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【精选热题·期末50道综合题专练】华东师大版数学八年级下册复习卷
1．为了锻炼身体增强体质，小何同学在某周末上午9时骑自行车离开家去绿道锻炼，15时回家，已知小何离家的距离s(km)与时间t(h)之间的关系如图所示．
根据图象解答下列问题：
（1）写出小何离家的最远距离；
（2）小何途中共休息了几次，每次休息多长时间？
（3）小何由离家最远的地方返回家时的平均速度是多少？
2．已知反比例函数的图象经过两点．
（1）求m和k的值；
（2）求出时，y的取值范围．
3．某学校在一次广播操比赛中，901班，902班，903班的各项得分如表：
班级 服装统一 动作整齐 动作准确
901班 85 70 85
902班 75 85 80
903班 90 85 95
（1）若取三个项目的得分平均分作为该班成绩，分别求各班的成绩.
（2）若学校认为三个项目的重要程度各不相同，从低到高依次为“服装统一”“动作整齐”“动作准确”，它们在总分中所占的比例分别为10％， ％， ％.请你设计一组符合要求的 ， 值，并直接给出三个班级的排名顺序.
4．民族要复兴，乡村必振兴2月21日发布的2021年中央一号文件，主题是全面推进乡村振兴加快农业农村现代化.乡村振兴战略的实施效果要用农民生活富裕水平来评价，某合作社为尽快打开市场，对本地新产品进行线上和线下销售相结合的模式，具体费用标准如下：
线下销售模式：标价5元/千克，八折出售；
线上销售模式：标价5元/千克，九折出售，超过6千克时，超出部分每千克再让利1.5元.
购买这种新产品x千克，所需费用为y元，y与x之间的函数关系如图所示.
根据以上信息回答下列问题：
（1）请求出两种销售模式对应的函数解析式；
（2）说明图中点C坐标的实际意义；
（3）若想购买这种产品10千克，请问选择哪种模式购买最省钱？
5．为了开展大课间活动，某校决定购进一批毽球和跳绳．已知购买一个毽球比购买一条跳绳多花6元，用80元购买的毽球数量与用20元购买的跳绳的数量相同．
（1）求购买一个毽球需要多少元？
（2）若学校准备购买毽球和跳绳共600个，且购买的跳绳总金额不高于购买毽球的总金额，则至多购进多少条跳绳？
6．如图1，矩形中，E是对角线上一个动点（不与点A重合），作，交于点F，联结，如果设，面积为y，那么可得y关于x的函数图象（如图2所示）．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出其定义域；
（2）求的面积及矩形对角线的长．
7．在 中， 边的长为 ， 边上的高的长为 ， 的面积为2．
（1）求 关于 的函数关系式，并直接写出自变量 的取值范围；
（2）在同一平面坐标系中，将直线 向下平移 个单位长度，使其与（1）中函数图象有且只有一个交点，请求出此时 的值．
8．如图，四边形ABCD是正方形，△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，点E落在AD边上，若AF＝4.AB＝7.
（1）旋转中心为 ；旋转角度为 ；
（2）求DE的长度；
（3）指出BE与DF的关系如何？并说明理由.
9．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点．
（1）求证：AF＝CE；
（2）若四边形AECF的周长为10，AF＝3，AB＝2，求平行四边形ABCD的周长．
10．八年级（1）班的50名同学在一次班会课上进行了“百科知识”的答题竞赛．竞赛共有10道题，参赛的同学最多答对了10题，最少答对了6题．学习委员将同学们答对题数进行统计，并绘制成如下的统计图，请根据图表中提供的信息解答下列问题：
（1）请补全条形图．
（2）请求出这50名同学答对题数的平均数．
11．体育课上，老师为了解女学生定点投篮的情况，随机抽取 名女生进行每人 次定点投篮的测试，进球数的统计如图所示．
（1）求女生进球数的平均数、众数；
（2）投球4次，进球3个以上（含3个）为优秀，全校有女生480人，估计为“优秀”等级的女生约为多少人？
12．在中，，点D（与点不重合）为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形．
（1）如果．如图①，且点D在线段上运动．试判断线段与之间的位置关系，并证明你的结论．
（2）如果，如图②，且点D在线段上运动．（1）中结论是否成立，为什么？
（3）若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点P，设，，，求线段的长．（用含x的式子表示）．
13．如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 .
（1）求直线 的解析式；
（2）若直线 上的点 在第一象限，且 ，求点 的坐标.
14．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费，乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元，设小明快递物品x千克．
（1）根据题意，填写下表：
快递物品重量（千克） 0.5 1 3 4
甲公司收费（元） 22
乙公司收费（元） 11 51 67
（2）设甲快递公司收费 元，乙快递公司收费 元，分别写出 关于x的函数关系式；
（3）若小明在两家快递公司花费相同，则他的快递物品重量是 千克；
若他快递物品6千克，应选择 快递公司（选填“甲”或“乙”）；
若他快递物品3.5千克，则选择 快递公司（选填“甲”或“乙”）．
15．李大爷按每千克2.1元批发了一批黄瓜到镇上出售，为了方便，他带了一些零钱备用．他先按市场售出一些后，又降低出售．售出黄瓜千克数x与他手中持有的钱数y元（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题：
（1）李大爷自带的零钱是多少？
（2）降价前他每千克黄瓜出售的价格是多少？
（3）卖了几天，黄瓜卖相不好了，随后他按每千克下降1.6元将剩余的黄瓜售完，这时他手中的钱（含备用的钱）是530元，问他一共批发了多少千克的黄瓜？
（4）请问李大爷亏了还是赚了？若亏（赚）了，亏（赚）多少钱？
16．如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线与直线y2＝－x－（k+1）在第二象限的交点，AB⊥x轴于点B，
（1）求k的值；
（2）求A、C两点的坐标；
（3）根据图像直接写出y1>y2时x的取值范围．
17．如图所示，已知E是 ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接AC，BF，∠AEC=2∠ABC．
（1）求证：四边形ABFC为矩形；
（2）若△AFD是边长为4的等边三角形，求四边形ABFC的面积．
18．某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕．两批文具的售价均为每件15元．
（1）问第二次购进了多少件文具？
（2）文具店老板在这两笔生意中共盈利多少元？
19．黔东南州某销售公司准备购进A、B两种商品，已知购进3件A商品和2件B商品，需要1100元；购进5件A商品和3件B商品，需要1750元.
（1）求A、B两种商品的进货单价分别是多少元？
（2）若该公司购进A商品200件，B商品300件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地销售.已知每件A商品运往甲、乙两地的运费分别为20元和25元；每件B商品运往甲、乙两地的运费分别为15元和24元.若运往甲地的商品共240件，运往乙地的商品共260件.
①设运往甲地的A商品为 （件），投资总运费为 （元），请写出 与 的函数关系式；
②怎样调运A、B两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？（投资总费用＝购进商品的费用＋运费）
20．某校举办了一次趣味数学竞赛，满分100分，学生得分均为整数，达到成绩60分及以上为合格，达到90分及以上为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下（单位：分）
甲组：30，60，60，60，60，60，70，90，90，100
乙组：50，50，60，70，70，80，80，80，90，90.
组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率
甲组 68分 376 96% 30%
乙组 196 80% 20%
（1）以上成绩统计分析表中 分， 分， 分；
（2）如果你是该校数学竞赛的教练员，现在需要你选一组同学代表学校参加复赛，你会选择哪一组？并说明理由.
21．某校计划采购凳子，商场有A、B两种型号的凳子出售，并规定：对于A型凳子，采购数量若超过250张，则超出部分可在原价基础上每张优惠a元；B型凳子的售价为40元/张.学校经测算，若购买300张A型凳子需要花费14250元；若购买500张A型凳子需要花费21250元.
（1）求a的值；
（2）学校要采购A、B两种型号凳子共900张，且购买A型凳子不少于150张且不超过B型凳子数量的2倍，请通过计算帮学校决策如何分配购买数量可以使得总采购费用最少？最少是多少元？
22．水果店老板用600元购进一批水果，很快售完；老板又用1250元购进第二批水果，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了5元，问第一批水果每件进价多少元？
23．国庆节期间，小林和爸爸去丽江旅游度假，准备登玉龙雪山，已知人所能到达的地方最高为4680米．在此之前小林和父亲做了充足的功课，通过查阅资料得知：距离地面越高，温度越低，并且两者有下表关系：
距离地面的高度h(km) 0 1 2 3 4 5
温度T(℃) 20 14 8 2 -4 -10
根据上表，父亲还给小明提出了下面几个问题，请你帮小明回答下列问题．
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？
（2）结合表格判断随着高度h的变化，温度T是怎样变化的；
（3）估算玉龙雪山的4 680米高地处的温度是多少℃(结果精确到0.1)
24．海阳大秧歌是山东省三大秧歌之一，于2006年被列入首批国家级非物质文化遗产名录．为传承优秀传统文化，海阳大秧歌走进了校园，为校园生活增添了一抹靓丽色彩．
某校为组建校园秧歌队购进，两款秧歌服，每套款服装比每套款服装多10元，用1440元购进的款服装数量是用1000元购进的款服装数量的1.2倍．款服装和款服装每套各多少元？
25．某村在政府的扶持下建起了鲜花大棚基地，准备种植，两种鲜花 经测算，种植两种鲜花每亩的投入与获利情况如下表：
每亩需投入（万元） 每亩可获利（万元）
种鲜花 2 0.8
种鲜花 4 1.2
（1）政府和村共同投入200万元全部用来种植这两种鲜花，总获利万元.设种植种鲜花亩，求关于的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，若要求A种鲜花的种植面积不能多于B种鲜花种植面积的2倍，请你设计出总获利最大的种植方案，并求出最大总获利.
