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【精选热题·期末50道综合题专练】华东师大版数学七年级下册复习卷
1．数学兴趣小组在进行与折扣相关的项目式学习时，进行了市场调研．以下是三位同学在某商场对矿泉水销售情况调查后的对话：
请根据上述信息，求A品牌矿泉水每瓶的进价是多少？
2．“蓉宝”是成都2023年大运会吉祥物．大运会来临之际，“蓉宝”系列玩偶畅销全国．某礼品店在玩偶加工厂选中A，B两种玩偶，决定从该加工厂进货并销售，礼品店用1400元购进了A型玩偶15个和B型玩偶10个，已知购进1个A型玩偶和2个B型玩偶共需136元，销售每个A型玩偶可获利32元，每个B型玩偶可获利12元．
（1）求两种玩偶的进货价分别为多少？
（2）礼品店第二次计划购进两种玩偶共50个，其中A型玩偶个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润为多少元？
3．西柏坡景区位于河北省石家庄市平山县，是国家级旅游景区，为我国革命圣地和爱国主义教育示范基地之一，某校组织七年级（1）班和（2）班的学生奔赴西柏坡进行红色研学，已知两班共有师生102人，其中（1）班人数多于（2）班人数，且（1）班人数不足100．经协商，西柏坡景区针对师生的门票价格如下表：
门票/张 1~50 51~100 101张及以上
单价/元 60 50 40
已知两班分别单独购买门票，一共应付5580元．
（1）如果两班联合起来购买门票，那么比各自单独购买门票节省了多少钱？
（2）七年级（1）班、（2）班各有多少名师生参加红色研学活动？
（3）如果（1）班有3名学生因故不能参加，那么共有几种购买方案？通过比较，如何购买门票最省钱？
4．解下列不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来：
（1） ；
（2） .
5．实践与探究
如图1，三角尺ABC和三角尺DEF是两个全等的直角三角尺，其中，∠A=∠D=60°，∠B=∠E=30°，∠C=∠F=90°．
（1）操作发现
如图2，将三角尺ABC和三角尺DEF如图摆放，连接CF，交AB于点G，请你证明CG= FG；
（2）在图2的基础上，将三角尺DEF沿BA方向平移至图3的位置，兴趣小组发现CG仍然与FG相等，请你证明CG= FG；
（3）在图3的基础上，将三角尺DEF沿BA方向继续平移，使CF经过点A，如图4所示，兴趣小组测得BD=20.4cm，则三角尺DEF由图2所示位置平移至图4 的位置，平移的距离为 cm（直接写出答案，不写过程）．
6．第一届全国青少年三大球运动会于2024年11月20日至11月28日在长沙市和岳阳市举行．有来自全国25个省、自治区、直辖市的96支队伍、约1500名运动员到湖南省参赛，决赛场次总计308场．长沙市南雅中学作为本次三大球运动会的承办地之一，承担了足球赛事．在筹备期间，为了确保赛事顺利进行，学校准备一次性购买若干个足球和排球，用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多15元．
（1）足球和排球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其总费用不超过7550元，那么学校最多可以购买多少个足球？
7．某工厂需将产品分别运送至不同的仓库，为节约运费，考察了甲、乙两家运输公司．甲、乙公司的收费标准如下表：
运输公司 起步价（单位：元） 里程价（单位：元/千米）
甲 1000 5
乙 500 10
（1）仓库A距离该工厂120千米，应选择哪家运输公司？
（2）仓库B，C，D与该工厂的距离分别为60千米、100千米、200千米，运送到哪个仓库时，可以从甲、乙两家运输公司任选一家？
（3）根据以上信息，你能给工厂提供选择甲、乙公司的标准吗？
8．晨光文具店分两次购进一款礼品盲盒共80盒，总共花费1140元，已知第一批盲盒进价为每盒15元，第二批盲盒进价为每盒12元．(利润销售额成本)
（1）求两次分别购进礼品盲盒多少盒？
（2）文具店老板计划将每盒盲盒标价20元出售，销售完第一批盲盒后，再打八折销售完第二批盲盒，按此计划该老板总共可以获得多少元利润？
（3）在实际销售中，该文具店老板在以（2）中的标价20元售出第一批盲盒部分后，将标价提高到30元/盒，再推出六折活动，售完所有盲盒后该老板共获利润400元，按（2）中标价售出的礼品盲盒有多少盒？
9．鄂州市成功创建全国文明城市之后，继续创建全国文明典范城市．某社区积极响应，决定购买10套智能垃圾处理设备．现有甲、乙两种型号的设备，其中每套的价格、日处理垃圾量如下表．经调查：购买一套甲型设备比购买一套乙型设备多8万元，购买一套甲型设备和四套乙型设备共需28万元．
甲型 乙型
价格（万元/套） m n
处理量（吨/日） 180 140
（1）求表中m，n的值；
（2）经预算，该社区购买智能垃圾处理设备的资金不超过80万元，且日处理垃圾量不低于1500吨，共有哪几种购买方案？为了节约资金，请为社区设计一种最省钱的购买方案．
10．某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电，有A，B两个焚烧妒，每个焚烧炉每天焚烧垃圾均为100吨，每焚烧一吨垃圾，A焚烧炉比B焚烧炉多发电50度，A，B焚烧炉每天共发电55000度.
（1）求焚烧一吨垃圾，A焚烧炉和B焚烧炉各发电多少度？
（2）若经过改进工艺，与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾，A焚烧炉和B焚烧炉的发电量分别增加a%和 %，则A，B焚烧炉每天共发电至少增加 %，求a的最小值.
11．我校为了防控新型冠状病毒，购买了甲、乙两种消毒液进行校园环境消毒，已知学校第一次购买了甲种消毒液40瓶和乙种消毒液60瓶，共花费3600元；第二次购买了甲种消毒液30瓶和乙种消毒液20瓶，共花费1700元.
（1）每瓶甲种消毒液和每瓶乙种消毒液的价格分别是多少元？
（2）学校准备第三次购买这两种消毒液，其中乙种瓶数是甲种瓶数的2倍少4瓶，并且总花费不超过2920元，第三次最多能购买多少瓶甲种消毒液？
12．某公交公司有A，B型两种客车，它们的载客量和租金如下表：
A B
载客量（人/辆） 45 30
租金（元/辆） 400 280
红星中学根据实际情况，计划租用A，B型客车共5辆，同时送七年级师生到基地校参加社会实践活动，
设租用A型客车戈辆，根据要求回答下列问题：
（1）用含x的式子填写下表：
车辆数（辆） 载客量 租金（元）
A x 45x 400x
B 5-x
（2）若要保证租车费用不超过1 900元，求x的最大值；
（3）在(2)的条件下，若七年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案一
13．解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 ．
14．在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示，点 的坐标是 ，现将三角形ABC平移，使点A变换为点 ，点 、 分别是B、C的对应点．
（1）请画出平移后的三角形 （不写画法），并写出点 、 的坐标；
（2）求三角形ABC的面积．
15．对于下列问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．如图，在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD＝35°．
（1）求∠EBC的度数；
（2）求∠A的度数．
解：∵CD⊥AB（已知），
∴∠CDB＝ ▲ °
∵∠EBC＝∠CDB+∠BCD（ ）．
∴∠EBC＝ ▲ °+35°＝ ▲ °（等量代换）．
∵∠EBC＝∠A+∠ACB（ ），
∴∠A＝∠EBC-∠ACB（等式的性质）
∵∠ACB＝90°（已知），
∴∠A＝ ▲ -90°＝ ▲ °（等量代换）．
16．阅读下面解不等式>的过程，完成任务：
解：…第一步
……第二步
… 第三步
…… 第四步
（1）任务一：第一步去分母的依据是 ；
（2）第 步开始出现不符合题意，这一步错误的原因是 ；直接写出正确结果是 ．
（3）任务二：请你根据平时的学习经验，就解不等式时需要注意的事项给其他同学提出建议．
17．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，
求证：
（1）；
（2）．
18．如图，等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．
（1）如图①，点E为AB的中点，求证：AE=DB．
（2）如图②，点E在边AB上时，AE ▲ DB（填：“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：过点E作EF∥BC，交AC于点F（请你完成以下解答过程）．
（3）在等边△ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若AB=1，AE=2时，直接写出CD的长．
19．如图1，小慧买的铅笔配了一个铅笔套用于保护笔尖，套口到分界处的距离为．未开始使用时，铅笔长度是铅笔套长度的3倍多，且铅笔长度比铅笔套长度多．
（1）请分别求出铅笔和铅笔套的长度．
（2）如图2，铅笔套也能套在铅笔顶部作延长器使用，套口到顶部的距离也是．当总长度（笔尖到套尾的距离）小于时，将不再适合正常书写，则该铅笔最多可以正常使用多少长度？
20．岳阳市第十九中八年级举行数学思维导图比赛，学校购买A，B两种学习用品作奖品，A发给一等奖，B发给二等奖，已知A种学习用品的单价比B贵10元，且用180元购买A种学习用品的数量与用120元购买B种学习用品的数量相同．
（1）求A，B两种学习用品的单价各是多少元？
（2）学校准备购买A，B两种学习用品共28件，且两种学习用品的购买经费不少于680元，问A学习用品最少要购买多少件？
21．合江特产之一真龙柚，因其果肉晶莹剔透，脆甜多汁，深受人们喜爱．某水果店第一次用2000元从基地购进一批真龙柚，很快售完，又花3200元第二次购进．已知第二次购进的数量是第一次的2倍，因量大从优，所以每个真龙柚第二次购进的价格比第一次便宜了2元．
（1）求该店两次购进真龙柚各多少个？
（2）因为市场行情好，第二次购进真龙柚后仍按第一次的售价销售，若水果店两次购进的真龙柚销售完后的总利润为2000元，则每个真龙柚的售价是多少元？
22．某电器经营老板计划购进同种型号的空调和电风扇，若购进8台空调和20台电风扇，需要资金17400元，若购进10台空调和30台电风扇，需要资金22500元.
