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【精选热题·期末50道综合题专练】沪科版数学八年级下册复习卷
1．超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销量，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间后，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价5元，则平均每天销售数量为________件；
（2）为尽快减少库存，要使该商店每天销售利润为1200元，每件商品应降价多少元？
2．如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为1872平方米，路宽为多少米？
3．某超市对近四周西红柿和黄瓜的销售情况进行了统计，并将销售单价和销售量分别制成如下统计图．
（1）这四周西红柿销售单价的众数为 ，黄瓜销售单价的中位数为 ；
（2）分别求这四周西红柿、黄瓜周销量的方差；
（3）结合上述两幅统计图写出一条正确的结论．
4．某校为调查学生周末平均每天做作业所用时间的情况，随机抽查了50名同学，如图是根据调查所得数据绘制的统计图的一部分．请根据以上信息，解答下列问题：
（1）请你补全条形统计图；
（2）求在这次调查的数据中，学生做作业所用时间的众数、中位数和平均数；
（3）若该校共有2000名学生，根据以上调查结果估计该校全体学生每天组做作业时间在3小时内（含3小时）的同学共有多少人？
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，延长CA至D使得CD＝BA，过D作DE⊥CD且满足CB＝CE，连接CE.
（1）求证：∠B＝∠DCE；
（2）延长BA交CE于点G，作∠BCA的平分线交AB于点F，若G为CE中点，连接EF，求∠EFC的度数.
6．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是BC、AD的中点.
（1）求证： ；
（2）当四边形AECF为菱形且 时，求出该菱形的面积.
7．如图是一张长10 dm，宽6 dm矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为x dm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖方盒.
（1）无盖方盒盒底的长为 dm，宽为 dm（用含x的式子表示）
（2）若要制作一个底面积是32dm2的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形边长x.
8．某公司欲招聘一名销售人员，按1：3的比例入围的甲、乙、丙（笔试成绩没有相同的，按从高到低排列，）三位入围者的成绩（百分制，成绩都是整数）如下表：
入围者 笔试成绩 面试成绩
甲 90 86
乙 x x
丙 84 92
（1）若公司认为笔试成绩与面试成绩同等重要，结果乙被录取，求x的值；
（2）若公司认为笔试成绩与面试成绩按4：6的权重，结果乙排第二，丙被录取，求x的值；
（3）若公司认为笔试成绩与面试成绩按a：（10－a）（a为1~9的整数）的权重，为确保甲被录取，求a的最小值.
9．将两个等腰直角三角形如图摆放，，，，点C在边AD上，连结BD，EC.
（1）求证：.
（2）取BD，EC的中点M，N，判断点A，M，N，为顶点的三角形形状，并说明相应理由.
10．已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a＋b＝3，ab＝1，．
（1）求的值；
（2）试判断△ABC的形状，并说明理由．
11．“校园安全”受到全社会的广泛关注，“高远”中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，要求被抽查的同学在四种了解程度中选择唯一一种，绘制了如下尚不完整的条形统计图，且知在抽样调查中“了解很少”的同学占抽样调查人数的50%，请你根据提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有多少名？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若“高远”中学共有1700名学生，请你估计该校学生对校园安全知识“基本了解”的有多少名？
12．如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为100米，宽为60米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米.
（1）用含a的式子表示花圃的面积；
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的 ，求出此时通道的宽；
13．为庆祝中国共产党成立100周年，某校开展了党史知识的宣传教育活动.为了解此次活动的效果，从全校1800名学生中随机抽取了一部分进行知识测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等级：基本合格 ，合格 ，良好 ，优秀 ，抽样和分析过程如下：
（收集数据）从三个年级中各随机抽取20名学生，测试成绩（单位：分）如下：
七年级：80，75，65，92，84，78，60，86，78，74，81，79，76，74，72，84，88，95，82，73
八年级：83，76，98，69，95，87，75，66，88，77，76，79，94，80，73，82，82，96，81，71
九年级：70，85，75，87，93，98，80，88，87，65，91，87，92，84，76，89，100，95，82，100
（整理数据）整理以上数据，绘制了频数分布表.
七年级 2 9 7 2
八年级 2 7 7 4
九年级 1 3 a b
（分析数据）根据以上教据，得到以下统计里
统计量年级 平均数 中位数 优秀率
七年级 78.8 78.5
八年级 81.4 80.5
九年级 86.2 c d
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的 ， ， ， .
（2）根据统计数据，你认为哪个年级的成绩最好，并说明理由；
（3）若该校学生全部参加测试，请估计成绩达到良好及以上等级的学生人数.
14．随着电池技术的突破，电动汽车已呈替代燃油汽车的趋势，安徽电动汽车在今年第一季度销售了2万辆，第三季度销售了2.88万辆．
（1）求前三季度销售量的平均增长率．
（2）某厂家目前只有1条生产线，经调查发现，1条生产线最大产能是6000辆/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少200辆/季度．
①现该厂家要保证每季度生产电动汽车2.6万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？
②是否能增加生产线，使得每季度生产电动汽车达到6万辆，若能，应该再增加几条生产线？若不能，请说明理由．
15．为了丰富大课间活动，某校抽出部分资金购买了若干副羽毛球拍．已知2022年该校用于购买羽毛球拍的费用是2000元，计划2024年用于购买羽毛球拍的费用是2880元．
（1）求2022~2024年该校用于购买羽毛球拍费用的年平均增长率；
（2）如果按照这样的速度，逐年增加投入，预计2025年需要抽出多少资金用于购买羽毛球拍？
16．4月23日是世界图书日，某学校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，文学社为了解同学课外阅读情况，抽样调查了部分同学每周用于课外阅读的时间，过程如下：
数据收集：从全校随机抽取20名同学，调查每周用于课外阅读的时间，数据如表：（单位：min）
30 60 81 50 40 110 130 146 90 100
60 81 120 140 70 81 10 20 100 81
整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格：
课外阅读时间x（min） 0≤x＜40 40≤x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160
等级 D C B A
人数 3 5 8 a
分析数据：补全下列表格中的统计量：
平均数 中位数 众数
80 b c
得出结论：
（1）a＝_ ，b＝_ ，c＝_ ．
（2）如果该校现有学生2000人，估计等级为“B”的同学有多少名？
（3）假设平均阅读一本课外书的时间为160分钟，请你用平均数来估算该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读多少本课外书？
17．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若是原方程的两根，且 ，求m的值．
（3）若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围为
18．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．
（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？
19．如图，在 中，过点 作 于点 ，点 在边 上， ，连接 ， ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）已知 ， 是 的平分线，若 ，求 的长度．
20．某商场主营玩具销售，经市场调查发现，某种玩具的月销量 （件）是售价 （元/件）的一次函数，该玩具的月销售总利润 （售价－进价）×月销量，三者有如下数据：
售价 （元/件） 15 20 30
月销量 （件） 500 400 200
月销售总利润 （元） 2500 4000 4000
（1）试求 关于 的函数解析式（ 的取值范围不必写出）；
（2）玩具的进价为 元/件；当玩具售价 元/件时，月销售总利润有最大值为 元．
（3）受市场波动影响，从本月起，该玩具每件的进价上涨 元（ ），且物价局规定该玩具售价最高不得超过25元/件．若月销量 与售价 仍满足（1）中的关系，预计本月总利润 最高为3000元，请你求出 的值．
21．中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：
成绩/分 频数 频率
10 0.05
20 0.10
30
0.30
80 0.40
请根据所给信息，解答下列问题：
（1） ，
（2）请补全频数分布直方图．
（3）这次比赛成绩的中位数会落在 分数段．
（4）若成绩在80分以上（包括80分）的为“优良”级别，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优良”级别的大约有多少人？
22．突如其来的新冠疫情影响了某厂经济效益，在复工复产对产品价格进行了调整，每件的售价比进价多8元，8件的进价相当于6件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件．
（1）该商品的售价和进价分别是多少元？
（2）在进价不变的条件下，若每天所得的销售利润为2035元时，且销量尽可能大，该商品应涨价多少元？
23．如图，已知平行四边形 中，对角线 、 交于点O，E是 延长线上一点，若 .
（1）求证：四边形 是菱形.
（2）若 ，判断四边形 是的形状，并说明理由.
