2025年人教版数学五升六年级暑假衔接培优精讲练过关讲义
(知识梳理+易错点拨+真题培优拔尖卷)
第4讲 长方体和正方体的表面积和体积
知识点01:长方体表面积的计算方法
方法一:长方体表面积 = 长×宽×2 + 长×高×2 + 宽×高×2
方法二:长方体表面积 = (长×宽 + 长×高 + 宽×高)×2
如果以S表示长方体的表面积,a、b、h分别表示长方体的长、宽和高,则表面积公式可以表示为:S = 2ab + 2ah + 2bh 或 S = 2(ab + ah + bh)。
知识点02:正方体表面积的计算方法
正方体的表面积 = 棱长×棱长×6
如果以S表示正方体的表面积,a表示正方体的棱长,则表面积公式为:S = 6a 。
知识点03:表面积公式的实际应用题型
基础计算题:
给出长方体的长、宽、高,要求计算其表面积。
给出正方体的棱长,要求计算其表面积。
生活应用题:
例如,计算一个长方体包装盒需要多少包装纸,或者一个正方体水箱需要涂多少防锈漆等。
拼组题型:
将几个长方体或正方体拼组成一个新的长方体,要求计算新长方体的表面积。
这类题目常涉及到表面积的变化,需要理解拼组后哪些面被隐藏,哪些面成为新长方体的外表面。
切割题型:
将一个长方体或正方体切割成几个部分,要求计算切割后各部分的表面积之和。
这类题目需要注意切割后新增的表面积部分。
优化问题:
例如,给定一定数量的长方体或正方体,如何拼组或摆放才能使得整体表面积最小或最大。
错误识别与改正:
题目中可能会给出错误的表面积计算过程或结果,要求学生识别错误并改正。
知识点04:长方体体积的计算方法
长方体体积的计算公式为:体积 = 长 × 宽 × 高。
如果以V表示长方体的体积,a、b、h分别表示长方体的长、宽和高,
则体积公式可以表示为:V = a × b × h。
知识点05:正方体体积的计算方法
正方体是长方体的特殊情况,其六个面都是正方形,边长相等。
正方体体积的计算公式为:体积 = 边长 × 边长 × 边长,或简写为体积 = 边长 。
如果以V表示正方体的体积,a表示正方体的边长,则体积公式为:V = a 。
知识点06:体积公式的实际应用题型
基础计算题:
给出长方体的长、宽、高,要求计算其体积。
给出正方体的边长,要求计算其体积。
生活应用题:
例如,计算一个长方体水箱能装多少水,或者一个正方体容器能容纳多少物体等。
比较和判断题:
比较不同长方体或正方体体积的大小。
判断给定的长、宽、高或边长是否能构成特定体积的长方体或正方体。
优化问题:
例如,在给定材料的情况下,如何设计长方体或正方体的尺寸以使其体积最大或达到特定要求。
综合应用题:
结合表面积和体积的计算,解决实际生活中的复杂问题,如设计包装箱以最小化材料使用同时保证足够的容量。
错误识别与改正:
题目中可能会给出错误的体积计算过程或结果,要求学生识别错误并改正。
单位换算问题:
在计算体积时,可能会涉及到不同单位之间的换算,如立方厘米与立方米之间的转换。
易错点01:单位换算
易错描述:在计算长方体和正方体的表面积或体积时,学生容易忽略单位换算,导致计算错误。
易错题目:一个长方体鱼缸的长是5dm,宽是3dm,高是40cm。求这个鱼缸的表面积。
错误答案:直接代入公式计算,未进行单位换算,导致结果错误。
正确答案:
首先进行单位换算,高=40cm=4dm,然后代入公式计算表面积:
表面积 = 2 × (5dm × 3dm + 5dm × 4dm + 3dm × 4dm) = 94dm
易错点02:表面积与体积的混淆
易错描述:学生容易将表面积和体积的概念混淆,导致在求解问题时使用了错误的公式。
易错题目:一个正方体木块的棱长是6cm,求这个木块的表面积和体积。
错误答案:将表面积和体积的计算公式混淆,导致两个结果都错误。
正确答案:
表面积 = 6 × 6cm × 6cm = 216cm
体积 = 6cm × 6cm × 6cm = 216cm
易错点03:公式应用错误
易错描述:学生在应用表面积或体积公式时,容易忽略公式中的某个部分或错误地使用了公式。
易错题目:一个长方体纸盒的长是10cm,宽是8cm,高是5cm。求这个纸盒的表面积。
错误答案:只计算了纸盒的四个侧面的面积,忽略了上下两个面的面积。
正确答案:表面积 = 2 × (10cm × 8cm + 10cm × 5cm + 8cm × 5cm) = 460cm
易错点四:忽略实际情况
易错描述:在计算长方体和正方体的表面积时,学生容易忽略实际情况,如长方体或正方体是否有盖子、是否为空心等。
易错题目:一个无盖的长方体鱼缸,长是80cm,宽是40cm,高是50cm。求制作这个鱼缸需要多少玻璃。
错误答案:直接计算了长方体的表面积,未考虑鱼缸无盖的情况。
正确答案:
由于鱼缸无盖,只需计算五个面的面积:
表面积= 80cm × 40cm + 2 × (80cm × 50cm + 40cm × 50cm) = 13600cm
检测时间:90分钟 试题满分:100分 难度系数:0.46(较难)
一.反复比较,慎重选择(将正确答案的序号填在括号里)(共5小题,满分10分,每小题2分)
1.(本题2分)(23-24五年级下·河南洛阳·期末)在一个透明的长方体盒子内放置棱长为1cm的小正方体(如图)。这个长方体盒子的表面积是( )cm2。
A.66 B.60 C.33 D.30
【答案】A
【思路点拨】根据图可知,这个长方体盒子的长等于4个小正方体的棱长和,宽等于3个小正方体的棱长和,高等于3个小正方体的棱长和,根据长方体表面积公式:表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2,代入数据,即可解答。
【规范解答】长:1×4=4(cm),宽:1×3=3(cm);高:1×3=3(cm)。
表面积:
