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【精选热题·期末50道综合题专练】上海市数学七年级下册复习试卷
1．一根弹簧长，在弹性限度(总长不超过)内，每挂质量为的物体，弹簧伸长．
（1）代数式表示的实际意义是__________；
（2）这根弹簧最多可挂质量为多少的物体？
2．如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于P.
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠PBQ的度数.
3．某水果店销售A、B两种规格的水果礼盒，A进货价为每盒60元，B进货价为每盒45元．表格中是该水果店近两周这两种水果礼盒的销售情况．（进价保持不变，不考虑水果变质等损耗）
销售时段 周销售数量 周销售总利润
第一周 40盒A水果礼盒 85盒B水果礼盒 2075元
第二周 60盒A水果礼盒 100盒B水果礼盒 2700元
（1）若这两周售价保持不变，求这两种规格水果礼盒的售价分别为每盒多少元？
（2）第三周，该店决定恰好9000元购进A、B两种水果礼盒，A水果礼盒按售价打九折进行促销，而B水果礼盒则按利润率为定价，使得第三周总利润至少为3000元，且A、B两种水果礼盒全部售完，求第三周最多进货A水果礼盒多少盒？
4．某商场计划购买、两种型号的洗衣机共80台．已知购买5台型洗衣机和4台型洗衣机需37元，且3台型洗衣机比2台型洗衣机多9元．
（1）求每台型和型洗衣机的价格；
（2）若商场用100元购买这两种洗衣机共30台，求最多可以购买多少台型洗衣机．
5．为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校决定在课后看护中增加乒乓球项目．体育用品商店得知后，第一次用600元购进乒乓球若干盒，第二次又用600元购进该款乒乓球，但这次每盒的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30盒．
（1）求第一次每盒乒乓球的进价是多少元？
（2）若要求这两次购进的乒乓球按同一价格全部销售完后获利不低于420元，则每盒乒乓球的售价至少是多少元？
6．如图1，平面直角坐标系中， ， ， ， 轴于点 ．
（1） ；
（2）连接 ，判断 的形状，并说明理由；
（3）如图2，已知 ， ，若 是等腰直角三角形，且 ，则点 坐标为 ．
7．用一条长44cm的细绳围成一个三角形，已知第一条边长为xcm，第二条边长比第一条边长的3倍少6cm．
（1）用含x的式子直接表示第三条边长：
（2）若能围成一个等腰三角形，求这个三角形的三边长；
（3）若第一条边长最短，直接写出x的取值范围．
8．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝33°，将三角形ABC沿AB方向向右平移得到三角形DEF.
（1）试求出∠E的度数.
（2）若AE＝9cm，DB＝2cm.请求出CF的长度.
9．某商场第一次购进一定数量的A，B两个款式的T恤，其中A款T恤一共花费1200元，B款T恤一共花费6000元，每件B款T恤的进价比每件A款T恤的进价高80元，且B款T恤的数量刚好是A款T恤数量的3倍．
（1）求第一次购进的A，B两款T恤的进价；
（2）第一批货卖完后，商场决定再购进一定数量的B款T恤，且进货量不超过60件，商场的销售情况如下：先按标价300元卖了15件，剩余的按标价打八折进行促销，若总利润不低于3220元，求第二次可购进B款T恤多少件．
10．学校计划组织121名师生租乘汽车外出研学一天，需租用大巴、中巴共m辆，且要求租用的车子不留空位也不超载，大巴每辆可乘坐33名乘客，中巴每辆可乘坐22名乘客．
（1）求该校应租用大巴、中巴各多少辆？（请用含m的代数式表示）．
（2）若每辆大巴租金是1500元/天，中巴租金是1200元/天，若租金不能超过6000元，则应租用大巴、中巴各多少辆？
11．新冠疫情期间，某校九年级提前开学，根据政府疫情防控要求，学校后勤部老师购买了一批 口罩.由于疫情得到很好的拉制，七八年级的同学相继返校，学校后勤部老师又购买了一批一次性医用口罩，但物资清单不慎被墨汁覆盖，老师只记得 口罩的单价比一次性医用口罩的单价多12元，两次购买的数量相同.
