2025年人教版数学五升六年级暑假衔接培优精讲练过关讲义
（知识梳理+易错点拨+真题培优拔尖卷）
第3讲 质数和合数
质数和合数
定义：质数（或素数）是指一个大于1的自然数，除了1和它本身以外不再有其他因数的数。合数则是指除了1和它本身以外还有其他因数的自然数（大于1）。
特性：质数只有两个正因数，即1和它本身；合数则至少有三个正因数。最小的质数是2，最小的合数是4。
分解：任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式，即质因数分解。例如，合数12可以分解为2×2×3，其中2和3都是质数。
分解质因数：
分解质因数是将一个合数表示成几个质数相乘的形式。例如，24可以分解为2×2×2×3，其中2和3都是质数。
分解质因数的步骤通常包括：找出该数的最小质因数，然后用这个质因数去除该数，得到商；如果商不是1，那么继续找出商的最小质因数，以此类推，直到商为1为止。
质数和合数
1、既不是质数也不是合数：因为质数必须大于1，而1只能被自己整除，不满足质数和合数的定义。
2、是唯一的偶数质数：除了2以外的所有偶数都能被2整除，因此它们不是质数。2作为唯一的偶数质数，在判断一个偶数是否为质数时需要特别注意。
3.合数的质因数分解：在分解合数时，需要确保分解出的因数都是质数。有时学生可能会错误地将合数分解为包含合数的因数。
4.判断质数的方法：在判断一个数是否为质数时，常见的方法有试除法和六倍原理。试除法是通过尝试用小于等于该数平方根的所有自然数去除该数，如果都不能整除，则该数为质数。六倍原理则是通过判断一个数是否满足特定的条件（如6k±1的形式）来初步判断其是否为质数。但需要注意的是，这些方法只能作为初步判断的依据，不能作为最终结论。
分解质因数：
1.误将1当作质数或合数：如前所述，1既不是质数也不是合数。
2.忽略2是唯一的偶数质数：在判断一个偶数是否为质数时，需要特别注意2是唯一的偶数质数。
3.分解质因数时忽略某些质因数：例如，将28分解为2×14或4×7，而忽略了2×2×7的因数。
4.对质因数进行重复计数：在分解质因数时，可能会不小心重复计算某个质因数。例如，将90分解为2×3×3×5或2×3×5×3，而重复计算了3的因数。
5.混淆质数和合数的定义：在解题过程中，需要明确质数和合数的定义，避免混淆。例如，一个大于1的自然数如果不是质数，那么它一定是合数。
检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.48（较难）
一．反复比较，慎重选择（将正确答案的序号填在括号里）（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（本题2分）（23-24五年级下·河南信阳·期末）有27名学生要分成甲、乙两队。如果甲队人数为奇数，那么乙队人数一定是（ ）。
A．偶数 B．奇数 C．质数 D．合数
【答案】A
【思路点拨】根据偶数与奇数的性质：偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，据此判断即可。
【规范解答】因为27是奇数，甲队人数＋乙队人数＝27，如果甲队人数为奇数，那么乙队人数一定是偶数。
故答案为：A
2．（本题2分）（23-24五年级下·浙江台州·期末）下列算式中，m，n均是自然数，m，n一定为互质数的是（ ）。
A．m＋n＝9 B．m÷n＝8 C．m－n＝1 D．m×n＝20
【答案】C
【思路点拨】公因数只有1的两个数叫做互质数。各选项可列举数字分析判断。
【规范解答】根据分析，解答如下：
A．m＝3、n＝6满足等式，m、n有公因数3，不互质；
B．m＝32、n＝4满足等式，m、n有公因数2、4，不互质；
C．由相邻的两个数互质，所以本选项正确；
D．m＝2、n＝10满足等式，m、n有公因数2，不互质。
故答案为：C
3．（本题2分）（23-24五年级下·河南信阳·期末）奇数和奇数的和一定是（ ），两个质数的积一定是（ ）。
A．奇数；合数 B．偶数；合数 C．合数；偶数 D．无法确定；无法确定
【答案】B
【思路点拨】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。奇数和偶数的运算性质：奇数＋奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，奇数×奇数＝奇数。据此判断即可。
【规范解答】根据分析可知，奇数和奇数的和一定是偶数，两个质数的积一定是合数。例如：3＋5＝8，2×3＝6，8是偶数，6是合数。
故答案为：B
