沪科版九年级数学上册21.2二次函数的图像和性质2(第4课时)二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质课件(28张PPT)

文档属性

名称 沪科版九年级数学上册21.2二次函数的图像和性质2(第4课时)二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质课件(28张PPT)
格式 ppt
文件大小 1.1MB
资源类型 教案
版本资源 沪科版
科目 数学
更新时间 2025-06-15 08:23:19

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文档简介

(共28张PPT)
1. 会用配方法或公式法将一般式 y = ax2+bx+c 化成顶点式 y = a(x + h)2 + k.(难点)
2. 会熟练求出二次函数 y = ax2+bx+c 的顶点坐标、对称轴.(重点)
学习目标
导入新课
复习引入
y=a(x+h)2+k a>0 a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
最值
向上
向下
(-h,k)
(-h,k)
x = -h
x = -h
当 x<-h 时,y 随着 x 的增大而减小;当 x>-h 时y 随着 x 的增大而增大.
当 x<-h 时,y 随着 x 的增大而增大;当 x>-h 时,y 随着 x 的增大而减小.
x = -h 时,y最小 = k
x = -h 时,y最大 = k
抛物线 y = a(x + h)2 + k 可以看作由抛物线 y = ax2 经过平移得到
顶点坐标 对称轴 最值
y = -2x2
y = -2x2 - 5
y = -2(x + 2)2
y = -2(x + 2)2 - 4
y = (x - 4)2 + 3
y = -x2 + 2x
y = 3x2 + x - 6
(0,0)
y 轴
0
(0,-5)
y 轴
-5
(-2,0)
直线 x = -2
0
(-2,-4)
直线 x = -2
-4
(4,3)
直线 x = 4
3






讲授新课
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质

探究归纳
我们已经知道 y = a(x + h)2 + k 的图象和性质,能否利用这些知识来探讨 的图象和性质?
问题1 能不能将 化成 y = a(x + h)2 + k 的形式?用什么方法?
能,用配平方法.
配方可得
想一想:配平方的技巧及步骤是什么?
配方
现在你知道怎样配方了吗?
(1)“提”:提出二次项系数;
(2)“配”:括号内配成完全平方;
(3)“化”:化成顶点式.
提示:配方所得二次函数表达式通常称为顶点式.
问题2 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗?
答:对称轴是直线 x = 6,顶点坐标是 (6,3).
问题3 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的?
答:平移方法 1:
先向上平移 3 个单位,再向右平移 6 个单位得到的;
平移方法 2:
先向右平移 6 个单位,再向上平移 3 个单位得到的.
10
x
y
5
10
5
O




9
8
7
6
5
4
3
x
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
问题4 如何画二次函数
的图象?
先利用图形的对称性列表;
然后描点画图,
得到图象如右图所示.
问题5 结合二次函数 的图象,说出其性质.
5
10
x
y
5
10
x = 6
当 x<6 时,y 随 x 的增大而减小;
当 x>6 时,y 随 x 的增大而增大.
O
例1 画出函数 的图象,并说明这个函数具有哪些性质.
x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ···
y ··· ···
-6.5
-4
-2.5
-2
-2.5
-4
-6.5
解:将函数 配方,可得 ,
先列表:
典例精析
2
x
y
-2
O
4
-2
-4
-4
-6
-8
然后描点、连线,得到图象如下.
由图象可知,这个函数具有如下性质:
当 x<1 时,函数值 y 随 x的增大而增大;
当 x>1时,函数值 y 随 x的增大而减小;
当 x = 1 时,函数取得最大值,最大值 y = -2.
求二次函数 y = 2x2 - 8x + 7 图象的对称轴和顶点坐标.
因此,二次函数 y = 2x2 - 8x + 7 图象的对称轴是直线 x = 2,顶点坐标为 (2,-1).
解:
练一练
将一般式 y = ax2 + bx + c 化成顶点式