24．学校组织开展了社团活动，分别设置了体育类、艺术类、文学类及其它类社团（要求人人参与社团，每人只能选择一项）．为了解学生喜爱哪种社团活动，学校做了一次抽样调查．根据收集到的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）此次共调查了多少人？
（2）通过计算将条形统计图补充完整；
（3）若该校有1500名学生，请估计喜欢体育类社团的学生有多少人？
25．已知关于x的一元二次方程(x-m)2+6x=4m-3有实数根。
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两实根分别为x1与x2，
若x1x2-x12-x22=-7，求m的值。
26．为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取20名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制，单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息.
a.甲、乙两校学生样本成绩频数分布表及扇形统计图如图：
甲校学生样本成绩频数分布表（表1）
成绩 （分） 频数 频率
0.10
4 0.20
7 0.35
2
合计 20 1.0
b.甲、乙两校学生样本成绩的平均分、中位数、众数、方差如表所示：（表2）
学校 平均分 中位数 众数 方差
甲 76.7 77 89 150.2
乙 78.1 80 135.3
其中，乙校20名学生样本成绩的数据如下：
54 72 62 91 87 69 88 79 80 62 80 84 93 67 87 87 90 71 68 91
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）表1中 ；表2中的众数 ；
（2）在此次测试中，某学生的成绩是79分，在他所属学校排在前10名，由表中数据可知该学生是 校的学生（填“甲”或“乙”），理由是 ；
（3）乙校学生样本成绩扇形统计图中， 这一组成绩所在扇形的圆心角度数是 度；
（4）若甲、乙两校各有1000名学生参加此次测试，成绩80分及以上为优秀，请计算两校成绩优秀的学生大约共为多少人？
27．保温杯的保温时效是顾客购买保温杯时的首要考虑因素.随机选择A款保温杯20个，B款保温杯20个.统计了每一个保温杯的保温时效，并绘制成如下统计图表.
A款保温杯的保温时效统计表
保温时效小时 个数
11 6
12 1
13 6
14 7
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）将表格补充完整.
保温时效种类 平均数小时 中位数小时 众数小时
A款保温杯 13
B款保温杯 12.85 13
（2）哪款保温杯的保温效果更好？请你结合所学的统计知识，简述理由.
28．海伦—秦九韶公式：如果一个三角形三边长分别为a，b，c，设，则三角形的面积为，用公式计算下图三角形的面积.
29．如图，菱形 的对角线 、 相交于点 ，过点 作 且 ，连接 、 ，连接 交 于点 .
（1）求证： ；
（2）若菱形 的边长为2， .求 的长.
30．阅读并解决问题：对于二次三项式 ，因不能直接运用完全平方公式，此时，我们可以在 中先加上一项4，使它与 的和成为一个完全平方式，再减去4，整个式子的值不变，于是有： .像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”.
（1）利用“配方法”分解因式： .
（2）同时运用多项式的配方法能确定一些多项式的最大值或最小值.因为不论x取何值， ，所以当 时，多项式 有最小值为-16.
试确定：多项式 有最 值（填大或小）为 .
（3）已知x是实数，试比较 与 的大小，说明理由.
31．某中学A、B两栋教学楼之间有一块如图所示的四边形空地 ，学校为了绿化环境，计划在空地上种植花草，经测量 ， 米， 米， 米， 米.
（1）求出四边形空地 的面积；
（2）若每种植1平方米的花草需要投入120元，求学校共需投入多少元.
32．在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，O是AC边的中点，CE//AD，交DO的延长线于点E，连接AE．
（1）如图1，求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）如图2，若点D是BC边的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的直角三角形．
33．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为．
（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
（2）求喷泉B到小路的最短距离．
34．为了提高学生的安全意识，某校开展了安全教育课程，并在全校实施.为了检验此课程的效果，随机抽取了20名学生在开展此课程前进行了第一次安全常识测试，课程开展一段时间后，对这些学生又进行了第二次安全常识测试，获得了他们的成绩（满分40分），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息：
a.第一次安全常识测试成绩统计表：
分组/分 人数
5
6
m
3
b.第二次安全常识测试成绩扇形统计图：
c.两次成绩的平均数、中位数、众数如表：
平均数 中位数 众数
第一次成绩 28.2 32
第二次成绩 35.8 36.5 37
d.第一次安全常识测试成绩在这一组的数据是：26，26，27，28，28，29.
e.第二次安全常识测试成绩在B：这一组的数据是：31，31，33，34，34.
请根据以上信息，回答下列问题：
（1） ， ．
（2）下列推断合理的是 （填写序号）．
①第二次测试成绩的平均分高于第一次的平均分，所以大多数学生通过参加此课程一段时间后成绩提升了．
②被抽测的学生小明的第二次测试成绩是36分，他觉得学校里至少有一半的学生的测试成绩比他高．
（3）若第二次安全常识测试成绩不低于34分为优秀，根据统计结果，估计全校600名学生第二次安全常识测试成绩优秀的人数．
35．如图，已知为火车道，为公路，A为火车站（点A在射线上），P为村庄（点P在射线上），且．公路与公路垂直，垂足为D，经测量，．
（1）原来P村村民需沿才能到达火车站，现修通公路，求P村村民沿公路到达火车站，比原来少走多少的路；（结果可保留根号）
（2）求的长．
36．如图，点E是正方形 的边 延长线上一点，连接 ，过点A作 交 于点H，交 延长线于点F，点M、N分别是 、 的中点，连接 、 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ，求 的值．
37．
（1）计算： + -│-4│
（2）先化简，再求值： ，其中x是一元二次方程 -5x+6=0的解
38．某中学对全校学生开展主题为“一周内平均丢的塑料袋个数”的专题调查活动，采用随机抽查的方式进行了问卷调查，问卷调查的结果分为“A．非常了解”、“B．比较了解”、“C．基本了解”、“D．不太了解”四个等级，统计等级如下：
等级 频数 频率
A 75 0.375
B 95
C 24 0.12
D
（1）求表格中的参数、的值：
（2）求扇形统计图中A等级和B等级部分所对的圆心角度数之和；
（3）该校共计有学生4220人，请根据统计结果估计该校达到A、B等级的人数．
39．如图(1)，矩形纸片ABCD，把它沿对角线BD向上折叠，
（1）在图(2)中用实线画出折叠后得到的图形(要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
（2）折叠后重合部分是什么图形？说明理由.
40．如图，△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF.
（1）求证：BF＝2AE；
（2）若CD=2，求AD的长.
41．如图1，E、F分别为△ABC的边AB、BC的中点，延长EF到D，使得DF=EF，连接DA、DB、AE．
（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；
（2）若AB=AC，试说明四边形AEBD是矩形；
（3）如图2，如果ABCD是一个正方形花园，E、F是它的两个门，且DE=CF，要建两条路BE和AF，这两条路等长吗？为什么？
42．看对话答题：
小梅说：这个多边形的内角和等于1125°
小红说：不对，你少加了一个角
问题：
（1）他们在求几边形的内角和
（2）少加的那个内角是多少度
43．先观察下列各组数，然后回答问题：
第一组：1， ，2； 第二组： ，2， ；
第三组： ， ， ； 第四组：2， ， ；
（1）根据各组数反映的规律，用含 的代数式表示第 组的三个数；
（2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由；
（3）如图， ， ， ，若3， ， 为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且 ， ，求 的长．
44．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形。
（1）概念理解：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE。已知AC=4，AB=5，求GE长。
45．我们知道，所以代数式的最小值为0.学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值.
例如，求的最小值问题.
解：∵，
又∵，∴，∴的最小值为-6.
请应用上述思想方法，解决下列问题：
（1）探究：（x ）2+
（2）求的最小值.
（3）比较代数式：与的大小.
46．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC延长线上的一点，且BD＝DE．点G是线段BC的中点，连结AG，交BD于点F，过点D作DH⊥BC，垂足为H．
（1）求证：△DCE为等腰三角形；
（2）若∠CDE＝22.5°，DC＝ ，求GH的长；
（3）探究线段CE，GH的数量关系并用等式表示，并说明理由．
47．如图，是的中线，是线段上一点（不与点重合）．交于点，，连接．
（1）如图1，当点与重合时，证明；
（2）如图1，当点与重合时，求证：四边形是平行四边形；
（3）如图2，当点不与重合时，（2）中的结论还成立吗？请说明理由．
48．如图，中、，，外角平分线交于点，过点分别作直线的垂线，为垂足．
（1）求的大小；
（2）①求证：四边形是正方形．
②若，求的长．
（3）如图2，在中，，高，，求的长度．（直接写出结果不写解答过程）．
49．如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与点C和点A重合），连接PB，过点P作PF⊥PB交射线DA于点F，连接BF，已知AD＝3 ，CD＝3，设CP的长为x．
（1）线段PB的最小值为 ．
（2）如图，当动点P运动到AC的中点时，AP与BF的交点为G，FP的中点为H，求线段GH的长度；
（3）当点P在运动的过程中：
①试探究∠FBP是否会发生变化？若不改变，请求出∠FBP大小；若改变，请说明理由；
②当x为何值时，△AFP是等腰三角形？
50．已知，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝18cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中．
①已知点P的速度为每秒10cm，点Q的速度为每秒6cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为x、y（单位：cm，xy≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求x与y满足的函数关系式．
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【精选热题·期末50道综合题专练】沪科版数学八年级下册复习卷
1．超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销量，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间后，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价5元，则平均每天销售数量为________件；
（2）为尽快减少库存，要使该商店每天销售利润为1200元，每件商品应降价多少元？
【答案】（1）30
（2）20元
2．如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为1872平方米，路宽为多少米？
【答案】2米
3．某超市对近四周西红柿和黄瓜的销售情况进行了统计，并将销售单价和销售量分别制成如下统计图．
（1）这四周西红柿销售单价的众数为 ，黄瓜销售单价的中位数为 ；
（2）分别求这四周西红柿、黄瓜周销量的方差；
（3）结合上述两幅统计图写出一条正确的结论．
【答案】（1）6，5.5
（2）西红柿销量的方差为462.5，黄瓜销量的方差为350
（3）西红柿和黄瓜的销量随着价格的减少而增加
4．某校为调查学生周末平均每天做作业所用时间的情况，随机抽查了50名同学，如图是根据调查所得数据绘制的统计图的一部分．请根据以上信息，解答下列问题：
（1）请你补全条形统计图；
（2）求在这次调查的数据中，学生做作业所用时间的众数、中位数和平均数；
（3）若该校共有2000名学生，根据以上调查结果估计该校全体学生每天组做作业时间在3小时内（含3小时）的同学共有多少人？
【答案】（1）解：每天作业用时4个小时的人数是：(人)，
故条形统计图如图所示：
（2）解：每天作业用时是3小时的人数最多，
众数是3小时；
从小到大排列后排在第25位和第26位的都是每天作业用时3小时的人，
中位数是3小时；
平均数是（小时）；
（3）解：估计该校全体学生每天组做作业时间在3小时内（含3小时）的同学人数为：
(人).