4．（本题2分）（23-24五年级下·河南安阳·期末）a是不等于零的自然数，2a＋1一定是（ ）。
A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数
【答案】C
【思路点拨】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
奇数和偶数的运算性质：偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数。
【规范解答】A．当a＝4时，2a＋1＝2×4＋1＝8＋1＝9，9是合数；原选项说法错误；
B．当a＝2时，2a＋1＝2×2＋1＝4＋1＝5，5是质数；原选项说法错误；
C．无论a是奇数，还是偶数，2a一定是偶数，因为偶数＋奇数＝奇数，所以2a＋1一定是奇数；原选项说法正确；
D．当a＝3时，2a＋1＝2×3＋1＝6＋1＝7，7是奇数；原选项说法错误。
故答案为：C
5．（本题2分）（23-24五年级下·四川凉山·期末）如果一个数a，只有两个因数，那么a一定是（ ）。
A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数
【答案】C
【思路点拨】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
【规范解答】A．如果a是奇数15，15的因数有：1，3，5，15；共有4个因数，不符合题意；
B．如果a是偶数6，6的因数有：1，2，3，6；共有4个因数，不符合题意；
C．如果a是质数7，7的因数有：1，7；共有2个因数，符合题意；
D．如果a是合数9，9的因数有：1，3，9；共有3个因数，不符合题意。
故答案为：C
二、用心思考，认真填写（共8小题，满分19分）
6．（本题2分）（23-24五年级下·山东济宁·期末）德国数学家哥德巴赫提出：任何大于2的偶数都可以表示为两个质数的和。如8＝3＋5，16＝( )＋( )。
【答案】 3 13
【思路点拨】20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19。根据猜想找到16由哪两个质数组成，据此解答。
【规范解答】，。
故这两个质数可能是3和13，或者是5和11。
7．（本题4分）（23-24五年级下·辽宁鞍山·期末）某县辖区面积约1080平方千米，下辖16镇、2个民族乡，共有常住人口84.85万人。
以上描述中的自然数，是质数的有( )，是合数的有( )。其中是3的倍数的是( )，同时是2和5的倍数是( )。
【答案】 2 1080、16 1080 1080
【思路点拨】自然数中，个位0、2、4、6、8的数是2的倍数；个位是0或5的数是5的倍数；各个数位上的数字之和能被3整除的数是3的倍数；只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身两个因数外还有其它因数的数是合数，据此解答即可。
【规范解答】题中自然数有：1080、16、2；
以上描述中的自然数，是质数的有2，是合数的有1080、16。其中是3的倍数的是1080，同时是2和5的倍数是1080。
8．（本题4分）（23-24五年级下·广东云浮·期末）“第33届奥运会于7月26日在法国巴黎开幕，8月11日闭幕。”这句话出现的数中，质数有( )，合数有( )；其中( )是( )的因数。
【答案】 7、11 33、26、8 11 33
【思路点拨】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；据此判断每个数即可。
【规范解答】根据分析可知，质数有7、11；合数有33、26、8；因为33能被11整除，所以11是33的因数。
9．（本题4分）（23-24五年级下·河南信阳·期末）在1～10各数中，质数有( )；合数有( )；既不是质数也不是合数的有( )；既是2的倍数，又是3的倍数的有( )。
【答案】 2、3、5、7 4、6、8、9、10 1 6
【思路点拨】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数（讨论因数、倍数、质数、合数时一般不包括0）。在1～10的自然数中找出所有的质数：2，3，5，7，找出所有的合数：4，6，8，9，10；既是2的倍数，又是3的倍数说明是6的倍数，据此可知1～10只有6符合。
【规范解答】在1～10各数中，质数有2、3、5、7；合数有4、6、8、9、10；既不是质数也不是合数的有1；既是2的倍数，又是3的倍数的有6。
