沪科版九年级数学上册21.2二次函数的图像和性质2（第4课时）二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质课件（28张PPT）

(共28张PPT)
1. 会用配方法或公式法将一般式 y = ax2＋bx＋c 化成顶点式 y = a(x + h)2 + k.(难点）
2. 会熟练求出二次函数 y = ax2＋bx＋c 的顶点坐标、对称轴.（重点）
学习目标
导入新课
复习引入
y=a(x+h)2+k a＞0 a＜0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
最值
向上
向下
(-h，k)
(-h，k)
x = -h
x = -h
当 x＜-h 时，y 随着 x 的增大而减小；当 x＞-h 时y 随着 x 的增大而增大.
当 x＜-h 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x＞-h 时，y 随着 x 的增大而减小.
x = -h 时，y最小 = k
x = -h 时，y最大 = k
抛物线 y = a(x + h)2 + k 可以看作由抛物线 y = ax2 经过平移得到
顶点坐标 对称轴 最值
y = -2x2
y = -2x2 - 5
y = -2(x + 2)2
y = -2(x + 2)2 - 4
y = (x - 4)2 + 3
y = -x2 + 2x
y = 3x2 + x - 6
(0，0)
y 轴
0
(0，-5)
y 轴
-5
(-2，0)
直线 x = -2
0
(-2，-4)
直线 x = -2
-4
(4，3)
直线 x = 4
3






讲授新课
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
一
探究归纳
我们已经知道 y = a(x + h)2 + k 的图象和性质，能否利用这些知识来探讨 的图象和性质？
问题1 能不能将 化成 y = a(x + h)2 + k 的形式？用什么方法？
能，用配平方法.
配方可得
想一想：配平方的技巧及步骤是什么？
配方
现在你知道怎样配方了吗？
(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方；
(3)“化”：化成顶点式.
提示：配方所得二次函数表达式通常称为顶点式.
问题2 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？
答：对称轴是直线 x = 6，顶点坐标是 (6，3).
问题3 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？
答：平移方法 1：
先向上平移 3 个单位，再向右平移 6 个单位得到的；
平移方法 2：
先向右平移 6 个单位，再向上平移 3 个单位得到的.
10
x
y
5
10
5
O
…
…
…
…
9
8
7
6
5
4
3
x
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
问题4 如何画二次函数
的图象？
先利用图形的对称性列表；
然后描点画图，
得到图象如右图所示.
问题5 结合二次函数 的图象，说出其性质.
5
10
x
y
5
10
x = 6
当 x＜6 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x＞6 时，y 随 x 的增大而增大.
O
例1 画出函数 的图象，并说明这个函数具有哪些性质.
x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ···
y ··· ···
-6.5
-4
-2.5
-2
-2.5
-4
-6.5
解：将函数 配方，可得 ，
先列表：
典例精析
2
x
y
-2
O
4
-2
-4
-4
-6
-8
然后描点、连线，得到图象如下.
由图象可知，这个函数具有如下性质：
当 x＜1 时，函数值 y 随 x的增大而增大；
当 x＞1时，函数值 y 随 x的增大而减小；
当 x = 1 时，函数取得最大值，最大值 y = -2.
求二次函数 y = 2x2 - 8x + 7 图象的对称轴和顶点坐标.
因此，二次函数 y = 2x2 - 8x + 7 图象的对称轴是直线 x = 2，顶点坐标为 (2，-1).
解：
练一练
将一般式 y = ax2 + bx + c 化成顶点式
二
我们如何用配方法将一般式 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 化成顶点式 y = a(x + h)2 + k？
y = ax + bx + c
归纳总结
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c 可以通过配方化成 y = a(x + h)2 + k 的形式，即
因此，抛物线 y = ax2 + bx + c 的顶点坐标是
，对称轴是直线
(1)
(2)
x
y
O
x
y
O
如果 a＞0，当 x＜ 时，y 随 x 的增大而减小；当
x＞ 时，y 随 x 的增大而增大.
如果 a＜0，当 x＜ 时，y 随 x 的增大而增大；当
x＞ 时，y 随 x 的增大而减小.