【解析】【分析】（1）用样本容量减去已知各部分的人数求出平均每天作业用时是4小时的人数，然后补全统计图；
（2）平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（3）利用总人数2000乘以样本中每天做作业时间在3小时内（含3小时）的同学所占的比例即可估计该校全体学生每天组做作业时间在3小时内（含3小时）的同学人数.
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，延长CA至D使得CD＝BA，过D作DE⊥CD且满足CB＝CE，连接CE.
（1）求证：∠B＝∠DCE；
（2）延长BA交CE于点G，作∠BCA的平分线交AB于点F，若G为CE中点，连接EF，求∠EFC的度数.
【答案】（1）证明：在Rt△ABC和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCE（HL）.
∴∠B＝∠DCE.
（2）解：∵CF是∠BCA的平分线，
∴∠ACF＝∠BCF.
∵∠GCF＝∠GCA+∠ACF，∠GFC＝∠B+∠BCF，
∴∠GCF＝∠GFC.
∴GF＝GC.
∵G为CE中点，
∴GC＝GE.
∴GC＝GE＝GF.
∴GF＝ EC.
∵G为CE中点，
∴∠EFC＝90°
【解析】【分析】（1）易证Rt△ABC≌Rt△DCE，据此可得结论；
（2）由角平分线的概念可得∠ACF＝∠BCF，由外角的性质可得∠GFC＝∠B+∠BCF，根据角的和差关系可得∠GCF＝∠GCA+∠ACF，推出∠GCF＝∠GFC，则GF＝GC，由中点的概念可得GC＝GE，则GC＝GE＝GF，GF＝EC，据此解答.
6．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是BC、AD的中点.
（1）求证： ；
（2）当四边形AECF为菱形且 时，求出该菱形的面积.
【答案】（1）证明：∵平行四边形ABCD
∴ ， ，
∵点E、F分别为BC、AD中点
∴ ，
∴
∴ ，
∴
（2）解：
∵四边形AECF是菱形
∴CE=AE
BE=CE=AE=4
∵AB=4
∴AB=BE=AE=4，
过点A作AH⊥BC于H
AH=2
S菱形AECF=CE×AH=4×2 =8 .
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得BC=AD，∠B=∠D，AB=CD，由线段中点的概念可得BE=0.5BC，DF=0.5AD，进而推出DE=DF，然后结合全等三角形的判定定理进行证明；
（2）由菱形的性质结合已知条件可得AB=BE=CE=AE=4，过点A作AH⊥BC于H，可得AH的值，然后根据菱形的面积公式进行计算.
7．如图是一张长10 dm，宽6 dm矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为x dm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖方盒.
（1）无盖方盒盒底的长为 dm，宽为 dm（用含x的式子表示）
（2）若要制作一个底面积是32dm2的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形边长x.
【答案】（1）（10﹣2x）；（6﹣2x）
（2）解：根据题意得：（10﹣2x）（6﹣2x）=32，解得：x1=1，x2=7（不合题意，舍去）.
答：剪去的正方形边长为1dm.
【解析】【解答】解：（1）无盖方盒盒底的长为（10﹣2x）dm，宽为（6﹣2x）dm.
故答案为：（10﹣2x），（6﹣2x）；
【分析】（1）由矩形纸板的长宽结合剪去的正方形的边长，即得无盖纸盒的长与宽；
（2）根据矩形的面积公式列出关于x的方程，求出x值即可.
8．某公司欲招聘一名销售人员，按1：3的比例入围的甲、乙、丙（笔试成绩没有相同的，按从高到低排列，）三位入围者的成绩（百分制，成绩都是整数）如下表：
入围者 笔试成绩 面试成绩
甲 90 86
乙 x x
丙 84 92
（1）若公司认为笔试成绩与面试成绩同等重要，结果乙被录取，求x的值；
（2）若公司认为笔试成绩与面试成绩按4：6的权重，结果乙排第二，丙被录取，求x的值；
（3）若公司认为笔试成绩与面试成绩按a：（10－a）（a为1~9的整数）的权重，为确保甲被录取，求a的最小值.
【答案】（1）解： ， ，
∵88＜x＜90，∴x=89；
（2）解： ， ，
∵87.6＜x＜88.8，∴x=88；
（3）解： ， ，
要确保甲被录取，则
解得：a＞7.5
∴a的最小值为8.（a取6或7扣1分）
【解析】【分析】（1）计算出甲、乙、丙三人的平均数，再根据题意得出88＜x＜90，即可求出x=89；
（2）根据加权平均数的计算公式求出甲、乙、丙三人的平均数，再根据题意得出87.6＜x＜88.8，即可求出x=88；
（3）根据加权平均数的计算公式求出甲、乙、丙三人的平均数，根据题意列出不等式组，解不等式组得出 a＞7.5 ，即可求出a的最小值为8.
9．将两个等腰直角三角形如图摆放，，，，点C在边AD上，连结BD，EC.
（1）求证：.
（2）取BD，EC的中点M，N，判断点A，M，N，为顶点的三角形形状，并说明相应理由.
【答案】（1）证明：在和中
（2）解：是等腰直角三角形理由如下：连接
是直角三角形分别是的中点 ， 是等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）由题意可得AC=AB，AE=AD，∠CAE=∠BAD，证明△ACE≌△ABD，据此可得结论；
（2）连接AM、AN、MN，易得△ACE、△ABD是直角三角形，根据直角三角形斜边上中线的性质可得AM=DM=BM=BD，AN=EN=CN=CE，结合BD=CE可得AN=AM，由等腰三角形的性质可得∠NCA=∠NAC，∠ADM=∠DAM，由全等三角形的性质可得∠ADM=∠AEC，结合∠AEC+∠ACE=90°可得∠MAN=90°，据此可得△AMN的形状.
10．已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a＋b＝3，ab＝1，．
（1）求的值；
（2）试判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：∵a＋b＝3，ab＝1，，
∴
=．
（2）解：△ABC是直角三角形．理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴△ABC是直角三角形．
【解析】【分析】（1） 由于，然后整体代入计算即可；
（2）△ABC是直角三角形．理由：根据勾股定理的逆定理进行解答即可.
11．“校园安全”受到全社会的广泛关注，“高远”中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，要求被抽查的同学在四种了解程度中选择唯一一种，绘制了如下尚不完整的条形统计图，且知在抽样调查中“了解很少”的同学占抽样调查人数的50%，请你根据提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有多少名？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若“高远”中学共有1700名学生，请你估计该校学生对校园安全知识“基本了解”的有多少名？
【答案】（1）解：接受问卷调查的学生共有30÷50%=60（名）；
（2）解：“不了解”的人数为60-（15+5+30）=10，
补全条形图如下：
（3）解：1700× =425（名），
答：估计该校学生对校园知识“基本了解”的有425名．
【解析】【分析】（1）根据“了解人很少”的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数减去其它类型的人数，求得“不了解”的人数即可补全条形图；
（3）总人数乘以样本中“基本了解”人数所占比例即可．
12．如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为100米，宽为60米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米.
