华师大版数学九年级下册第27章27．2与圆有关的位置关系3．切线同步练习
文档属性
| 名称 | 华师大版数学九年级下册第27章27．2与圆有关的位置关系3．切线同步练习 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 449.5KB | ||
| 资源类型 | 素材 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-06-23 17:28:46 | ||
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文档简介
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华师大版数学九年级下册第27章27．2与圆有关的位置关系3．
切线同步练习
一、选择题
1．如图，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（ ）
A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6
答案：B
解析：解答：在△ABC中，
∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴AC2+BC2=32+42=52=AB2，
∴∠C=90°，
如图：设切点为D，连接CD，
∵AB是⊙C的切线，
∴CD⊥AB，
∵S△ABC=AC BC=AB CD，
∴AC BC=AB CD，
即CD===，
∴⊙C的半径为，
故选：B
分析：首先根据题意作图，由AB是⊙C的切线，即可得CD⊥AB，又由在直角△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理求得AB的长，然后由S△ABC=AC BC=AB CD，即可求得以C为圆心与AB相切的圆的半径的长．
2．如图，点P在⊙O外，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∠P=50°，则∠AOB等于（ ）
A．150° B．130° C．155° D．135°
答案：B
解析：解答： ∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠P=50°，
∴∠AOB=130°．
故选B．
分析：由PA与PB为圆的两条切线，利用切线性质得到PA与OA垂直，PB与OB垂直，在四边形APBO中，利用四边形的内角和定理即可求出∠AOB的度数．
3．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=20°，则∠C的大小等于（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
答案：D
解析：解答：如图，连接OA，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB=20°，
∴∠AOC=40°，
∴∠C=50°．
故选：D．
分析：连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．
4．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．45°
答案：C
解析：解答：连接BD，
∵∠DAB=180°-∠C=60°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°-∠DAB=30°，
∵PD是切线，
∴∠ADP=∠ABD=30°，
故选：C．
分析：连接DB，即∠ADB=90°，又∠BCD=120°，故∠DAB=60°，所以∠DBA=30°；又因为PD为切线，利用切线与圆的关系即可得出结果．
5． 如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C，如果∠ABO=20°，则∠C的度数是（ ）
A．70° B．50° C．45° D．20°
答案：B
解析：解答： ∵BC是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，
∴∠OBC=90°，
∵OA=OB，
∴∠A=∠ABO=20°，
∴∠BOC=40°，
∴∠C=50°．
故选B．
分析：由BC是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，得到∠OBC=90°，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ABO=20°，由外角的性质得到∠BOC=40°，即可求得∠C=50°．
6．如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD=50°，则∠AOC的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
答案：C
解析：解答：∵在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，
∴∠OCD=90°，
∵∠BCD=50°，
∴∠OCB=40°，
∴∠AOC=80°，
故选C．
分析：根据切线的性质得出∠OCD=90°，进而得出∠OCB=40°，再利用圆心角等于圆周角的2倍解答即可．
7．已知⊙O的半径为5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是（ ）
A．2．5 B．3 C．5 D．10
答案：C
解析：解答： ∵直线l与半径为r的⊙O相切，
∴点O到直线l的距离等于圆的半径，
即点O到直线l的距离为5．
故选C．
分析：根据直线与圆的位置关系可直接得到点O到直线l的距离是5．
8．如图，一个边长为4cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等．⊙O与BC相切于点C，与AC相交于点E，则CE的长为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1.5cm
答案：B
