(共19张PPT)
情境引入
学习目标
1. 会画二次函数 y = a(x + h)2 的图象;(重点)
2. 掌握二次函数 y = a(x + h)2 的性质;(难点)
3. 比较函数 y = ax2 与 y = a(x + h)2 的联系.
导入新课
复习引入
问题1 说说二次函数 y = ax2 + c (a ≠ 0) 的图象特征.
a,c的符号 a>0,c>0 a>0,c<0 a<0,c>0 a<0,c<0
图象
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
向上
向下
y 轴(直线 x = 0)
y 轴(直线 x = 0)
(0,c)
(0,c)
当 x<0 时,y 随 x 增大而减小;当 x>0 时,y 随 x 增大而增大
当 x<0 时,y 随 x 增大而增大;当 x>0 时,y 随 x增大而减小
x = 0 时,y最小值 = c
x = 0 时,y最大值 = c
问题2 二次函数 y = ax2 + c (a ≠ 0) 与 y = ax2 (a ≠ 0) 的图象有何关系?
答:二次函数 y = ax2 + c ( a ≠ 0 ) 的图象可以由 y = ax2 (a ≠ 0) 的图象平移得到:
当 c>0 时,向上平移 c 个单位长度得到;
当 c<0 时,向下平移 -c 个单位长度得到.
问题3 函数 的图象,是否也可以由函数
的图象平移得到?
讲授新课
二次函数 y = a(x + h)2 的图象和性质
一
互动探究
引例:在同一直角坐标系中,画出二次函数 与 的图象.
解:先列表:
x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
x
y
-4
-3
-2
-1
o
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
描点、连线,画出这两个函数的图象:
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向上
向上
y 轴
直线 x = 2
(0,0)
(2,0)
根据所画图象,填写下表:
想一想:通过上述例子,你看出函数 y = a(x - h)2 的性质是什么?
试一试:画出下列二次函数的图象,并考察它们的开口方向、对称轴和顶点.
x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
-2
-4.5
-2
0
0
-2
-2
-4.5
-8
-8
-2
2
-2
-4
-6
4
-4
O
x
y
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向下
直线 x = -1
( -1 , 0 )
直线 x = 0
直线 x = 1
向下
向下
( 0 , 0 )
( 1, 0)
-2
2
-2
-4
4
-4
O
x
y
二次函数 y = a(x + h)2 (a ≠ 0) 的性质
知识要点
y=a(x+h)2 a>0 a<0
开口方向 向上 向下
对称轴 直线 x = -h 直线 x = -h
顶点坐标 (-h,0) (-h,0)
最值 当 x = -h 时,y最小值 =0 当 x = -h 时,y最大值=0
增减性 当 x<-h 时,y 随 x 的增大而减小;x>-h 时,y 随 x 的增大而增大 当 x<-h 时,y 随 x 的增大而增大;x>-h 时,y 随 x 的增大而减小
若抛物线 y=3(x+ )2 的图象上的三个点,
A (-3 ,y1),B (-1,y2),C (0,y3),则 y1,y2,y3 的大小关系为___________.
解析:∵ 抛物线 y=3(x+ )2 的对称轴为 x=- ,a=3>0,∴ x<- 时,y 随 x 的增大而减小;x>- 时,y 随 x 的增大而增大.∵ 点 A 的坐标为(-3 ,y1),
∴ 点 A 在抛物线上关于 x=- 的对称点 A′ 的坐标为( ,y1).∵ - <-1<0< ,∴ y2<y3<y1.
练一练
y2<y3<y1
向右平移
1个单位
向左平移
1个单位
二次函数 y = ax2 与 y = a(x + h)2 的图象关系
二
想一想 抛物线 , 与抛物线
有什么关系?
-2
2
-2
-4
4
-4
知识要点
二次函数 y = a(x + h)2 与 y = ax2 的图象之间的关系
形状、开口大小和方向均相同,可以看作互相平移得到.
左右平移规律:
仅对自变量 (x) 左加右减,其它不变.
y = a(x + h)2
向右平移 h 个单位
y = a(x - h)2
向左平移 h 个单位
设 h>0,将 y = ax2
例1 抛物线 y=ax2 向右平移 3 个单位后经过点 (-1,4),求 a 的值和平移后的函数关系式.
解:抛物线 y=ax2 向右平移 3 个单位得 y=a(x - 3)2,
代入点 (-1,4),得 4=a(-1 - 3)2,a= ,
∴ 平移后函数关系式为 y= (x - 3)2.
方法总结:根据抛物线左右平移的规律,向右平移 3 个单位后,a 不变,x 应“减去 3”;若向左平移 3 个单位,x 应“加上 3”,即“左加右减”.
将二次函数 y=-2x2 的图象平移后,可得到二次函数 y=-2(x+1)2 的图象,平移的方法是 ( )
A.向上平移 1 个单位 B.向下平移 1 个单位
C.向左平移 1 个单位 D.向右平移 1 个单位
练一练
C
1. 把抛物线 y = -x2 沿着 x 轴方向平移 3 个单位长度,那么平移后的抛物线表达式是 .
2. 二次函数 y = 2(x - )2 图象的对称轴是直线 ,顶点是 .
3. 若 (- ,y1),(- ,y2),( ,y3) 为抛物线 y = (x - 2)2 上的三点,则 y1,y2,y3 的大小关系为__________.
当堂练习
y = -(x + 3)2 或 y = -(x - 3)2
y1>y2>y3
4. 指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向上
直线 x = 3
(3,0)
直线 x = 2
直线 x = 1
向下
向上
(2,0)
(1,0)
5. 在同一坐标系中,画出函数 y=2x2 与 y=2(x - 2)2 的图象,并指出两个图象之间的平移关系.
解:图象如图.
函数 y = 2(x - 2)2 的图象可由函数 y = 2x2 的图象向右平移 2 个单位得到.
y
O
x
y = 2x2
2
y = 2(x - 2)2
设 h>0,
左移 h 个单位 加 h;
右移 h 个单位 减 h.
复习
y = ax2 + k
探索
y = a(x±h)2 的图象及性质
图象的画法
图象的特征
描点法
平移法
开口方向
对称轴
平移关系
直线 x = h
a>0,开口向上
a<0,开口向下
y = ax2
课堂小结
平移规律:
仅对自变量 (x) 左加右减,其它不变.
顶点坐标
( h,0)