26．为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，我县某地计划在规定时间内植树棵．开始种植后，由于志愿者的加入，实际每天种植的数量比原计划增加了，结果提前天完成任务．问原计划每天种植多少棵树？
27．某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案．
方案一：没有底薪，只付销售提成；
方案二：底薪加销售提成．
如图中的射线 ，射线 分别表示该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资 （单位：元）和 （单位：元）与其当月鲜花销售量x（单位：千克）（ ）的函数关系．
（1）分别求 ﹑ 与x的函数解析式（解析式也称表达式）；
（2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工资超过2000元．这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？
28．近年来网约车给人们的出行带来了便利．八年级张亮同学对“美团”和“滴滴”两家网约车公司司机月收入进行了一项抽样调查，两家公司分别抽取的10名司机月收入（单位：千元）如图所示：
根据以上信息，整理分析数据如下：
平均月收入 中位数 众数 方差
“美团” 6 a b 1.2
“滴滴” 6 4.5 4 c
（1）填空：a= ；b= ；c= ；
（2）张亮的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是张亮，你建议他选哪家公司？请说明理由．
29．周末，赵叔叔开车从西安出发去240千米远的安康游玩，当汽车行驶1.5时到达柞水县时，汽车发生故障，需停车检修，修好后又继续向前行驶，其行驶路程y（千米）与时间x（时）之间的关系如图所示．
（1）求汽车修好后（段）y与x之间的函数关系式；
（2）在距离西安180千米的地方有一个服务区，求赵叔叔出发后多长时间到达服务区？
30．如图，在直角坐标系xOy中，直线y＝mx与双曲线相交于A（﹣1，a）、B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是1．
（1）求m、n的值；
（2）求直线AC的解析式．
31．为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由．
32．共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向的出行市场，现有，两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费元与骑行时间之间的对应关系，其中品牌收费方式对应，品牌的收费方式对应．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填表：
骑行时间/min 10 20 25
品牌收费/元 8
品牌收费/元 8
（2）填空：
①品牌10分钟后，每分钟收 元
②如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择 品牌共享电动车更省钱；
③直接写出两种品牌共享电动车收费相差3元时的值是 ．
（3）直接写出，关于的函数解析式．
33．“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的键子数量相同．
（1）求跳绳和毽子的单价分别是多少元？
（2）由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于460根，请你求出学校花钱最少的购买方案．
34．某中学要从八年级学生中选报一名学生参加数学知识竞赛，需要从获奖情况、笔试、面试三个项目进行综合考查，按获奖情况占10%，笔试40%，面试占50%计算总成绩，李武和周文两位同学的各项成绩如下表：（单位：分）
获奖情况 笔试 面试
周文 80 75
李武 70 80 88
（1）计算李武同学的总成绩；
（2）若周文同学要在总成绩上超过李武同学，则他的面试成绩 应超过多少分？7
35．已知与成正比例，且时，．
（1）求y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数；
（2）若点在这个函数的图象上，求a的值．
36．已知关于 的分式方程 .
（1）当k=3时，求该方程的解；
（2）若方程有增根，求k的值.
37．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点，连接 ， ．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）求 的面积；
（3）问：在直角坐标系中，是否存在一点P，使以O，A，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
38．某闭合电路中，当电阻两端电压恒定时，电流与电阻的关系图象如图所示，回答下列问题：
（1）写出电流与电阻的函数解析式.
（2）若允许的电流不超过，则电阻的取值应该控制在什么范围？
39．如图，直线y＝kx+b（k＜0）与双曲线y＝ （m＜0）相交于点A和点B，点A的坐标为（﹣2，2），点B在第四象限内，已知点B到x轴的距离是点B到y轴距离的4倍.
（1）分别求出反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象直接写出，当x为何值时， ＞kx+b.
40．已知一次的图象与反比例函数的图象相交．
（1）判断是否经过点．
（2）若的图象过点，且．
①求的函数表达式．
②当时，比较，的大小．
41．如图，直线 与 轴、 轴分别相交于点 、 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 是直线 上的一个动点.
（1）求 的值；
（2）点 在第二象限内的直线 上的运动过程中，写出 的面积 与 的函整表达式，并写出自变量 的取值范围；
（3）探究，当点 在直线 上运动到时， 的面积可能是 吗，若能，请求出点 的坐标；若不能，说明理由.
42．某旅游商品经销店欲购进A、B两种纪念品，若用380元购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件，B种纪念品6件．
（1）求A、B两种纪念品的进价分别为多少？
（2）若该商店每销售1件A种纪念品可获利5元，每销售1件B种纪念品可获利7元，该商店准备用不超过900元购进A、B两种纪念品40件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于216元，有哪几种进货方案？
（3）通过计算说明：在（2）问的前提下应该怎样进货，才能使总获利最大？
43．在平面直角坐标系xOy中，直线 过点 ，直线 ： 与直线 交于点B，与x轴交于点C．
（1）求k的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
① 当b=4时，直接写出△OBC内的整点个数；
②若△OBC内的整点个数恰有4个，结合图象，求b的取值范围．
44．
（1）【问题初探】如图1，E是正方形的边上一点，延长至点F，使，连接，.求证：.
（2）【问题再探】如图2，E，M分别是正方形的边，上一点，分别过点M，E作于点P，于点Q，线段，相交于点N.连接，，，，若.
①求证：.
②探究和的面积关系，并说明理由.
（3）【问题延伸】如图3，在正方形中，E，M分别是射线，上一点，【问题再探】中的其余条件不变，请直接判断和的面积关系是否仍成立.
45．如图，已知函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y＝kx+b 的图象经过点B（0，﹣1），并且与x轴以及y＝x+1的图象分别交于点C、D．
（1）若点D的横坐标为2，求直线BD的解析式和四边形AOCD的面积（即图中阴影部分的面积）；
（2）在第（1）小题的条件下，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点P、A、D为顶点的三角形是等腰三角形？如果存在，求出点P坐标；如果不存在，说明理由．
（3）若y＝kx+b与函数y＝x+1的图象交点D始终在第三象限，则系数k的取值范围是 ．（直接写结果）
46．探索与应用：如图
（1）问题解决：如图1.在平行四边形纸片ABCD（AD＞AB）中，将纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上的点 处，折线AE交BC于点E，连接B'E.求证：四边形 是菱形.
（2）规律探索：如图2，在平行四边形纸片ABCD（AD＞AB）中，将纸片沿过点P的直线折叠，点B恰好落在AD上的点Q处，点A落在点A′处，得到折痕FP，那么△PFQ是等腰三角形吗？请说明理由.
（3）拓展应用：如图3，在矩形纸片ABCD（AD＞AB）中，将纸片沿过点P的直线折叠，得到折痕FP，点B落在纸片ABCD内部点 处，点A落在纸片ABCD外部点 处， 与AD交于点M，且 M＝ M.已知：AB＝4，AF＝2，求BP的长.
47．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别交于点D、C，直线AB与 轴交于点 ，与直线CD交于点 .
（1）求直线AB的解析式；
（2）点E是射线CD上一动点，过点E作 轴，交直线AB于点F，若以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，请求出点E的坐标；
（3）设P是射线CD上一动点，在平面内是否存在点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的个数及其中一个点Q的坐标；否则说明理由.
48．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点B；直线y═ x+6过点B和点C，且AC⊥x轴.点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿y轴向点O运动，同时点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线AC向点C运动，当点M到达点O时，点M、N同时停止运动，设点M运动的时间为t（秒），连接MN.
（1）求直线y＝kx+b的函数表达式及点C的坐标；
（2）当MN∥x轴时，求t的值；
（3）MN与AB交于点D，连接CD，在点M、N运动过程中，线段CD的长度是否变化？如果变化，请直接写出线段CD长度变化的范围；如果不变化，请直接写出线段CD的长度.
49．如图，直线y=2x-1与x轴、y轴分别交于B、C两点
（1）求点B的坐标；
（2）点A(x，y)是直线y= 2x-1上的一个动点，当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；
（3）探究：①当点A的坐标是多少时，△AOB的面积为 ，并说明理由；
②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的三个P点坐标即可；若不存在，请说明理由。
50．综合与探究．如图1，在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 ， ，将线段 沿 轴方向向右平移，得到线段 ，点 的对应点 的坐标为 ，连接 ．点 是 轴上一动点．
（1）请你直接写出点 的坐标 ．
（2）如图1，当点 在线段 上时（不与点 、 重合），分别连接 ， ．猜想 ， ， 之间的数量关系，并说明理由．
（3）①如图2，当点 在点 上方时，猜想 ， ， 之间的数量关系，并说明理由．
②如图3，当点 在 轴的负半轴上时，请你直接写出 ， ， 之间的数量关系．
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【精选热题·期末50道综合题专练】华东师大版数学八年级下册复习卷
1．为了锻炼身体增强体质，小何同学在某周末上午9时骑自行车离开家去绿道锻炼，15时回家，已知小何离家的距离s(km)与时间t(h)之间的关系如图所示．
根据图象解答下列问题：
（1）写出小何离家的最远距离；
（2）小何途中共休息了几次，每次休息多长时间？
（3）小何由离家最远的地方返回家时的平均速度是多少？
【答案】（1）解：利用图象的纵坐标得出小何骑自行车离家的最远距离是；
（2）根据图象得出有两段时间纵坐标不变，得出途中小何共休息了2次；利用横坐标得出休息时间为：0.5小时和1小时；
（3）解：∵返回时所走路程为，使用时间为2小时，
∴返回时的平均速度为：．
【解析】【分析】（1）观察图像即可知道小何离家的最远距离；
（2）观察图像即可知道小何休息的次数以及休息的时间；
（3）利用路程除以时间即可求平均速度来.