解析：解答：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，
∵△ABC为等边三角形，边长为4cm，
∴△ABC的高为2cm，
∴OC=cm，
又∵∠ACB=60°，
∴∠OCF=30°，
在Rt△OFC中，可得FC=cm，
即CE=2FC=3cm．
故选B．
分析：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，求出等边三角形的高即可得出圆的直径，继而得出OC的长度，在Rt△OFC中，可得出FC的长，利用垂径定理即可得出CE的长．
9．如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若∠AOC=80°，则∠ADB的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．20°
答案：B
解析：解答： ∵AB是⊙O直径，AE是⊙O的切线，
∴∠BAD=90°，
∵∠B=∠AOC=40°，
∴∠ADB=90°-∠B=50°，
故选B．
分析：由AB是⊙O直径，AE是⊙O的切线，推出AD⊥AB，∠DAC=∠B=∠AOC=40°，推出∠AOD=50°．
10．如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B的切点，AC是⊙O的直径，已知∠P=40°，则∠ACB的大小是（ ）
A．40° B．60° C．70° D．80°
答案：C
解析：解答：连接OB，
∵AC是直径，
∴∠ABC=90°，
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=180°-∠P=140°，
由圆周角定理知，∠ACB=∠AOB=70°，
故选C．
分析：由PA、PB是⊙O的切线，可得∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和，求出∠AOB，再根据圆周角定理即可求∠ACB的度数．
11．如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD．若∠BAC=55°，则∠COD的大小为（ ）
A．70° B．60° C．55° D．35°
答案：A
解析：解答： ∵AC是⊙O的切线，
∴BC⊥AC，
∴∠C=90°，
∵∠BAC=55°，
∴∠B=90°-∠BAC=35°，
∴∠COD=2∠B=70°．
故选A．
分析：由AC是⊙O的切线，可求得∠C=90°，然后由∠BAC=55°，求得∠B的度数，再利用圆周角定理，即可求得答案．
12．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C=65°，则∠P的度数为（ ）
A．65° B．130° C．50° D．100°
答案：C
解析：解答： ∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
又∵∠AOB=2∠C=130°，
则∠P=360°-（90°+90°+130°）=50°．
故选C．
分析：由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠C的度数求出∠AOB的度数，在四边形PABO中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数．
13．如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为D，AD与CB的延长线交于点A，∠C=30°，给出下面四个结论：
①AD=DC；②AB=BD；③AB=BC；④BD=CD，
其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
答案：B
解析：解答：连接DO，
∵BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为D，
∴∠BDC=∠ADO=90°，
∵DO=CO，
∴∠C=∠CDO=30°，
∴∠A=30°，∠DBC=60°，
∠ADB=30°，
∴AD=DC，故①正确；
∵∠A=30°，∠DBC=60°，
∴∠ADB=30°，
∴AB=BD，故②正确；
∵∠C=30°，∠BDC=90°，
∴BD=BC，
∵AB=BD，
∴AB=BC，故③正确；
无法得到BD=CD，故④错误．
故选：B．
分析：利用圆周角定理结合切线的性质得出∠BDC=∠ADO=90°，进而得出∠A，∠ADB的度数即可得出答案，再利用直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半进而得出AB=BC，判断即可．
14．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
答案：A
解析：解答： ∵直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，
∴B（0，4），
∴OB=4，
在Rt△AOB中，∠OAB=30°，
∴OA=OB=×4=12，
∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB，
∴PM=PA，
设P（x，0），
∴PA=12-x，
∴⊙P的半径PM=PA=6-x，
∵x为整数，PM为整数，
∴x可以取0，2，4，6，8，10，6个数，
∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6．
故选A．
分析：根据直线的解析式求得OB=4，进而求得OA=12，根据切线的性质求得PM⊥AB，根据∠OAB=30°，求得PM=PA，然后根据“整圆”的定义，即可求得使得⊙P成为整圆的点P的坐标，从而求得点P个数．
15．如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC的大小是（ ）
A．70° B．40° C．50° D．20°
答案：D
解析：解答：连接BC，OB，
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴∠OAP=∠OBP=90°；
