浙江省2025年中考数学黑马卷 含解析

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浙江省2025年中考数学黑马卷
满分120分 时间120分钟
一、选择题（共30分）
1．（本题3分）计算下列各式，值最大的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）源东白桃由金华选育而成，果实多呈卵圆形，果皮色泽白中透黄，预计2024年源东白桃产量约达200000吨，数字200000用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）如图，俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（本题3分）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．设长为x步，则可列方程为（）
A．x（x - 12）= 864 B．x（x + 12）= 864
C．x（12 - x）= 864 D．2（2x - 12）= 864
6．（本题3分）某校随机调查了七年级40名学生一周体育锻炼时间，并绘制了如图所示的条形统计图，那么这40名学生一周参加体育锻炼时间的众数与中位数分别是（ ）
A．9，8 B．8，9 C．16，13 D．16，16
7．（本题3分）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（　　）
A． B． C． D．
8．（本题3分）如图是一个弓形暗礁区，灯塔A，灯塔B，点C分别在圆周上，现在船只正在安全区航行，若此时，则的大小可能为（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数的图象经过点，两点，则d的值不可能是（ ）
A． B．4 C． D．6
10．（本题3分）“化积为方”是一个古老的几何学问题，即给定一个长方形，作一个和它面积相等的正方形，这也是证明勾股定理的一种思想方法．如图所示，在矩形中，以为边作正方形，在的延长线上取一点，使得，过点作交于点，过点作于点．若，则为（ ）
A．4 B． C． D．
二、填空题（共18分）
11．（本题3分）因式分解： ．
12．（本题3分）一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黑球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 ．
13．（本题3分）我们知道，比较两个数的大小有很多方法，其中的图象法也非常巧妙，比如，通过图中的信息，我们可以得出的解是 ．
14．（本题3分）已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
15．（本题3分）图1是欢乐谷游乐园门口遮阳伞落地支架，图2是其示意图．支架主体部分是一段圆弧，弧长占所在圆周长的三分之一，且所在圆的圆心恰好在支架顶端B的正下方．若点B离地高度为，则制作支架所需的钢管长度（即弧长）为 （结果保留）．
16．（本题3分）数学课上，小慧用两张如图1所示的直角三角形纸片：，，，斜边重合拼成四边形，如图2所示．接着在，上取点，，连，，使，则的值为 ．
三、解答题（共72分）
17．（本题8分）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
18．（本题8分）已知：图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为，点、点在小正方形的顶点上．
(1)在图1中画出平行四边形（点、在小正方形的顶点上），使平行四边形的面积为；
(2)在图2中画出（点在小正方形的顶点上），使是等腰三角形且，线段的长为 ．
19．（本题8分）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度（单位：）与所用时间（单位：）的函数关系如图所示，其中.
(1)写出平均速度关于所用时间的函数解析式，并求的取值范围；
(2)若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度的范围.
20．（本题8分）中华文化源远流长，在文学方面《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某学校为了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行抽样调查，根据调查结果绘制成如下不完整的统计图．
请根据以上信息，解决下列问题：
(1)补全条形统计图，并计算扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为 度；
(2)本次调查所得数据的众数是 部，中位数是 部；
(3)若该校共有3200名学生，请你估计该校读完“4部”的学生有多少人？
21．（本题8分）如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．
22．（本题10分）小兴同学在母亲节来临之际，为妈妈购买了如图1所示的台式桌面化妆镜，由镜面与底座组成，镜面可绕两固定点转动．如图2是将其放置在水平桌面上的正面示意图，镜面为圆形，底座上的固定点A，B所在直线经过镜面的圆心O，如图3是其侧面示意图．现测得底座最高点A到桌面高为，C为镜面上的最高点，且直径（边框视为镜面的一部分）为．

(1)在镜面转动的过程中，求镜面上的点D到桌面的最短距离（即图3中的长）．
(2)如图4小兴妈妈通过转动镜面，测得，求此时镜面上的点D到桌面的距离．（精确到，参考数据：，，）
23．（本题10分）已知二次函数，点，点都在该函数图象上．
(1)若时，求该二次函数的顶点坐标．
(2)若时，求a的值．
(3)求的最小值．
24．（本题12分）已知：如图1，是的内接三角形，且，点是弧上一动点，连接交弦于点，点在弦上，且．