（1）求空调和电风扇的采购价各是多少元？
（2）该老板计划购进这两种电器共70台，而可用于购买这两种电器的资金不超过30000元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利200元，销售一台这样的电风扇可获利30元，该老板希望当这两种电器销售完时，所获的利润不少于3500元，试问老板有哪几种进货方案？
（3）在所有的进货方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少？
23．第24届冬季奥林匹克运动会在北京举行，为了抓住此次商机，某授权商店决定购进A、B两种冬奥纪念品．若购进A种纪念品9件，B种纪念品3件，需要1170元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要910元．
（1）求购进A种纪念品、B种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，购进A种纪念品的件数不少于67件，且购进总资金不能超过9450元．
①那么该商店共有几种进货方案？
②若销售一件A种纪念品可获利40元，一件B种纪念品可获利20元，哪一种方案利润最大？最大利润是多少元？
24．某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1440元，购买乙种用了2430元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元．
（1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元；
（2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？
25．如图所示，，，，是上两点，且.
（1）试说明；
（2）请你判断与的位置关系，并说明理由.
26．
（1）解不等式，并把它的解果在数轴上示出来．
（2）解不等式组，并写出它的所有非负整数解．
27．某校为了普及推广冰雪活动进校园，准备购进速滑冰鞋和花滑冰鞋用于开展冰上运动，若购进30双速滑冰鞋和20双花滑冰鞋共需8500元；若购进40双速滑冰鞋和10双花滑冰鞋共需8000元．
（1）求速滑冰鞋和花滑冰鞋每双购进价格分别为多少元？
（2）若该校购进花滑冰鞋的数量比购进速滑冰鞋数量的2倍少10双，且用于购置两种冰鞋的总经费不超过9000元，则该校至多购进速滑冰鞋多少双？
28．总书记曾指出“保护生态环境就是保护生产力，改善生态环境就是发展生产力”，我市自践行科学生态观以来，全市生态环境持续优化．已知去年我市空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365）之比达到，如果明年（365天）这样的比值要超过，那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加多少？
29．某儿童品牌专卖店购进了A、B两种童装，其中A种童装的进价比B童装的进价每个多10元，经调查：用1000元购进A种童装的数量与用800元购进B童装的数量相同．
（1）求A、B两种童装的进价分别是每个多少元？
（2）该专卖店共购进了A、B两种童装共100套，若该店将每个A种童装定价为70元出售，每个B种童装定价为55元出售，且全部售出后所获得利润不少于1750元，则专卖店至少购进A种童装多少套？
30．如图，现要在长方形草坪中规划出块大小、形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．
（1）如图①，大长方形的相邻两边长分别为和，求小长方形的相邻两边长；
（2）如图②，设大长方形的相邻两边长分别为和，小长方形的相邻两边长分别为和，个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
31．荔枝的品种有许多种，其中桂味、糯米糍是荔枝口感上佳的品种．显赫奶奶先购买了2千克桂味和3千克糯米糍，共花费90元；后又购买了3千克桂味和2千克糯米糍，共花费85元．（每次购买两种荔枝的售价都不变）
（1）购买了1千克桂味荔枝比1千克糯米糍荔枝少花费 元；
（2）求桂味荔枝和糯米糍荔枝的售价分别是每千克多少元；
（3）如果还需购买两种荔枝共12千克，要求糯米糍的数量不少于桂味数量的2倍，请设计一种购买方案，使所需总费用最低．
32．为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校利用课后服务时间，开展班级篮球赛．
（1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在12场比赛中获得总积分为30分，求该班胜、负场数分别是多少场？（用二元一次方程组解答）
（2）投篮评分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分．某班在其中一场比赛中，共投中18个球，所得总分不低于40分，求该班在这场比赛中至少投中了多少个得3分的球？
33．近年来，随着人类社会的发展，人们对水的需求量越来越大，很多地方出现了用水紧张的情况．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控手段达到节约用水的目的，某市规定如下用水收费标准：每户每月的用水量不超过6立方米时，水费按每立方米a元收费；超过6立方米时，不超过的部分每立方米仍按a元收费，超过的部分每立方米按b元收费．该市某户今年4，5月份的用水量和所交水费如下表所示：
月份 用水量（立方米） 收费（元）
4 5 10
5 9 22.5
设某户每月用水量为x（立方米）．
（1）求a，b的值；
（2）当x＞6时，请用含x的式子表示出用户应该缴纳的水费；
（3）若该户6月份水费为33元，则该用户6月份用水量是多少立方米？
34．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．
（1）将△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′，补全△A′B′C′；
（2）若连结AA′、BB′，则这两条线段之间的关系是 （数量关系及位置关系）；四边形AA′B′B的面积为 ．
35．某商场销售A，B两种品牌的多媒体教学设备，这两种多媒体教学设备的进价和售价如表所示．
A B
进价（万元/套） 2 1.6
售价（万元/套） 2.5 2
（1）若该商场计划购进两种多媒体教学设备若干套，共需124万元，全部销售后可获毛利润31万元．则该商场计划购进A，B两种品牌的多媒体教学设备各多少套？
（2）通过市场调研，该商场决定在（1）中所购总数量不变的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量．若用于购进这两种多媒体教学设备的总资金不超过120万元，且全部销售后可获毛利润不少于29.8万元．问有几种购买方案？并写出购买方案．
36．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将△ABC向右平移3单位，再向上平移2个单位得到三角形A1B1C1．
（1）在网格中画出三角形A1B1C1．
（2）A1B1与AB的位置关系 ．
37．在 中， ， .过点A在 外作直线 ， 于M， 于N.
（1）证明： ；
（2）若 ， ， .试利用此图验证勾股定理 .
38．某超市第一次用3800元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品40件，乙种商品160件.已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵5元.甲种商品售价为20元/件，乙种商品售价为25元/件.
（1）甲、乙两种商品每件进价各多少元？
（2）该超市第二次又购进同样数量的甲、乙两种商品.其中甲种商品每件的进价不变，乙种商品进价每件少3元；甲种商品按原售价提价a%销售，乙种商品按原售价降价a%销售，如果第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次售完获得的总利润多160元，那么a的值是多少？
39．新学期开学，某体育用品商店开展促销活动，有两种优惠方案．
方案一：不购买会员卡时，乒乓球都享受折优惠，乒乓球拍购买5副（含5副）以上才能享受折优惠，5副以下必须按标价购买．
方案二：办理会员卡时，全部商品享受八折优惠，小健和小康的谈话内容如下：
会员卡只限本人使用．
（1）求该商店销售的乒乓球拍每副的标价．
（2）如果乒乓球每盒元，小健需购买乒乓球拍6副，乒乓球a盒（a为正整数）．
①请用含a的式子分别表示按方案一和按方案二购买所付的费用；
②小健如何选择方案购买比较合算？
40．已知：如图，点 是 内一点．
求证：
（1） ；
（2） ．
41．某体育用品专卖店准备购进篮球服和足球服两种运动服装，根据批发商提供的信息，每套篮球服的价格比每套足球服的价格多5元，进购5套篮球服和4套足球服共需700元．
（1）篮球服和足球服的进购单价各是多少元？
（2）专卖店第一次进购了两种服装共260套，并且将篮球服和足球服的售价均定为每套100元，售完后获得总利润5800元，求专卖店第一次进购了两种服装各多少套？
（3）由于进购的服装销售情况良好，所以专卖店又进购了一批服装，两种服装的数量分别与上次相同，且批发商对所有服装都给予了八折的优惠．因此专卖店采取了篮球服在上次售价的基础上打折，足球服售价不变的方式销售，结果全部售完后总利润比上次还多540元，求篮球服打了几折？
42．已知关于，的方程组和方程组的解相同．
（1）这两个方程组的解；
（2）求的立方根．
43．如图在和中， ，，．
（1）当点D在AC上时，如图（1），求证：．
（2）将图（1）中的绕点A顺时针旋转角（），如图（2），线段BD、CE仍相等吗？请说明理由．
（3）
在图（2）中线段BD、CE有怎样的位置关系？请说明理由．
44．如图（1），AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，点C是BD上一点.且BC＝DE，CD＝AB.
（1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由；
（2）如图（2），若把△CDE沿直线BD向左平移，使△CDE的顶点C与B重合，此时第（1）问中AC与BE的位置关系还成立吗？（注意字母的变化）
45．如图
（1）问题背景：如图①，在四边形 中， ．E，F分别是 上的点，且 ，请探究图中线段 之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长 到点G，使 ．连接 ，先证明 ，得 ；再由条件可得 ，证明 ，进而可得线段 之间的数量关系是 ．
（2）探索延伸：如图②，在四边形 中， ．E，F分别是 ， 上的点，且 ．问（1）中的线段 之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西 的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东 的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以50海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 的方向以60海里/小时的速度前进.2小时后，甲 乙两舰艇分别到达E，F处，此时在指挥中心观测到两舰艇之间的夹角为 ，试求此时两舰艇之间的距离．
46．如图，点A（，），点B（，0），点C（0，）．
（1）求△ABC的面积．
（2）图中△ABC内一点P，经平移后对应点为Q，将△ABC作同样的平移得到△DEF，画出△DEF，并写出点A、B、C 的对应点D、E、F的坐标．
47．如图1，已知∠AOC＝140°，∠BOC的余角比它的补角的 少 .