而∠P=40°（已知），
∴∠AOB=180°-∠P=140°，
∴∠BOC=40°，
∴∠BAC=∠BOC=20°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
故选D．
分析：连接BC，OB．四边形内角和定理和切线的性质求得圆心角∠AOB=140°，进而求得∠BOC的度数；然后根据“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”可以求得∠BAC=∠BOC．
二、填空题
16．如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD=OB，DC切⊙O于点C，点B是
的中点，弦CF交AB于点E．若⊙O的半径为2，则CF= ．
答案：2
解析：解答：连接OC，
∵DC切⊙O于点C，
∴∠OCD=90°，
∵BD=OB，
∴OB=OD，
∵OC=OB，
∴OC=OB，
∴∠D=30°，
∴∠COD=60°，
∵AB为⊙O的直径，点B是的中点，
∴CF⊥OB，CE=EF，
∴CE=OC sin60°=2×=，
∴CF=2．
故答案为：2
分析：连接OC，由DC切⊙O于点C，得到∠OCD=90°，由于BD=OB，得到OB=OD，根据直角三角形的性质得出∠D=30°，∠COD=60°，根据垂径定理即可得到结论．
17． 如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CDA= °．
答案：125
解析：解答：连接OD，则∠ODC=90°，∠COD=70°；
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A=∠COD=35°，
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°+35°=125°，
故答案为：125．
分析：连接OD，构造直角三角形，利用OA=OD，可求得∠ODA=36°，从而根据∠CDA=∠CDO+∠ODA计算求解．
18．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F．若∠ACF=65°，则∠E= ．
答案：50°
解析：解答：连接DF，连接AF交CE于G，
∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，
∴＝，
∵EF是⊙O的切线，
∴∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°，
∵∠FGD=∠FCD+∠CFA，
∵∠DFE=∠DCF，
∠GFD=∠AFC，
∠EFG=∠EGF=65°，
∴∠E=180°-∠EFG-∠EGF=50°，
故答案为：50°．
分析：连接DF，连接AF交CE于G，由AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，得到＝，由于EF是⊙O的切线，推出∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°根据外角的性质和圆周角定理得到∠EFG=∠EGF=65°，于是得到结果．
19．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B．若∠ABP=33°，则
∠P= °．
答案：24
解析：解答：连接OA，如图：
∵PA是⊙O的切线，切点为A，
∴OA⊥AP，
∴∠OAP=90°，
∵∠ABP=33°，
∴∠AOP=66°，
∴∠P=90°-66°=24°．
故答案为：24．
分析：连接OA，根据切线的性质得出OA⊥AP，利用圆心角和圆周角的关系解答即可．
20． 如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当
AB= cm时，BC与⊙A相切．
答案：6
解析：解答：如图，过点A作AD⊥BC于点D．
∵AB=AC，∠B=30°，
∴AD=AB，即AB=2AD．
又∵BC与⊙A相切，
∴AD就是圆A的半径，
∴AD=3cm，
则AB=2AD=6cm．
故答案是：6．
分析：当BC与⊙A相切，点A到BC的距离等于半径即可．
三、解答题
21．已知在△ABC中，∠B=90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E．
（1）求证：AC AD=AB AE；
（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长．
答案：解答：（1）连接DE，
∵AE是直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠ABC，
∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴AC AD=AB AE；
（2）连接OD，
∵BD是⊙O的切线，
∴OD⊥BD，
在Rt△OBD中，OE=BE=OD，
∴OB=2OD，
∴∠OBD=30°，
同理∠BAC=30°，
在Rt△ABC中，AC=2BC=2×2=4．
解析： 分析：（1）连接DE，根据圆周角定理求得∠ADE=90°，得出∠ADE=∠ABC，进而证得△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可求得结论；
（2）连接OD，根据切线的性质求得OD⊥BD，在Rt△OBD中，根据已知求得∠OBD=30°，进而求得∠BAC=30°，根据30°的直角三角形的性质即可求得AC的长．
22．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连接OD．
（1）求证：△ADO∽△ACB
（2）若⊙O的半径为1，求证：AC=AD BC．
答案：解答： （1）∵AB是⊙O的切线，
∴OD⊥AB，
∴∠C=∠ADO=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ADO∽△ACB；
（2）由（1）知：△ADO∽△ACB．
∴，
∴AD BC=AC OD，
