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上海市2024—2025学年八年级下册期末模拟练透考点卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，矩形的对角线相交于点O，点E是线段上一点，连接，．若的面积等于的面积，则和的面积比等于（ ）
A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．9∶4
3．如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在池塘外选一点C，连接、，并分别找出它们的中点、，连接．现测得，则等于（ ）
A．42m B．52m C．56m D．64m
4．把n边形变为（n+x）边形，内角和增加了180°，则x的值为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．矩形的对角线互相垂直
C．一组对边平行的四边形是平行四边形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
6．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对边相等
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
7．一次函数y＝2x+3与y＝3x+2的交点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围是（ ）
A．a＞－1 B．a＞－1且a≠0
C．a＜－1 D．a＜－1且a≠－2
9．定义一种新运算：，例如：，，给出下列说法：
①；
②若，则或4；
③的解集为或；
④若函数的图象与直线（m为常数）只有1个交点，则．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在 中， ， ， .分别以点B、D为圆心，大于 长为半径画弧，两弧相交于点M、N，直线MN分别与AD、BC相交于点E、F，则EF的长为（ ）
A． B．4 C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O．若，，则BC的长为 ．
12．如图，已知函数的图象交于点，则根据图象可得，关于的二元一次方程组的解是 ．
13．如图，是的中位线，若的周长为10，则的周长为 ．
14．从地面竖直向上抛射一个物体，在落地之前，物体向上的速度是关于运动时间的一次函数经测量，该物体第时的速度是，第时的速度是，则与之间的函数关系式为 不必写自变量的取值范围
15．如图，菱形中，，则的度数为 ．
16．如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框使其不变形．若米，米，则木条 米．（结果保留根号）
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．某市为了倡导居民节约用水，生活用自来水按阶梯式水价计费．如图是居民每户每月的水（自来水）费y（元）与所用的水（自来水）量x（吨）之间的函数图象．根据下面图象提供的信息，解答下列问题：
（1）当17≤x≤30时，求y与x之间的函数关系式；
（2）当一户居民在某月用水为15吨时，求这户居民这个月的水费；
（3）已知某户居民上月水费为91元，求这户居民上月用水量多少吨？
18．如图在正方形ABCD中，点F在CD延长线上，点E在BC边上，且BE=DF，连接EF交对线BD与点G，连接AE，AF，AG．
（1）求证：AE=AF．
（2）求证：BG-DG=DF．
（3）若DG=4，DF=，直接写出正方形ABCD的边长= ．
19．“端午节小长假”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲公司每小时的租费是 元；
（2）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数解析式；
（3）请你帮助小明计算并分析选择哪个出游方案合算．
20．在 ABCD中，AB⊥AC，点O为AC的中点，点E、M分别为AB、CE上的点，连接MO并延长至点N，使MO＝NO．
（1）判断四边形AMCN的形状，并加以证明；
（2）当点M为CE中点时，请判断AC和MN之间的位置关系，并加以证明；
（3）在（2）的条件下，若∠B＝60°，AB＝4，点E为AB中点，求四边形AMCN的面积．
21．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；(精确到0.01)
（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是 ，摸到黑球的概率是 ；
（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
22．为了迎接“十 一”小长假的购物高峰.某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋.其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
运动鞋价格 甲 乙
进价（元/双） m m﹣20
售价（元/双） 240 160
已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同.
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变.那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
23．某超市准备购进A、B两种商品，进3件A，4件B需要270元；进5件A，2件B需要310元；该超市将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元.
（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
（3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠m（10＜m＜20）元，B种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出m的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案.
24．如图1，一张矩形纸片 ，其中 ， ，先沿对角线 折叠，点 落在点 的位置， 交 于点 .
（1）求证： ；
（2）求 的长；
（3）如图2，再折叠一次，使点 与 重合，折痕 交 于 ，求 的长.
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上海市2024—2025学年八年级下册期末模拟练透考点卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：一次函数与的图象交于点，
当时，，
不等式的解集为.
故答案为：B.
【分析】根据两函数的交点坐标可得当时，，要使，则一次函数的图象在的图象的上方，即在点的左边，故不等式的解集为.
2．如图，矩形的对角线相交于点O，点E是线段上一点，连接，．若的面积等于的面积，则和的面积比等于（ ）
A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．9∶4
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，在上截取，
四边形是矩形，
，，，
，
四边形是平行四边形，，
，
的面积等于的面积，
，
，
，
，，
.