（1）求∠BOC的度数；
（2）如图1，当射线OP从OB处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，保持射线OP始终在∠BOA的内部，当∠POC＝10°时，求旋转时间.
（3）如图2，若射线OD为∠AOC的平分线，当射线OP从OB处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转，同时射线OT从射线OD处以x度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当这两条射线重合于射线OE处（OE在∠DOC的内部）时， ，求x的值.
（注：本题中所涉及的角都是小于 的角）
48．已知方程组 ，其中x为非正数，y为负数．
（1）求m的取值范围；
（2）化简：|m﹣3|﹣|m+2|；
（3）不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1，求m的整数值．
49． 经过 顶点 的一条直线， . 分别是直线 上两点，且 .
（1）若直线 经过 的内部，且 在射线 上，请解决下面两个问题：
①如图1，若 ， ，
则 ▲ ； ▲ （填“ ”，“ ”或“ ”）；
②如图2，若 ，请添加一个关于 与 关系的条件 ▲ ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立.
（2）如图3，若直线 经过 的外部， ，请提出 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）.
50．
（1）（问题引入）如图1，△ABC，点O是∠ABC和∠ACB相邻的外角平分线的交点，若∠A=40°，请求出∠BOC的度数．
（2）（深入探究）
如图2，在四边形ABDC中，点O是∠BAC和∠ACD的角平分线的交点，若∠B+∠D=110°，请求出∠AOC的度数．
（3）（类比猜想）
如图3，在△ABC中，∠CBO= ∠DBC，∠BCO= ∠ECB，∠A=α，则∠BOC= （用α的代数式表示，直接写出结果，不需要写出解答过程）．
（4）如果BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO=∠ DBC∠BCO= ∠ECB，则∠BOC= （用n、a的代数式表示，直接写出结果，不需要写出解答过程）．
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【精选热题·期末50道综合题专练】华东师大版数学七年级下册复习卷
1．数学兴趣小组在进行与折扣相关的项目式学习时，进行了市场调研．以下是三位同学在某商场对矿泉水销售情况调查后的对话：
请根据上述信息，求A品牌矿泉水每瓶的进价是多少？
【答案】品牌矿泉水每瓶的进价是2元
2．“蓉宝”是成都2023年大运会吉祥物．大运会来临之际，“蓉宝”系列玩偶畅销全国．某礼品店在玩偶加工厂选中A，B两种玩偶，决定从该加工厂进货并销售，礼品店用1400元购进了A型玩偶15个和B型玩偶10个，已知购进1个A型玩偶和2个B型玩偶共需136元，销售每个A型玩偶可获利32元，每个B型玩偶可获利12元．
（1）求两种玩偶的进货价分别为多少？
（2）礼品店第二次计划购进两种玩偶共50个，其中A型玩偶个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润为多少元？
【答案】（1）A型玩偶的进货价为72元，B型玩偶的进货价为32元
（2）A型玩偶30个，B型玩偶20个才能获得最大利润，最大利润为1200元
3．西柏坡景区位于河北省石家庄市平山县，是国家级旅游景区，为我国革命圣地和爱国主义教育示范基地之一，某校组织七年级（1）班和（2）班的学生奔赴西柏坡进行红色研学，已知两班共有师生102人，其中（1）班人数多于（2）班人数，且（1）班人数不足100．经协商，西柏坡景区针对师生的门票价格如下表：
门票/张 1~50 51~100 101张及以上
单价/元 60 50 40
已知两班分别单独购买门票，一共应付5580元．
（1）如果两班联合起来购买门票，那么比各自单独购买门票节省了多少钱？
（2）七年级（1）班、（2）班各有多少名师生参加红色研学活动？
（3）如果（1）班有3名学生因故不能参加，那么共有几种购买方案？通过比较，如何购买门票最省钱？
【答案】（1）比各自购买门票共可以节省1500元；
（2）七年级（1）班有54人，七年级（2）班有48人；
（3）两班联合起来选择按40元一次购买101张门票最省钱．
4．解下列不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：整理得： ，
∴ ，
则： ，
在数轴上表示为：
.
（2）解：解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
则不等式的解集为 .
在数轴上表示为：
.
【解析】【分析】（1）先去分母，然后移项合并，接着系数化为1，即可得到不等式的解集，进而根据数轴上表示不等式的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将解集在数轴上表示出来即可；
（2）分别解出两个不等式，然后根据“大小小大取中间”得出该不等式组的解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将解集在数轴上表示出来即可.
5．实践与探究
如图1，三角尺ABC和三角尺DEF是两个全等的直角三角尺，其中，∠A=∠D=60°，∠B=∠E=30°，∠C=∠F=90°．
（1）操作发现
如图2，将三角尺ABC和三角尺DEF如图摆放，连接CF，交AB于点G，请你证明CG= FG；
（2）在图2的基础上，将三角尺DEF沿BA方向平移至图3的位置，兴趣小组发现CG仍然与FG相等，请你证明CG= FG；
（3）在图3的基础上，将三角尺DEF沿BA方向继续平移，使CF经过点A，如图4所示，兴趣小组测得BD=20.4cm，则三角尺DEF由图2所示位置平移至图4 的位置，平移的距离为 cm（直接写出答案，不写过程）．
【答案】（1）证明：三角尺ABC和三角尺DEF全等，
∴AC=AF，
∵在△ACG和△AFG中，
，
∴△ACG≌△AFG（SAS），
∴CG= FG；
（2）证明：分别过点C，F作BD的垂线，垂足为M，N，
∵△ABC≌△DEF，
∴AC=DF，∠FDE=∠CAB，
∵CM⊥BD，FN⊥BD，
∴∠AMC=∠BMC=∠DNF=∠FNE=90°，
在△AMC和△DNF中，
，
∴△AMC≌△DNF，
∴CM=FN，
在△CMG和△FNG中，
，
∴△CMG≌△FNG，
∴CG=FG；
（3）6.8
【解析】【解答】解：（3）由（1）（2）易证AF=AC，
∵△DFE≌△ACB，
∴AC=DF，
∴AF=DF，
∵∠D=60°，∠FED=30°，
∴AD=AF=DF=AE，
∵AB=DE，
∴AD=AE=BE，
∵BD=20.4cm，
∴AD=AE=BE=6.8cm，
∴平移的距离为6.8cm；
故答案为6.8．
【分析】（1）由题意易得AC=AF，进而可证△ACG≌△AFG（SAS），然后问题可证；
（2）分别过点C，F作BD的垂线，垂足为M、N，由题意易得AC=DF，∠FDE=∠CAB，进而可得∠AMC=∠BMC=∠DNF=∠FNE=90°，然后可证明 △AMC≌△DNF，则CM=FN，最后根据△CMG≌△FNG，可求证；
（3）由（1）（2）易得AF=AC，进而可证AD=AE，然后可得AE=BE，最后问题可求解。
6．第一届全国青少年三大球运动会于2024年11月20日至11月28日在长沙市和岳阳市举行．有来自全国25个省、自治区、直辖市的96支队伍、约1500名运动员到湖南省参赛，决赛场次总计308场．长沙市南雅中学作为本次三大球运动会的承办地之一，承担了足球赛事．在筹备期间，为了确保赛事顺利进行，学校准备一次性购买若干个足球和排球，用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多15元．
（1）足球和排球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其总费用不超过7550元，那么学校最多可以购买多少个足球？
【答案】（1）足球的单价是80元，排球的单价是65元
（2）70个
7．某工厂需将产品分别运送至不同的仓库，为节约运费，考察了甲、乙两家运输公司．甲、乙公司的收费标准如下表：
运输公司 起步价（单位：元） 里程价（单位：元/千米）
甲 1000 5
乙 500 10
（1）仓库A距离该工厂120千米，应选择哪家运输公司？
（2）仓库B，C，D与该工厂的距离分别为60千米、100千米、200千米，运送到哪个仓库时，可以从甲、乙两家运输公司任选一家？
（3）根据以上信息，你能给工厂提供选择甲、乙公司的标准吗？
【答案】（1）解：甲运输公司收费为（元），
乙运输公司收费为（元）．
因为，所以该工厂选择甲运输公司更划算．
（2）解：设当运输距离为x千米时，甲、乙两家运输公司收费相同．
根据题意，得，
解得．
答：运送到C仓库时，甲、乙两家运输公司收费相同，可以任选一家．
（3）解：当甲公司收费大于乙公司时：， ，
当甲公司收费小于乙公司时：，，
综上：当仓库与工厂的距离大于100千米时，选择甲公司；
当仓库与工厂的距离等于100千米时，可以从甲、乙公司中任选一家；
当仓库与工厂的距离小于100千米时，选择乙公司．
【解析】【分析】（1）根据距离，结合两个公司的收费标准，代入求出运输费用，比较大小选择划算的公司即可；
（2）从甲和乙公司任选一家运输，即两家公司的运输费用相同，设x千米时，两家公司的费用相同，求出x的值，得到答案即可；
（3）根据（2）可得，距离为100时，两家收费相等，继而由不等式，求出100千米以内和以外划算的公司即可。
8．晨光文具店分两次购进一款礼品盲盒共80盒，总共花费1140元，已知第一批盲盒进价为每盒15元，第二批盲盒进价为每盒12元．(利润销售额成本)
（1）求两次分别购进礼品盲盒多少盒？
（2）文具店老板计划将每盒盲盒标价20元出售，销售完第一批盲盒后，再打八折销售完第二批盲盒，按此计划该老板总共可以获得多少元利润？
（3）在实际销售中，该文具店老板在以（2）中的标价20元售出第一批盲盒部分后，将标价提高到30元/盒，再推出六折活动，售完所有盲盒后该老板共获利润400元，按（2）中标价售出的礼品盲盒有多少盒？
【答案】（1）第一批采购了60盒，第二批采购了20盒
（2）可获得380元
（3）按标价出售了50盒
9．鄂州市成功创建全国文明城市之后，继续创建全国文明典范城市．某社区积极响应，决定购买10套智能垃圾处理设备．现有甲、乙两种型号的设备，其中每套的价格、日处理垃圾量如下表．经调查：购买一套甲型设备比购买一套乙型设备多8万元，购买一套甲型设备和四套乙型设备共需28万元．
甲型 乙型
价格（万元/套） m n
处理量（吨/日） 180 140
（1）求表中m，n的值；
（2）经预算，该社区购买智能垃圾处理设备的资金不超过80万元，且日处理垃圾量不低于1500吨，共有哪几种购买方案？为了节约资金，请为社区设计一种最省钱的购买方案．
【答案】（1），
（2）有三种方案，方案一：甲型3套，乙型7套；方案二：甲型4套，乙型6套；方案三：甲型5套，乙型5套；方案一最省钱
10．某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电，有A，B两个焚烧妒，每个焚烧炉每天焚烧垃圾均为100吨，每焚烧一吨垃圾，A焚烧炉比B焚烧炉多发电50度，A，B焚烧炉每天共发电55000度.