∵OD=1，
∴AC=AD BC．
解析： 分析： （1）由AB是⊙O的切线，得到OD⊥AB，于是得到∠C=∠ADO=90°，问题可证；
（2）由△ADO∽△ACB列比例式即可得到结论．
23．如图，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点M，CM交⊙O于点D．
（1）求证：AM=AC；
（2）若AC=3，求MC的长．
答案：解答： （1）证明：连接OA，
∵AM是⊙O的切线，∴∠OAM=90°，
∵∠B=60°，∴∠AOC=120°，
∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠AOM=60°，∴∠M=30°，
∴∠OCA=∠M，
∴AM=AC；
（2）作AG⊥CM于G，
∵∠OCA=30°，AC=3，∴AG=，
由勾股定理的，CG=，
则MC=2CG=．
解析： 分析：（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC=120°，得到∠OCA的度数，根据切线的性质求出∠M的度数，根据等腰三角形的性质得到答案；
（2）作AG⊥CM于G，根据直角三角形的性质求出AG的长，根据勾股定理求出CG，得到答案．
24．如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的一点，CD与半圆O相切于点D，连接AD，BD．
（1）求证：∠BAD=∠BDC；
（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半径．（精确到0．01）
答案：解答： （1）连接OD，如图，
∵CD与半圆O相切于点D，
∴OD⊥CD，
∴∠CDO=90°，即∠CDB+∠BDO=90°，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠BDO=90°，
∴∠CDB=∠ODA，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠BAD，
∴∠BAD=∠BDC；
（2）∵∠BAD=∠BDC=28°，在Rt△ABD中，sin∠BAD=，
∴AB=
∴⊙O的半径为＝2．13
解析：分析：（1）连接OD，利用切线的性质和直径的性质转化为角的关系进行证明即可；
（2）根据三角函数进行计算即可．
25．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC，BD交于点E，点O在线段AE上，⊙O过B，D两点，若OC=5，OB=3，且cos∠BOE=．求证：CB是⊙O的切线．
答案：证明：连接OD，可得OB=OD，
∵AB=AD，
∴AE垂直平分BD，
在Rt△BOE中，OB=3，cos∠BOE=，
∴OE=，
根据勾股定理得：BE=，CE=OC-OE=，
在Rt△CEB中，BC==4，
∵OB=3，BC=4，OC=5，
∴OB2+BC2=OC2，
∴∠OBC=90°，即BC⊥OB，
则BC为圆O的切线．
解析： 分析：连接OD，可得OB=OD，由AB=AD，得到AE垂直平分BD，在直角三角形BOE中，利用锐角三角函数定义求出OE的长，根据勾股定理求出BE的长，由OC-OE求出CE的长，再利用勾股定理求出BC的长，利用勾股定理逆定理判断得到BC与OB垂直，即可确定出BC为圆O的切线．
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华师大版数学九年级下册第27章27．2与圆有关的位置关系3．
切线同步练习
一、选择题
1．如图，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（ ）
A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6
答案：B
解析：解答：在△ABC中，
∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴AC2+BC2=32+42=52=AB2，
∴∠C=90°，
如图：设切点为D，连接CD，
∵AB是⊙C的切线，
∴CD⊥AB，
∵S△ABC=AC BC=AB CD，
∴AC BC=AB CD，
即CD===，
∴⊙C的半径为，
故选：B
分析：首先根据题意作图，由AB是⊙C的切线，即可得CD⊥AB，又由在直角△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理求得AB的长，然后由S△ABC=AC BC=AB CD，即可求得以C为圆心与AB相切的圆的半径的长．
2．如图，点P在⊙O外，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∠P=50°，则∠AOB等于（ ）
A．150° B．130° C．155° D．135°
答案：B
解析：解答： ∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠P=50°，
∴∠AOB=130°．
故选B．
分析：由PA与PB为圆的两条切线，利用切线性质得到PA与OA垂直，PB与OB垂直，在四边形APBO中，利用四边形的内角和定理即可求出∠AOB的度数．
3．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=20°，则∠C的大小等于（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
答案：D
解析：解答：如图，连接OA，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB=20°，
∴∠AOC=40°，
∴∠C=50°．
故选：D．
分析：连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．
4．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．45°
答案：C
解析：解答：连接BD，
