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【真题真练】沪科版八年级下册期末进阶训练领航卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022八下·定远期末）用配方法解一元二次方程x2-8x+5=0，将其化成（x+a）2=b的形式，则变形正确的是（ ）
A．（x+4）2=11 B．（x-4）2=21 C．（x-8）2=11 D．（x-4）2=11
2．（2024八下·巩义期末）下列四组数，是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．3，4，5
C．6，7，8 D．32，42，52
3．（2024八下·城步期末）如图，在矩形中，对角线交于点O，过点O作交于点E，交于点F．已知，的面积为5，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
4．（2023八下·建昌期末）某校举行的“青年大学习”的知识竞赛中，全校10名进入决赛的选手的成绩如下：
成绩（分） 36 37 38 39 40
人数（人） 1 2 2 3 2
成绩满分为50分，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．38，38 B．38.5，39 C．39，39 D．38.5，38
5．（2023八下·青秀期末） 年月是第个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院人次，若进书院人次的月平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024八下·旺苍期末）如果一直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长是（ ）
A．4 B．
C．4或 D．以上答案都不正确
7．（2024八下·富锦期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八下·农安期末）如图，有一个边长为的正方形，将一块的三角板直角顶点与正方形对角线交点O重合，两条直角边分别与边交于点E，与边交于点F．则四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024八下·昌黎期末）一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．六 B．七 C．八 D．九
10．（2024八下·上虞期末）在解一元二次方程时，小马同学粗心地将项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2023八下·徐汇期末）方程 的解为 ．
12．（2021八下·太平期末）已知平行四边形ABCD中，∠B=4∠A，则∠C= ．
13．（2022八下·大同期末）数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形的三边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．请你利用公式解答下列问题：在中，已知，，，则的面积为 ．
14．（2021八下·西岗期末）一根木杆在离地2.5米处折断，木杆的顶端在离木杆底端 米处，则木杆折断之前的高度为 米.
15．（2023八下·庆云期末）代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
16．（2023八下·邻水期末）如图，在△ABC中，DE∥CA，DF∥BA，下列说法：①如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形．其中正确的有 个
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023八下·江北期末）为了了解八年级学生的课外阅读情况，学校随机调查了该年级两个班级各50名学生，获得他们在某一周双休日课外阅读时间（记为t，单位：时）的两组样本数据，并整理绘制成如下条形统计图与扇形统计图．
（1）分别求出时班级一与班级二相应的学生人数，并补全条形统计图．
（2）由以上统计图提供的数据，并根据已学习的统计量（如平均数、中位数、众数、方差、标准差）知识，写出两条关于这两个班级学生课外阅读情况比较分析的结论．
（3）学校倡导鼓励学生课外阅读，并计划提出学生课外阅读的一个适当时间建议．你认为这个适当时间定为几小时对同学们而言比较合适？并请运用统计知识简要说明理由．
18．（2023八下·防城期末）如图，中，垂直平分BC，垂足为，交AB于点，连接BE、CF.
（1）求证：；
（2）求证四边形是菱形；
（3）若AB=10，BC=8，求DF的长.
19．（2022八下·龙岗期末）如图
（1）如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．易求∠DCE＝ °；
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想：线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．CE＝10，BC＝6，求AE的长．
20．（2021八下·来安期末）如图1，正方形中，点E是延长线上一点，连接，过点B作于点F，交于点G．
（1）求证：．
（2）如图2，连接、．若平分，求证：平分．
（3）如图3，若G为中点，，求的长．
21．（2021八下·南岸期末）如图所示，在 中， 平分 平分 .
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）如图2，当E为 的中点时，连接 ，求证： ；
（3）在（2）的条件下，若 ，直接写出 的面积.
22．（2022八下·杭州期末）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件.为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润.据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件.设每件童装降价x元.
（1）每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含的代数式表示）
（2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元.
（3）平均每天盈利能否达到2000元，请说明理由.
23．（2023八下·朔州期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点为正方形的两个顶点，点和在第一象限．
（1）求点的坐标；
（2）求直线的函数表达式；
（3）在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
24．（2022八下·剑阁期末）如图
（1）数学课上，张老师给出了一个问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．小明经过思考展示了一种正确的解题思路：取AB的中点H，连接HE，则可以证明AE＝EF．
请你写出证明过程．
（2）在此基础上，小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B、C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，请写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（3）如图3，如果点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立吗？直接写出结论，不用说明理由．
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【真题真练】沪科版八年级下册期末进阶训练领航卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022八下·定远期末）用配方法解一元二次方程x2-8x+5=0，将其化成（x+a）2=b的形式，则变形正确的是（ ）
A．（x+4）2=11 B．（x-4）2=21 C．（x-8）2=11 D．（x-4）2=11
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得，，
，
，
故答案为：D.