(4×3+4×3+3×3)×2
=(12+12+9)×2
=(24+9)×2
=33×2
=66(cm2)
在一个透明的长方体盒子内放置棱长为1cm的小正方体(如图)。这个长方体盒子的表面积是66cm2。
故答案为:A
2.(本题2分)(23-24五年级下·重庆九龙坡·期末)李冬设计了一个测量玻璃球体积的实验:先将200毫升的水倒进容积为500毫升的量杯中,再将1颗大玻璃球和1颗小玻璃球浸没水中,水面刚好在300毫升处,最后放入5颗小玻璃球,全都浸没水中,此时水面与量杯口齐平,刚好无水溢出。那么一颗大玻璃球的体积是( )立方厘米。
A.40 B.60 C.80 D.100
【答案】B
【思路点拨】用500-300,求出5颗小玻璃球的体积,再除以5,求出1个小玻璃球的体积;再用300-200,求出放入1颗大玻璃球和1颗小玻璃球的体积,再减去1个小玻璃球的体积,即可解答,注意单位名数的换算。
【规范解答】500-300=200(毫升)
200毫升=200立方厘米
200÷5=40(立方厘米)
300-200=100(毫升)
100毫升=100立方厘米
100-40=60(立方厘米)
一颗大玻璃球的体积是60立方厘米。
故答案为:B
3.(本题2分)(23-24五年级下·重庆忠县·期末)如图是测量一颗铁球体积的过程:①将300毫升的水倒进一个容积为500毫升的杯子中;②将四颗相同的铁球放入水中,结果水没有满;③再将一颗同样的铁球放入水中,结果水满溢出。根据以上过程,推测这样一颗铁球的体积大约是( )cm3。
A.30~40 B.40~50 C.50~60 D.60~70
【答案】B
【思路点拨】先根据进率1mL=1cm,将300mL换算成300 cm3,500mL换算成500 cm3;
根据题意,将四颗相同的铁球放入水中,结果水没有满,可知四颗铁球的体积要小于500-300=200(cm3),那么一颗铁球的体积就小于(200÷4)cm3;再将一颗同样的铁球放入水中,结果水满溢出,可知五颗铁球的体积要大于500-300=200(cm3),那么一颗铁球的体积就大于(200÷5)cm3。据此推测出一颗铁球体积的范围。
【规范解答】300mL=300 cm3
500mL=500 cm3
500-300=200(cm3)
200÷4=50(cm3)
200÷5=40(cm3)
40 cm3<一颗铁球的体积<50 cm3
所以,一颗铁球的体积大约在40 cm3~50 cm3。
故答案为:B
4.(本题2分)(22-23五年级下·湖北荆州·期末)一个长方体,从它上面挖去一个小正方体,这个长方体的表面积( )。
A.不变 B.减少了 C.增加了 D.无法确定
【答案】C
【思路点拨】物体表面面积的总和,叫做物体的表面积,图中挖去一个小正方体,看上去表面积减少了2个小正方形,里面又出现了同样的4个小正方形,因此表面积增加了,据此分析。
【规范解答】4-2=2(个)
一个长方体,从它上面挖去一个小正方体,这个长方体的表面积增加了2个正方形的面,表面积增加了。
故答案为:C
5.(本题2分)(23-24五年级下·四川凉山·期末)把一个棱长是5dm的正方体木块截成两个大小、形状完全相等的长方体,这两个长方体的表面积一共是( )dm2。
A.125 B.150 C.200 D.300
【答案】C
【思路点拨】已知正方体木块的棱长是5dm,根据正方体的表面积公式S=6a2,求出这个正方体木块的表面积;
把这个正方体木块截成两个完全一样的长方体,表面积会增加两个截面的面积;由正方体的特征可知,每个截面是边长为5dm的正方形,根据正方形的面积公式S=a2,求出一个面的面积,再乘2,即是增加的表面积;
然后用原来正方体木块的表面积加上增加的表面积,即是截成的两个长方体的表面积之和。
【规范解答】5×5×6+5×5×2
=25×6+25×2
=150+50
=200(dm2)
这两个长方体的表面积一共是200dm2。
故答案为:C
二、用心思考,认真填写(共8小题,满分15分)
6.(本题1分)(23-24五年级下·四川南充·期末)如图,在长方体纸盒内放棱长为1cm的小正方体,沿着长、宽、高摆放的情况如图,这个盒子内一共可以放( )个小正方体。
【答案】30
【思路点拨】盒子内沿着长、宽、高分别放了5个、2个、3个小正方体。依据长方体的体积公式:体积=长×宽×高,代入数据,即可求出小正方体的数量,据此解答。
【规范解答】5×2×3
=10×3
=30(个)
在长方体纸盒内放棱长为1cm的小正方体,沿着长、宽、高摆放的情况如图,这个盒子内一共可以放30个小正方体。
7.(本题2分)(23-24五年级下·四川南充·期末)用3个棱长是2厘米的小正方体,拼成一个大的长方体,这个长方体的体积是( )立方厘米,表面积比3个小正方体的表面积之和少( )平方厘米。
【答案】 24 16
【思路点拨】用3个小正方体拼成一个大的长方体,三个小正方体的体积之和就是大长方体的体积,根据公式:正方体的体积=棱长×棱长×棱长,代入数据计算,即可求出这个长方体的体积;每两个正方体拼在一起,就会两个面重合,也就是减少2个面的面积,现在用3个小正方体拼成一个大的长方体,一共减少4个面积的面积,根据公式:正方形的面积=边长×边长,代入数据计算,即可求出表面积比3个小正方体的表面积之和少多少平方厘米,据此解答。
【规范解答】2×2×2×3=24(立方厘米)
2×2×4=16(平方厘米)
即这个长方体的体积是24立方厘米,表面积比3个小正方体的表面积之和少16平方厘米。
8.(本题2分)(23-24五年级下·四川南充·期末)下图是一个正方体的展开图。
(1)这个正方体中,6的对面是( )。
(2)抛起这个正方体,落下后,质数朝上比合数朝上的可能性( )。(填“大”或“小”)
【答案】(1)4
(2)大