∵∠DAB=180°-∠C=60°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°-∠DAB=30°，
∵PD是切线，
∴∠ADP=∠ABD=30°，
故选：C．
分析：连接DB，即∠ADB=90°，又∠BCD=120°，故∠DAB=60°，所以∠DBA=30°；又因为PD为切线，利用切线与圆的关系即可得出结果．
5． 如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C，如果∠ABO=20°，则∠C的度数是（ ）
A．70° B．50° C．45° D．20°
答案：B
解析：解答： ∵BC是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，
∴∠OBC=90°，
∵OA=OB，
∴∠A=∠ABO=20°，
∴∠BOC=40°，
∴∠C=50°．
故选B．
分析：由BC是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，得到∠OBC=90°，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ABO=20°，由外角的性质得到∠BOC=40°，即可求得∠C=50°．
6．如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD=50°，则∠AOC的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
答案：C
解析：解答：∵在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，
∴∠OCD=90°，
∵∠BCD=50°，
∴∠OCB=40°，
∴∠AOC=80°，
故选C．
分析：根据切线的性质得出∠OCD=90°，进而得出∠OCB=40°，再利用圆心角等于圆周角的2倍解答即可．
7．已知⊙O的半径为5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是（ ）
A．2．5 B．3 C．5 D．10
答案：C
解析：解答： ∵直线l与半径为r的⊙O相切，
∴点O到直线l的距离等于圆的半径，
即点O到直线l的距离为5．
故选C．
分析：根据直线与圆的位置关系可直接得到点O到直线l的距离是5．
8．如图，一个边长为4cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等．⊙O与BC相切于点C，与AC相交于点E，则CE的长为（ ）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1.5cm
答案：B
解析：解答：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，
∵△ABC为等边三角形，边长为4cm，
∴△ABC的高为2cm，
∴OC=cm，
又∵∠ACB=60°，
∴∠OCF=30°，
在Rt△OFC中，可得FC=cm，
即CE=2FC=3cm．
故选B．
分析：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，求出等边三角形的高即可得出圆的直径，继而得出OC的长度，在Rt△OFC中，可得出FC的长，利用垂径定理即可得出CE的长．
9．如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若∠AOC=80°，则∠ADB的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．20°
答案：B
解析：解答： ∵AB是⊙O直径，AE是⊙O的切线，
∴∠BAD=90°，
∵∠B=∠AOC=40°，
∴∠ADB=90°-∠B=50°，
故选B．
分析：由AB是⊙O直径，AE是⊙O的切线，推出AD⊥AB，∠DAC=∠B=∠AOC=40°，推出∠AOD=50°．
10．如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B的切点，AC是⊙O的直径，已知∠P=40°，则∠ACB的大小是（ ）
A．40° B．60° C．70° D．80°
答案：C
解析：解答：连接OB，
∵AC是直径，
∴∠ABC=90°，
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=180°-∠P=140°，
由圆周角定理知，∠ACB=∠AOB=70°，
故选C．
分析：由PA、PB是⊙O的切线，可得∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和，求出∠AOB，再根据圆周角定理即可求∠ACB的度数．
11．如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD．若∠BAC=55°，则∠COD的大小为（ ）
A．70° B．60° C．55° D．35°
答案：A
解析：解答： ∵AC是⊙O的切线，
∴BC⊥AC，
∴∠C=90°，
∵∠BAC=55°，
∴∠B=90°-∠BAC=35°，
∴∠COD=2∠B=70°．
故选A．
分析：由AC是⊙O的切线，可求得∠C=90°，然后由∠BAC=55°，求得∠B的度数，再利用圆周角定理，即可求得答案．
12．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C=65°，则∠P的度数为（ ）
A．65° B．130° C．50° D．100°
答案：C
解析：解答： ∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
又∵∠AOB=2∠C=130°，
则∠P=360°-（90°+90°+130°）=50°．
故选C．
分析：由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠C的度数求出∠AOB的度数，在四边形PABO中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数．
