(共50张PPT)
要点梳理
一般地,形如 (a,b,c 是常数, ) 的函数,叫做二次函数.
y=ax2+bx+c
a ≠ 0
[注意] (1) 等号右边必须是整式;
(2) 自变量的最高次数是 2;
(3) 当 b=0,c=0 时,y=ax2 是特殊的二次函数.
1. 二次函数的概念
二次函数 y=a(x + h)2 + k y=ax2+bx+c
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值 a>0
a<0
增减性 a>0
a<0
2. 二次函数的图象与性质
a > 0 开口向上
a < 0 开口向下
x = -h
(-h,k)
y最小 = k
y最大 = k
在对称轴左边,x↗ y↘;在对称轴右边, x↗ y↗
在对称轴左边,x↗ y↗;在对称轴右边, x↗ y↘
y最小=
y最大=
3. 二次函数图象的平移
y=ax2
左、右平移,自变量左加右减
上、下平移,常数项上加下减
y=-ax2
写成一般形式
沿 x 轴翻折
4. 二次函数表达式的求法
(1) 一般式法:y=ax2+bx+c (a ≠ 0)
(2)顶点法:y=a(x-h)2+k (a ≠ 0)
(3)交点法:y=a(x-x1)(x-x2) (a ≠ 0)
5. 二次函数与一元二次方程的关系
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴的交点有三种情况:有两个交点,有一个交点,没有交点,分别对应一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不同的实数根,有两个相等的实数根,没有实数根.
当二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴有交点时,交点的横坐标就是当 y = 0 时自变量 x 的值,即一元二次方程 ax2+bx+c = 0 的根.
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴的交点个数 一元二次方程
ax2+bx+c = 0的根 一元二次方程
ax2+bx+c = 0 根的判别式(b2 - 4ac)
有两个交点
有两个不同的实数根
b2 - 4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2 - 4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2 - 4ac < 0
6. 二次函数的应用
1. 二次函数的应用包括以下两个方面:
(1) 用二次函数表示实际问题变量之间的关系,解决最大化问题 (即最值问题);
(2) 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
2. 一般步骤:(1) 找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系;(2) 列出函数关系式,并确定自变量的取值范围;(3) 利用二次函数的图象及性质解决实际问题;(4) 检验结果的合理性,是否符合实际意义;(5) 作答.
7. 反比例函数的概念
定义:形如_______ (k 为常数,k ≠ 0) 的函数称为反比例函数,其中 x 是自变量,y 是 x 的函数,k 是比例系数.
三种表达式: 或 xy=k 或 y=kx-1 (k ≠ 0).
防错提醒:(1) k ≠ 0;(2) 自变量 x ≠ 0;(3) 函数值 y ≠ 0.
8. 反比例函数的图象和性质
(1) 反比例函数的图象:反比例函数 (k ≠ 0) 的
图象是 ,它是轴对称图形,两条对称轴
为直线 和 .
双曲线
y = x
y = -x
(2) 反比例函数的性质
图象 所在象限 性质
(k ≠ 0) k>0 一、三象限(x,y 同号) 在每个象限内,y 随 x 的增大而减小
k<0 二、四象限(x,y 异号)
在每个象限内,y 随 x 的增大而增大
x
y
o
x
y
o
(3) 反比例函数中比例系数 k 的几何意义
反比例函数图象上的点 (x,y) 具有两坐标之
积 (xy=k) 为常数这一特点,即过反比例函数图象
上任意一点,向两坐标轴作垂线,两条垂线与坐
标轴所围成的矩形的面积为常数 |k|.
推论:过双曲线上任意一点,向两坐标轴作垂线,
一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积
为常数 .
9. 反比例函数的应用
利用待定系数法确定反比例函数:
①根据两变量之间的反比例关系,设 ;
②代入图象上一个点的坐标,即 x、y 的一对对应
值,求出 k 的值;
③写出解析式.
反比例函数与一次函数的图象的交点的求法
求直线 y=k1x+b (k1 ≠ 0) 和双曲线 (k2 ≠ 0)的交点坐标就是解这两个函数解析式组成的方
程组.
利用反比例函数相关知识解决实际问题
过程:分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题
注意:实际问题中的两个变量往往都只能取非负值.
考点一 求抛物线的顶点、对称轴、最值
考点讲练
例1 抛物线 y=x2-2x+3 的顶点坐标为_______.
【解析】
方法一:配方,得 y=x2-2x+3=(x-1)2+2,则顶点坐标为 (1,2).
方法二代入公式 , ,
则顶点坐标为(1,2).
(1,2)
解决此类题目可以先把二次函数 y=ax2+bx+c 配方为顶点式 y=a(x+h)2+k 的形式,得到其对称轴是直线 x=-h,顶点坐标为 (-h,k),当自变量范围没有限制时,其最值为 y=k;也可以直接利用公式求解.