2．已知反比例函数的图象经过两点．
（1）求m和k的值；
（2）求出时，y的取值范围．
【答案】（1），；
（2）
3．某学校在一次广播操比赛中，901班，902班，903班的各项得分如表：
班级 服装统一 动作整齐 动作准确
901班 85 70 85
902班 75 85 80
903班 90 85 95
（1）若取三个项目的得分平均分作为该班成绩，分别求各班的成绩.
（2）若学校认为三个项目的重要程度各不相同，从低到高依次为“服装统一”“动作整齐”“动作准确”，它们在总分中所占的比例分别为10％， ％， ％.请你设计一组符合要求的 ， 值，并直接给出三个班级的排名顺序.
【答案】（1）解：901班： 分，
902班： 分，
903班： 分；
（2）解：取a＝40，b＝50，
901班平均成绩为85×10%＋70×40%＋85×50%＝79（分），
902班平均成绩为75×10%＋85×40%＋80×50%＝81.5（分），
903班平均成绩为90×10%＋85×40%＋95×50%＝90.5（分），
∴903第一名，902第二名，901第三名.
【解析】【分析】（1）用各班三项成绩的总和除以3即可求解；
（2）由加权平均数公式计算可得结果.
4．民族要复兴，乡村必振兴2月21日发布的2021年中央一号文件，主题是全面推进乡村振兴加快农业农村现代化.乡村振兴战略的实施效果要用农民生活富裕水平来评价，某合作社为尽快打开市场，对本地新产品进行线上和线下销售相结合的模式，具体费用标准如下：
线下销售模式：标价5元/千克，八折出售；
线上销售模式：标价5元/千克，九折出售，超过6千克时，超出部分每千克再让利1.5元.
购买这种新产品x千克，所需费用为y元，y与x之间的函数关系如图所示.
根据以上信息回答下列问题：
（1）请求出两种销售模式对应的函数解析式；
（2）说明图中点C坐标的实际意义；
（3）若想购买这种产品10千克，请问选择哪种模式购买最省钱？
【答案】（1）解：线下销售模式的解析式为： ；
线上销售模式的解析式为：不超过6千克时， ；超过6千克时， ；
即
（2）解：由图象可得， ，解得， ，C点坐标为（9，36），实际意义为：购买这种新产品9千克时，线上和线下销售费用相同，都是36元
（3）解：线下销售模式购买这种产品10千克费用为： （元）；
线上销售模式购买这种产品10千克费用为： （元）；
所以，选择线上模式购买最省钱
【解析】【分析】（1）根据两种销售模式提供的信息分别列出函数关系式即可；
（2）求出
求出点C的坐标，根据两个变量表示的意义描述实际意义即可；
（3）把x=10分别代入两种模式的解析式中，比较大小即可.
5．为了开展大课间活动，某校决定购进一批毽球和跳绳．已知购买一个毽球比购买一条跳绳多花6元，用80元购买的毽球数量与用20元购买的跳绳的数量相同．
（1）求购买一个毽球需要多少元？
（2）若学校准备购买毽球和跳绳共600个，且购买的跳绳总金额不高于购买毽球的总金额，则至多购进多少条跳绳？
【答案】（1）设购买一个毽球需要 元，
根据题意得：
解得：
经检验， 是原方程的解
答：购买一个毽球需要8元．
（2）设购进跳绳 条，
根据题意得：
解得
答：至多购进跳绳480条
【解析】【解答】设购买一个毽球需要 元，
根据题意得：
解得：
经检验， 是原方程的解
答：购买一个毽球需要8元．
(2)设购进跳绳 条，
根据题意得：
解得
答：至多购进跳绳480条
【分析】（1）此问关键在于设未知数，根据题目条件列出分式方程
（2）此问关键在于设未知数，根据题目条件列出不等式方程
6．如图1，矩形中，E是对角线上一个动点（不与点A重合），作，交于点F，联结，如果设，面积为y，那么可得y关于x的函数图象（如图2所示）．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出其定义域；
（2）求的面积及矩形对角线的长．
【答案】（1）解：设y关于x的函数解析式为
∴将，代入得，
∴解得
∴，
当时，即
解得
∵点E不与点A重合，
∴定义域为；
（2）解：当时，点E与点C重合，
∴
∴的面积为24；
由（1）可得，当，解得
∴
∵，四边形是矩形
∴，即
∴解得
∴．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出 ， 再求解即可；
（2）根据题意先求出 的面积为24，再求出BC=FC=6，最后利用三角形的面积公式和勾股定理计算求解即可。
7．在 中， 边的长为 ， 边上的高的长为 ， 的面积为2．
（1）求 关于 的函数关系式，并直接写出自变量 的取值范围；
（2）在同一平面坐标系中，将直线 向下平移 个单位长度，使其与（1）中函数图象有且只有一个交点，请求出此时 的值．
【答案】（1）解：∵在 中， 边的长为 ， 边上的高的长为 ， 的面积为2，
∴ ，
∴ ，
∴ 关于 的函数关系式是 ，
的取值范围为 ；
（2）解：将直线 向下平移 个单位长度后解析式为 ，
由 ，整理得， ，
∵平移后的直线与上述函数图象有且只有一个交点，
∴ ，
解得 ， ，
当 时，平移后与 无交点，
∴ 不符合题意，舍去．
故此时 的值为1．
【解析】【分析】（1）先求出xy=4，再求函数解析式即可；
（2）先求出 ， 再利用根的判别式计算求解即可。
8．如图，四边形ABCD是正方形，△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，点E落在AD边上，若AF＝4.AB＝7.
（1）旋转中心为 ；旋转角度为 ；
（2）求DE的长度；
（3）指出BE与DF的关系如何？并说明理由.
【答案】（1）点A；90°
（2）解：∵△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，
∴AE＝AF＝4，AD＝AB＝7，
∴DE＝AD﹣AE＝7﹣4＝3；
（3）解：BE、DF的关系为：BE＝DF，BE⊥DF.理由如下：
∵△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，
∴△ABE≌△ADF，
∴BE＝DF，∠ABE＝∠ADF，
∵∠ADF+∠F＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABE+∠F＝90°，
∴BE⊥DF，
∴BE、DF的关系为：BE＝DF，BE⊥DF.
【解析】【解答】解：（1）旋转中心为点A，旋转角为∠BAD＝90°；
故答案为：点A，90°；
【分析】1）根据旋转的性质，点A为旋转中心，对应边AB、AD的夹角为旋转角；
（2）根据旋转的性质可得AE＝AF，AD＝AB，然后根据DE＝AD AE计算即可得解；
（3）根据旋转可得△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE＝DF，全等三角形对应角相等可得∠ABE＝∠ADF，然后求出∠ABE＋∠F＝90°，判断出BE⊥DF．
9．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点．
（1）求证：AF＝CE；
（2）若四边形AECF的周长为10，AF＝3，AB＝2，求平行四边形ABCD的周长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵ 点E，F分别是边AD，BC的中点．
∴AE=FC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF=EC；
（2）解：∵平行四边形的周长为10，
∵AE=FC，AF=EC，
∴AE+AF=5，
∴AE=2，
∴AD=2AE=4，
∴平行四边形ABCD的周长=2(AB+AD)=2(2+4)=12.
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质得出AD=BC，AD∥BC，结合中点的定义得出AE=FC，从而判定四边形AFCE是平行四边形，则可根据平行四边形的性质得出AF=EC；
(2)根据平行四边形的性质得出AE=FC，AF=EC，从而求出AE+AF=5，结合AF的长，则可求出AE的长，进而求出AD长，最后求平行四边形ABCD的周长即可。
10．八年级（1）班的50名同学在一次班会课上进行了“百科知识”的答题竞赛．竞赛共有10道题，参赛的同学最多答对了10题，最少答对了6题．学习委员将同学们答对题数进行统计，并绘制成如下的统计图，请根据图表中提供的信息解答下列问题：
（1）请补全条形图．
（2）请求出这50名同学答对题数的平均数．
【答案】（1）解：答对了7题的人数为 （名），
则补全条形图如下：
（2）解： ，
答：这50名同学答对题数的平均数为8.56．
【解析】【解答】（1）解：答对了7题的人数为 （名），
则补全条形图如下：
(2)解： ，
答：这50名同学答对题数的平均数为8.56．
【分析】（1）总人数减去答对6、8、9、10道题的人数，即为答对7道题的人数
（2）求平均数，用总成绩除以总人数即可.
