沪科版九年级数学上册第21章二次函数与反比例函数21.4 二次函数的应用 第1课时 二次函数在面积最值中的应用课件

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名称 沪科版九年级数学上册第21章二次函数与反比例函数21.4 二次函数的应用 第1课时 二次函数在面积最值中的应用课件
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资源类型 试卷
版本资源 沪科版
科目 数学
更新时间 2025-06-15 07:19:30

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文档简介

(共30张PPT)
学习目标
1. 分析实际问题中变量之间的二次函数关系;(难点)
2. 会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值;
3. 能应用二次函数的性质解决图形面积最值问题.(重点)
导入新课
复习引入
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标,并写出其最值.
(1) y = x2 4x 5;(配方法) (2) y = x2 3x + 4.(公式法)
解:(1) 开口方向:向上; 对称轴:x = 2;
顶点坐标:(2, 9); 最小值: 9.
(2) 开口方向:向下; 对称轴:x = ;
顶点坐标:( , );最大值: .
求二次函数的最大(或最小)值

讲授新课
引例:从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度 h (单位:m) 与小球的运动时间 t (单位:s) 之间的关系式是 h = 30t - 5t2 (0≤t≤6).
小球的运动时间是多少时达到最高?
小球运动中的最大高度是多少?
t/s
h/m
O
1
2
3
4
5
6
20
40
h = 30t - 5t2
合作探究
问题1 二次函数 取最大值、最小值由什么决定?
x
y
O
x
y
O
最小值
最大值
二次函数 的最值由 a 的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围来决定.
问题2 当自变量 x 为全体实数时,二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值是什么?
当 a>0 时,有 ,此时 ;
当 a<0 时,有 ,此时 .
问题3 当自变量 x 限定范围时,二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值如何确定?
先判断 是否在限定范围内,若在,则二次函数在 x = 时取得一个最值,另一个最值则需考察限定范围的端点处来决定;若不在,则应根据二次函数的增减性来确定其最值.
小球运动的时间是 3s 时达到最高,最大高度是 45 m.
t/s
h/m
O
1
2
3
4
5
6
20
40
h = 30t 5t2(0≤t≤6)
试一试 根据探究得出的结论,解决引例的问题:
∵ 0≤3≤6,
例1 求下列函数的最大值与最小值:
x
O
y
解:
-3
1
(1)
∴ 当 时,
当 x = 1 时,
典例精析
解:
O
x
y
1
-3
(2)
而在对称轴的右侧,
∴ 当 x = -3 时,有
函数值 y 随着 x 的增大而减小,
当 x = 1 时,有
方法归纳
当自变量的范围有限制时,二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值可以根据以下步骤来确定:
① 配方,求二次函数的顶点坐标及对称轴;
② 画出函数图象的草图,标明对称轴及 x 的取值范围;
③ 判断,判断 x 的取值范围与对称轴的位置关系. 根据二次函数的性质,确定当 x 取何值时函数有最大或最小值. 然后根据 x 的值,求出函数的最值.
二次函数与几何图形面积的最值