10．（本题2分）（22-23五年级下·湖南益阳·期末）一个七位数，它个位上的数是最小的合数，百位上的数是最大的一位数，最高位上的数既是质数又是偶数，其余数位上的数均是0，这个数写作( )，读作( )。
【答案】 2000904 二百万零九百零四
【思路点拨】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。据此确定各数位上的数，写出这个数；整数的读法：从高位到低位，一级一级地读，读完万级读一个万字，每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续几个0都只读一个“零”。
【规范解答】最小的合数是4，最大的一位数是9，2是质数中唯一的偶数，这个数是2000904；2000904读作：二百万零九百零四。
一个七位数，它个位上的数是最小的合数，百位上的数是最大的一位数，最高位上的数既是质数又是偶数，其余数位上的数均是0，这个数写作2000904，读作二百万零九百零四。
11．（本题1分）（23-24五年级下·山西忻州·期末）微信支付给人们的生活带来了极大的便利。王扬帮奶奶设置了一个六位数的支付密码：个位上的数是最小的质数；十位上的数是10以内的最大合数；百位上的数既是8的因数，又是8的倍数；千位上的数既不是质数也不是合数（不为0）；万位上的数是最大的一位数；十万位上的数是6。这个支付密码是( )。
【答案】691892
【思路点拨】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，据此确定各数位上的数，写出这个支付密码即可。
【规范解答】最小的质数是2，个位上的数是2；10以内最大的合数是9，十位上的数是9；既是8的因数，又是8的倍数，这个数是8，百位上的数是8；1既不是质数也不是合数，千位上的数是1；最大的一位数是9，万位上的数是9；再加上十万位上的数是6，因此这个支付密码是691892。
12．（本题1分）（20-21五年级下·河北唐山·期末）一个三位数，百位上的数是既不是质数也不是合数，十位上的数是最小的质数，个位上的数是最小的合数，这个三位数是( )。
【答案】124
【思路点拨】只有1和它本身两个因数的数叫做质数；除了1和它本身，还有其它因数的数叫做合数。1既不是质数也不是合数，最小的质数是2，最小的合数是4。据此解答。
【规范解答】通过分析可得：这个三位数是124。
13．（本题1分）（23-24五年级下·河南信阳·期末）一个六位数，各个数位上的数字从低位到高位依次是最小的偶数，最小的奇数，最小的质数，最小的合数，既是质数又是偶数，最大的一位数，这个六位数是( )。
【答案】924210
【思路点拨】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数；据此找出符合要求的数，再把相应数字写在这个六位数的相应数位上即可得解。
【规范解答】最小的偶数是0，最小的奇数是1，最小的质数是2，最小的合数是4，既是质数又是偶数的是2，最大的一位数是9，这个六位数是924210。
三、认真审题，准确判断（共5小题，满分10分，每小题2分）
14．（本题2分）（23-24五年级下·重庆梁平·期末）两个连续自然数的和不是质数就是合数。( )
【答案】×
【思路点拨】只用1和它本身两个因数的数是质数；除了1和它本身两个因数，还有其它因数的数是合数。1既不是质数，也不是合数。据此解答。
【规范解答】当这个两个连续自然数是0和1时，它们的和：0＋1＝1，1既不是质数也不是合数。题目说，两个连续自然数的和不是质数就是合数，这种说法是错误的。
故答案为：×
15．（本题2分）（23-24五年级下·河南安阳·期末）两个不同奇数的和一定是偶数。( )
【答案】√
【思路点拨】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
奇数和偶数的运算性质：偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数。
【规范解答】如：奇数1和3，1＋3＝4，4是偶数；
奇数5和7，5＋7＝12，12是偶数；
所以，两个不同奇数的和一定是偶数。
原题说法正确。
故答案为：√
16．（本题2分）（23-24五年级下·四川凉山·期末）五（1）班一共有45名学生，如果男生人数为偶数，那么女生人数为奇数。( )
【答案】√
【思路点拨】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。奇数－偶数＝奇数，据此分析。
【规范解答】45是奇数，45－偶数＝奇数，五（1）班一共有45名学生，如果男生人数为偶数，那么女生人数为奇数，说法正确。
