沪科版九年级数学上册第21章二次函数与反比例函数21.5 反比例函数第2课时 反比例函数的图象和性质课件

文档属性

名称 沪科版九年级数学上册第21章二次函数与反比例函数21.5 反比例函数第2课时 反比例函数的图象和性质课件
格式 ppt
文件大小 1.4MB
资源类型 试卷
版本资源 沪科版
科目 数学
更新时间 2025-06-15 07:24:07

图片预览

文档简介

(共44张PPT)
学习目标
1. 经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的
图象特征和性质的过程; (重点、难点)
2. 会画反比例函数的图象,了解和掌握反比例函数的
图象和性质; (重点)
3. 能够初步应用反比例函数的图象和性质解决问题.
(重点、难点)
导入新课
我们已经学习过的函数有哪些?你还记得画这些函数图象时的方法吗?
复习引入
写出一个反比例函数,你能画出它的图象吗?
反比例函数的图象和性质

讲授新课
合作探究
例1 画反比例函数 与 的图象.
提示:画函数的图象步骤一般为:
列表→描点→连线.
需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0.
解:列表如下:
x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …
… …
… …
-1
-1.2
-1.5
-2
-3
-6
6
3
2
1.5
1.2
1
-2
-2.4
-3
-4
-6
6
4
3
2.4
2
-12
12
描点:以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系内描绘出相应的点.
连线:用平滑的曲线顺次连接各点,即可得函数  与 的图象.
观察这两个函数图象,回答下列问题:
思考:
(1) 每个函数图象分别位于哪些象限?
(2) 在每一个象限内,随着 x 的增大,y 如何变化?
你能由它们的解析式说明原因吗?
(3) 对于反比例函数 (k>0),
考虑问题 (1)(2),你能得出同
样的结论吗?
●由两条曲线组成,且分别位于第一、三象限
它们与 x 轴、y 轴都不相交;
●在每个象限内,y 随 x 的增大而减小.
反比例函数 (k>0) 的图象和性质:
知识要点
1. 反比例函数 的图象大致是 ( )
C
A.
x
y
o
D.
x
y
o
C.
x
y
o
y
B.
x
o
练一练
2. 已知反比例函数 的图象过点 (-2,-3),函
数图象上有两点 A( ,y1),B(5,y2),则 y1与 y2
的大小关系为 ( )
A. y1 > y2
B. y1 = y2
C. y1 < y2
D. 无法确定
C
提示:由题可知反比例函数的解析式为 ,因为 6>0,且 A,B 两点均在该函数图象的第一象限部分上,根据 >5,可知 y1,y2 的大小关系.
类比与思考
当 k =-2,-4,-6 时,反比例函数 的图象有哪些共同特征?回顾上面我们利用函数图象,从特殊到一般研究反比例函数 (k>0) 的性质的过程,你能用类似的方法研究反比例函数
(k<0) 的图象和性质吗?
y
x
O
y
x
O
y
x
O
反比例函数 (k<0) 的图象和性质:
●由两条曲线组成,且分别位于第二、四象限
它们与 x 轴、y 轴都不相交;
●在每个象限内,y 随 x 的增大而增大.
知识要点
归纳:
(1) 当 k > 0 时,双曲线的两支分别位于第一、三
象限,在每一象限内,y 随 x 的增大而减小;
(2) 当 k < 0 时,双曲线的两支分别位于第二、四
象限,在每一象限内,y 随 x 的增大而增大.
一般地,反比例函数 (k ≠ 0) 的图象是双曲线,它具有以下性质:
k 的正负决定反比例函数图象的位置和增减性
点 (2,y1) 和 (3,y2) 均在函数 的图象上,则 y1 y2 (填“>”“<”或“=”).

练一练
例2 已知反比例函数 ,且在其图象的每一支上,y 随 x 的增大而增大,求 a 的值.
解:由题意得 a2 + a-7 =-1,且 a-1<0.
解得 a =-3.
反比例函数的图象和性质的初步运用

