沪科版九年级数学上册第21章二次函数与反比例函数21.3 二次函数与一元二次方程课件

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知识点
二次函数与一元二次方程之间的关系
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1. 二次函数图象与 x 轴的交点横坐标与一元二次方程根的关系一般地，从二次函数 y=ax2+bx+c 的图象可知：如果抛物线y=ax2+bx+c 与 x 轴有交点，交点的横坐标是 x0，那么当 x=x0时，函数值是 0，因此 x=x0 是方程 ax2+bx+c=0 的一个根 .
2. 二次函数与一元二次方程的联系与区别
一元二次方程 ax2+bx+c=0 与二次函数y=ax2+bx+c 之间的内在联系列表如下：
b2－4ac 的符号 b2－4ac>0 b2－4ac=0 b2－4ac<0
一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况 有两个不等实根 x1= x2= 没有实根
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象 a>0
a<0
抛物线与 x 轴的交点 ( x1，0)，( x2，0) 没有
交点
拓宽视野
1. 已 知 二 次 函数 y=ax2+bx+c， 求当 y=m 时自变量 x 的值， 可 以 解 一 元 二次 方 程 ax2+bx+c=m；反之，解一元二次方程 ax2+bx+c=m 可 以 看成 是 已 知y=ax2+bx+c的函数值 y=m，求自变 量 x 的 值 . 方 程ax2+bx+c=m 的解是抛物线 y=ax2+bx+c 与 直 线y=m 的交点的横坐标 .
2. 二 次 函 数y=ax2+bx+c 与一元二次方程 ax2+bx+c=0 的关系密切，二者可以相互转化 .
例 1
[ 中考·乐山 ] 已知关于 x 的一元二次方程 x2+x-m=0．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围；
解题秘方：由 Δ 即可列不等式得到答案；
(2)二次函数 y=x2+x－m 的部分图象如图21.3-1 所示，求一元二次方程 x2+x－m=0 的解．
解题秘方：根据抛物线的对称性可得抛物线与 x 轴的另一个交点，即可得到答案．
知识点
二次函数图象法求解一元二次方程
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利 用 二 次 函 数 y=ax2+bx+c 的 图 象 与 x 轴 的 交 点 求 一 元 二 次 方 程ax2+bx+c=0 的解
(1)作出二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，确定图象与 x 轴的交点的横坐标；
(2)函数图象与 x 轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0 的解；
(3)当函数图象与 x 轴的交点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小解所在的范围估计一元二次方程的解 .
方法提醒
估计一元二次方程的解的方法：
在难以读出交点的坐标时，我们可以通过不断缩小解所在范围估计一元二次方程的解 .
2. 利用二次函数 y=ax2 的图象与直线 y= － bx － c 的交点求方程 ax2+bx+c=0的解
(1)将一元二次方程 ax2+bx+c=0 化为 ax2= － bx － c 的形式；
(2)在 平 面 直 角 坐 标 系 中 画 出 抛 物 线 y=ax2 和 直 线 y=-bx-c，并确定抛物线与直线的交点的横坐标；
(3)交点的横坐标即为一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解 .
例2
利用二次函数的图象求一元二次方程 －x2+2x－3=－8的近似解(结果精确到 0.1) .
解题秘方：画出二次函数 y=－x2+2x+5 的图象， 利用二次函数的图象求方程的近似解 .
解题通法
用图象法求一元二次方程的近似解：
用图象法求一元二次方程的近似解时，一般先作出相应的二次函数的图象，确定其图象与 x 轴交点的横坐标的大致范围，即一元二次方程的解的大致范围；
然后利用取平均数的方法缩小解所在的范围，通过反复计算求出满足精确度要求的近似解 .
解：整理方程，得 －x2+2x+5=0.
作函数 y=－x2+2x+5 的图象如图 21.3-2 所示 .
由图象可知，抛物线与 x 轴交点的横坐标分别在 －2 和
－1，3 和 4 之间，即方程 －x2+2x－3=－8 的两个实数解分别在－2 和 －1，3 和 4 之间，用取平均数
的方法不断缩小解的取值范围，从而确定方程
的近似解 .
由图象可知，当 x=3 时， y>0；当 x=4 时， y<0，
取 3 和 4 的平均数 3.5，当 x=3.5 时， y=－0.25，
与 x=3时的函数值异号，所以方程的这个解在 3 和 3.5 之间 .
取 3 和 3.5 的平均数 3.25，当 x=3.25 时， y=0.937 5，与x=3.5 时的函数值异号，所以方程的这个解在 3.25 和 3.5 之间 .