【思路点拨】(1)根据正方体展开图的11种特征可知,这个展开图属于正方体展开图的“2—3—1”型,折成正方体后,1和5相对,3和2相对,4和6相对;
(2)一个数,如果只有1和它本身两个因数,那么这样的数叫做质数;一个数,如果除了1和它本身还有别的因数,那么这样的数叫做合数;先根据质数、合数的意义,从1~6中找出质数和合数;再根据可能性大小的判断方法,比较质数、合数的个数多少,个数多的,朝上的可能性就大;据此解答。
【规范解答】(1)这个正方体中,6的对面是4。
(2)1~6中,质数有:2、3、5,共3个;合数有:4、6,共2个;3>2,质数比合数多;所以抛起这个正方体,落下后,质数朝上比合数朝上的可能性大。
9.(本题1分)(23-24五年级下·四川凉山·期末)小丽有一个封闭的长方体容器(如下图),长4分米,宽1分米,高2分米,里面水深16厘米。现在她把这个容器的左侧面平放于桌面上。这时水深( )分米。
【答案】3.2
【思路点拨】长方体容器中水的形状是长4分米,宽1分米,深16厘米(即1.6分米)的长方体,根据长方体的体积=长×宽×高,代入数据计算,可以求出容器中水的体积。把这个容器的左侧面平放于桌面上,水的体积不变,这时长是2分米,宽是1分米,用求得的水的体积连续除以2和1,即可求出水深的高度。
【规范解答】16厘米=1.6分米
4×1×1.6÷2÷1
=6.4÷2÷1
=3.2(分米)
则这时水深3.2分米。
10.(本题1分)(23-24五年级下·四川凉山·期末)在一个底面积为34平方分米,高7分米的长方体容器中,倒入4分米深的水。现将一个铁块完全浸没在水中,水面上升2分米。这个铁块的体积是( )立方分米。
【答案】68
【思路点拨】根据题意可知,物体的体积等于上升部分水的体积,上升部分水的体积等于容器的底面积乘上升部分水的高度,已知长方体容器底面积是34平方分米,上升了2分米,代入数据解答即可求出铁块的体积。
【规范解答】34×2=68(立方分米)
这个铁块的体积是68立方分米。
11.(本题3分)(23-24五年级下·四川广元·期末)如果把一根48cm长的铁丝围成一个长方体,它的长是5cm,宽是4cm,它的高是( )cm,它的表面积是( );如果围成一个正方体,它的体积是( )。
【答案】 3 94 64
【思路点拨】从题意可知:这根48cm长的铁丝既是长方体的棱长总和,又是正方体的棱长总和。长方体的高=棱长总和÷4-长-宽,正方体的棱长=棱长总和÷12,代入数据计算,分别求出长方体的高和正方体的棱长。再根据长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2,正方体的体积=棱长×棱长×棱长,代入数据计算,即可分别求出长方体的表面积和正方体的体积。
【规范解答】48÷4-5-4
=12-5-4
=3(cm)
(5×4+5×3+4×3)×2
=(20+15+12)×2
=47×2
=94(cm2)
48÷12=4(cm)
4×4×4=64(cm3)
如果把一根48cm长的铁丝围成一个长方体,它的长是5cm,宽是4cm,它的高是3cm,它的表面积是94;如果围成一个正方体,它的体积是64。
12.(本题2分)(23-24五年级下·四川凉山·期末)单位换算。
124升=( )立方米 8立方分米6立方厘米=( )立方厘米
【答案】 0.124 8006
【思路点拨】根据1立方分米=1升,1立方米=1000立方分米,所以1立方米=1000升,1立方分米=1000立方厘米,高级单位转化为低级单位乘进率,低级单位转化为高级单位除以进率。复名数换单名数,单位相同的不用换,单位不同的先统一单位,再加上之前没换单位部分的数,据此解答。
【规范解答】(立方米)
(立方厘米)
124升=0.124立方米 8立方分米6立方厘米=8006立方厘米
13.(本题3分)(24-25五年级下·海南海口·期末)下图是一个长方体一个顶点处的3条棱(单位:cm)。用铁丝焊接这样一个框架,至少需要铁丝( )cm;给框架焊上铁皮,至少需要铁皮( );用做成的铁皮箱子装水,最多能装( )L。
【答案】 40 66 0.036
【思路点拨】分析题目,一个顶点处的三条棱就是长方体的一组长宽高,据此根据长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4,长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2,长方体的体积=长×宽×高,代入数据计算即可,注意体积单位要根据1L=1000mL=1000cm3换算成L。
【规范解答】(4+3+3)×4
=10×4
=40(cm)
(4×3+4×3+3×3)×2
=(12+12+9)×2
=33×2
=66(cm2)
4×3×3
=12×3
=36(cm3)
36cm3=36mL=0.036L
用铁丝焊接这样一个框架,至少需要铁丝40cm;给框架焊上铁皮,至少需要铁皮66cm2;用做成的铁皮箱子装水,最多能装0.036L。
三、认真审题,准确判断(共5小题,满分10分,每小题2分)
14.(本题2分)(23-24五年级下·广东云浮·期末)一个容器的体积是5立方分米,它的容积就是5升。( )
【答案】×
【思路点拨】求物体的体积是从物体的外面测量它的长、宽、高进行计算,而求物体的容积则必须从里面来测量它的长、宽、高,然后计算。因此,对于同一个物体,一般地说,它的容积要比体积小。
【规范解答】5立方分米=5升
一个容器的体积是5立方分米,那么它的容积小于5升,所以原题说法错误。
故答案为:×
15.(本题2分)(23-24五年级下·重庆北碚·期末)一个棱长是1m的正方体,可以平均分割成1000个体积为1dm3的小正方体。( )
【答案】√
【思路点拨】将棱长1m转化为10dm,根据正方体的体积=棱长×棱长×棱长,计算正方体体积,再去除以1dm3,即可得解。
