2025年人教版数学五升六年级暑假衔接培优精讲练过关讲义
（知识梳理+易错点拨+真题培优拔尖卷）
第6讲 数学广角—找次品
知识点01：找次品的基本概念
找次品问题是指在一堆外观相同的物品中，通过有限次称重找出异常的一个（次品），这个次品在重量上与正品不同，可能偏重或偏轻。
知识点02：找次品的方法和步骤
分组策略：首先，把所有待测物品尽可能平均地分成3份。如果不能被3整除，则根据余数进行适当调整：
如果余数为1，将多余的那个物品放入其中一份中。
如果余数为2，则将这两个多余的物品分别放入前两份中。
称重策略：接下来，利用天平进行称重。先将两组数量相同的物品进行称重。
如果天平平衡，说明次品在未被称重的那组物品中。
如果天平不平衡，说明次品在偏重或偏轻的那组物品中。
递归查找：确定含有次品的组之后，重复上述分组和称重步骤，直至找到次品为止。
知识点03：找次品的规律与特点
最少称重次数：通过上述方法，可以保证用最少的称重次数找出次品。称n次最多可以分辨出3^n个物品中的一个次品。
效率优化：将物品分成3份而不是2份进行称重，是因为这种方法可以减少称重次数，提高找次品的效率。
知识点04：实际应用与拓展
问题解决：学生应能够运用找次品的方法解决实际问题，如在一堆外观相同的零件中找出一个质量不合格的次品。
思维拓展：找次品问题不仅限于数学课本中的理想情况，还可以拓展到现实生活中的各种应用场景，如质量检测、物品分类等。
易错点01：对题目理解不清
学生可能没有完全理解题目的要求，例如，次品可能是更重、更轻或是不同颜色等。
易错点02：未考虑所有可能性
在称量过程中，学生可能只考虑了部分可能性，而忽略了其他情况。
易错点03：策略选择不当
在寻找次品时，学生可能选择了不合适的策略，导致称量次数过多或无法准确找出次品。
检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.47（较难）
一．反复比较，慎重选择（将正确答案的序号填在括号里）（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（本题2分）（23-24五年级下·湖北黄石·期末）至少称3次，就可以保证从零件中找到那一个次品，零件个数的范围是（ ）。
A．2个~3个 B．4个~9个 C．10个~27个 D．不能确定
【答案】C
【思路点拨】把27个零件分成9个，9个，9个的三份，第一次：把其中两份分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则次品即在未取的9个零件中（按照下面方法继续操作），若不平衡，则次品在天平秤较高端的9个零件中；第二次：把天平秤较高端的9个零件分成3个，3个，3个的三份，把其中两份分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则次品即在未取的个零件中（按照下面方法继续操作），若不平衡，则次品在天平秤较高端的3个零件中；第三次：从天平秤较高端的3个零件中，任取2个，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取的那个零件即为次品，若不平衡，天平秤较高端的零件即为次品，所以取值范围最大是27，据此解答即可。
【规范解答】A．2个～3个，称一次就可以找到次品；
B．4个～9个，称两次就可以找到次品；
C．至少称3次，就可以保证从零件中找到那一个次品，零件个数的范围是10个～27个。
故答案为：C
2．（本题2分）（23-24五年级下·广东东莞·期末）有21个零件，其中有一个是次品，它的质量比合格品轻，如果用天平称，至少（ ）次才能找出这个次品。
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【思路点拨】找次品的最优策略：
（1）把待分物品分成3份：
（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【规范解答】将21个零件分成（7、7、7），先称（7、7），可确定次品在7个中：将7个分成（2、2、3），称（2、2），平衡则次品在3个中：再将3个分成（1、1、1），再称1次即可确定次品，共3次。不平衡，次品在轻的一组，再将2个分成1、1，再称一次，次品是较轻的那个，共3次。
综上可得：至少3次才能找出这个次品。
故答案为：B
3．（本题2分）（23-24五年级下·河南漯河·期末）某品牌在售的散装粽子中，一个肉粽重140克，一个红枣粽重100克，只有一个肉粽，其余都是红枣粽。他想用天平称一称，那么最合适的称重分组方法是（ ）。
A． B．
C． D．
【答案】C
【思路点拨】根据题意，题中所求的是天平找次品的最优策略，在解答时，应把待测物品尽量平均分成3份，如果不能平均分的，也应使多的与少的一份只相差1，这样可以保证找出次品的次数最少，首先，我们考虑如何将8个粽子分组以最小化称重次数。
A．8个粽子分成1个、1个、6个，6个又分成2个、2个、2个。
这种方法需要至少3次称重：首先称1个和1个，如果不平衡，则找到肉粽；如果平衡，再称2个和2个，最后称剩下的2个，但是这种方法不是最优的，因为一开始的分组就不平衡。
B．8个粽子分成2个、2个、4个，4个又分成2个、2个。
这种方法需要至少3次称重：首先称2个和2个，如果不平衡，则找出肉粽所在的组；如果平衡，再称剩下的4个中的2个和2个，但这种方法也不是最优的。
C．8个粽子分成2个、3个、3个，3个又分成1个、1个、1个。
这种方法只需要2次称重：首先称3个和3个，如果平衡，则肉粽在剩下的2个中；如果不平衡，则肉粽在较重的那一组中，再把较重的分成1个、1个、1个，先称1个和1个，如果平衡，则剩下的就是肉粽，如果不平衡，较重的就是肉粽，这种方法最优。
