沪科版九年级数学上册第21章二次函数与反比例函数21.4 二次函数的应用 第1课时 二次函数在面积最值中的应用课件

(共30张PPT)
学习目标
1. 分析实际问题中变量之间的二次函数关系；（难点）
2. 会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值；
3. 能应用二次函数的性质解决图形面积最值问题.（重点）
导入新课
复习引入
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值.
(1) y = x2 4x 5；(配方法) (2) y = x2 3x + 4.(公式法)
解：(1) 开口方向：向上； 对称轴：x = 2；
顶点坐标：(2， 9)； 最小值： 9.
(2) 开口方向：向下； 对称轴：x = ；
顶点坐标：( ， )；最大值： .
求二次函数的最大（或最小）值
一
讲授新课
引例：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h (单位：m) 与小球的运动时间 t (单位：s) 之间的关系式是 h = 30t - 5t2 (0≤t≤6)．
小球的运动时间是多少时达到最高？
小球运动中的最大高度是多少？
t/s
h/m
O
1
2
3
4
5
6
20
40
h = 30t - 5t2
合作探究
问题1 二次函数 取最大值、最小值由什么决定？
x
y
O
x
y
O
最小值
最大值
二次函数 的最值由 a 的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围来决定.
问题2 当自变量 x 为全体实数时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值是什么？
当 a＞0 时，有 ，此时 ；
当 a＜0 时，有 ，此时 .
问题3 当自变量 x 限定范围时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值如何确定？
先判断 是否在限定范围内，若在，则二次函数在 x = 时取得一个最值，另一个最值则需考察限定范围的端点处来决定；若不在，则应根据二次函数的增减性来确定其最值.
小球运动的时间是 3s 时达到最高，最大高度是 45 m．
t/s
h/m
O
1
2
3
4
5
6
20
40
h = 30t 5t2(0≤t≤6)
试一试 根据探究得出的结论，解决引例的问题：
∵ 0≤3≤6，
例1 求下列函数的最大值与最小值：
x
O
y
解：
-3
1
(1)
∴ 当 时，
当 x = 1 时，
典例精析
解：
O
x
y
1
-3
(2)
而在对称轴的右侧，
∴ 当 x = -3 时，有
函数值 y 随着 x 的增大而减小，
当 x = 1 时，有
方法归纳
当自变量的范围有限制时，二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值可以根据以下步骤来确定：
① 配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴；
② 画出函数图象的草图，标明对称轴及 x 的取值范围；
③ 判断，判断 x 的取值范围与对称轴的位置关系. 根据二次函数的性质，确定当 x 取何值时函数有最大或最小值. 然后根据 x 的值，求出函数的最值.
二次函数与几何图形面积的最值
二
典例精析
例2 用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S (m2) 随矩形一边长 l (m) 的变化而变化. 当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？
问题1 矩形面积公式是什么？
问题2 如何用 l 表示另一边长？
问题3 面积 S 的函数关系式是什么？
矩形面积 = 长×宽
另一边长为 (30 l) m
S = (30 l)l = l2+30l
问题4 当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？
解：根据题意得
S = l (30 - l)
= -l2 + 30l (0＜l＜30)，
当 时，
有 S最大值 =
也就是说，当 l 是 15 m 时，场地的面积 S 最大.
5
10
15
20
25
30
100
200
l/m
S/m2
O
变式1 如图，用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 32 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
x
x
60 - 2x
问题2 我们可以设面积为 S，如何设自变量？
问题3 面积 S 的函数关系式是什么？
问题1 变式 1 与例 2 有什么不同？
S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x＝－2(x－15)2＋450.
设垂直于墙的一边长为 x 米
篱笆长不等于周长 (少了一边)
问题4 如何求自变量 x 的取值范围？墙长 32 m 对此题有什么作用？
问题5 如何求面积 S 的最大值？
最大值在其图象顶点处，
即当 x = 15 m 时，有 S最大值 = 450 m2.
0＜60－2x≤32，即 14≤x＜30.
x
x
60 - 2x
变式2 如图，用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
x
问题1 变式 2 与变式 1 有什么异同？
问题2 可否模仿变式 1 设未知数、列函数关系式？
问题3 可否试设与墙平行的一边长为 x 米？则如何表示另一边长与面积？
答案：设矩形面积为 S m2，与墙平行的一边为 x 米，则
问题4 当 x = 30 时 S 取最大值吗？为什么？
问题5 如何求自变量的取值范围？
0 ＜ x ≤18.
