河南省郑州市郑州外国语学校2025届九年级下学期三模数学试卷(含详解)

2025年河南省郑州市郑州外国语中学三模数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．-4的相反数是（ ）
A． B． C．4 D．-4
2．我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它是由两个圆柱分别从纵、横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．图乙模型的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．据网络平台数据显示，截至2025年2月13日19时，电影《哪吒之魔童闹海》票房（含预售）突破100亿元，成为中国电影史上首部票房过百亿的影片．数据“100亿”用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，直线和相交于点，直线，垂足为，若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
6．围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，可折叠工具箱共有三层，工具箱打开前，连接装置与水平方向的夹角为，连接装置转动后箱子完全打开，每一根连接装置长（可看作一条线段），当三层工具箱完全打开后，整体高度比打开前增加（ ）．
A． B． C． D．
10．已知二次函数（为常数），其图象上有两点，，如果，那么的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
二、填空题
11．请写出一个的值，使二次根式有意义： ．
12．若关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围为 ．
13．在体育考试中我校6名学生的体育成绩统计如图所示，这组数据的中位数是 ．
14．如图，在扇形中，点C、D在上，将沿着弦折叠后恰好与相切于点E，点F．已知，阴影部分的面积为 ．
15．如图，正方形的边长为4，为边上一动点，作点关于的对称点，射线，交于点，当点从点运动到点过程中，点运动路径长为 ．
三、解答题
16．（1）计算：．
（2）化简：．
17．智能词典笔是语言学习的实用工具，某商家对A，B两品牌词典笔进行用户评价调研，现从调研的结果中分别随机抽取10名用户的评分，数据如下：
信息一：翻译准确率得分（满分10分，分值越高表示翻译越准确）
A词典笔：6 7 7 8 8 8 9 9 10 10 B词典笔：6 8 7 6 8 9 10 10 9 10
信息二：识别速度得分（如图所示）（满分10分，分值越高表示识别速度越快）
根据以上信息，回答下列问题：
(1)补全统计表：根据信息一、二，完成表格数据填写．
统计量品牌 翻译准确率得分 识别速度得分
平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差
A 8 ______
B 10 8
(2)样本频数估计：若A词典笔的调研用户有200名，估计其翻译准确率得分不低于8分的用户总人数是______人．
(3)决策分析：作为消费者的你，你会选择哪个品牌？结合数据说明理由．
(4)调研改进建议：本次调研可能存在哪些不足影响结果的可靠性？请指出一处，并提出改进方法．
18．如图，在中，，，，反比例函数在第一象限内的图象经过点．

(1)点的坐标为 ．
(2)求反比例函数的解析式．
(3)点是轴上一点，若是直角三角形，请直接写出点的坐标．
19．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为，已知楼和楼之间的距离为120米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）．
(1)求楼的高度（结果保留根号）；
(2)求此时无人机距离地面的高度．
20．如图，在中，．
(1)实践与操作：点O在线段上，以O为圆心作，恰好过A，C两点，并与线段交于另一点D．小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示．请你用尺规作图：作出点O与点D，并补全．
(2)推理与计算：
在（1）的条件下，若．
①求证：直线是的切线；
②若，，求的半径．
21．垃圾分类，人人有责，为响应国家号召推进垃圾分类工作，某小区物业在小区内引入了智能回收机供居民使用．居民投入可回收垃圾（如废纸、塑料瓶）可获得积分，用于兑换生活用品．每千克废纸和塑料瓶分别获得5分和3分．
(1)小明家本周分类垃圾情况
小明家本周收集废纸和塑料瓶共10千克，获得42分．求小明家本周收集废纸和塑料瓶各多少千克？
(2)小区垃圾分类收益优化
背景 小区每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15吨，处理收益如下：①可回收垃圾：每吨收益50元（如废纸、塑料瓶）；②厨余垃圾：每吨收益30元（如剩饭剩菜）．
