沪科版九年级数学上册第21章二次函数与反比例函数21.1 二次函数(2)课件

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名称 沪科版九年级数学上册第21章二次函数与反比例函数21.1 二次函数(2)课件
格式 ppt
文件大小 2.4MB
资源类型 试卷
版本资源 沪科版
科目 数学
更新时间 2025-06-15 07:24:35

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文档简介

(共27张PPT)
学习目标
1. 理解掌握二次函数的概念和一般形式;(重点)
2. 会利用二次函数的概念解决问题;
3. 会列二次函数表达式解决实际问题.(难点)
雨后天空的彩虹,公园里的喷泉,跳绳等都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示?
导入新课
情境引入
1. 什么叫函数
一般地,在一个变化的过程中,如果有两个变量 x 与 y,并且对于 x 的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说 x 是自变量,y 是 x 的函数.
3. 一元二次方程的一般形式是什么?
形如 y = kx + b (k,b 是常数,k ≠ 0) 的函数叫做一次函数. 当 b = 0 时,一次函数 y = kx 就叫做正比例函数.
2. 什么是一次函数?正比例函数?
ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ).
问题1 正方体六个面是全等的正方形,设正方体的棱长为 x,表面积为 y,则 y 关于 x 的关系式为 .
y = 6x2
此式表示了正方体表面积 y 与正方体棱长 x 之间的关系,对于 x 的每一个值,y 都有唯一的一个对应值,即 y 是 x 的函数.
讲授新课
二次函数的定义

探究归纳
问题2 某水产养殖户用长 40 m 的围网,在水库中围一块矩形的水面,投放鱼苗. 要使围成的水面面积最大,则它的边长应是多少米?
设围成的矩形水面的一边长为 x m,那么,矩形水面的另一边长应为 (20 - x) m. 若它的面积是 S m2,则有
此式表示了边长 x 与围网的面积 S 之间的关系,对于 x 的每一个值,S 都有唯一的一个对应值,即 S 是 x 的函数.
问题3 有一玩具厂,如果安排装配工 15 人,那么每人每天可装配玩具 190 个;如果增加人数,那么每增加 1 人,可使每人每天少装配玩具 10 个. 问增加多少人才能使每天装配的玩具总数最多?最多为多少?
设增加 x 人,这时,则共有 个装配工,每人每天可少装配 个玩具,因此,每人每天只装配
个玩具.所以,增加人数后,每天装配的玩具总数 y 可表示为 y =__________________.
(15 + x)
(190 - 10x)
整理为:
y = -10x2 + 40x + 2850.
(190 - 10x)(15 + x)
10x
y = -10x2 + 40x + 2850
此式表示了每天装配的玩具总数 y 与增加 x 人之间的关系,对于 x 的每一个值,y 都有唯一的一个对应值,即 y 是 x 的函数.
y = 6x2
y = -10x2 + 40x + 2850
问题 1~3 中的函数关系式有什么共同点
想一想
函数都是用
自变量的二次整式表示的
二次函数的定义:
一般地,表达式形如 y = ax + bx + c (a,b,c 是常数,且 a ≠ 0) 的函数叫做 x 的二次函数. 其中 x 是自变量,a,b,c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项.
温馨提示:
(1)等号左边是变量 y,右边是关于自变量 x 的整式;
(2)a,b,c 为常数,且 a ≠ 0;
(3)等式右边的自变量最高次数为 2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.
归纳总结
例1 下列函数中哪些是二次函数?为什么?(x 是自变量)
① y = ax2 + bx + c; ② y = 3 - 2x ; ③ y = x2;
④ ; ⑤ y = x + x + 25; ⑥ y = (x+3) - x .
不一定是,缺少 a ≠ 0 的条件.
不是,右边是分式.
不是,x 的最高次数是 3.
典例精析
y = 6x + 9
判断一个函数是不是二次函数,先看原函数和整理化简后的形式再作判断. 另外,二次函数除了有一般形式 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 外,还有其特殊形式,如 y = ax2,y = ax2 + bx,y = ax2 + c 等.
方法归纳
想一想: 二次函数的一般式 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 与一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 有什么联系和区别?
联系:(1) 等式一边都是 ax2+bx+c,且 a ≠ 0;
(2) 方程 ax2+bx+c=0 可以看成是二次函数 y = ax2+bx+c 中当 y=0 时的情况.
区别:前者是函数,后者是方程;
前者等式另一边是 y,后者是 0.
二次函数定义的应用