D．把8个粽子分成2组各4个进行称重。
肉粽在较重的所在组；把较重的4个粽子分成1个、1个、2个，如果2个粽子平衡，则肉粽在剩下的2个粽子里，再称剩下的2个粽子，较重的那个粽子就是肉粽；如果不平衡，则较重的那个就是肉粽；这种方法需要至少3次，不是最优的。据此解答。
【规范解答】
根据分析可知，某品牌在售的散装粽子中，一个肉粽重140克，一个红枣粽重100克，只有一个肉粽，其余都是红枣粽。他想用天平称一称，那么最合适的称重分组方法是。
故答案为：C
4．（本题2分）（23-24五年级下·福建莆田·期末）“鉴宝”节目中，一位收藏者拿出了他收集的16枚古铜钱，这些古铜钱外形、质地完全相同，其中有1枚假铜钱，质量比其他真铜钱轻一些。利用一架天平则至少称（ ）次才能保证找出这枚假铜钱。
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【思路点拨】把16枚古铜钱分成5枚、5枚、6枚，第一次称，把两份5枚的放在天平的两端，会出现两种情况：
（1）如果天平平衡，则假铜钱在6枚中，再把6枚平均分成3份，每份2枚，把两份放在天平的两端，出现两种情况：①如果天平平衡，则假铜钱在剩下的2枚中，把这2枚放在天平的两端，轻的那枚是假铜钱；②如果天平不平衡，则假铜钱在轻的那2枚中，把这2枚放在天平的两端，轻的那枚是假铜钱；
（2）如果天平不平衡，则假铜钱在轻的那5枚中，把这5枚分成2枚、2枚、1枚，把两份2枚的放在天平的两端，如果天平平衡，则假铜钱是剩下的那枚；如果天平不平衡，则假铜钱在轻的那2枚中，再把这2枚放在天平的两端，轻的那枚是假铜钱。
所以至少称3次才能保证找出这枚假铜钱。
【规范解答】根据分析可知，至少称3次才能保证找出这枚假铜钱。
故答案为：B
5．（本题2分）（23-24五年级下·河南南阳·期末）有13个零件，其中有1个是次品，较其它零件稍轻。现在用无砝码天平称，要保证用最少的次数找到这个次品，则首次称时分组最恰当的是（ ）。
A．（1，1，11） B．（1，2，10） C．（2，4，7） D．（4，4，5）
【答案】D
【思路点拨】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【规范解答】将13个零件分成（4、4、5），称（4、4），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，平衡，次品在5个中；将5分成（2、2、1），称（2、2），不平衡，次品在2个中；将2分成（1、1），再称一次即可确定次品，共3次。
要保证用最少的次数找到这个次品，则首次称时分组最恰当的是（4，4，5）。
故答案为：D
二、用心思考，认真填写（共8小题，满分16分）
6．（本题6分）（23-24五年级下·河南信阳·期末）有6个零件，其中有1个是次品（偏轻一些）。小红设计了如图找次品的过程：把6个物品分别标记为1、2、3、4、5、6，然后用天平称3次，可以保证找到次品。请你根据小红设计的过程，在天平两端空白的方框里和旁边的括号里填上适当的数字。
【答案】见详解
【思路点拨】观察可知，如平衡，就接着称剩下的5和6，右边下沉，左边是几号，几号就是次品；如左边下沉，则次品在3和4之间，就再称3和4，右边下沉，左边是几号，几号就是次品。
【规范解答】据分析完成填空，如下：
7．（本题1分）（23-24五年级下·河南安阳·期末）茶文化是中国文化的代表之一，源远流长。某茶馆新购进茶叶20盒，其中一盒是次品，质量比其他盒稍轻，如果用天平称量找出这盒茶叶，至少需要( )次才能保证找出次品。
【答案】3
【思路点拨】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【规范解答】经分析得：
将20盒分成3份：6，7，7；第一次称重，在天平两边各放7盒，手里留6盒；
（1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的6盒分为2，2，2，在天平两边各放2盒，手里留2盒，
①如果天平平衡，则次品在手里2盒中，接下来，将这2盒分别放在天平的两边就可以鉴别出次品；
②如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的2盒中，接下来，将这2盒分别放在天平的两边就可以鉴别出次品。
（2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的7盒中，将这7盒分成三份：2，2，3，在天平两边各放2盒，手里留3盒，
①如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘的2盒中，接下来，将这2盒分别放在天平的两边就可以鉴别出次品。
②如果天平平衡，则次品在手中的3盒中，则将3盒平均分成3份：1，1，1，在天平各放1盒，手里留1盒，如果天平平衡，则次品在手里的1盒，如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的1盒中。
至少需要3次才能保证找出次品。
8．（本题1分）（23-24五年级下·广东江门·期末）有15袋糖果，其中14袋的质量相等，有1袋的质量不足，用天平至少要称 次才能把质量不足的那袋糖果找出来。
【答案】3
【思路点拨】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【规范解答】把15袋糖果分成（5，5，5）三份，第一次：任取两份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则质量不足的一袋，在未取的5袋中，若不平衡，质量不足的那袋在天平上升的一端；