【分析】首先将常数项移至等号的右边，然后给两边同时加上16，再利用完全平方公式对左边的式子进行分解即可.
2．（2024八下·巩义期末）下列四组数，是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．3，4，5
C．6，7，8 D．32，42，52
【答案】B
【解析】【解答】解：A、勾股数是正整数，故A不符合题意；
B、∵32+42=52，
∴3，4，5是勾股数，故B符合题意；
C、∵62+72≠82，
∴6，7，8不是勾股数，故C不符合题意；
D、（32）+（42）≠（52），
∴ 32，42，52 是勾股数，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】利用勾股数是正整数，故排除选项A，再利用勾股定理的逆定理对B，C，D作出判断.
3．（2024八下·城步期末）如图，在矩形中，对角线交于点O，过点O作交于点E，交于点F．已知，的面积为5，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】D
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
由题意可得，为对角线的垂直平分线，
，，
．
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
故答案为：D．
【分析】连接，根据垂直平分线性质可得，，建立方程，解方程可得CE，再根据勾股定理即可求出答案.
4．（2023八下·建昌期末）某校举行的“青年大学习”的知识竞赛中，全校10名进入决赛的选手的成绩如下：
成绩（分） 36 37 38 39 40
人数（人） 1 2 2 3 2
成绩满分为50分，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．38，38 B．38.5，39 C．39，39 D．38.5，38
【答案】B
【解析】【解答】解： 这组数据的中位数为=38.5，
∵39出现3次，次数最多，
∴众数为39，
故答案为：B.
【分析】 根据中位数和众数的定义即可．
5．（2023八下·青秀期末） 年月是第个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院人次，若进书院人次的月平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
600+600（1+x）+600（1+x）2＝2850．
故答案为：C.
【分析】先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据等量关系式：第一个月的进馆人次+第二进馆人次+第三个月的进馆人次=2850，列出方程即可解答．
6．（2024八下·旺苍期末）如果一直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长是（ ）
A．4 B．
C．4或 D．以上答案都不正确
【答案】C
【解析】【解答】解： 一个直角三角形的两边长分别为3和5，
①当5是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为 ，则由勾股定理得到： ；
②当5是此直角三角形的直角边时，设另一斜边为 ，则由勾股定理得到： .
故答案为：C.
【分析】分情况讨论：当5是此直角三角形的斜边时；当5是此直角三角形的直角边时，分别利用勾股定理求出第三边的长.
7．（2024八下·富锦期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、 与 不是同类二次根式，无法合并，故此选项不合题意；
B、 ，故此选项符合题意；
C、 ，故此选项不合题意；
D、 ，故此选项不合题意；
故答案为：B．
【分析】利用二次根式的加减和二次根式乘除及二次根式的性质逐项判断即可。
8．（2024八下·农安期末）如图，有一个边长为的正方形，将一块的三角板直角顶点与正方形对角线交点O重合，两条直角边分别与边交于点E，与边交于点F．则四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图：
连接和，则和都过点O，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中
，
，
，
故答案为：C．
【分析】连接和，则和都过点O，根据正方形性质可得，，则，再根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，则，即可求出答案.
9．（2024八下·昌黎期末）一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．六 B．七 C．八 D．九
【答案】C
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，
根据题意得（n-2）·180°=3×360°，
解得n=8，
∴多边形的边数是8，
故答案为：C.
【分析】设多边形的边数为n，根据题意列出方程，解方程求出n的值，即可得出答案.
