中小学教育资源及组卷应用平台
【真题真练】浙教版七年级下册期末模拟争先领航卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023七下·海拉尔期末）将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023七下·日照期末）某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格下调了10%．将某种果汁饮料每瓶的价格上调了5%，已知调价前买这两种饮料各一瓶共花费8元，调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费19.8元，若设上述碳酸饮料、果汁饮料在调价前每瓶分别为x元和y元，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2017七下·红桥期末）下列调查中，调查方式选择合理的是（ ）
A．为了了解全国中学生的视力情况，选择全面调查
B．为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择全面调查
C．为了检测某城市的空气质量，选择抽样调查
D．为了检测乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品，选择抽样调查
4．（2023七下·石家庄期末） 在对多项式因式分解的过程中，没有用到的方法有（ ）
A．提公因式 B．平方差公式
C．完全平方公式 D．提公因式
5．（2023七下·正定期末）如图，下列条件中，能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023七下·北仑期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023七下·海曙期末）下列说法正确的是（ ）
A．同位角相等 B．同旁内角相等，两直线平行
C．内错角相等 D．同角的补角相等
8．（2023七下·嵊州期末）如图，，平分，的反向延长线交的平分线于点M，则与的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2020七下·沂水期末）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为 的小正方形，则每个小长方形的面积为（ ）
A．135cm2 B．108cm2 C．68cm2 D．60cm2
10．（2019七下·沙河期末）若 ，则 （ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2023七下·淄川期末）如果a，b满足则 ．
12．（2023七下·金牛期末）已知，则 ．
13．（2024七下·青羊期末） 已知，求的值为 ．
14．（2024七下·康平期末）共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，，则是 ．（用含，的式子表示）
15．（2023七下·宝清期末）如图 1 是我们常用的折叠式小刀，图 2 中刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图 2 所示的∠1 与∠2 ，则∠1 与∠2 的度数和是 度．
16．（2017七下·蒙阴期末）对于有理数，规定新运算：x※y=ax+by+xy，其中a、b是常数，等式右边的是通常的加法和乘法运算．已知：2※1=7，（﹣3）※3=3，则
※b= ．
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2022七下·吴江期末）如图1，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，.
（1）观察猜想，∠BCD与∠ACE的数量关系是 ；∠BCE与∠ACD的数量关系是 ；
（2）类比探究，若按住三角板不动，顺时针绕直角顶点转动三角形，试探究当∠ACD等于多少度时CE//AB，画出图形并简要说明理由；
（3）拓展应用，若∠BCE＝3∠ACD，求∠ACD的度数；并直接写出此时DE与AC的位置关系.
18．（2021七下·江源期末）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程.
解：设x2﹣4x＝y，
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______.
A．提取公因式； B．平方差公式；
C．两数和的完全平方公式； D．两数差的完全平方公式.
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ .（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 .
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解.
19．（2022七下·乐亭期末）如图1，在一个边长为 的正方形中，剪去一个边长为 的小正方形，再将余下的部分拼成如图2所示的长方形．
（1）（观察）
比较两图中阴影部分的面积，可以得到等式： （用字母 ， 表示）；
（2）（应用）
计算： ；
（3）（拓展）
已知 ， ，求 的值．
20．（2021七下·吴中期末）对于未知数为 ， 的二元一次方程组，如果方程组的解 ， 满足 ，我们就说方程组的解 与 具有“邻好关系”.
（1）方程组 的解 与 是否具有“邻好关系” 说明你的理由：
（2）若方程组 的解 与 具有“邻好关系”，求 的值：
（3）未知数为 ， 的方程组 ，其中 与 、 都是正整数，该方程组的解 与 是否具有“邻好关系” 如果具有，请求出 的值及方程组的解：如果不具有，请说明理由.