第二次：把5袋糖果分成（2，2，1）三份，把每份2袋的两份分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那袋即为质量不足的，若天平秤不平衡，质量不足的那袋在天平上升的一端；
第三次：把天平秤较高端的2袋分别放在天平秤两端，较高端即为质量不足的那袋。
所以用天平至少要称3次才能把质量不足的那袋糖果找出来。
9．（本题1分）（23-24五年级下·广东云浮·期末）有12袋糖果，其中11袋一样重，另有一袋质量轻一些，用天平至少称( )次才能保证找出这袋质量轻一些的糖果。
【答案】3
【思路点拨】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【规范解答】先把12袋糖果平均分成3组，每组4袋。
第一次，取其中2组分别放在天平两边，若天平平衡，则较轻的一袋在未取的一组中，若天平不平衡，取较轻的继续；
第二次，取含有较轻的1组分成3份：1袋、1袋、2袋，取1袋的2份分别放在天平两侧，若天平不平衡，可找到较轻的一袋；若天平平衡，则较轻的一袋在未取的一份，再进行第三次比较；
第三次，取含有较轻的1份（2袋）分别放在天平两侧，即可找到较轻的一袋。
用天平至少称3次才能保证找出这袋质量轻一些的糖果。
10．（本题1分）（23-24五年级下·河北唐山·期末）5瓶维生素里有1瓶是次品（次品少了十片）。假如用天平称，至少称( )次才能保证找出次品。
【答案】2
【思路点拨】把5瓶维生素分成2，2，1的形式；
第一次：把两份2瓶的维生素分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那瓶就是次品；
若不平衡，第二次：把在天平称量较轻的那组维生素，分别放在天平两端，较轻的那瓶就是次品，至少需要2次，据此解答。
【规范解答】根据分析可知，5瓶维生素里有1瓶是次品（次品少了十片）。假如用天平称，至少称2次才能保证找出次品。
11．（本题1分）（22-23五年级下·湖北黄石·期末）26盒饼干，其中25盒质量相同，另有一盒少了几块。要保证用天平称3次能找到少了几块饼干的那一盒，最合理的分组方法是( )。
【答案】将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止
【思路点拨】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【规范解答】经分析得：
将26盒分成3份：9，9，8；第一次称重，在天平两边各放9盒，手里留8盒；
（1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的8盒分为3，3，2，在天平两边各放3盒，手里留2盒，
①如果天平平衡，则次品在手里2盒中，接下来，将这2盒分别放在天平的两边就可以鉴别出次品；
②如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3盒中。
接下来，将这3盒分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1盒，手里留1盒，称重第三次就可以鉴别出次品。
（2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的9盒中，将这9盒分成三份：3，3，3，在天平两边各放3盒，手里留3盒，
①如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘的3盒中，
接下来，将这3盒分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1盒，手里留1盒，称重第三次就可以鉴别出次品。
②如果天平平衡，则次品在手中的3盒中。
接下来，将这3盒分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1盒，手里留1盒，称重第三次就可以鉴别出次品。
所以最合理的分组方法是将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。
12．（本题1分）（24-25五年级下·海南海口·期末）10件物品，其中一件是次品（略重些），用天平称至少要称( )次才能保证找出次品。
【答案】3
【思路点拨】找次品的最优策略：一是把待测物品分成2份或3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1，这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少，据此解答。
【规范解答】有10件物品，其中有一件是次品，比其它略重。
第一次称重：先分成两份，天平两边各放5件，次品在较重的5件中；
第二次称重：把5件分成2件，2件和1件，天平两边各放2件，①若天平平衡，则次品就是剩下的1件；②若天平不平衡，次品就在较重的那2件中；
第三次称重：把较重的2件分成两份，天平两边各放1件，次品就是较重的1件。
10件物品，其中一件是次品（略重些），用天平称至少要称3次才能保证找出次品。
13．（本题1分）（23-24五年级下·贵州安顺·期末）有24个外形一样的玻璃球，其中23个质量相同，有一个略轻，用天平至少称( )次才能保证找出这一个略轻的玻璃球。
【答案】3
【思路点拨】第一次：把24个玻璃球平均分成三份（8，8，8），每份8个，任意取两份，分别放在天平两端，若平衡，则较轻的在未取的8个中；若不平衡，较轻的在较高端；
第二次：把8个玻璃球分成三份（3，3，2），把其中3个两份放在天平两端，若天平平衡，较轻的在未取的2个中，若不平衡，较轻的在较高端；