（1）求焚烧一吨垃圾，A焚烧炉和B焚烧炉各发电多少度？
（2）若经过改进工艺，与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾，A焚烧炉和B焚烧炉的发电量分别增加a%和 %，则A，B焚烧炉每天共发电至少增加 %，求a的最小值.
【答案】（1）解：设B焚烧炉每吨发电x度，则A焚烧炉每吨发电（x+50）度，
100（x+50）+100x=55000，
解方程得x=250，
则B焚烧炉每吨发电250度，则A焚烧炉每吨发电300度；
（2）解：由（1）可知改进后A、B发电量分别为300（1+a%），250（1+2a%），
根据题意列式：100×300（1+a%）+100×250（1+2a%）≥55000+55000× %，
解不等式得：a≥11，
则a的最小值为11.
【解析】【分析】(1)设焚烧1吨垃圾，A焚烧炉发电x度，B焚烧炉发电 （x+50） 度，根据“A， B焚烧炉每天共发电55000度”列出方程解答即可；
(2)根据题意可得改进工艺后每焚烧一吨垃圾A焚烧炉发电300(1 + a%)度，则B焚烧炉发电250(1 + 2a%)度，根据“A、B焚烧炉每天共发电至少增加(5 +a) %”列出一元一次不等式求解即可.
11．我校为了防控新型冠状病毒，购买了甲、乙两种消毒液进行校园环境消毒，已知学校第一次购买了甲种消毒液40瓶和乙种消毒液60瓶，共花费3600元；第二次购买了甲种消毒液30瓶和乙种消毒液20瓶，共花费1700元.
（1）每瓶甲种消毒液和每瓶乙种消毒液的价格分别是多少元？
（2）学校准备第三次购买这两种消毒液，其中乙种瓶数是甲种瓶数的2倍少4瓶，并且总花费不超过2920元，第三次最多能购买多少瓶甲种消毒液？
【答案】（1）解：设每瓶甲种消毒液的价格是x元，每瓶乙种消毒液的价格是y元.
依题意得：，
解得：.
答：每瓶甲种消毒液的价格是30元，每瓶乙种消毒液的价格是40元.
（2）解：设可以购买甲种消毒液a瓶，则购买乙种消毒液（2a－4）瓶.
依题意得：30a＋40（2a－4）≤2920.
解得：a≤28，
答：最多能购买28瓶甲种消毒液.
【解析】【分析】（1）设每瓶甲种消毒液的价格是x元，每瓶乙种消毒液的价格是y元，根据购买了甲种消毒液40瓶和乙种消毒液60瓶，共花费3600元可得40x+60y=3600；根据第二次购买了甲种消毒液30瓶和乙种消毒液20瓶，共花费1700元可得30x+20y=1700，联立求解即可；
（2）设可以购买甲种消毒液a瓶，则购买乙种消毒液(2a-4)瓶，根据单价×数量=总价结合总花费不超过2920元建立关于a的不等式，求解即可.
12．某公交公司有A，B型两种客车，它们的载客量和租金如下表：
A B
载客量（人/辆） 45 30
租金（元/辆） 400 280
红星中学根据实际情况，计划租用A，B型客车共5辆，同时送七年级师生到基地校参加社会实践活动，
设租用A型客车戈辆，根据要求回答下列问题：
（1）用含x的式子填写下表：
车辆数（辆） 载客量 租金（元）
A x 45x 400x
B 5-x
（2）若要保证租车费用不超过1 900元，求x的最大值；
（3）在(2)的条件下，若七年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案一
【答案】（1）解：载客量=汽车辆数X单车载客量，租金=汽车辆数×单车租金，
B型客车载客量=30(5-x)；B型客车租金=280(5-x)；
故填：30(5-x)；280(5-x)．
（2）解：根据题意，400x+280(5-x)≤1 900，
解得：x≤4 ，x的最大值为4
（3）解：由(2)可知，x≤4 ，故x可能取值为0，1，2，3，4，
①A型0辆，B型5辆，租车费用为400 X 0+280×5=1400(元)，但载客量为45 × 0+30 × 5=150<195，故不合题意舍去；
②A型1辆，B型4辆，租车费用为400×1+280×4=1 520(元)，但载客量为45× 1+30× 4=165<195，故不合题意舍去；
③A型2辆，B型3辆，租车费用为400× 2+280×3=1 640(元)，但载客量为45×2+30×3=180<195，故不合题意舍去；
④A型3辆，B型2辆，租车费用为400×3+280×2=1 760(元)，但载客量为45×3+30 x 2=195=195，符合题意；
⑤A型4辆，B型1辆，租车费用为400× 44+280×1=1 880(元)，但载客量为45×4+30×1=210，符合题意；
故符合题意的方案有④⑤两种，最省钱的方案是A型3辆，B型2辆
【解析】【分析】 （1）设A型车为x辆，则B型车为(50-x)辆，根据题意，载客量=汽车辆数×单车载客量，租金=汽车辆数×单车租金，列出代数式即可；
（2）根据题意，表示出租车总费用，结合总费用不超过1900元，列出不等式即可解决；
（3）由（2）得出x的取值范围，逐一列举计算，排除不合题意方案，在合适的方案中选最省钱的方案即可．
13．解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 ．
【答案】（1）x≥﹣1
（2）x≤2
（3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如下图所示：
（4）﹣1 ≤ x≤2
【解析】【解答】解：(1)移项得：x≥2 1
即x≥1
故答案为：x≥1
(2)移项得：
合并同类项得：
系数化为1得：x≤2
故答案为：x≤2
(4)由上图知，原不等式组的解集为：﹣1 ≤ x≤2
故答案为：﹣1 ≤ x≤2
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集并在数轴上画出解集即可。
14．在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示，点 的坐标是 ，现将三角形ABC平移，使点A变换为点 ，点 、 分别是B、C的对应点．
（1）请画出平移后的三角形 （不写画法），并写出点 、 的坐标；
（2）求三角形ABC的面积．
【答案】（1）解：△ 如图所示；点 的坐标是（﹣4，1）点 的坐标是（﹣1，﹣1）；
（2）解：△ABC的面积=3×3－ － － =3.5．
【解析】【分析】（1）根据平移的性质，做出三角形即可；
（2）根据三角形的面积公式，利用作差法求出答案即可。
15．对于下列问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．如图，在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD＝35°．
（1）求∠EBC的度数；
（2）求∠A的度数．
解：∵CD⊥AB（已知），
∴∠CDB＝ ▲ °
∵∠EBC＝∠CDB+∠BCD（ ）．
∴∠EBC＝ ▲ °+35°＝ ▲ °（等量代换）．
∵∠EBC＝∠A+∠ACB（ ），
∴∠A＝∠EBC-∠ACB（等式的性质）
∵∠ACB＝90°（已知），
∴∠A＝ ▲ -90°＝ ▲ °（等量代换）．
【答案】（1）解：∵CD⊥AB（已知），
∴∠CDB＝90°，
∵∠EBC＝∠CDB+∠BCD（三角形外角等于与它不相邻两个内角的和）．
∴∠EBC＝90°+35°＝125°（等量代换）．
（2）解：∵∠EBC＝∠A+∠ACB（三角形外角等于与它不相邻两个内角的和），
∴∠A＝∠EBC-∠ACB（等式的性质）
∵∠ACB＝90°（已知），
∴∠A＝125°-90°＝35°（等量代换）．
【解析】【分析】（1）利用三角形外角的性质求出∠EBC的度数即可；
（2）利用角的运算及等量代换求出答案即可。
16．阅读下面解不等式>的过程，完成任务：
解：…第一步
……第二步
… 第三步
…… 第四步
（1）任务一：第一步去分母的依据是 ；
（2）第 步开始出现不符合题意，这一步错误的原因是 ；直接写出正确结果是 ．
（3）任务二：请你根据平时的学习经验，就解不等式时需要注意的事项给其他同学提出建议．
【答案】（1）“不等式的性质2”或者“不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向不变”
（2）一；去括号时，括号前面是“ ”，括号中的第二项没有变号；
（3）去分母和化系数为1可能用到“不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号方向改变”，其它都不会改变不等号方向等．
【解析】【解答】解：（1）第一步去分母的依据是不等式的性质2或者不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向不变，
故答案为：“不等式的性质2”或者“不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向不变”；
（2）第一步开始出现不符合题意，这一步错误的原因是去括号时，括号前面是“ ”，括号中的第二项没有变号；
符合题意结果应为；
故答案为：一；去括号时，括号前面是“ ”，括号中的第二项没有变号；；
【分析】利用不等的性质及不等式的解法求解即可。
17．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，
求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明：
