沪科版九年级数学上册第21章二次函数与反比例函数21.2.3 二次函数表达式的确定课件

(共26张PPT)
1. 会用待定系数法求二次函数的表达式；(难点）
2. 会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.（重点）
学习目标
导入新课
复习引入
1. 一次函数 y = kx + b (k ≠ 0) 有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？
2. 求一次函数表达式的方法是什么？一般步骤有哪些？
2 个
2 个
待定系数法
(1) 设：表达式
(2) 代：坐标代入
(3) 解：方程（组）
(4) 还原：写表达式
一般式法求二次函数的表达式
一
探究归纳
问题1 （1）二次函数 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 中有几个待定系数？需要抛物线上的几个点的坐标才能求出系数？
3个
3个
（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象时所列表格的一部分：
x -3 -2 -1 0 1 2
y 0 1 0 -3 -8 -15
讲授新课
① 选取图象经过的三点 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式为 y = ax2 + bx + c，把 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3) 代入表达式，得
9a - 3b + c = 0，
a - b + c = 0，
c = -3，
解得
a = -1，
b = -4，
c = -3.
∴ 所求的二次函数的表达式为 y = -x2 - 4x - 3.
待定系数法
步骤:
1.设：表达式
2.代：坐标代入
3.解：方程(组)
4.还原：写解析式
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其一般步骤是：
① 设函数表达式为 y = ax2 + bx + c；
② 代入三点的坐标后得到一个三元一次方程组；
③ 解方程组得到 a，b，c 的值；
④ 把待定系数用求得的值换掉，写出函数表达式.
归纳总结
一般式法求二次函数表达式的方法
例1 一个二次函数的图象经过 (-1，10)，(1，4)，(2，7) 三点，求这个二次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式是 y = ax2 + bx + c，代入 (-1，10)，(1，4)，(2，7) 三点，可得
解这个方程组，得
∴ 所求的二次函数的表达式是 y = 2x2 - 3x + 5.
4a + 2b + c = 7，
a - b + c = 10，
a + b + c = 4，
c = 5.
a = 2，
b = -3，
例2 有一个二次函数，当 x = 0 时，y = -1；当 x = -2 时，y = 0；当 x = 时，y = 0，求这个二次函数的表达式.
则有
解：设所求的二次函数为 y = ax2 + bx + c，
解得
故所求的二次函数的表达式为
顶点法求二次函数的表达式
二
选取抛物线的顶点 (-2，1) 和经过的一点 (1，-8)，试求出这个抛物线所对应的二次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式为 y = a(x - h)2 + k，把顶点 (-2，1) 代入 y = a(x - h)2 + k，
得 y = a(x + 2)2 + 1，
再把点 (1，-8) 代入上式，
得 -8 = a(1 + 2)2 + 1，
解得 a = -1.
∴ 所求的二次函数的表达式为 y = -(x + 2)2 + 1，即 y = -x2 - 4x - 3.
归纳总结
顶点法求二次函数的方法
这种根据抛物线的顶点坐标求表达式的方法叫做顶点法. 其步骤是：
① 设函数表达式是 y = a(x + h)2 + k；
② 先代入顶点坐标，得到关于 a 的一元一次方程；
③ 将另一点的坐标代入原方程求出 a 的值；
④ 将 a 用数值换掉，写出函数表达式，然后化为一般式.
例2 一个二次函数的图象经点 (0，1)，它的顶点坐标为 (8，9)，求这个二次函数的表达式.
解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为 (8，9)，所以可设其表达式为 y = a(x - 8)2 + 9.
又因为它的图象经过点 (0，1)，
所以 1 = a(0 - 8)2 + 9，解得
故所求的二次函数的表达式是 y = (x - 8)2 + 9，即 y = x2 + 2x + 1.
解：∵ (-3，0)，(-1，0) 是抛物线与 x 轴的交点，
∴可设其表达式为
y = a(x + 3)(x + 1).
代入点 (0，-3)，得
a(0 + 3)(0 + 1) = -3，
解得 a = -1.
∴ 所求表达式为 y = -(x + 3)(x + 1)，即 y = -x2 - 4x - 3.
选取二次函数图象上的三点 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式.
交点法求二次函数的表达式
三
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
-2
-4
-3
1
归纳总结
交点法求二次函数表达式的方法
这种已知抛物线与 x 轴的交点坐标，求表达式的方法叫做交点法. 其一般步骤是：
① 设其表达式是 y = a(x - x1)(x - x2) (其中 x1，x2 分别是两交点的横坐标)；
② 将抛物线经过的第三点的坐标代入表达式，得到关于 a 的一元一次方程；
③ 解方程得出 a 值；
④ 写出表达式，并化为一般式.