例2 已知二次函数 y =－x2＋2bx＋c，当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是（ ）
A．b≥－1 B．b≤－1
C．b≥1 D．b≤1
解析：∵ 二次项系数－1＜0，∴ 抛物线开口向下. 故在对称轴右侧，y 随 x 值的增大而减小. 由于当 x＞1 时，y 随 x 值的增大而减小，∴ 抛物线 y =－x2＋2bx＋c 的对称轴应在直线 x = 1 的左侧. 而抛物线的对称轴为直线 ，∴ b≤1. 故选 D.
D
填一填
顶点坐标 对称轴 最值
y = -x2 + 2x
y = -2x2 - 1
y = 9x2 + 6x - 5
(1，3)
x = 1
有最大值 1
(0，-1)
y 轴
有最大值 -1
有最小值 -6
( ，-6)
直线 x =
二次函数字母系数与图象的关系
三
合作探究
问题1 一次函数 y = kx + b 的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：
x
y
O
y = k1x + b1
x
y
O
y = k2x + b2
y = k3x + b3
k1 ___ 0
b1 ___ 0
k2 0
b2 ___ 0
＞
＜
k3 ___ 0
b3 ___ 0
＜
＞
＜
＞
x
y
O
问题2 二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：
a1 ___ 0
b1 ___ 0
c1 ___ 0
a2 ___ 0
b2 ___ 0
c2 ___ 0
＞
＞
＞
＞
＜
＝
开口向上，a＞0
对称轴在 y 轴左侧，x＜0
对称轴在 y 轴右侧，x＞0
x = 0时，y = c.
x
y
O
a3___ 0
b3___ 0
c3___ 0
a4___ 0
b4___ 0
c4___ 0
＜
＝
＞
＜
＞
＜
开口向下，a＜0
对称轴是 y 轴，x = 0
对称轴在 y 轴右侧，x＞0
x = 0时，y = c.
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 a、b、c 的关系
字母符号 图象的特征
a＞0 开口_____________________
a＜0 开口_____________________
b=0 对称轴为_____轴
a、b 同号 对称轴在 y 轴的____侧
a、b 异号 对称轴在 y 轴的____侧
c=0 经过原点
c＞0 与 y 轴交于_____半轴
c＜0 与 y 轴交于_____半轴
向上
向下
y
左
右
正
负
例3 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　　)
A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4
D
由图象上横坐标为 x＝-2的点在第三象限可得4a-2b+c＜0，故③正确；
由图象上 x＝1的点在第四象限得 a＋b＋c＜0，由图象上 x＝－1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得 (a＋c)2＜b2，故④正确．
【解析】由图象开口向下可得 a＜0，由对称轴在 y 轴左侧可得 b＜0，由图象与 y 轴交于正半轴可得 c＞0，则 abc＞0，故①正确；
由对称轴 x＞-1可得 2a - b＜0，故②正确；
1.已知二次函数 y = ax2 + bx + c 的 x、y 的部分对应值如下表：
x -1 0 1 2 3
y 5 1 -1 -1 1
A. y 轴 B. 直线 x =
C. 直线 x = 2 D. 直线 x =
则该二次函数图象的对称轴为( )
D
当堂练习
O
y
x
–1
–2
3
2.已知二次函数 y = ax2 + bx + c( a≠0 )的图象如图所示，则下列结论：
（1）a、b 同号；
（2）当 x = –1 和 x = 3 时，函数值相等；
（3）4a + b =0；
（4）当 y = –2 时，x 的值只能取 0；
其中正确的是 .
直线 x = 1
（2）
3.如图是二次函数 y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 )图象的一部分，x = -1 是对称轴，有下列判断：① b-2a=0；② 4a - 2b + c＜0；③ a - b + c = -9a；④若 (-3，y1)，( ，y2)是抛物线上两点，则y1＞y2.其中正确的是( )
A．①②③　　 B．①③④ C．①②④　 D．②③④
x
y
O
2
x = -1
B
4.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
直线 x = 3
直线 x = 8
直线 x = 1.25
直线 x = 0.5
课堂小结
顶点：
对称轴：
y = ax2+bx+c ( a ≠ 0 )
(一般式)
配方法
公式法
(顶点式)