第三次：把天平较高的3个玻璃球分成三份（1，1，1），任取两个放在天平两端，若天平平衡，未取的就较轻的，若天平不平衡，较高的记为较轻的，由此可知，至少需要3次才能保证找出这个略轻的玻璃球，据此解答。
【规范解答】根据分析可知，有24个外形一样的玻璃球，其中23个质量相同，有一个略轻，用天平至少称3次才能保证找出这一个略轻的玻璃球。
三、认真审题，准确判断（共5小题，满分10分，每小题2分）
14．（本题2分）（22-23五年级下·湖北黄石·期末）糖糖买了10盒牛奶片，其中有一盒少了6片。至少要称4次才能保证找到少了的那盒牛奶片。( )
【答案】×
【思路点拨】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。
【规范解答】将10盒牛奶片分成（3、3、4），称（3、3），只考虑最不利的情况，平衡，次品在4盒中；将4盒分成（1、1、2），称（1、1），平衡，次品在2盒中；将2盒分成（1、1），再称一次即可确定次品，共3次，所以原题说法错误。
故答案为：×
15．（本题2分）（22-23五年级下·湖北黄冈·期末）有8个外观一样的零件，其中有一个是次品（次品重一些），用天平至少称3次才能保证找到次品。( )
【答案】×
【思路点拨】如果把这8零件分成3个、3个、2个三组，先在天平两边各放3个：
（1）如果天平平衡，说明次品在没称的2个里面，再把这2个零件分别放在天平秤两端，天平秤较重端零件，即为次品；
（2）若天平秤不平衡：从天平秤较重端的一侧任意取出2个，放在天平两边，如果平衡，没称的那个就是次品；如果不平衡，较重的一个就是次品。
【规范解答】有8个外观一样的零件，其中有一个是次品（次品重一些），用天平至少称2次才能保证找到次品。
故答案为：×
16．（本题2分）（22-23五年级下·江西·期末）9个同样的玻璃珠中找出其中1个略轻的次品，平均分3份称较为合适。( )
【答案】√
【思路点拨】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1，据此解答。
【规范解答】由分析可得：9个同样的玻璃珠中找出其中1个略轻的次品，平均分3份称较为合适，原题说法正确。
故答案为：√
17．（本题2分）（23-24五年级下·湖北随州·期末）要从15袋饼干中找出一袋重量较轻的饼干，用天平至少要称3次。( )
【答案】√
【思路点拨】把15袋饼干平均分成3份，每份5袋，即（5，5，5），第一次称，天平两边各放5袋，如果天平不平衡，次品就在较轻的5袋中；如果天平平衡，次品在剩下的5袋中；再把有次品的5袋饼干分成（2，2，1），第二次称，天平两边各放2袋，如果天平不平衡，次品在较轻的2袋中；如果天平平衡，次品就是剩下的那一袋；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，最后把有次品的2袋饼干分成（1，1），第三次称，天平两边各放1袋，次品就是较轻的那一袋。至少称3次能保证找出这袋较轻的饼干。
【规范解答】
故答案为：√
18．（本题2分）（23-24五年级下·四川南充·期末）有12枚金币，其中1枚是假的（假金币重一些），如果借助天平，至少需要称3次才能保证将假金币找出来。( )
【答案】√
【思路点拨】可把12枚金币任意4个一组分成3组，把任意两组放在天平上称，根据平衡与否的情况，再逐步分成等份进行称重对比，找出不同情况需要的次数，取最多的次数即为所得。
【规范解答】可把12枚金币任意4个一组分成3组，把任意两组放在天平上称，如平衡，则把没称的一组，再分成（2，2）放在天平上称，再把重的一组分成（1，1）放在天平上称，可找出次品。需要3次。如不平衡，则把重的一组，再分成（2，2）放在天平上称，找出重的一组分成（1，1）放在天平上称，可找出次品。需要3次。
故答案为：√
四、灵活应用，解决问题（共12小题，满分67分）
19．（本题6分）（21-22五年级下·陕西安康·期末）爸爸买来13本信笺，这13本信笺的质量相同，淘气的小强从一本信笺中撕了几页，你能用天平把这本被撕过的信笺找出来吗？至少需要几次？
【答案】能；3次
【思路点拨】根据题意可知，一本被撕了几页的信笺质量就比原来信笺的质量轻，由于信笺数大于3本，考虑将其分为三组（6，6，1），接下来将前两组称重，在每种情况下判断天平是否平衡；再平衡条件下再将信笺平均分成两组进行称重，即可解答。
【规范解答】将这13本信笺分成3组（6，6，1）；
第一次称量：在天平两边各放6本，可能出现两种情况：（把少的那本看做被撕过的）
①如果天平平衡，则次品是剩余的那本；
②如果天平不平衡，则次品在托盘上升那边6本里；
第二次称量：取托盘上升的6本，在左、有盘中分别放3本，上升部分有次品；
第三次称量：取托盘上升的3本中的2本，分别放在天平的左、右盘中，如果天平平衡，说明剩下的一个是次品，如果不平衡，则上升是次品。
答：能用天平把这本被斯过的信笺找出来，至少需要3次。
20．（本题6分）（20-21五年级下·陕西西安·期末）张叔叔加工了25个形状、大小完全一样的零件，其中有一个质量较轻的不合格产品，你能用天平只称3次帮他找出这个不合格产品吗？（请写出简要过程）
【答案】能；过程见详解
【思路点拨】要达到3次找到这个不合格产品，需要将25个零件尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止，据此答题即可。
【规范解答】至少称3次能保证找出这个不合格的零件来。
将25个零件分成3份：8，8，9；第一次称重，在天平两边各放8个，手里留9个；
