河北省邢台市质检联盟2024-2025学年高二下学期期中数学试卷（含解析）

2024—2025学年高二（下）质检联盟期中考试数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章至第七章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．从4名女同学和3名男同学中各选1人来主持某次主题班会，则不同的选法有（ ）
A．12种 B．7种 C．4种 D．3种
2．已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ）
A．0.24 B．0.38 C．0.12 D．0.44
3．随机变量的分布列如下表所示，其中a，b为函数的两个不同的极值点，则（ ）
ξ 0 1 2
P a b c
A． B． C． D．
4．有一机器人的运动方程为（t是时间，单位：s；s是位移，单位：cm），则该机器人在时的瞬时速度是在时的瞬时速度的（ ）
A．1倍 B． C．2倍 D．
5．已知某商店1~7月份月利润y（单位：万元）关于其对应的月份代码x（1~7月份的月份代码依次为1~7）的经验回归方程为，且，则（ ）
A．3．6 B．1．5 C．1．4 D．1．8
6．已知能被11整除，则整数a的值可以是（ ）
A．1 B．9 C．10 D．0
7．一只蚂蚁从平面直角坐标系的原点出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向中的一个方向移动一个单位长度，其中在点的位置有一个陷阱，蚂蚁掉落到陷阱中就无法移动，则蚂蚁移动6次后能移动到点的不同走法有（ ）
A．8种 B．10种 C．12种 D．16种
8．已知函数与其导函数的部分图象如图所示．设函数，则（ ）
A． B．
C．在上单调递减 D．在处取得极大值
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．观察下列散点图，则（ ）
A． B． C． D．
10．某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格．这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时．现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为．用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，依据小概率的独立性检验，零假设为：学生短跑成绩合格与每周锻炼时间相互独立，则下列结论正确的是
参考公式与数据：，其中：．
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
A．可以推断成立，即认为学生短跑成绩合格与每周锻炼时间超过5小时无关
B．可以推断不成立，即认为学生短跑成绩合格与每周锻炼时间超过5小时有关
C．学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率为
D．在学生甲参加培训后短跑成绩合格的情况下，学生甲每周的锻炼时间不超过5小时的概率为
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．直线是图象的一条切线 B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．展开式中含的项的系数为________．
13．设随机变量，且，则_；若随机变量满足，则的方差为________．
14．如图，这是一个平面图形，现提供四种颜色给图中的区域1、区域2、区域3、区域4、区域5、区域6共六个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则共有________种不同的涂色方案．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）某俱乐部安排3名女生和4名男生组成一支队伍参加羽毛球团体赛，每人只参加一个项目．
（1）若比赛依次进行7轮单打，且3名女生的比赛顺序是相邻的，求不同的安排方法种数；
（2）若比赛依次按照男子双打、女子双打、混合双打、男子单打共四个项目进行，求不同的安排方法种数；
（3）若比赛依次按照双打、双打、双打、单打共四个项目进行，求不同的安排方法种数．
16．（15分）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若恒成立，求a的取值范围．
17．（15分）正比例手办是按照动漫角色的一定比例制作的手办，细节丰富，高度还原角色形象．已知某店内共有20个正比例手办，其中有8个正比例手办采用树脂材质制成，有12个正比例手办采用PVC材质制成，树脂材质的正比例手办中有2个是比例手办，6个是比例手办，PVC材质的正比例手办中有4个是比例手办，8个是比例手办．该店举行了一个抽奖活动，将这20个正比例手办编号为1，2，3，……，20，盒子内有编号分别为1，2，3，……，20的20张小纸条，消费者抽到编号为的纸条即视为抽到编号为i的正比例手办，消费者一次性从盒子内随机抽取2张纸条，每位消费者只有一次机会．
（1）记事件A为“消费者小曲抽到的2个正比例手办的材质与比例均相同”，求．
（2）若消费者抽到的2个正比例手办的材质与比例均不相同，则无奖励；若仅材质或仅比例相同，则奖励100元；若材质与比例均相同，则奖励200元．记消费者小曲获得的奖金金额为元，请写出的分布列及期望．