21．（2021七下·仙居期末）近年来，随着人们健康睡眠的意识不断提高，社会各界对于初中生的睡眠时间是否充足越发关注，近日某学校从全校1600人中随机抽取了部分同学，调查他们平均每日睡眠时间，将得到的数据整理后绘制了如图所示的不完整的扇形统计图和频数分布直方图：
（1）本次接受调查的人数为 ；
（2）补全直方图；
（3）教育部《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》文件指出，初中生睡眠时间应达到9小时，试估计该校学生睡眠时间达标人数，并评价该校初中生睡眠时间情况．
22．（2021七下·通河期末）某班计划购买篮球和排球若干个，买4个篮球和3个排球需要410元；买2个篮球和5个排球需要310元．
（1）篮球和排球单价各是多少元？
（2）若两种球共买30个，费用不超过1700元，篮球最多可以买多少个？
（3）如果购买这两种球刚好用去520元，问有哪几种购买方案？
23．（2022七下·攸县期末）三角板是学习数学的重要工具 ，将一副三角板的直角顶点 C 按如图所示的方式叠放在一起， 当 时 ，且点 E 在直线AC 的上方时， 解决下列问题∶ （友情提示 ∶ ∠A=60°，∠D=30°，∠B=∠E=45°）
（1）①若 ∠DCE=45°，求∠ACB；
②若∠ACB=140°，求∠DCE ；
（2）由（1）猜想 ∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
（3）这两块三角板是否存在一组边互相平行？
若存在，请直接写出∠ACE的所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
24．（2022七下·柯桥期末）我们规定：分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式 ， 是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式 ， 是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， = =1＋ ， = = + = 2＋ ．
（1）将假分式 化为一个整式与一个真分式的和；
（2）将假分式 化成一个整式与一个真分式的和的形式为： = a＋m＋ ，求m、n的值； 并直接写出当整数a为何值时，分式 为正整数；
（3）自然数A是 的整数部分，则A的数字和为 ．（把组成一个数的各个数位上的数字相加，所得的和，就叫做这个数的数字和．例如：126的数字和就是1+2+6=9）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【真题真练】浙教版七年级下册期末模拟争先领航卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023七下·海拉尔期末）将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∵，
∴，
∴；
故选：B．
【分析】本题考查平行线的性质，三角板中角度的计算，由，得到结合，进行求解，即可得到答案．
2．（2023七下·日照期末）某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格下调了10%．将某种果汁饮料每瓶的价格上调了5%，已知调价前买这两种饮料各一瓶共花费8元，调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费19.8元，若设上述碳酸饮料、果汁饮料在调价前每瓶分别为x元和y元，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】 设上述碳酸饮料、果汁饮料在调价前每瓶分别为x元和y元 ，则 ，故答案为：A。
【分析】设上述碳酸饮料、果汁饮料在调价前每瓶分别为x元和y元 ，根据 调价前买这两种饮料各一瓶共花费8元，调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费19.8元 列方程组即可。
3．（2017七下·红桥期末）下列调查中，调查方式选择合理的是（ ）
A．为了了解全国中学生的视力情况，选择全面调查
B．为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择全面调查
C．为了检测某城市的空气质量，选择抽样调查
D．为了检测乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品，选择抽样调查
【答案】C
【解析】【解答】解：A、为了了解全国中学生的视力情况，人数较多，应选择抽样调查，故错误；
B、为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，食品数量较大，应选择抽样调查，故错误；
C、为了检测某城市的空气质量，选择抽样调查，正确；
D、为了检测乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品，事关重大，应选择全面调查，故错误；
故选：C．
【分析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．
4．（2023七下·石家庄期末） 在对多项式因式分解的过程中，没有用到的方法有（ ）
A．提公因式 B．平方差公式
C．完全平方公式 D．提公因式
【答案】C
【解析】【解答】∵，
∴因式分解过程中运用了：提公因式，提公因式，平方差公式，没有运用完全平方公式，
故答案为：C.
【分析】将代数式因式分解为，再分析求解即可.
5．（2023七下·正定期末）如图，下列条件中，能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】A、，不能判定 ，选项错误.
B、，不能判定 ，选项错误.
C、，不能判定 ，选项错误.
D、，能判定 ，选项正确.
故选：D.
【分析】根据平行线的判定定理逐项判断即可.