（1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的9个分为3，3，3，在天平两边各放3个，手里留3个，
①如果天平平衡，则次品在手里3个中，接下来，将这3个分为1，1，1，取两份分别放在天平的两边就可以鉴别出次品；
②如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3个中。
接下来，将这3个分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1个，手里留1个，称重第三次就可以鉴别出次品。
（2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的8个中，将这8个分成三份：3，3，2，在天平两边各放3个，手里留2个，
①如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘的3个中，
接下来，将这3个分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1个，手里留1个，称重第三次就可以鉴别出次品。
②如果天平平衡，则次品在手中的2个中。
接下来，将这2个分成三份：1，1。天平的两边分别放1个，称重第三次就可以鉴别出次品。
答：至少称3次能找出这个不合格产品。
21．（本题5分）（20-21五年级下·陕西西安·期末）质检部门对某企业的产品进行质量抽检，在抽检的9盒产品中有1盒不合格（质量稍轻一些），如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？
【答案】2次
【思路点拨】根据题意可知，9盒中有1盒不合格，由于盒数大于3盒，考虑将其分为3份（3，3，3），接下来将其中2份称重，在每种情况下判断天平是否平衡；再平衡条件下再将剩下的1份平均分成3份进行称重，即可解答。
【规范解答】把9盒产品平均分成3份，每份3盒，任取2份，分别放在天平两端，若天平平衡，则质量较轻的在未取的3盒中，若天平不平衡；把天平较高端的3盒产品，任取2盒分别放在天平两端，若天平平衡，则质量较轻的是未取的那盒，若天平不平衡，天平较高端的那盒即为质量较轻的那盒。则：1＋1＝2（次）
答：至少称2次能保证找出次品。
22．（本题5分）（21-22五年级下·陕西商洛·期末）有10个同样的乒乓球，其中有一个次品较轻。用天平称一称，至少称几次就一定能找出这个次品？
【答案】3次
【思路点拨】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【规范解答】经分析得：将10个同样的乒乓球分成3份：3，3，4；第一次称重，在天平两边各放3个，手里留4个。
（1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的4个分为2份：2，2，在天平两边各放2个，次品在上升的天平托盘中。接下来，将这2个分别放在天平的两边就可以鉴别出次品。
（2）如果天平不平衡，则次品在上升的天平托盘的3个中，从这3个中取出2个，在天平两边各放1个，若平衡，则没称的那个是次品；若不平衡，则上升的那个是次品。
故至少称3次能保证找出次品。
答：至少称3次能保证找出次品。
23．（本题6分）（21-22五年级下·陕西渭南·期末）学校食堂买回来8袋盐，其中7袋质量相同，另有一袋的质量不足，轻一些。如果用天平来称，至少要称几次才能保证找到这袋质量不足的盐？
【答案】2次
【思路点拨】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【规范解答】将8袋盐分成3份（3，3，2），第一次称重，在天平两边各放3袋，手里留2袋。
（1）如果天平平衡，则次品在手里，然后再称一次就可以找到次品；
（2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3袋中，将这3袋中的2袋在清空的天平两边各放1袋，手里留1袋。如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘中，如果天平平衡，则次品在手中。
所以至少要称2次才能保证找到这袋质量不足的盐。
答：至少要称2次才能保证找到这袋质量不足的盐。
24．（本题5分）（21-22五年级下·陕西安康·期末）我国是世界上最早发现和利用茶树的国家，中国是茶的故乡。某茶厂对茶叶进行抽检，在抽检的15盒茶叶中，其中有14盒质量相同，另有一盒质量较轻一些为不合格产品，如果用天平称，至少称几次能保证将这盒不合格产品找出来？
【答案】3次
【思路点拨】要尽快找到这盒次品，可把15盒茶叶分成5、5、5三组，通过将等量的茶叶盒放到天平两端逐次称重，期间根据天平的平衡情况，随时调整下一次的称量对象，直至找到次品为止，据此解答。
【规范解答】第一次：每边放5盒，若天平平衡，则未拿的那组里有次品，若天平不平衡，则次品在天平较高端的5盒中；
第二次：将天平较高的那端5盒茶叶分成2、2、1三组，先把数量是2盒的两份放入天平两端，若天平平衡，则次品是未拿的1盒，若天平不平衡，次品在天平较高端的2盒中；
第三次：将含有次品的2盒茶叶，分成2份，放入天平两端，天平较高端的茶叶是次品；
因此，至少称3次可以保证找出次品。
25．（本题6分）（21-22五年级下·陕西西安·期末）有36盒同一种规格的饼干，其中有一盒稍重一些。如果用天平称，至少称几次才能保证找到这盒饼干？请写出简要的过程。
【答案】4次（过程见详解）
【思路点拨】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找出次品为止，据此解答。