故答案为：√
17．（本题2分）（23-24五年级下·重庆潼南·期末）将18写成质数相乘的形式是36＝2×2×9。( )
【答案】×
【思路点拨】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。
【规范解答】18＝2×3×3
将18写成质数相乘的形式是18＝2×3×3。
原题干错误。
故答案为：×
18．（本题2分）（23-24五年级下·河南信阳·期末）在整数中，可以说一个数不是奇数就是偶数，也可以说不是质数就是合数。( )
【答案】×
【思路点拨】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。
除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。1既不是质数也不是合数，据此分析。
【规范解答】在整数中，不是奇数就是偶数，或者说除了质数、合数以外，还有0和1，所以原题说法错误。
故答案为：×
四、灵活应用，解决问题（共12小题，满分61分）
19．（本题5分）（22-23五年级下·全国·期中）一个长方形的长和宽都是以厘米为单位的质数，且周长是64厘米，这个长方形的面积最大是多少平方厘米？
【答案】247平方厘米
【思路点拨】先用周长÷2，求出长宽的和，根据除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数，确定长和宽，再根据长方形面积＝长×宽，求出面积比较即可。
【规范解答】64÷2＝32＝29＋3＝19＋13
29×3＝87（平方厘米）
19×13＝247（平方厘米）
87＜247
答：这个长方形的面积最大是247平方厘米。
20．（本题5分）（21-22五年级下·湖南株洲·期末）整数，的最小公倍数记为[，]，如“[6，9]＝18”就表示“6和9的最小公倍数是18”；整数，的最大公因数记为（，），如“（4，6）＝2”就表示“4和6的最大公因数是2”。小明说：[，]×（，）＝×（，都是大于0的自然数）。他说得对吗？请说明。
【答案】说得对，见详解。
【思路点拨】可假设a＝c×d，b＝c×e，其中c表示a. b所有公有质因数的积；d表永a独有质因数的积，e表示b独有质因数的积。通过计算进行判断即可。
【规范解答】假设a＝c×d，b＝c×e，其中c表示a. b所有公有质因数的积；d表永a独有质因数的积，e表示b独有质因数的积。
则（a，b）＝c
[a，b]＝c×d×e
故[，]×（，）
＝ c×d×e×c
＝（c×d）×（c×e）
＝×
原题说法正确。
21．（本题5分）（22-23五年级下·吉林·期末）实验小学的长方形花圃里有几行玫瑰，每行的棵数都相等。小明数的是83棵，小刚数的是91棵，小红数的是89棵，其中只有一个小朋友数对了，这个小朋友是谁呢？请你说明理由。
【答案】小刚；理由见详解
【思路点拨】玫瑰的数量，可以分成几行，且每行的棵数都相等，说明玫瑰的棵数是一个合数，它有两个以上的因数，据此解答。
【规范解答】83只有1和83，所以83是质数；
91的因数有1、7、13、91，所以91是合数；
89的因数只有1和89，所以89是质数；
答：玫瑰的棵数是一个合数，所以小刚数对了。
22．（本题6分）（22-23五年级下·山西长治·期末）6月28日是妈妈的生日，芳芳拿出压岁钱计划到花店给妈妈买一束鲜花。看过价格表之后，芳芳选了一些康乃馨和郁金香，售货员说她应该付63元，你觉得售货员说的对吗？说说你的理由。
【答案】不对；理由见详解（理由合理即可）。
【思路点拨】康乃馨每枝8元，郁金香每枝4元，8和4都是偶数。因为偶数×偶数＝偶数，偶数×奇数＝偶数，所以买康乃馨的钱数是偶数，买郁金香的钱数也是偶数。又因为偶数＋偶数＝偶数，所以买康乃馨和郁金香的总钱数是偶数。根据奇数、偶数的运算性质解答即可。
【规范解答】售货员说的不对。
理由：8和4都是偶数，偶数的倍数一定是偶数，所以无论各买几枝康乃馨和郁金香，积都是偶数；两个偶数积相加还是偶数，不可能出现奇数，而63是奇数，所以售货员说的不对。（理由合理即可）
23．（本题5分）（22-23五年级下·吉林四平·期末）运动手环能记录运动的步数，帮助我们分析自己的运动效果。王叔叔每天早上都会戴着运动手环去公园锻炼，一天王叔叔锻炼回来发现自己的步数是一个四位数，千位上的数字既不是质数也不是合数，百位上的数字是最小的合数，十位上的数字既是偶数又是质数，个位上的数字既是奇数又是合数，王叔叔的步数是多少？
【答案】1429