方法归纳
1. 对于 y=2(x-3)2+2 的图象,下列叙述正确的是 ( )
A. 顶点坐标为 (-3,2)
B. 对称轴为 y=3
C. 当 x≥3 时,y 随 x 的增大而增大
D. 当 x≥3 时,y 随 x 的增大而减小
C
针对训练
y
x
考点二 二次函数的图象与性质及函数值的大小比较
例2 二次函数 y=-x2+bx+c 的图象如图所示,若点 A(x1,y1),B(x2,y2) 在此函数图象上,且 x1<x2<1,则 y1 与 y2 的大小关系是 ( )
A. y1≤y2 B. y1<y2 C. y1≤y2 D. y1>y2
【解析】由图象看出,抛物线开口向下,对称轴是 x=1,当 x<1时,y 随 x 的增大而增大. ∵ x1<x2<1,∴ y1<y2.
B
2. 下列函数中,当 x>0 时,y 值随 x 值增大而减小的是( )
A. y = x2 B. y = x - 1
C. D. y = -3x2
D
针对训练
y
x
考点三 二次函数 y=ax2+bx+c (a ≠ 0) 的图象与系数 a,b,c 的关系
例3 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,下列结论:①abc>0;②2a-b<0;③4a-2b+c<0;④(a+c)2<b2. 其中正确的个数是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
y
x
解析:由图象开口向下可得 a<0,由对称轴在 y 轴左侧可得 b<0,由图象与 y 轴交于正半轴可得 c>0,则 abc>0,故①正确;由对称轴 x>-1 可得 2a-b<0,故②正确;由图象上横坐标为 x=-2 的点在第三象限可得4a-2b+c<0,故③正确;由图象上横坐标为 x=1 的点在第四象限得 a+b+c<0,由图象
上横坐标为 x=-1 的点在第二象限得
a-b+c>0,则 (a+b+c)(a-b+c)<0,
即 (a+c)2-b2<0,所以 (a+c)2<b2,
故④正确. 故选 D.
方法总结
1. 可根据对称轴的位置确定 b 的符号:b=0 对称轴是 y 轴;a、b 同号 对称轴在 y 轴左侧;a、b 异号 对称轴在 y 轴右侧. 这个规律可简记为“左同右异”.
2. 当 x=1 时,函数值 y=a+b+c,当图象上横坐标 x=1 的点在 x 轴上方时,a+b+c>0;当图象上横坐标 x=1 的点在 x 轴上时,a+b+c=0;当图象上横坐标 x=1 的点在 x 轴下方时,a+b+c<0. 同理,可由图象上横坐标 x=-1,±2 的点判断 a-b+c,4a±b+c 的符号.
3. 已知二次函数 y =-x2+2bx+c,当 x>1 时,y 的值随 x 值的增大而减小,则实数 b 的取值范围是( )
A. b≥-1 B. b≤-1 C. b≥1 D. b≤1
针对训练
D
解析:由题意知该函数图象开口向下,在对称轴右侧,y 的值随 x 值的增大而减小. ∵当 x>1 时,y 的值随 x 值的增大而减小,∴其对称轴应在直线 x = 1 处或其左侧,即 = b≤1,故选 D.
考点四 抛物线的几何变换
例4 将抛物线 y=x2-6x+5 向上平移 2 个单位长度,再向右平移 1 个单位长度后,得到的抛物线解析式是 ( )
A.y=(x-4)2-6 B.y=(x-4)2-2
C.y=(x-2)2-2 D.y=(x-1)2-5
【解析】因为 y=x2-6x+5=(x-3)2-4,所以向上平移 2 个单位长度,再向右平移 1 个单位长度后,得到的解析式为 y=(x-3-1)2-4+2,即 y=(x-4)2-2. 故选 B.
B
4. 若抛物线 y =-7(x + 4)2-1 平移得到 y =-7x2,则可以( )
A. 先向左平移 4 个单位,再向下平移 1 个单位
B. 先向右平移 4 个单位,再向上平移 1 个单位
C. 先向左平移 1 个单位,再向下平移 4 个单位
D. 先向右平移 1 个单位,再向下平移 4 个单位
B
针对训练
考点五 二次函数表达式的确定
例5 已知关于 x 的二次函数,当 x = -1 时,函数值为 10;当 x = 1 时,函数值为 4;当 x = 2 时,函数值为 7.求这个二次函数的解析式.
待定系数法
解:设所求的二次函数为 y = ax2 + bx + c,由题意得
解得 a = 2,b = -3,c = 5.
∴ 所求的二次函数解析式为 y = 2x2 - 3x + 5.
