安徽省芜湖市第一中学2024届高三下学期最后一卷数学试卷（含解析）

安徽省芜湖市第一中学2024届高三最后一卷数学试题
一、单选题
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知边长为1的正方形ABCD，点E，F分别是BC，CD的中点，则（ ）
A． B． C． D．
4．“三湖一坝”生态湿地位于芜湖市弋江区火龙街道境内，湖泊总面积约为4平方公里，包括黑沙湖、南塘湖、孤山湖、高村坝四个重要的水体资源，共计5800亩，公园总面积为7.08平方公里．为了响应国家的“绿水青山就是金山银山”生态发展理念，现计划将草鱼、鳙鱼、鲢鱼这三类鱼投放到四片水域养殖（三类鱼均需养殖），且每块水域仅养殖两种不同的鱼，则共有养殖方案（ ）
A．78种 B．80种 C．81种 D．24种
5．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则角（ ）
A． B． C． D．
6．设分别是椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为( )
A． B． C． D．6
7．已知为递增等差数列的前n项和，且为等差数列，则使得成立的n的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．若，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．两个变量x，y的相关系数为r，则r越小，x与y之间的相关性越弱
B．数据1，3，4，5，7，8，10第80百分位数是8
C．已知变量x，y的线性回归方程，且，则
D．已知随机变量，则
10．如图，长方体，过点作平面的垂线，垂足为点．则以下命题中，正确的是（ ）
A．点是的垂心 B．垂直平面
C．的延长线经过点 D．直线和是异面直线
11．已知，则下列说法中错误的是（ ）
A．
B．在上为减函数
C．的对称轴为
D．当时，取最大值
三、填空题
12．的展开式中含项的系数是 ．
13．已知两个正四棱锥与均内接于球，满足和，则球的体积为 ．
14．已知双曲线的左焦点为F，P为渐近线位于第一象限内的点，过原点O作直线AB平行于FP， 交双曲线于A，B两点，四边形FPBA为矩形，则该双曲线的离心率为 ．
四、解答题
15．如图，在三棱柱中，正方形的棱长为2，，点M为AB中点，．
(1)求证：三棱柱为直三棱柱；
(2)求直线与平面所成角的余弦值．
16．安徽省从2024年起实施高考综合改革，实行高考科目“”模式．“2”指考生从政法、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩．按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如表1：
表1
等级 A B C D E
人数比例
赋分区间
将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为，其中分别表示原始分区间的最低分和最高分，分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，T表示考生的等级赋分，计算结果四舍五入取整．若甲同学在五月全市模考中某选考科目成绩信息如表2（本次考试成绩均为自然数）
表2
原始分 成绩等级 原始分区间 等级分区间
75分 A等级
(1)求甲同学该科目的等级分；
(2)理论上当原始分区间的极差越大时，该区间中得分越低的同学赋分后等级分比原始分增加越多．比如某同学仅该科目较为薄弱，如果赋分后能比原始分增加9.5分以上（包含9.5分），那么六科总分排名相对于原始分排名就会有大幅提升，此时赋分制对于该同学就是有利的．经过统计数据，五月全市模拟考试该学科A等级的成绩分布如表3．则如果从A等级的学生中随机选出100名，X表示其中获益于赋分政策的人数，求的值．
表3
分数段
人数比例
17．已知函数．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)若函数至多一个零点，求a的取值范围．
18．如图，直线与直线，分别与抛物线交于点A，B和点C，D（A，D在x轴同侧）．当经过T的焦点F且垂直于x轴时，．

(1)求抛物线T的标准方程；
(2)线段AC与BD交于点H，线段AB与CD的中点分别为M，N
①求证：M，H，N三点共线；
②若，求四边形ABCD的面积．
19．对于数列，如果存在正整数，当任意正整数时均有，则称为的“项递增相伴数列”．若可取任意的正整数，则称为的“无限递增相伴数列”．
(1)已知，请写出一个数列的“无限递增相伴数列”，并说明理由？
(2)若满足，其中是首项的等差数列，当为的“无限递增相伴数列”时，求的通项公式：
(3)已知等差数列和正整数等比数列满足：，其中k是正整数，求证：存在正整数k，使得为的“2024项递增相伴数列”．
参考答案
1．B
【详解】，
且集合为偶数集. 则
故选:B.
2．C
【详解】因为，
所以.
故选：C
3．D
【详解】边长为1的正方形ABCD，，，
，，
所以.
故选：D.
4．A
【详解】先求出每一片水域投掷两种不同鱼的方法数为，则四片水域每块水域仅养殖两种不同的鱼的方法数为，
四片水域只养殖两种不同的鱼的方法数为种，
所以所求的方法数为种方法.
故选：A
5．A
【详解】在中，，
所以，
因为，由正弦定理可得，
所以，即，所以或，即或，
当时，，而，所以不符合舍去，即.