在和中，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）知，
∴．
【解析】【分析】（1）先利用“ASA”证出，再利用全等三角形的性质可得；
（2）利用全等三角形的性质可得。
18．如图，等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．
（1）如图①，点E为AB的中点，求证：AE=DB．
（2）如图②，点E在边AB上时，AE ▲ DB（填：“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：过点E作EF∥BC，交AC于点F（请你完成以下解答过程）．
（3）在等边△ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若AB=1，AE=2时，直接写出CD的长．
【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，点E为AB的中点，
∴CE为∠ACB的平分线，
∴∠BCE=∠ACB=×60°=30°．
∵ED=EC，
∴∠D=∠DCE=30°，
∵∠ABC=60°，∠D+∠DEB=∠ABC，
∴∠DEB=30°，
∴BD=BE，
∵AE=BE，
∴AE=BD；
（2）解：=；理由如下：如图，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=∠AFE=∠ACB=60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴AB=AC，
∴BE=CF，
∴∠DBE=∠EFC=120°，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴EF=DB，
∵AE=EF，
∴AE=DB；
（3）解：当点E在BA的延长线上时，如图③，作EF∥BC交CA的延长线于F，
则△AEF为等边三角形，
∴AF=AE=EF=2，∠BEF=60°，
∴∠CEF=60°+∠BEC，
∵∠EDC=∠ECD=∠B+∠BEC=60°+∠BEC，
∴∠CEF=∠EDB，
在△CEF和△EDB中，
，
∴△CEF≌△EDB（AAS），
∴BD=EF=2，
∴CD=BD-BC=1，
当点E在AB的延长线上时，如图，作EF∥BC交AC的延长线于F，
则△AEF为等边三角形，
∴AF=AE=EF=2，∠AEF=60°，
∴∠CEF=60°-∠AEC，
∵∠D=∠ECD=∠ABC+∠AEC=60°+∠AEC，
∴∠CEF=∠D，
在△CEF和△EDB中，
，
∴△CEF≌△EDB（AAS），
∴BD=EF=2，
∴CD=BD+BC=3，
综上所述，CD=1或3．
【解析】【分析】（1）先证明∠D=∠DCE=30°，∠DEB=30°，可得BD=BE，再结合AE=BE可得AE=BD；
（2）过点E作E//BC，交AC于点F，先证明△AEF为等边三角形，可得AB=AC，再利用“SAS”证明△DBE≌△EFC可得EF=DB，再结合AE=EF，可得AE=DB；
（3）分两种情况：①当点E在BA的延长线上时，作EF∥BC交CA的延长线于F，②当点E在AB的延长线上时，作EF∥BC交AC的延长线于F，再分别画出图象并利用全等三角形的判定和性质求解即可。
19．如图1，小慧买的铅笔配了一个铅笔套用于保护笔尖，套口到分界处的距离为．未开始使用时，铅笔长度是铅笔套长度的3倍多，且铅笔长度比铅笔套长度多．
（1）请分别求出铅笔和铅笔套的长度．
（2）如图2，铅笔套也能套在铅笔顶部作延长器使用，套口到顶部的距离也是．当总长度（笔尖到套尾的距离）小于时，将不再适合正常书写，则该铅笔最多可以正常使用多少长度？
【答案】（1）解：设铅笔套的长度为，则铅笔的长度为，根据题意得：
解得：，
则，
答：铅笔的长度为，铅笔套的长度为；
（2）解：设该铅笔最多可以使用，根据题意得：，
解得，
∴该铅笔最多可以使用．
【解析】【分析】（1）设铅笔套的长度为，利用“铅笔长度比铅笔套长度多”列一元一次方程解题即可；
（2）设该铅笔最多可以使用，根据题意列一元一次方程方程解题即可．
（1）解：设铅笔套的程度为，则铅笔的长度为，根据题意得：
解得：，
则，
答：铅笔的长度为，铅笔套的长度为；
（2）解：设该铅笔最多可以使用，
根据题意得：，
解得，
∴该铅笔最多可以使用．
20．岳阳市第十九中八年级举行数学思维导图比赛，学校购买A，B两种学习用品作奖品，A发给一等奖，B发给二等奖，已知A种学习用品的单价比B贵10元，且用180元购买A种学习用品的数量与用120元购买B种学习用品的数量相同．
（1）求A，B两种学习用品的单价各是多少元？
（2）学校准备购买A，B两种学习用品共28件，且两种学习用品的购买经费不少于680元，问A学习用品最少要购买多少件？
【答案】（1）一个A种学习用品需要30元，购买一个B种学习用品需要20元；
（2）A学习用品最少要购买12件．
21．合江特产之一真龙柚，因其果肉晶莹剔透，脆甜多汁，深受人们喜爱．某水果店第一次用2000元从基地购进一批真龙柚，很快售完，又花3200元第二次购进．已知第二次购进的数量是第一次的2倍，因量大从优，所以每个真龙柚第二次购进的价格比第一次便宜了2元．
（1）求该店两次购进真龙柚各多少个？
（2）因为市场行情好，第二次购进真龙柚后仍按第一次的售价销售，若水果店两次购进的真龙柚销售完后的总利润为2000元，则每个真龙柚的售价是多少元？
【答案】（1）第一次、第二次购进真龙柚的个数分别为200个和400个．
（2）每个真龙柚的售价是12元．
22．某电器经营老板计划购进同种型号的空调和电风扇，若购进8台空调和20台电风扇，需要资金17400元，若购进10台空调和30台电风扇，需要资金22500元.
（1）求空调和电风扇的采购价各是多少元？
（2）该老板计划购进这两种电器共70台，而可用于购买这两种电器的资金不超过30000元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利200元，销售一台这样的电风扇可获利30元，该老板希望当这两种电器销售完时，所获的利润不少于3500元，试问老板有哪几种进货方案？
（3）在所有的进货方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设空调和电风扇的采购价各是x元与y元，
由题意得：，
解得：，
答：空调和电风扇的采购价各是1800元与150元；
（2）解：设老板计划购进空调m台，则购进电风扇为台，
由题意得：，
解得：，
由于m为正整数，所以为9，10，11，
所以有三种进货方案，分别是：
方案一：空调购进9台，电风扇购进61台；
方案二：空调购进10台，电风扇购进60台；
方案三：空调购进11台，电风扇购进59台；
（3）解：方案一的利润为：（元）；
方案二的利润为：（元）；
方案三的利润为：（元）；
比较三种方案的利润知，方案三的利润最大，最大利润为3970元.
【解析】【分析】（1） 设空调和电风扇的采购价各是x元与y元， 根据“ 若购进8台空调和20台电风扇，需要资金17400元，若购进10台空调和30台电风扇，需要资金22500元 ”建立方程组，求解即可；
（2） 设老板计划购进空调m台，则购进电风扇为（70-m）台，根据“ 购买这两种电器的资金不超过30000元及这两种电器销售完时，所获的利润不少于3500元 ”列出不等式组，求解取出m的整数解即可解决此题；
（3）分别算出每一种方案的利润，再比大小即可得出答案.
23．第24届冬季奥林匹克运动会在北京举行，为了抓住此次商机，某授权商店决定购进A、B两种冬奥纪念品．若购进A种纪念品9件，B种纪念品3件，需要1170元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要910元．
（1）求购进A种纪念品、B种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，购进A种纪念品的件数不少于67件，且购进总资金不能超过9450元．
①那么该商店共有几种进货方案？
②若销售一件A种纪念品可获利40元，一件B种纪念品可获利20元，哪一种方案利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）购进A种纪念品，B种纪念品每件各需110元，60元
（2）①共3种购买方案，方案一：购进A种纪念品67件，购进B种纪念品33件；方案二：购进A种纪念品68件，购进B种纪念品32件；方案三：购进A种纪念品69件，购进B种纪念品31件；②购进A种纪念品69件，购进B种纪念品31件时获得利润最大，最大利润为3380元
24．某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1440元，购买乙种用了2430元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元．
（1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元；
（2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？
【答案】（1）甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元
（2）该校最少可以购买67个甲种滑动变阻器
25．如图所示，，，，是上两点，且.