10．（2024八下·上虞期末）在解一元二次方程时，小马同学粗心地将项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设原方程为，两个根为和；则新的方程为，两个根为2和．
∴，，
得，
∵两个方程不同，
∴a≠c，
∴，
∴，
∴．
①当时，代入新方程可得：，
解得：，
则，，
则．
②当时，代入新方程可得：，
解得：，
则，，
则．
综上，原方程两根的平方和是．
故答案为：D．
【分析】设原方程为，两个根为和．则新的方程为，两个根为2和．把根代入方程可得，，将①②联立可解得．分别把β=1和β=﹣1代入新方程，得到a、b、c之间的关系，再由根与系数的关系可求出与的值，进而可求出的值．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2023八下·徐汇期末）方程 的解为 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：两边平方得：2x+3=x2
∴x2﹣2x﹣3=0，
解方程得：x1=3，x2=﹣1，
检验：当x1=3时，方程的左边=右边，所以x1=3为原方程的解，
当x2=﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x2=﹣1不是原方程的解．
故答案为3．
【分析】方程两边分别进行平方，利用十字相乘法可得x有两个根，把两个根分别代入原方程，可得x=3时满足方程，即可得方程的解。
12．（2021八下·太平期末）已知平行四边形ABCD中，∠B=4∠A，则∠C= ．
【答案】36°
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A，BC∥AD，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠B=4∠A，
∴∠A=36°，
∴∠C=∠A=36°，
故答案为36°．
【分析】首先利用平行四边形性质得到∠C=∠A，BC∥AD，推出∠A+∠B=180°，求出∠A的度数，即可求出∠C．
13．（2022八下·大同期末）数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形的三边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．请你利用公式解答下列问题：在中，已知，，，则的面积为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵为三角形周长的一半，，，，
∴，
∴
．
故答案为：．
【分析】将，，代入计算即可。
14．（2021八下·西岗期末）一根木杆在离地2.5米处折断，木杆的顶端在离木杆底端 米处，则木杆折断之前的高度为 米.
【答案】
【解析】【解答】解：木杆折断出到顶端的距离为：
木杆折断之前的高度为：
故答案为9
【分析】根据勾股定理计算得到答案即可。
15．（2023八下·庆云期末）代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：
解得
故答案为： .
【分析】二次根式被开方数要大于等于0.
16．（2023八下·邻水期末）如图，在△ABC中，DE∥CA，DF∥BA，下列说法：①如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形．其中正确的有 个
【答案】2
【解析】【解答】解：①∵DE∥CA，DF∥BA，
∴四边形FDEA为平行四边形，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，①正确；
②∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAB，
∵DF∥BA，
∴DAB=∠FDA，
∴∠DAC=∠FDA，
∴FD=FA，
∴四边形AEDF是菱形，②正确；
③∵AD⊥BC且AB＝AC，
∴DA平分∠CAB，
∴∠DAC=∠DAB，
∵DF∥BA，
∴DAB=∠FDA，
∴∠DAC=∠FDA，
∴FD=FA，
∴FD=FA，
∴四边形AEDF是菱形，但不一定为正方形，③错误；
∴正确的有2个，
故答案为：2
【分析】根据等腰三角形的性质、平行四边形的性质与判定、菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定结合题意对选项逐一分析即可求解。
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023八下·江北期末）为了了解八年级学生的课外阅读情况，学校随机调查了该年级两个班级各50名学生，获得他们在某一周双休日课外阅读时间（记为t，单位：时）的两组样本数据，并整理绘制成如下条形统计图与扇形统计图．
（1）分别求出时班级一与班级二相应的学生人数，并补全条形统计图．
（2）由以上统计图提供的数据，并根据已学习的统计量（如平均数、中位数、众数、方差、标准差）知识，写出两条关于这两个班级学生课外阅读情况比较分析的结论．
（3）学校倡导鼓励学生课外阅读，并计划提出学生课外阅读的一个适当时间建议．你认为这个适当时间定为几小时对同学们而言比较合适？并请运用统计知识简要说明理由．
【答案】（1）解：班级一：（人）
班级二：（人）
补全条形统计图如下，
（2）解：①班级一双休日平均阅读时间为每周3.46小时，班级二为每周3.36小时，班级一的同学双休日的平均阅读时间更长；
②班级一和班级二的双休日阅读时间中位数均为3小时.
（3）解：我觉得3小时比较合适，因为大部分同学能达到3个小时的阅读量.
【解析】【分析】（1）根据总人数分别减去其他阅读时间人数即可求出时班级一的人数，利用时班级二的所占百分比即可求出班级二的人数；
（2）根据中位数和平均数的定义即可分析两条结论；
（3）结合中位数和平均数即可分析出适合的阅读量.
18．（2023八下·防城期末）如图，中，垂直平分BC，垂足为，交AB于点，连接BE、CF.
（1）求证：；
（2）求证四边形是菱形；
（3）若AB=10，BC=8，求DF的长.
