第18章平行四边形章末测试卷（含答案）-2024-2025学年数学八年级下册人教版

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第18章平行四边形章末测试卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版
一．选择题（共8小题）
1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE，若BD＝DE，则图中含有内角为30°的三角形共有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．如图，在菱形ABCD中，点O为AC和BD的交点，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．AC＝BD B．AD＝BC C．OA＝OC D．AC⊥BD
3．如图，在矩形ABCD中，点M为边BC的中点，点N为边AB上一点，连接DM，DN．若DM平分∠CDN，且AN＝3，BN＝1，则DN的长为（　　）
A．4 B． C．5 D．
4．如图是人字梯及其侧面示意图，AB，AC为支撑架，DE为拉杆，D，E分别是AB，AC的中点，若DE＝40cm，则B，C两点的距离为（　　）
A．50cm B．60cm C．70cm D．80cm
5．如图，四边形ABCD中，∠ADB＝∠ACB＝90°，AB＝10，CD＝6，以AC，AD为邻边作 ACED，连接BE，则线段BE长为（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
6．符号“ ”读作“推出”，表示这个符号左边的数学事实可以推出右边的数学事实．下面是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线互相垂直；②它是一个正方形；③它是一个菱形．下列用符号“ ”表示的推出过程正确的是（　　）
A．① ② ③ B．① ③ ② C．② ③ ① D．③ ① ②
7．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，F为边AB上一点，且BF＝DE，连接EF，若∠CDE＝50°，则∠BFE的度数为（　　）
A．65° B．70° C．75° D．80°
8．如图，在菱形ABCD中，∠A＝30°，AB＝12，F是边BC上的一个动点，连接DF，以DF为对角线作菱形DEFG，使点E落在DC边上，当菱形DEFG的周长最小时，菱形DEFG的面积为（　　）
A．16 B．12 C． D．
二．填空题（共6小题）
9．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E为边CB中点，若∠A＝52°，则∠EDB＝ 　 　 °．
10．如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，如所围成的四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD需满足的条件是 　 　 ．（只需写出一个符合要求的条件）
11．如图，将直角三角形ABC沿射线BC方向平移6cm，得到三角形A'B'C'，已知∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，则阴影部分的面积为 　 　 cm2．
12．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与AD，BC分别相交于E，F，若AB＝4，BC＝5，OE＝1.5，那么四边形EFCD的周长为 　 　 ．
13．如图，在正方形ABCD中，E是边CD上一点，F是边CB延长线上一点，连接AE，AF，EF，若AE⊥AF，，，则△CEF的面积为　 　 ．
14．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点F是AB边上一点，点E是BC延长线上一点，AF＝CE，BF＝3AF．连接DF，DE，EF，EF与对角线AC相交于点G，则线段BG的长是 　 　 ．
三．解答题（共5小题）
15．如图，在 ABCD中，连结对角线BD，点E和点F是 ABCD外两点，且在直线BD上，DE＝BF．
求证：四边形AECF是平行四边形．
16．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的点，且DE＝BF，连接BE，DF交于点G．求证：BE＝DF．
17．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且FC＝AE，连接AF、BF．
（1）求证：四边形DEBF是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，FC＝3，DF＝5，求BF的长．
18．问题引入：如图①，AB∥CD，AB＞CD，∠ABD＝90°，E是线段AC的中点．连结DE并延长交AB于点F，连结BE．判断BE与DE之间的数量关系，并说明理由．