练一练
已知反比例函数 的图象在每个象限内,y 随着 x 的增大而减小,求 m 的值.
解:由题意得 m2-10 = -1,且 3m-8>0.
解得 m = 3.
例3 已知反比例函数的图象经过点 A (2,6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限?y 随 x 的增大如
何变化?
解:因为点 A (2,6) 在第一象限,
所以这个函数的图象位于第一、三象限.
在每一个象限内,y 随 x 的增大而减小.
(2) 点 B(3,4),C( , ),D(2,5) 是否在这个
函数的图象上?
解:设这个反比例函数的解析式为 ,因为点
A (2,6) 在其图象上,所以有 ,解得 k = 12.
因为点 B,C 的坐标都满足该解析式,而点 D 的坐标不满足,所以点 B,C 在这个函数的图象上,点 D 不在这个函数的图象上.
所以该反比例函数的解析式为 .
(1) 图象的另一支位于哪个象限?常数 m 的取值范围
是什么?
O
x
y
例4 如图是反比例函数 图象的一支. 根据图象,回答下列问题:
解:因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限,所以另一支必位于第三象限.
因为这个函数图象位于第一、三象限,所以 m-5>0,解得 m>5.
(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1,y1) 和
点 B (x2,y2). 如果 x1>x2,那么 y1 和 y2 有怎样的
大小关系?
解:因为 m-5 > 0,所以在这个函数图象的每一支
上,y 都随 x 的增大而减小,因此当 x1>x2 时,
y1<y2.
(1) 如果这个函数图象经过点 (-3,5),求 k 的值;
(2) 如果这个函数图象在它所处的象限内,函数 y 随 x 的增大而减小,求 k 的范围.
例5 已知反比例函数
解:(1) 因为函数图象经过点 (-3,5),代入函数的表达式,得 .
解得 k = -7.
(2) 根据题意,有 2k - 1>0. 解得 k>
反比例函数解析式中 k 的几何意义

1. 在反比例函数 的图象上分别取点 P,Q 向
x 轴、y 轴作垂线,围成面积分别为 S1,S2 的矩形,并填写下页表格:
合作探究
5
1
2
3
4
-1
5
x
y
O
P
S1
S2
P (2,2),Q (4,1)
S1 的值
S2 的值
S1 与 S2的关系
猜想 S1,S2 与 k 的关系
4
4
S1 = S2
S1 = S2 = k
-5
-4
-3
-2
1
4
3
2
-3
-2
-4
-5
-1
Q
S1 的值 S2 的值 S1 与 S2的关系 猜想 S1,S2 与 k 的关系
P (-1,4),
Q (-2,2)
2. 若在反比例函数 的图象
上也用同样的方法取 P,Q 两
点,并分别向两坐标轴引垂线,
围成面积为 S1,S2 的矩形,填写表格:
4
4
S1 = S2
S1 = S2 = -k
y
x
O
P
Q
S1
S2
由前面的探究过程,可以猜想:
若点 P 是反比例函数 (k ≠ 0) 图象上的任意一点,作 PA⊥x 轴于点 A,PB⊥y 轴于点 B,点 O 为坐标原点,则矩形 AOBP 的面积与 k 的关系是 S矩形 AOBP = |k|.
y
x
O
P
S
我们就 k<0 的情况给出证明:
设点 P 的坐标为 (a,b).
A
B
∵ 点 P (a,b) 在函数 的图
象上,
∴ ,即 ab = k.
∴ S矩形 AOBP = PB·PA = -a·b = -ab = -k.
若点 P 在第二象限,则 a<0,b>0.
若点 P 在第四象限,则 a>0,b<0.
∴ S矩形 AOBP = PB·PA = a·(-b) = -ab = -k.
B
P
A
综上可知,
S矩形 AOBP = |k|.
自己尝试证明
k > 0的情况.
k>0 的情况请同学们自行证明!
点 Q 是其图象上的任意一点,作 QA ⊥y 轴于点 A,作 QB ⊥x 轴于点 B,则矩形 AOBQ 的面积与 k 的关系是
S矩形AOBQ = .
推论:△QAO 与△QBO 的面积和 k 的关系是 S△QAO = S△QBO = .
对于反比例函数 (k ≠ 0),
A
B
|k|
y
x
O
归纳:
反比例函数的面积不变性
Q
A,B ,C,过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线,过每一点所作的两条垂线与 x 轴、y 轴围成的矩形的面积分别为 SA,SB,SC,则 ( )
A. SA>SB>SC B. SA<SB<SC
C. SA = SB = SC D. SA<SC<SB
1. 如图,在函数 (x>0) 的图象上有三点
y
x
O
A
B
C
C
练一练
2. 如图,过反比例函数 图象上的一点 P,作
PA⊥x 轴于 A. 若△POA 的面积为 6,则 k = .
-12
提示:当反比例函数图象在第二、四象限时,注意 k<0.
y
x
O
P
A
3. 若点 P 是反比例函数图象上的一点,过点 P 分别向
x 轴、y 轴作垂线,垂足分别为点 M,N,若四边形
PMON 的面积为 3,则这个反比例函数的关系式是
.