【答案】（1）证明：∵CE∥AB，
∴∠DCE＝∠DBF，
∵EF垂直平分BC，
∴CD＝BD，
在△CDE和△BDF中，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴CE＝BF
（2）证明：由（1）知CE＝BF又CE∥AB（即CE∥BF）
∴四边形CFBE是平行四边形，
又∵EF⊥BC，
∴四边形CFBE是菱形．
（3）解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，
∴
∵EF垂直平分BC，
∴∠FDB＝∠ACB＝90°
∴AC∥EF
又CE∥AB，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∴EF＝AC=6
∵四边形CFBE是菱形
∴DF=DE=＝3．
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠DCE＝∠DBF，根据垂直平分线的性质可得CD＝BD，利用ASA证明△CDE≌△BDF，据此可得结论；
（2）由（1）知CE＝BF，推出四边形CFBE是平行四边形，然后结合EF⊥BC以及菱形的判定定理进行证明；
（3）由勾股定理可得AC=6，根据垂直平分线的性质可得∠FDB＝∠ACB＝90°，则AC∥EF，推出四边形ACEF是平行四边形，得到EF＝AC=6，然后根据菱形的性质进行求解.
19．（2022八下·龙岗期末）如图
（1）如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．易求∠DCE＝ °；
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想：线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．CE＝10，BC＝6，求AE的长．
【答案】（1）120
（2）解：DE2=CD2+BD2；理由如下：
在Rt△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，∠ACE=∠B=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
根据勾股定理得，DE2=CD2+CE2=CD2+BD2；
（3）解：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABC＝∠ACE＝45°，BD＝CE，
∴∠ABC+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝∠ECD＝90°
∵BC＝6，CE＝10，
∴BD＝CE＝10，
∴CD＝BD﹣BC=10﹣6＝4，
∴Rt△DCE中，DE＝
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝
【解析】【解答】（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠B=∠ACB=∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE=60°，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°，
故答案为：120；
【分析】（1）先求出∠BAD=∠CAE，再利用全等三角形的判定与性质计算求解即可；
（2）先求出 ∠BAD=∠CAE， 再求出 △ABD≌△ACE（SAS）， 最后求解即可；
（3）利用全等三角形的判定与性质，勾股定理计算求解即可。
20．（2021八下·来安期末）如图1，正方形中，点E是延长线上一点，连接，过点B作于点F，交于点G．
（1）求证：．
（2）如图2，连接、．若平分，求证：平分．
（3）如图3，若G为中点，，求的长．
【答案】（1）证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCD=90°，
∴∠DCE=90°，∠CBG+∠BGC=90°，
∵BF⊥DE，
∴∠BFE=90°，
∴∠CBG+∠E=90°，
∴∠BGC=∠E
∴≌（AAS），
∴；
（2）证明：
∵平分，
∴，
又∵∠BFD=∠BFE=90°，BF=BF
∴≌（ASA），
∴，
∴F是DE的中点
∴，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBE=∠ACB=45°
∵平分，
∴，
∴，
∴
∴．
即，
∴平分．
（3）解：
∵G为中点，，
∴，
由勾股定理：，．
设，则
在和中，由勾股定理： ，
∴，
解得．
再由勾股定理：．
由（1）知：，
∴．
【解析】【分析】（1）由AAS证得≌，即可得出结论；
（2）由等腰三角形三线合一得出，由F是DE的中点，得出，再由四边形ABCD是正方形，角平分线的性质得出，，则，，即可得出结论；
（3）由勾股定理：，．设，则，在和中，由勾股定理： ， ，，解出x的值，求出DF的值，由（1）知：，即可得出EF的值。
21．（2021八下·南岸期末）如图所示，在 中， 平分 平分 .
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）如图2，当E为 的中点时，连接 ，求证： ；
（3）在（2）的条件下，若 ，直接写出 的面积.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠ABC.
又∵DE，BF分别是∠ADC，∠ABC的平分线，
∴∠ABF＝∠CDE.
又∵AB∥CD，
又∵∠CDE＝∠AED，
∴∠ABF＝∠AED，
∴DE∥BF，
∵DE∥BF，DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：连接EF，
∵四边形DEBF是平行四边形，四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，DF=BE，
∵E为 的中点，
∴DF=BE=AE=CF= ，
又∵BE∥CF，
∴四边形BEFC是平行四边形，∠ABF=∠CFB，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠CFB=∠CBF，
∴CF=CB，
∴四边形BEFC是菱形，
∴CE⊥BF，
又∵BF∥DE，
∴ ；
（3）解：∵四边形BEFC是菱形，四边形ABCD是平行四边形，
∴EF=BC=AD=8，
∵ ，点F是CD的中点，
∴CD=2EF=16，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积=2 = .
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质得出∠ADC＝∠ABC，然后根据角平分线的定义求出∠ABF＝∠CDE，再由平行线的性质，推出DE∥BF，结合DF∥BE，即可判定四边形DEBF是平行四边形；
(2)先根据平行四边形的性质，结合E为 的中点，证明四边形BEFC是平行四边形，再结合BF平分∠ABC，可证四边形BEFC是菱形， 得出CE⊥BF， 再根据平行线的性质即可得证；
(3) 利用平行四边形的性质求出EF，然后根据直角三角形斜边上中线的性质求出CD， 利用勾股定理求出CE，再求出△CDE的面积，则 的面积可求.