13．如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为D，AD与CB的延长线交于点A，∠C=30°，给出下面四个结论：
①AD=DC；②AB=BD；③AB=BC；④BD=CD，
其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
答案：B
解析：解答：连接DO，
∵BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为D，
∴∠BDC=∠ADO=90°，
∵DO=CO，
∴∠C=∠CDO=30°，
∴∠A=30°，∠DBC=60°，
∠ADB=30°，
∴AD=DC，故①正确；
∵∠A=30°，∠DBC=60°，
∴∠ADB=30°，
∴AB=BD，故②正确；
∵∠C=30°，∠BDC=90°，
∴BD=BC，
∵AB=BD，
∴AB=BC，故③正确；
无法得到BD=CD，故④错误．
故选：B．
分析：利用圆周角定理结合切线的性质得出∠BDC=∠ADO=90°，进而得出∠A，∠ADB的度数即可得出答案，再利用直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半进而得出AB=BC，判断即可．
14．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
答案：A
解析：解答： ∵直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，
∴B（0，4），
∴OB=4，
在Rt△AOB中，∠OAB=30°，
∴OA=OB=×4=12，
∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB，
∴PM=PA，
设P（x，0），
∴PA=12-x，
∴⊙P的半径PM=PA=6-x，
∵x为整数，PM为整数，
∴x可以取0，2，4，6，8，10，6个数，
∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6．
故选A．
分析：根据直线的解析式求得OB=4，进而求得OA=12，根据切线的性质求得PM⊥AB，根据∠OAB=30°，求得PM=PA，然后根据“整圆”的定义，即可求得使得⊙P成为整圆的点P的坐标，从而求得点P个数．
15．如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC的大小是（ ）
A．70° B．40° C．50° D．20°
答案：D
解析：解答：连接BC，OB，
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴∠OAP=∠OBP=90°；
而∠P=40°（已知），
∴∠AOB=180°-∠P=140°，
∴∠BOC=40°，
∴∠BAC=∠BOC=20°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
故选D．
分析：连接BC，OB．四边形内角和定理和切线的性质求得圆心角∠AOB=140°，进而求得∠BOC的度数；然后根据“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”可以求得∠BAC=∠BOC．
二、填空题
16．如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD=OB，DC切⊙O于点C，点B是
的中点，弦CF交AB于点E．若⊙O的半径为2，则CF= ．
答案：2
解析：解答：连接OC，
∵DC切⊙O于点C，
∴∠OCD=90°，
∵BD=OB，
∴OB=OD，
∵OC=OB，
∴OC=OB，
∴∠D=30°，
∴∠COD=60°，
∵AB为⊙O的直径，点B是的中点，
∴CF⊥OB，CE=EF，
∴CE=OC sin60°=2×=，
∴CF=2．
故答案为：2
分析：连接OC，由DC切⊙O于点C，得到∠OCD=90°，由于BD=OB，得到OB=OD，根据直角三角形的性质得出∠D=30°，∠COD=60°，根据垂径定理即可得到结论．
17． 如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CDA= °．
答案：125
解析：解答：连接OD，则∠ODC=90°，∠COD=70°；
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A=∠COD=35°，
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°+35°=125°，
故答案为：125．
分析：连接OD，构造直角三角形，利用OA=OD，可求得∠ODA=36°，从而根据∠CDA=∠CDO+∠ODA计算求解．
18．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F．若∠ACF=65°，则∠E= ．
答案：50°
解析：解答：连接DF，连接AF交CE于G，
∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，
∴＝，
∵EF是⊙O的切线，
∴∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°，
∵∠FGD=∠FCD+∠CFA，
∵∠DFE=∠DCF，
∠GFD=∠AFC，
∠EFG=∠EGF=65°，
∴∠E=180°-∠EFG-∠EGF=50°，
故答案为：50°．
分析：连接DF，连接AF交CE于G，由AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，得到＝，由于EF是⊙O的切线，推出∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°根据外角的性质和圆周角定理得到∠EFG=∠EGF=65°，于是得到结果．
19．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B．若∠ABP=33°，则
∠P= °．
答案：24
解析：解答：连接OA，如图：