5. 已知抛物线 y = ax2 + bx + c 与抛物线 y =-x2-3x + 7 的形状相同,顶点在直线 x = 1 上,且顶点到 x 轴的距离为 5,请写出满足此条件的抛物线的表达式.
解:∵抛物线 y = ax2 + bx + c 与 y =-x2-3x + 7 的形状相同,∴ a = ±1. 又∵顶点在直线 x = 1 上,且到 x 轴的距离为 5,∴顶点为 (1,5) 或 (1,-5). 所以表达式可为:
(1) y = (x-1)2 + 5; (2) y = (x-1)2-5;
(3) y =-(x-1)2 + 5;(4) y =-(x-1)2-5.
针对训练
例6 若二次函数 y = x2 + mx 的对称轴是 x = 3,则关于 x 的方程 x2 + mx = 7 的解为( )
A.x1 = 0,x2 = 6 B.x1 = 1,x2 = 7
C.x1 = 1,x2 = -7 D.x1 = -1,x2 = 7
解析:∵二次函数 y = x2 + mx 的对称轴是 x = 3,
∴ =3,解得 m = -6.
∴ 关于 x 的方程 x2 + mx = 7 可化为 x2-6x-7 = 0,
即 (x + 1)(x-7) = 0,解得 x1 = -1,x2 = 7. 故选 D.
考点六 二次函数与一元二次方程
D
例7 某商场试销一种成本为每件 60 元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于 45%,经试销发现,销售量 y (件) 与销售单价 x (元) 符合一次函数 y=kx+b,且 x=65 时,y=55;x=75 时,y=45.
(1) 求一次函数的表达式;
(2) 若该商场获得利润为 W 元,试写出利润 W 与销售单价 x 之间的关系式;销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润?最大利润是多少元?
考点七 二次函数的应用
解:(1) 根据题意,得
故所求一次函数的表达式为 y = -x + 120.
(2) W = (x - 60) (-x + 120) = -x2 + 180x - 7200
= -(x - 90)2 + 900.
∵ 抛物线的开口向下,
∴ 当 x<90 时,W 随 x 的增大而增大.
而 60≤x≤60×(1 + 45%),即 60≤x≤87,
∴ 当 x = 87 时,W 有最大值,
此时 W = -(87 - 90)2 + 900 = 891.
解得 k = -1,b = 120.
例8 如图,梯形 ABCD 中,AB∥DC,∠ABC=90°,∠A=45°,AB=30,BC=x,其中 15<x<30. 作 DE⊥ AB 于点 E,将 △ADE 沿直线 DE 折叠,点 A 落在 F 处,DF 交 BC 于点 G.
(1) 用含有 x 的代数式表示 BF 的长;
(2) 设四边形 DEBG 的面积为 S,
求 S 与 x 的函数关系式;
(3) 当 x 为何值时,S 有最大值?
并求出这个最大值.
解:(1) 由题意得 EF = AE = DE = BC = x,AB = 30.
∴ BF = 2x - 30.
(2)∵∠F =∠A = 45°,∠CBF =∠ABC = 90°,
∴∠BGF =∠F = 45°,BG = BF = 2x - 30.
∴ S = S△DEF - S△GBF = DE2 - BF2 = x2 - (2x - 30)2
= x2 + 60x - 450.
(3) S = x2 + 60x - 450 = (x - 20)2 + 150.
∵ <0,15<20<30,
∴ 当 x = 20 时,S 有最大值,最大值为 150.
考点八 反比例函数的概念
针对训练
1. 下列函数中哪些是正比例函数?哪些是反比例函数
① y = 3x-1
② y = 2x2
⑤ y = 3x
③
④
⑥
⑦
⑧
2. 已知点 P(1,-3) 在反比例函数 的图象上,则
k 的值是 ( )
A. 3 B. -3 C. D.
B
3. 若 是反比例函数,则 a 的值为 ( )
A. 1 B. -1 C. ±1 D. 任意实数
A
解析:方法①分别把各点代入反比例函数求出 y1,y2,
y3 的值,再比较出其大小即可;
方法②:根据反比例函数的图象和性质比较.
考点九 反比例函数的图象和性质
例9 已知点 A(1,y1),B(2,y2),C(-3,y3) 都在反比例函数 的图象上,则 y1,y2,y3 的大小关系是 ( )
A. y3<y1<y2 B. y1<y2<y3
C. y2<y1<y3 D. y3<y2<y1
D
方法总结:比较反比例函数值的大小,在同一个象限内可根据反比例函数的性质比较,在不同的象限内不能按其性质比较,可根据其正负来确定大小.