（1）试说明；
（2）请你判断与的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵，
∴，
即，
在与中，
，
∴
（2）解：，理由如下，
∵，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）由AE=CF推出AF=CE，从而由SSS判断出△ABF≌△CDE；
（2）BF∥DE，理由如下：由全等三角形的对应角相等得∠AFB=∠CED，进而根据内错角相等，两直线平行，得BF∥DE.
26．
（1）解不等式，并把它的解果在数轴上示出来．
（2）解不等式组，并写出它的所有非负整数解．
【答案】（1）解：，
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，，
解得：
在数轴上表示不等式的解集为：
（2）解：，
解不等式①，得x＞﹣2，
解不等式②，得x≤，
所以不等式组的解集是﹣2＜x≤，
所以不等式组的非负整数解是0，1，2．
【解析】【分析】（1）利用不等式的性质及不等式的解法求解解集，再在数轴上画出解集即可；
（2）利用不等式的性质及不等式组的解法求解解集并直接写出所有非负整数解即可。
27．某校为了普及推广冰雪活动进校园，准备购进速滑冰鞋和花滑冰鞋用于开展冰上运动，若购进30双速滑冰鞋和20双花滑冰鞋共需8500元；若购进40双速滑冰鞋和10双花滑冰鞋共需8000元．
（1）求速滑冰鞋和花滑冰鞋每双购进价格分别为多少元？
（2）若该校购进花滑冰鞋的数量比购进速滑冰鞋数量的2倍少10双，且用于购置两种冰鞋的总经费不超过9000元，则该校至多购进速滑冰鞋多少双？
【答案】（1）解：设每双速滑冰鞋购进价格为 元，每双花滑冰鞋购进价格为 元．
根据题意得
解得
答：每双速滑冰鞋购进价格为150元，每双花滑冰鞋购进价格为200元．
（2）解：设该校购进速滑冰鞋 双，则购进花滑冰鞋 双．
根据题意 得 ．
解得
答：该校至多购进速滑冰鞋20双．
【解析】【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，求解即可．（2）根据题意列出一元一次不等式，求解即可．
28．总书记曾指出“保护生态环境就是保护生产力，改善生态环境就是发展生产力”，我市自践行科学生态观以来，全市生态环境持续优化．已知去年我市空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365）之比达到，如果明年（365天）这样的比值要超过，那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加多少？
【答案】解：设明年空气质量良好的天数比去年要增加天，根据题意可得：
，
解得：，
为整数，
，
答：明年空气质量良好的天数比去年至少要增加37天．
【解析】【分析】根据题意表示出明年空气质量良好的天数比去年要增加的天数进而得出不等式求出答案．
29．某儿童品牌专卖店购进了A、B两种童装，其中A种童装的进价比B童装的进价每个多10元，经调查：用1000元购进A种童装的数量与用800元购进B童装的数量相同．
（1）求A、B两种童装的进价分别是每个多少元？
（2）该专卖店共购进了A、B两种童装共100套，若该店将每个A种童装定价为70元出售，每个B种童装定价为55元出售，且全部售出后所获得利润不少于1750元，则专卖店至少购进A种童装多少套？
【答案】（1）解：设A种童装的进价是x元/个，则B种童装的进价是 ，
由题意可列方程，
解得，
经检验： 是原分式方程的根.
∴
答：A、B两种童装的进价分别是每个50元和40元
（2）解：设购进A种童装x套，由题可知，
≥1750
解得，x≥50
答：专卖店至少购进A种童装50套
【解析】【分析】（1）根据数量相同，可列出进价与数量的方程。
（2）根据题意，列出利润关系的不等式，解出即可。
30．如图，现要在长方形草坪中规划出块大小、形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．
（1）如图①，大长方形的相邻两边长分别为和，求小长方形的相邻两边长；
（2）如图②，设大长方形的相邻两边长分别为和，小长方形的相邻两边长分别为和，个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意，三个小长方形的形状和大小一样，设小长方形的宽为s米，长为t米，根据题意得
解得
答：小长方形的相邻两边长分别是，.
（2）解：是定值，理由如下：
根据题意可知：1个小长方形的周长，1个大长方形的周长．
根据题意可知，，
∴．
∴个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是定值，为．
【解析】【分析】（1）设小长方形的宽为s米，长为t米，依题意，得，求解即可；
（2）根据题意可知个小长方形的周长，1个大长方形的周长，根据题意可知，，代入即可求得的值.
31．荔枝的品种有许多种，其中桂味、糯米糍是荔枝口感上佳的品种．显赫奶奶先购买了2千克桂味和3千克糯米糍，共花费90元；后又购买了3千克桂味和2千克糯米糍，共花费85元．（每次购买两种荔枝的售价都不变）
（1）购买了1千克桂味荔枝比1千克糯米糍荔枝少花费 元；
（2）求桂味荔枝和糯米糍荔枝的售价分别是每千克多少元；
（3）如果还需购买两种荔枝共12千克，要求糯米糍的数量不少于桂味数量的2倍，请设计一种购买方案，使所需总费用最低．
【答案】（1）5
（2）解：设桂味的售价为每千克x元，糯米糍的售价为每千克y元；
根据题意得： ，解得： ；
答：桂味的售价为每千克15元，糯米糍的售价为每千克20元；
（3）解：设购买桂味t千克，总费用为W元，则购买糯米糍（12﹣t）千克，
根据题意得：12﹣t≥2t，解得：t≤4，
t=1，2，3，4；12-t=11，10，9，8．
∵Wmin＝15×4+20×8=220
当t＝4时，W的最小值＝220（元），
答：购买桂味4千克，糯米糍8千克时，所需总费用最低．
【解析】【解答】解：（1）90-85=5，故填：5
【分析】（1）列式计算即可得出答案；
（2）设桂味的售价为每千克x元，糯米糍的售价为每千克y元，根据题意列方程，解得x、y的值即可；
（3）设购买桂味t千克，总费用为W元，则购买糯米糍（12﹣t）千克，根据题意列出不等式，解的t的值，即可得出答案。
32．为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校利用课后服务时间，开展班级篮球赛．
（1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在12场比赛中获得总积分为30分，求该班胜、负场数分别是多少场？（用二元一次方程组解答）
（2）投篮评分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分．某班在其中一场比赛中，共投中18个球，所得总分不低于40分，求该班在这场比赛中至少投中了多少个得3分的球？
【答案】（1）该班胜9场，负3场
（2）该班在这场比赛中至少投中了4个得3分的球
33．近年来，随着人类社会的发展，人们对水的需求量越来越大，很多地方出现了用水紧张的情况．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控手段达到节约用水的目的，某市规定如下用水收费标准：每户每月的用水量不超过6立方米时，水费按每立方米a元收费；超过6立方米时，不超过的部分每立方米仍按a元收费，超过的部分每立方米按b元收费．该市某户今年4，5月份的用水量和所交水费如下表所示：
月份 用水量（立方米） 收费（元）
4 5 10
5 9 22.5
设某户每月用水量为x（立方米）．
（1）求a，b的值；
（2）当x＞6时，请用含x的式子表示出用户应该缴纳的水费；
（3）若该户6月份水费为33元，则该用户6月份用水量是多少立方米？
【答案】（1）解：由4月份的用水费用和用水量可得： 元，
结合5月份的用水费用和用水量可得： 元；
（2）解：当x＞6时，用户应缴纳的水费= （元）
（3）解：∵2×6=12（元），12＜33，
∴该户6月份用水量超过6吨，
由题意得，
解得，
答：该用户6月份用水量是12立方米．
【解析】【分析】（1）根据该用户今年4、5月份的用水量和所交水费，列式求解即可；
（2）当x＞6时，用户应缴纳的水费=2×6+3.5×超出6吨的部分，可得该户应缴纳的水费；
（3）先判断该户用水超过6吨，结合（2）的结果列出方程，解之即可.
34．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．
（1）将△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′，补全△A′B′C′；
（2）若连结AA′、BB′，则这两条线段之间的关系是 （数量关系及位置关系）；四边形AA′B′B的面积为 ．
【答案】（1）解：如图：△A′B′C′为所求；
（2）平行且相等；14
【解析】【解答】解：（2）由平移的性质可得：AA 与BB 关系是平行且相等；
如图：四边形AA′B′B的面积为：6×4- ×2×3- ×1×4- ×2×3- ×1×4=14．
【分析】（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据平移的性质和三角形的面积公式计算求解即可。
35．某商场销售A，B两种品牌的多媒体教学设备，这两种多媒体教学设备的进价和售价如表所示．
A B
进价（万元/套） 2 1.6
售价（万元/套） 2.5 2
（1）若该商场计划购进两种多媒体教学设备若干套，共需124万元，全部销售后可获毛利润31万元．则该商场计划购进A，B两种品牌的多媒体教学设备各多少套？
（2）通过市场调研，该商场决定在（1）中所购总数量不变的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量．若用于购进这两种多媒体教学设备的总资金不超过120万元，且全部销售后可获毛利润不少于29.8万元．问有几种购买方案？并写出购买方案．
【答案】（1）解：设商场计划购进A种设备x套，B种设备y套，
由题意得，
解得：
答：商场计划购进A种设备30套，B种设备40套
（2）解：设商场购进A种设备a套，则B种设备套，
由题意得
解得：
答：有三种购买方案，
可购买A种设备18套，购买B种设备52套；
或购买A种设备19套，购买B种设备51套；
或购买A种设备20套，购买B种设备50套．
【解析】【分析】（1）设商场计划购进A种设备x套，B种设备y套，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设商场购进A种设备a套，则B种设备套，根据题意列出不等式组求解即可。
36．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将△ABC向右平移3单位，再向上平移2个单位得到三角形A1B1C1．
（1）在网格中画出三角形A1B1C1．
（2）A1B1与AB的位置关系 ．
【答案】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）平行
【解析】【解答】解：（2）根据平移的性质：对应线段平行且相等，
故答案为：平行．
【分析】（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据对应线段平行且相等求解即可。
37．在 中， ， .过点A在 外作直线 ， 于M， 于N.