【思路点拨】在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数；一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数（讨论因数、倍数、质数、合数时一般不包括0）。1既不是质数也不是合数。据此解答。
【规范解答】1既不是质数也不是合数，4是最小的合数，2既是偶数又是质数，9既是奇数又是合数，所以这个四位数是1429。
答：王叔叔的步数是1429。
24．（本题5分）（22-23五年级下·贵州铜仁·期末）小明将45个面包准备分装到4个面包盒里，要使每个面包盒里装的面包数都是奇数，这样分装能做到吗？为什么？
【答案】不能做到；理由见详解。
【思路点拨】此题可以从加法的角度理解：面包盒的个数是加数的个数，每个盒里的面包个数是加数，45是和。则本题可以理解为4个奇数的和能否是45，也就是偶数个奇数的和能否是奇数。因为奇数＋奇数＝偶数，奇数＋奇数＋奇数＝奇数，奇数＋奇数＋奇数＋奇数＝偶数，所以偶数个奇数相加，和是偶数。根据和的奇偶性解答即可。
【规范解答】45个面包分装到4个面包盒里，每个盒子里只放奇数个面包，不能做到。
因为偶数个奇数相加，和是偶数。4是偶数，4个奇数的和是偶数，而45是奇数，所以这样分装不能做到。
25．（本题5分）（22-23五年级下·广东佛山·期末）一个长方形的周长是32米，它的长和宽的米数都是质数，这个长方形的面积最大是多少平方米？
【答案】55平方米
【思路点拨】一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数就叫做质数。根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，将32÷2＝16米，即求出了长与宽的和是16；再将16分解成两个质数相加，这两个质数就是长方形的长和宽，最后求出长方形的面积，比较即可。
【规范解答】长＋宽：32÷2＝16（米）
16＝3＋13＝5＋11
13×3＝39（平方米）
11×5＝55（平方米）
55＞39
答：这个长方形的面积最大是55平方米。
26．（本题5分）（23-24五年级下·重庆南岸·期末）老师在黑板上写了一道题：（ ）＋（ ）＋（ ）＝26，要求同学生在括号中填写三个不同的质数。
（1）把你能想到的答案都写下来。
（2）老师说：“不论怎么填，这三个数中必有一个是2”你能说说其中的道理吗？
【答案】见详解
【思路点拨】（1）我们首先需要列出所有小于26的质数，小于26的质数有：2， 3， 5， 7， 11， 13， 17， 19， 23，然后，我们将尝试所有可能的组合，使得这三个质数的和等于26。
（2）奇数加奇数的结果是偶数，偶数加奇数的结果是奇数，题目要求和为26，这是一个偶数。如果三个数都是大于2的质数（即都是奇数），那么它们的和将是奇数，这与题目要求的偶数矛盾。因此，为了满足和为偶数的条件，这三个数中必须有一个是2（唯一的偶数质数）。
【规范解答】（1）我们首先需要列出所有小于26的质数。质数是只有两个正因数（1和它本身）的自然数。小于26的质数有：2， 3， 5， 7， 11， 13， 17， 19， 23。然后，我们尝试所有可能的组合，使得这三个质数的和等于26。满足题目要求的组合有：
2 ＋ 3 ＋ 21 ＝ 26；
2 ＋ 5 ＋ 19 ＝ 26；
2 ＋ 7 ＋ 17 ＝ 26；
2 ＋ 11 ＋ 13 ＝ 26。
答：能想到的答案：2 ＋ 3 ＋ 21 ＝ 26；
2 ＋ 5 ＋ 19 ＝ 26；
2 ＋ 7 ＋ 17 ＝ 26；
2 ＋ 11 ＋ 13 ＝ 26。
（2）答：为了解释为什么这三个数中必有一个是2，我们注意到除了2以外，所有的质数都是奇数。奇数加奇数的结果是偶数，而偶数加奇数的结果是奇数。由于题目要求和为26，这是一个偶数，因此这三个数中必须至少有一个偶数。而唯一的偶数质数是2，所以这三个数中必有一个是2。
27．（本题5分）（23-24五年级下·河北保定·期末）“孪生质数猜想”是著名的数学家阿尔方 波利尼亚克提出的。猜想中所说的“孪生质数”是指相差为2的两个质数。如3和5都是质数，且5－3＝2，所以3和5就是一对孪生质数；5和7也是一对孪生质数。
(1)在下面的括号里写出50以内除了3和5，5和7以外的一对孪生质数。( )
(2)如果用m和n表示任意一对孪生质数，那么2m＋n的和一定是( )。（填“奇数”或“偶数”）
【答案】(1)11和13
(2)奇数
【思路点拨】（1）除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此找出50以内的所有质数，再找到所有相差为2的两个质数即可。