故答案为：A.
【分析】在上截取构造平行四边形是本题的解题关键.利用平行四边形的性质证得，进而得到，又因为和的高相等，由底边之比得到和的面积之比.
3．如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在池塘外选一点C，连接、，并分别找出它们的中点、，连接．现测得，则等于（ ）
A．42m B．52m C．56m D．64m
【答案】B
【解析】【解答】解：点、分别是、的中点，
是的中位线，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
4．把n边形变为（n+x）边形，内角和增加了180°，则x的值为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】【解答】多边形的边数，每增加一边，内角和就增加180°，内角和增加了180°，说明多边形增加了一边。故x=1.
故答案为：A
【分析】多边形内角和定理：（n-2） 180° （n≥3且n为整数）
多边形外角和为360°
从多边形内角和定理可知：多边形的边数，每增加一边，内角和就增加180°.
5．下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．矩形的对角线互相垂直
C．一组对边平行的四边形是平行四边形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
∴选项A不符合题意；
B、∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴选项B不符合题意；
C、∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
∴选项C不符合题意；
D、∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴选项D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据菱形、平行四边形及矩形的判定、矩形的性质逐项判断即可。
6．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对边相等
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
【答案】C
【解析】【解答】解：因为矩形的性质：对角相等、对边相等、对角线相等；
菱形的性质：对角相等、对边相等、对角线互相垂直．
所以矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等．
故答案为：C．
【分析】根据菱形和矩形的性质即可判断．
7．一次函数y＝2x+3与y＝3x+2的交点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意，画出函数图象，如图所示，
两函数图象交于第一象限.
故答案为：A.
【分析】依照题意画出图形，利用数形结合，即可解决问题.
8．关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围是（ ）
A．a＞－1 B．a＞－1且a≠0
C．a＜－1 D．a＜－1且a≠－2
【答案】D
【解析】【解答】方程左右两端同乘以最小公分母x-1，得2x+a=x-1.解得：x=-a-1且x为正数。所以-a-1＞0，解得a＜-1，且a≠-2.（因为当a=-2时，方程不成立。）
故答案为：D
【分析】解这个分式方程可知x=-1-a，因为方程的解为负数，所以-1-a<0，a<-1 . 又因为x≠1，所以a≠-2 .
9．定义一种新运算：，例如：，，给出下列说法：
①；
②若，则或4；
③的解集为或；
④若函数的图象与直线（m为常数）只有1个交点，则．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：，
∵，
∴，故①正确；
当即时，，
解得符合题意；
当即时，，
解得与矛盾，不合题意，故②错误；
当即时，，
解得，
∴不等式的解集是；
当即时，，
解得，
∴不等式的解集是；
综上，不等式的解集为或，故③正确；
当即时，，
当即时，
函数图象如下，当函数图象与直线（m为常数）只有1个交点，则．
所以④正确；
正确的结论有①③④，共三个，
故选C．
【分析】①根据新定义且-4＞-5， 对直接列式计算，再判断即可；②分情况讨论：当和当，结合新定义分别解答，再判断即可；③ 分情况讨论：当和当，结合新定义分别建立不等式并解之，再判断即可；分两种情况：当和当时，利用新定义分别求出y值，再结合图象判断即可．
10．如图，在 中， ， ， .分别以点B、D为圆心，大于 长为半径画弧，两弧相交于点M、N，直线MN分别与AD、BC相交于点E、F，则EF的长为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由作法得 垂直平分 ，
，
连接 交 于 点，过 点作 于 ，连接 ，如图，则 ， ，
四边形 为平行四边形，
， ， ，
，
在 中， ，
，
设 ，则 ， ，
在 中， ，解得 ，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】利用作图知EF垂直平分BD，利用垂直平分线的性质，可得FB=DF，连接BD交EF于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接DF，可得OB=OD，EF⊥BD； 利用平行四边形的性质可证得AB∥CD，AD∥BC，同时可求出CD的长及∠DCH的度数，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出CH的长及DH的长；设BF=x，可表示出DF，FH的长，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值及BD的长，即可得到OB的长；利用勾股定理求出OF的长；然后用ASA证△DOE≌△BOF，利用全等三角形的性质可证得OE=OF，即可求出EF的长.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O．若，，则BC的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】
∵
∴∠AOB=180°-
∵四边形ABCD是矩形
∴OA=OB
∴△ABO是等边三角形
∴AO=AB=2，AC=2AO=4
∴
【分析】由矩形的性质可得：为等边三角形，求得AC的长，再根据勾股定理，即可求得BC的长．
12．如图，已知函数的图象交于点，则根据图象可得，关于的二元一次方程组的解是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得于的二元一次方程组的解是，
故答案为：
【分析】根据两个一次函数的交点坐标结合题意即可求解.