11．体育课上，老师为了解女学生定点投篮的情况，随机抽取 名女生进行每人 次定点投篮的测试，进球数的统计如图所示．
（1）求女生进球数的平均数、众数；
（2）投球4次，进球3个以上（含3个）为优秀，全校有女生480人，估计为“优秀”等级的女生约为多少人？
【答案】（1）解：女生进球数的平均数： ，
女生进球数的众数：进球3个的人数最多，则女生进球的总数为3；
（2）解：优秀率： （人），
答：全校有女生480人，估计为“优秀”等级的女生约为240人.
【解析】【分析】（1）根据平均数、众数的定义进行计算即可；
（2）先算出样本的优秀率，再估计总体的优秀人数。
12．在中，，点D（与点不重合）为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形．
（1）如果．如图①，且点D在线段上运动．试判断线段与之间的位置关系，并证明你的结论．
（2）如果，如图②，且点D在线段上运动．（1）中结论是否成立，为什么？
（3）若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点P，设，，，求线段的长．（用含x的式子表示）．
【答案】（1）解：与位置关系是垂直，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
在正方形中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：时，的结论成立，理由如下：
过点A作交于点G，
∵，
∴，
∴，
同理可证：，
∴，
∴，
即；
（3）解：如图，过点A作交的延长线于点Q，
①点D在线段上运动时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
在正方形中，，
∴，
由（2）得：，
∴，
∴，
∴，
∴，，即
∴．
②点D在线段延长线上运动时，
∵，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
则，
∴，
∴，
∴，，
即．
【解析】【分析】 (1)、 正方的性质证得 ， 即可求出 .
(2)、 根据正方形的性质证明 ，再证明垂直.
(3)、①点D在线段上运动时，过点A作交的延长线于点Q， 先把各边用x表示，再根据三角形相似 ， 看i哟个相似比表示出 ．
②点D在线段延长线上运动时， 用x表示出各边，再根据相似比表示出 ．
13．如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 .
（1）求直线 的解析式；
（2）若直线 上的点 在第一象限，且 ，求点 的坐标.
【答案】（1）解：设直线 的解析式为： ，把点 与点 代入得：
，
，
直线 的解析式为 ；
（2）设点 的坐标 ，
∵B（0，-4），
∴OB=4，
∵ ，
，
，
点 的坐标为： .
【解析】【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A、B的坐标代入求出k、b，据此可得直线AB的解析式；
（2）设C（a，2a-4），由点B的坐标可得OB=4，根据三角形的面积公式可得a的值，进而可得点C的坐标.
14．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费，乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元，设小明快递物品x千克．
（1）根据题意，填写下表：
快递物品重量（千克） 0.5 1 3 4
甲公司收费（元） 22
乙公司收费（元） 11 51 67
（2）设甲快递公司收费 元，乙快递公司收费 元，分别写出 关于x的函数关系式；
（3）若小明在两家快递公司花费相同，则他的快递物品重量是 千克；
若他快递物品6千克，应选择 快递公司（选填“甲”或“乙”）；
若他快递物品3.5千克，则选择 快递公司（选填“甲”或“乙”）．
【答案】（1）11；52；67；19
（2）解：当 时， ；
当 时， ．
，
（3） 或4；甲；乙
【解析】【解答】解：（1）当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
故答案为： ．
（3）当 或 时，即 或 时，小明在两家快递公司花费相同；
把 分别代入 ， 得 ， ，
∵97<99，
∴选甲；
把 分别代入 ， 得 ， ，
∵59.5>59，
∴选乙．
故答案为： 或4，甲，乙．
【分析】（1）根据题意计算求解即可；
（2）分类讨论，求函数解析式即可；
（3）解方程，代入函数解析式计算求解即可。
15．李大爷按每千克2.1元批发了一批黄瓜到镇上出售，为了方便，他带了一些零钱备用．他先按市场售出一些后，又降低出售．售出黄瓜千克数x与他手中持有的钱数y元（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题：
（1）李大爷自带的零钱是多少？
（2）降价前他每千克黄瓜出售的价格是多少？
（3）卖了几天，黄瓜卖相不好了，随后他按每千克下降1.6元将剩余的黄瓜售完，这时他手中的钱（含备用的钱）是530元，问他一共批发了多少千克的黄瓜？
（4）请问李大爷亏了还是赚了？若亏（赚）了，亏（赚）多少钱？
【答案】（1）由图可得农民自带的零钱为50元
（2）解：（410 50）÷100=360÷100=3.6（元）.
答：降价前他每千克黄瓜出售的价格是3.6元
（3）解：（530 410）÷（3.6 1.6）=120÷2=60（千克），
100+60=160（千克）.
答：他一共批发了160千克的黄瓜
（4）解：530 160×2.1 50=144（元）.
答：李大爷一共赚了144元钱．
【解析】【分析】（1）图像与y轴的交点就是李大爷自带的零钱；
（2）0到100时线段的斜率就是他每千克黄瓜出售的价格；
（3）计算出降价后卖出的量+未降价卖出的量=总共的黄瓜；
（4）赚的钱=总收入-批发黄瓜用的钱。
16．如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线与直线y2＝－x－（k+1）在第二象限的交点，AB⊥x轴于点B，
（1）求k的值；
（2）求A、C两点的坐标；
（3）根据图像直接写出y1>y2时x的取值范围．
【答案】（1）解：∵，
∴|k|=2×=3，
∴k=±3，
∵k＜0，
∴k=-3
∴k的值为-3
（2）解： ，
∴ ，
（3）解：当 时， ，或
【解析】【分析】（1）利用反比例函数的几何意义，由△ABO的面积可求出k的值.
（2）由k的值可得到两函数解析式，由两函数解析式联立方程组，解方程组求出方程组的解，可得到点A，C的坐标.
（3）利用点A，C的横坐标，观察函数图象，可得到y1>y2时x的取值范围.
17．如图所示，已知E是 ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接AC，BF，∠AEC=2∠ABC．
（1）求证：四边形ABFC为矩形；
（2）若△AFD是边长为4的等边三角形，求四边形ABFC的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，即AB∥CF，
∴∠ABC=∠FCB，
在△ABE和△FCE中，，
∴△ABE≌△FCE（ASA），
∴AB=CF，AE=EF，
∴四边形ABFC为平行四边形，
∵∠AEC=∠ABC+∠BAE=2∠ABC，
∴∠ABC=∠BAE，
∴AE=BE=CE=EF，即BC=AF，
∴四边形ABFC为矩形；
（2）解：∵△AFD是等边三角形，
∴∠AFC=60°，AF=DF=4，
∴CF=CD=2，
∵四边形ABFC是矩形，
∴∠ACF=90°，∠AFC=60°，∠FAC=30°，
由勾股定理得AC=2，
∴四边形ABFC的面积=AC CF=4．
【解析】【分析】（1）先证出四边形ABFC为平行四边形，再结合BC=AF，即可得到四边形ABFC为矩形；
（2）先求出CF=CD=2，再利用勾股定理求出AC的长，最后利用矩形的面积公式求解即可。
18．某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕．两批文具的售价均为每件15元．
（1）问第二次购进了多少件文具？
（2）文具店老板在这两笔生意中共盈利多少元？
【答案】（1）第二次购进200件
（2）文具店老板在这两笔生意中共盈利1000元
19．黔东南州某销售公司准备购进A、B两种商品，已知购进3件A商品和2件B商品，需要1100元；购进5件A商品和3件B商品，需要1750元.
（1）求A、B两种商品的进货单价分别是多少元？
（2）若该公司购进A商品200件，B商品300件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地销售.已知每件A商品运往甲、乙两地的运费分别为20元和25元；每件B商品运往甲、乙两地的运费分别为15元和24元.若运往甲地的商品共240件，运往乙地的商品共260件.
①设运往甲地的A商品为 （件），投资总运费为 （元），请写出 与 的函数关系式；
②怎样调运A、B两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？（投资总费用＝购进商品的费用＋运费）
【答案】（1）解：设A商品的进货单价为x元，B商品的进货单价为y元，
根据题意，得 ，
解得： ，
答：A商品的进货单价为200元，B商品的进货单价为250元
（2）解：①设运往甲地的A商品为x件，则设运往乙地的A商品为（200﹣x）件，
运往甲地的B商品为（240﹣x）件，运往乙地的B商品为（60+x）件，
则y＝20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）＝4x+10040，
∴y与x的函数关系式为y＝4x+10040；
②投资总费用w＝200×200+300×250+4x+10040＝4x+125040，
自变量的取值范围是：0≤x≤200，
∵k＝4＞0，
∴y随x增大而增大.
当x＝0时，w取得最小值，w最小＝125040（元），
∴最佳调运方案为：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地，最小费用为125040元.
答：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地总费用最小，最小费用为125040元.
【解析】【分析】（1）设A商品的进货单价为x元，B商品的进货单价为y元，根据“购进3件A商品和2件B商品，需要1100元；购进5件A商品和3件B商品，需要1750元.”，列出方程组，求解即可；
（2）①设运往甲地的A商品为x件，则设运往乙地的A商品为（200﹣x）件，运往甲地的B商品为（240﹣x）件，运往乙地的B商品为（60+x）件，由题意直接列式为 y＝20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x） ，然后化简即可；
②根据投资总费用=购进商品的费用+运费，列出w关于x的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可.