6．（2023七下·北仑期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、a6·a3=a9，故正确；
B、a6与a3不是同类项，不能合并，故错误；
C、(a6)3=a18，故错误；
D、a6÷a3=a3，故错误.
故答案为：A.
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断A；根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同 的项可判断B；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断C；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断D.
7．（2023七下·海曙期末）下列说法正确的是（ ）
A．同位角相等 B．同旁内角相等，两直线平行
C．内错角相等 D．同角的补角相等
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，，
A、和是同位角，但，A错误；
B、和是同旁内角，且，但，B错误；
C、和是内错角，但，C错误；
D、，，
，D正确，
故答案为：D.
【分析】两直线平行，同位角相等；
同旁内角互补，两直线平行；
两直线平行，内错角相等；
同角的补角相等.
8．（2023七下·嵊州期末）如图，，平分，的反向延长线交的平分线于点M，则与的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵AE平分∠BAN，DM平分∠CDN，
∴∠BAE=∠BAN，∠CDM=∠CDN.
过M作MF∥AB，过N作NH∥AB，则∠FME=∠BAE=∠BAN，∠BAN=∠ANH.
∵AB∥CD，
∴MF∥CD，NH∥CD，
∴∠FMD=∠CDM=∠CDN，∠CDN+∠HND=180°，
∴∠AND=∠ANH+∠HND=∠BAN+180°-∠CDN，即∠CDN-∠BAN=180°-∠AND.
∵∠DMA=∠FMD-∠FME=(∠CDN-∠BAN)=(180°-∠AND)，
∴2∠DMA+∠AND=180°，即2∠M+∠N=180°.
故答案为：D.
【分析】由角平分线的概念可得∠BAE=∠BAN，∠CDM=∠CDN，过M作MF∥AB，过N作NH∥AB，则MF∥AB∥NH∥CD，结合平行线的性质可得∠FMD=∠CDM=∠CDN，∠CDN+∠HND=180°，根据∠AND=∠ANH+∠HND可得∠CDN-∠BAN=180°-∠AND，由角的和差关系可得∠DMA=∠FMD-∠FME=(180°-∠AND)，据此解答.
9．（2020七下·沂水期末）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为 的小正方形，则每个小长方形的面积为（ ）
A．135cm2 B．108cm2 C．68cm2 D．60cm2
【答案】A
【解析】【解答】解：由中间还留下了一个洞，恰好是面积为 的小正方形
∴其边长为3cm
设每个小长方形的长为xcm，宽为ycm，
根据题意得： ，
解得： ，
∴ ．
故答案为：A．
【分析】先求出其边长为3cm，再得到，最后计算求解即可。
10．（2019七下·沙河期末）若 ，则 （ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．
【答案】A
【解析】【解答】解： ， ，所以 x=-2 .
故答案为：A
【分析】 ，由此可知x的值.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2023七下·淄川期末）如果a，b满足则 ．
【答案】8
【解析】【解答】解：由题意得，
②-①得a-b=2，
①+②化简得a+b=4，
∴8，
故答案为：8
【分析】根据 二元一次方程组的解即可得到a+b和a-b，进而代入即可求解。
12．（2023七下·金牛期末）已知，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得，
∴m+2n=1，
∴，
故答案为：-2
【分析】先根据积的乘方和同底数幂的乘法即可得到m+2n=1，进而代入求值即可求解。
13．（2024七下·青羊期末） 已知，求的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解；∵，
∴.
故答案为：
【分析】逆用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则可得到结论.
14．（2024七下·康平期末）共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，，则是 ．（用含，的式子表示）
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了平行线的性质，由，得到，将，，代入得到，再由，结合，即可求解.
15．（2023七下·宝清期末）如图 1 是我们常用的折叠式小刀，图 2 中刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图 2 所示的∠1 与∠2 ，则∠1 与∠2 的度数和是 度．
【答案】90
【解析】【解答】解：标字母如图所示：
由题意可得：AB∥CD，∠AEC=90°，
过点E作EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠1=∠AEF，∠2=∠CEF，
∴∠1+∠2=∠AEF+∠CEF=∠AEC=90°.
