沪科版九年级数学上册第21章二次函数与反比例函数21.3 二次函数与一元二次方程第2课时 二次函数与一元二次不等式课件

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名称 沪科版九年级数学上册第21章二次函数与反比例函数21.3 二次函数与一元二次方程第2课时 二次函数与一元二次不等式课件
格式 ppt
文件大小 649.5KB
资源类型 试卷
版本资源 沪科版
科目 数学
更新时间 2025-06-15 07:20:03

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文档简介

(共22张PPT)
1.通过探索,理解二次函数与一元二次不等式之间的
联系;(重点)
2.会用二次函数图象求一元二次不等式的解集.(重点)
学习目标
问题1:上节课学到的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根和二次函数 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的图象,它们存在着怎样的联系
导入新课
回顾与思考
问题2:一次函数与一元一次不等式有怎样的联系?那你可以猜测到二次函数与一元二次不等式的联系吗?
二次函数与一元二次不等式的关系

讲授新课
问题1 函数 y = ax2 + bx+ c 的图象如图,
那么方程 ax2 + bx + c = 0 的根是 ;
不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集是______________;
不等式 ax2 + bx + c < 0 的解集是___________.
3
-1
O
x
y
x1 = 1,x2 = 3
x < 1 或 x > 3
1 < x < 3
合作探究
拓广探索:
函数 y = ax2 + bx + c 的图象如图,
那么方程 ax2 + bx + c = 2 的根是______________;
不等式 ax2 + bx + c > 2 的解集是______________;
不等式 ax2 + bx + c < 2 的解集是____________.
O
x
2
(4,2)
( 2,2)
x1 = 2,x2 = 4
x < 2 或 x > 4
2 < x < 4
y
2
4
问题2:如果不等式 ax2 + bx + c>0 (a ≠ 0) 的解集是 x ≠ 2 的一切实数,那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有____ 个交点,坐标是 . 方程 ax2 + bx + c = 0 的根是 .
1
(2 ,0)
x1 = x2 = 2
2
O
x
y
问题3:(1) 如果方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 没有实数根,那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有_____个交点;
(2) 不等式 ax2 + bx + c<0 的解集是什么?
0
解:当 a>0 时,不等式 ax2 + bx + c<0 无解;
当 a<0 时,不等式 ax2 + bx + c<0 的解集是一切实数.
O
x
y
思考:
(1) m 取何值时,抛物线 y = x2 + (m + 8)x + m + 8 与 x 轴的两个交点关于原点对称?
(2) m 取何值时,抛物线 y = x2 + (m + 8)x + m + 8 与 x 轴的正半轴有两个交点?
(3) m 取何值时,抛物线 y = x2 + (m + 8)x + m + 8 与 x 轴的负半轴有两个交点?
(4) m 取何值时,抛物线 y = x2 + (m + 8)x + m + 8 与 x 轴的正负半轴都有交点?
(5) m 取何值时,抛物线 y = x2 + (m + 8)x + m + 8 过原点?
解:若抛物线 y = x2 + (m + 8)x + m + 8 与 x 轴有交点,
则 (m + 8)2 - 4(m + 8)≥0,∴ m≥-4 或 m≤-8.
设这两个交点为 x1,x2.
(1) 若抛物线与 x 轴的两个交点关于原点对称,
则 x1 + x2 = -(m + 8) = 0,
且 m>-4 或 m<-8.
∴ m 不存在.
(2) 若抛物线与 x 轴的正半轴有两个交点.
则 x1 + x2 = -(m + 8)>0 ,x1·x2 = m + 8>0,
且 m>-4 或 m<-8.
∴ m 不存在.
(3) 若抛物线与 x 轴的负半轴有两个交点.
则 x1 + x2 = -(m + 8)<0 ,x1·x2 = m + 8>0,
且 m>-4 或 m<-8.
∴ m>-4.
(4) 若抛物线与 x 轴的正负半轴都有交点,
则 x1·x2 = (m + 8)<0,
且 m>-4 或 m<-8.
∴ m>-4.
(5) 若抛物线经过原点,
则 m + 8 = 0,且 m≥-4 或 m≤-8.
∴ m = -8.
x
y
0
2
0
x
y
-1
2
x
y
0
y=-x2+x+2
试一试:利用函数图象解下列方程和不等式:
(1)①-x2+x+2=0;
②-x2+x+2>0;
③-x2+x+2<0.
(2)①x2-4x+4=0;
②x2-4x+4>0;
③x2-4x+4<0.
(3)①-x2+x-2=0;
②-x2+x-2>0;
③-x2+x-2<0.
y=x2-4x+4
y=-x2+x-2
①x1 = -1,x2 = 2
③x<-1或 x>2
①x1 = x2 = 2
② x ≠ 2
③ x 无解
①无解
②无解
③ x 为全体实数
②-1<x<2
二次函数
y = ax2+bx+c 的图象与 x 轴交点 a>0 时的解集 a<0 时的解集
有两个交点 (x1,0),
(x2,0) (x1<x2)
有一个交点 (x0,0)
没有交点
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴交点的坐标
与一元二次不等式的关系
y<0,x1<x<x2;
y>0,x2<x或x<x2.
y>0,x1<x<x2;
y<0,x2<x或x<x2.
y>0,x ≠ x0;
y<0,无解
y<0,x ≠ x0;
y>0,无解.
y>0,全体实数;y<0,无解
y<0,全体实数;y>0,无解.
利用两个函数图象求不等式的解集