22．（2022八下·杭州期末）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件.为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润.据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件.设每件童装降价x元.
（1）每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含的代数式表示）
（2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元.
（3）平均每天盈利能否达到2000元，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意，每天可销售（20+2x）件，每件盈利（40-x）元；
（2）解：由题意，（40-x）（20+2x）=1200，
整理，得：x2-30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20，
∵适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，
∴x=20，
答：每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元.
（3）解：平均每天盈利不能达到2000元，理由为：
由（40-x）（20+2x）=2000，整理，得：x2-30x+600=0，
∵△=（-30）2-4×1×600=-1500＜0，
∴所列方程无实数根，
故平均每天盈利不能达到2000元.
【解析】【分析】（1）由题意可得每天可多售出2x件，加上20可得每天售出的件数，利用售价-进价可得盈利；
（2）根据每件的利润×销售量=总利润可得关于x的方程，求解即可；
（3）根据每件的利润×销售量=总利润可得关于x的方程，然后根据根的判别式判断方程根的情况即可得出结论.
23．（2023八下·朔州期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点为正方形的两个顶点，点和在第一象限．
（1）求点的坐标；
（2）求直线的函数表达式；
（3）在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：过D作轴于点E，如图1，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：过点C作轴于点F，如图1，
同理可证得，
∴，，
∴，
∴．
设直线的函数表达式为（，k，b为常数）．
代入，，得，
解得：，
∴；
（3）解：存在，或
【解析】【解答】解：（3）存在，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴．
∵在直线上存在点P，使为等腰三角形，
∴只存在．
①当点P位于C点下方时，
∵，，
∴此时点P与点B重合，
∴；
②当点P位于C点上方时，如下图所示：
∵，
∴点C为中点．
∵，，
∴；
综上所述： 在直线上存在点，使为等腰三角形，点P的坐标为或．
【分析】（1）利用正方形的性质求出 ，， 再求出 ，最后利用全等三角形的判定与性质计算求解即可；
（2）利用全等三角形的性质求出 ，， 再求出点C的坐标，最后利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）分类讨论，结合图形，利用正方形和等腰三角形的性质计算求解即可。
24．（2022八下·剑阁期末）如图
（1）数学课上，张老师给出了一个问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．小明经过思考展示了一种正确的解题思路：取AB的中点H，连接HE，则可以证明AE＝EF．
请你写出证明过程．
（2）在此基础上，小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B、C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，请写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（3）如图3，如果点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立吗？直接写出结论，不用说明理由．
【答案】（1）证明：如图1
图1
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BCD=∠AEF=90°，
∵点H、E分别是边AB、BC的中点，
∴AH=BH=BE=CE，
∴∠BHE=45°，
∴∠AHE=135°，
∵CF是正方形外角∠DCG的平分线，
∴∠DCF=45°，
∴∠ECF=135°，
∴∠AHE=∠ECF，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠CEF=90°，
∴∠HAE=∠CEF，
在△AHE和△ECF中，
，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
（2）正确；
（2）解：正确，证明如下，
如图2，在AB上取一点M，使AM=CE，连接ME，
图2
∴BM=BE，
∴∠BME=45°，∠AME=135°，
∵CF是正方形外角∠DCG的平分线，
∴∠DCF=45°，∠ECF=135°，
同（1）可证△AME≌△ECF，
∴AE=EF；
（3）解：成立，AE＝EF．
【解析】【解答】解：（3）成立；
如图3，延长BA到M，使AM=CE，
∵∠AEF=90°，
∴∠FEG+∠AEB=90°，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FEG，
∴∠MAE=∠CEF，
∵AB=BC，
∴AB+AM=BC+CE，
即BM=BE，
∴∠M=45°，
∴∠M=∠FCE，
在△AME和△ECF中，
，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF.
【分析】（1）取AB的中点H，连接EH，根据已知及正方形的性质（正方形的四条边都相等，四个角都相等且都是90°）利用ASA判定△AHE≌△ECF，根据全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等）得到AE=EF；
（2）如图2，在AB上取一点M，使AM=CE，连接ME，方法同（1）可得出结论；
（3）延长BA到M，使AM=CE，根据已知及正方形的性质（正方形的四条边都相等，四个角都相等且都是90°）利用ASA判定△AME≌△ECF，从而得到AE=EF.
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