【分析】先在图中标字母，过拐点作平行线，利用平行线的性质即可得到结论.
16．（2017七下·蒙阴期末）对于有理数，规定新运算：x※y=ax+by+xy，其中a、b是常数，等式右边的是通常的加法和乘法运算．已知：2※1=7，（﹣3）※3=3，则
※b= ．
【答案】
【解析】【解答】解：解：2※1=7，（﹣3）※3=3，∴解得：
∴ ※b=
×
+
×
+
×
=
=
，故答案为：
．
【分析】根据题中的新定义化简2※1=7，（-3）※3=3，列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，所求式子利用新定义化简即可得到结果．
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2022七下·吴江期末）如图1，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，.
（1）观察猜想，∠BCD与∠ACE的数量关系是 ；∠BCE与∠ACD的数量关系是 ；
（2）类比探究，若按住三角板不动，顺时针绕直角顶点转动三角形，试探究当∠ACD等于多少度时CE//AB，画出图形并简要说明理由；
（3）拓展应用，若∠BCE＝3∠ACD，求∠ACD的度数；并直接写出此时DE与AC的位置关系.
【答案】（1）；
（2）解：分类讨论：①如图1所示，
∵CE//AB，
∴，
∴；
②如图2所示，
∵CE//AB，
∴，
∴.
综上可知当或时，CE//AB；
（3）解：根据（1）可知，
∴，
∴.
分类讨论：①如图3所示，
∵，
∴，
∴BC//DE.
∵，即，
∴；
②如图4所示，
∵，
∴，
∴AC//DE.
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，即.
∵，，
∴.
故答案为：，；
【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠BCD=∠ACE，由角的和差关系可得∠BCE=∠ACB+∠ACE，∠ACD=∠DCE-∠ACE，然后将两式相加即可；
（2）①当∠ACD在∠BCE内部时，根据平行线的性质可得∠ACE=∠BAC=30°，然后根据∠ACD=∠DCE-∠ACE进行计算；
②当∠ACD在∠BCE外部时，根据平行线的性质可得∠BCE=∠B=60°，然后根据∠ACD=360°-∠ACB-∠DCE-∠BCE进行计算；
（3）根据（1）可知∠BCE+∠ACD=180°，结合∠BCE=3∠ACD可得∠ACD的度数，①当∠ACD在∠BCE内部时，易得∠BCD=∠CDE=45°，推出BC//DE，根据平行线的性质可得AC⊥DE；②当∠ACD在∠BCE外部时，有∠ACD=∠CDE=45°，然后根据平行线的判定定理进行解答即可.
18．（2021七下·江源期末）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程.
解：设x2﹣4x＝y，
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______.
A．提取公因式； B．平方差公式；
C．两数和的完全平方公式； D．两数差的完全平方公式.
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ .（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 .
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解.
【答案】（1）C
（2）不彻底；
（3）解：设 ，
原式= .
【解析】【解答】解：（1）由y2+8y+16＝（y+4）2是利用了两数和的完全平方公式，
故答案为：C；
（2）∵（x2﹣4x+4）2= ，
∴该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为 ，
故答案为：不彻底， ；
【分析】（1）利用完全平方公式可得答案.
（2）分解因式要分解到不能再分解为止， x2﹣4x+4还能分解.
（3）将x2+2x看着整体，可将原式转化为y2+2y+1，利用完全平方公式进行分解，再利用完全平方公式进行分解即可.
19．（2022七下·乐亭期末）如图1，在一个边长为 的正方形中，剪去一个边长为 的小正方形，再将余下的部分拼成如图2所示的长方形．
（1）（观察）
比较两图中阴影部分的面积，可以得到等式： （用字母 ， 表示）；
（2）（应用）
计算： ；
（3）（拓展）
已知 ， ，求 的值．
【答案】（1） （或
（2）解：
（3）解：
【解析】【分析】（1）根据图形变化前后阴影部分面积相等这一等量关系可列出关系式；
（2）由（a+b）（a-b）=a2-b2，可解决问题；
（3）可将进行因式分解，变形为，再将 ， ，代入计算即可。
20．（2021七下·吴中期末）对于未知数为 ， 的二元一次方程组，如果方程组的解 ， 满足 ，我们就说方程组的解 与 具有“邻好关系”.