(1)求证：；
(2)如图2，若是的直径，，，求直径的长；
(3)如图3，保持点位置不变，调整点的位置使得直线经过圆心，点在上，使得成立的所有点中，有一个点的位置始终不变，试找出这个点，并说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C C A B B A A B
1．A
【分析】分别根据有理数的加法、减法、乘法和除法法则求解得出结果，再比较大小即可得出答案．
【详解】解：A．；
B、；
C．；
D．；
∵，
∴值最大的是A选项，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的加法、减法、乘法和除法运算，有理数的大小比较，掌握有理数的运算法则是解题的关键．
2．B
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，理解轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可．
【详解】解：A中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B中图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C中图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意，
故选：B．
3．C
【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
【详解】解：数字200000用科学记数法可表示为．
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了几何体的三视图，俯视图是从上往下看，即可得到结果，正确得到俯视图是解题的关键．
【详解】解：从上往下看，是一个矩形，看不见的线为虚线，所以左右两边为两条虚线，在两条虚线的中间有两条实线，
故选：C．
5．A
【分析】由宽比长少12步可得宽为（x-12）步，再由面积列方程即可；
【详解】解：由题意得：x（x-12）=864，
故选： A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，矩形的面积计算；读懂题意弄清数量关系是解题关键．
6．B
【分析】本题考查的是众数和中位数的定义，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
众数是在一组数据中出现次数最多的数据，中位数是将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据或者最中间两个数据的平均数叫这组数据的中位数．本组数据中，8出现了16次，出现的次数最多．把数据按照从大到小的顺序排列，最中间的两个数的平均数即为中位数．
【详解】解：8是出现次数最多的，故众数是8，
这组数据从小到大的顺序排列，中位数是第20，21名学生的成绩的平均数，而处于中间位置的两个数都是9，故中位数是．
故选：B．
7．B
【分析】本题考查菱形的性质，坐标与图形，连接交于点D，菱形的性质，得到，进而求出点B的坐标即可．
【详解】解：连接交于点D，
∵四边形是菱形，点C的坐标是，点A的纵坐标是1，
∴，
∴点B的坐标是．
故选：B．
8．A
【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，设与圆相交于D，连接，根据圆周角定理得出，根据三角形外角的性质得出，即可求解．
【详解】解：如图，设与圆相交于D，连接，
∴，
∵，
∴，
∴选项A符合题意，
故选：A．
9．A
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是根据时，的取值范围是，可得抛物线图象开口方向及对称轴直线方程，再根据二次函数的性质进而求解．
【详解】解：如图，
二次函数，当时，的取值范围是，
二次函数开口向下，对称轴为直线，
该二次函数的图象经过点，两点，
点关于对称轴的对称点为，
或，
不可能是．
故选：A．
10．B
【分析】由，证明四边形是矩形，再证明，得，则四边形是正方形，所以，而，则，所以，由，得，，，所以，即可求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：，，，
，
四边形是矩形，
四边形是矩形，四边形是正方形，
，，
点在边上，点在边上，
，
，
，
，，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
解得或，
若，则，
不符合题意，舍去，
故选：B．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．
11．．
【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：．
12．
【分析】用红球的个数除以球的总个数即可．
【详解】解：从袋中任意摸出一个球有8种等可能结果，其中摸出的小球是红球的有3种结果，
所以从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
13．或
【分析】看谁的图像在谁的上方即可.
【详解】当x>1或–11或–1【点睛】掌握数形结合是解题的关键.
14．
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，得出和的值是解题关键．根据一元二次方程根和系数的关系，得到，，再将代数式变形，整体代入计算即可．
【详解】解：、是一元二次方程的两个实数根，
，，
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，求弧长，解直角三角形的应用，过点B作地面的垂线，垂足为C，设圆弧所在圆的圆心为O，连接，根据题意可得，则，解直角三角形得到，则，可得，再利用弧长公式求解即可．
【详解】解：如图所示，过点B作地面的垂线，垂足为C，设圆弧所在圆的圆心为O，连接，
∵支架主体部分是一段圆弧，弧长占所在圆周长的三分之一，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴制作支架所需的钢管长度（即弧长）为，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查相似三角形判定和性质．连接，交于点，利用勾股定理及面积法求得和的长，然后通过证明，利用相似三角形的性质列比例式求解．
【详解】解：如图2，连接，交于点，设与交于点，
由题意，，，
垂直平分，
在中，，
，
，
解得：，
，
，，
，，，
又，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
17．（1）；（2）．
【分析】本题考查零指数幂公式，求立方根，负整数指数幂公式，解不等式组等知识，掌握相关运算法则公式和方法是解题的关键．
（1）根据零指数幂公式，立方根的定义，负整数指数幂公式求解即可；
（2）根据解一元一次不等式组的一般步骤求解即可．
【详解】解：（1）原式；
（2）
不等式①的解为
不等式②的解为
∴不等组的解集为
18．(1)见解析
(2)见解析，
【分析】本题考查了正切的定义，等腰三角形，平行四边形的性质，勾股定理与网格作图；
（1）根据题意作出底边为，高为的平行四边形，即可求解；
（2）根据，结合网格的特点作等腰直角三角形，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求；
∵，
∴平行四边形的面积为；
（2）解：如图所示，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，则，
故答案为：．
19．(1)，
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的应用和待定系数法求函数关系式，根据函数关系图，以及路程与速度、时间之间的关系，确定v与t的函数关系为反比例函数是解题的关键．
（1）根据路程，甲、乙两地距离为定值，可知v与t的函数关系为反比例函数，再用待定系数法即可求解；
（2）分别求出在10时40分和11时到达，两个时间段对应的速度，即可求出平均速度的范围；
【详解】（1） 路程，甲、乙两地距离为定值，
v与t的函数关系为反比例函数，
设v与t的函数关系式为，将代入解析式，
得：，解得：，
v与t的函数关系式为，
；
（2）若当天10时40分到达乙地，则所用时间，
，
若当天11时到达乙地，则，
，
客车平均速度的范围为 ．
20．(1)统计图见解析，72
(2)1；2
(3)640
【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，求中位数和众数：
（1）先用1部的人数除以其人数占比求出参与调查的总人数，再求出2部的人数即可补全统计图；用360度乘以4部的人数占比即可求出对应的圆心角度数；
（2）根据众数和中位数的定义求解即可；
（3）用3200乘以样本中4部的人数占比即可得到答案．
【详解】（1）解：人，
∴一共调查了40人，
∴“2部”的人数为人，
补全统计图如下
，
∴扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为72度；
（2）解：∵1部的人数最多，
∴众数为1部，
∵40名学生看的部数从小到大排列后，处在最中间的两个数为2，2，
∴中位数为2部，
故答案为：1；2；
（3）解：人，
∴估计该校读完“4部”的学生有6400人．
21．(1)见解析;(2)见解析.
【详解】试题分析：（1）由矩形可得∠ABD=∠CDB，结合BE平分∠ABD、DF平分∠BDC得∠EBD=∠FDB，即可知BE∥DF，根据AD∥BC即可得证；
（2）当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形，由角平分线知∠ABD=2∠ABE=60°、∠EBD=∠ABE=30°，结合∠A=90°可得∠EDB=∠EBD=30°，即EB=ED，即可得证．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC、AD∥BC，∴∠ABD=∠CDB，∵BE平分∠ABD、DF平分∠BDC，∴∠EBD=∠ABD，∠FDB=∠BDC，∴∠EBD=∠FDB，∴BE∥DF，又∵AD∥BC，∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形，∵BE平分∠ABD，∴∠ABD=2∠ABE=60°，∠EBD=∠ABE=30°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∴∠EDB=90°﹣∠ABD=30°，∴∠EDB=∠EBD=30°，∴EB=ED，又∵四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是菱形．
考点：矩形的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；探究型．
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据圆的性质，经过圆心的直径最大，圆心外端的圆上点最远点，圆心内端的圆上点最近点，确定这两个点的位置，后计算即可．
（2）过点D作交于点M，解直角三角形计算即可．
本题考查了圆的性质，解直角三角形，熟练掌握圆的性质，解直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）∵直径，
．
∵A，B，O在同一水平面上，A到桌面的高为，
，
．
（2）过点D作交于点M（如图）