想一想
确定二次函数的这三点应满足什么条件？
这三点不能在同一条直线上（其中两点的连线可垂直于 y 轴，但不可以垂直于 x 轴）.
求特殊二次函数的表达式
四
例3 已知二次函数 y = ax2 + c 的图象经过点 (2，3) 和 (-1，-3)，求这个二次函数的表达式．
解：∵ 该图象经过点 (2，3) 和 (-1，-3)，
∴ 这个二次函数的表达式为 y = 2x2 - 5.
a = 2，
c = -5.
解得
{
关于 y 轴对称
3 = 4a + c，
-3 = a + c，
{
∴
已知二次函数 y = ax2 + bx 的图象经过点 (-2，8) 和 (-1，5)，求这个二次函数的表达式．
解：∵ 该图象经过点 (-2，8) 和 (-1，5)，
做一做
图象经过原点
8 = 4a - 2b，
5 = a - b，
∴
{
解得 a = -1，b = -6.
∴ y = -x2 - 6x.
B
C
二次函数与一次函数的综合
五
解：如图所示.
例5 抛物线 与直线 交于 B，C 两点.
（1）在同一平面直角坐标系中
画出直线与抛物线；
解：由
（2）记抛物线的顶点为 A，求△ABC 的面积.
得顶点 A 的坐标为 (4，0)，
解方程组
得 B (2，2)，C (7，4.5).
B
C
A
B1
x
y
O
A
-1
-2
-3
-1
2
1
6
4
8
6
B
C
过 B，C 两点作 x 轴的垂线，垂足为 B1，C1.
C1
练一练 如图，函数 y = ax2 - 2x + 1 和 y = ax + a (a 是常数，且 a ≠ 0) 在同一平面直角坐标系的图象可能是( )
x
O
y
A
O
x
y
B
x
O
y
C
x
O
y
D
A
当堂练习
1. 如图，在平面直角坐标系中，该抛物线的表达式应是 .
注 y = ax2 与 y = ax2 + k，y = a(x + h)2，y = a(x + h)2 + k 一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.
注意
x
y
O
2
-2
-4
2
-2
4
2. 过点 (2，4)，且当 x = 1 时，y 有最值为 6，则其表达式是 .
y = -2x2 + 4x + 4
顶点坐标是 (1，6)
3. 已知二次函数的图象经过点 (－1，－5)，(0，－4)和 (1，1)，求这个二次函数的表达式．
解：设这个二次函数的表达式为 y＝ax2＋bx＋c.
依题意得
∴ 这个二次函数的表达式为 y＝2x2＋3x－4.
a＋b＋c＝1，
c＝－4，
a－b＋c＝－5，
解得
b＝3，
c＝－4.
a＝2，
4. 已知抛物线与 x 轴相交于点 A (－1，0)，B (1，0)，且过点 M (0，1)，求此抛物线的表达式．
解：由于点 A(－1，0)，B (1，0) 是抛物线与 x 轴的交点，故可设该抛物线的表达式为 y＝a(x＋1)(x－1).
又因为抛物线过点 M (0，1)，
所以 1＝a(0＋1)(0－1)，解得 a＝－1.
所以所求抛物线的表达式为 y＝－(x＋1)(x－1)，
即 y＝－x2＋1.
5. 如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c 过点 A (－4，－3)，与 y轴交于点 B，对称轴是 x＝－3，请解答下列问题：
(1) 求抛物线的表达式；
解：把点 A (－4，－3) 代入 y＝x2＋bx＋c
得 16－4b＋c＝－3，即 c＝4b－19.
∵ 对称轴是 x＝－3，∴ ＝－3.
∴ b＝6. ∴ c＝4b－19＝5.
∴ 该抛物线的表达式为 y＝x2＋6x＋5.
(2) 若与 x 轴平行的直线和抛物线交于 C，D 两点，点 C 在对称轴左侧，且 CD＝8，求△BCD 的面积．
解：∵ CD∥x 轴，∴ 点 C 与点 D 关于 x＝－3 对称.
∵ 点 C 在对称轴左侧，且CD＝8，
∴ 点 C 的横坐标为－7.
∴ 点 C 的纵坐标为 (－7)2＋6×(－7)＋5＝12.
易得点 B 的坐标为 (0，5)，
∴ △BCD 中 CD 边上的高为12－5＝7.
∴ △BCD 的面积为 ×8×7＝28.
课堂小结
①已知三点坐标
②已知顶点坐标或对称轴或最值
③已知抛物线与x 轴的两个交点
已知条件
所选方法
用一般式法：y = ax2 + bx + c
用顶点法：y = a(x - h)2 + k
用交点法：y = a(x - x1)(x - x2) (x1，x2 为交点的横坐标)
待定系数法
求二次函数解析式