18．（17分）某商场举办抽奖活动，每位消费者仅限参加一次，抽奖活动分两个环节，第一个环节是射击，第二个环节是摸球领奖．射击环节是由消费者在商场准备的Ⅰ型和Ⅱ型两种不同型号的射击枪中选择其中一种，再向射击靶射击3次，每次击中射击靶与否相互独立．已知甲选择使用Ⅰ型射击枪射击，且每次击中射击靶的概率均为；乙选择使用Ⅱ型射击枪射击，且每次击中射击靶的概率均为．若甲累计击中射击靶1次，则从a抽奖箱（如图所示）内摸1个球，摸到红球即可获得一个奖品；累计击中射击靶2次或3次，则甲可直接获得一个奖品．若乙累计击中射击靶1次，则从A抽奖箱内摸1个球，摸到红球即可获得一个奖品；累计击中射击靶2次，则从B抽奖箱（如图所示）内摸1个球，摸到红球即可获得一个奖品；累计击中射击靶3次，则可直接获得一个奖品．A抽奖箱与B抽奖箱中的球除了颜色不同之外，大小、质地均相同．
（1）若甲累计击中射击靶的次数不少于1的概率为，求p的值；
（2）在（1）的情况下，若，记甲、乙各自获得一个奖品的概率分别为，试比较的大小；
（3）若，且甲获得一个奖品的概率大于乙获得一个奖品的概率，求p的取值范围．
19．（17分）已知函数
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，求在上的最小值；
（3）当时，讨论的零点个数．
数学参考答案
1．A 依题意，不同的选法有种．
2．B 根据题意可得．
3．D 由，得，则，解得．当时，，故．
4．B ，所以．
5．B 由题意得，因为，所以，则该经验回归直线经过样本点的中心．由，得，B正确．
6．C 易得，因为能被11整除，所以能被11整除，由选项知当时，符合题意．
7．A 蚂蚁移动6次到点，有种走法，其中会经过点的走法有种，所以蚂蚁移动6次能移动到点的不同走法有种．
8．B 由图可知，的分布如图所示．
易得当时，，所以在上单调递减，则，A错误．由，得．当时，，所以，所以在上单调递减，所以，即，所以，B正确．当时，以，在上单调递增，C错误．当时，，所以，在处取得极小值，D错误．
9．BD 散点图①，②中y与x呈负相关，散点图②中y与x的线性相关性更强，所以，所以；散点图③，④中y与x呈正相关，，散点图④中y与x的线性相关性更强，所以，所以．故．
10．BCD 由题可得如下表格：
单位：人
每周锻炼时间 短跑成绩 合计
合格 不合格
每周的锻炼时间超过5小时 35 10 45
每周的锻炼时间不超过5小时 25 30 55
合计 60 40 100
根据表中的数据，可得，
根据小概率值的独立性检验，可推断不成立，即认为学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关．
设事件“学生甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格”，事件“学生甲每周的锻炼时间超过5小时，短跑成绩不合格”，“学生甲每周的锻炼时间不超过5小时，短跑成绩不合格”，则，
所以，
所以从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训后，学生甲短跑成绩合格的概率为．
易得在学生甲短跑成绩合格的情况下，学生甲每周的锻炼时间不超过5小时的概率为．
11．ACD 因为，所以，设切点坐标为，则，解得，又，所以的图象在点处的切线方程为，即，A正确．
由，可知在上单调递增，在上单调递减，所以，B错误．
由B可知，当且仅当时，等号成立，令，则化简可得，C正确．
令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以令，则，
整理得，D正确．
12．240 展开式中含的项的系数为．
13．； 易得，解得，则．
因为，所以，则．
14．96若仅用三种颜色涂色，则区域1，6同色，区域2，4同色，区域3，5同色，共有种涂法；若用四种颜色涂色，则区域1，6，区域2，4，区域3，5中有一组不同色，则有3种情况，先从四种颜色中取两种涂同色区，有种涂法，剩余两种涂在不同区域，有2种涂法，共有种涂法．故总的涂色方案有：种．
15．解：（1）不同的安排方法种数为．
（2）不同的安排方法种数为．
（3）不同的安排方法种数为．
16．解：（1）略
（2）的定义域为．
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
在处取得最大值，最大值为．
因为恒成立，所以，因为，所以，
解得，
故a的取值范围为．
17．解：（1）由题意可知．
（2）记事件B为“消费者小曲抽到的2个正比例手办仅材质或仅比例相同”，记事件C为“消费者小曲抽到的2个正比例手办的材质与比例均不相同”，
则由（1）得，
，
则的分布列为
0 100 200
P
则．
18．解：（1）设X表示甲累计击中射击靶的次数，则．
根据题意可得，
解得．
（2）由（1）得．
设Y表示乙累计击中射击靶的次数，则．
，
．
因为，所以．
（3）记事件A为“甲获得一个奖品”，事件B为“乙获得一个奖品”，
则，
，
所以．
因为，所以，则．
令函数，则，
则在上单调递减．
因为，所以当时，，当时，．
故的解集为，即p的取值范围为．
19．解：（1）当时，，定义域为，
则，
当时，，当时，，
故的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）当时，，，
令，则，所以在上单调递增，
所以当时，，
所以在上单调递减，所以当时，．
（3）令，得，即，
所以．
令，，则，即①，
当时，由，得在上恒成立，
所以在上单调递减，故方程①的解的个数即为的零点个数．
令，则，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，，当时，，且当时，．
因为，所以．
当即时，方程①有两个不同的解，的零点个数为2；
当或，即或时，方程①只有一个解，的零点个数为1；
当，即时，方程①无解，的零点个数为0．
综上，当时，的零点个数为2；当或时，的零点个数为1；当时，的零点个数为0．