期末综合测试题 2024-2025学年下期初中数学人教版八年级下册

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期末综合测试题 2024-2025学年
下期初中数学人教版八年级下册
一、单选题
1．下列各式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组数中，能构成直角三角形的一组是（　　）
A．1，2，3 B．1，1， C．2，3，4 D．7，15，17
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．学校食堂有10元、12元、15元三种价位的午餐供学生选择（每人购一份），某天午餐销售情况如图所示，则当天学生购买午餐的平均费用是（ ）
A．10.8元 B．11.8元 C．12.6元 D．13.6元
5．在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+a﹣1（a为常数，且a≠0）的图像一定经过的点是（　　）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）
6．如图，在矩形中，E是边上一点，F，G分别是的中点，连接，若，则矩形的面积为（　　）
A．12 B．24 C．36 D．48
7．碳酸钠的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．当温度为时，碳酸钠的溶解度为
B．碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大
C．当温度为时，碳酸钠的溶解度最大
D．要使碳酸钠的溶解度大于，温度只能控制在
8．顺次连接四边形各边中点，，，，如果四边形是矩形，那么四边形的对角线和一定满足的关系是（ ）
A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直平分
9．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形．如图所示，已知，正方形ADOF的边长是2，，则BD的长为（ ）
A．6 B． C．8 D．10
10．如图，一束光线从点出发，经y轴上的点C反射后经过点，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
12．若一直角三角形的两边长为4、5则第三边长的平方为 ．
13．如图，在△中，，是角平分线，且，，点为中点，则的值为 ．
14．如图，平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交于点，若平行四边形的面积为6，则图中阴影部分的面积是 ．

15．如图，一次函数的图象与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式组的解集为 ．
16．正方形 ，，，…按如图的方式放置．点，，，…和点，，，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点的坐标是 ．
三、解答题
17．计算：．
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC，
求证：四边形ABED是平行四边形．
19．图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中于点尺，尺，求的长度．
20．如图是小明做“探究拉力与斜面高度的关系”的实验装置，一个高度可自动调节的斜面上，斜面的初始高度为，实验时他用弹簧测力计拉着同一物块沿粗糙程度相同的斜面向上做匀速直线运动．实验的部分数据如下：
实验次数 斜面的倾斜程度 物块重量/ 斜面高度 沿斜面拉力
较缓
较陡
最陡
(1)根据上面数据分析，在弹性范围内，拉力与高度的变化规律是_______函数，斜坡越陡，越_______（选填“省力”或“费力”）．
(2)求拉力与高度之间的函数解析式；
(3)若弹簧测力计的最大量程是，求装置高度的取值范围．
21．中国是拥有世界级非物质文化遗产数量最多的国家，某学校开展了“弘扬中国文化，增强文化自信”的主题活动，为了解这次活动的效果，学校组织全校学生进行了中国非物质文化遗产相关知识测试（测试成绩满分为100分，且成绩均为整数）．测试结束后随机从七、八年级分别抽取了20名学生的成绩（设测试成绩为x分，共分成4组：A：，B：，C：，D：，得分在90分及以上为优秀），并绘制成了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．其中七、八年级B组学生的成绩如下：
七年级B组学生的成绩：93，94，93，92，94，94
八年级B组学生的成绩：94，93，91，93，92，93，93，93，92
七、八年级选取的学生测试成绩统计表：
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
七年级 92 a 94 c
八年级 92 b
【解决问题】
(1)填空：______，______，______；
(2)已知该校七、八年级分别有600名学生，请估计七、八年级学生本次测试成绩达到优秀的总人数；
(3)根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在本次测试中，哪个年级的学生对中国非物质文化遗产相关知识了解的更好一些？请说明理由．（写出一条理由即可）
22．已知：在正方形中，为上一点，过作于，延长至点，连接．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，延长、交于点，连接、，若为中点，，求正方形的周长．