【规范解答】1m=10dm
10×10×10=10000(dm3)
1000÷1=1000(个)
一个棱长是1m的正方体,可以平均分割成1000个体积为1dm3的小正方体。说法正确。
故答案为:√
16.(本题2分)(22-23五年级下·湖北黄石·期末)体积是1m3的物体房子地面,它的占地面积一定是1m2。( )
【答案】×
【思路点拨】根据长方体体积公式:体积=长×宽×高;一个物体房子的体积是1m3,它的占地面积不一定是1m2,据此举例解答。
【规范解答】设这个物体房子的底面长是0.5m,宽是0.5m,高是4m,
物体房子的底面积是0.5×0.5=0.25(m2)
体积:0.5×0.5×4
=0.25×4
=1(m3)
所以体积是1m3的物体房子地面,它的占地面积不一定是1m2。
原题干说法错误。
故答案为:×
17.(本题2分)(22-23五年级下·河北保定·期末)一瓶可乐大约是750升。( )
【答案】×
【思路点拨】棱长1分米的正方体,体积是1立方分米,大约是2个拳头的大小,1立方分米=1升;棱长1厘米的正方体,体积是1立方厘米,大约是1个手指头的大小,1立方厘米=1毫升,据此根据容积单位的认识,以及生活经验进行分析。
【规范解答】一瓶可乐大约是750毫升,原题说法错误。
故答案为:×
18.(本题2分)(22-23五年级下·河北石家庄·期末)把两个棱长为4厘米的正方体拼成一个长方体,拼成的长方体的表面积为192平方厘米,体积为128立方厘米。( )
【答案】×
【思路点拨】根据题意,作图如下:
从图中可知:拼成的长方体的表面积比两个的正方体的表面积之和减少了2个正方形的面积,那么这个长方体的表面积=棱长×棱长×(6×2-2);这个长方体的体积是两个正方体的体积之和,根据正方体的体积=棱长×棱长×棱长,求出一个正方体的体积,再乘2即可得长方体的体积。分别代入数据计算后,即可判断。
【规范解答】表面积:
4×4×(6×2-2)
=16×(12-2)
=16×10
=160(平方厘米)
4×4×4×2=128(立方厘米)
把两个棱长为4厘米的正方体拼成一个长方体,拼成的长方体的表面积为160平方厘米,体积为128立方厘米。原题说法错误。
故答案为:×
四、动手动脑,巧思妙算(共4小题,满分17分)
19.(本题4分)(23-24五年级下·贵州安顺·期末)求下面图形的表面积和体积。(单位:厘米)
【答案】340平方厘米;392立方厘米
【思路点拨】长方体的顶点处挖掉1个小正方体,看上去表面积减少了3个小正方形,又出现了同样的3个小正方形,因此这个图形的表面积=原来长方体的表面积,长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2;
这个图形的体积=长方体体积-正方体体积,长方体体积=长×宽×高,正方体体积=棱长×棱长×棱长,据此列式计算。
【规范解答】(10×5+10×8+5×8)×2
=(50+80+40)×2
=170×2
=340(平方厘米)
10×5×8-2×2×2
=400-8
=392(立方厘米)
这个图形的表面积是340平方厘米,体积是392立方厘米。
20.(本题4分)(23-24五年级下·广东河源·期末)计算如图长方体的体积和表面积。(单位:厘米)
体积:( )。表面积:( )。
【答案】72立方厘米;108平方厘米
【思路点拨】根据长方体的体积公式:V=abh,长方体的表面积公式:S=(ab+ah+bh)×2,把数据代入公式解答。
【规范解答】4×3×6
=12×6
=72(立方厘米)
(4×3+4×6+3×6)×2
=(12+24+18)×2
=54×2
=108(平方厘米)
所以这个长方体的体积是72立方厘米,表面积是108平方厘米。
21.(本题5分)(21-22五年级上·湖南长沙·期末)求下面图形的表面积和体积。
【答案】表面积是912dm2,体积是1472dm3
【思路点拨】通过观察可知,这个立体图形的表面积相当于一个长为20dm、宽为8dm、高为6dm的长方体表面积加上一个棱长为8dm的正方体4个面的面积;这个立体图形的体积相当于一个长为20dm、宽为8dm、高为6dm的长方体体积加上一个棱长为8dm的正方体体积;根据长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2、正方体的表面积=棱长×棱长×6、正方体的体积=棱长×棱长×棱长、长方体的体积=长×宽×高 代入数据即可解答。
【规范解答】表面积:(20×8+20×6+8×6)×2+8×8×4
=(160+120+48)×2+8×8×4
=328×2+8×8×4
=656+256
=912(dm2)
体积:20×8×6+8×8×8
=960+512
=1472(dm3)
这个立体图形的表面积是912dm2,体积是1472dm3。
22.(本题4分)(23-24五年级下·四川凉山·期末)计算下面立体图形的表面积和体积。(单位:厘米)
【答案】表面积330平方厘米;体积370立方厘米
【思路点拨】观察可知,立体图形的表面积等于大正方体的表面积加上小正方体的侧面积(即4个小正方形的面积),根据,计算即可;立体图形的体积等于大正方体的体积加小正方体的体积,根据,计算即可。
【规范解答】表面积:
(平方厘米)
体积:
(立方厘米)
立体图形的表面积是330平方厘米;体积是370立方厘米。
五、灵活应用,解决问题(共8小题,满分48分)
23.(本题6分)(22-23五年级下·湖北黄石·期末)如图,一块长35厘米、宽30厘米的铁皮。从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形,然后做成一个无盖的铁盒。这个铁盒的容积是多少?这个铁盒的表面积是多少?