13．如图，是的中位线，若的周长为10，则的周长为 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：∵是的中位线，
∴，
又∵，
∴.
故填：5.
【分析】由中位线的性质可将目标三角形的周长转化为已知三角形周长.
14．从地面竖直向上抛射一个物体，在落地之前，物体向上的速度是关于运动时间的一次函数经测量，该物体第时的速度是，第时的速度是，则与之间的函数关系式为 不必写自变量的取值范围
【答案】
【解析】【解答】解：设与之间的函数关系式为，
得，解得，
与之间的函数关系式为.
故答案为：.
【分析】设与之间的函数关系式为，利用待定系数法求得k、b的值，进而得到函数解析式.
15．如图，菱形中，，则的度数为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴CD∥AB，AC平分∠DAB，
∴∠D+∠DAB=180°，∠BAC=∠DAC，
∵，
∴∠DAB=30°，
∴的度数为15°，
故答案为：15°
【分析】先根据菱形的性质得到CD∥AB，AC平分∠DAB，再根据平行线的性质结合角平分线的性质即可得到∠D+∠DAB=180°，∠BAC=∠DAC，再结合题意即可求解。
16．如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框使其不变形．若米，米，则木条 米．（结果保留根号）
【答案】
【解析】【解答】解：四边形是长方形，
，
米，米，
米.
故答案为：.
【分析】由矩形的性质可知是直角三角形，然后通过勾股定理求得EF的长.
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．某市为了倡导居民节约用水，生活用自来水按阶梯式水价计费．如图是居民每户每月的水（自来水）费y（元）与所用的水（自来水）量x（吨）之间的函数图象．根据下面图象提供的信息，解答下列问题：
（1）当17≤x≤30时，求y与x之间的函数关系式；
（2）当一户居民在某月用水为15吨时，求这户居民这个月的水费；
（3）已知某户居民上月水费为91元，求这户居民上月用水量多少吨？
【答案】（1）解：y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
由题意得：
∴
∴y与x之间的函数关系式为：y＝5x﹣34；
（2）解：当x＝17吨时，y＝5×17﹣34＝51元，
∴当0≤x＜17时，y与x之间的函数关系式为：y＝3x，
∴当x＝15吨时，y＝45元，
答：这户居民这个月的水费45元；
（3）解：当y＝91元＞51元，
∴91＝5x﹣34
x＝25
答：这户居民上月用水量25吨．
【解析】【分析】（1）根据图示，即可得出y与x之间的函数关系式；
（2）先求出0≤x＜17时，y与x之间的函数关系式，把x=15代入求解即可；
（3）把y=91代入（1）中的函数关系式，求得x的值即可。
18．如图在正方形ABCD中，点F在CD延长线上，点E在BC边上，且BE=DF，连接EF交对线BD与点G，连接AE，AF，AG．
（1）求证：AE=AF．
（2）求证：BG-DG=DF．
（3）若DG=4，DF=，直接写出正方形ABCD的边长= ．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABE=∠ADC=90°=∠ADF，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF；
（2）解：过E作EH⊥BC交BD于H，如图：
∵∠DBC=45°，
∴△BEH是等腰直角三角形，
∴HE=BE=DF，BH=BE，
∵EH⊥BC，
∴EH∥CD，
∴∠GHE=∠GDF，∠GEH=∠GFD，
∴△GHE≌△GDF（ASA），
∴DG=HG，
∴BG-DG=BG-HG=BH，
∴BG-DG=BE=DF；
（3）解：由（2）知：BG-DG=DF，
而DG=4，DF=，
∴BG=DG+DF=6，
∴BD=BG+DG=10，
∵四边形ABCD是正方形，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BC=CD=，
故答案为：5．
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）先求出 △BEH是等腰直角三角形， 再求出 △GHE≌△GDF ，最后求解即可；
（3）先求出BD=10，再求出 △BCD是等腰直角三角形， 最后求解即可。
19．“端午节小长假”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲公司每小时的租费是 元；
（2）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数解析式；
（3）请你帮助小明计算并分析选择哪个出游方案合算．
【答案】（1）15
（2）解：设y1＝k1x+80，
把点（1，95）代入，可得
95＝k1+80，
解得k1＝15，
∴y1＝15x+80（x≥0）；
设y2＝k2x，
把（1，30）代入，可得
30＝k2，即k2＝30，
∴y2＝30x（x≥0）；
（3）解：当y1＝y2时，15x+80＝30x，
解得x＝；
当y1＞y2时，15x+80＞30x，
解得x＜；
当y1＜y2时，15x+80＜30x，
解得x＞；
∴当租车时间为小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于小时，选择乙公司合算；当租车时间大于小时，选择甲公司合算．
【解析】【解答】解：（1）由图象可得：甲公司每小时的租费是15元；
故答案为：15.