23．【综合与实践】
问题情境：
勾股定理是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛，关于勾股定理的证明方法已有几百种．启哲学习小组以“四边形中边长与面积的关系”为主题在的正方形网格中开展了数学活动，每个小正方形的顶点称为格点．操作发现：
（1）在图1中，每个小正方形的边长均为1．所画出的四边形的顶点都是格点，则边长分别是_____，_____，_____，_____；四边形的面积为_____．
实践探究：
（2）在图2中，每个小正方形的边长均为1．在图2所示的正方形网格中画出矩形（顶点都在格点上），使，并求出矩形的面积．
继续探究：
（3）若中有两边的长分别为，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为）中画出所有符合题意的（顶点都是格点且全等的平行四边形视为同一种情况），并求出它的面积．
24．如图，直线是由直线经过平移并且经过点而得，它与轴和轴的交点分别为、，若，点为轴上的动点．
(1)求直线的解析式及的度数；
(2)若，求点的坐标；
(3)若点关于直线的对称点，连接，直接写出线段与直线有交点时的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C B C D C C A C
1．B
【分析】根据同类二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、不能与合并，本选项不符合题意；
B、能与合并，本选项符合题意；
C、不能与合并，本选项不符合题意；
D、不能与合并，本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
2．B
【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则即为不是．
【详解】解：A．，不可以构成直角三角形，故A选项不符合题意；
B． ，可以构成直角三角形，故B选项符合题意；
C． ，不可以构成直角三角形，故C选项不符合题意；
D． ，不可以构成直角三角形，故D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3．C
【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的性质及运算法则分别运算即可判断求解，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键．
【详解】解：、，故该选项错误，不合题意；
、，故该选项错误，不合题意；
、，故该选项正确，符合题意；
、，故该选项错误，不合题意；
故选：．
4．B
【分析】本题考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
根据加权平均数的计算公式求解即可．
【详解】解：当天学生购买午餐的平均费用为：
（元），
故选：B．
5．C
【分析】将一次函数解析式变形为y＝a（x+1）﹣1，代入x+1＝0可求出y值，此题得解．
【详解】解：∵y＝ax+a﹣1，
∴y＝a（x+1）﹣1，
∴当x+1＝0，即x＝﹣1时，y＝a（﹣1+1）﹣1＝﹣1，
∴一次函数y＝ax+a﹣1（a为常数，且a≠0）的图像一定经过的点是（﹣1，﹣1）．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．
6．D
【分析】本题考查矩形的性质、三角形中位线定理、勾股定理逆定理及直角三角形斜边上的中线性质，根据题意得，是的中位线，利用勾股定理的逆定理得到是直角三角形，，求得的面积即可得到矩形的面积．
【详解】解：在矩形中，，
∵F，G分别是，的中点，
∴，是的中位线，
∴，
∵，，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴矩形的面积，
故选：D．
7．C
【分析】直接观察图象，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、观察图象得：当温度为时，碳酸钠的溶解度为，故本选项错误，不符合题意；
B、观察图象得：当温度在时，碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大，故本选项错误，不符合题意；
C、观察图象得：当温度为时，碳酸钠的溶解度最大，故本选项正确，符合题意；
D、观察图象得：当温度接近并低于时，碳酸钠的溶解度达到，则要使碳酸钠的溶解度大于，温度控制的范围应该大于在，故本选项错误，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了函数图象，明确题意，准确从图象获取信息是解题的关键．
8．C
【分析】根据题意画出图形，由四边形是矩形，得出，又根据点，分别是边，的中点，得出是的中位线，从而得出，同理可得，即可解决问题．
【详解】解：根据题意画出图形如下：
证明：四边形是矩形，
，
又点，分别是边，的中点，
是的中位线，
∴，
，
又点，分别是，边的中点，
是的中位线，
∴，
，
即，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质，熟练掌握矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质，借助图形充分抓住已知条件，围绕结论环环相加，步步逼近，结论便会得出来．
9．A
【分析】设，正方形ADOF的边长为2，则，根据全等三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：正方形ADOF的边长为2，