【规范解答】第一次，把36盒饼干分成3份（12，12，12），任意取出12盒饼干的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较重的那盒饼干在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续；
第二次，取较重的一份12盒平均分成3份（4，4，4），取4盒饼干的两份分别放在天平的两侧，若天平平衡，较重的那盒饼干在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续；
第三次，取较重的一份4盒，平均分成2份（2，2），分别放在天平的两侧，天平不平衡，较重一端是略重的那盒饼干；
第四次，取较重的一份两盒分成2份（1，1），分别放在天平两侧，较重一端是略重的那盒饼干。
所以用天平至少称4次才能保证找出这盒饼干。
答：至少称4次才能保证找到这盒饼干。
26．（本题5分）（21-22五年级下·江西吉安·期末）有9袋奶粉，其中有一袋质量不足，轻一些。如果用天平秤，至少秤多少次才能保证找出这袋次品？（写出分组的方法，并把找的过程用示意图表示出来）
【答案】2次；见详解
【思路点拨】把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在天平上翘的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，最后根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。
【规范解答】分析可知，把9袋奶粉平均分成3份，每份3袋奶粉，找出次品所在的组，再把该组奶粉平均分成3份，每份1袋奶粉。
答：至少称2次才能保证找出这袋次品。
27．（本题6分）（21-22五年级下·宁夏银川·期末）有9个外观一样的乒乓球，其中有一个是次品，次品比其它球轻一些，用天平至少称几次才能保证找到次品？请用图画、文字说明你的方法。
【答案】2次；过程见详解
【思路点拨】把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在天平上翘的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，最后根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。
【规范解答】
由上可知，用天平至少称2次才能保证找到次品。
答：用天平至少称2次才能保证找到次品。
28．（本题5分）（22-23五年级下·陕西安康·期末）中医，是我国的瑰宝，中药学是我国古代优秀文化遗产的重要组成部分。奶奶因病需到中药馆买中药9副，每副药共计重200g，但由于药师的疏忽，其中一副中药少放了一味药。
（1）用天平称几次，能保证找到这副中药？请写出过程。
（2）如果两边各放4副药，称一次，有可能找出来这副药吗？为什么？
【答案】（1）2次；见详解；（2）可能；见详解
【思路点拨】（1）把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在天平上翘的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，最后根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。
（2）称一次是可能找出这副药，因为如果天平两端平衡的话，这8幅中药就没有次品，就说明次品就是没称的那副中药。据此解答。
【规范解答】（1）答：用天平称2次，能保证找到这副中药。
过程如下：
（2）答：有可能找出来这副药，因为如果两边各放4副药，称一次，如果平衡的话，则没有称的一副药是要找的次品。
29．（本题6分）（22-23五年级下·吉林四平·期末）中药学是中国的瑰宝！奶奶因病需要到中药店买9副中药，每副重200克，但由于药师的疏忽，其中一副少放了一味药导致这一副不足200克。如果能用天平称，至少称几次能保证找出这副不足200克的中药？
【答案】2次
【思路点拨】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【规范解答】可以把9副中药平均分成3份，每份（3，3，3），任取2份，分别放在天平两端；
（1）若天平平衡，则质量较轻的在未取的3副中，再按照下面天平不平衡的方法操作；
（2）若天平不平衡，把天平较高端的3副中，平均分为（1，1，1），任取2副分别放在天平两端；
若天平平衡，则质量较轻的是未取的那副；
若天平不平衡，天平较高端的那副即为质量较轻的那副。
答：如果能用天平称，至少称2次能保证找出这副不足200克的中药。
30．（本题6分）（22-23五年级下·河南郑州·期末）吃粽子：说到粽子，就不得不“南咸北甜”了，即北方人爱吃豆沙粽，枣子粽等甜味粽子，南方人喜欢加入火腿或排骨等的咸味粽子，将100克的糯米和2个6克的蜜枣放棕叶中包成一个四面体，这样一个甜甜的枣子粽就完成了，而火腿粽则需要把2个蜜枣换成50克的火腿肉即可。
(1)在一个枣子粽中，要知道“蜜枣的质量是糯米的几分之几？”下面列式正确的是（ ）。
A．
B．
C．
(2)根据上面的信息，算式解决的问题是： 。
(3)某公司按照配料标准分别生产了一批外观一样的火腿粽和枣子粽，每12个装一袋，但其中一袋火腿粽中混入了1个枣子粽，如果用天平称，至少称( )次，能保证找到这个枣子粽。
(4)聪聪想用排水法测量一个枣子粽的体积，在只有尺子、水和足够大的透明正方体玻璃容器的情况下，请你帮他设计一个实验方案，并用语言叙述出来。
【答案】(1)B
(2)糯米的质量是火腿粽质量的几分之几
(3)3
(4)见详解