∵
∵
，
∵，
镜面上的点到桌面的最短距离
（即）．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，顶点坐标，最值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）把代入，得，结合对称轴性质，把代入，即可作答．
（2）分别得出，再代入，进行计算化简，即可作答．
（3）因为，所以，根据二次函数的图象性质进行作答即可
【详解】（1）解：依题意，把代入
得出
则对称轴，
把代入，
得出，
∴该二次函数的顶点坐标为；
（2）解：∵二次函数，点，点都在该函数图象上
∴，
，
∵，
∴，
则，
解得；
（3）解：由（2）知，
∴，
∵，
∴该函数的开口向上，
∴该函数的对称轴为，
则把代入，
得出，
∴的最小值为．
24．(1)见解析
(2)
(3)始终不变的点是半径的延长线与圆的交点．
【分析】（）根据等腰三角形的性质及圆周角的性质可知，再利用相似三角形的判定即可解答；
（）根据圆周角的定理可知，再根据勾股定理可知，最后利用相似三角形的性质即可解答；
（）根据相似三角形的判定与性质可知，再利用相似三角形的性质即可解答．
【详解】（1）解：∵在中，，
∴，
∵在中，，
∴，
又∵
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴
又∵是的直径，
∴，，
∴,
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∵，即
∴，
∴，
∴，
（3）解：延长，交圆于点M.

∵，
∴，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴始终不变的点是半径（或）的延长线与圆的交点．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．