沪科版九年级数学上册第21章二次函数与反比例函数21.3 二次函数与一元二次方程第2课时 二次函数与一元二次不等式课件

(共22张PPT)
1.通过探索，理解二次函数与一元二次不等式之间的
联系；(重点)
2.会用二次函数图象求一元二次不等式的解集.(重点)
学习目标
问题1：上节课学到的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根和二次函数 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的图象，它们存在着怎样的联系
导入新课
回顾与思考
问题2：一次函数与一元一次不等式有怎样的联系？那你可以猜测到二次函数与一元二次不等式的联系吗？
二次函数与一元二次不等式的关系
一
讲授新课
问题1 函数 y = ax2 + bx+ c 的图象如图，
那么方程 ax2 + bx + c = 0 的根是 ；
不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集是______________；
不等式 ax2 + bx + c < 0 的解集是___________.
3
-1
O
x
y
x1 = 1，x2 = 3
x < 1 或 x > 3
1 < x < 3
合作探究
拓广探索：
函数 y = ax2 + bx + c 的图象如图，
那么方程 ax2 + bx + c = 2 的根是______________；
不等式 ax2 + bx + c > 2 的解集是______________；
不等式 ax2 + bx + c < 2 的解集是____________.
O
x
2
(4，2)
( 2，2)
x1 = 2，x2 = 4
x < 2 或 x > 4
2 < x < 4
y
2
4
问题2：如果不等式 ax2 + bx + c＞0 (a ≠ 0) 的解集是 x ≠ 2 的一切实数，那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有____ 个交点，坐标是 . 方程 ax2 + bx + c = 0 的根是 .
1
(2 ，0)
x1 = x2 = 2
2
O
x
y
问题3：(1) 如果方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 没有实数根，那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有_____个交点；
(2) 不等式 ax2 + bx + c＜0 的解集是什么？
0
解：当 a＞0 时，不等式 ax2 + bx + c＜0 无解；
当 a＜0 时，不等式 ax2 + bx + c＜0 的解集是一切实数.
O
x
y
思考：
(1) m 取何值时，抛物线 y = x2 + (m + 8)x + m + 8 与 x 轴的两个交点关于原点对称？
(2) m 取何值时，抛物线 y = x2 + (m + 8)x + m + 8 与 x 轴的正半轴有两个交点？
(3) m 取何值时，抛物线 y = x2 + (m + 8)x + m + 8 与 x 轴的负半轴有两个交点？
(4) m 取何值时，抛物线 y = x2 + (m + 8)x + m + 8 与 x 轴的正负半轴都有交点？
(5) m 取何值时，抛物线 y = x2 + (m + 8)x + m + 8 过原点？
解：若抛物线 y = x2 + (m + 8)x + m + 8 与 x 轴有交点，
则 (m + 8)2 - 4(m + 8)≥0，∴ m≥-4 或 m≤-8.
设这两个交点为 x1，x2.
(1) 若抛物线与 x 轴的两个交点关于原点对称，
则 x1 + x2 = -(m + 8) = 0，
且 m＞-4 或 m＜-8.
∴ m 不存在.
(2) 若抛物线与 x 轴的正半轴有两个交点.
则 x1 + x2 = -(m + 8)＞0 ，x1·x2 = m + 8＞0，
且 m＞-4 或 m＜-8.
∴ m 不存在.
(3) 若抛物线与 x 轴的负半轴有两个交点.
则 x1 + x2 = -(m + 8)＜0 ，x1·x2 = m + 8＞0，
且 m＞-4 或 m＜-8.
∴ m＞-4.
(4) 若抛物线与 x 轴的正负半轴都有交点，
则 x1·x2 = (m + 8)＜0，
且 m＞-4 或 m＜-8.
∴ m＞-4.
(5) 若抛物线经过原点，
则 m + 8 = 0，且 m≥-4 或 m≤-8.
∴ m = -8.
x
y
0
2
0
x
y
-1
2
x
y
0
y=-x2+x+2
试一试：利用函数图象解下列方程和不等式：
(1)①-x2+x+2=0；
②-x2+x+2>0；
③-x2+x+2<0.
(2)①x2-4x+4=0；
②x2-4x+4>0；
③x2-4x+4<0.