则，
设，
∵，，
∴，，
∴，，．
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
10．C
【分析】延长交x轴于点D，利用反射定律，推出等角，从而证明得出，得到，得到，设的直线的解析式为，待定系数法求出解析式，并求出直线与y轴的交点坐标，即C点坐标．
【详解】延长交x轴于点D，如图所示：
∵由反射可知：，
又∵，
∴，
在和中，
∴，
∴
∵
∴
∴
∵，设的直线的解析式为，
∴，
解得，
∴的直线的解析式为，
∴当时，，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查了反射定律，全等三角形的性质和判定，待定系数法求一次函数解析式，综合性较强，将知识综合运用是本题的关键．
11．
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，属于常见考题，正确得列式计算是解题的关键．
利用二次根式中被开方数非负性进行不等式计算即可．
【详解】解：二次根式有意义，则，
得．
故答案为：．
12．9或41/41或9
【分析】根据题意可知一边为4，一边为5，所以当4和5为直角边的情况，求第三边平方值，当4为直角边，5为斜边时，求第三边的平方值；
【详解】解：共两种可能：
①当4和5为直角边，所以第三边的平方为，
②当4为直角边，5为斜边时，所以第三边的平方为 ，
故答案为：41或9．
【点睛】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的计算同时也要注意分类讨论．
13．
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质．根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，，根据勾股定理求出的长度，最后根据直角三角形斜边上是中线等于斜边的一半，即可求解．
【详解】解：∵，是角平分线，
∴，，
根据勾股定理可得：，
∵点为中点，
∴，
故答案为：．
14．3
【分析】根据平行四边形的性质可得，进而可得阴影部分面积等于的面积，即为面积的一半，由此可解．
【详解】解：平行四边形中，对角线相交于点，
，
阴影部分面积等于的面积，即为面积的一半，
阴影部分面积为，
故答案为：3．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟记平行四边形是中心对称图形是解题的关键．
15．
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．先求出直线与x轴的交点坐标，然后根据函数特征，写出在x轴上方，直线在直线上方所对应的自变量的范围，即可得不等式组的解集．
【详解】解：令，则，解得，
∴直线与x轴的交点坐标为，
∵直线与直线交点为，
∴关于x的不等式组的解集为．
故答案为：．
16．（63，32）
【分析】先根据题意得出各正方形边长的规律，进而可得出结论．
【详解】解：∵直线y=x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=-1，
∴=1，OD=1，
∴∠=45°，
∴∠=45°，
∴，点所在正方形的边长=2，
∴，点所在正方形的边长=，
同理得：，点所在正方形的边长=，
…，
∴点所在正方形的边长=，
∴其横坐标，
∴的坐标是（63，32）．
故答案为：（63，32）．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；通过求出第一个正方形、第二个正方形和第三个正方形的边长得出规律是解决问题的关键．
17．
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，根据二次根式加、减、乘、除混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
18．见解析
【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形来证明，题中已经给了一组平行的对边，只需要证明另一组对边平行即可．
【详解】证明：∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠C，
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DEC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，能够根据题中所给的条件选择合适的判定方法时解决本题的关键．
19．尺．
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键．
设的长度为尺，得到尺，再结合勾股定理建立等式求解，即可解题．
【详解】解：设的长度为尺，
尺，
由题知，尺，
，尺，
，
即，
解得，
尺．
20．(1)一次函数，费力
(2)与的函数解析式为
(3)装置高度h的取值范围为
【分析】（）根据表格数据即可判断求解；
（）利用待定系数法解答即可求解；
（）根据题意可得，即得，解不等式即可求解；
本题考查了一次函数的应用，根据题意，判断出于的函数关系并求出它们的函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：由表格可知，当斜面高度由增加到时，拉力增加了，
当斜面高度由增加到时，拉力增加了，
∴拉力是高度的一次函数，
由表格可知，斜坡越陡，越费力，
故答案为：一次，费力；
（2）解：设，把和代入得，
，
解得，
∴；