环保约束 ①可回收垃圾量不超过厨余垃圾的2倍（避免积压）；②厨余垃圾每天至少处理4吨（防止腐败，保障社区卫生）．
问题：如何分配每日两类垃圾的处理量使总收益最大？
22．某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离（单位：）以、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据如下表．
飞行时间 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离 0 10 20 30 40 …
飞行高度 0 22 40 54 64 …
探究发现：与，与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
问题解决：如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．

（1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
（2）在安全线上设置回收区域．若飞机落到内（不包括端点），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
23．定义：在中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“字平行四边形”．
(1)下面的图形中是“字平行四边形”的有：_________；
A．正方形 B．矩形 C．有一个角是的菱形
D．有一个角是的平行四边形 E．有一个角是的平行四边形
(2)在“字平行四边形”中，，，则_________．
(3)如图，在“字平行四边形”中，，，点是边上一点，，与的延长线交于点，若为“字平行四边形”，求的值；
(4)如图，在矩形中，点、分别是边和边上的点，四边形为“字平行四边形”，若，求的值．
2025年河南省郑州市郑州外国语中学三模数学试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C B B C B A C C
1．C
【详解】-4的相反数是4，
故选：C．
2．D
【详解】解：从几何体的上方观察，我们可以看到左边平躺的圆柱的俯视图为正方形，右边的部分为正方形里面套着圆．
故选：D．
3．C
【详解】解：100亿，
故选：C．
4．B
【详解】解：A. ，原计算错误，故此选项不符合题意；
B. ，原计算正确，故此选项符合题意；
C. ，原计算错误，故此选项不符合题意；
D. ，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
5．B
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故B正确．
故选：B．
6．C
【详解】画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中两次摸到相同颜色的棋子的结果数为5种，
∴两次摸到相同颜色的棋子的概率，
故选：C．
7．B
【详解】解：设共有x人，
由题意，得．
故选：B．
8．A
【详解】由点，在同一个函数图象上，可知图象关于y轴对称，故选项B、C不符合题意；由，，可知在y轴的右侧，y随x的减小而减小，故选项D不符合题意，选项A符合题意；
故选：A．
9．C
【详解】解：如图1，连接装置，连接装置与水平方向的夹角，，
∴每一层打开前的高度为，
如图2，连接装置，连接装置与水平方向的夹角（锐角），，
∴每一层打开后的高度为，
∴当三层工具箱完全打开后，整体高度比打开前增加了
，
故选：C．
10．C
【详解】解：二次函数（为常数），的对称轴为直线，开口向上，
点，到对称轴的距离分别为，，
，
，
解得：，
故选：C．
11．（答案不唯一）
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴的值可以是，
故答案为：．
12．且
【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根，
∴，
且，
∴且．
故答案为：且
13．26
【详解】解：根据折线统计图可知6名学生的体育成绩为；24，24，26，26，26，30，
则排在中间位置的数是26，26，
∴这组数据的中位数是26．
故答案为：26
14．
【详解】解：作关于的对称点，连接交于，则，
∵将沿弦折叠，
∴点都在以为圆心，半径为6的圆上，
∵将沿弦折叠后恰好与，相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形中，即的度数为，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15．
【详解】解：如图，连接，交于点，连接，，，．
点，关于对称，
，，
四边形是正方形，
，，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点的运动轨迹是弧，