【思路点拨】（1）由题意可知，蜜枣有2×6＝12克，根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算，要知道“蜜枣的质量是糯米的几分之几？”用蜜枣的质量除以糯米的质量即可；
（2）由题意可知，100克是糯米的质量，（100＋50）克是火腿粽的质量，再根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算，则解决的问题是：糯米的质量是火腿粽质量的几分之几；
（3）由题意可知，火腿粽的质量要大于枣子粽的质量，即枣子粽的质量较轻，把12个粽子平均分成三份（4，4，4），在天平两端各放1份，若平衡，枣子粽在剩下的那份中，若不平衡，枣子粽在轻的那一份中；再将含有枣子粽的这一份分成2份（2，2），在天平两端各放1份，若不平衡，枣子粽在轻的那一份中，再称一次即可，即至少称3次即可找到这个枣子粽；
（4）根据排水法的方法，枣子粽的体积即是一个底面积等于容器底面积、高为放粽子前后容器内水位变化高度的长方体的体积。
【规范解答】（1）在一个枣子粽中，要知道“蜜枣的质量是糯米的几分之几？”可列式为。
故答案为：B
（2）根据上面的信息，算式解决的问题是：糯米的质量是火腿粽质量的几分之几。
（3）由分析可知：
如果用天平称，至少称3次，能保证找到这个枣子粽。
（4）在玻璃容器中放入能淹没枣子粽的水，用尺子测量放枣子粽前后水面的高度h1、h2，再测量出正方体容器的棱长a，最后用a×a×（h2－h1）求出枣子粽的体积。2025年人教版数学五升六年级暑假衔接培优精讲练过关讲义
（知识梳理+易错点拨+真题培优拔尖卷）
第6讲 数学广角—找次品
知识点01：找次品的基本概念
找次品问题是指在一堆外观相同的物品中，通过有限次称重找出异常的一个（次品），这个次品在重量上与正品不同，可能偏重或偏轻。
知识点02：找次品的方法和步骤
分组策略：首先，把所有待测物品尽可能平均地分成3份。如果不能被3整除，则根据余数进行适当调整：
如果余数为1，将多余的那个物品放入其中一份中。
如果余数为2，则将这两个多余的物品分别放入前两份中。
称重策略：接下来，利用天平进行称重。先将两组数量相同的物品进行称重。
如果天平平衡，说明次品在未被称重的那组物品中。
如果天平不平衡，说明次品在偏重或偏轻的那组物品中。
递归查找：确定含有次品的组之后，重复上述分组和称重步骤，直至找到次品为止。
知识点03：找次品的规律与特点
最少称重次数：通过上述方法，可以保证用最少的称重次数找出次品。称n次最多可以分辨出3^n个物品中的一个次品。
效率优化：将物品分成3份而不是2份进行称重，是因为这种方法可以减少称重次数，提高找次品的效率。
知识点04：实际应用与拓展
问题解决：学生应能够运用找次品的方法解决实际问题，如在一堆外观相同的零件中找出一个质量不合格的次品。
思维拓展：找次品问题不仅限于数学课本中的理想情况，还可以拓展到现实生活中的各种应用场景，如质量检测、物品分类等。
易错点01：对题目理解不清
学生可能没有完全理解题目的要求，例如，次品可能是更重、更轻或是不同颜色等。
易错点02：未考虑所有可能性
在称量过程中，学生可能只考虑了部分可能性，而忽略了其他情况。
易错点03：策略选择不当
在寻找次品时，学生可能选择了不合适的策略，导致称量次数过多或无法准确找出次品。
检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.47（较难）
一．反复比较，慎重选择（将正确答案的序号填在括号里）（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（本题2分）（23-24五年级下·湖北黄石·期末）至少称3次，就可以保证从零件中找到那一个次品，零件个数的范围是（ ）。
A．2个~3个 B．4个~9个 C．10个~27个 D．不能确定
2．（本题2分）（23-24五年级下·广东东莞·期末）有21个零件，其中有一个是次品，它的质量比合格品轻，如果用天平称，至少（ ）次才能找出这个次品。
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（本题2分）（23-24五年级下·河南漯河·期末）某品牌在售的散装粽子中，一个肉粽重140克，一个红枣粽重100克，只有一个肉粽，其余都是红枣粽。他想用天平称一称，那么最合适的称重分组方法是（ ）。
A． B．
C． D．
4．（本题2分）（23-24五年级下·福建莆田·期末）“鉴宝”节目中，一位收藏者拿出了他收集的16枚古铜钱，这些古铜钱外形、质地完全相同，其中有1枚假铜钱，质量比其他真铜钱轻一些。利用一架天平则至少称（ ）次才能保证找出这枚假铜钱。
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（本题2分）（23-24五年级下·河南南阳·期末）有13个零件，其中有1个是次品，较其它零件稍轻。现在用无砝码天平称，要保证用最少的次数找到这个次品，则首次称时分组最恰当的是（ ）。
A．（1，1，11） B．（1，2，10） C．（2，4，7） D．（4，4，5）
二、用心思考，认真填写（共8小题，满分16分）
6．（本题6分）（23-24五年级下·河南信阳·期末）有6个零件，其中有1个是次品（偏轻一些）。小红设计了如图找次品的过程：把6个物品分别标记为1、2、3、4、5、6，然后用天平称3次，可以保证找到次品。请你根据小红设计的过程，在天平两端空白的方框里和旁边的括号里填上适当的数字。
7．（本题1分）（23-24五年级下·河南安阳·期末）茶文化是中国文化的代表之一，源远流长。某茶馆新购进茶叶20盒，其中一盒是次品，质量比其他盒稍轻，如果用天平称量找出这盒茶叶，至少需要( )次才能保证找出次品。
