积与整个土地的面积比为（　　）
A．1：14 B．3：14 C．1：16 D．3：16
答案：C
解析：解答：∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∵AD=3，BC=9，
即AD：BC=1：3，
∴△AOD与△BOC的面积比等于：1：9．
∵△ADO与△ABO等高，
∴S△ADO：S△ABO=OD：OB=AD：BC=1：3，
同理可得：S△ADO：S△DCO=OA：OC=AD：BC=1：3
∴王大爷种大白菜的面积与整个土地的面积比为1：16
故选C．
分析：由梯形ABCD中，AD∥BC，可得△AOD∽△COB，又由AD=3，BC=9，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△AOD与△BOC的面积比．
14. 如图，AB是斜靠在墙上的一个梯子，梯脚B距墙1.4m，梯上点D距墙1.2m，BD长0.5m，则梯子的长为（　　）
A．3.5m B．3.85m C．4m D．4.2m
答案：A
解析：解答：∵△ADE∽△ABC，
∴AD：AB=DE：BC，
∴（AB-0.5）：AB=1.2：1.4，
∴AB=3.5m．
∴梯子AB的长为3.5m．
故选A．
分析：有条件△ADE∽△ABC，可得相似三角形对应边成比例，解答即可．
15. 如图，路边有一根电线杆AB和一块正方形广告牌（不用考虑牌子的厚度）．有一天，小明突然发现，在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在正方形广告牌的上边中点G处，而正方形广告牌的影子刚好落在地面上E点，已知BC=5米，正方形边长为2米，DE=4米．则此时电线杆的高度是（　　）米．
A．8 B．7 C．6 D．5
答案：D
解析：解答：过点G作GH∥BC，GM⊥BE，
根据题意，四边形BMGH是矩形，
∴BH=GM=2米，
△AHG∽△FDE，
∴=，
∴AH=3，
∴AB=2+3=5米．
故选D．
分析：过点G作GH∥BC，可得四边形BCGH是矩形，然后且△AHG与△FDE相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出AH的长度，再加上BH即可．
二、填空题
16. 现有一个测试距离为5m的视力表，根据这个视力表，小华想制作一个测试距离为3m的视力表，则图中的= ．
答案：
解析：解答：如图，依题意得△OAB∽△OCD
∴＝
∴=．
分析：如图，易得△OAB∽△OCD，利用它们对应边成比例，即可容易得到题目的结论．
17. 晚上，身高1.6米的小华站在D处（如图），测得他的影长DE=1.5米，BD=4.5米，那么灯到地面的距离AB= 6.4米．
答案：6.4
解析：解答：根据题意画出图形，列方程．
设灯到地面的高度为h，根据相似三角形的性质可得到= ，
即= ，解得h=6.4米．
分析：根据题意，可以得出△ABE∽△CDE，根据相似三角形的对应边成比例，列出方程，通过解方程求出灯到地面的高度即可．
18. 如图，一路灯距地面5.6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部（点O）5米的A处，沿OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，则小方行走的路程AC= 7.5米．
答案：7.5米
解析：解答：
∵AE⊥OD，FC⊥OD，
∴△AEB∽△OGB，
∴＝，即 ＝
解得AB=2m；
∵OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，
∴DC=5m
同理可得△DFC∽△DGO，
∴＝,即 ＝，
解得AC=7.5m．
故答案为7.5m．
分析：设出影长AB的长，利用身高与影长成正比可以求得AB的长，然后在利用相似三角形求得AC的长即可．
19. 如图，身高为1.6m的小李AB站在河的一岸，利用树的倒影去测对岸一棵树CD的高度，CD的倒影是C′D，且AEC′在一条视线上，河宽BD=12m，且BE=2m，则树高CD= 8m．
答案：8
解析：解答：利用△ABE∽△CDE，对应线段成比例解题，
因为AB，CD均垂直于地面，所以AB∥CD，
则有△ABE∽△CDE，
∵△ABE∽△CDE，
∴＝，
又∵AB=1.6，BE=2，BD=12，
∴DE=10，
∴＝，
∴CD=8．
故填8．
分析：利用相似三角形求对应线段成比例，求解即可．
20. 为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度为 5.6米．
答案：5.6
解析：解答：根据题意，易得∠CDE=∠ABE=90°，∠CED=∠AEB，
则△ABE∽△CDE，
则＝，即＝，
解得：AB=5.6米．
故答案为：5.6．
分析：根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE，再根据其相似比解答．
三、解答题
21. 在同一时刻，身高1.6m的小强的影长是1.2m，旗杆的影长是15m，求旗杆高．
答案：解答：根据题意可得：设旗杆高为x．
根据在同一时刻身高与影长成比例可得：=
解得：x=20．
答：旗杆高20米．
分析：利用在同一时刻身高与影长成比例计算．
22. 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的宽度PQ．
答案：解答：根据题意得出：QR∥ST，
则△PQR∽△PST，
故= ，
∵QS=45m，ST=90m，QR=60m，
∴=，
解得：PQ=90（m），
∴河的宽度为90米．
分析：根据相似三角形的性质得出 = ，进而代入求出即可．
23. 如图，有一块三角形的土地，它的一条边BC=100米，BC边上的高AH=80米．某单位要沿着边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上．若大楼的宽是40米（即DE=40米），求这个矩形的面积．
答案：解答：由已知得，DG∥BC
∴△ADG∽△ABC，
∵AH⊥BC
∴AH⊥DG于点M,且AM=AH-MH=80-40=40（m）
＝，
即DG＝＝50（m），
∴S矩形DEFG=DE×DG=2000（m2）．
分析：由于四边形DEFG是矩形，即DG∥EF，此时有∠ADG=∠B，∠AGD=∠C，所以△ADG∽△ABC，利用相似三角形的性质求得线段DG的长，最后求得矩形的面积．
24. 求证：一个人在两个高度相同的路灯之间行走，他前后的两个影子的长度之和是一个定值．
答案：解答：如图所示，CD、EF为路灯高度，AB为该人高度，BM、BN为该人前后的两个影子．
∵AB∥CD，
∴=，
∴=，
即 MB=DB．
同理BN=FB．
∴MB+BN=(DB+FB)=常数（定值）．
分析：根据题意作出图象，利用相似三角形的性质说明即可．
25. 要测量旗杆高CD，在B处立标杆AB=2.5cm，人在F处．眼睛E、标杆顶A、旗杆顶C在一条直线上．已知BD=3.6m，FB=2.2m，EF=1.5m．求旗杆的高度．
答案：解答：过E作EH∥FD分别交AB、CD于G、H．
因为EF∥AB∥CD，所以EF=GB=HD．
所以AG=AB-GB=AB-EF=2.5-1.5=1m
EG=FB=2.2m，GH=BD=3.6m
CH=CD-1.5m
又因为＝，
所以＝
所以CD=4m，即旗杆的高4m
分析：过E作EH∥FD分别交AB、CD于G、H，根据EF∥AB∥CD可求出AG、EG、GH，再根据相似三角形的判定定理可得△EAG∽△ECH，再根据三角形的相似比解答即可．
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