故选：A
6．B
【详解】由椭圆的定义知
∴的周长为，
∴当最小时，最大．
当轴，即AB为通径时，最小，此时，
∴的最大值为．
故选：B．
7．B
【详解】，由等差中项的性质知，
设等差数列的公差为，则
化简得又，又数列为等差数列，则使得即又则n的最小值为3.
故选：B.
8．D
【详解】因为，，两边同时除以，得到，
当且仅当即取“=”.
则，当且仅当取“=”.
两边取自然对数，则，当且仅当取“=”.
故的最小值为.
故选：D.
9．BCD
【详解】对于，，越小，x与y之间的相关性越弱，故错误；
对于，这组数据一共有个数据，，
所以这组数据的第80百分位数是从小往大排列的第个数，即为8，故正确；
对于，线性回归方程过点，
即，当时，，故正确；
对于，，，
则，故正确.
故选：BCD.
10．AB
【详解】对于A，垂直平面，平面，故，
在长方体中直线两两互相垂直，则平面，
平面，故，
可得，又是平面内两条相交直线，
则平面，
因为平面，所以.
同理可得，则是的垂心，故A正确；
对于B，由长方体的性质可知，平面，平面，
所以平面；同理平面，平面，
所以平面；又因为是平面内两条相交直线，
则平面平面，由题意可知垂直平面，
则垂直平面，故B正确；
对于C，根据正方体的性质可知，对角线垂直于平面，
则在不是正方体的长方体中，不垂直于平面，又因为垂直平面，两直线不重合，
正方体是长方体的特殊情况，则的延长线经不一定过点，故C错误；
对于D，根据正方体的性质可知，当长方体为正方体时，即.
由于四边形为平行四边形，故直线和是相交直线，
即直线和不一定是异面直线，故D错误；
故选：AB
11．BCD
【详解】对于选项A：因为
，
即，故A正确；
对于选项B：因为，，
即，所以在内不单调，故B错误．
对于选项C：因为
，
即，可知为的对称轴，
显然，故C错误；
对于选项D：因为
，
即，可知不是的最大值点，故D错误；
故选：BCD.
12．13
【详解】的二项展开式的通项公式为，
所以含的项为.
故答案为：13.
13．
【详解】设球的半径为，
因为正四棱锥与均内接于球，所以四边形为正方形，
如图，取正方形的中心为，连结，则在上，且平面，
球心必在上，，
由，是正方形可得，
因为为球的一条直径，所以为直角，
所以，因为，所以，
又因为，的面积
所以，又，所以可得.
所以球的体积为.
故答案为：
14．
【详解】
由已知，四边形FPBA为矩形，可知O为AB的中点，所以，
设P点坐标为，则，
又P在渐近线上，联立解得，
延长交轴于点，由对称性可得为双曲线的右焦点，则B为的中点，
则，代入化简得，，
则得，解得（负值舍去）.
故答案为：.
15．(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）在三棱柱中，，由点M为AB中点，得，
，而，则，
于是，而，则，又，平面，
从而平面，所以三棱柱为直三棱柱.
（2）由（1）知，，，而平面，
则平面，又平面，于是，显然，
的面积为，设点到平面的距离为，
又，
因此，即，解得，
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成角的余弦值.
16．(1)87
(2)30
【详解】（1）由知得，
所以甲同学该科目的等级分为87分.
（2）由得，
该同学受益于赋分政策，则，即，取整得，
因为，
所以，故.
17．(1)
(2)
【详解】（1）由得：，
当时，，，
所以函数在处的切线方程为：，
即，所以
（2）由函数的定义域为，
又由，分离参变量得：
令
令
在单调递增，又，
在上，在上，
在单调递减，在单调递增，
所以 ，
又时时
18．(1)
(2)①证明见解析；②
【详解】（1）解：因为当经过抛物线的焦点F且垂直于x轴时，且，
可得，解得，所以抛物线的标准方程为.
（2）解：①设是抛物线上任意两点，
则，所以，
同理设是抛物线上任意两点，
则，所以，
又因为，可得，所以，
同理，令，可得，
，令，可得，
所以点，H，N三点共线.
②由①知，同理，
所以，可得
，可得
两式相减，可得，可得，（交于），
因为且，所以，
可得，又为中点，则平分，
所以，且，
所以.
19．(1)，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由于，我们可以取，此时恒有，
再由，当时，，
所以恒有，即满足题意.
（2）
设 ,
当为的“无限递增相伴数列”时对任意恒成立
，当时，，因为，所以，
即.
（3）证明：取，若存在这样的正整数k使得
成立，
所以，
由，得，
于是，
又因为，所以当时，，
而时，，
所以，最后说明存在正整数k使得，
由，
上式对于充分大的k成立，即总存在满足条件的正整数k