【答案】容积:2500立方厘米;表面积:950平方厘米
【思路点拨】根据题意可知,做成无盖的铁盒,铁盒的长是(35-5×2)厘米,铁盒的宽是(30-5×2)厘米,高是5厘米;根据长方体容积公式:容积=长×宽×高,代入数据,求出这个铁盒的容积;再根据长方体表面积公式:表面积=长×宽+(长×高+宽×高)×2,代入数据,即可解答。
【规范解答】长方体铁盒的长:
35-5×2
=35-10
=25(厘米)
长方体铁盒的宽:
30-5×2
=30-10
=20(厘米)
长方体铁盒的高是5厘米。
容积:25×20×5
=500×5
=2500(立方厘米)
长方体铁盒表面积:
25×20+(25×5+20×5)×2
=500+(125+100)×2
=500+225×2
=500+450
=950(平方厘米)
答:这个铁盒的容积是2500立方厘米,这个铁盒的表面积是950平方厘米。
24.(本题6分)(22-23五年级下·河北保定·期末)文体中心新建了一个游泳池,长25米、宽20米、深2米。
(1)在游泳池的底面和侧面贴瓷砖,如果每平方米需要30元,共需要多少钱?
(2)如果每立方米水重1吨,那么在游泳池中注入多少吨水,才能使水深达到1.5米?
【答案】(1)20400元;(2)750吨
【思路点拨】(1)游泳池是一个长方体,要在底面和侧面贴瓷砖,面积为:(长×高+宽×高)×2+长×宽,计算出贴瓷砖的面积,再乘30元可得出答案。
(2)长方体泳池的长25米,宽20米,使水深1.5米,则运用长方体容积=长×宽×高,得出水的体积再乘1可得出答案。
【规范解答】(1)贴瓷砖共需要:
[(25×2+20×2)×2+25×20]×30
=[(50+40)×2+25×20]×30
=[90×2+25×20]×30
=[180+500]×30
=680×30
=20400(元)
答:贴瓷砖共需要20400元。
(2)25×20×1.5×1=750(吨)
答:在游泳池中注入750吨水,才能使水深达到1.5米。
25.(本题6分)(23-24五年级下·河南洛阳·期末)乘坐飞机时免费托运行李的尺寸限制为长60厘米、宽40厘米、高100厘米。张阿姨的行李箱如下图所示。
(1)张阿姨的行李是否可以免费托运?(可以 不可以)(在方框内打“√”)
(2)张阿姨打算给这个行李箱加个布套(底面不做),这个布套至少需要多少布料?(接缝处忽略不计)
【答案】(1)可以
(2)8800平方厘米
【思路点拨】(1)把张阿姨行李箱的长、宽、高与免费托运行李限制的长、宽、高进行比较,如果小于或等于免费托运行李限制的尺寸,就可以免费托运;反之,不可以免费托运。
(2)根据题意,给这个行李箱加个布套(底面不做),即做布套的面是长方体的上面、前后面、左右面共5个面;根据“长×宽+长×高×2+宽×高×2”求出这5个面的面积之和,即是这个布套至少需要布料的面积。
【规范解答】(1)40<60,25<40,60<100
张阿姨的行李可以免费托运。
可以 不可以
(2)40×25+40×60×2+25×60×2
=1000+4800+3000
=8800(平方厘米)
答:这个布套至少需要8800平方厘米布料。
26.(本题6分)(22-23五年级下·湖北荆州·期末)一个无盖的长方体鱼缸,长50厘米,宽10厘米,高30厘米。
(1)做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方厘米?
(2)在鱼缸里注入8升水,水深大约多少厘米?(玻璃厚度忽略不计)
【答案】(1)4100平方厘米
(2)16厘米
【思路点拨】(1)求需要的玻璃面积相当于求长方体表面积,无盖的长方体鱼缸没有上面,需要的玻璃面积=长×宽+长×高×2+宽×高×2;
(2)根据1升=1000立方厘米,统一单位,水深相当于长方体的高,水深=水的体积÷鱼缸底面积。
【规范解答】(1)50×10+50×30×2+10×30×2
=500+3000+600
=4100(平方厘米)
答:做这个鱼缸至少需要玻璃4100平方厘米。
(2)8升=8000立方厘米
8000÷(50×10)
=8000÷500
=16(厘米)
答:水深大约16厘米。
27.(本题6分)(23-24五年级下·河南安阳·期末)明明买了一个亚当牛尊的工艺品,想知道它的体积是多少。明明把它放入一个长65厘米,宽40厘米,水深12厘米的容器中,结果水面升高到15厘米(水没有溢出)。你知道亚当牛尊工艺品的体积是多少立方厘米吗?