（1）用含a的式子表示花圃的面积；
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的 ，求出此时通道的宽；
【答案】（1）解：由图可知，花圃的面积为 平方米 ；
（2）解：由已知可列式： ，
∴ ，
解得：a1＝5，a2＝75（舍去），
∴通道的宽为5米；
【解析】【分析】（1）由图可知：花圃的长为（100-2a）米，宽为（60-2a）米，然后根据长方形的面积公式可得花圃的面积；
（2）由通道所占面积是整个长方形空地面积的 ，列出方程，求解即可.
13．为庆祝中国共产党成立100周年，某校开展了党史知识的宣传教育活动.为了解此次活动的效果，从全校1800名学生中随机抽取了一部分进行知识测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等级：基本合格 ，合格 ，良好 ，优秀 ，抽样和分析过程如下：
（收集数据）从三个年级中各随机抽取20名学生，测试成绩（单位：分）如下：
七年级：80，75，65，92，84，78，60，86，78，74，81，79，76，74，72，84，88，95，82，73
八年级：83，76，98，69，95，87，75，66，88，77，76，79，94，80，73，82，82，96，81，71
九年级：70，85，75，87，93，98，80，88，87，65，91，87，92，84，76，89，100，95，82，100
（整理数据）整理以上数据，绘制了频数分布表.
七年级 2 9 7 2
八年级 2 7 7 4
九年级 1 3 a b
（分析数据）根据以上教据，得到以下统计里
统计量年级 平均数 中位数 优秀率
七年级 78.8 78.5
八年级 81.4 80.5
九年级 86.2 c d
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的 ， ， ， .
（2）根据统计数据，你认为哪个年级的成绩最好，并说明理由；
（3）若该校学生全部参加测试，请估计成绩达到良好及以上等级的学生人数.
【答案】（1）9；7；87；35%
（2）解：答案不唯一，言之有理即可.
我认为九年级的成绩最好，理由如下：因为九年级的平均分最高，且中位数87分也为最高，所以九年级的成绩最好.（答案不唯一，有道理即可）
（3）解： （人）
答：若该校学生全部参加测试，可估计有1080人达到良好及以上等级.
【解析】【解答】解：（1） .
【分析】（1）根据频数分布表和统计表中的信息可求解；
（2）分析平均数、中位数、优秀率可求解（答案不唯一）；
（3）用样本估计总体可求解.
14．随着电池技术的突破，电动汽车已呈替代燃油汽车的趋势，安徽电动汽车在今年第一季度销售了2万辆，第三季度销售了2.88万辆．
（1）求前三季度销售量的平均增长率．
（2）某厂家目前只有1条生产线，经调查发现，1条生产线最大产能是6000辆/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少200辆/季度．
①现该厂家要保证每季度生产电动汽车2.6万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？
②是否能增加生产线，使得每季度生产电动汽车达到6万辆，若能，应该再增加几条生产线？若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设前三季度销售量的平均增长率为x，
由题意得：，
解得或（不符题意，舍去），
答：前三季度销售量的平均增长率为．
（2）解：①设应该再增加y条生产线，则每条生产线的最大产能为辆/季度，
由题意得：，
整理得：，
解得或，
在增加产能同时又要节省投入成本的条件下，
，
答：应该再增加4条生产线；
②设再增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为辆/季度，
由题意得：，
整理得：，
此方程根的判别式为，
所以此方程没有实数根，
答：不能增加生产线，使得每季度生产电动汽车达到6万辆．
【解析】【分析】（1）设前三季度销售量的平均增长率为x，根据题意列出方程求解即可；
（2）①设应该再增加y条生产线，则每条生产线的最大产能为辆/季度，根据题意列出方程，再求解即可；
②设再增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为辆/季度，根据题意列出方程，再求解即可。
15．为了丰富大课间活动，某校抽出部分资金购买了若干副羽毛球拍．已知2022年该校用于购买羽毛球拍的费用是2000元，计划2024年用于购买羽毛球拍的费用是2880元．
（1）求2022~2024年该校用于购买羽毛球拍费用的年平均增长率；
（2）如果按照这样的速度，逐年增加投入，预计2025年需要抽出多少资金用于购买羽毛球拍？
【答案】（1）
（2）3456元
16．4月23日是世界图书日，某学校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，文学社为了解同学课外阅读情况，抽样调查了部分同学每周用于课外阅读的时间，过程如下：
数据收集：从全校随机抽取20名同学，调查每周用于课外阅读的时间，数据如表：（单位：min）
30 60 81 50 40 110 130 146 90 100
60 81 120 140 70 81 10 20 100 81
整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格：
课外阅读时间x（min） 0≤x＜40 40≤x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160
等级 D C B A
人数 3 5 8 a
分析数据：补全下列表格中的统计量：
平均数 中位数 众数
80 b c
得出结论：
（1）a＝_ ，b＝_ ，c＝_ ．
（2）如果该校现有学生2000人，估计等级为“B”的同学有多少名？
（3）假设平均阅读一本课外书的时间为160分钟，请你用平均数来估算该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读多少本课外书？
【答案】（1）4；81；81
（2）解：等级为“B”的同学有8÷20×2000=800名．
（3）解：52÷（160÷80）=26本．
【解析】【解答】（1）解： a=20-3-5-8=4；中位数为第10和第11位的均值，两个数刚好都是81，则中位数也是81；由表格可知81出现的次数最多，则众数为81．
故答案为：4，81，81
【分析】（1）根据表格中的数据及中位数和众数的计算方法求解即可；
（2）先求出“B”的百分比，再乘以2000可得答案；
（3）根据题意列出算式求解即可。
17．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若是原方程的两根，且 ，求m的值．
（3）若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围为
【答案】（1）证明：
整理得：，
∵，
∴，
∴，
∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵是方程的两个根，
∴，，
∴，
∴，
即：，
解得：或；
∴或；
（3）且
【解析】【解答】（3）解：由题意得：，
解得：，
又∵方程为一元二次方程，
∴，
∴的取值范围为：且；
【分析】（1）先求出b2-4ac的值，再证明b2-4ac＞0即可.
（2）利用一元二次方程根与系数的关系，可表示出x1+x2和x1x2，再将等式转化为（x1+x2）2-4x1x2-20，整体代入可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
（3）利用一元二次方程的定义可知m≠0，方程有实数根，可知b2 -4ac≥0，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集，可得到m的取值范围.
18．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．
（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？
【答案】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染个人，
根据题意得：，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染8个人；
（2）解：（人．
答：经过三轮传染后共有729人会患流感．
【解析】【分析】
（1）设每轮传染中平均一个人传染个人，一轮后一共有（x+1）个人患流感。第二轮（x+1）个人，一个人传染x个人，一共有x（x+1）个人被传染上流感，两轮一共有（x+1）+x（x+1）个人患流感。
根据经过两轮传染后共有81人患了流感，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据两轮一共有81个人患流感，一人传染8个人，第三轮=第二轮人数+第二轮传染的人数，即可求出结论．
（1）解：设每轮传染中平均一个人传染个人，
根据题意得：，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染8个人；
（2）解：（人．
答：经过三轮传染后共有729人会患流感．
19．如图，在 中，过点 作 于点 ，点 在边 上， ，连接 ， ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）已知 ， 是 的平分线，若 ，求 的长度．
【答案】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
且 ，
四边形 是平行四边形，
又 ，
四边形 是矩形；
（2）解： ， ， ，
， ，
四边形 是矩形，
平分 ，
，且 ，
，
．
【解析】【分析】（1）由题意可证四边形 是平行四边形，且 ，可得结论；
（2）根据直角三角形的边角关系可求DE的长度，则可得BF的长度，即可求出CD的长度。
20．某商场主营玩具销售，经市场调查发现，某种玩具的月销量 （件）是售价 （元/件）的一次函数，该玩具的月销售总利润 （售价－进价）×月销量，三者有如下数据：
售价 （元/件） 15 20 30
月销量 （件） 500 400 200
月销售总利润 （元） 2500 4000 4000
（1）试求 关于 的函数解析式（ 的取值范围不必写出）；
（2）玩具的进价为 元/件；当玩具售价 元/件时，月销售总利润有最大值为 元．
（3）受市场波动影响，从本月起，该玩具每件的进价上涨 元（ ），且物价局规定该玩具售价最高不得超过25元/件．若月销量 与售价 仍满足（1）中的关系，预计本月总利润 最高为3000元，请你求出 的值．
【答案】（1）解：设y关于x的函数解析式为 ，则，
，解得 ，
∴ 关于 的函数解析式为 ；
（2）10；25；4500
（3）解：由题意得 ，函数图象的对称轴为 .