（1）方程组 的解 与 是否具有“邻好关系” 说明你的理由：
（2）若方程组 的解 与 具有“邻好关系”，求 的值：
（3）未知数为 ， 的方程组 ，其中 与 、 都是正整数，该方程组的解 与 是否具有“邻好关系” 如果具有，请求出 的值及方程组的解：如果不具有，请说明理由.
【答案】（1）解：方程组
由②得： ，即满足 .
方程组的解 ， 具有“邻好关系”；
（2）解：方程组
①-②得： ，即 .
方程组的解 ， 具有“邻好关系”，
，即
或
（3）解：方程两式相加得： ，
， ， 均为正整数，
， ， （舍去）， （舍去），
在上面符合题宜的两组解中，只有 时， .
，方程组的解为
【解析】【分析】（1）将方程组中的方程 ②变形可得到x-y=1，即可退出|x-y|=1，由此可作出判断.
（2）利用“邻好关系”的定义，将①-②可得到x-y=3-2m，由此可建立关于m的方程，解方程求出m的值.
（3）将两方程相加可得到（2+a）y=12，再根据a，x，y为正整数，可达到符合题意的x，y，a的值；再根据“邻好关系”的定义，可得到a，x，y的值.
21．（2021七下·仙居期末）近年来，随着人们健康睡眠的意识不断提高，社会各界对于初中生的睡眠时间是否充足越发关注，近日某学校从全校1600人中随机抽取了部分同学，调查他们平均每日睡眠时间，将得到的数据整理后绘制了如图所示的不完整的扇形统计图和频数分布直方图：
（1）本次接受调查的人数为 ；
（2）补全直方图；
（3）教育部《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》文件指出，初中生睡眠时间应达到9小时，试估计该校学生睡眠时间达标人数，并评价该校初中生睡眠时间情况．
【答案】（1）100
（2）解：由（1）得睡眠8≤t≤9的人数为100-27-8-30=35（人），
补全统计图如下：
.
（3）解： .
根据样本估计总体，估计该校学生睡眠时间达标人数约为480人.
睡眠达标人数占总人数的30%，该校学生睡眠时间不足.
【解析】【解答】解：（1）由题意得27÷27％=100（人），
故答案为：100；
【分析】（1）根据样本÷所占百分比=总体即可求解；
（2）求出睡眠8≤t≤9的人数再画图即可求解；
（3）根据样本中睡眠时间“达标”人数所占的百分比乘以总人数即可计算出该校学生睡眠达标的人数，再根据达标率进行判断即可求解.