8．（本题1分）（23-24五年级下·广东江门·期末）有15袋糖果，其中14袋的质量相等，有1袋的质量不足，用天平至少要称 次才能把质量不足的那袋糖果找出来。
9．（本题1分）（23-24五年级下·广东云浮·期末）有12袋糖果，其中11袋一样重，另有一袋质量轻一些，用天平至少称( )次才能保证找出这袋质量轻一些的糖果。
10．（本题1分）（23-24五年级下·河北唐山·期末）5瓶维生素里有1瓶是次品（次品少了十片）。假如用天平称，至少称( )次才能保证找出次品。
11．（本题1分）（22-23五年级下·湖北黄石·期末）26盒饼干，其中25盒质量相同，另有一盒少了几块。要保证用天平称3次能找到少了几块饼干的那一盒，最合理的分组方法是( )。
12．（本题1分）（24-25五年级下·海南海口·期末）10件物品，其中一件是次品（略重些），用天平称至少要称( )次才能保证找出次品。
13．（本题1分）（23-24五年级下·贵州安顺·期末）有24个外形一样的玻璃球，其中23个质量相同，有一个略轻，用天平至少称( )次才能保证找出这一个略轻的玻璃球。
三、认真审题，准确判断（共5小题，满分10分，每小题2分）
14．（本题2分）（22-23五年级下·湖北黄石·期末）糖糖买了10盒牛奶片，其中有一盒少了6片。至少要称4次才能保证找到少了的那盒牛奶片。( )
15．（本题2分）（22-23五年级下·湖北黄冈·期末）有8个外观一样的零件，其中有一个是次品（次品重一些），用天平至少称3次才能保证找到次品。( )
16．（本题2分）（22-23五年级下·江西·期末）9个同样的玻璃珠中找出其中1个略轻的次品，平均分3份称较为合适。( )
17．（本题2分）（23-24五年级下·湖北随州·期末）要从15袋饼干中找出一袋重量较轻的饼干，用天平至少要称3次。( )
18．（本题2分）（23-24五年级下·四川南充·期末）有12枚金币，其中1枚是假的（假金币重一些），如果借助天平，至少需要称3次才能保证将假金币找出来。( )
四、灵活应用，解决问题（共12小题，满分67分）
19．（本题6分）（21-22五年级下·陕西安康·期末）爸爸买来13本信笺，这13本信笺的质量相同，淘气的小强从一本信笺中撕了几页，你能用天平把这本被撕过的信笺找出来吗？至少需要几次？
20．（本题6分）（20-21五年级下·陕西西安·期末）张叔叔加工了25个形状、大小完全一样的零件，其中有一个质量较轻的不合格产品，你能用天平只称3次帮他找出这个不合格产品吗？（请写出简要过程）
21．（本题5分）（20-21五年级下·陕西西安·期末）质检部门对某企业的产品进行质量抽检，在抽检的9盒产品中有1盒不合格（质量稍轻一些），如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？
22．（本题5分）（21-22五年级下·陕西商洛·期末）有10个同样的乒乓球，其中有一个次品较轻。用天平称一称，至少称几次就一定能找出这个次品？
23．（本题6分）（21-22五年级下·陕西渭南·期末）学校食堂买回来8袋盐，其中7袋质量相同，另有一袋的质量不足，轻一些。如果用天平来称，至少要称几次才能保证找到这袋质量不足的盐？
24．（本题5分）（21-22五年级下·陕西安康·期末）我国是世界上最早发现和利用茶树的国家，中国是茶的故乡。某茶厂对茶叶进行抽检，在抽检的15盒茶叶中，其中有14盒质量相同，另有一盒质量较轻一些为不合格产品，如果用天平称，至少称几次能保证将这盒不合格产品找出来？
25．（本题6分）（21-22五年级下·陕西西安·期末）有36盒同一种规格的饼干，其中有一盒稍重一些。如果用天平称，至少称几次才能保证找到这盒饼干？请写出简要的过程。
26．（本题5分）（21-22五年级下·江西吉安·期末）有9袋奶粉，其中有一袋质量不足，轻一些。如果用天平秤，至少秤多少次才能保证找出这袋次品？（写出分组的方法，并把找的过程用示意图表示出来）
27．（本题6分）（21-22五年级下·宁夏银川·期末）有9个外观一样的乒乓球，其中有一个是次品，次品比其它球轻一些，用天平至少称几次才能保证找到次品？请用图画、文字说明你的方法。
28．（本题5分）（22-23五年级下·陕西安康·期末）中医，是我国的瑰宝，中药学是我国古代优秀文化遗产的重要组成部分。奶奶因病需到中药馆买中药9副，每副药共计重200g，但由于药师的疏忽，其中一副中药少放了一味药。
（1）用天平称几次，能保证找到这副中药？请写出过程。
（2）如果两边各放4副药，称一次，有可能找出来这副药吗？为什么？
29．（本题6分）（22-23五年级下·吉林四平·期末）中药学是中国的瑰宝！奶奶因病需要到中药店买9副中药，每副重200克，但由于药师的疏忽，其中一副少放了一味药导致这一副不足200克。如果能用天平称，至少称几次能保证找出这副不足200克的中药？
30．（本题6分）（22-23五年级下·河南郑州·期末）吃粽子：说到粽子，就不得不“南咸北甜”了，即北方人爱吃豆沙粽，枣子粽等甜味粽子，南方人喜欢加入火腿或排骨等的咸味粽子，将100克的糯米和2个6克的蜜枣放棕叶中包成一个四面体，这样一个甜甜的枣子粽就完成了，而火腿粽则需要把2个蜜枣换成50克的火腿肉即可。
(1)在一个枣子粽中，要知道“蜜枣的质量是糯米的几分之几？”下面列式正确的是（ ）。
A．
B．
C．
(2)根据上面的信息，算式解决的问题是： 。
(3)某公司按照配料标准分别生产了一批外观一样的火腿粽和枣子粽，每12个装一袋，但其中一袋火腿粽中混入了1个枣子粽，如果用天平称，至少称( )次，能保证找到这个枣子粽。
(4)聪聪想用排水法测量一个枣子粽的体积，在只有尺子、水和足够大的透明正方体玻璃容器的情况下，请你帮他设计一个实验方案，并用语言叙述出来。