问题延伸：如图②，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，点G在BC上，P是线段DF的中点，连结PC、PG．
（1）判断PC与PG之间的数量关系，并说明理由．
（2）连结CF，若AB＝3，PC，则CF的长为 　 　 ．
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？求出此时菱形AQCP的面积．
第18章平行四边形章末测试卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C D A C B D
一．选择题（共8小题）
1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE，若BD＝DE，则图中含有内角为30°的三角形共有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，AE＝BE＝CE，
∵BD＝DE，
∴AB＝AE，
∴AB＝AE＝BE，
∴△ABE为等边三角形，
∴∠B＝∠BAE＝∠AEC＝60°，
∴∠C＝30°、∠BAD＝∠DAE＝30°，
∴△ABC，△ADB、△ADE、△ADC、△ACE是含有内角为30°的三角形，
∴图中的直角三角形共有5个，
故选：C．
2．如图，在菱形ABCD中，点O为AC和BD的交点，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．AC＝BD B．AD＝BC C．OA＝OC D．AC⊥BD
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，点O为AC和BD的交点，
∴AD＝BC，OA＝OC，AC⊥BD，
故B不符合题意，C不符合题意，D不符合题意；
∵四边形ABCD是任意菱形，
∴AC与BD不一定相等，
故A符合题意，
故选：A．
3．如图，在矩形ABCD中，点M为边BC的中点，点N为边AB上一点，连接DM，DN．若DM平分∠CDN，且AN＝3，BN＝1，则DN的长为（　　）
A．4 B． C．5 D．
【解答】解：如图，过点M作DH⊥DN于H，连接MN，
∵AN＝3，BN＝1，
∴AB＝4＝DC，
∵点M为边BC的中点，
∴CM＝BM，
∵DM平分∠CDN，
∴∠CDM＝∠NDM，
又∵∠C＝∠DHM＝90°，DM＝DM，
∴△DMC≌△DMH（AAS），
∴HM＝CM，DC＝DH＝4，
∴BM＝HM，
又∵MN＝MN，
∴Rt△MHN≌Rt△MBN（HL），
∴BN＝HN＝1，
∴DN＝DH+HN＝5，
故选：C．
4．如图是人字梯及其侧面示意图，AB，AC为支撑架，DE为拉杆，D，E分别是AB，AC的中点，若DE＝40cm，则B，C两点的距离为（　　）
A．50cm B．60cm C．70cm D．80cm
【解答】解：连接BC，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEBC，
∴BC＝2DE，
∵DE＝40cm，
∴BC＝80cm，
∴B，C两点的距离为80cm．
故选：D．
5．如图，四边形ABCD中，∠ADB＝∠ACB＝90°，AB＝10，CD＝6，以AC，AD为邻边作 ACED，连接BE，则线段BE长为（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
【解答】解：连接AE交CD于点O，取AB的中点M，连接DM，CM，OM，
由条件可知，OA＝OE，，
∴OM是△ABE的中位线，
∴BE＝2OM，
∵DM＝CM＝5，OC＝OD＝3，
∴∠MOC＝90°，
∴OM，
∴BE＝2OM＝8，
故选：A．
6．符号“ ”读作“推出”，表示这个符号左边的数学事实可以推出右边的数学事实．下面是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线互相垂直；②它是一个正方形；③它是一个菱形．下列用符号“ ”表示的推出过程正确的是（　　）
A．① ② ③ B．① ③ ② C．② ③ ① D．③ ① ②
【解答】解：对于选项A，
∵四边形的对角线互相垂直平分且相等时，则该四边形是正方形，
∴根据四边形的对角线互相垂直不能推出该四边形是正方形，
故选项A不正确，不符合题意；
对于选项B，
∵四边形的对角线互相垂直平分时，则该四边形是菱形
∴根据四边形对角线互相垂直不能推出该四边形是菱形，
故选项B不正确，不符合题意；
∵正方形是特殊的菱形，菱形的对角线互相垂直，
∴当四边形是正方形时可以推出该四边形是菱形，可以推出该四边形的对角线互相垂直，
故选项C正确，符合题意；
对于选项D，
∵对角线相等（或有一个角是直角）的菱形是正方形，
∴当四边形是菱形时不能推出该四边形是正方形，
故选项D不正确，不符合题意，
故选：C．
7．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，F为边AB上一点，且BF＝DE，连接EF，若∠CDE＝50°，则∠BFE的度数为（　　）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【解答】解：连接BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°，∠ADC＝90°，