由题意得 且 ，
∴当 时，最大利润 ，解得 ．
【解析】【解答】解：（2）设成本为m元，
由题意可得： ，解得 （元），
则 ，
∵-20＜0，故W有最大值，
当 （元），W的最大值是4500元；
故答案是：10；25；4500；
【分析】 (1)设出y关于x的函数解析式，用待定系数法求解即可；
(2)根据销售利润的关系式求解即可；
(3)根据题意列出关系式，再根据二次函数的性质求解即可。
21．中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：
成绩/分 频数 频率
10 0.05
20 0.10
30
0.30
80 0.40
请根据所给信息，解答下列问题：
（1） ，
（2）请补全频数分布直方图．
（3）这次比赛成绩的中位数会落在 分数段．
（4）若成绩在80分以上（包括80分）的为“优良”级别，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优良”级别的大约有多少人？
【答案】（1）60；0.15
（2）解：如图
（3）
（4）解：由题意得：
答：成绩“优良”级别的大约有人．
【解析】【解答】（1）解：
，
，
故，．
（2）解：
（3）解：将分数从小到大排列，中位数是第个分数和第个分数的平均数，
第个分数和第个分数都在，
在分数段：．
【分析】（1）根据表格中的数据直接求出a、b的值即可；
（2）根据a的值作出频数分布直方图即可；
（3）根据中位数的定义求解即可；
（4）先求出“优良”的频率之和，再乘以3000可得答案。
22．突如其来的新冠疫情影响了某厂经济效益，在复工复产对产品价格进行了调整，每件的售价比进价多8元，8件的进价相当于6件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件．
（1）该商品的售价和进价分别是多少元？
（2）在进价不变的条件下，若每天所得的销售利润为2035元时，且销量尽可能大，该商品应涨价多少元？
【答案】（1）商品的售价和进价分别是32元/件、24元/件
（2）3元
23．如图，已知平行四边形 中，对角线 、 交于点O，E是 延长线上一点，若 .
（1）求证：四边形 是菱形.
（2）若 ，判断四边形 是的形状，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
在 和 中，
，
∴ （SSS）
∴ ，
∴ ，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：由（1）知，AO=CO，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，AB=CB，
由（1）知， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形ABCD是矩形，
又∵AB=CB，
∴四边形ABCD 是正方形.
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AO=CO，BO=DO，证明△AEO≌△CEO，得到∠AOB=∠COB=90°，然后结合AC⊥BD以及菱形的判定定理进行证明；
（2）由（1）知：AO=CO，证明△AOB≌△COB，得到∠ABO=∠CBO，∠BAO=∠BCO，AB=BC，由（1）知：∠AOB=∠COB=90°，结合三角形内角和定理推出∠BAO=∠ABO=45°，得到四边形ABCD是矩形，然后根据AB=CB进行判断.
24．学校组织开展了社团活动，分别设置了体育类、艺术类、文学类及其它类社团（要求人人参与社团，每人只能选择一项）．为了解学生喜爱哪种社团活动，学校做了一次抽样调查．根据收集到的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）此次共调查了多少人？
（2）通过计算将条形统计图补充完整；
（3）若该校有1500名学生，请估计喜欢体育类社团的学生有多少人？
【答案】（1）解：由喜欢体育类的有80人，占比40%，可得
此次共调查人
（2）解：由喜欢文学的有60人，则占比：
所以喜欢其它的占比：
则有：人，
喜欢艺术的有：人，
补全图形如下：
（3）解：该校有1500名学生，喜欢体育类社团的学生有：
人.
【解析】【分析】（1）利用“体育”的人数除以对应的百分比即可得到总人数；
（2）利用总人数乘以“艺术”的百分比求出艺术的人数，再利用总人数减去“体育”、“艺术”和“文学”的人数得到“其他”的人数，再作出条形统计图即可；
（3）先求出“体育”的百分比，再乘以1500即可得到答案。
25．已知关于x的一元二次方程(x-m)2+6x=4m-3有实数根。
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两实根分别为x1与x2，
若x1x2-x12-x22=-7，求m的值。
【答案】（1）解：由(x-m)2+6x=4m-3得x2+(6-2m)x+m2-4m+3=0，
∵△=b2-4ac=(6-2m)2-4×1×(m2 -4m+3)=-8m+ 24，
方程有实数根，∴-8m+ 24≥0，解得m≤3；
（2）解：由根与系数的关系得x1+x2=2m-6，x1x3=m2-4m+3，
∴x1x2-x12-x22=3x1x2-(x1 +x2)2 = 3(m2 -4m+3)- (2m-6)2=-m2+12m-27=-7，
∴m2-12m+20=07，
∴m1=2， m2=10， 由(1)知m≤3，
∴m=10应舍去，∴m=2
【解析】【分析】（1）先把一元二次方程化为一般式，再根据一元二次方程根的判别式≥0，得出-8m+ 24≥0，即可求出m的取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=2m-6，x1x2=m2-4m+3，再把原式化为 3x1x2-(x1 +x2)2 =-7的形式，代入进行化简得 m2-12m+20=-7，求出m的值，即可求解.
26．为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取20名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制，单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息.
a.甲、乙两校学生样本成绩频数分布表及扇形统计图如图：
甲校学生样本成绩频数分布表（表1）
成绩 （分） 频数 频率
0.10
4 0.20
7 0.35
2
合计 20 1.0
b.甲、乙两校学生样本成绩的平均分、中位数、众数、方差如表所示：（表2）
学校 平均分 中位数 众数 方差
甲 76.7 77 89 150.2
乙 78.1 80 135.3
其中，乙校20名学生样本成绩的数据如下：
54 72 62 91 87 69 88 79 80 62 80 84 93 67 87 87 90 71 68 91
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）表1中 ；表2中的众数 ；
（2）在此次测试中，某学生的成绩是79分，在他所属学校排在前10名，由表中数据可知该学生是 校的学生（填“甲”或“乙”），理由是 ；
（3）乙校学生样本成绩扇形统计图中， 这一组成绩所在扇形的圆心角度数是 度；
（4）若甲、乙两校各有1000名学生参加此次测试，成绩80分及以上为优秀，请计算两校成绩优秀的学生大约共为多少人？
【答案】（1）0.25；87
（2）甲；因为该学生的成绩是79分，略高于甲校的样本成绩数据的中位数77分，符合该生的成绩在甲校排名是前10名的要求
（3）54
（4）解：甲校优秀人数：1000×（0.35+0.1）=450（人），
乙校优秀人数：1000×（35%+20%）=550（人），
450+550=1000，
故答案为：1000.
（1）0.25，87；（2）甲；见解析；（3）54；（4）1000.
【解析】【解答】解：（1）d=2÷20=0.1，
c=1-0.1-0.1-0.2-0.35=0.25，
乙班成绩出现次数最多的数是87分，共出现3次，因此乙班的众数为87，
故答案为：0.25，87；
（2）甲，
因为该学生的成绩是79分，略高于甲校的样本成绩数据的中位数77分，符合该生的成绩在甲校排名是前10名的要求；
（3）360°×（1-5%-20%-35%-25%）=360°×15%=54°，
故答案为：54；
【分析】(1)用成绩在90≤m≤100的频数除以样本容量则可确定d的值，用1减去其他几组的频率即可算c的值，找出乙班的20个样本成绩出现次数最多的数据，可求出n的值；
(2)根据中位数的意义进行判断即可；
(3)求出70≤x< 80这组的频数所占得百分比，再乘以360°即可；
(4)根据样本估计总体的方法，分别求出两个学校优秀的人数即可.
27．保温杯的保温时效是顾客购买保温杯时的首要考虑因素.随机选择A款保温杯20个，B款保温杯20个.统计了每一个保温杯的保温时效，并绘制成如下统计图表.
A款保温杯的保温时效统计表
保温时效小时 个数
11 6
12 1
13 6
14 7
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）将表格补充完整.
保温时效种类 平均数小时 中位数小时 众数小时
A款保温杯 13
B款保温杯 12.85 13
（2）哪款保温杯的保温效果更好？请你结合所学的统计知识，简述理由.
【答案】（1）12.7；14；13
（2）解：B款保温杯保温效果更好，从平均数看，B款保温杯的平均保温时长高于A款保温杯，并且保温时长在13小时以上的比例达到75%，而A款保温杯只占65%
【解析】【解答】解：（1）A款保温杯的平均数：，
A款保温杯的众数：14，
B款保温杯的保温时效从小到大排列：10、11、12、12、12、13、13、13、13、13、13、13、13、13、13、14、14、14、14、14，
款保温杯的中位数：13，
见下表：
保温时效种类 平均数小时 中位数小时 众数小时
A款保温杯 12.7 13 14
B款保温杯 12.85 13 13
【分析】（1）根据保温时效×对应的个数，然后除以总个数可得平均数；找出出现次数最多的数据即为众数；将B款保温杯的保温时效从小到大进行排列，找出最中间的数据即为中位数；
（2）根据平均数的大小以及保温时长在13小时以上的比例进行解答.
28．海伦—秦九韶公式：如果一个三角形三边长分别为a，b，c，设，则三角形的面积为，用公式计算下图三角形的面积.
【答案】解：，
＝=.