22．（2021七下·通河期末）某班计划购买篮球和排球若干个，买4个篮球和3个排球需要410元；买2个篮球和5个排球需要310元．
（1）篮球和排球单价各是多少元？
（2）若两种球共买30个，费用不超过1700元，篮球最多可以买多少个？
（3）如果购买这两种球刚好用去520元，问有哪几种购买方案？
【答案】（1）解：设篮球每个x元，排球每个y元，
依题意，得 ，
解得， ，
答：篮球每个80元，排球每个30元；
（2）解：设购买篮球a个，则购买排球（30﹣a）个，
依题意，得80a+30（30﹣m）≤1700，
解得a≤16，
答：篮球最多可以买16个
（3）解：设篮球购买m个，排球购买n个，
可得：80m+30n=520，
解得：n= ，
∵m，n为整数，
∴m=2或5，
∴方案共有两种：
方案一：篮球2个，排球12个；
方案二：篮球5个，排球4个．
【解析】【分析】（1） 设篮球每个x元，排球每个y元， 根据“ 买4个篮球和3个排球需要410元；买2个篮球和5个排球需要310元 ”列出二元一次方程组求解即可；
（2） 设购买篮球a个，则购买排球（30﹣a）个， 根据“ 费用不超过1700元， ”列出不等式，求解即可；
（3）设篮球购买m个，排球购买n个，根据“ 购买这两种球刚好用去520元， ”列出二元一次方程，求解即可。
23．（2022七下·攸县期末）三角板是学习数学的重要工具 ，将一副三角板的直角顶点 C 按如图所示的方式叠放在一起， 当 时 ，且点 E 在直线AC 的上方时， 解决下列问题∶ （友情提示 ∶ ∠A=60°，∠D=30°，∠B=∠E=45°）
（1）①若 ∠DCE=45°，求∠ACB；
②若∠ACB=140°，求∠DCE ；
（2）由（1）猜想 ∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
（3）这两块三角板是否存在一组边互相平行？
若存在，请直接写出∠ACE的所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：①∵∠ACD=90°，∠DCE=45°，
∴∠ACE=45°，
∴∠ACB=∠ACE+∠ECB=45°+90°=135°；
②∵∠ACB=140°，∠ACD=∠ECB=90°，
∴∠ACE=140°－90°=50°，
∴∠DCE=∠DCA－∠ACE =90°－50°=40°；
（2）解：∠ACB与∠DCE互补．理由如下：
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°－∠DCE，
又∵∠BCE=90°，所以∠ACB=∠BCE+∠ACE =90°+90°－∠DCE=180°－∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE=180°－∠DCE+∠DCE=180°；
（3）解：存在一组边互相平行．
当∠ACE=45°时，∠ACE=∠E=45°，
此时AC∥BE，
当∠ACE=30°时，∠ACB=120°，
此时∠A+∠ACB=180°，
此时AD∥BC．
【解析】【分析】（1）①由角的构成得∠ACE=∠ACD-∠DCE可求得∠ACE的度数，再由∠ACB=∠ACE+∠BCE可求解；
②由角的构成得∠ACE=∠ACB-∠BCE可求得∠ACE的度数，然后结合图形得∠DCE=∠ACD-∠ACE可求解；
（2）由∠ACE=∠ACD-∠DCE，∠ACB=∠BCE+∠ACE=180°－∠DCE，于是∠ACB+∠DCE=180°－∠DCE+∠DCE可求解；
（3）存在一组边互相平行，结合题意根据同旁内角互补两直线平行及内错角相等两直线平行可求解.
24．（2022七下·柯桥期末）我们规定：分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式 ， 是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式 ， 是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， = =1＋ ， = = + = 2＋ ．
（1）将假分式 化为一个整式与一个真分式的和；
（2）将假分式 化成一个整式与一个真分式的和的形式为： = a＋m＋ ，求m、n的值； 并直接写出当整数a为何值时，分式 为正整数；
（3）自然数A是 的整数部分，则A的数字和为 ．（把组成一个数的各个数位上的数字相加，所得的和，就叫做这个数的数字和．例如：126的数字和就是1+2+6=9）
【答案】（1）解：
（2）解：∵ ，
∴m-1=-4，-m+n=6
解之：m=-3，n=3；
=4或2
（3）80
【解析】【解答】解：（2）∵m=-3，n=3
∴
∵是正整数，且a为整数，
∴a-1=3或a-1=1
解之：a=4或2.
（3）∵109×（109+2）=1018+2×109
∴1018+2022=109×（109+2）-2×109+2022
∴
∵2×109-2020=2（109+2）-4-2022=2（109+2）-2026
∴
∴A=999999998
∴9×8+8=80.
故答案为：80.
【分析】（1）观察分母x+1，因此将分子4x-5转化为4x+4-9，即可求解.
（2）将等式的右边通分计算，再根据分子中对应项的系数相等，可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值；再根据是正整数，且a为整数，可得到a-1=3或a-1=1，然后解方程求出a的值.
（3）将分子转化为109×（109+2）-2×109+2022，可将原式转化为，再将其分子转化为2（109+2）-2026，可将原式化为，由此可得到自然数A的值，然后将自然数A各数位上的数字相加，列式计算可求出结果.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