【答案】7800立方厘米
【思路点拨】这个亚当牛尊工艺品的体积等于上升的这部分水的体积,根据长方体的体积=长×宽×高,用长方体容器的底面积乘水上升的高度,计算出上升这部分水的体积,也就是这个亚当牛尊工艺品的体积。
【规范解答】65×40×(15-12)
=2600×3
=7800(立方厘米)
答:亚当牛尊工艺品的体积是7800立方厘米。
28.(本题6分)(23-24五年级下·江西吉安·期末)下面是贝贝比较土豆和红薯的体积时做的实验。(单位:厘米)
分别计算土豆和红薯的体积。
【答案】土豆的体积是144立方厘米,红薯的体积是240立方厘米。
【思路点拨】放入物体后,上升的水的体积就是物体的体积,根据,放入土豆后,水面上升了厘米,上升的水的体积就是土豆的体积;放入红薯水面上升了厘米,上升的水的体积就是红薯的体积。代入数据计算即可得解。
【规范解答】土豆的体积:
(立方厘米)
红薯的体积:
(立方厘米)
答:土豆的体积是144立方厘米,红薯的体积是240立方厘米。
29.(本题6分)(23-24五年级下·河南安阳·期末)博物馆里有许多保护文物的透明展示罩(无底),下图所示:这是其中一个,长是2米,宽0.6米,高0.8米,制作一个这样透明展示罩需要多少平方米的材料?
【答案】5.36平方米
【思路点拨】求展示罩的面积相当于求长方体表面积,因为无底,展示罩的面积=长×宽+长×高×2+宽×高×2,据此列式解答。
【规范解答】
(平方米)
答:制作一个这样透明展示罩需要5.36平方米的材料。
30.(本题6分)(23-24五年级下·四川广元·期末)一个长方体玻璃鱼缸(无盖),量得它的长是8分米,宽是5分米,高是6分米,水深5.4分米。(玻璃厚度忽略不计)
(1)做这个长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃多少平方分米?
(2)如果在这个鱼缸里投入一个棱长是3分米的正方体铁块,鱼缸里的水会不会溢出?请你通过计算说明。
(3)如果会溢出,鱼缸里会溢出多少升水?如果不会溢出,现在水深是多少分米?
【答案】(1)196平方分米
(2)会溢出;见详解
(3)3升
【思路点拨】(1)从图中可知:这个长方体的长是8分米,宽是5分米,高是6分米。这个无盖的长方体有下面和前后左右面共5个面,因此需要玻璃的面积= 长×宽+长×高×2+宽×高×2,代入数据计算即可。
(2)此时水深5.4分米,还剩下空间的高度6-5.4=0.6分米,根据长方体的体积(容积)=长×宽×高,正方体的体积=棱长×棱长×棱长,代入数据计算,分别求出剩下空间的容积、正方体的体积,再比较即可。
(3)若溢出,用正方体的体积减去剩下空间的容积,即可求出溢出的水量(换算成以升为单位);若不会溢出,用正方体的体积÷长方体的底面积,求出正方体放入水中后,水面升高的高度,再加上原来的水面高度,即可求出现在的水面高度。
【规范解答】(1)8×5+8×6×2+5×6×2
=40+96+60
=196(平方分米)
答:做这个长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃196平方分米。
(2)3×3×3=27(立方分米)
8×5×(6-5.4)
=8×5×0.6
=24(立方分米)
27>24
答:鱼缸里的水会溢出。
(3)27-24=3(立方分米)
3立方分米=3升
答:鱼缸里会溢出3升水。2025年人教版数学五升六年级暑假衔接培优精讲练过关讲义
(知识梳理+易错点拨+真题培优拔尖卷)
第4讲 长方体和正方体的表面积和体积
知识点01:长方体表面积的计算方法
方法一:长方体表面积 = 长×宽×2 + 长×高×2 + 宽×高×2
方法二:长方体表面积 = (长×宽 + 长×高 + 宽×高)×2
如果以S表示长方体的表面积,a、b、h分别表示长方体的长、宽和高,则表面积公式可以表示为:S = 2ab + 2ah + 2bh 或 S = 2(ab + ah + bh)。
知识点02:正方体表面积的计算方法
正方体的表面积 = 棱长×棱长×6
如果以S表示正方体的表面积,a表示正方体的棱长,则表面积公式为:S = 6a 。
知识点03:表面积公式的实际应用题型
基础计算题:
给出长方体的长、宽、高,要求计算其表面积。
给出正方体的棱长,要求计算其表面积。
生活应用题:
例如,计算一个长方体包装盒需要多少包装纸,或者一个正方体水箱需要涂多少防锈漆等。
拼组题型:
将几个长方体或正方体拼组成一个新的长方体,要求计算新长方体的表面积。
这类题目常涉及到表面积的变化,需要理解拼组后哪些面被隐藏,哪些面成为新长方体的外表面。
切割题型:
将一个长方体或正方体切割成几个部分,要求计算切割后各部分的表面积之和。
这类题目需要注意切割后新增的表面积部分。
优化问题:
例如,给定一定数量的长方体或正方体,如何拼组或摆放才能使得整体表面积最小或最大。
错误识别与改正:
题目中可能会给出错误的表面积计算过程或结果,要求学生识别错误并改正。
知识点04:长方体体积的计算方法
长方体体积的计算公式为:体积 = 长 × 宽 × 高。
如果以V表示长方体的体积,a、b、h分别表示长方体的长、宽和高,
则体积公式可以表示为:V = a × b × h。
知识点05:正方体体积的计算方法
正方体是长方体的特殊情况,其六个面都是正方形,边长相等。