∵AE＝AE，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE，∠ABE＝∠ADE＝40°，
∵BF＝DE，
∴BE＝BF，
∴∠BFE＝∠BEF＝70°．
故选：B．
8．如图，在菱形ABCD中，∠A＝30°，AB＝12，F是边BC上的一个动点，连接DF，以DF为对角线作菱形DEFG，使点E落在DC边上，当菱形DEFG的周长最小时，菱形DEFG的面积为（　　）
A．16 B．12 C． D．
【解答】解：如图所示：过点E作EH⊥BC，垂足为H．
设DE＝EF＝x，则EC＝12﹣x，
∵∠C＝∠A＝30°，
∴EHEC，
∵EF≥EH，
∴x，
∴x≥4，
∴边长最小是4，
过F作FN⊥DC，CF＝4，
FN CF＝2，
∴菱形DEFG的周长最小时，菱形DEFG的面积为：
DE×FN＝48．
故选：D．
二．填空题（共6小题）
9．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E为边CB中点，若∠A＝52°，则∠EDB＝ 　38　 °．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝52°，
∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝38°，
∵CD⊥AB，点E为边CB中点，
∴DEBC＝BE，
∴∠EDB＝∠B＝38°，
故答案为：38．
10．如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，如所围成的四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD需满足的条件是 　AC⊥BD　 ．（只需写出一个符合要求的条件）
【解答】解：添加的条件是AC⊥BD，
∵BD∥EF，BD∥GH，
∴EF∥GH，
同理EH∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EF∥BD，AC⊥BD，
∴EF⊥AC，
∵EH∥AC，
∴EF⊥EH，
∴∠E＝90°，
∴平行四边形EFGH是矩形，
故答案为：AC⊥BD．
11．如图，将直角三角形ABC沿射线BC方向平移6cm，得到三角形A'B'C'，已知∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，则阴影部分的面积为 　18　 cm2．
【解答】解：由平移的性质得：BB'＝AA'＝6cm，AB∥A'B'，AB＝A'B'，
∴四边形ABB'A'是平行四边形，
∴AA'∥BB'，
∴四边形ACB'A'是梯形，
∴B'C＝BB'﹣BC＝3（cm），
∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BB'，
∴阴影部分的面积（3+6）×4＝18（cm2），
故答案为：18．
12．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与AD，BC分别相交于E，F，若AB＝4，BC＝5，OE＝1.5，那么四边形EFCD的周长为 　12　 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝5，OA＝OC，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OF＝OE＝1.5，CF＝AE，
故四边形EFCD的周长为CD+EF+ED+FC＝CD+EF+AE+ED＝CD+AD+EF＝4+5+1.5×2＝12．
故答案为：12．
13．如图，在正方形ABCD中，E是边CD上一点，F是边CB延长线上一点，连接AE，AF，EF，若AE⊥AF，，，则△CEF的面积为　4　 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴∠ABF＝∠D＝90°，
∵AE⊥AF，
∴∠EAF＝90°，
∴∠EAF﹣∠BAE＝∠BAD﹣∠BAE，
即∠FAB＝∠EAD，
在△FAB和△EAD中，
，
∴△FAB≌△EAD（ASA），
∴AE＝AF，DE＝BF，
∵AE2+AF2＝EF2，，
∴AE＝AF＝4，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
14．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点F是AB边上一点，点E是BC延长线上一点，AF＝CE，BF＝3AF．连接DF，DE，EF，EF与对角线AC相交于点G，则线段BG的长是 　　 ．
【解答】解：如图，过点F作MF⊥AB于F，
∴∠AFM＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB＝4，∠BAC＝∠ACB＝45°，∠ABC＝90°，
∴AC，
∵BF＝3AF，
∴AF＝1，BF＝3，
又∵∠AFM＝90°，∠BAC＝45°，AF＝CE，
∴FM＝AF＝CE＝1，AM，
∴CM＝AC﹣AM，
∵∠AFM＝∠ABC＝90°，