（1）证明： ；
（2）若 ， ， .试利用此图验证勾股定理 .
【答案】（1）证明：∵ ， 于M， 于N.
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ （AAS），
∴ ， ，
∴ ，
即 ；
（2）解：∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义和余角的性质可证得∠MAB=∠ACN，利用AAS证明△MAB≌△NCA，利用全等三角形的性质可证得BM=AN，AM=CN；然后根据MN=AM+AN，可证得结论.
（2）利用全等三角形的性质，可表示出CN，AN，AC，由此可表示出MN的长；再利用梯形MBCN的面积=△MAB的面积+△ABC的面积+△NCA的面积，然后利用三角形的面积公式，可验证勾股定理.
38．某超市第一次用3800元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品40件，乙种商品160件.已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵5元.甲种商品售价为20元/件，乙种商品售价为25元/件.
（1）甲、乙两种商品每件进价各多少元？
（2）该超市第二次又购进同样数量的甲、乙两种商品.其中甲种商品每件的进价不变，乙种商品进价每件少3元；甲种商品按原售价提价a%销售，乙种商品按原售价降价a%销售，如果第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次售完获得的总利润多160元，那么a的值是多少？
【答案】（1）解：设甲种商品每件进价x元，乙种商品每件进价y元，
由题意可得：，
解得：，
答：甲种商品每件进价15元，乙种商品每件进价20元；
（2）解：由题意，
，
解得.
答：a的值是10.
【解析】【分析】（1） 设甲种商品每件进价x元，乙种商品每件进价y元 ，根据“ 乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵5元 ”可列方程y-x=5，根据“购进甲种商品40件，乙种商品160件，共用3800元 ”列出方程40x+160y=3800，联立两方程组成的方程组，求解即可；
（2）甲种商品每件的售价为20（1+a％）元，甲种商品每件的利润为[20（1+a％）-15]元，乙种商品每件的售价为25（1-a％）元，乙种商品每件的利润为[25（1-a％）-（20-3）]元，根据单件利润乘以销售数量=总利润分别表示出第一次与第二销售甲乙两种商品的利润，进而根据“ 第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次售完获得的总利润多160元 ”建立方程，求解即可.
39．新学期开学，某体育用品商店开展促销活动，有两种优惠方案．
方案一：不购买会员卡时，乒乓球都享受折优惠，乒乓球拍购买5副（含5副）以上才能享受折优惠，5副以下必须按标价购买．
方案二：办理会员卡时，全部商品享受八折优惠，小健和小康的谈话内容如下：
会员卡只限本人使用．
（1）求该商店销售的乒乓球拍每副的标价．
（2）如果乒乓球每盒元，小健需购买乒乓球拍6副，乒乓球a盒（a为正整数）．
①请用含a的式子分别表示按方案一和按方案二购买所付的费用；
②小健如何选择方案购买比较合算？
【答案】（1）
（2）①方案一购买所付的费用为元；按方案二购买所付的费用为元；②当，按照方案二购买；当，两个方案均可；当，按照方案一购买
40．已知：如图，点 是 内一点．
求证：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）证明：延长 交 于点 ，
在 中有 ，
在 中有 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
（2）证明：由（1）同理可得
，
，
，
∴ ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）如图，延长 交 于点 ，然后在 与 中根据三角形的三边关系，推出 ，进而可求得；（2）同（1）根据三角形三边关系推导即可.
41．某体育用品专卖店准备购进篮球服和足球服两种运动服装，根据批发商提供的信息，每套篮球服的价格比每套足球服的价格多5元，进购5套篮球服和4套足球服共需700元．
（1）篮球服和足球服的进购单价各是多少元？
（2）专卖店第一次进购了两种服装共260套，并且将篮球服和足球服的售价均定为每套100元，售完后获得总利润5800元，求专卖店第一次进购了两种服装各多少套？
（3）由于进购的服装销售情况良好，所以专卖店又进购了一批服装，两种服装的数量分别与上次相同，且批发商对所有服装都给予了八折的优惠．因此专卖店采取了篮球服在上次售价的基础上打折，足球服售价不变的方式销售，结果全部售完后总利润比上次还多540元，求篮球服打了几折？
【答案】（1）解：设每套足球服进购单价为x元，则篮球服每套元，根据题意得：
，
解得：，
∴篮球服每套元，
答：篮球服的进购单价为80元，足球服的进购单价为75元．
（2）解：设篮球服进购了m套，则足球服进购了套，根据题意得：
，
解得：，
∴足球服进购了套，
答：篮球服进购了140套，足球服进购了120套．
（3）解：篮球服进价：元/套，
足球服进价：元/套，
设篮球服打的折扣为y，根据题意得：
，
解得：，
七五折，
答：篮球服打了七五折．
【解析】【分析】（1）设每套足球服进购单价为x元，则篮球服每套元，根据题意列出方程，再求解即可；
（2）设篮球服进购了m套，则足球服进购了套，根据题意列出方程，再求解即可；
（3）设篮球服打的折扣为y，根据题意列出方程，再求解即可。
42．已知关于，的方程组和方程组的解相同．
（1）这两个方程组的解；
（2）求的立方根．
【答案】（1）解：关于，的方程组和方程组的解相同，
，满足，
由可得：
，
，
，
将代入可得：
，
，
两个方程组的解为，
（2）解：将两个方程组中的第二个方程联立可得，
将代入可得，
由可得：
，
，
，
将代入可得：
，
，
．
的立方根是．
【解析】【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）利用加减消元法解方程组求出a=2，再求出b=3，最后求解即可。
43．如图在和中， ，，．
（1）当点D在AC上时，如图（1），求证：．
（2）将图（1）中的绕点A顺时针旋转角（），如图（2），线段BD、CE仍相等吗？请说明理由．
（3）
在图（2）中线段BD、CE有怎样的位置关系？请说明理由．
【答案】（1）证明：在△ADB和△ACE中
∴△ABD≌△AEC（SAS），
∴BD=CE
（2）结论：BD=CE
证明：∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ADB和△ACE中
∴△ABD≌△AEC（SAS），
∴BD=CE
（3）结论：BD⊥CE
证明：延长BD交CE于点F，
∵△ABD≌△AEC，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABD+∠DBC+∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠DBC+∠ACB=90°即∠DBC+∠BCF=90°，
∴∠BFC=180°-（∠DBC+∠BCF）=180°-90°=90°，
∴BD⊥CE
【解析】【分析】 （1）利用SAS证明△ABD≌△AEC，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（2）由∠BAC=∠DAE=90°，可证得∠BAD=∠CAE，利用SAS证明△ABD≌△AEC，再利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（3）延长BD交CE于点F，利用全等三角形的对应角相等，可证得∠ABD=∠ACE，利用三角形的内角和定理可证得∠ABD+∠DBC+∠ACB=90°，由此可推出∠DBC+∠BCF=90°；然后利用三角形的内角和定理可求出∠BFC=90°，利用垂直的定义可证得结论.
44．如图（1），AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，点C是BD上一点.且BC＝DE，CD＝AB.
（1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由；
（2）如图（2），若把△CDE沿直线BD向左平移，使△CDE的顶点C与B重合，此时第（1）问中AC与BE的位置关系还成立吗？（注意字母的变化）
【答案】（1）解：AC⊥CE.理由如下：
在△ABC和△CDE中，
∴ △ABC≌△CDE（SAS）.
∴ ∠ACB＝∠E.
又∵ ∠E＋∠ECD＝90°，
∴ ∠ACB＋∠ECD＝90°.
∴ AC⊥CE.
（2）解：∵ △ABC各顶点的位置没动，在△CDE平移过程中，一直还有 ，BC＝DE，
∠ABC＝∠EDC＝90°，
∴ 也一直有△ABC≌△ (SAS).
∴ ∠ACB＝∠E.而∠E＋∠ ＝90°，
∴ ∠ACB＋∠ ＝90°.
故有AC⊥BE，即AC与BE的位置关系仍成立.
【解析】【分析】（1）根据条件证明△ABC≌△CDE就得出∠ACB＋∠ECD＝90°，就可以得出AC⊥CE；
（2）如图2，根据△ABC≌△ 可以得出∠ACB＋∠ ＝90°，从而得出结论.