疫情物资清单
口罩类型 单价（元/个） 总费用（元） 数量（个）
15000
一次性 3000
（1）两种类型口罩的单价备是多少元？
（2）后来一位爱心人士捐资6000元到学校用于购买口罩，学校还需要600个口罩，后勤部老师最多可以购买多少个 口罩？
12．观音桥的某水果店花费6000元购进淡雪草莓，另花费1000元购进牛奶草莓，淡雪草莓的进价是牛奶草莓的进价的2倍，淡雪草莓的数量比牛奶草莓的数量多100千克．
（1）求牛奶草莓每千克的进价；
（2）该水果店第一周以40元/千克的价格售出牛奶草莓3m千克，第二周每千克售价降低了0.5m元，售出20千克，第三周售价在第一周的基础上打七折，购进的牛奶草莓剩余部分全部售罄、若购进的牛奶草莓总利润不低于796元，求m的最小值．
13．
（1）解不等式：x﹣4＜2（2x﹣1），并写出它的最小整数解；
（2）解不等式组： 并把它的解集在数轴上表示出来．
14．近些年全国各地频发雾霾天气，给人民群众的身体健康带来了危害，某商场看到商机后决定购进甲、乙两种空气净化器进行销售．若每台甲种空气净化器的进价比每台乙种空气净化器的进价少300元，且用6000元购进甲种空气净化器的数量与用7500元购进乙种空气净化器的数量相同．
（1）求每台甲种空气净化器、每台乙种空气净化器的进价分别为多少元？
（2）若该商场准备进货甲、乙两种空气净化器共30台，且进货花费不超过42000元，问最少进货甲种空气净化器多少台？
15．如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，∠BDE=∠CDF，请你添加一个条件，使DE=DF成立.
（1）你添加的条件是
（2）在(1)的条件下，不再添加辅助线和字母，证明DE=DF
16．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF.
（1）求证：ΔABC≌△DEF；
（2）若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数.
17．如图，在等腰中，两条高线和交于点F，．
（1）你能在图中找到一对全等三角形吗？请说明理由；
（2）图中哪个三角形可以通过旋转得到另一个三角形？请说明是怎样旋转的．
18．下面是小明同学解不等式组的过程，请认真阅读，完成相应的任务．
解：由不等式①，得． 第一步
解，得． 第二步
由不等式②，得． 第三步
移项，得． 第四步
解，得 第五步
所以，原不等式组的解集是． 第六步
（1）任务一：
小明的解答过程中，第 步开始出现错误，错误的原因是 ；
（2）第三步的依据是 ；
（3）任务二：
直接写出这个不等式组正确的解集是 ．
19．下面是小明完成“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得//．（不写作法，保留作图痕迹）
如图，直线PQ就是所求直线．
（1）根据作图痕迹，填空：
①AC是的 ▲ ，② ▲ ；
（2）根据作图痕迹，说明直线PQ与l为什么平行？
20．某物流公司现有114吨货物，计划租用A，B两种车，经理发现一个运货货单上的一个信息是：
A型车（满载） B型车（满载） 运货总量
3辆 2辆 38吨
1辆 3辆 36吨
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）若物流公司打算一次运完，且恰好每辆车都装满货物．请你帮该物流公司设计租车方案：
（3）若A型车每辆需租金800元/次，B型车每辆需租金1000元/次．公司预算支出12000元．经理让会计小李和小王核算一下具体运费．请你帮他们算算，最少租车费是元，此时租车方案是(直接写出答案)
21．将两个直角三角形如图1摆放，已知，，，射线平分．
（1）如图1，当三点共线时，的度数为 ．
（2）如图2，将绕点C从图1的位置开始顺时针旋转，旋转速度为每秒，设时间为，作射线平分．
①若，的度数是否改变？若改变，请用含t的代数式表示；若不变，请说明理由并求出值．
②若，当t为何值时，？请直接写出t的值．
22．
（1）解不等式 ，并把它的解集表示在数轴上.
（2）
23．某市教育局对某镇实施“教育精准扶贫”，为某镇建了中、小两种图书馆.若建立 个中型图书馆和 个小型图书馆需要 万元，建立 个中型图书馆和 个小型图书馆需要 万元.
（1）建立一个中型图书馆和一个小型图书馆各需要多少万元？
（2）现要建立中型图书馆和小型图书馆共 个，小型图书馆的数量不多于中型图书馆的数量，且总费用不超过 万元，请问有几种方案？哪种方案所需费用最少？
24．小明准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈（篱笆全部用完），用于饲养家兔.已知第一条边长为a米，第二条边长是第一条边长的2倍多2米.
（1）请用a的代数式表示第三条边长；
（2）第一条边长可以为7米吗？为什么？
（3）如果围成的三角形是等腰三角形，求a的值.