弧的长
故答案为：．
16．（1）；（2）
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
17．(1)8；
(2)140；
(3)作为消费者，我会选择B品牌，理由见解析
(4)见解析
【详解】（1）解：通过信息一可知A组数据中出现次数最多的是8，
∴众数是8（分）；
补充如图
统计量品牌 翻译准确率得分 识别速度得分
平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差
A 8 8
B 10 8
（2）解：翻译准确率得分不低于8分的用户总人数为（人），
即翻译准确率得分不低于8分的用户总人数是140人．
故答案为：140；
（3）解：作为消费者，我会选择品牌，两者在识别速度得分中平均数相同，但是在翻译准确率得分中品牌的平均数，中位数，众数均高于A品牌，说明其翻译准确性更好；
（4）解：存在的不足：
①样本数量不足，每个品牌只调查了10名用户，样本量太小，
改进方法：扩大样本量，将抽调样本的人数增加到每个品牌至少50人；
②样本量可能存在缺乏多样性与代表性，可能导致数据偏差；
改进方法：扩大调研范围，采用随机抽样方式，从不同地区、年龄、使用习惯的用户群体中抽取样本．
这样可提升样本的代表性，使调研结果更真实可靠；
③评分维度单一：只考察了翻译准确率和识别速度，缺少其他重要指标；
改进方法：增加评价维度：补充电池续航、操作便捷性等评分项．
18．(1)
(2)
(3)或
【详解】（1）解：在中，，，，
∴，
；
故答案为：；
（2）解：把代入得：
，解得：，
∴反比例函数解析式为；
（3）解：分三种情况考虑：
过作轴，此时为直角顶点时，的坐标为；
过作，交轴于点，此时为直角顶点，

设点，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
即点；
综上所述，点坐标为或．
19．(1)米；
(2)130米．
【详解】（1）解：过点A作，垂足为E，
由题意得：米，米，
在中，，
（米），
米，
∴楼的高度为米；
（2）解：延长交于点F，延长交于点G，
由题意得：米，，
设米，则米，
在中，，
米，
在中，，
（米），
，
，
解得：，
（米），
∴此时无人机距离地面的高度为130米．
20．(1)见解析
(2)①见解析；②
【详解】（1）解：如图所示，、点O、点D即为所求．
（2）①证明：方法一：连接，
弧弧，
，
，
，
，
．
又是的半径，
直线是的切线．
②解：设的半径为r，则，，
在中，，
即，
解得，
故的半径为．
21．(1)小明家本周废纸和塑料瓶各6千克、4千克
(2)每日处理可回收垃圾10吨，厨余垃圾5吨时，总收益最大
【详解】（1）解：设小明家本周收集废纸千克，则塑料瓶千克．
由题意得：
解得：
塑料瓶：千克
答：小明家本周废纸和塑料瓶分别6千克、4千克．
（2）解：设每日处理吨可回收垃圾，吨厨余垃圾，此时总收益为元．
由题意得：，
，
，
，
随的增大而增大
当时，有最大值，
此时厨余垃圾：（吨），
即：每日处理可回收垃圾10吨，厨余垃圾5吨时，总收益最大．
22．探索发现：；问题解决：（1）；（2）大于且小于
【详解】探究发现：x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系，
设，，
由题意得：，，
解得：，
∴．
问题解决（1） 解：依题总，得．
解得，（舍），，
当时，．
答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为．
（2）解：设发射平台相对于安全线的高度为，飞机相对于安全线的飞行高度．
，
，
，
在中，
当时，；
当时，．
．
答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于且小于．
23．(1)C
(2)
(3)
(4)或
【详解】（1）解：A．正方形的对角线为边长的倍，故不满足；
B、矩形的对角线长不等于其中一条边的长，故不满足；
C、有一个角是的菱形，有一条对角线的长等于其中一条边的长，故满足；
D、有一个角是的平行四边形的对角线，不等于其中一条边的长，故不满足；
E．有一个角是的平行四边形，不等于其中一条边的长，故不满足；
故 答 案 为：C；
（2）如图，平行四边形是“字平行四边形”， ，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）证明：连接，，
在字中，，，
，，
，
，
，
由大角对大边可得，，
若为“字平行四边形”，只能分为以下几种情况
①当时，，
过点作于点，
可得点为的中点，，，
又，
，
，；
②当时，，
此时，，矛盾；
综上，若为字平行四边形，；
（4）过点作于点，过点作于点，
四边形为矩形，
，，，
四边形为平行四边形，
，，
，，
即．
四边形为字平行四边形，
又，．
有以下两种情况：
①当时，
，
为的中点，
．
在矩形中，，
又，
，
，
，
；
②当时，
，
为的中点，
，
设，
则，，．
，
．
，
，
，
，
由可得．
，
．
综上，或．