(共82张PPT)
8.3简单几何体的
表面积与体积
制作人：弃戾
棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图与侧面积
知识点一
棱柱、棱锥、棱台的体积
知识点二
圆柱、圆锥、圆台、正球体的表面积
知识点三
圆柱、圆锥、圆台、正球体的体积
知识点四
多面体的外接球与内切球问题
知识点五
目录
棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图与侧面积
知识点一
知识点一
知识点三
知识点四
知识点二
知识点五
1、基本概念
2、多面体的展开图
3、常见多面体的侧面展开图与表面积
3.1常见直棱柱的侧面展开图与侧面积
3.3常见棱台的侧面展开图与表面积
3.2常见棱锥的侧面展开图与表面积
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积
棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图与侧面积
知识点一
多面体的表面积就是各个面的面积之和
1基本概念
2多面体的展开图
把多面体沿着若干条棱切开之后，多面体的各个面就可以展开在同一个平面之内，这个平面图形就叫做多面体的展开图。
表面积与体积
知识点一
知识点三
知识点四
知识点二
知识点五
3、常见多面体的侧面展开图与表面积
3.1常见直棱柱的侧面展开图与侧面积
①正三棱柱的侧面展开图与侧面积
=
=
=
表面积
=
知识点一
知识点三
知识点四
知识点二
知识点五
②底面为任意三角形的三棱柱的侧面展开图与表面积
=
=
表面积
知识点一
知识点三
知识点四
知识点二
知识点五
③正四棱柱的侧面展开图与侧面积
=
表面积
=
2
=
知识点一
知识点三
知识点四
知识点二
知识点五
3.1延展 斜棱柱的侧面展开图与侧面积
表面积
知识点一
知识点三
知识点四
知识点二
知识点五
表面积
知识点一
知识点三
知识点四
知识点二
知识点五
在正六棱柱当中，最大的对角面面积为1，互相平行的两个侧面的距离为1m，则这个六棱柱的表面积为 。
长方体过一个顶点的三条棱的棱长比是,体对角线长为则这个长方体的表面积是 。
88
知识点一
知识点三
知识点四
知识点二
知识点五
典例1
典例2
3.2常见棱锥的侧面展开图与表面积
椎体的斜高与高
高
斜高
斜高
斜高
表面积
顶点到底面的距离
侧面三角形的高
知识点一
知识点三
知识点四
知识点二
知识点五
①正三棱锥的展开图与表面积
=
表面积
=
=
知识点一
知识点三
知识点四
知识点二
知识点五
表面积
求边长为a的正四面体的表面积S。
典例3
=
4
=
4
=
知识点一
知识点三
知识点四
知识点二
知识点五
台体的斜高与高
斜高
斜高
斜高
高
表面积
棱台的高
两底面之间的距离
棱台的斜高
斜面梯形的高
知识点一
知识点三
知识点四
知识点二
知识点五
3.3常见棱台的侧面展开图与表面积
备注：标黄的点在同一个平面上
斜高
斜高
斜高
高h
+
知识点一
知识点三
知识点四
知识点二
知识点五
表面积
一个棱台的下底面面积为1134 ，下底面一条边长为21cm，上底面一条边长为18cm，棱台的高为24cm，该棱台的表面积为 。
或
3900
知识点一
知识点三
知识点四
知识点二
知识点五
典例4
棱柱、棱锥、棱台的体积
知识点二
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
知识点五
1、棱柱的体积
直三棱柱的体积
直四棱柱的体积
斜三棱柱的体积
2、棱锥的体积
3、棱台的体积
=
1、棱柱的体积
体积
棱柱、棱锥、棱台的体积
知识点二
直三棱柱的体积
其中：
在直三棱柱当中
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
知识点五
=
体积
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
知识点五
=
其中：
在斜三棱柱当中
h
h
h
斜三棱柱的体积
体积
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
知识点五
在一次降雨过程当中，用一个侧棱的三棱柱容器收集的24小时的雨水如图①所示，当侧面水平放置时如图②所示，水面恰好过AC的中点，则图中水面的高度是 。
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
知识点五
典例5
在正六棱柱当中，最大的对角面面积为1，互相平行的两个侧面的距离为1 m，则这个六棱柱的体积为 。
图①
图②