(3)①-x2+x-2=0；
②-x2+x-2>0；
③-x2+x-2<0.
y=x2-4x+4
y=-x2+x-2
①x1 = -1，x2 = 2
③x＜-1或 x＞2
①x1 = x2 = 2
② x ≠ 2
③ x 无解
①无解
②无解
③ x 为全体实数
②-1＜x＜2
二次函数
y = ax2+bx+c 的图象与 x 轴交点 a＞0 时的解集 a＜0 时的解集
有两个交点 (x1,0),
(x2,0) (x1＜x2)
有一个交点 (x0，0)
没有交点
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴交点的坐标
与一元二次不等式的关系
y＜0，x1＜x＜x2；
y＞0，x2＜x或x＜x2.
y＞0，x1＜x＜x2；
y＜0，x2＜x或x＜x2.
y＞0，x ≠ x0；
y＜0，无解
y＜0，x ≠ x0；
y＞0，无解.
y＞0，全体实数；y＜0，无解
y＜0，全体实数；y＞0，无解.
利用两个函数图象求不等式的解集
二
例2 已知抛物线 (a＞0) 与直线 相交于点 O (0 ，0) 和点 A (3 ，2)，求不等式 的解集.
分析：根据题目提供的条件，无法确定抛物线的解析式.因此，我们可以换一个思路，利用函数的图象来判求不等式的解集.
解：根据题目提供的条件，画出草图：
x
y
O
3
2
由图可知，不等式
的解集为 或
.
方法归纳
已知函数 y1＝x2 与函数 的图象大致如图，若 y1＜y2，则自变量 x 的取值范围是( )
做一做
A.
C.
B. 或
D. 或
A
解析：先根据方程 求出图象交点的横坐标，然后再结合图象，得出答案.
1. (1) x 取何值时， 关于 x 的二次三项式 x2 - 3x + 2 的值为负数？
(2) a 是什么实数时，不等式 ax2 + ax - 1＞0 无解？
当堂练习
解：(1) 1＜x＜2.
(2) 当 a = 0 时，不等式无解，符合题意；
当 a ≠ 0 时，Δ = a2 + 4a≤0，解得 -4≤a＜0.
综上可知，-4≤a≤0.
2. 当 1＜x＜3 时，二次函数 y = x - (k + 1)x + k 的图象在 x 轴下方，求 k 的取值范围.
解：y = x - (k + 1)x + k = (x - k)(x - 1)，与 x 轴交点坐标为 (1，0)，(k，0).
由题意知，当 1＜x＜3 时， y＜0，
所以 k≥3.
3.已知二次函数 的图象如图所示，利用图象回答问题：
(1) 方程 的解是什么？
(2) x 取什么值时，y＞0？
(3) x 取什么值时，y＜0？
x
y
O
2
4
8
解：(1) x1 = 2，x2 = 4.
(2) x＜2 或 x＞4.
(3) 2＜x＜4.
解：y1 = kx + 1 经过点 A(1，0)，
则 0 = k + 1，解得 k = -1.
y2 = ax2 + bx - 2 经过点 A(1，0)，
则 0 = a + b - 2 ①.
抛物线的对称轴是 ，故 ②，联立①②，解得
4. 如图，一次函数 y1= kx + 1 与二次函数 y2 = ax2 + bx - 2 交于 A、B 两点，且 A (1，0)，抛物线的对称轴是
（1）求 k 和 a、b 的值；
x
y
A
O
B
(2) 求不等式 kx + 1＞ax2 + bx - 2 的解集.
x
y
A
O
B
解：解方程 -x + 1 = x2 + x - 2，得 x1 = -6，x2 = 1.
∴ 点 B 的横坐标为 -6.
根据图象可以看出，
kx + 1＞ax2 + bx - 2 的解集为
-6＜x＜1.
b2-4ac 的符号
二次函数
y = ax2+bx+c (a＞0)
的图象
一元二次方程
ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) 的根
不等式 ax2+bx+c＞0 (a＞0)的解集
不等式 ax2+bx+c＜0 (a＞0)的解集
x2
x1
x
y
O
O
x1= x2
x
y
O
y
x
b2-4ac＞0
b2-4ac＝0
b2-4ac＜0
x1，x2
x1 = x2 =
没有实数根
x＜x1 或 x＞x2
x ≠ x1
全体实数
x1＜x＜x2
无解
无解
课堂小结