∵PA是⊙O的切线，切点为A，
∴OA⊥AP，
∴∠OAP=90°，
∵∠ABP=33°，
∴∠AOP=66°，
∴∠P=90°-66°=24°．
故答案为：24．
分析：连接OA，根据切线的性质得出OA⊥AP，利用圆心角和圆周角的关系解答即可．
20． 如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当
AB= cm时，BC与⊙A相切．
答案：6
解析：解答：如图，过点A作AD⊥BC于点D．
∵AB=AC，∠B=30°，
∴AD=AB，即AB=2AD．
又∵BC与⊙A相切，
∴AD就是圆A的半径，
∴AD=3cm，
则AB=2AD=6cm．
故答案是：6．
分析：当BC与⊙A相切，点A到BC的距离等于半径即可．
三、解答题
21．已知在△ABC中，∠B=90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E．
（1）求证：AC AD=AB AE；
（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长．
答案：解答：（1）连接DE，
∵AE是直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠ABC，
∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴AC AD=AB AE；
（2）连接OD，
∵BD是⊙O的切线，
∴OD⊥BD，
在Rt△OBD中，OE=BE=OD，
∴OB=2OD，
∴∠OBD=30°，
同理∠BAC=30°，
在Rt△ABC中，AC=2BC=2×2=4．
解析： 分析：（1）连接DE，根据圆周角定理求得∠ADE=90°，得出∠ADE=∠ABC，进而证得△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可求得结论；
（2）连接OD，根据切线的性质求得OD⊥BD，在Rt△OBD中，根据已知求得∠OBD=30°，进而求得∠BAC=30°，根据30°的直角三角形的性质即可求得AC的长．
22．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连接OD．
（1）求证：△ADO∽△ACB
（2）若⊙O的半径为1，求证：AC=AD BC．
答案：解答： （1）∵AB是⊙O的切线，
∴OD⊥AB，
∴∠C=∠ADO=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ADO∽△ACB；
（2）由（1）知：△ADO∽△ACB．
∴，
∴AD BC=AC OD，
∵OD=1，
∴AC=AD BC．
解析： 分析： （1）由AB是⊙O的切线，得到OD⊥AB，于是得到∠C=∠ADO=90°，问题可证；
（2）由△ADO∽△ACB列比例式即可得到结论．
23．如图，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点M，CM交⊙O于点D．
（1）求证：AM=AC；
（2）若AC=3，求MC的长．
答案：解答： （1）证明：连接OA，
∵AM是⊙O的切线，∴∠OAM=90°，
∵∠B=60°，∴∠AOC=120°，
∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠AOM=60°，∴∠M=30°，
∴∠OCA=∠M，
∴AM=AC；
（2）作AG⊥CM于G，
∵∠OCA=30°，AC=3，∴AG=，
由勾股定理的，CG=，
则MC=2CG=．
解析： 分析：（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC=120°，得到∠OCA的度数，根据切线的性质求出∠M的度数，根据等腰三角形的性质得到答案；
（2）作AG⊥CM于G，根据直角三角形的性质求出AG的长，根据勾股定理求出CG，得到答案．
24．如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的一点，CD与半圆O相切于点D，连接AD，BD．
（1）求证：∠BAD=∠BDC；
（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半径．（精确到0．01）
答案：解答： （1）连接OD，如图，
∵CD与半圆O相切于点D，
∴OD⊥CD，
∴∠CDO=90°，即∠CDB+∠BDO=90°，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠BDO=90°，
∴∠CDB=∠ODA，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠BAD，
∴∠BAD=∠BDC；
（2）∵∠BAD=∠BDC=28°，在Rt△ABD中，sin∠BAD=，
∴AB=
∴⊙O的半径为＝2．13
解析：分析：（1）连接OD，利用切线的性质和直径的性质转化为角的关系进行证明即可；
（2）根据三角函数进行计算即可．
25．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC，BD交于点E，点O在线段AE上，⊙O过B，D两点，若OC=5，OB=3，且cos∠BOE=．求证：CB是⊙O的切线．
答案：证明：连接OD，可得OB=OD，
∵AB=AD，
∴AE垂直平分BD，
在Rt△BOE中，OB=3，cos∠BOE=，
∴OE=，
根据勾股定理得：BE=，CE=OC-OE=，
在Rt△CEB中，BC==4，
∵OB=3，BC=4，OC=5，
∴OB2+BC2=OC2，
∴∠OBC=90°，即BC⊥OB，
则BC为圆O的切线．
解析： 分析：连接OD，可得OB=OD，由AB=AD，得到AE垂直平分BD，在直角三角形BOE中，利用锐角三角函数定义求出OE的长，根据勾股定理求出BE的长，由OC-OE求出CE的长，再利用勾股定理求出BC的长，利用勾股定理逆定理判断得到BC与OB垂直，即可确定出BC为圆O的切线．
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