（3）解：∵弹簧测力计的最大量程是，
∴，
∴，
解得，
又∵斜面的初始高度为，
∴装置高度的取值范围．
21．(1)；93；
(2)七、八年级学生本次测试成绩达到优秀的总人数人
(3)八年级的学生对中国非物质文化遗产相关知识了解的更好一些，理由见解析（答案不唯一）
【分析】本题主要考查条形统计图、扇形统计图、中位数、众数、用样本估计整体等知识点，从条形统计图和扇形统计图中获取有用信息是正确解答的前提．
（1）本题考查众数、中位数、优秀率计算，先算出各组人数再根据众数、中位数、优秀率定义即可得到答案；
（2）本题考查根据样本计算总体的大概情况，分别利用各年级总人数乘以占比即可得到答案；
（3）本题考查根据众数，中位数，平均数及优秀率做决策，根据数据大小比较即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得，七年级A组共5人，B组共6人，
七年级成绩中位数在B组，且第10和第11个数分别是93，92，
，
七年级成绩的优秀率为，
八年级A组共人，B组共人，C组共人，D组共人，
八年级成绩中93出现次数最多，则八年级成绩众数是，
故答案为：；93；；
（2）解：七年级学生本次测试成绩达到优秀的人数人，
八年级学生本次测试成绩达到优秀的人数人，
七、八年级学生本次测试成绩达到优秀的总人数人；
（3）解：八年级的学生对中国非物质文化遗产相关知识了解的更好一些，理由如下：
七、八年级学生本次测试成绩的平均数相同，但八年级成绩优秀率高于七年级成绩优秀率，
故八年级的学生对中国非物质文化遗产相关知识了解的更好一些（答案不唯一）．
22．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了正方形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、四点公圆等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）由正方形的性质可得，再根据同角的余角相等可得，然后再根据三角形内角和定理以及等量代换即可解答；
（2）如图：过作于I，连接、，则；根据正方形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质可得以及四点共圆，进而得到，再证明；再证明可得，即；然后证明，、，即；最后运用勾股定理以及正方形的性质即可解答．
【详解】（1）解： ∵正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，即，
∵，
∴．
（2）解：如图：过作于I，连接、，
∵，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵正方形，
∴，
∴四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，即，
∵，
∴，
∴正方形的周长为．
23．（1），，，，18；（2）作图见解析，矩形的面积为26；（3）作图见解析，或．
【分析】本题主要考查了勾股定理、矩形的定义、平行四边形的定义、四边形的面积等知识点，灵活运用切割法是解题的关键．
（1）根据勾股定理即可求得，然后根据图形运用割补法即可解答；
（2）先运用勾股定理以及矩形的定义作图，然后根据图形运用割补法即可解答；
（3）先运用勾股定理以及平行四边形的定义作图，然后根据图形运用割补法即可解答．
【详解】解：（1），，，
四边形的面积为：．
故答案为：，，，，18．
（2）如图2：矩形即为所求；
矩形的面积为：．
（3）∵中有两边的长分别为，
∴中有两边的长分别为，
如图：即为所求，的面积为：；
如图：即为所求，的面积为：．
．
综上，的面积为或．
24．(1)；
(2)点的坐标为或
(3)当时，线段与直线有交点
【分析】题目主要考查一次函数的性质，平移，交点问题，轴对称问题，全等三角形的判定和性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）根据平移的性质得出，将点D代入确定函数解析式；再由函数与坐标轴的交点确定，即可得出角度；
（2）过点C作，在点C左侧取一点G，使得，过点G作轴，使得，连接，交y轴于点E，过点D作轴，根据全等三角形的判定和性质得出，，然后利用勾股定理及各线段的长度确定点M的坐标为，利用待定系数法得出直线的解析式为，即可确定点E的坐标，再由对称即可确定另一个点的坐标；
（3）当点O关于直线的对称点F恰好落在上时，根据轴对称图形的性质得出，设点，得出，确定点，得出中点，再由待定系数法确定直线的解析式为，结合图形即可求解
【详解】（1）解：∵直线是由直线经过平移并且经过点而得，
∴，将点D代入得：，
解得：，
∴，
当时，，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）过点C作，在点C左侧取一点G，使得，过点G作轴，使得，连接，交y轴于点E，过点D作轴，如图所示
∴，
∵，，
∴，
∴，
由（1）得，，
∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点M的坐标为，
设直线的解析式为，
代入得：，解得，
∴，
当时，，
∴，
关于点O的对称点也符合题意，
综上可得：点的坐标为或；
（3）如图所示，当点O关于直线的对称点F恰好落在上时，如图所示：
∴，
设点，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴点，
∴中点，
设直线的解析式为，
代入得，解得，
∴，
当时，，
∴，
∴当时，线段与直线有交点．
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