取 3.25 和 3.5 的 平 均 数 3.375， 当 x=3.375 时， y=
0.359 375，与 x=3.5 时的函数值异号，所以方程的这个解在3.375 和 3.5 之间 .
由此方法可得到原方程的一个近似解为 3.4.
用同样的方法可得到原方程的另一个近似解为 －1.4.
所以方程 －x2+2x－3=－8 的解为 x1 ≈ －1.4， x2 ≈ 3.4.
特别提醒
用图象法解一元二次方程是数形结合思想的具体应用，通过画函数图象解一元二次方程是数的直观化的体现，但由于作图或观察存在误差，因此通过这种方法求得的方程的解一般是近似的 .
知识点
二次函数与一元二次不等式之间的关系
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求 不 等 式 ax2+bx+c>0(a ≠ 0) 的 解 集， 就 是 求 x 为何 值 时， 二 次 函 数 y=ax2+bx+c 的 函 数 值 y>0； 求 不 等 式ax2+bx+c<0( a ≠ 0)的解集，就是求 x 为何值时，二次函数y=ax2+bx+c 的函数值 y<0. 列表如下：(以 a>0 为例)
b2－4ac 的符号 b2－4ac>0 b2－4ac=0 b2－4ac<0
y=ax2+bx+c(a>0) 的图象与 x 轴的交 点个数
ax2+bx+c=0 (a>0)的根 两不等实数根 x1= x2= 没有实数根
一元二次不等式的解集 ax2+bx+c＞0(a>0) xx2 全体实数
ax2+bx+c ＞0(a>0) x1深度理解
二次函数与一元二次不等式的关系：
二 次 函 数y=ax2+bx+c 的 图 象 在 x轴 上 方 的 部 分 对 应 的自 变 量 取 值 范 围 就 是ax2+bx+c ＞ 0 的 解 集，在 x 轴下方的部分对应的自变量取值范围就是ax2+bx+c ＜ 0 的解集 .
当抛物线开口向上且与x轴无交点时，ax2+bx+c＞0 的解集是全体实数，ax2+bx+c＜0无解；当抛物线开口向下且 与 x 轴 无 交 点 时，ax2+bx+c ＞ 0 无 解，ax2+bx+c ＜ 0 的解集是全体实数 .
例 3
[ 期 末· 高 邮 ] 二 次 函 数 y=ax2+bx+c 的 图 象 如 图
21.3-3 所示，根据图象解答下列问题：
(1)方程 ax2+bx+c=0 的两个根为 ________，不等式
ax2+bx+c ＞ 0 的解集为 _______；
解题秘方：根据抛物线与 x 轴的交点即可得出方程与不等式的解或解集；
特别提醒
根据二次函数与一元二次不等式之间的关系，结合题目中的图象即可求解.
解：∵抛物线开口向下，抛物线与 x 轴的交点为
(1，0)，(3，0)，
∴方程 ax2+bx+c=0 的两个根为 x1=1， x2=3；
不等式 ax2+bx+c ＞ 0 的解集为 1 ＜ x ＜ 3.
答案： x1=1， x2=3；1 ＜ x ＜ 3
(2)若关于 x 的一元二次方程ax2+bx+c=k 有两个不相等的实数根，则 k的取值范围为 _________；
解题秘方：结合函数图象，利用直线 y=k 与抛物线有 2 个交点得到 k 的取值范围；
解：∵抛物线的顶点的纵坐标为 2，
∴抛物线 y=ax2+bx+c=0 与直线 y=2 只有一个公共点，∴当 k ＜ 2 时，抛物线 y=ax2+bx+c=0 与直线 y=k 有两个公共点，即方程 ax2+bx+c=k 有两个不相等的实数根，满足条件的 k 的取值范围为 k ＜ 2.
答案： k ＜ 2
(3)若关于 x 的一元二次方程ax2+bx+c－t=0 在 1 ＜ x ＜ 4 的范围内有实数根，求 t 的取值范围．
解题秘方：根据待定系数法求得抛物线的表达式，结合函数图象，写出 t 的取值范围．
解：设抛物线的表达式为 y=a(x－2) 2+2，
把点(1，0)的坐标代入得，0=a+2，
∴ a=－2，∴ y=－2( x－2) 2+2，
把 x=4 代入得 y=－6，∴ t 的取值范围是 －6 ＜ t ≤ 2．
二次函数与一元二次方程
有两个交点
有两个不相
等的实数根
有一个交点
二次函数图象与
x 轴的交点个数
二次函数与一
元二次方程之
间的关系
有两个相等
的实数根
没有实数根
没有交点
一元二次方
程根的情况