∴FM∥BE，
∴∠MFG＝∠CEG，∠FMG＝∠ECG，
又∵FM＝EC，
∴△FMG≌△ECG（ASA），
∴MG＝CG，
∴CGCM，
过点G作GN⊥BC于N，
∴△CNG为等腰直角三角形，
∴CN＝NG，
又∵BC＝4，
∴BN，
在Rt△BNG中，
BG．
故答案为：．
三．解答题（共5小题）
15．如图，在 ABCD中，连结对角线BD，点E和点F是 ABCD外两点，且在直线BD上，DE＝BF．
求证：四边形AECF是平行四边形．
【解答】证明：连接AC交BD于O，
由条件可知AO＝CO，BO＝DO，
∵BF＝DE，
∴FO＝EO，
∴四边形AECF是平行四边形．
16．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的点，且DE＝BF，连接BE，DF交于点G．求证：BE＝DF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝DC，
∵DE＝BF，
∴CE＝CF，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴BE＝DF．
17．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且FC＝AE，连接AF、BF．
（1）求证：四边形DEBF是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，FC＝3，DF＝5，求BF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∵FC＝AE，
∴CD﹣FC＝AB﹣AE，
即DF＝BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴平行四边形DEBF是矩形；
（2）解：∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∵DC∥AB，
∴∠DFA＝∠BAF，
∴∠DFA＝∠DAF，
∴AD＝DF＝5，
在Rt△AED中，由勾股定理得：DE4，
由（1）得：四边形DEBF是矩形，
∴BF＝DE＝4．
18．问题引入：如图①，AB∥CD，AB＞CD，∠ABD＝90°，E是线段AC的中点．连结DE并延长交AB于点F，连结BE．判断BE与DE之间的数量关系，并说明理由．
问题延伸：如图②，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，点G在BC上，P是线段DF的中点，连结PC、PG．
（1）判断PC与PG之间的数量关系，并说明理由．
（2）连结CF，若AB＝3，PC，则CF的长为 　　 ．
【解答】解：问题引入：
BE＝DE，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C，
∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△AEF和△CED中，
，
∴△AEF≌△CED（ASA），
∴EF＝DE，
∵∠ABD＝90°，
∴BE为Rt△BDF斜边上的中线，
∴EF＝DE＝BE，
∴BE＝DE；
问题延伸：
（1）PC＝PG，理由如下：
如图，延长GP交CD于点M，
∵四边形ABCD，BEFG为正方形，
∴CD∥AE∥GF，∠BCD＝90°，
∴∠CDP＝∠PFG，
∵P为DF的中点，
∴DP＝FP，
在△DPM和△FPG中，
，
∴△DPM≌△FPG（ASA），
∴PM＝PG，GF＝DM，
∵PC为Rt△MCG斜边上的中线，
∴PC＝PG＝PM，
∴PC＝PG；
（2）∵四边形ABCD、BEFG为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝3，BG＝GF＝DM，∠CGF＝90°，
设BG＝GF＝DM＝x，
∴CM＝CG＝3﹣x，
∵PC＝PG＝PM，
∴MG＝2，
∵MC2+CG2＝MG2，
∴（3﹣x）2+（3﹣x）2＝（2）2，
解得x＝1，
∴GF＝1，CG＝3﹣1＝2，
∴CF．
故答案为：．
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？求出此时菱形AQCP的面积．
【解答】解：（1）由题意，得：BQ＝t，DP＝t，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝8，
∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝8，
∴AP＝8﹣t，
当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，
∴t＝8﹣t，
解得：t＝4，
∴当t＝4s时，四边形ABQP是矩形；
（2）∵AB＝4，BQ＝t，∠B＝90°，
∴，
当四边形AQCP是菱形时，AP＝AQ，
∴，
解得：t＝3，
当t＝3时，BQ＝3，
∴CQ＝BC﹣BQ＝5，
菱形AQCP的面积为CQ AB＝5×4＝20cm2．
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