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
知识点五
典例6
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
知识点五
2、棱锥的体积
体积
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
知识点五
体积
=
=
=
=
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
知识点五
体积
已知高为3的三棱柱的底面为边长为1的正三角形，则三棱锥的体积为 。
在直三棱柱中，各侧棱和底面的边长均为a，点D是上任意一点，连结BD、 、AD,则三棱锥的体积为 。
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
知识点五
典例7
典例8
棱台体积
通过相似比可以得出：
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
知识点五
3、棱台的体积
体积
棱台体积
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
知识点五
棱台体积
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
知识点五
棱台体积
h
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
知识点五
“斗”是我国古代容量单位，还是粮食的器具，如图所示可以近似看作正四棱台，上下面分别是边长为6 dm、2 dm的正方形，高为4 dm，如果“斗”的面的厚度为1 cm，则该“斗”的面料体积为 。
4484
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
知识点五
典例9
一个棱台的下底面面积为1134 ，下底面一条边长为21cm，上底面一条边长为18cm，棱台的高为24cm，该棱台的体积为 。
13104 或
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
知识点五
典例10
分类 多面体 棱柱
上下底面平行且全等
上下底面平行且全等
互相平行且相等
垂直于上下底面
互相平行且相等
不垂直于上下底面
矩形
平行四边形
h
Vh
Vh
h
多边形
所有侧棱相交于顶点
三角形
Vh
V
梯形
所有侧棱相交于同一点
上下底面相似且平行
底面
示意图
侧棱
侧面
表面积
体积
斜棱柱
直棱柱
棱锥
棱台
圆柱、圆锥、圆台、正球体的表面积
知识点三
知识点一
知识点三
知识点四
知识点二
知识点五
1基本概念
2旋转体的展开图
3.1圆柱体的表面积
3.2圆锥体的表面积
3.3圆台体的表面积
3旋转体的表面积
3.4正球体体的表面积
8.3.1圆柱、圆锥、圆台、正球体的表面积与体积
圆柱、圆锥、圆台、正球体的表面积
知识点三
把旋转体沿着若干条棱切开之后，旋转体的各个面就可以展开在同一个平面之内，这个平面图形就叫做旋转体的展开图。
旋转体的表面积就是围成这个旋转体的各个面的面积之和
1基本概念
2旋转体的展开图
知识点一
知识点三
知识点四
知识点二
知识点五
圆柱表面积
知识点一
知识点三
知识点四
知识点二
知识点五
3.1圆柱体的表面积
一个圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形，则这个圆柱的侧面积与表面积的比值是 。
圆柱的侧面展开图为长是a ，宽是b 的矩形，其中,则这个圆柱的体积可能是 。
知识点一
知识点三
知识点四
知识点二
知识点五
典例11
典例12
l
r
圆锥表面积
知识点一
知识点三
知识点四
知识点二
知识点五
3.2圆锥体的表面积
圆台表面积
,
知识点一
知识点三
知识点四
知识点二
知识点五
3.3圆台体的表面积
圆台表面积
知识点一
知识点三
知识点四
知识点二
知识点五
圆台的上下面半径分别是x和y（其中0知识点一
知识点三
知识点四
知识点二
知识点五
典例13
h
r
圆柱、圆锥、圆台、正球体的体积
知识点四
知识点一
知识点四
知识点三
知识点二
知识点五
体积
h
r
知识点一
知识点四
知识点三
知识点二
知识点五
体积
知识点一
知识点四
知识点三
知识点二
知识点五
体积
……
……
……
知识点一
知识点四
知识点三
知识点二
知识点五
体积
知识点一
知识点四
知识点三
知识点二
知识点五
体积
通过相似比可以得出：
知识点一
知识点四
知识点三
知识点二
知识点五
体积
知识点一
知识点四
知识点三
知识点二
知识点五
体积
知识点一
知识点四
知识点三
知识点二