【解析】【分析】先求出P值，再代入三角形的面积计算即可.
29．如图，菱形 的对角线 、 相交于点 ，过点 作 且 ，连接 、 ，连接 交 于点 .
（1）求证： ；
（2）若菱形 的边长为2， .求 的长.
【答案】（1）证明：在菱形ABCD中，OC= AC.
∴DE=OC.
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形.
∵AC⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形.
∴OE=CD.
（2）解：在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴AC=AB=2.
∴在矩形OCED中，
CE=OD= .
在Rt△ACE中，
AE= .
【解析】【分析】（1） 先证明四边形OCED是平行四边形，由菱形的性质可得AC⊥BD，可证平行四边形OCED是矩形，利用矩形的对角线相等即得结论；
（2）由菱形的性质可得AC=AB=2，由勾股定理求出OD，即得CE，在Rt△ACE中， 利用勾股定理即可求出AE.
30．阅读并解决问题：对于二次三项式 ，因不能直接运用完全平方公式，此时，我们可以在 中先加上一项4，使它与 的和成为一个完全平方式，再减去4，整个式子的值不变，于是有： .像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”.
（1）利用“配方法”分解因式： .
（2）同时运用多项式的配方法能确定一些多项式的最大值或最小值.因为不论x取何值， ，所以当 时，多项式 有最小值为-16.
试确定：多项式 有最 值（填大或小）为 .
（3）已知x是实数，试比较 与 的大小，说明理由.
【答案】（1）解：
（2）大；17
（3）解：
【解析】【解答】解：（2）
=
=
∵
∴当 时，多项式 有最大值为17.
故答案为：大，17
【分析】（1）利用配方法将代数式转化为（x-3）2-4，再利用平方差公式进行分解因式.
（2）利用配方法将代数式转化为-（x-1）2+17，可得到次多项式的最大值.
（3）利用求差法比较大小，将其差转化为（x-2）2+1，即可求解.
31．某中学A、B两栋教学楼之间有一块如图所示的四边形空地 ，学校为了绿化环境，计划在空地上种植花草，经测量 ， 米， 米， 米， 米.
（1）求出四边形空地 的面积；
（2）若每种植1平方米的花草需要投入120元，求学校共需投入多少元.
【答案】（1）解：连接 .
在 中，∵ ， ， ，
∴ （米）.
在 中，∵ ， ， ，
∴ .
∴ 是直角三角形，且 .
∴ 平方米.
∴四边形空地 的面积为234平方米.
（2）解： （元）.
答：学校共需投入28080元.
【解析】【分析】（1）连接 ，利用勾股定理，求得AC=25，再利用勾股定理的逆定理可得 是直角三角形，且 ，利用 即可得出结果；
（2）由（1）得面积是234 平方米，再用面积乘以单价即可算出答案.
32．在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，O是AC边的中点，CE//AD，交DO的延长线于点E，连接AE．
（1）如图1，求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）如图2，若点D是BC边的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的直角三角形．
【答案】（1）证明：∵CE//AD，
∴∠CED=∠ADE，
∵O是AC边的中点，
∴OA=OC，
∴在△COE和△AOD中，
，
∴△COE≌△AOD(AAS)，
∴CE=AD，
又∵CE//AD，
∴四边形ADCE是平行四边形；
（2）解：直接三角形有： ．
【解析】【解答】解：（2）∵点D是BC边的中点，
∴DC=DB，
又由（1）可知四边形ADCE是平行四边形，
∴DC=AE，DC AE，
∴DB=AE，
又∵DB AE，
∴四边形DBAE是平行四边形，
∴AB=DE，
又∵AB=AC，
∴DE=AC，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴平行四边形ADCE是矩形，
∴∠DCE=∠CEA=∠EAD=∠ADC=90°，
∴∠BDA=90°，
∴直接三角形有： ．
【分析】（1）只要证明△COE≌△AOD(AAS)，得出CE=AD，又CE//AD，可得出四边形ADCE是平行四边形；
（2）根据等腰三角形的性质，结合（1）可得出平行四边形ADCE是矩形，进而得出所有的直角三角形。
33．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为．
（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
（2）求喷泉B到小路的最短距离．
【答案】（1）350 m
（2）150 m
34．为了提高学生的安全意识，某校开展了安全教育课程，并在全校实施.为了检验此课程的效果，随机抽取了20名学生在开展此课程前进行了第一次安全常识测试，课程开展一段时间后，对这些学生又进行了第二次安全常识测试，获得了他们的成绩（满分40分），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息：
a.第一次安全常识测试成绩统计表：
分组/分 人数
5
6
m
3
b.第二次安全常识测试成绩扇形统计图：
c.两次成绩的平均数、中位数、众数如表：
平均数 中位数 众数
第一次成绩 28.2 32
第二次成绩 35.8 36.5 37
d.第一次安全常识测试成绩在这一组的数据是：26，26，27，28，28，29.
e.第二次安全常识测试成绩在B：这一组的数据是：31，31，33，34，34.
请根据以上信息，回答下列问题：
（1） ， ．
（2）下列推断合理的是 （填写序号）．
①第二次测试成绩的平均分高于第一次的平均分，所以大多数学生通过参加此课程一段时间后成绩提升了．
②被抽测的学生小明的第二次测试成绩是36分，他觉得学校里至少有一半的学生的测试成绩比他高．
（3）若第二次安全常识测试成绩不低于34分为优秀，根据统计结果，估计全校600名学生第二次安全常识测试成绩优秀的人数．
【答案】（1）6；28.5
（2）①②
（3）解：根据题意可得：第二次成绩在的人数为：（人），
若第二次安全常识测试成绩不低于34分为优秀，则优秀人数为（人），
（人），
答：估计全校600名学生第二次安全常识测试成绩优秀的人数为420（人）．
【解析】【解答】（1）解：由题意可知：，
把第一次的成绩从小到大的顺序排列可知处于中间的两个数是28、29，
∴第一次成绩的中位数是：，
故答案为：6，28.5．
（2）解：第二次测试成绩的平均分高于第一次的平均分，所以大多数学生通过参加此课程一段时间后成绩提升了，故①合理；
被抽测的学生小明的第二次测试成绩是36分，他觉得学校里至少有一半的学生的测试成绩比他高，他的第二次成绩低于第二次成绩的中位数，故②合理，
故答案为：①②．
【分析】（1）根据题干中的数据直接求出m的值，再利用中位数的定义及计算方法求出n的值即可；
（2）利用平均数、中位数和众数的定义求解即可；
（3）根据题意直接列出算式求解即可。
35．如图，已知为火车道，为公路，A为火车站（点A在射线上），P为村庄（点P在射线上），且．公路与公路垂直，垂足为D，经测量，．
（1）原来P村村民需沿才能到达火车站，现修通公路，求P村村民沿公路到达火车站，比原来少走多少的路；（结果可保留根号）
（2）求的长．
【答案】（1）
（2）
36．如图，点E是正方形 的边 延长线上一点，连接 ，过点A作 交 于点H，交 延长线于点F，点M、N分别是 、 的中点，连接 、 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）证明：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
又 ，
∴四边形AHDE是平行四边形，
∴ ，
在 中，点N是 中点．
∴ ，
同理 ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
（2）解：∵点M、N分别是 、 的中点，
∴ ， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
【解析】【分析】（1）先判定四边形AHDE是平行四边形，得到结论AH=AD，再由点M、N分别是中点，证明AN=NH=DM=AM，进而判定四边形AMDN是菱形；
（2）先将菱形面积转化为△ADH的面积，根据条件求得CH：DH=1：2，再由△CHF∽△DHA，可得CF：AD=CH：DH=1：2=CF：AB.
37．
（1）计算： + -│-4│
（2）先化简，再求值： ，其中x是一元二次方程 -5x+6=0的解
【答案】（1）解：原式=4+1-4=1．
（2）
＝
＝
= ，
解一元二次方程 -5x+6=0得，
=3， =2（不符合题意，舍去）
把 =3代入，原式= ．
【解析】【分析】（1）利用负整数指数幂，零指数幂和绝对值计算求解即可；
（2）先化简分式，再解方程求出 =3， =2 ，最后代入计算求解即可。
38．某中学对全校学生开展主题为“一周内平均丢的塑料袋个数”的专题调查活动，采用随机抽查的方式进行了问卷调查，问卷调查的结果分为“A．非常了解”、“B．比较了解”、“C．基本了解”、“D．不太了解”四个等级，统计等级如下：
等级 频数 频率
A 75 0.375
B 95
C 24 0.12
D
（1）求表格中的参数、的值：
（2）求扇形统计图中A等级和B等级部分所对的圆心角度数之和；
（3）该校共计有学生4220人，请根据统计结果估计该校达到A、B等级的人数．
【答案】（1），；
（2）；
（3）人
39．如图(1)，矩形纸片ABCD，把它沿对角线BD向上折叠，
（1）在图(2)中用实线画出折叠后得到的图形(要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
（2）折叠后重合部分是什么图形？说明理由.