【分析】（1）直接根据图象上的点（1，95）就可得到甲公司每小时的租费；
（2）设y1＝k1x+80，把点（1，95）代入求出k1的值，据此可得对应的函数关系式；设y2＝k2x，把（1，30）代入求出k2的值，据此可得对应的函数关系式；
（3）分别令y1＝y2、y1＞y2、y1＜y2，求出x的值或范围，据此解答.
20．在 ABCD中，AB⊥AC，点O为AC的中点，点E、M分别为AB、CE上的点，连接MO并延长至点N，使MO＝NO．
（1）判断四边形AMCN的形状，并加以证明；
（2）当点M为CE中点时，请判断AC和MN之间的位置关系，并加以证明；
（3）在（2）的条件下，若∠B＝60°，AB＝4，点E为AB中点，求四边形AMCN的面积．
【答案】（1）解：∵四边形AMCN是平行四边形，理由如下：
∵点O为AC的中点
∴OA=OC，
∵MO=NO，
∴四边形AMCN是平行四边形．
（2）解：当点M为CE中点时，AC和MN之间的位置关系为AC⊥MN，证明如下：
∵M为CE的中点，点O为AC的中点
∴OM为△ACE的中位线
∴OMAB
∵AB⊥AC
∴OM⊥AC，即AC⊥MN．
（3）解：∵AB⊥AC
∴∠BAC=90°
∵∠B=60°
∴∠ACB=90°-60°=30°
∵AB=4
∴BC=2AB=8
∴
∵点E为AB中点
∴AE=AB=2
∵OM为△ACE的中位线
∴OM=AE=1
∵OM⊥AC
∴
∴
∴四边形AMCN的面积为．
【解析】【分析】（1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形的判定方法求解即可；
（2）先证出OM为△ACE的中位线，可得OM//AB，再结合AB⊥AC，即可得到AC⊥MN；
（3）先利用勾股定理求出，再求出OM=AE=1，利用三角形的面积公式求出，即可得到，从而得解。
21．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；(精确到0.01)
（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是 ，摸到黑球的概率是 ；
（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
【答案】（1）0.60
（2）0.6；0.4
（3）解：因为摸到白球的概率是0.6，摸到黑球的概率是0.4，
所以口袋中黑、白两种颜色的球有：
白球是只，
黑球是只.
答：估计口袋中白色的球有12只，黑色的球有8只.
【解析】【解答】解：（1）解：根据题意可得当很大时，摸到白球的频率将会接近0.60；
故答案为：0.60；
（2）解：因为当很大时，摸到白球的频率将会接近0.60；
所以摸到白球的概率是0.6；
摸到黑球的概率是0.4；
故答案为：0.6，0.4；
【分析】（1）根据表格中的信息可知：当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.60；
（2）结合（1）的结论并根据用频率估计概率可求解；
（3）根据频数=概率×样本容量可求解.
22．为了迎接“十 一”小长假的购物高峰.某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋.其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
运动鞋价格 甲 乙
进价（元/双） m m﹣20
售价（元/双） 240 160
已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同.
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变.那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
【答案】（1）解：依题意得， ，
去分母得，3000（m﹣20）=2400m，解得m=100.
经检验，m=100是原分式方程的解.
∴m=100.
