甘肃省武威市凉州区长城、吴家井中学2025届九年级下学期中考三模数学试卷(含详解)

2025年甘肃省武威市凉州区长城、吴家井中学中考三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．“天河二号”是由国防科学技术大学研制的超级计算机系统，持续计算速度可达每秒次，若连续运行5分钟，则总计算次数用科学记数法表示为（ ）
A．次 B．次 C．次 D．次
3．已知，是关于x的方程的两个根，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的两个交点为，，且，其部分图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）

A． B． C． D．
5．如图，是的直径，点在上，连接，，过点作交于点，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．不透明袋子中装有个红球和个黄球，这些小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出两个小球，恰好摸出个红球和1个黄球的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，E是上一点，作交于点F，作交于点G，若，，则的长为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．17
9．如图，的弦，半径，垂足为D，且，则的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
10．下列选项都是由相同小正方体组合而成的图形，能成功填入下图中并使之成为长方体的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．因式分解： ．
12．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
13．在平面直角坐标系中，若二次函数图象上存在，两点，当时，满足，则m的取值范围为 ．
14．如图，中，，，垂足为D，将绕点C顺时针旋转，得到，点B的对应点E落在上，若，则的度数为 °．
15．如图，在中，弦厘米，作正方形，点，均落在圆内，圆心在正方形内．若将正方形沿射线方向平移1厘米，能使边与相切，则将正方形沿射线方向平移 厘米时，正方形其中一条边与相切．

16．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数（，）的图象上，轴于点，延长交反比例函数的图象于点，点为的中点，连接、，若的面积为4，则的值为 ．
17．如图，在中，O为对角线上一点，且，线段与线段关于过点O的直线l对称，点A的对应点在线段上，，与相交于点E，连接，则四边形与的面积之比为 ．
18．如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连结并延长交于点．给出以下结论：①为等腰三角形；②为的中点；③；④．其中正确结论是 ．（填序号）
三、解答题
19．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为，，．
(1)以轴为对称轴，将作对称变换得，再以轴为对称轴，将作对称变换得，画出；
(2)直接写出和的对称中心坐标_____；
(3)在所给的网格图中确定一个格点，使得射线平分，直接写出点的坐标_____．
20．（1）计算：
（2）化简：．
21．某新能源汽车销售公司，在国家减税政策的支持下，原价为每辆25万元的纯电动新能源汽车经过两次价格下调后，售价变为每辆16万元，求平均每次降价的百分率．
22．如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的度数．
23．如图，内接于，，为的直径，连接，过点作交的延长线于点．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的半径．
24．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，其中p，q是关于t的一元二次方程的两个实数根．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若一次函数与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求．
25．已知：如图，在梯形中，，，点E是腰上的点，，点F是线段上的点，联结交于点O．
(1)求证：；
(2)当时，求证：．
26．甘肃黄河楼，耸立在黄河之滨，见证了母亲河的壮丽与传奇，是弘扬黄河文化的标志性建筑．如图，小军想利用无人机测量黄河楼的高度BC，无人机在点A处测得黄河楼顶部点B的俯角为，黄河楼底端点C的俯角为，此时无人机与黄河楼的水平距离为，点D、B、C在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求黄河楼的高度BC．（参考数据：，，）
27．如图，二次函数图象与轴交于点两点（点在点的右边），与轴交于点．
(1)求三点的坐标．
(2)若点是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使是以为底的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若点是线段上的任意一点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
《2025年甘肃省武威市凉州区长城、吴家井中学中考三模数学试题》参考答案
1．D
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，此选项不合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，此选项不合题意；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形，此选项符合题意．
故选：D．
2．B
解：5分钟秒，（次）．
故选：B．
3．A
解：∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
∵，是关于x的方程的两个根，
∴；故A正确，B错误；
∴，
∴异号或其中一个的值为0，的值不一定大于0；故C，D错误；
故选A．
4．B
解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即，故A正确，不符合题意，
∵抛物线与轴的两个交点为，，
∴，即，故B不正确，符合题意，
∴
∵
∴
则，即
∴，故C正确，不符合题意，
∵抛物线开口向下，时，
又∵
∴
即，故D正确，不符合题意，
故选：B．
5．D
解：，
，
，
，
又是的直径，
，
．
故选：D．
6．B
解：列树状图，如图：
有图可知，随机摸出两个小球，所有等可能的情况有种，其中满足摸出个红球和1个黄球的情况有种，
∴恰好摸出个红球和1个黄球的概率为．
故选：B．
7．D
解：∵反比例函数解析式为，
∴反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
8．C
解：∵在矩形中，对角线，相交于点O，
∴，，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：C
9．A
解：，
为的中点，，
设，则，
在中，，
，
解得，
∴，
∴的正弦值等于，
故选：A．
10．D
解：只有选项D能够成功填入所缺，
故选：D．
11．
解：
．
故答案为：．
12．
解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
即m的取值范围是，
故答案为：．
13．
解：∵，
∴二次函数的对称轴为直线，
∵二次函数图象上存在，两点，当时，满足，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
14．
解：连接，
∵，，
∴，是线段的垂直平分线，
∴，
∵将绕点C顺时针旋转，得到，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．或
解：设向右平移1厘米后至，连接，过点作于点，设与相切的切点为点，连接交于点，

∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
由平移得：，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴
当将正方形沿射线方向平移，平移后对应与相切时，切点记为点，连接，交于，则，
同理可得：，
∵，，
∴点共线，
同理可得：
∴平移距离为：，
当将正方形沿射线方向平移，平移后对应与相切时

∴平移距离为：，
故答案为：或．
16．
解：设，
根据题意得，，，
∴，，
∵的面积为4，
∴，
解得，
故答案为：．
17．
解：设直线与、相交于点、，连接，如图所示，
线段与线段关于过点的直线对称，点的对应点在线段上，
直线，、、三点共线．
，
设，，，
，
，
，
设，，故．
由对称性可知，故，，
，
，
，
与的对应高之比为，
故的边上的高为，
，，
故，
，
，
故答案为：．
18．①②③
解：如图所示，
∵为的中点，
∴
设正方形的边长为，
则
∵折叠，
∴，
∴
∴是等腰三角形，故①正确；
设，
∴
∴
∴
∴
又∵
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，即是的中点，故②正确；
∵，
∴
在中，，
∵
∴
设，则，
∴
∴
∴，，
∴，故③正确；
连接，如图所示，
∵，，
又
∴
∴
又∵
∴
∴
又∵
∴
∵
∴
∴
∴
在中，
∴，故④不正确
故答案为：①②③．
19．(1)见解析
(2)
(3)或或或
（1）解：、如下图所示：
（2）根据图象得和的对称中心坐标为，
故答案为：；
（3）如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴射线平分，
经过点，
设直线的解析式为，
代入得：，解得，
∴，
∴当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴点的坐标为或或或．
20．（1）；（2）
解：（1）
；
（2）
21．
解：设平均每次降价的百分率为，
根据题意得，
解得，（不合题意值已舍去）
所以，平均每次降价的百分率为．
22．(1)见解析
(2)
（1）证明：是等边三角形，
，．
线段绕点顺时针旋转，得到线段，
，．
．
．
在和中，
，
．
（2）解：如图，
，，
为等边三角形．
，
，，
．
．
23．(1)证明见解析
(2)
（1）证明：如图，连接，，
∵为的直径，
∴，
即，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵是的半径，
∴为的切线；
（2）解：延长，交于点，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
设的半径为，则，
在中，，
∴，
解得，
∴的半径为．
24．(1)
(2)
（1）解：p，q是关于t的一元二次方程的两个实数根，
解得
，．则点和点．
点A在反比例函数图象上，
，解得．
反比例函数的表达式为；
（2）解：把代入，
得：解得．
所以一次函数的表达式为．
当时，，所以点．
因为点D为点C关于原点O的对称点，所以．
的面积．
25．(1)见解析
(2)见解析
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴．
26．
解：由题意得，，，
在中，，
，
在中，，
，
解得，
．
∴黄河楼的高度为．
27．(1)
(2)存在，
(3)点坐标为(-1，2)或
（1）解：令，得，
．
令，得，
解得或，
．
（2）解：存在，理由如下，
抛物线的对称轴为，
设点，
三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形，
，
，
，
解得，
；
（3）解：令，
或，
，
又，
，
．
设长为．
若，如图1．
，
，
，
，
，
点坐标为．
若，如图2．
，
．
同理可得，
，
∴点坐标为．
综上所述，点坐标为或时符合题意．