（2）整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。如果m和n表示任意一对孪生质数，相邻两个奇数和相邻两个偶数之间都相差2，2是质数中唯一的偶数，因此孪生质数都是奇数，2a是偶数，根据奇数和偶数的运算性质，偶数＋奇数＝奇数，即可得出2m＋n的和是奇数还是偶数。
【规范解答】（1）50以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47。
除了3和5，5和7以外的孪生质数有11和13。（答案不唯一）
（2）孪生质数都是奇数，如果用m和n表示任意一对孪生质数，那么2m是偶数，n的是奇数，根据偶数＋奇数＝奇数可知：2m＋n的和一定是奇数。
28．（本题5分）（23-24五年级下·湖南益阳·期末）爷爷用56米长的栅栏在空地上圈出一块长方形土地，用来种植蔬菜，已知长方形土地的长和宽都是质数，这块长方形土地面积最大是多少平方米？
【答案】187平方米
【思路点拨】根据题意可知，这块长方形土地的周长是56米，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，可知长方形的长、宽之和＝周长÷2，据此求出长、宽之和；
已知长方形土地的长和宽都是质数，找出哪两个质数相加，和等于长、宽之和，即可确定长方形的长与宽，再根据长方形的面积＝长×宽，确定这块土地的最大面积。
【规范解答】56÷2＝28（米）
28＝5＋23＝11＋17
23×5＝115（平方米）
17×11＝187（平方米）
187＞115
答：这块长方形土地面积最大是187平方米。
29．（本题5分）（23-24五年级下·广东江门·期末）李老师到文具店买了若干签字笔和若干块橡皮。已知每支签字笔16元，每块橡皮2元，付给售货员100元，售货员找回13元。售货员找回的钱数对不对？为什么，请你把理由写在横线上。答： 。
【答案】不对；理由见详解
【思路点拨】已知每支签字笔16元，每块橡皮2元，单价都是偶数，根据单价×数量＝总价，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，可知购买的数量无论是奇数，还是偶数，积都是偶数，即花的钱数一定是偶数；已知付给售货员100元，100元是偶数，根据付的钱数－花的钱数＝找回的钱数，偶数－偶数＝偶数，可知找回的钱数一定是偶数，而售货员找回13元是奇数，所以找回的钱数不对。
【规范解答】售货员找回的钱数不对。因为花的钱数和找回的钱数都应该是偶数，而13不是偶数，所以找回的钱数不对。
30．（本题5分）（24-25五年级上·广东河源·期末）大年初三，乐乐和天天玩掷骰子游戏，规则是；掷一枚骰子（6个面分别为1～6），落下后如果点数是质数，乐乐赢；如果点数是合数，天天赢。
（1）这个游戏对双方公平吗？为什么？
（2）如果这个游戏不公平，你能设计一个公平的游戏规则吗？
【答案】（1）不公平，因为骰子质数有3个，合数有2个，所以出现的可能性不相等，所以不公平；
（2）掷一枚骰子，如果出现的是奇数，乐乐赢；如果出现的是偶数，天天赢。
【思路点拨】（1）骰子上的数字中，质数有：2、3、5共3个，合数有：4、6共2个，即出现质数的可能性大，出现合数的可能性小，所以不公平。
（2）为了体现游戏的公平性，要找出1～6中分类后数量一样多的，如可分为奇数和偶数。（答案不唯一）
【规范解答】（1）1～6中质数有：2、3、5共3个；
合数有：4、6共2个。
答：不公平，因为骰子质数有3个，合数有2个，所以出现的可能性不相等，所以不公平。
（2）1～6中奇数有：1、3、5共3个；
偶数有：2、4、6共3个。
答：公平的游戏规则是：掷一枚骰子，如果出现的是奇数，乐乐赢；如果出现的是偶数，天天赢。（答案不唯一）2025年人教版数学五升六年级暑假衔接培优精讲练过关讲义
（知识梳理+易错点拨+真题培优拔尖卷）
第3讲 质数和合数
质数和合数
定义：质数（或素数）是指一个大于1的自然数，除了1和它本身以外不再有其他因数的数。合数则是指除了1和它本身以外还有其他因数的自然数（大于1）。
特性：质数只有两个正因数，即1和它本身；合数则至少有三个正因数。最小的质数是2，最小的合数是4。
分解：任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式，即质因数分解。例如，合数12可以分解为2×2×3，其中2和3都是质数。
分解质因数：
分解质因数是将一个合数表示成几个质数相乘的形式。例如，24可以分解为2×2×2×3，其中2和3都是质数。