问题6 如何求面积最大值？
由于 30 ＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当 x = 18 m 时，S 有最大值是 378 m2.
不是，未考虑 x 的实际范围.
实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围确定. 通过变式 1 与变式 2 的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际意义的最值.
方法总结
例3 某水产养殖户用长 40 m 的围网，在水库中围成一块矩形的水面，投放鱼苗. 要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？
解：设围成的矩形水面的一边长为 x m，则另一边为 (20 - x) m.
设其面积是 S m2，则 S = x(20 - x).
配方，得 S = -(x - 10)2 + 100 (0＜x＜20).
∴ 其顶点坐标为 (10，100).
其图象如右图所示.
∴ 当 x = 10 时，函数取得最大值，即 S最大值 = 100 m2.
此时，另一边长为 20 - 10 = 10 (m).
答：当围成的矩形水面边长都为 10 m 时，它的面积最大.
5
10
15
20
25
50
75
100
O
x
y
例4 用长为 6 米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框. 窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材料宽度不计）
x
解：设矩形窗框的宽为 x m，
则高为 m. 由于
又 x＞0，故 0＜x＜2.
则矩形窗框的透光面积 y (m2) 与 x 之间的函数关系式是
即
配方得
所以，当 x = 1 时，函数取得最大值，y最大值 = 1.5.
这时，
因此，所做矩形窗框的高为 1.5 m、宽为 1 m 时，它的透光面积最大，最大透光面积是 1.5 m2.
知识要点
二次函数解决几何面积最值问题的方法
1. 求出函数解析式和自变量的取值范围；
2. 当自变量的范围没有限制时，可直接利用公式
求函数最值；
3. 当自变量的范围有所限制时，可先配成顶点式，
然后画出函数图象的草图，再结合图象和自变
量的范围求函数最值.
1. 用一段长为 15 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为 18 m，则这个矩形菜园的最大面积是________.
当堂练习
2. 如图，在 △ABC 中，∠B = 90°，AB = 12 cm，BC = 24 cm，动点 P 从点 A 开始沿 AB 向 B 以 2 cm/s 的速度移动 (不与点 B 重合)，动点 Q 从点 B 开始沿 BC 向 C 以 4 cm/s 的速度移动 (不与点 C 重合). 如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，那么经过 秒，四边形 APQC 的面积最小.
3
A
B
C
P
Q
解：设一直角边长为 x，则另一直角边长为 (8 - x)，
依题意得
3. 已知直角三角形的两直角边之和为 8，两直角边长分别为多少时，此三角形的面积最大？最大面积是多少？
当 x = 4 时，S最大值 = 8.
此时 8 - x = 4.
∴ 当两直角边长都为 4 时，此三角形的面积最大，
最大面积为 8.
4. 某小区在一块一边靠墙 (墙长 25 m) 的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为 40 m 的栅栏围住．设绿化带的边长 BC 为 x m，绿化带的面积为 y m2．
(1) 求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
解：∵ BC = x m，
∴ AB =
∴ y =
(2) 当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
∵ 0＜x≤25，
∴ 当 x = 20 时，绿化带的面积取得最大值，最大值为 200 m2.
5. 某广告公司设计一幅周长为 12 m 的矩形广告牌，广告设计费用每平方米 1000 元，设矩形的一边长为 x (m)，面积为 S (m2).
(1) 写出 S 与 x 之间的关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
解：设矩形一边长为 x m，则另一边长为 (6 - x) m.
∴ S = x(6 - x) = -x2 + 6x，其中 0＜x＜6.
解：S = -x2 + 6x = -(x - 3)2 + 9.
∴ 当 x = 3，即矩形的一边长为 3 m 时，矩形的面积最大，为 9 m2.
这时设计费最多，为 9×1000 = 9000（元）.
(2) 请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.
几何面积最值问题
一个关键
一个注意
建立函数关系式
常见几何图形的面积公式
依 据
最值有时不在顶点处，要根据自变量的范围，利用函数的增减性来确定
课堂小结