沪科版九年级数学上册第21章二次函数与反比例函数21.5 反比例函数第2课时 反比例函数的图象和性质课件

(共44张PPT)
学习目标
1. 经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的
图象特征和性质的过程； (重点、难点)
2. 会画反比例函数的图象，了解和掌握反比例函数的
图象和性质； (重点)
3. 能够初步应用反比例函数的图象和性质解决问题.
(重点、难点)
导入新课
我们已经学习过的函数有哪些？你还记得画这些函数图象时的方法吗？
复习引入
写出一个反比例函数，你能画出它的图象吗？
反比例函数的图象和性质
一
讲授新课
合作探究
例1 画反比例函数 与 的图象.
提示：画函数的图象步骤一般为：
列表→描点→连线.
需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0.
解：列表如下：
x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …
… …
… …
-1
-1.2
-1.5
-2
-3
-6
6
3
2
1.5
1.2
1
-2
-2.4
-3
-4
-6
6
4
3
2.4
2
-12
12
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，即可得函数 　与 的图象.
观察这两个函数图象，回答下列问题：
思考：
(1) 每个函数图象分别位于哪些象限？
(2) 在每一个象限内，随着 x 的增大，y 如何变化？
你能由它们的解析式说明原因吗？
(3) 对于反比例函数 (k＞0)，
考虑问题 (1)(2)，你能得出同
样的结论吗？
●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限
它们与 x 轴、y 轴都不相交；
●在每个象限内，y 随 x 的增大而减小.
反比例函数 (k＞0) 的图象和性质：
知识要点
1. 反比例函数 的图象大致是 ( )
C
A.
x
y
o
D.
x
y
o
C.
x
y
o
y
B.
x
o
练一练
2. 已知反比例函数 的图象过点 (－2，－3)，函
数图象上有两点 A( ，y1)，B(5，y2)，则 y1与 y2
的大小关系为 ( )
A. y1 ＞ y2
B. y1 = y2
C. y1 ＜ y2
D. 无法确定
C
提示：由题可知反比例函数的解析式为 ，因为 6＞0，且 A，B 两点均在该函数图象的第一象限部分上，根据 ＞5，可知 y1，y2 的大小关系.
类比与思考
当 k =－2，－4，－6 时，反比例函数 的图象有哪些共同特征？回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数 (k＞0) 的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数
(k＜0) 的图象和性质吗？
y
x
O
y
x
O
y
x
O
反比例函数 (k＜0) 的图象和性质：
●由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限
它们与 x 轴、y 轴都不相交；
●在每个象限内，y 随 x 的增大而增大.
知识要点
归纳：
(1) 当 k ＞ 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三
象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；
(2) 当 k ＜ 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四
象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大.
一般地，反比例函数 (k ≠ 0) 的图象是双曲线，它具有以下性质：
k 的正负决定反比例函数图象的位置和增减性
点 (2，y1) 和 (3，y2) 均在函数 的图象上，则 y1 y2 (填“＞”“＜”或“=”).
＜
练一练
例2 已知反比例函数 ，且在其图象的每一支上，y 随 x 的增大而增大，求 a 的值.
解：由题意得 a2 + a－7 =－1，且 a－1＜0．
解得 a =－3.
反比例函数的图象和性质的初步运用
二
练一练
已知反比例函数 的图象在每个象限内，y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值．
解：由题意得 m2－10 = －1，且 3m－8＞0．
解得 m = 3.
例3 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如
何变化？
解：因为点 A (2，6) 在第一象限，
所以这个函数的图象位于第一、三象限.
在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.
(2) 点 B(3，4)，C( ， )，D(2，5) 是否在这个
函数的图象上？
解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点
A (2，6) 在其图象上，所以有 ，解得 k = 12.
因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D 的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.
所以该反比例函数的解析式为 .
(1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围
是什么？
O
x
y
例4 如图是反比例函数 图象的一支. 根据图象，回答下列问题：
解：因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限.
因为这个函数图象位于第一、三象限，所以 m－5＞0，解得 m＞5.
(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和
点 B (x2，y2). 如果 x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的
大小关系？
解：因为 m－5 ＞ 0，所以在这个函数图象的每一支
上，y 都随 x 的增大而减小，因此当 x1＞x2 时，
y1＜y2.
(1) 如果这个函数图象经过点 (-3,5)，求 k 的值；
(2) 如果这个函数图象在它所处的象限内，函数 y 随 x 的增大而减小，求 k 的范围.
例5 已知反比例函数
解：(1) 因为函数图象经过点 (-3，5)，代入函数的表达式，得 .
解得 k = -7.
(2) 根据题意，有 2k - 1＞0. 解得 k＞
反比例函数解析式中 k 的几何意义
三
1. 在反比例函数 的图象上分别取点 P，Q 向
x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为 S1，S2 的矩形，并填写下页表格：
合作探究
5
1
2
3
4
-1
5
x
y
O
P
S1
S2
P (2，2)，Q (4，1)
S1 的值
S2 的值
S1 与 S2的关系
猜想 S1，S2 与 k 的关系
4
4
S1 = S2
S1 = S2 = k
-5
-4
-3
-2
1
4
3
2
-3
-2
-4
-5
-1
Q
S1 的值 S2 的值 S1 与 S2的关系 猜想 S1，S2 与 k 的关系
P (－1，4)，
Q (－2，2)
2. 若在反比例函数 的图象
上也用同样的方法取 P，Q 两
点，并分别向两坐标轴引垂线，
围成面积为 S1，S2 的矩形，填写表格：
4
4
S1 = S2
S1 = S2 = -k
y
x
O
P
Q
S1
S2
由前面的探究过程，可以猜想：
若点 P 是反比例函数 (k ≠ 0) 图象上的任意一点，作 PA⊥x 轴于点 A，PB⊥y 轴于点 B，点 O 为坐标原点，则矩形 AOBP 的面积与 k 的关系是 S矩形 AOBP = |k|.
y
x
O
P
S
我们就 k＜0 的情况给出证明：
设点 P 的坐标为 (a，b).