分解质因数的步骤通常包括：找出该数的最小质因数，然后用这个质因数去除该数，得到商；如果商不是1，那么继续找出商的最小质因数，以此类推，直到商为1为止。
质数和合数
1、既不是质数也不是合数：因为质数必须大于1，而1只能被自己整除，不满足质数和合数的定义。
2、是唯一的偶数质数：除了2以外的所有偶数都能被2整除，因此它们不是质数。2作为唯一的偶数质数，在判断一个偶数是否为质数时需要特别注意。
3.合数的质因数分解：在分解合数时，需要确保分解出的因数都是质数。有时学生可能会错误地将合数分解为包含合数的因数。
4.判断质数的方法：在判断一个数是否为质数时，常见的方法有试除法和六倍原理。试除法是通过尝试用小于等于该数平方根的所有自然数去除该数，如果都不能整除，则该数为质数。六倍原理则是通过判断一个数是否满足特定的条件（如6k±1的形式）来初步判断其是否为质数。但需要注意的是，这些方法只能作为初步判断的依据，不能作为最终结论。
分解质因数：
1.误将1当作质数或合数：如前所述，1既不是质数也不是合数。
2.忽略2是唯一的偶数质数：在判断一个偶数是否为质数时，需要特别注意2是唯一的偶数质数。
3.分解质因数时忽略某些质因数：例如，将28分解为2×14或4×7，而忽略了2×2×7的因数。
4.对质因数进行重复计数：在分解质因数时，可能会不小心重复计算某个质因数。例如，将90分解为2×3×3×5或2×3×5×3，而重复计算了3的因数。
5.混淆质数和合数的定义：在解题过程中，需要明确质数和合数的定义，避免混淆。例如，一个大于1的自然数如果不是质数，那么它一定是合数。
检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.48（较难）
一．反复比较，慎重选择（将正确答案的序号填在括号里）（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（本题2分）（23-24五年级下·河南信阳·期末）有27名学生要分成甲、乙两队。如果甲队人数为奇数，那么乙队人数一定是（ ）。
A．偶数 B．奇数 C．质数 D．合数
2．（本题2分）（23-24五年级下·浙江台州·期末）下列算式中，m，n均是自然数，m，n一定为互质数的是（ ）。
A．m＋n＝9 B．m÷n＝8 C．m－n＝1 D．m×n＝20
3．（本题2分）（23-24五年级下·河南信阳·期末）奇数和奇数的和一定是（ ），两个质数的积一定是（ ）。
A．奇数；合数 B．偶数；合数 C．合数；偶数 D．无法确定；无法确定
4．（本题2分）（23-24五年级下·河南安阳·期末）a是不等于零的自然数，2a＋1一定是（ ）。
A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数
5．（本题2分）（23-24五年级下·四川凉山·期末）如果一个数a，只有两个因数，那么a一定是（ ）。
A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数
二、用心思考，认真填写（共8小题，满分19分）
6．（本题2分）（23-24五年级下·山东济宁·期末）德国数学家哥德巴赫提出：任何大于2的偶数都可以表示为两个质数的和。如8＝3＋5，16＝( )＋( )。
7．（本题4分）（23-24五年级下·辽宁鞍山·期末）某县辖区面积约1080平方千米，下辖16镇、2个民族乡，共有常住人口84.85万人。
以上描述中的自然数，是质数的有( )，是合数的有( )。其中是3的倍数的是( )，同时是2和5的倍数是( )。
8．（本题4分）（23-24五年级下·广东云浮·期末）“第33届奥运会于7月26日在法国巴黎开幕，8月11日闭幕。”这句话出现的数中，质数有( )，合数有( )；其中( )是( )的因数。
9．（本题4分）（23-24五年级下·河南信阳·期末）在1～10各数中，质数有( )；合数有( )；既不是质数也不是合数的有( )；既是2的倍数，又是3的倍数的有( )。
10．（本题2分）（22-23五年级下·湖南益阳·期末）一个七位数，它个位上的数是最小的合数，百位上的数是最大的一位数，最高位上的数既是质数又是偶数，其余数位上的数均是0，这个数写作( )，读作( )。
11．（本题1分）（23-24五年级下·山西忻州·期末）微信支付给人们的生活带来了极大的便利。王扬帮奶奶设置了一个六位数的支付密码：个位上的数是最小的质数；十位上的数是10以内的最大合数；百位上的数既是8的因数，又是8的倍数；千位上的数既不是质数也不是合数（不为0）；万位上的数是最大的一位数；十万位上的数是6。这个支付密码是( )。