20．某校举办了一次趣味数学竞赛，满分100分，学生得分均为整数，达到成绩60分及以上为合格，达到90分及以上为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下（单位：分）
甲组：30，60，60，60，60，60，70，90，90，100
乙组：50，50，60，70，70，80，80，80，90，90.
组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率
甲组 68分 376 96% 30%
乙组 196 80% 20%
（1）以上成绩统计分析表中 分， 分， 分；
（2）如果你是该校数学竞赛的教练员，现在需要你选一组同学代表学校参加复赛，你会选择哪一组？并说明理由.
【答案】（1）60；72；75
（2）解：应选择甲组同学代表学校参加复赛，因为甲组的合格率和优秀率都大于乙组的同学.
【解析】【解答】解：（1）甲组的中位数= =60，即 ，乙组的中位数= =75，即
乙组的平均数= ，即 ，
故答案为：60，72，75；
【分析】（1）找出最中间的两个数，求出其平均数即为中位数，同理可得乙的中位数，根据算术平均数的计算方法可得乙的平均数；
（2）根据合格率以及优秀率进行分析.
21．某校计划采购凳子，商场有A、B两种型号的凳子出售，并规定：对于A型凳子，采购数量若超过250张，则超出部分可在原价基础上每张优惠a元；B型凳子的售价为40元/张.学校经测算，若购买300张A型凳子需要花费14250元；若购买500张A型凳子需要花费21250元.
（1）求a的值；
（2）学校要采购A、B两种型号凳子共900张，且购买A型凳子不少于150张且不超过B型凳子数量的2倍，请通过计算帮学校决策如何分配购买数量可以使得总采购费用最少？最少是多少元？
【答案】（1）解：设型凳子的售价为元张，根据题意得
，
解得，
答：的值为15.
（2）解：设购买型凳子张，则购买型凳子张，
根据题意得，
解得，
设总采购费用为元，根据题意得
当时，；
当时，，
，
当时，，随的增大而增大，时，的最小值为37500；
当时，，随的增大而减小，时，的最小值为36750.
，
购买型凳子600张，购买型凳子300张时总采购费用最少，最少是36750元.
【解析】【分析】（1）设A型凳子的售价为x元/张，根据购买300张A型凳子需要花费14250元可得300x-(300-250)a=14250；根据购买500张A型凳子需要花费21250元可得500x-(500-250)a=21250，联立求解即可；
（2）设购买A型凳子m张，则购买B型凳子(900-m)张，根据购买A型凳子不少于150张且不超过B型凳子数量的2倍m≥150且m≤2(900-m)，联立求出m的范围，设总采购费用为W元，分150≤m≤250、25022．水果店老板用600元购进一批水果，很快售完；老板又用1250元购进第二批水果，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了5元，问第一批水果每件进价多少元？
【答案】解：设第一批水果每件进价为x元，则第二批水果每件进价为（x+5）元，
由题意得，，
解得 x=120，
经检验：x=120是原分式方程的解，且符合题意．
答：第一批水果每件进价为120元．
【解析】【分析】设第一批水果每件进价为x元，则第二批水果每件进价为（x+5）元，根据题意列方程，求出方程的解即可求出第一批水果每件的进价．
23．国庆节期间，小林和爸爸去丽江旅游度假，准备登玉龙雪山，已知人所能到达的地方最高为4680米．在此之前小林和父亲做了充足的功课，通过查阅资料得知：距离地面越高，温度越低，并且两者有下表关系：
距离地面的高度h(km) 0 1 2 3 4 5
温度T(℃) 20 14 8 2 -4 -10
根据上表，父亲还给小明提出了下面几个问题，请你帮小明回答下列问题．
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？
（2）结合表格判断随着高度h的变化，温度T是怎样变化的；
（3）估算玉龙雪山的4 680米高地处的温度是多少℃(结果精确到0.1)
【答案】（1）解：表格反映了温度T和距离地面的高度h两个变量之间的关系，距离地面的高度h是自变量．
（2）解：结合表格可知，随着高度h的增大，温度T逐渐减小。
（3）解：由表格发现距离地面的高度每上升1km，温度下降6℃，所以山顶距离地面4.68 km的高处的温度是20-4.68×6≈-8.1℃．
因此玉龙雪山的4680米高地处的温度大约是-8.1 C．
【解析】【分析】本题主要考查函数的简单应用，理解函数的相关概念即可解答
24．海阳大秧歌是山东省三大秧歌之一，于2006年被列入首批国家级非物质文化遗产名录．为传承优秀传统文化，海阳大秧歌走进了校园，为校园生活增添了一抹靓丽色彩．
某校为组建校园秧歌队购进，两款秧歌服，每套款服装比每套款服装多10元，用1440元购进的款服装数量是用1000元购进的款服装数量的1.2倍．款服装和款服装每套各多少元？
【答案】款服装每套60元，款服装每套50元．
25．某村在政府的扶持下建起了鲜花大棚基地，准备种植，两种鲜花 经测算，种植两种鲜花每亩的投入与获利情况如下表：
每亩需投入（万元） 每亩可获利（万元）
种鲜花 2 0.8
种鲜花 4 1.2
（1）政府和村共同投入200万元全部用来种植这两种鲜花，总获利万元.设种植种鲜花亩，求关于的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，若要求A种鲜花的种植面积不能多于B种鲜花种植面积的2倍，请你设计出总获利最大的种植方案，并求出最大总获利.
【答案】（1）解：由题意，得
；
（2）解：由题意得，
解得，
∵，且，
∴y随x的增大而增大.
∴当时，y最大值为70，
此时B种鲜花种植面积为（亩）.
∴当种植A种鲜花50亩，B种鲜花25亩时，总获利最大，最大总获利为70万元.
【解析】【分析】（1）由题意可得B种需投入(200-2x)万元，则B种的亩数为，根据A种每亩的利润×亩数+B种每亩的利润×亩数=总利润可得y与x的关系式；
（2）根据A种鲜花的种植面积不能多于B种鲜花种植面积的2倍可得关于x的不等式，求出x的范围，然后根据一次函数的性质进行解答.
26．为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，我县某地计划在规定时间内植树棵．开始种植后，由于志愿者的加入，实际每天种植的数量比原计划增加了，结果提前天完成任务．问原计划每天种植多少棵树？
【答案】棵树．
27．某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案．
方案一：没有底薪，只付销售提成；
方案二：底薪加销售提成．
如图中的射线 ，射线 分别表示该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资 （单位：元）和 （单位：元）与其当月鲜花销售量x（单位：千克）（ ）的函数关系．
（1）分别求 ﹑ 与x的函数解析式（解析式也称表达式）；
（2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工资超过2000元．这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？
【答案】（1）解：根据图像，l1经过点（0，0）和点（40，1200），
设 的解析式为 ，则 ，
解得： ，
∴l1的解析式为 ，
设 的解析式为 ，
由l2经过点（0，800），（40，1200），
则 ，解得： ，
∴l2的解析式为 ；
（2）方案一： ，即 ，
解得： ；
方案二： ，即 ，即 ，无解，
∴公司没有采用方案二，
∴公司采用了方案一付给这名销售人员3月份的工资．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法分别求出解析式即可；
（2）分别根据方案一与方案二列出不等式组，求出不等式组的解集，然后判断即可.
28．近年来网约车给人们的出行带来了便利．八年级张亮同学对“美团”和“滴滴”两家网约车公司司机月收入进行了一项抽样调查，两家公司分别抽取的10名司机月收入（单位：千元）如图所示：
根据以上信息，整理分析数据如下：
平均月收入 中位数 众数 方差
“美团” 6 a b 1.2
“滴滴” 6 4.5 4 c
（1）填空：a= ；b= ；c= ；
（2）张亮的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是张亮，你建议他选哪家公司？请说明理由．
【答案】（1）6；6；7.6
（2）解：选择美团公司．理由如下：①从平均数看，两家公司月收入相同；②从中位数看，美团月收入高；③从众数看，美团月收入高；④从方差看，美团月收入稳定．∴选择美团公司．
【解析】【解答】（1）解：∵“6千元”对应的百分比为1- (10%+20%+10%+20%)=40%，
∴扇形统计图中每部分对应的月收入按从小到大排列为：4，5，5，6，6，6，6，7，7，8；
∴中位数为第5、6个数的平均数，第5个数为6，第6个数为6，
∴a=6；
∵出现次数最多的是6，
∴b=6；
∵滴滴网约车司机的平均月收入为6千元，
∴方差c= =7.6
故答案为：6，6，7.6；
【分析】（1）利用中位数、众数和方差的定义及计算方法求解即可；
（2）根据（1）中的数据分析求解即可。
29．周末，赵叔叔开车从西安出发去240千米远的安康游玩，当汽车行驶1.5时到达柞水县时，汽车发生故障，需停车检修，修好后又继续向前行驶，其行驶路程y（千米）与时间x（时）之间的关系如图所示．
（1）求汽车修好后（段）y与x之间的函数关系式；
（2）在距离西安180千米的地方有一个服务区，求赵叔叔出发后多长时间到达服务区？
【答案】（1）解：设（段）的函数关系式为，
由图可知，，，
将，代入，
得，
解得，
．
（2）解：由图可知，服务区在（段），
令，则，
解得，
赵叔叔出发小时到达服务区．
【解析】【分析】（1）设DB段的函数关系式为y=kx+b，将D（2，90）、B（4，240）代入求出k、b的值，据此可得对应的函数关系式；
（2）由图可知：服务区在DB段，令（1）关系式中的y=180，求出x的值即可.