例2 已知抛物线 (a>0) 与直线 相交于点 O (0 ,0) 和点 A (3 ,2),求不等式 的解集.
分析:根据题目提供的条件,无法确定抛物线的解析式.因此,我们可以换一个思路,利用函数的图象来判求不等式的解集.
解:根据题目提供的条件,画出草图:
x
y
O
3
2
由图可知,不等式
的解集为 或
.
方法归纳
已知函数 y1=x2 与函数 的图象大致如图,若 y1<y2,则自变量 x 的取值范围是( )
做一做
A.
C.
B. 或
D. 或
A
解析:先根据方程 求出图象交点的横坐标,然后再结合图象,得出答案.
1. (1) x 取何值时, 关于 x 的二次三项式 x2 - 3x + 2 的值为负数?
(2) a 是什么实数时,不等式 ax2 + ax - 1>0 无解?
当堂练习
解:(1) 1<x<2.
(2) 当 a = 0 时,不等式无解,符合题意;
当 a ≠ 0 时,Δ = a2 + 4a≤0,解得 -4≤a<0.
综上可知,-4≤a≤0.
2. 当 1<x<3 时,二次函数 y = x - (k + 1)x + k 的图象在 x 轴下方,求 k 的取值范围.
解:y = x - (k + 1)x + k = (x - k)(x - 1),与 x 轴交点坐标为 (1,0),(k,0).
由题意知,当 1<x<3 时, y<0,
所以 k≥3.
3.已知二次函数 的图象如图所示,利用图象回答问题:
(1) 方程 的解是什么?
(2) x 取什么值时,y>0?
(3) x 取什么值时,y<0?
x
y
O
2
4
8
解:(1) x1 = 2,x2 = 4.
(2) x<2 或 x>4.
(3) 2<x<4.
解:y1 = kx + 1 经过点 A(1,0),
则 0 = k + 1,解得 k = -1.
y2 = ax2 + bx - 2 经过点 A(1,0),
则 0 = a + b - 2 ①.
抛物线的对称轴是 ,故 ②,联立①②,解得
4. 如图,一次函数 y1= kx + 1 与二次函数 y2 = ax2 + bx - 2 交于 A、B 两点,且 A (1,0),抛物线的对称轴是
(1)求 k 和 a、b 的值;
x
y
A
O
B
(2) 求不等式 kx + 1>ax2 + bx - 2 的解集.
x
y
A
O
B
解:解方程 -x + 1 = x2 + x - 2,得 x1 = -6,x2 = 1.
∴ 点 B 的横坐标为 -6.
根据图象可以看出,
kx + 1>ax2 + bx - 2 的解集为
-6<x<1.
b2-4ac 的符号
二次函数
y = ax2+bx+c (a>0)
的图象
一元二次方程
ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) 的根
不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集
不等式 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
x2
x1
x
y
O
O
x1= x2
x
y
O
y
x
b2-4ac>0
b2-4ac=0
b2-4ac<0
x1,x2
x1 = x2 =
没有实数根
x<x1 或 x>x2
x ≠ x1
全体实数
x1<x<x2
无解
无解
课堂小结