我们如何用配方法将一般式 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 化成顶点式 y = a(x + h)2 + k?
y = ax + bx + c
归纳总结
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
一般地,二次函数 y = ax2 + bx + c 可以通过配方化成 y = a(x + h)2 + k 的形式,即
因此,抛物线 y = ax2 + bx + c 的顶点坐标是
,对称轴是直线
(1)
(2)
x
y
O
x
y
O
如果 a>0,当 x< 时,y 随 x 的增大而减小;当
x> 时,y 随 x 的增大而增大.
如果 a<0,当 x< 时,y 随 x 的增大而增大;当
x> 时,y 随 x 的增大而减小.
例2 已知二次函数 y =-x2+2bx+c,当 x>1 时,y 的值随 x 值的增大而减小,则实数 b 的取值范围是( )
A.b≥-1 B.b≤-1
C.b≥1 D.b≤1
解析:∵ 二次项系数-1<0,∴ 抛物线开口向下. 故在对称轴右侧,y 随 x 值的增大而减小. 由于当 x>1 时,y 随 x 值的增大而减小,∴ 抛物线 y =-x2+2bx+c 的对称轴应在直线 x = 1 的左侧. 而抛物线的对称轴为直线 ,∴ b≤1. 故选 D.
D
填一填
顶点坐标 对称轴 最值
y = -x2 + 2x
y = -2x2 - 1
y = 9x2 + 6x - 5
(1,3)
x = 1
有最大值 1
(0,-1)
y 轴
有最大值 -1
有最小值 -6
( ,-6)
直线 x =
二次函数字母系数与图象的关系

合作探究
问题1 一次函数 y = kx + b 的图象如下图所示,请根据一次函数图象的性质填空:
x
y
O
y = k1x + b1
x
y
O
y = k2x + b2
y = k3x + b3
k1 ___ 0
b1 ___ 0
k2 0
b2 ___ 0


k3 ___ 0
b3 ___ 0




x
y
O
问题2 二次函数 的图象如下图所示,请根据二次函数的性质填空:
a1 ___ 0
b1 ___ 0
c1 ___ 0
a2 ___ 0
b2 ___ 0
c2 ___ 0






开口向上,a>0
对称轴在 y 轴左侧,x<0
对称轴在 y 轴右侧,x>0
x = 0时,y = c.
x
y
O
a3___ 0
b3___ 0
c3___ 0
a4___ 0
b4___ 0
c4___ 0






开口向下,a<0
对称轴是 y 轴,x = 0
对称轴在 y 轴右侧,x>0
x = 0时,y = c.
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 a、b、c 的关系
字母符号 图象的特征
a>0 开口_____________________
a<0 开口_____________________
b=0 对称轴为_____轴
a、b 同号 对称轴在 y 轴的____侧
a、b 异号 对称轴在 y 轴的____侧
c=0 经过原点
c>0 与 y 轴交于_____半轴
c<0 与 y 轴交于_____半轴
向上
向下
y




例3 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,下列结论:①abc>0;②2a-b<0;③4a-2b+c<0;④(a+c)2<b2. 其中正确的个数是 (  )
A.1   B.2    C.3   D.4
D
由图象上横坐标为 x=-2的点在第三象限可得4a-2b+c<0,故③正确;
由图象上 x=1的点在第四象限得 a+b+c<0,由图象上 x=-1的点在第二象限得出 a-b+c>0,则(a+b+c)(a-b+c)<0,即(a+c)2-b2<0,可得 (a+c)2<b2,故④正确.
【解析】由图象开口向下可得 a<0,由对称轴在 y 轴左侧可得 b<0,由图象与 y 轴交于正半轴可得 c>0,则 abc>0,故①正确;
由对称轴 x>-1可得 2a - b<0,故②正确;
1.已知二次函数 y = ax2 + bx + c 的 x、y 的部分对应值如下表:
x -1 0 1 2 3
y 5 1 -1 -1 1
A. y 轴 B. 直线 x =
C. 直线 x = 2 D. 直线 x =
则该二次函数图象的对称轴为( )
D
当堂练习
O
y
x
–1
–2
3
2.已知二次函数 y = ax2 + bx + c( a≠0 )的图象如图所示,则下列结论:
(1)a、b 同号;
(2)当 x = –1 和 x = 3 时,函数值相等;
(3)4a + b =0;
(4)当 y = –2 时,x 的值只能取 0;
其中正确的是 .
直线 x = 1
(2)
3.如图是二次函数 y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 )图象的一部分,x = -1 是对称轴,有下列判断:① b-2a=0;② 4a - 2b + c<0;③ a - b + c = -9a;④若 (-3,y1),( ,y2)是抛物线上两点,则y1>y2.其中正确的是( )
A.①②③   B.①③④ C.①②④  D.②③④
x
y
O
2
x = -1
B
4.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标:
直线 x = 3
直线 x = 8
直线 x = 1.25
直线 x = 0.5
课堂小结
顶点:
对称轴:
y = ax2+bx+c ( a ≠ 0 )
(一般式)
配方法
公式法
(顶点式)