典例精析
例2 用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地,矩形面积 S (m2) 随矩形一边长 l (m) 的变化而变化. 当 l 是多少米时,场地的面积 S 最大?
问题1 矩形面积公式是什么?
问题2 如何用 l 表示另一边长?
问题3 面积 S 的函数关系式是什么?
矩形面积 = 长×宽
另一边长为 (30 l) m
S = (30 l)l = l2+30l
问题4 当 l 是多少米时,场地的面积 S 最大?
解:根据题意得
S = l (30 - l)
= -l2 + 30l (0<l<30),
当 时,
有 S最大值 =
也就是说,当 l 是 15 m 时,场地的面积 S 最大.
5
10
15
20
25
30
100
200
l/m
S/m2
O
变式1 如图,用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长 32 m,这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?
x
x
60 - 2x
问题2 我们可以设面积为 S,如何设自变量?
问题3 面积 S 的函数关系式是什么?
问题1 变式 1 与例 2 有什么不同?
S=x(60-2x)=-2x2+60x=-2(x-15)2+450.
设垂直于墙的一边长为 x 米
篱笆长不等于周长 (少了一边)
问题4 如何求自变量 x 的取值范围?墙长 32 m 对此题有什么作用?
问题5 如何求面积 S 的最大值?
最大值在其图象顶点处,
即当 x = 15 m 时,有 S最大值 = 450 m2.
0<60-2x≤32,即 14≤x<30.
x
x
60 - 2x
变式2 如图,用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长 18 m,这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大?最大面积是多少?
x
问题1 变式 2 与变式 1 有什么异同?
问题2 可否模仿变式 1 设未知数、列函数关系式?
问题3 可否试设与墙平行的一边长为 x 米?则如何表示另一边长与面积?
答案:设矩形面积为 S m2,与墙平行的一边为 x 米,则
问题4 当 x = 30 时 S 取最大值吗?为什么?
问题5 如何求自变量的取值范围?
0 < x ≤18.
问题6 如何求面积最大值?
由于 30 >18,因此只能利用函数的增减性求其最值.当 x = 18 m 时,S 有最大值是 378 m2.
不是,未考虑 x 的实际范围.
实际问题中求解二次函数最值问题,不一定都取图象顶点处,要根据自变量的取值范围确定. 通过变式 1 与变式 2 的对比,希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系,以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际意义的最值.
方法总结
例3 某水产养殖户用长 40 m 的围网,在水库中围成一块矩形的水面,投放鱼苗. 要使围成的水面面积最大,则它的边长应是多少米?
解:设围成的矩形水面的一边长为 x m,则另一边为 (20 - x) m.
设其面积是 S m2,则 S = x(20 - x).
配方,得 S = -(x - 10)2 + 100 (0<x<20).
∴ 其顶点坐标为 (10,100).
其图象如右图所示.
∴ 当 x = 10 时,函数取得最大值,即 S最大值 = 100 m2.
此时,另一边长为 20 - 10 = 10 (m).
答:当围成的矩形水面边长都为 10 m 时,它的面积最大.
5
10
15
20
25
50
75
100
O
x
y
例4 用长为 6 米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框. 窗框的高与宽各为多少时,它的透光面积最大?最大透光面积是多少?(铝合金型材料宽度不计)
x
解:设矩形窗框的宽为 x m,
则高为 m. 由于
又 x>0,故 0<x<2.
则矩形窗框的透光面积 y (m2) 与 x 之间的函数关系式是

配方得
所以,当 x = 1 时,函数取得最大值,y最大值 = 1.5.
这时,
因此,所做矩形窗框的高为 1.5 m、宽为 1 m 时,它的透光面积最大,最大透光面积是 1.5 m2.
知识要点
二次函数解决几何面积最值问题的方法
1. 求出函数解析式和自变量的取值范围;
2. 当自变量的范围没有限制时,可直接利用公式
求函数最值;
3. 当自变量的范围有所限制时,可先配成顶点式,
然后画出函数图象的草图,再结合图象和自变
量的范围求函数最值.
1. 用一段长为 15 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长为 18 m,则这个矩形菜园的最大面积是________.
当堂练习
2. 如图,在 △ABC 中,∠B = 90°,AB = 12 cm,BC = 24 cm,动点 P 从点 A 开始沿 AB 向 B 以 2 cm/s 的速度移动 (不与点 B 重合),动点 Q 从点 B 开始沿 BC 向 C 以 4 cm/s 的速度移动 (不与点 C 重合). 如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发,那么经过 秒,四边形 APQC 的面积最小.
3
A
B
C
P
Q
解:设一直角边长为 x,则另一直角边长为 (8 - x),
依题意得
3. 已知直角三角形的两直角边之和为 8,两直角边长分别为多少时,此三角形的面积最大?最大面积是多少?
当 x = 4 时,S最大值 = 8.
此时 8 - x = 4.
∴ 当两直角边长都为 4 时,此三角形的面积最大,
最大面积为 8.
4. 某小区在一块一边靠墙 (墙长 25 m) 的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD,绿化带一边靠墙, 另三边用总长为 40 m 的栅栏围住.设绿化带的边长 BC 为 x m,绿化带的面积为 y m2.
(1) 求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
解:∵ BC = x m,
∴ AB =
∴ y =
(2) 当 x 为何值时,满足条件的绿化带的面积最大?
∵ 0<x≤25,
∴ 当 x = 20 时,绿化带的面积取得最大值,最大值为 200 m2.
5. 某广告公司设计一幅周长为 12 m 的矩形广告牌,广告设计费用每平方米 1000 元,设矩形的一边长为 x (m),面积为 S (m2).
(1) 写出 S 与 x 之间的关系式,并写出自变量 x 的取值范围;
解:设矩形一边长为 x m,则另一边长为 (6 - x) m.
∴ S = x(6 - x) = -x2 + 6x,其中 0<x<6.
解:S = -x2 + 6x = -(x - 3)2 + 9.
∴ 当 x = 3,即矩形的一边长为 3 m 时,矩形的面积最大,为 9 m2.
这时设计费最多,为 9×1000 = 9000(元).
(2) 请你设计一个方案,使获得的设计费最多,并求出这个费用.
几何面积最值问题
一个关键
一个注意
建立函数关系式
常见几何图形的面积公式
依 据
最值有时不在顶点处,要根据自变量的范围,利用函数的增减性来确定
课堂小结