45．如图
（1）问题背景：如图①，在四边形 中， ．E，F分别是 上的点，且 ，请探究图中线段 之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长 到点G，使 ．连接 ，先证明 ，得 ；再由条件可得 ，证明 ，进而可得线段 之间的数量关系是 ．
（2）探索延伸：如图②，在四边形 中， ．E，F分别是 ， 上的点，且 ．问（1）中的线段 之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西 的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东 的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以50海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 的方向以60海里/小时的速度前进.2小时后，甲 乙两舰艇分别到达E，F处，此时在指挥中心观测到两舰艇之间的夹角为 ，试求此时两舰艇之间的距离．
【答案】（1）EF=BE+DF
（2）解： 仍然成立．
证明：如图1，延长 到G，使 ，连接 ，
∵ ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
（3）解：如图2，
连接 ，延长 相交于点G．
∵∠AOB=20°+90°+（90°-80°）=120°，∠EOF=60°，
∴ ，
又∵ ，
∴符合（2）中探索延伸中的条件，
∴结论 成立，
即 海里．
答：此时两舰艇之间的距离是220海里．
【解析】【解答】解：（1）在
和
中，
，
∴ ，
∴ ．
∵∠BAD=120°，∠EAF=60°，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在
和
中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
故答案为：
；
【分析】（1）先证明
，再证明
，进行作答即可；
（2）先求出
，再证明
和
，最后根据全等的性质进行证明即可；
（3）先求出
，再根据题意作答即可。
46．如图，点A（，），点B（，0），点C（0，）．
（1）求△ABC的面积．
（2）图中△ABC内一点P，经平移后对应点为Q，将△ABC作同样的平移得到△DEF，画出△DEF，并写出点A、B、C 的对应点D、E、F的坐标．
【答案】（1）解： A（，），C（0，），
，AC=3，AC边上的高为2，
△ABC的面积为：；
（2）解：点P，经平移后对应点为Q，
点P向右平移了3个单位长度，向上平移了2个单位长度，
将△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到△DEF，
点A、B、C 的对应点D、E、F的坐标分别为D（0，0），E（2，2），F（3，0），
画图如下：
【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式计算即可；
（2） 由点P，经平移后对应点为Q，可推出将△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到△DEF，据此分别求出点A、B、C 的对应点D、E、F的坐标 ，然后描点连线即得.
47．如图1，已知∠AOC＝140°，∠BOC的余角比它的补角的 少 .
（1）求∠BOC的度数；
（2）如图1，当射线OP从OB处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，保持射线OP始终在∠BOA的内部，当∠POC＝10°时，求旋转时间.
（3）如图2，若射线OD为∠AOC的平分线，当射线OP从OB处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转，同时射线OT从射线OD处以x度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当这两条射线重合于射线OE处（OE在∠DOC的内部）时， ，求x的值.
（注：本题中所涉及的角都是小于 的角）
【答案】（1）解：设 ，则它的余角为 ，它的补角为
由题意得：
（2）解：设旋转时间为x秒，
∵
①当射线OP在∠BOC的内部时，
即 ，解得：
②当射线OP在∠BOC的外部时，
即 ，
综上所述，当旋转时间为 或 时，
（3）解：∵OD为∠AOC的平分线，
∴∠COD＝ ∠AOC＝70°，
∴∠BOD＝∠COD+∠BOC＝70°+20°＝90°
∵ ，
∴∠COE＝ ×90°＝20°，则∠DOE＝70°﹣20°＝50°，∠BOE＝20°+20°＝40°，
∴OP的旋转时间为
∴10x＝50，解得：x＝5.
【解析】【分析】（1） 设 ，则它的余角为 ，它的补角为 ，根据“ ∠BOC的余角比它的补角的 少 ”列出方程并解之即可；
（2） 设旋转时间为t秒，分两种情况：①当射线OP在∠BOC的内部时，②当射线OP在∠BOC的外部时，由∠POC＝10°分别建立方程并解之即可；
（3）由角平分线的定义可得∠COD＝ ∠AOC＝70°，从而求出∠BOD＝∠COD+∠BOC＝90°，结合 ，可得∠COE＝ ∠BOD=20°，继而求出 ∠DOE、∠BOE的度数， 即可求解.
48．已知方程组 ，其中x为非正数，y为负数．
（1）求m的取值范围；
（2）化简：|m﹣3|﹣|m+2|；
（3）不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1，求m的整数值．
【答案】（1）解： ，
由①②得： ，
解得 ，
把 代入①得： ，
解得 ，
∵x为非正数，y为负数，
∴ ，
解得 ；
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
则 ，
，
；
（3）解：不等式 整理得： ，
其解集为 ，
，
解得 ，
又 ，
，
则m的整数值为 ．
【解析】【分析】（1）先求出方程组的解，根据x为非正数，y为负数组成不等式组，解出不等式组即得结论；
（2）由（1）结论，可得 ， 先将原不等式整理得 ，由解集为 ， 可得2m+1＜0，
49． 经过 顶点 的一条直线， . 分别是直线 上两点，且 .
（1）若直线 经过 的内部，且 在射线 上，请解决下面两个问题：
①如图1，若 ， ，
则 ▲ ； ▲ （填“ ”，“ ”或“ ”）；
②如图2，若 ，请添加一个关于 与 关系的条件 ▲ ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立.
（2）如图3，若直线 经过 的外部， ，请提出 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）.
【答案】（1）①；
②
证明：在 中， .
， .
又 ， .
又 ， ，
.
， .
又 ， .
（2）
【解析】【解答】解：（1）①∵∠BCA=90°，∠AFC=90°，
∴∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，
∴∠ACE=∠CAF，
在△BEC和△CFA中，
∵，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴BE=CF，AF=CE，
∴BE-AF=CF-CE=EF，
当点E在F的右侧时，同理可证，EF=AF-BE，
∴.
故答案为：=，=.
（2）EF=BE+AF，理由如下：
∵∠BEC=∠CFA=α，∠BCA=α，
又∵∠EBC+∠BEC+∠BCE=180°，∠BCA+∠BCE+∠ACF=180°，
∴∠EBC=∠ACF，
在△BEC和△CFA中，
∵，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴BE=CF，EC=AF，
∴EF=EC+CF=BE+AF.
【分析】（1）①由∠BCA=90°，∠α=90°可得∠CBE+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACD=90°，可推得∠CBE=∠ACD，且已知CA=CB，∠BEC=∠CFA，所以△BEC≌△CDA，可得BE=CF，EC=AF；又因为EF=CF-CE，所以EF=|BE-AF|；
②只有满足△BEC≌△CDA，才有①中的结论，即∠BCE=∠CAF，∠CBE=∠FCA；由三角形内角和等于180°，可知∠α+∠BCE+∠CBE=180°，即∠α+∠BCE+∠FCA=180°，即可得到∠α+∠BCA=180°.（2）只要通过条件证明△BEC≌△CFA（可通过ASA证得），可得BE=CF，EC=AF，即可得到EF=EC+CF=BE+AF.
（2）利用三角形内角和结合平角的定义推得∠EBC=∠ACF，然后利用AAS证明△BEC≌△CFA，得出BE=CF，EC=AF，则可求出EF=BE+AF.
50．
（1）（问题引入）如图1，△ABC，点O是∠ABC和∠ACB相邻的外角平分线的交点，若∠A=40°，请求出∠BOC的度数．
（2）（深入探究）
如图2，在四边形ABDC中，点O是∠BAC和∠ACD的角平分线的交点，若∠B+∠D=110°，请求出∠AOC的度数．
（3）（类比猜想）
如图3，在△ABC中，∠CBO= ∠DBC，∠BCO= ∠ECB，∠A=α，则∠BOC= （用α的代数式表示，直接写出结果，不需要写出解答过程）．
（4）如果BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO=∠ DBC∠BCO= ∠ECB，则∠BOC= （用n、a的代数式表示，直接写出结果，不需要写出解答过程）．
【答案】（1）解：∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°，
∴∠DBC+∠ECB=180°-∠ABC+180°-∠ACB
=360°-（∠ABC+∠ACB）
=360°-140°
=220°，
∵BO、CO分别平分∠DBC和∠ECB，
∴∠OBC+∠OCB= （∠DBC+∠ECB） = ×220°=110°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-110°=70°
（2）解：∵点O是∠BAC和∠ACD的角平分线的交点，
∴∠OAC= ∠CAB，∠OCA= ∠ACD，
∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）
=180°- （∠CAB+∠ACD）
=180°- （360°-∠B-∠D）
= （∠B+∠D），
∵∠B+∠D=110°，
∴∠AOC= （∠B+∠D）=55°
（3）120°- α；
（4）
【解析】【解答】（3）在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°- （∠DBC+∠ECB）
=180°- （∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
=180°- （∠A+180°）
=120°- α；
故答案为：120°- α；（4）在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°- （∠DBC+∠ECB）
=180°- （∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
=180°- （∠A+180°）
= ．
故答案为： ．
【分析】（1）由三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°，利用邻补角求出∠DBC+∠ECB=180°-∠ABC+180°-∠ACB=220°，根据角平分线的定义可得∠OBC+∠OCB= （∠DBC+∠ECB）=110°，在△BOC中，利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数；
（2） 利用角平分线的定义可得∠OAC= ∠CAB，∠OCA= ∠ACD， 根据三角形内角和及四边形内角和可得∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°- （∠CAB+∠ACD）=180°- （360°-∠B-∠D）=（∠B+∠D）， 从而求出结论；
（3）在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°- （∠DBC+∠ECB）=180°- （∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）=180°- （∠A+180°），据此计算即得结论；
（4）同（3）计算即得.
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