30．如图，在直角坐标系xOy中，直线y＝mx与双曲线相交于A（﹣1，a）、B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是1．
（1）求m、n的值；
（2）求直线AC的解析式．
【答案】（1）解：∵直线y＝mx与双曲线相交于A（﹣1，a）、B两点，
∴B点横坐标为1，即C（1，0），
∵△AOC的面积为1，
∴A（﹣1，2），
将A（﹣1，2）代入y＝mx，y＝可得m＝﹣2，n＝﹣2；
（2）解：设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∵y＝kx+b经过点A（﹣1，2）、C（1，0）
∴，
解得k＝﹣1，b＝1，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+1．
【解析】【分析】（1）根据正比例函数和反比例函数的对称性得出点B的横坐标为1，从而得出点C的坐标，根据三角形AOC的面积求出点A的坐标，将点A的坐标代入一次函数与反比例函数解析式，即可求出m与n的值；
（2）设直线AC解析式为y=kx+b，将点A与C的坐标代入求出k与b的值，即可得出直线AC的解析式．
31．为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由．
【答案】（1）解：设甲种树苗每棵元，乙种树苗每棵元．
由题意得，，解得，
答：甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵30元．
（2）解：设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，购买两种树苗总费用为元，
由题意得，，
由题意得，解得，
因为随的增大而增大，所以当时取得最小值．
答：当购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵时，花费最少．
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再根据函数解析式求解即可。
32．共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向的出行市场，现有，两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费元与骑行时间之间的对应关系，其中品牌收费方式对应，品牌的收费方式对应．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填表：
骑行时间/min 10 20 25
品牌收费/元 8
品牌收费/元 8
（2）填空：
①品牌10分钟后，每分钟收 元
②如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择 品牌共享电动车更省钱；
③直接写出两种品牌共享电动车收费相差3元时的值是 ．
（3）直接写出，关于的函数解析式．
【答案】（1）解：对于A品牌每分钟骑行的费用为：（元）
所以，骑行10分钟的费用为：（元）
骑行25分钟的费用为：（元）
对于B品牌，由图象可知，骑行10分钟的费用为：6元；
骑行10分钟后每分钟的费用为：（元）；
所以，骑行25分钟后的费用为：（元）
所以，填表如下：
骑行时间/min 10 20 25
品牌收费/元 4 8 10
品牌收费/元 6 8 9
（2）0.2；B；7.5或35
（3）解：设的解析式为，
把代入得，，解得，，
所以，；
当时，；
当时，设，
把，代入，得，
解得，
所以，，
即
【解析】【解答】解：（2）①B品牌骑行10分钟后每分钟的费用为：（元）；
②小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班所用时间为，（分钟）
A品牌骑行30分钟后的费用为：（元）；
B品牌骑行30分钟后的费用为：（元）；
由于，
因此，小明选择B品牌共享电动车更省钱；
③由题意可得，
或，
解得或，
故答案为：①0.2；②B；③7.5或35．
【分析】（1）结合函数图象中的数据，再利用时间、速度和路程的关系求解即可；
（2）①根据题意直接列出算式求解即可；
②分别求出A、B品牌的费用，再比较大小即可；
③根据题意列出方程求解即可；
（3）利用待定系数法求解即可。
33．“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的键子数量相同．
（1）求跳绳和毽子的单价分别是多少元？
（2）由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于460根，请你求出学校花钱最少的购买方案．
【答案】（1）解：设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为元，
由题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
∴跳绳和毽子的单价分别是8元，5元，
答：跳绳和毽子的单价分别是8元，5元；
（2）解：设学校购买跳绳m根，则购买毽子个，花费为W，
由题意得，
∵跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于460根，
∴，
∴，
∵，
∴W随着m的增大而增大，
∴当m=450时，W有最小值，
∴当购买跳绳450根，毽子150个时，花费最少．
【解析】【分析】（1）根据题意列出方程，求解
（2）根据题意列出不等式组求出取值范围，再根据花费W的函数特点求解花费最少时的方案
34．某中学要从八年级学生中选报一名学生参加数学知识竞赛，需要从获奖情况、笔试、面试三个项目进行综合考查，按获奖情况占10%，笔试40%，面试占50%计算总成绩，李武和周文两位同学的各项成绩如下表：（单位：分）
获奖情况 笔试 面试
周文 80 75
李武 70 80 88
（1）计算李武同学的总成绩；
（2）若周文同学要在总成绩上超过李武同学，则他的面试成绩 应超过多少分？7
【答案】（1）解：由题意可得，
李武同学的总成绩是：70×10%+80×40%+88×50%=7+32+44=83（分），
答：李武同学的总成绩是83分
（2）解：由题意可得，
80×10%+75×40%+50%x＞83，
解得x＞90，
即周文同学要在总成绩上超过李武同学，则他的面试成绩x应超过90分.
【解析】【分析】（1）根据题中数据求出李武成绩的加权平均数即可；
（2）根据“ 周文同学要在总成绩上超过李武同学 ”列出不等式求解即可.
35．已知与成正比例，且时，．
（1）求y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数；
（2）若点在这个函数的图象上，求a的值．
【答案】（1）解：设，把，代入，得：，
解得：，
∴y与x的函数关系式是：，
即，y是x的一次函数；
（2）解：把点代入得：，
解得：．
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再求出k=1，最后求函数解析式，判断求解即可；
（2）将点的坐标代入函数解析式得出 ， 再求解即可。
36．已知关于 的分式方程 .
（1）当k=3时，求该方程的解；
（2）若方程有增根，求k的值.
【答案】（1）解：把 代入方程，得 ，
去分母，得 ，
解得 ，
经检验 是分式方程的根.
（2）解：分式方程去分母，得 .
∵分式方程有增根，得到 ，即 ，
把 代入 ，得 ，
解得 .
【解析】【分析】（1）把k=3代入分式方程，再求出分式方程的解即可；
（2） 先把分式方程化为整式方程，得出1+3x-6=x-k，再根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，得出x=2，再代入整式方程求出k的值即可.
37．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点，连接 ， ．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）求 的面积；
（3）问：在直角坐标系中，是否存在一点P，使以O，A，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将 ， 两点代入反比例函数
得 ， ，得 ， ，所以 ，
将 ， 代入一次函数
得 ， ，解得 ，
即
（2）解：设一次函数 与 轴、 轴分别交于 ， 两点，再过 ， 两点分别向 轴、 轴作垂线，垂足分别为 ， 两点，如图1，
当 时， ；当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ 的面积为
（3）解：存在，如图2，
当AB和OB为邻边时，点B（6，1）先向左平移6个单位再向下平移1个单位到点O（0，0），则点A也先向左平移6个单位再向下平移1个单位到点P（2-6，3-1），即P（-4，2）；
当OA和OB为邻边时，点O（0，0）先向右平移2个单位再向上平移3个单位到点A（2，3），
则点B也先向右平移2个单位再向上平移3个单位到点P'（6+2，1+3），即P'（8，4）；
当AB和OA为邻边时，点A（2，3）先向右平移4个单位再向下平移2个单位到点B（6，1），
则点O也先向右平移4个单位再向下平移2个单位到点P''（0+4，0-2），即P''（4，-2）；
∴点P的坐标为（-4，2）或（4，-2）或（8，4）．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 OC=4 ， OD=8 ，再求出 AE=2 ， BF=1 ，最后利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）分类讨论，根据平移的性质求解即可。
38．某闭合电路中，当电阻两端电压恒定时，电流与电阻的关系图象如图所示，回答下列问题：
（1）写出电流与电阻的函数解析式.
（2）若允许的电流不超过，则电阻的取值应该控制在什么范围？
【答案】（1）解：由图可知，
且图象经过点，
∴，
解得，
即函数解析式为.
（2）解：由可知时，
，
∴电阻应至少为.
【解析】【分析】（1）由图可知I=，将B（3，1）代入求出U的值，据此可得相应的函数解析式；
（2）将I=1.5代入（1）的关系式中求出R的值，据此解答.
39．如图，直线y＝kx+b（k＜0）与双曲线y＝ （m＜0）相交于点A和点B，点A的坐标为（﹣2，2），点B在第四象限内，已知点B到x轴的距离是点B到y轴距离的4倍.
（1）分别求出反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象直接写出，当x为何值时， ＞kx+b.
【答案】（1）解：∵点A（﹣2，2）在双曲线y＝ 上，
∴ ，
∴反比例函数的表达式为 ；
设点B的坐标为(a，-4a)，且 ，
∴-4a= ，
解得： ，
∴点B的坐标为(1，-4)，
∴ ，
解得： ，
∴一次函数的表达式为 ；
（2）解：由图象得不等式 ＞kx+b成立时，-2＜x＜0或 ，
∴当-2＜x＜0或 时， ＞kx+b.
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式，可求出m的值，即可得到函数解析式；设点B的坐标为(a，-4a)，a＞0，将其代入反比例函数解析式求出a的值，可得到点B的坐标，然后将点A，B的坐标代入一次函数解析式，建立关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到一次函数解析式.