已知点 A (x1,y1),B (x2,y2) (x1<0<x2) 都在反比例函数 (k<0) 的图象上,则 y1 与 y2 的大小关系 (从大到小) 为 .
y1>y2
针对训练
考点十 与反比例系数 k 有关的问题
例10 如图,两个反比例函数 和 在第一
象限内的图象分别是 C1 和 C2,设点 P 在 C1 上,PA
⊥x 轴于点 A,交 C2 于点 B,
则 △POB 的面积为 .
1
针对训练
如图,在平面直角坐标系中,点 M 为 x 轴正半轴上一点,过点 M 的直线 l∥y 轴,
且直线 l 分别与反比例函数 (x>0)
和 (x>0) 的图象交于 P,
Q 两点,若 S△POQ = 14,
则 k 的值为 .
-20
考点十一 反比例函数的应用
例11 如图,已知 A (-4, ),B (-1,2) 是一次函数
y = kx + b 与反比例函数 (m<0) 图象的两个交点,AC⊥x 轴于点 C,BD⊥y 轴于点 D.
(1) 根据图象直接回答:在第二象限内,当 x 取
何值时,一次函数的值大于反比例函数的值;
O
B
A
x
y
C
D
解:当 -4<x<-1 时,一次函数的值大于反比例函数的值.
(2) 求一次函数解析式及 m 的值;
解:把 A(-4, ),B(-1,2) 代入 y = kx + b 中,得
-4k + b = ,
-k + b = 2,
解得
k = ,
b = .
所以一次函数的解析式为 y = x + .
把 B (-1,2) 代入 中,得 m =-1×2=-2.
方法总结:此类一次函数,反比例函数,二元一次方程组,三角形面积等知识的综合题,关键是理清解题思路. 在平面直角坐标系中,求三角形或四边形面积时,要选取合适的底边和高,正确利用坐标算出线段长度.
针对训练
如图,设反比例函数的解析式为 (k>0).
(1) 若该反比例函数与正比例函数 y = 2x 的图象有一个
交点 P 的纵坐标为 2,求 k 的值;
O
y
x
解:由题意知点 P 在正比例函数 y = 2x 上,把 P 的纵坐标 2 代入该解析式,
得 P (1,2),把 P (1,2) 代入 ,
得到
P
2
(2) 若该反比例函数的图象与过点 M (-2,0) 的直线 l:y = kx + b 交于 A,B 两点,如图所示,当 △ABO 的面积为 时,求直线 l 的解析式;
解:把 M (-2,0) 代入 y = kx + b,
得 b = 2k,∴ y = kx + 2k.
O
A
y
B
x
M
l
N
解得 x1 = -3,x2 = 1.
y = kx + 2k,
∴
∴ B (-3,-k),A (1,3k).
∵ △ABO 的面积为
∴ ×2×3k + ×2k =
解得
∴ 直线 l 的解析式为
y = x + .
O
y
x
M
l
N
A (1,3k)
B (-3,-k)
(3) 在第(2)题的条件下,当 x 取何值时,一次函数的
值小于反比例函数的值?
O
y
x
M
l
N
A (1,3k)
B (-3,-k)
解:当 x<-3 或 0<x<1 时,一次函数的值小于反
比例函数的值.
例4 病人按规定的剂量服用某种药物,测得服药后 2 小时,
每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克. 已知服药后,
2 小时前每毫升血液中的含药量 y (单位:毫克)与时间 x (单位:小时) 成正比例;2 小时后 y 与 x 成反比例 (如图). 根据以上信息解答下列问题:
(1) 求当 0≤x≤2 时,y 与 x 的函数解析式;
解:当 0≤x≤2 时,y 与 x 成正比例函数关系.
设 y=kx,由于点 (2,4) 在线段上,所以 4=2k,k=2,即 y=2x.
O
y/毫克
x/小时
2
4
(2) 求当 x > 2 时,y 与 x 的函数解析式;
解:当 x > 2 时,y 与 x 成反比例函数关系,设
解得 k =8.
由于点 (2,4) 在反比例函数的图象上,
所以
即
O
y/毫克
x/小时
2
4
(3) 若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有
效,则服药一次,治疗疾病的有效时间是多长?
解:当 0≤x≤2 时,含药量不低于 2 毫克,即 2x≥2,解得 x≥1,∴ 1≤x≤2;
当 x>2 时,含药量不低于 2 毫克,
即 ≥2,解得 x≤ 4. ∴ 2<x≤4.
所以服药一次,治疗疾病的有效时
间是 1+2=3 (小时).
O
y/毫克
x/小时
2
4
二次函数
二次函数的概念
二次函数与一元二次方程的联系
二次函数的图象与性质
课堂小结
不共线三点确定二次函数的表达式
二次函数的应用
反比例函数
定义
图象
性质
x,y 的取值范围
增减性
对称性
k 的几何意义
应用
在实际生活中的应用
在物理学科中的应用