正方体体积的计算公式为:体积 = 边长 × 边长 × 边长,或简写为体积 = 边长 。
如果以V表示正方体的体积,a表示正方体的边长,则体积公式为:V = a 。
知识点06:体积公式的实际应用题型
基础计算题:
给出长方体的长、宽、高,要求计算其体积。
给出正方体的边长,要求计算其体积。
生活应用题:
例如,计算一个长方体水箱能装多少水,或者一个正方体容器能容纳多少物体等。
比较和判断题:
比较不同长方体或正方体体积的大小。
判断给定的长、宽、高或边长是否能构成特定体积的长方体或正方体。
优化问题:
例如,在给定材料的情况下,如何设计长方体或正方体的尺寸以使其体积最大或达到特定要求。
综合应用题:
结合表面积和体积的计算,解决实际生活中的复杂问题,如设计包装箱以最小化材料使用同时保证足够的容量。
错误识别与改正:
题目中可能会给出错误的体积计算过程或结果,要求学生识别错误并改正。
单位换算问题:
在计算体积时,可能会涉及到不同单位之间的换算,如立方厘米与立方米之间的转换。
易错点01:单位换算
易错描述:在计算长方体和正方体的表面积或体积时,学生容易忽略单位换算,导致计算错误。
易错题目:一个长方体鱼缸的长是5dm,宽是3dm,高是40cm。求这个鱼缸的表面积。
错误答案:直接代入公式计算,未进行单位换算,导致结果错误。
正确答案:
首先进行单位换算,高=40cm=4dm,然后代入公式计算表面积:
表面积 = 2 × (5dm × 3dm + 5dm × 4dm + 3dm × 4dm) = 94dm
易错点02:表面积与体积的混淆
易错描述:学生容易将表面积和体积的概念混淆,导致在求解问题时使用了错误的公式。
易错题目:一个正方体木块的棱长是6cm,求这个木块的表面积和体积。
错误答案:将表面积和体积的计算公式混淆,导致两个结果都错误。
正确答案:
表面积 = 6 × 6cm × 6cm = 216cm
体积 = 6cm × 6cm × 6cm = 216cm
易错点03:公式应用错误
易错描述:学生在应用表面积或体积公式时,容易忽略公式中的某个部分或错误地使用了公式。
易错题目:一个长方体纸盒的长是10cm,宽是8cm,高是5cm。求这个纸盒的表面积。
错误答案:只计算了纸盒的四个侧面的面积,忽略了上下两个面的面积。
正确答案:表面积 = 2 × (10cm × 8cm + 10cm × 5cm + 8cm × 5cm) = 460cm
易错点四:忽略实际情况
易错描述:在计算长方体和正方体的表面积时,学生容易忽略实际情况,如长方体或正方体是否有盖子、是否为空心等。
易错题目:一个无盖的长方体鱼缸,长是80cm,宽是40cm,高是50cm。求制作这个鱼缸需要多少玻璃。
错误答案:直接计算了长方体的表面积,未考虑鱼缸无盖的情况。
正确答案:
由于鱼缸无盖,只需计算五个面的面积:
表面积= 80cm × 40cm + 2 × (80cm × 50cm + 40cm × 50cm) = 13600cm
检测时间:90分钟 试题满分:100分 难度系数:0.46(较难)
一.反复比较,慎重选择(将正确答案的序号填在括号里)(共5小题,满分10分,每小题2分)
1.(本题2分)(23-24五年级下·河南洛阳·期末)在一个透明的长方体盒子内放置棱长为1cm的小正方体(如图)。这个长方体盒子的表面积是( )cm2。
A.66 B.60 C.33 D.30
2.(本题2分)(23-24五年级下·重庆九龙坡·期末)李冬设计了一个测量玻璃球体积的实验:先将200毫升的水倒进容积为500毫升的量杯中,再将1颗大玻璃球和1颗小玻璃球浸没水中,水面刚好在300毫升处,最后放入5颗小玻璃球,全都浸没水中,此时水面与量杯口齐平,刚好无水溢出。那么一颗大玻璃球的体积是( )立方厘米。
A.40 B.60 C.80 D.100
3.(本题2分)(23-24五年级下·重庆忠县·期末)如图是测量一颗铁球体积的过程:①将300毫升的水倒进一个容积为500毫升的杯子中;②将四颗相同的铁球放入水中,结果水没有满;③再将一颗同样的铁球放入水中,结果水满溢出。根据以上过程,推测这样一颗铁球的体积大约是( )cm3。
A.30~40 B.40~50 C.50~60 D.60~70
4.(本题2分)(22-23五年级下·湖北荆州·期末)一个长方体,从它上面挖去一个小正方体,这个长方体的表面积( )。
A.不变 B.减少了 C.增加了 D.无法确定
5.(本题2分)(23-24五年级下·四川凉山·期末)把一个棱长是5dm的正方体木块截成两个大小、形状完全相等的长方体,这两个长方体的表面积一共是( )dm2。
A.125 B.150 C.200 D.300
二、用心思考,认真填写(共8小题,满分15分)
6.(本题1分)(23-24五年级下·四川南充·期末)如图,在长方体纸盒内放棱长为1cm的小正方体,沿着长、宽、高摆放的情况如图,这个盒子内一共可以放( )个小正方体。
7.(本题2分)(23-24五年级下·四川南充·期末)用3个棱长是2厘米的小正方体,拼成一个大的长方体,这个长方体的体积是( )立方厘米,表面积比3个小正方体的表面积之和少( )平方厘米。
8.(本题2分)(23-24五年级下·四川南充·期末)下图是一个正方体的展开图。
(1)这个正方体中,6的对面是( )。