（2）利用点A，B的横坐标，观察函数图象，可得到不等式 ＞kx+b.的解集.
40．已知一次的图象与反比例函数的图象相交．
（1）判断是否经过点．
（2）若的图象过点，且．
①求的函数表达式．
②当时，比较，的大小．
【答案】（1）解：∵
∴把点代入反比例函数，得
∴经过点
（2）解：∵的图象过点
∴把点代入，得
又∵
∴解得，
∴
∴的函数表达式为：
如图所示：
由函数图象得，当时，；当时，；当时，．
【解析】【分析】（1）将（k，1）代入y2=中进行验证；
（2）①将（k，1）代入y1=x-a+2中可得k-a+2=1，结合2a+k=5可求出a、k的值，据此可得y2的解析式；
②画出一次函数与反比例函数的图象，结合图象可得y1>y2、y1=y2、y141．如图，直线 与 轴、 轴分别相交于点 、 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 是直线 上的一个动点.
（1）求 的值；
（2）点 在第二象限内的直线 上的运动过程中，写出 的面积 与 的函整表达式，并写出自变量 的取值范围；
（3）探究，当点 在直线 上运动到时， 的面积可能是 吗，若能，请求出点 的坐标；若不能，说明理由.
【答案】（1）解：点 的坐标为 ，且在直线 上，
，
解得，
（2）解：点 是第二象限内的直线上的一个动点，
，
（3）解：当点 在 轴的上方时，
由题意得， ，
解得， ，
则
当点 在 轴的下方时， ，代入 中，此时
的面积是 时，点 的坐标为 或 .
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）设P(x，y)，根据一次函数解析式和三角形面积公式求出函数表达式及x的取值范围；（3）分类讨论，将S=15代入解析式，求x.
42．某旅游商品经销店欲购进A、B两种纪念品，若用380元购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件，B种纪念品6件．
（1）求A、B两种纪念品的进价分别为多少？
（2）若该商店每销售1件A种纪念品可获利5元，每销售1件B种纪念品可获利7元，该商店准备用不超过900元购进A、B两种纪念品40件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于216元，有哪几种进货方案？
（3）通过计算说明：在（2）问的前提下应该怎样进货，才能使总获利最大？
【答案】（1）解：设A和B的进价分别为x元和y元，由题意得：，
解得：，
即A种纪念品的进价为20元，B种纪念品的进价为30元
（2）解：设购买A种纪念品a件，则购买B纪念品（40-a）件，由题意得：
，
解得：，
由于a为整数，则a=30，31，32．
∴共有3种进货方案：
方案1：A种纪念品进30件，B种纪念品进10件；
方案2：A种纪念品进31件，B种纪念品进9件；
方案3：A种纪念品进32件，B种纪念品进8件．
（3）解：设总利润为W元，则所获总利润为：，
∵-2<0，
∴W随a的增大而减小，
∵，
∴当a=30时，W最大，且最大值为W=-2×30+280=220，
此时40-30=10，
所以购进A种纪念品30件，B种纪念品10件时，总获得不低于216元，此时获得最大利润，且最大利润为220元．
【解析】【分析】（1） 设A和B的进价分别为x元和y元， 根据题中等量关系列方程组求解即可。
（2） 设购买A种纪念品a件，则购买B纪念品（40-a）件， 根据题中不等关系列不等式进行求解。
（3） 设总利润为W元 ， 购买A种纪念品a件， 列出函数关系式，再求出最大值即可。
43．在平面直角坐标系xOy中，直线 过点 ，直线 ： 与直线 交于点B，与x轴交于点C．
（1）求k的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
① 当b=4时，直接写出△OBC内的整点个数；
②若△OBC内的整点个数恰有4个，结合图象，求b的取值范围．
【答案】（1）解：∵直线 过点 ，
∴k=2；
（2）解：①将b=4代入 可得：直线解析式为y=-x+4，画图可得整点的个数
如图：有2个整点；
②如图：
观察可得： 或 ．
【解析】【分析】（1）把A（1，2）代入 中可得k的值；（2）①将b=4代入 y=-x+b 可得：直线解析式为y=-x+4，画图可得整点的个数；②分两种情况：b>0时，b<0时，画图可得b的取值．
44．
（1）【问题初探】如图1，E是正方形的边上一点，延长至点F，使，连接，.求证：.
（2）【问题再探】如图2，E，M分别是正方形的边，上一点，分别过点M，E作于点P，于点Q，线段，相交于点N.连接，，，，若.
①求证：.
②探究和的面积关系，并说明理由.
（3）【问题延伸】如图3，在正方形中，E，M分别是射线，上一点，【问题再探】中的其余条件不变，请直接判断和的面积关系是否仍成立.
【答案】（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，，
∴.
在和中，
∵
∴.
（2）解：①如答图，延长至点F，使，连接.
由（1），得，
∴，.
∵在正方形中，，，
∴，
∴.
在和中，
∵
∴，
∴.
又∵，
∴.
②，理由如下：
设，，，.
则
由①，得，两边平方，得
由②，得 联立③④，得.
又∵，，
∴；
（3）解：仍成立，理由如下：
如图，延长至点F，使，连接，
同（2）可证，以及，
∴，
设，，，，
∴，
则，
由①，得，两边平方，得
由②，得 联立③④，得.
又∵，，
∴；
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得CD=AD，∠DCE=∠DAB=90°，由已知条件可知AF=CE，然后利用全等三角形的判定定理进行证明；
（2）①延长BA至点F，使AF=CE，连接DF，根据全等三角形的性质可得DE=DF，∠CDE=∠ADF，根据正方形的性质以及角的和差关系可得∠MDF=∠MDE=45°，利用SAS证明△FDM≌△EDM，得到MF=ME，然后根据线段的和差关系进行证明；
②设DP=AM=m，CP=n，DQ=CE=a，AQ=b，则m+n=a+b，n2+b2=(a+m)2，联立可得bn=2am，然后结合三角形的面积公式进行解答；
（3）延长BA至点F，使AF=CE，连接DF，同（2）可证△DCE≌△DAF，△FDM≌△EDM，得到MF=ME，设DP=AM=m，CP=n，DQ=CE=a，AQ=b，则ME=a-m，m-n=a-b，n2+b2=(a-m)2，联立可得bn=2am，然后结合三角形的面积公式进行解答.
45．如图，已知函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y＝kx+b 的图象经过点B（0，﹣1），并且与x轴以及y＝x+1的图象分别交于点C、D．
（1）若点D的横坐标为2，求直线BD的解析式和四边形AOCD的面积（即图中阴影部分的面积）；
（2）在第（1）小题的条件下，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点P、A、D为顶点的三角形是等腰三角形？如果存在，求出点P坐标；如果不存在，说明理由．
（3）若y＝kx+b与函数y＝x+1的图象交点D始终在第三象限，则系数k的取值范围是 ．（直接写结果）
【答案】（1）解：如图：
∵点D的横坐标为2，点D在y＝x+1的图象上，
∴D（2，3），
∴ ，
∴ ，
∴直线BD的解析式为y＝2x﹣1，
∴A（0，1），C（ ，0），
∴S四边形AOCD＝S△AOD+S△COD＝ ×1×2+ × ×3＝ ；
（2）解：存在；
∵D（2，3），
由y＝x+1得到A（0，1），H（﹣1，0）， ∴OA＝OH，
∴∠HAO＝∠QAD＝45°，
∴AD＝ ，
当AP＝AD＝ 时， 在Rt△APO中，OP＝ ，
∴P（ ，0），（﹣ ，0）
当AP＝DP时，点P在AD的中垂线上，
作AD的中垂线交x轴于P′，交y轴于Q，
∵∠QAD＝45°，
∴∠QP′O＝45°，
∴OP′＝OQ＝1+2，
∴OP′（3，0），
当AD＝PD＝ ＜3，
∴不存在，
综上所述；点P的坐标为：（ ，0），（﹣ ，0），（3，0）；
（3）﹣1＜k＜1且k≠0
【解析】【解答】解：（3）若y＝kx+b与函数y＝x+1的图象交点D始终在第三象限，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点D的坐标为（ ， ）在第三象限，
∴
∵ 过点B（0， 1），
∴ ，
∴ ，
∴
∴﹣1＜k＜1且k≠0，
故答案为：﹣1＜k＜1且k≠0．
【分析】（1）先求出点D的坐标，再求出BD的解析式，然后根据S四边形AOCD＝S△AOD+S△COD求解即可；
（2）分三种情况：当DP=DA时；当AP=DA时；当PA=PD时，再求解即可；
（3）根据图象即可得出答案。
46．探索与应用：如图
（1）问题解决：如图1.在平行四边形纸片ABCD（AD＞AB）中，将纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上的点 处，折线AE交BC于点E，连接B'E.求证：四边形 是菱形.
（2）规律探索：如图2，在平行四边形纸片ABCD（AD＞AB）中，将纸片沿过点P的直线折叠，点B恰好落在AD上的点Q处，点A落在点A′处，得到折痕FP，那么△PFQ是等腰三角形吗？请说明理由.