（2）解：设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200﹣x）双，
根据题意得， ，
解不等式①得，x≥95，解不等式②得，x≤105，
∴不等式组的解集是95≤x≤105.
∵x是正整数，105﹣95+1=11，∴共有11种方案.
（3）解：设总利润为W，则W=（140﹣a）x+80（200﹣x）=（60﹣a）x+16000（95≤x≤105），
①当50＜a＜60时，60﹣a＞0，W随x的增大而增大，
∴当x=105时，W有最大值，即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双.
②当a=60时，60﹣a=0，W=16000，（2）中所有方案获利都一样.
③当60＜a＜70时，60﹣a＜0，W随x的增大而减小，
∴当x=95时，W有最大值，即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双.
【解析】【分析】 （1）利用总价除以单价=数量结合“3000元购进甲种运动鞋的数量=用2400元购进乙种运动鞋的数量”，列出方程求解即可；
（2）根据“ 购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润不少于21700元，且不超过22300元”列不等式组求解，得出x的范围，即可得出方案数；
（3） 设总利润为W， 根据题意求出关于W和x的函数关系式，由于是一次函数，根据一次函数的性质讨论即可.
23．某超市准备购进A、B两种商品，进3件A，4件B需要270元；进5件A，2件B需要310元；该超市将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元.
（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
（3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠m（10＜m＜20）元，B种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出m的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案.
【答案】（1）解：设A种商品和B种商品的进价分别是a元/件、b元/件，
则 ，解得 ，
故A种商品和B种商品的进价分别是50元/件，30元/件
（2）解：设A商品购进n件，则
，
解得 ，
∴n＝14，15，16，17，18，
答：共有5种方案
（3）解：设总利润为W元，购进A种商品x件，
则
（14≤x≤18且x为整数），
∵10＜m＜20，
当10＜m＜15时，W随x的增大而增大，
∴当x＝18时，W取最大值.
此时，购进A商品18件，B商品22件.
当m＝15时，W恒等于600.
怎样购买利润都不变.
当15＜m＜20时，W随x的增大而减小，
∴当x＝14时，W取最大值.
此时，购进A商品14件，B商品26件
【解析】【分析】（1）设A种商品每件的进价为a元，B种商品每件的进价为b元，根据“进3件A，4件B需要270元；进5件A，2件B需要310元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可求解；
（2）设购进A种商品n件，则购进B种商品（40 n）件，根据“进货总价不超过1560元，且A种商品的数量不低于B种商品数量的一半”，即可得出关于n的一元一次不等式组，解之即可得出n的取值范围，再结合n为整数，即可得出进货方案的个数；
（3）设销售这40件商品获得总利润为w元，利用总利润＝每件商品的销售利润×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，然后根据一次函数的性质并结合m的取值范围即可求解最值问题．
24．如图1，一张矩形纸片 ，其中 ， ，先沿对角线 折叠，点 落在点 的位置， 交 于点 .
（1）求证： ；
（2）求 的长；
（3）如图2，再折叠一次，使点 与 重合，折痕 交 于 ，求 的长.
【答案】（1）证明： 沿对角线 对折，点 落在点 的位置，
， ，
在 和 中，
≌ ，
；
（2）解： ≌ ，
，
设 ，则 ，
，
解得： ，
；
（3）解： 点 与点 重合，得折痕 ，
，
， ，
在 中， ，
， ，
，
是 的中位线，
，
在 中， ，
由折叠的性质可知 ，
，
，
，
，
设 ，则 ，
由勾股定理得 ，即 ，
解得 ，即 .
【解析】【分析】（1）由折叠性质知∠A＝∠C′，AB＝C′D，然后用“角角边”可证△GAB≌△GC′D得BG＝DG；
（2）设C′G＝x，由全等性质知GD＝BG＝8 x，在Rt△ABG中，用勾股定理得关于x的方程，解之可求解；
（3）在直角三角形ABD中，用勾股定理可求得BD的值，由题意易证MN是△ABD的中位线，由三角形的中位线定理可得DN＝BD，在直角三角形MND中，用勾股定理可求得MN的值， 由折叠的性质可知，∠NDE=∠NDC，结合平行线的性质可得∠NDE=∠END，由等角对等边可得EN＝ED，设EM＝x，则ED＝EN＝x＋3，由勾股定理得关于x的方程，解之可求解．
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