知识点五
体积
分类 旋转体
圆柱
圆锥
圆台
正球
示意图
底面
母线
侧面展开
表面积
体积
体积
表面积
侧面展开
母线
底面
示意图
为环（半径不小于边缘）为璧（半径小于边宽）
线段
互相平行且相似的正圆
扇形
线段SA
一个正圆
矩形
线段AD
为全等且平行的正圆
示意图
底面
母线
侧面展开
表面积
体积
示意图
表面积
体积
多面体的外接球与内切球
知识点五
知识点一
知识点五
知识点三
知识点四
知识点二
1.1直三棱柱的外接球
1、多面体的外接球
1.2.1顶点与底面三角形外心连线为高线的三棱锥的外接球
1.2.2顶点与底面三角形外心连线不是高线的三棱锥的外接球
2.1直三棱柱的内切球做法
2、多面体的内切球
2.2三棱锥的内切球做法
2.2.1顶点与底面三角形内心连线为高线的三棱锥的内切球做法
多面体的外接球与内切球
知识点五
1.1直三棱柱的外接球
1、多面体的外接球
知识点一
知识点五
知识点三
知识点四
知识点二
问题转化为做圆柱的外接球
外接球
知识点一
知识点五
知识点三
知识点四
知识点二
外接球
1.2.1顶点与底面三角形外心连线为高线的三棱锥的外接球
知识点一
知识点五
知识点三
知识点四
知识点二
外接球
第一步 做底面三角形的外接圆
第二步 过顶点构造圆锥
问题转换为画圆锥的外接球
球心在高线之内
知识点一
知识点五
知识点三
知识点四
知识点二
圆锥外接球
假设外接球的半径为R，
在BC和当中：
带入可得：
有：
知识点一
知识点五
知识点三
知识点四
知识点二
圆锥外接球
球心在高线之外
思考：半径求法
知识点一
知识点五
知识点三
知识点四
知识点二
圆锥外接球
知识点一
知识点五
知识点三
知识点四
知识点二
1.2.2顶点与底面三角形外心连线不是高线的三棱锥的外接球
外接球
第一步 构造底面三角形的外接圆
第二步 过底面外接圆的圆心做垂直于该圆的直线l
第三步 过顶点S做过直线l的垂线段SP,交直线l于点P
第四步 以点P为圆心，以SP线段为长度画圆，且该圆垂直于底面三角形的外接圆。
问题转换为画圆台的外接球
知识点一
知识点五
知识点三
知识点四
知识点二
外接球
用来表示R
O在线段AB之内
假设,则
带入可得：
有：
在和当中：
x
知识点一
知识点五
知识点三
知识点四
知识点二
外接球
O在线段AB之外
知识点一
知识点五
知识点三
知识点四
知识点二
外接球
知识点一
知识点五
知识点三
知识点四
知识点二
外接球
O在线段AB之外
假设,则
带入可得：
有：
在和当中：
用来表示R
知识点一
知识点五
知识点三
知识点四
知识点二
外接球
2.1直三棱柱的内切球做法
2、多面体的内切球
圆柱的内切球
问题转换为：
知识点一
知识点五
知识点三
知识点四
知识点二
内接球
内接球与上下底面相切，但是不与侧面相切
知识点一
知识点五
知识点三
知识点四
知识点二
内接球
内接球与侧面相切，但是不与上下底面相切
知识点一
知识点五
知识点三
知识点四
知识点二
内接球
2.2三棱锥的内切球做法
2.2.1顶点与底面三角形内心连线为高线的三棱锥的内切球做法
在三棱锥
，可以做出三棱锥的内切球。
点P做的垂线段，交于点
我们以点P为内接球的球心，那么在点P的与移动过程当中，当且仅当：
知识点一
知识点五
知识点三
知识点四
知识点二
内接球
假设正四面体的边长为a
则
：
有
当
即
知识点一
知识点五
知识点三
知识点四
知识点二
内接球
底面为任意三角形，顶点与底面三角形的内心为高线的三棱锥的内切球问题。
知识点一
知识点五
知识点三
知识点四
知识点二
知识点一
知识点五
知识点三
知识点四
知识点二
内接球
知识点一
知识点五
知识点三
知识点四
知识点二
内接球
假设该三棱锥的底面三角形的边长分别为边长为a、b、c，则底面三角形的内接圆的半径
假设h
：
有
当
即
知识点一
知识点五
知识点三
知识点四
知识点二
内接球
思考：当三棱柱的顶点与底面三角形的内心连线不是三棱锥的高线时，该三棱锥的内切球球心位置如何确定，半径如何确定
内接球
问题转化为求圆台的内切球
内接球
内切球与上下底面和侧面均相切
内接球
用来表示R，其中
∵
∴
又,
∴
∴
∴
内接球
内切球与上下底面相切，但是与侧面不相切。
内接球
内接球
内切球与上下底面不相切，但是与侧面相切。
内接球
内接球
设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在一个球面上，则该球的表面积为 （ ）
A、 B、 C、 D、
B
在正方体中，AB=4，O为的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共面，则球O的半径取值范围是 。
典例14
典例15
感谢聆听
制作人：弃戾