【答案】（1）解：作图如下：
（2）解：等腰三角形.理由如下：
∵△BDE是△BDC沿BD折叠而成，∴△BDE≌△BDC.∴∠FDB＝∠CDB.
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD.∴∠ABD＝∠BDC.∴∠FDB＝∠BDC.
∴△BDF是等腰三角形.
【解析】【分析】（1）
根据折叠的性质，可以作∠BDF＝∠BDC，∠EBD＝∠CBD，则可求得折叠后的图形.
作法如下：
作∠BDG＝∠BDC，在射线DG上截取DE＝DC，连接BE；
作∠DBH＝∠DBC，在射线BH上截取BE＝BC，连接DE；
作∠BDG＝∠BDC，过B点作BH⊥DG，垂足为E；
作∠DBH＝∠DBC，过，D点作DG⊥BH，垂足为E；
分别以D、B为圆心，DC、BC的长为半径画弧，两弧交于点E，连接DE、BE.
则△DEB为所求做的图形.
（2）由折叠的性质易得∠FDB＝∠CDB，由矩形的性质可得AB∥CD，由平行线的性质可得∠FBD=∠CDB，推出∠FDB＝∠FBD，据此判断.
40．如图，△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF.
（1）求证：BF＝2AE；
（2）若CD=2，求AD的长.
【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∠CBE＋∠ACD＝90°
∴∠CAD=∠CBE，在△ADC和△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF(ASA)，∴BF＝AC，∵AB＝BC，BE⊥AC，
∴AC=2AF，∴BF=2AE；
（2）解：∵△ADC≌△BDF，∴DF=CD=2，在Rt△CDF中，
，
∵BE⊥AC，AE＝EC，∴AF=CF=2，
∴ .
【解析】【分析】（1）利用已知条件可证得△ABD是等腰直角三角形，得出AD＝BD，根据同角的余角相等得出∠CAD=∠CBE，从而利用ASA判断出△ADC≌△BDF，根据全等三角形的对应边相等得出BF＝AC，根据等腰三角形的三线合一得出AC=2AF，再等量代换即可得出结论；
（2）根据全等三角形的对应边相等得出DF=CD=2，根据勾股定理算出CF的长，根据中垂线定理得出AF=CF=2，最后利用线段的和差即可得出答案.
41．如图1，E、F分别为△ABC的边AB、BC的中点，延长EF到D，使得DF=EF，连接DA、DB、AE．
（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；
（2）若AB=AC，试说明四边形AEBD是矩形；
（3）如图2，如果ABCD是一个正方形花园，E、F是它的两个门，且DE=CF，要建两条路BE和AF，这两条路等长吗？为什么？
【答案】（1）证明：∵F分别为△ABC的边AB的中点，
∴BF=AF，
又∵DF=EF，
∴四边形AEBD是平行四边形
（2）证明：∵AB=AC，BE=EC，
∴∠AEB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形
（3）解：这条路等长，
理由如下：如图2，
∵四边形ABCD是一个正方形，
∴AB=AD=CD，∠D=∠BAE=90°，
∵DE=CF，
∴AE=DF，
在△ADF和△BAE中，
，
∴△ADF≌△BAE，
∴BE=AF．
【解析】【分析】（1）由中点的定义可证得四边形AEBD的对角线互相平分，故可证得四边形AEBD是平行四边形；（2）对于平行四边形AEBD只需证其中有一个直角或者对角线相等即可；（3）通过SAS证得 △ADF≌△BAE 即可证得BE=AF，即这两条路等长.
42．看对话答题：
小梅说：这个多边形的内角和等于1125°
小红说：不对，你少加了一个角
问题：
（1）他们在求几边形的内角和
（2）少加的那个内角是多少度
【答案】（1）解：设少加的度数为x°，此多边形为n边形.
∵1125+x=（n-2）×180，
∴x=180（n-2）-1125，
∵0＜x＜180，
∴0＜180（n-2）-1125＜180，
∴8.25＜n＜9.25，
∴n=9；
∴他们在求九边形的内角和；
（2）解：∴x=180（n-2）-1125=135°.
∴少加的那个内角的度数是135°.
【解析】【分析】（1）设少加的度数为x°，此多边形为n边形，根据n边形内角和公式（n-2）×180°及n边形的内角和等于各个内角的和建立方程然后表示出x，根据x的范围可求出n的范围，结合n为整数可得n的值；
（2）首先求出九边形的内角和，然后减去1125°即可求出少加的内角的度数.
43．先观察下列各组数，然后回答问题：
第一组：1， ，2； 第二组： ，2， ；
第三组： ， ， ； 第四组：2， ， ；
（1）根据各组数反映的规律，用含 的代数式表示第 组的三个数；
（2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由；
（3）如图， ， ， ，若3， ， 为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且 ， ，求 的长．
【答案】（1）解：∵第一组：1， ，2；
第二组： ，2， ；
第三组： ， ， ；
第四组：2， ， ；
，
∴第 组： ， ，
（2）解：直角三角形；
证明： 为正整数，
．
以 ， ， 为三边的三角形是直角三角形
（3）解： ， ， 为上列按已知方式排列顺序的某一组数，
这组数为第九列： ， ， ，
即 ， ， ．
，
．
， ，
【解析】【分析】（1）根据所给数据找出规律第 组： ， ， ，即可作答；
（2）利用勾股定理进行判断即可作答；
（3）先求出 ， ， ，再利用勾股定理进行计算求解即可。
44．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形。
（1）概念理解：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE。已知AC=4，AB=5，求GE长。
【答案】（1）解：四边形ABCD是垂美四边形
连接AC、BD
∵AB=AD，CB=CD
∴点A、C在线段BD的垂直平分线上
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形
（2）解：∵AC⊥BD
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°
由勾股定理得：AB2+CD2=AO2+BO2 +CO2+DO2
AD2 +BC2 =AO2 +DO2 +CO2 + BO2
∴AB2 +CD2 =AD2 + BC2
（3）解：连接CG、BE
∵∠CAG=∠BAE=90°
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC即∠GAB=∠CAE
在△GAB和△CAE中，
∴△GAB≌△CAE( SAS)
∴∠ABG=∠AEC
又∵∠AEC+∠AME=90°
∴∠_ABG+∠BMC=90即CE⊥BG
∴四边形CGEB是垂美四边形
由(2)可得：CG2 +BE2 =CB2 + GE2
∵AC=4，AB=5
∴BC=3，CG=4 ，BE=5
∴GE2 =CG2 + BE2 -CB2=73
∴ GE=
【解析】【分析】（1） 连接AC、BD ，由AB=AD，CB=CD，可证AC垂直平分BD，根据垂美四边形的定义即证；
（2）根据垂直的定义可得∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，利用勾股定理即可求出结论；
（3） 连接CG、BE ，证明△GAB≌△CAE( SAS)，可得∠ABG=∠AEC，再证明四边形CGEB是垂美四边形 ， 由(2)可得CG2+BE2 =CB2+ GE2 ， 由勾股定求出BC=3，CG=4 ，BE=5 ，将数据代入等式即可求出GE.
45．我们知道，所以代数式的最小值为0.学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值.
例如，求的最小值问题.
解：∵，
又∵，∴，∴的最小值为-6.
请应用上述思想方法，解决下列问题：
（1）探究：（x ）2+
（2）求的最小值.
（3）比较代数式：与的大小.
【答案】（1）-2；1
（2）解：，
∵，
∴当即时，
原式有最小值
（3）解：，
∵，
∴，
∴
【解析】【解答】（1）解：.
【分析】（1）利用配方法将多项式变形，再利用偶次幂的非负性即可求解；
（2）提取公因式2，将原式的二次项系数化为1，然后利用配方法将多项式变形，再利用偶次幂的非负性即可求解；
（3）利用作差法，求出-（）的值，再利用配方法变形，即可求解.