12．（本题1分）（20-21五年级下·河北唐山·期末）一个三位数，百位上的数是既不是质数也不是合数，十位上的数是最小的质数，个位上的数是最小的合数，这个三位数是( )。
13．（本题1分）（23-24五年级下·河南信阳·期末）一个六位数，各个数位上的数字从低位到高位依次是最小的偶数，最小的奇数，最小的质数，最小的合数，既是质数又是偶数，最大的一位数，这个六位数是( )。
三、认真审题，准确判断（共5小题，满分10分，每小题2分）
14．（本题2分）（23-24五年级下·重庆梁平·期末）两个连续自然数的和不是质数就是合数。( )
15．（本题2分）（23-24五年级下·河南安阳·期末）两个不同奇数的和一定是偶数。( )
16．（本题2分）（23-24五年级下·四川凉山·期末）五（1）班一共有45名学生，如果男生人数为偶数，那么女生人数为奇数。( )
17．（本题2分）（23-24五年级下·重庆潼南·期末）将18写成质数相乘的形式是36＝2×2×9。( )
18．（本题2分）（23-24五年级下·河南信阳·期末）在整数中，可以说一个数不是奇数就是偶数，也可以说不是质数就是合数。( )
四、灵活应用，解决问题（共12小题，满分61分）
19．（本题5分）（22-23五年级下·全国·期中）一个长方形的长和宽都是以厘米为单位的质数，且周长是64厘米，这个长方形的面积最大是多少平方厘米？
20．（本题5分）（21-22五年级下·湖南株洲·期末）整数，的最小公倍数记为[，]，如“[6，9]＝18”就表示“6和9的最小公倍数是18”；整数，的最大公因数记为（，），如“（4，6）＝2”就表示“4和6的最大公因数是2”。小明说：[，]×（，）＝×（，都是大于0的自然数）。他说得对吗？请说明。
21．（本题5分）（22-23五年级下·吉林·期末）实验小学的长方形花圃里有几行玫瑰，每行的棵数都相等。小明数的是83棵，小刚数的是91棵，小红数的是89棵，其中只有一个小朋友数对了，这个小朋友是谁呢？请你说明理由。
22．（本题6分）（22-23五年级下·山西长治·期末）6月28日是妈妈的生日，芳芳拿出压岁钱计划到花店给妈妈买一束鲜花。看过价格表之后，芳芳选了一些康乃馨和郁金香，售货员说她应该付63元，你觉得售货员说的对吗？说说你的理由。
23．（本题5分）（22-23五年级下·吉林四平·期末）运动手环能记录运动的步数，帮助我们分析自己的运动效果。王叔叔每天早上都会戴着运动手环去公园锻炼，一天王叔叔锻炼回来发现自己的步数是一个四位数，千位上的数字既不是质数也不是合数，百位上的数字是最小的合数，十位上的数字既是偶数又是质数，个位上的数字既是奇数又是合数，王叔叔的步数是多少？
24．（本题5分）（22-23五年级下·贵州铜仁·期末）小明将45个面包准备分装到4个面包盒里，要使每个面包盒里装的面包数都是奇数，这样分装能做到吗？为什么？
25．（本题5分）（22-23五年级下·广东佛山·期末）一个长方形的周长是32米，它的长和宽的米数都是质数，这个长方形的面积最大是多少平方米？
26．（本题5分）（23-24五年级下·重庆南岸·期末）老师在黑板上写了一道题：（ ）＋（ ）＋（ ）＝26，要求同学生在括号中填写三个不同的质数。
（1）把你能想到的答案都写下来。
（2）老师说：“不论怎么填，这三个数中必有一个是2”你能说说其中的道理吗？
27．（本题5分）（23-24五年级下·河北保定·期末）“孪生质数猜想”是著名的数学家阿尔方 波利尼亚克提出的。猜想中所说的“孪生质数”是指相差为2的两个质数。如3和5都是质数，且5－3＝2，所以3和5就是一对孪生质数；5和7也是一对孪生质数。
(1)在下面的括号里写出50以内除了3和5，5和7以外的一对孪生质数。( )
(2)如果用m和n表示任意一对孪生质数，那么2m＋n的和一定是( )。（填“奇数”或“偶数”）
28．（本题5分）（23-24五年级下·湖南益阳·期末）爷爷用56米长的栅栏在空地上圈出一块长方形土地，用来种植蔬菜，已知长方形土地的长和宽都是质数，这块长方形土地面积最大是多少平方米？
29．（本题5分）（23-24五年级下·广东江门·期末）李老师到文具店买了若干签字笔和若干块橡皮。已知每支签字笔16元，每块橡皮2元，付给售货员100元，售货员找回13元。售货员找回的钱数对不对？为什么，请你把理由写在横线上。答： 。
30．（本题5分）（24-25五年级上·广东河源·期末）大年初三，乐乐和天天玩掷骰子游戏，规则是；掷一枚骰子（6个面分别为1～6），落下后如果点数是质数，乐乐赢；如果点数是合数，天天赢。
（1）这个游戏对双方公平吗？为什么？
（2）如果这个游戏不公平，你能设计一个公平的游戏规则吗？