解:
(1)由题意知
解得
(2)由题意知
解得 m = 3.
第 (2) 问易忽略二次项系数不为 0 这一限制条件,从而得出 m = ±3 的错误答案,需要引起重视.
注意
例2
(1) 当 m 取何值时,此函数是
正比例函数?(2) 当 m 取何值时,此函数是二次函数?
1. 已知 ,k 取何值时,y 是 x 的二次函数?
解:当 | k | = 2 且 k - 2 ≠ 0,即 k = -2 时,y 是 x 的二次函数.
变式训练
解:
由题意得
所以 m ≠ ±3.
解:
由题意得
【解题小结】本题考查二次函数的概念,这类题需紧扣概念的特征进行解题.
例3 某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次,第 1 档次 (最低档次) 产品一天能生产 95 件,每件利润 6 元.每提高一个档次,每件利润增加 2 元,但一天产量减少 5 件.
(1) 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元 (其中 x 为正整数,且 1≤x≤10),求出 y 关于 x 的函数关系式;
解:依题意知生产第 x 档次的产品,提高了(x-1)档,利润增加了 2(x-1) 元.
则有 y=[6+2(x-1)][95-5(x-1)].
即 y=-10x2+180x+400 (其中 x 是正整数,且1≤x≤10).
(2) 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 1120 元,求该产品的质量档次.
解:由题意可得 -10x2+180x+400=1120,
整理得 x2-18x+72=0,
解得 x1=12 (舍去),x2=6.
所以,该产品的质量档次为第 6 档.
【方法总结】解决此类问题的关键是要吃透题意,确定变量,建立函数模型.
思考:
1. 已知二次函数 y=-10x2+180x+400,自变量 x 的取值范围是什么?
2. 在例 3 中,所得出 y 关于 x 的函数关系式 y=-10x2+180x+400,其自变量 x 的取值范围与 1 中相同吗?
【总结】二次函数自变量的取值范围一般是全体实数,但是在实际问题中,自变量的取值范围还应符合实际情况,使实际问题有意义.
二次函数的值

例4 已知二次函数 (k 为常数).
(1)求 k 的值;
(2)当 x = 0.5 时,y 的值是多少?
解:
(1)由题意,得
解得 k = 2.
将 x = 0.5 代入函数关系式,得
(2)当 k = 2 时,
此类型题目考查二次函数的概念,要抓住二次项系数不为 0 及自变量最高次数为 2 这两个关键条件,求出字母参数的值,得到函数解析式,再将 x 的值代入其中,求出对应的 y 的值.
归纳总结
当堂练习
2. 函数 y = (m - n)x2 + mx + n 是二次函数的条件是( )
A. m,n 是常数,且 m ≠ 0 B. m,n 是常数,且 n ≠ 0
C. m,n 是常数,且 m ≠ n D. m,n 为任何实数
C
1. 把二次函数 y = (2 - 3x)(6 + x) 化为一般式,二次项为_____,一次项系数为_____,常数项为 .
-3x2
-16
12
4. 已知函数 y = 3x2m-1-5.
① 当 m =__时,y 是 x 的一次函数;
② 当 m =__时,y 是 x 的二次函数.
1
3.下列函数是二次函数的是 ( )
A.y = 2x+1 B.
C.y = 3x2+1 D.
C
5. 若函数 是二次函数,求:
(1)a 的值;
(2)函数表达式;
(3)当 x = -2 时,y 的值是多少?
解:
(1)由题意,得
解得 a = -1.
(2)函数表达式为
(3)将 x = -2 代入函数关系式中,得
6. 写出下列各函数关系式,并判断它们的函数类型.
(1)正方体的表面积 S (cm2) 与正方体棱长 a (cm) 之间的函数关系;
(2)圆的面积 y (cm2) 与它的周长 x (cm) 之间的函数关系;
(3)菱形的两条对角线的和为 26 cm,求菱形的面积 S (cm2) 与一对角线长 x (cm) 之间的函数关系.
二次函数
二次函数
二次函数
7. 某商店销售一种成本为每千克 40 元的商品,根据市场分析,若按每千克 50 元销售,一个月能售出 500 kg,销售单价每涨 1 元,月销售量就减少 10 kg,针对这种商品的销售情况,请解答下列问题:
(1)当销售单价为每千克 55 元时,计算月销售量和销售利润分别为多少;
(2)设销售单价为每千克 x 元,月销售利润为 y 元,求 y 与 x 的函数关系式(不必写出自变量 x 的取值范围).
450 kg,6750 元
8. 矩形的周长为 16 cm,它的一边长为 x cm,面积为 y cm2. 求:
(1)y 与 x 之间的函数关系式及自变量 x 的取值范围;
(2)当 x = 3 时矩形的面积.
解:(1) y=(8-x)x=-x2+8x (0<x<8).
(2) 当 x=3 时,y=-32+8×3=15,
即矩形的面积为 15 cm2.
课堂小结
二次函数
定 义
y = ax2 + bx + c (a ≠ 0, a, b, c 是常数)
一般形式
右边是整式;
自变量的最高指数是 2;
二次项系数 a ≠ 0.
特殊形式
y = ax2;
y = ax2 + bx;
y = ax2 + c.
(a ≠ 0,a,b,c 是常数)