A
B
∵ 点 P (a，b) 在函数 的图
象上，
∴ ，即 ab = k.
∴ S矩形 AOBP = PB·PA = -a·b = -ab = -k.
若点 P 在第二象限，则 a＜0，b＞0.
若点 P 在第四象限，则 a＞0，b＜0.
∴ S矩形 AOBP = PB·PA = a·(-b) = -ab = -k.
B
P
A
综上可知，
S矩形 AOBP = |k|.
自己尝试证明
k ＞ 0的情况.
k＞0 的情况请同学们自行证明！
点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA ⊥y 轴于点 A，作 QB ⊥x 轴于点 B，则矩形 AOBQ 的面积与 k 的关系是
S矩形AOBQ = .
推论：△QAO 与△QBO 的面积和 k 的关系是 S△QAO = S△QBO = .
对于反比例函数 (k ≠ 0)，
A
B
|k|
y
x
O
归纳：
反比例函数的面积不变性
Q
A，B ，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与 x 轴、y 轴围成的矩形的面积分别为 SA，SB，SC，则 ( )
A. SA＞SB＞SC B. SA＜SB＜SC
C. SA = SB = SC D. SA＜SC＜SB
1. 如图，在函数 (x＞0) 的图象上有三点
y
x
O
A
B
C
C
练一练
2. 如图，过反比例函数 图象上的一点 P，作
PA⊥x 轴于 A. 若△POA 的面积为 6，则 k = .
-12
提示：当反比例函数图象在第二、四象限时，注意 k＜0.
y
x
O
P
A
3. 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向
x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M，N，若四边形
PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是
.
或
的任意两点，过 P 作 x 轴的垂线
PA，垂足为 A，过点 C 作 x 轴的
垂线 CD，垂足为 D，连接 OC
交 PA 于点 E. 设 △POA 的面积
为 S1，则 S1 = ；梯形 CEAD
的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小
关系是 S1 S2；△POE 的面
积 S3 和 S2 的大小关系是 S3 S2.
例5 如图，P，C 是函数 (x＞0) 图象上
典例精析
2
S1
S2
＞
＝
S3
如图所示，直线与双曲线交于 A，B 两点，P
练一练
解析：由反比例函数面积的不变性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一支交于点 F，连接 OF，易知 S△OFE = S1 = S2，而 S3＞S△OFE，所以 S1，S2，S3 的大小关系为 S1 = S2 ＜ S3
F
S1
S2
S3
是 AB 上的点，△AOC 的面积 S1，△BOD 的面积 S2，△POE 的面积 S3 的大小关系为 .
S1 = S2 ＜ S3
当堂练习
1. 反比例函数 的图象在 ( )
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限
C. 第二、三象限 D.第二、四象限
B
2. 在同一直角坐标系中，函数 y = 2x 与 的图象大致是 ( )
O
x
y
A
O
x
y
B
O
x
y
C
O
x
y
D
B
3. 已知反比例函数 的图象在第一、三象限内，
则 m 的取值范围是________.
4. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论：
(1) 经过点 (-1，12) 和点 (10，-1.2)；
(2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小；
(3) 双曲线位于第二、四象限.
其中正确的是 (填序号).
(1) (3)
m ＞ 2
5. 反比例函数 　　(k＞0) 的图象上有两点 A (x1，y1)，B (x2，y2)， 且 x1＞x2＞0，则 y1－y2 0.
＜
6. 如图，点 A 是反比例函数 (x＞0) 图象上的任意一点，AB∥x 轴交反比例函数 (x＜0) 的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S平行四边形ABCD =___.
y
D
B
A
C
x
3
2
5
7. 已知反比例函数 y = mxm －5，它的两个分支分别在
第一、第三象限，求 m 的值.
解：因为反比例函数 y = mxm －5 的两个分支分别在第
一、第三象限，
所以有
m2－5 = －1，
m＞0，
解得 m = 2.
8. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，-4).
(1) 求 k 的值；
解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A (2，-4)，
∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ，
解得 k = -8.
(2) 这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大
如何变化
解：这个函数的图象位于第二、四象限.
在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大.
(3) 画出该函数的图象；
O
x
y
解：如图所示：
(4) 点 B (1，-8) ，C (-3，5) 是否在该函数的图象上？
因为点 B 的坐标满足该解析式，而点 C 的坐标
不满足该解析式，
所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数
的图象上.
解：该反比例函数的解析式为 .
能力提升：
9. 点 (a－1，y1)，(a＋1，y2) 在反比例函数
(k＞0) 的图象上，若 y1＜y2，求 a 的取值范围.
解：由题意知，在图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小.
① 当这两点在图象的同一支上时，
∵ y1＜y2，∴ a－1＞a＋1，无解；
② 当这两点分别位于图象的两支上时，
∵ y1＜y2，∴ 必有 y1＜0＜y2.
∴ a－1＜0，a＋1＞0， 解得－1＜a＜1.
故 a 的取值范围是 －1＜a＜1.
反比例函数 (k ≠ 0)
k k ＞ 0 k ＜ 0
图象
性质
图象位于第一、三象限
图象位于第二、四象限
在每个象限内，y 随 x 的增大而减小
在每个象限内，y 随
x 的增大而增大
课堂小结