(2)抛起这个正方体,落下后,质数朝上比合数朝上的可能性( )。(填“大”或“小”)
9.(本题1分)(23-24五年级下·四川凉山·期末)小丽有一个封闭的长方体容器(如下图),长4分米,宽1分米,高2分米,里面水深16厘米。现在她把这个容器的左侧面平放于桌面上。这时水深( )分米。
10.(本题1分)(23-24五年级下·四川凉山·期末)在一个底面积为34平方分米,高7分米的长方体容器中,倒入4分米深的水。现将一个铁块完全浸没在水中,水面上升2分米。这个铁块的体积是( )立方分米。
11.(本题3分)(23-24五年级下·四川广元·期末)如果把一根48cm长的铁丝围成一个长方体,它的长是5cm,宽是4cm,它的高是( )cm,它的表面积是( );如果围成一个正方体,它的体积是( )。
12.(本题2分)(23-24五年级下·四川凉山·期末)单位换算。
124升=( )立方米 8立方分米6立方厘米=( )立方厘米
13.(本题3分)(24-25五年级下·海南海口·期末)下图是一个长方体一个顶点处的3条棱(单位:cm)。用铁丝焊接这样一个框架,至少需要铁丝( )cm;给框架焊上铁皮,至少需要铁皮( );用做成的铁皮箱子装水,最多能装( )L。
三、认真审题,准确判断(共5小题,满分10分,每小题2分)
14.(本题2分)(23-24五年级下·广东云浮·期末)一个容器的体积是5立方分米,它的容积就是5升。( )
15.(本题2分)(23-24五年级下·重庆北碚·期末)一个棱长是1m的正方体,可以平均分割成1000个体积为1dm3的小正方体。( )
16.(本题2分)(22-23五年级下·湖北黄石·期末)体积是1m3的物体房子地面,它的占地面积一定是1m2。( )
17.(本题2分)(22-23五年级下·河北保定·期末)一瓶可乐大约是750升。( )
18.(本题2分)(22-23五年级下·河北石家庄·期末)把两个棱长为4厘米的正方体拼成一个长方体,拼成的长方体的表面积为192平方厘米,体积为128立方厘米。( )
四、动手动脑,巧思妙算(共4小题,满分17分)
19.(本题4分)(23-24五年级下·贵州安顺·期末)求下面图形的表面积和体积。(单位:厘米)
20.(本题4分)(23-24五年级下·广东河源·期末)计算如图长方体的体积和表面积。(单位:厘米)
体积:( )。表面积:( )。
21.(本题5分)(21-22五年级上·湖南长沙·期末)求下面图形的表面积和体积。
22.(本题4分)(23-24五年级下·四川凉山·期末)计算下面立体图形的表面积和体积。(单位:厘米)
五、灵活应用,解决问题(共8小题,满分48分)
23.(本题6分)(22-23五年级下·湖北黄石·期末)如图,一块长35厘米、宽30厘米的铁皮。从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形,然后做成一个无盖的铁盒。这个铁盒的容积是多少?这个铁盒的表面积是多少?
24.(本题6分)(22-23五年级下·河北保定·期末)文体中心新建了一个游泳池,长25米、宽20米、深2米。
(1)在游泳池的底面和侧面贴瓷砖,如果每平方米需要30元,共需要多少钱?
(2)如果每立方米水重1吨,那么在游泳池中注入多少吨水,才能使水深达到1.5米?
25.(本题6分)(23-24五年级下·河南洛阳·期末)乘坐飞机时免费托运行李的尺寸限制为长60厘米、宽40厘米、高100厘米。张阿姨的行李箱如下图所示。
(1)张阿姨的行李是否可以免费托运?(可以 不可以)(在方框内打“√”)
(2)张阿姨打算给这个行李箱加个布套(底面不做),这个布套至少需要多少布料?(接缝处忽略不计)
26.(本题6分)(22-23五年级下·湖北荆州·期末)一个无盖的长方体鱼缸,长50厘米,宽10厘米,高30厘米。
(1)做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方厘米?
(2)在鱼缸里注入8升水,水深大约多少厘米?(玻璃厚度忽略不计)
27.(本题6分)(23-24五年级下·河南安阳·期末)明明买了一个亚当牛尊的工艺品,想知道它的体积是多少。明明把它放入一个长65厘米,宽40厘米,水深12厘米的容器中,结果水面升高到15厘米(水没有溢出)。你知道亚当牛尊工艺品的体积是多少立方厘米吗?
28.(本题6分)(23-24五年级下·江西吉安·期末)下面是贝贝比较土豆和红薯的体积时做的实验。(单位:厘米)
分别计算土豆和红薯的体积。
29.(本题6分)(23-24五年级下·河南安阳·期末)博物馆里有许多保护文物的透明展示罩(无底),下图所示:这是其中一个,长是2米,宽0.6米,高0.8米,制作一个这样透明展示罩需要多少平方米的材料?
30.(本题6分)(23-24五年级下·四川广元·期末)一个长方体玻璃鱼缸(无盖),量得它的长是8分米,宽是5分米,高是6分米,水深5.4分米。(玻璃厚度忽略不计)
(1)做这个长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃多少平方分米?
(2)如果在这个鱼缸里投入一个棱长是3分米的正方体铁块,鱼缸里的水会不会溢出?请你通过计算说明。
(3)如果会溢出,鱼缸里会溢出多少升水?如果不会溢出,现在水深是多少分米?