（3）拓展应用：如图3，在矩形纸片ABCD（AD＞AB）中，将纸片沿过点P的直线折叠，得到折痕FP，点B落在纸片ABCD内部点 处，点A落在纸片ABCD外部点 处， 与AD交于点M，且 M＝ M.已知：AB＝4，AF＝2，求BP的长.
【答案】（1）解：由平行四边形的性质可知 ，
∴ ，
由翻折可知 ，
∴ ，
∴ .
∴四边形 是平行四边形.
再由翻折可知 ，
∴四边形 是菱形
（2）解：由翻折可知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴QF=QP，
∴ 是等腰三角形
（3）解：如图，延长 交AD于点G，
根据题意可知 ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ， .
根据（2）同理可知 为等腰三角形.
∴FG=PG.
∵ ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）由平行线的性质和翻折可得 ，即 ，可得四边形 是平行四边形 ， 再由翻折可知 ，即证明平行四边形 是菱形；
（2）由翻折可知 ， ，可得出 ，即 是等腰三角形；
（3）延长PB'交AD于点G， 根据题意可证△FA'M≌△GB'M，得出A'F=B'G=AF=2 ，FM=GM，根据（2）同理得 △PFG为等腰三角形 ，即FG=PG ， 在Rt△A'FM中 ，求出FM，即可得出FG=2FM， 则得出 .
47．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别交于点D、C，直线AB与 轴交于点 ，与直线CD交于点 .
（1）求直线AB的解析式；
（2）点E是射线CD上一动点，过点E作 轴，交直线AB于点F，若以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，请求出点E的坐标；
（3）设P是射线CD上一动点，在平面内是否存在点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的个数及其中一个点Q的坐标；否则说明理由.
【答案】（1）解：∵点 在 上.
∴ ，解得 ，
即点A的坐标为（-2，2），
设直线AB的解析式为 ，
∴ .
解得 ，
∴直线AB的解析式为 .
（2）解：由题意，设点E的坐标为 ，则
∵ 轴，点F在直线 上，
∴点F的坐标为 ，
∴ ，
∵以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，且 ，∴ .
∵直线 与 轴交于点 ，
∴点 的坐标为（0，4），
∴ ，即 ，
解得： 或 ，
∴点E的坐标为 或 .
（3）解：如图2，当BC为对角线时，点P，Q都是BC的垂直平分线，且点P和点Q关于BC对称，
∵B（0，-2），C（0，4），
∴点P的纵坐标为1，
将y=1代入y=x+4中，得x+4=1，
∴x=-3，
∴ （-3，1），
∴ （3，1）
当CP是对角线时，CP是BQ的垂直平分线，设Q（m，n），
∴BQ的中点坐标为 ，
代入直线y=x+4中，得 ①，
∵CQ=CB，
∴②，
联立①②得，
（舍）或 ，
∴ （-6，4），
当PB是对角线时，PC=BA=6，
设P（c，c+4），
∴ ，
∴ （舍）或 ，
∴P ，
设Q（d，e）
∴ ，
∴ ，
∴Q ，
符合条件的点Q共3个，坐标为（3，1），（-6，4）或 .
【解析】【分析】（1）先确定出A的坐标，再利用待定系数法即可得出结论；
（2）先表示出EF=|a+4-（-2a-2）|=|3a+6|，进而建立方程|3a+6|=4，求解即可得出结论；
（3）分三种情况，利用菱形的性质和中点坐标公式即可得出结论.
48．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点B；直线y═ x+6过点B和点C，且AC⊥x轴.点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿y轴向点O运动，同时点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线AC向点C运动，当点M到达点O时，点M、N同时停止运动，设点M运动的时间为t（秒），连接MN.
（1）求直线y＝kx+b的函数表达式及点C的坐标；
（2）当MN∥x轴时，求t的值；
（3）MN与AB交于点D，连接CD，在点M、N运动过程中，线段CD的长度是否变化？如果变化，请直接写出线段CD长度变化的范围；如果不变化，请直接写出线段CD的长度.
【答案】（1）解：∵AC⊥x轴，点A（5，0），
∴点C的横坐标为5，
对于y═ x+6，当x＝5时，y＝ ×5+6＝10，
对于x＝0，y＝6，
∴点C的坐标为（5，10），点B的坐标为（0，6），
直线y＝kx+b与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点B（0，6），
则 ，
解得， ，
∴直线y＝kx+b的函数表达式为y＝﹣ x+6，
综上所述，直线y＝kx+b的函数表达式为y＝﹣ x+6，点C的坐标为（5，10）
（2）解：由题意得，BM＝2t，AN＝3t，
∴OM＝6﹣2t，
当OM＝AN时，∵OM∥AN，
∴四边形EOAF为平行四边形，
∴MN∥x轴，
∴6﹣2t＝3t，
解得，t＝ ，
∴当MN∥x轴时，t＝
（3）解：线段CD的长度不变化，
理由如下：过点D作EF∥x轴，交OB于E，交AC于F，
∵EF∥x轴，BM∥AN，∠AOE＝90°，
∴四边形EOAF为矩形，
∴EF＝OA＝5，EO＝FA，
∵BM∥AN，
∴△BDM∽△ADN，
∴ ＝ ＝ ，
∵EF＝5，
∴DE＝2，DF＝3，
∵BM∥AN，
∴△BDE∽△ADF，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵OB＝6，
∴EO＝FA＝ ，
∴CF＝AC﹣FA＝ ，
∴CD＝ ＝ .
【解析】【分析】（1）根据AC⊥x轴可知A、C两点的横坐标相同，即点C的横坐标为5，代入直线解析式 y═x+6 求出点C的纵坐标，用待定系数法把B、C两点的坐标代入直线y=kx+b可求出k、b，则直线y＝kx＋b的函数表达式可求解；
（2）根据题意用含t的代数式表示BM、AN，根据平行四边形的性质（平行四边形的对边相等）列出关于t的方程，解方程即可求解；
（3）过点D作EF∥x轴，交OB于E，交AC于F，根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△BDM∽△ADN，由相似三角形的性质可得DE＝2，DF＝3，同理可证△BDE∽△ADF，可求出FA得长，则CF=AC-FA可求解，在直角三角形CDF中，用勾股定理即可求解．
49．如图，直线y=2x-1与x轴、y轴分别交于B、C两点
（1）求点B的坐标；
（2）点A(x，y)是直线y= 2x-1上的一个动点，当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；
（3）探究：①当点A的坐标是多少时，△AOB的面积为 ，并说明理由；
②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的三个P点坐标即可；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）解：当y=0，0=2x-1，
∴x=，
∴B（，0）；
（2）解：S=OB×yA=××|2x-1|=|2x-1|，
①当2x-1≥0时，即x≥时，
S=x-；
②当2x-1<0时，即x<时，
S=-x；
（3）解：① 由题意得：|2x-1|= ，
解得x=1或0，
∴A（1，1）或（0，-1）时， △AOB的面积为 ；
②存在，理由如下：设P（m，0），
当点A的坐标为（1，1）时，OA=，
∴当OA=OP时，OP=|m|，AP=，
∵△AOP为等腰三角形，
当OA=OP时，
|m|=，
∴P（，0），（-，0），
当OA=AP时，=，
解得m=0（舍）或m=2，
∴P（2，0），
当OP=AP时，=|m|，
解得m=1，
∴P（1，0），
当A（0，-1）时，OA=1，OP=|m|，AP=，
∵△AOP为等腰三角形，
当OA=OP时，
|m|=1，
∴P（1，0），（-1，0），
当OA=AP时，=1，
解得m=0（舍），
当OP=AP时，=|m|，无解；
综上，满足条件的所有P点坐标为：（，0），（-，0），（2，0），（1，0），（-1，0）.
【解析】【分析】(1)根据x轴上点的坐标特点，建立方程求解即可；
(2)分两种情况讨论，利用三角形的面积公式列出函数式，即可解答；
(3) ①根据三角形面积公式构建方程求解即可；
②分两种情况讨论，即当A的坐标为（1，1）时，当A（0，-1）时，每种情况再利用等腰三角形的两腰相等建立方程求解，即可解答.
50．综合与探究．如图1，在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 ， ，将线段 沿 轴方向向右平移，得到线段 ，点 的对应点 的坐标为 ，连接 ．点 是 轴上一动点．
（1）请你直接写出点 的坐标 ．
（2）如图1，当点 在线段 上时（不与点 、 重合），分别连接 ， ．猜想 ， ， 之间的数量关系，并说明理由．
（3）①如图2，当点 在点 上方时，猜想 ， ， 之间的数量关系，并说明理由．
②如图3，当点 在 轴的负半轴上时，请你直接写出 ， ， 之间的数量关系．
【答案】（1）
（2）解： ，理由如下：
如图1，过点 作 ，
∴ ，
由平移可知， ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：① ，理由如下：
如图2，过点 作 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
② ，理由如下：
如图3，过点 作 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【解析】【解答】解：（1）∵线段 沿 轴方向向右平移，得到线段 ，点O的对应点为C坐标为（3，0），
∴点A（0，2）的对应点B的坐标为（3，2），
故答案为： ；
【分析】（1）根据题意直接写出B的坐标；
（2） 过点 作 ， 由平移可知， ，又 ，得 ， ， 继而得出 ；
（3） ①过点 作 ， ， 得出 ， ．；②过点 作 ， 得出 ， ， ， 继而得出 ．
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