的任意两点,过 P 作 x 轴的垂线
PA,垂足为 A,过点 C 作 x 轴的
垂线 CD,垂足为 D,连接 OC
交 PA 于点 E. 设 △POA 的面积
为 S1,则 S1 = ;梯形 CEAD
的面积为 S2,则 S1 与 S2 的大小
关系是 S1 S2;△POE 的面
积 S3 和 S2 的大小关系是 S3 S2.
例5 如图,P,C 是函数 (x>0) 图象上
典例精析
2
S1
S2


S3
如图所示,直线与双曲线交于 A,B 两点,P
练一练
解析:由反比例函数面积的不变性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一支交于点 F,连接 OF,易知 S△OFE = S1 = S2,而 S3>S△OFE,所以 S1,S2,S3 的大小关系为 S1 = S2 < S3
F
S1
S2
S3
是 AB 上的点,△AOC 的面积 S1,△BOD 的面积 S2,△POE 的面积 S3 的大小关系为 .
S1 = S2 < S3
当堂练习
1. 反比例函数 的图象在 ( )
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限
C. 第二、三象限 D.第二、四象限
B
2. 在同一直角坐标系中,函数 y = 2x 与 的图象大致是 ( )
O
x
y
A
O
x
y
B
O
x
y
C
O
x
y
D
B
3. 已知反比例函数 的图象在第一、三象限内,
则 m 的取值范围是________.
4. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论:
(1) 经过点 (-1,12) 和点 (10,-1.2);
(2) 在每一个象限内,y 随 x 的增大而减小;
(3) 双曲线位于第二、四象限.
其中正确的是 (填序号).
(1) (3)
m > 2
5. 反比例函数   (k>0) 的图象上有两点 A (x1,y1),B (x2,y2), 且 x1>x2>0,则 y1-y2 0.

6. 如图,点 A 是反比例函数 (x>0) 图象上的任意一点,AB∥x 轴交反比例函数 (x<0) 的图象于点 B,以 AB 为边作平行四边形 ABCD,其中点 C,D 在 x 轴上,则 S平行四边形ABCD =___.
y
D
B
A
C
x
3
2
5
7. 已知反比例函数 y = mxm -5,它的两个分支分别在
第一、第三象限,求 m 的值.
解:因为反比例函数 y = mxm -5 的两个分支分别在第
一、第三象限,
所以有
m2-5 = -1,
m>0,
解得 m = 2.
8. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2,-4).
(1) 求 k 的值;
解:∵ 反比例函数 的图象经过点 A (2,-4),
∴ 把点 A 的坐标代入表达式,得 ,
解得 k = -8.
(2) 这个函数的图象分布在哪些象限?y 随 x 的增大
如何变化
解:这个函数的图象位于第二、四象限.
在每一个象限内,y 随 x 的增大而增大.
(3) 画出该函数的图象;
O
x
y
解:如图所示:
(4) 点 B (1,-8) ,C (-3,5) 是否在该函数的图象上?
因为点 B 的坐标满足该解析式,而点 C 的坐标
不满足该解析式,
所以点 B 在该函数的图象上,点 C 不在该函数
的图象上.
解:该反比例函数的解析式为 .
能力提升:
9. 点 (a-1,y1),(a+1,y2) 在反比例函数
(k>0) 的图象上,若 y1<y2,求 a 的取值范围.
解:由题意知,在图象的每一支上,y 随 x 的增大而减小.
① 当这两点在图象的同一支上时,
∵ y1<y2,∴ a-1>a+1,无解;
② 当这两点分别位于图象的两支上时,
∵ y1<y2,∴ 必有 y1<0<y2.
∴ a-1<0,a+1>0, 解得-1<a<1.
故 a 的取值范围是 -1<a<1.
反比例函数 (k ≠ 0)
k k > 0 k < 0
图象
性质
图象位于第一、三象限
图象位于第二、四象限
在每个象限内,y 随 x 的增大而减小
在每个象限内,y 随
x 的增大而增大
课堂小结