46．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC延长线上的一点，且BD＝DE．点G是线段BC的中点，连结AG，交BD于点F，过点D作DH⊥BC，垂足为H．
（1）求证：△DCE为等腰三角形；
（2）若∠CDE＝22.5°，DC＝ ，求GH的长；
（3）探究线段CE，GH的数量关系并用等式表示，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝ ∠ABC＝ ∠ACB，
∵BD＝DE，∴∠DBC＝∠E＝ ∠ACB，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠CDE＝ ∠ACB＝∠E，∴CD＝CE，
∴△DCE是等腰三角形
（2）证明：∵∠CDE＝22.5°，CD＝CE＝ ，
∴∠DCH＝45°，且DH⊥BC，
∴∠HDC＝∠DCH＝45°，∴DH＝CH，
∵DH2+CH2＝DC2＝2，
∴DH＝CH＝1，
∵∠ABC＝∠DCH＝45°
∴△ABC是等腰直角三角形，
又∵点G是BC 中点
∴AG⊥BC，AG＝GC＝BG，
∵BD＝DE，DH⊥BC
∴BH＝HE＝ +1
∵BH＝BG+GH＝CG+GH＝CH+GH+GH＝ +1
∴1+2GH＝ +1，∴GH＝
（3）证明：CE＝2GH
理由如下：
∵AB＝CA，点G 是BC的中点，
∴BG＝GC，
∵BD＝DE，DH⊥BC，∴BH＝HE，
∵GH＝GC﹣HC＝GC﹣（HE﹣CE）＝ BC﹣ BE+CE＝ CE，
∴CE＝2GH
【解析】【分析】（1）根据等边对等角，易证∠ACB=∠ABC，利用三角形的角平分线及等腰三角形的性质，可以推出∠CBD＝ ∠ACB，∠E＝ ∠ACB ，再利用三角形外角的性质，可证得∠ACB＝∠E+∠CDE，由此可得到∠CDE=∠E，利用等角对等边可证CD=CE，即可证得结论。
（2）根据已知条件，可证∠DCH=45°，从而可得到△DCH是等腰直角三角形，利用勾股定理求出DH，CH的长，继而可证得△ABC是等腰直角三角形，再利用等腰三角形的三线合一的性质，可以证得AG=CG=BG，BH=HE，即可求出BH的长，然后可求出GH的长。
（3）利用等腰三角形三线合一的性质，可证BG=CG，BH=HE，再根据GH=CG-HC，就可推出CE与GH的数量关系。
47．如图，是的中线，是线段上一点（不与点重合）．交于点，，连接．
（1）如图1，当点与重合时，证明；
（2）如图1，当点与重合时，求证：四边形是平行四边形；
（3）如图2，当点不与重合时，（2）中的结论还成立吗？请说明理由．
【答案】（1）解：，
，
，
，
是的中线，且与重合，
，
；
（2）由（1）知，
，
，
∴四边形是平行四边形；
（3）结论成立，
理由如下：如图2，过点作交于，
，
四边形是平行四边形，
，且，
由（1）知，，，
，，
四边形是平行四边形
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得，，再由三角形的中线的定义可得BD=CD，根据ASA证明；
（2）由（1）知，可得AB=ED，结合AB∥ED，根据平行四边形的判定定理即证；
（3）过点作交于，由CE∥AM可证四边形是平行四边形，可得ED=GM，ED∥GM，由（1）知，，，可得AB∥DE，，根据平行四边形的判定定理即证.
48．如图，中、，，外角平分线交于点，过点分别作直线的垂线，为垂足．
（1）求的大小；
（2）①求证：四边形是正方形．
②若，求的长．
（3）如图2，在中，，高，，求的长度．（直接写出结果不写解答过程）．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
（2）解：①作于，如图1所示：
∵，，
∴，
∴四边形是矩形．
∵，角平分线交于点，
∴，，
∴，
∴四边形是正方形．
解：②设，
∵，
∴，
由①知四边形是正方形，
∴，
在与中，
，
∴≌（），
∴，
同理，，
在中，，
即，解得：，
∴的长为；
（3）
【解析】【解答】解：（3）把 沿 翻折得 ，把 沿 翻折得 ，延长 交于点 ，如图所示：
由（1）（2）得：四边形 是正方形，
， ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得 ，
∴ ．
【分析】（1）先根据题意得到即可得到，进而根据角平分线的性质得到，，从而结合题意即可求解；
（2）①作于，先根据矩形的判定得到四边形是矩形，进而根据角平分线的性质得到，，再结合正方形的判定即可求解。
②设，根据正方形的性质得到，再根据三角形全等的判定与性质证明≌（）即可得到，同理，，再根据勾股定理即可求解；
（3）把 沿 翻折得 ，把 沿 翻折得 ，延长 交于点 ，先根据正方形的性质、折叠的性质结合题意得到 ， ， ，进而得到 ，设 ，则 ， ，根据勾股定理即可求解。
49．如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与点C和点A重合），连接PB，过点P作PF⊥PB交射线DA于点F，连接BF，已知AD＝3 ，CD＝3，设CP的长为x．
（1）线段PB的最小值为 ．
（2）如图，当动点P运动到AC的中点时，AP与BF的交点为G，FP的中点为H，求线段GH的长度；
（3）当点P在运动的过程中：
①试探究∠FBP是否会发生变化？若不改变，请求出∠FBP大小；若改变，请说明理由；
②当x为何值时，△AFP是等腰三角形？
【答案】（1）
（2）解：∵在Rt△ABC中，AP＝PC，
∴BP= BC=3，
∴BA＝BP＝AP=3，
∴△ABP为等边三角形，
∴∠ABP＝∠BAP=60°，
在Rt△ABF和Rt△PBF中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△PBF（HL），
∴∠ABF＝∠PBF＝30°，AP⊥BF，
∴PF＝BP tan∠PBF= ，
在Rt△FGP中，FH＝HP，
∴GH＝ PF= ；
（3）解：①∠FBP＝30°，
理由如下：过点P作PM⊥AD于M，交BC于N，则PN⊥BC，
∴∠FPM+∠BPN=90°，∠PBN+∠BPN=90°，
∴∠FPM=∠PBN，
又∵∠FMP=∠PNB=90°，
∴△FMP∽△PNB，
∴ ，
∵BN=AM，
∴ ，
∴tan∠PBF= = ，
∴∠FBP＝30°；
②当FA＝FP时，则BA＝BP，
又∵∠BAC=60°，
∴△ABP为等边三角形，
∴AP＝AB＝3，
∴x＝CP＝3，
当PA＝PF时，∠APF＝120°＞90°，不合题意；
当AP＝AF时，（点F在DA的延长线上），如图，
∴∠PAF=180°-30°=150°，
∴∠APF=15°，
∴∠BPC=75°，
∵∠BCP=30°，
∴∠CBP=∠BPC=75°，
∴CB=CP=3 ，
综上所述，x=3或3 ，△AFP是等腰三角形．
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴AC= ，
当BP⊥AC时，线段PB的值最小，
S△ABC= ×AB×BC= ×AC×BP，即3×3 =BP×6，解得，BP= ，
故答案是： ；
【分析】（1）根据勾股定理计算得到AC，继而由垂线段最短即可得到PB的值最小；
（2）证明△ABP为等边三角形，即可得到∠ABP=60°，继而由全等三角形的判定和性质，求出GH的长度即可；
（3）根据题意，分FA=FP，AP=AF，PA=PB三种情况，结合等腰三角形的性质，求出答案即可。
50．已知，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝18cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中．
①已知点P的速度为每秒10cm，点Q的速度为每秒6cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
②若点P、Q的运动路程分别为x、y（单位：cm，xy≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求x与y满足的函数关系式．
【答案】（1）解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ， ．
∵ 垂直平分 ，垂足为 ，
∴ ，
在 和△COF中，
∵
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 为菱形，
设菱形的边长 ，则
在Rt△ABF中， ，
解得： ，
∴ ；
（2）解：①显然当 点在 上时， 点在 上，此时 、 、 、 四点不可能构成平行四边形；
同理 点在 上时， 点在 或 上，也不能构成平行四边形．因此只有当 点在 上、 点在 上时，才能构成平行四边形．
∴以 、 、 、 四点为顶点的四边形是平行四边形时， ，
∵点 的速度为每秒 ，点 的速度为每秒 ，运动时间为 秒，
∴ ， ，
∴ ，
解得： ，
∴以 、 、 、 四点为顶点的四边形是平行四边形时， ；
②由题意得，以 、 、 、 四点为顶点的四边形是平行四边形时，点 、 在互相平行的对应边上．
分三种情况：
其一：如图1，当 点在 上、 点在 上时， ， ，即 ；
其二：如图2，当 点在 上、 点在 上时， ， ，即 ；
其三：如图3，当 点在 上、 点在 上时， ， ，即 ，
综上所述， 与 满足的函数关系式是 ．
【解析】【分析】（1）首先证明 ，由此得出 OE=OF ，从而证明四边形 AFCE 为菱形，然后在Rt△ABF中利用勾股定理进一步求解即可；（2）①根据题意依次发现当 P 点在 AF 上时， Q 点在 CD 上以及 P 点在 AB 上时， Q 点在 DE 或 CE 上，也不能构成平行四边形，当 P 点在 上、 Q 点在 上时，才能构成平行四边形，据此进一步求解即可；②以 A 、 C 、 P 、 Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，根据题意分当 P 点在 AF 上、 Q 点在 CE 上时或当 P 点在 BF 上、 Q 点在 DE 上时以及当 P 点在 AB 上、 Q 点在 CD 上时三种情况进一步分析求解即可.
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