25．如图，点 、 、 、 在一条直线上，已知 ，且 ， ．
（1）求证： ≌ ；
（2）若 ， ，求线段 的长．
26．为改善教学条件，学校准备对现有多媒体设备进行升级改造，已知购买3个键盘和1个鼠标需要190元；购买2个键盘和3个鼠标需要220元；
（1）求键盘和鼠标的单价各是多少元？
（2）经过与经销商洽谈，键盘打八折，鼠标打八五折．若学校计划购买键盘和鼠标共50件，且总费用不超过1820元，则最多可购买键盘多少个？
27．（1）分解因式：．
（2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
28．如图， 在平面直角坐标系中， ， ， ．
（1） 与 关于 轴对称，请画出 ，并写出点 ， ， 的坐标；
（2）求 的面积．
29．已知的三边长分别为，，8．
（1）求的取值范围；
（2）如果是等腰三角形，求的值．
30．某公司计划从商店购买台灯和手电筒，已知台灯的单价比手电筒的单价高50元，用240元购买台灯的数量和用90元购买手电筒的数量相等．
（1）求购买一盏台灯、一个手电筒各需要多少元？
（2）经商谈，商店给予该公司购买一盏台灯赠送一个手电筒的优惠．如果公司需要手电筒的数量是台灯数量的2倍还多8个，且购买台灯和手电筒的总费用不超过2440元，那么公司最多可购买多少盏台灯？
31．
（1）当 取何值时，代数式 与 的值的差大于 ？
（2）解不等组： （注意：用数轴确定不等式组的解集）
32．某商场第一次用 元购进某款机器人进行销售，很快销售一空，商家又用 元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的 倍，但单价贵了 元．
（1）求该商家第一次购进机器人多少个？
（2）若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于 不考虑其他因素 ，那么每个机器人的标价至少是多少元？
33．今年疫情防控期间.某小区卫生所决定购买A，B两种口罩.以满足小区居民的需要.若购买A种口罩9包，B种口罩4包，则需要700元；若购买A种口罩3包.B种口罩5包.则需要380元.
（1）购买人A，B两种口罩每包各需名少元？
（2）卫生所准备购进这两种口罩共90包，并且A种口罩包数不少于B种口罩包数的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由.
34．已知：在 和 中， ， ．
（1）如图1，若 ，求证： ；
（2）如图2，若 ，求 的度数．
35．某社区原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型转运站和10个B型转运站处理．已知一个A型转运站比一个B型转运站每天多处理7吨生活垃圾．
（1）每个A型或B型转运站每天处理生活垃圾各多少吨？
（2）由于垃圾分类要求的提高，每个转运站每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该社区每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型转运站共5个，试问至少需要增设几个A型转运站才能当日处理完所有生活垃圾？
36．已知：如图，，相交于点O，，.
求证：
（1）
（2）.
37．
（1）解方程：
（2）已知等腰三角形的两边长为5cm和4cm，求它的周长．
38．如图，在中，，点D、E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转后得CF，连接EF．
（1）补充完成图形；
（2）若，求证：．
39．如图，已知∠ABC＝∠ADC，AB∥CD，E为射线BC上一点，AE平分∠BAD.
（1）如图1，当点E在线段BC上时，求证：∠BAE＝∠BEA.
（2）如图2，当点E在线段BC延长线上时，连接DE，若∠ADE＝3∠CDE，∠AED＝60°，求∠CED的度数.
40．某商场为做好“家电下乡”的惠民服务，决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电视机108台，其中甲种电视机的台数是丙种的4倍，购进三种电视机的总金额不超过147 000元，已知甲、乙、丙三种型号的电视机的出厂价格分别为1 000元/台，1 500元/台，2 000元/台.
（1）求该商场至少购买丙种电视机多少台？
（2）若要求甲种电视机的台数不超过乙种电视机的台数，问有哪些购买方案？
41．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E点．
（1）当∠BDA=115°时，∠BAD= °，∠DEC= °；
（2）当DC等于多少时，△ABD与△DCE全等？请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
42．已知 是边长为4的等边三角形，点D是射线BC上的动点，将AD绕点A逆时针方向旋转 得到AE，连接DE.
（1）.如图，猜想 是 三角形；（直接写出结果）
（2）.如图，猜想线段CA、CE、CD之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）①当BD= 时， ；（直接写出结果）
②点D在运动过程中， 的周长是否存在最小值？若存在.请直接写出 周长的最小值；若不存在，请说明理由.
43．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，以线段OA为边在第四象限内作等边三角形△AOB，点C为x正半轴上一动点(OC＞1)，连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E.
（1）求证：△OBC≌△ABD
（2）在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果变化，请说明理由。
（3）当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？
44．如图，在四边形ABCD中，AD=BC=12，AB=CD，BD=15，点E从D点出发，以每秒4个单位的速度沿D→A→D匀速移动，点F从点C出发，以每秒1个单位的速度沿CB向点B作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t秒．
（1）试说明：AD∥BC；
（2）在移动过程中，小明发现有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时的移动时间t和G点的移动距离．
45．
（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状并说明理由．
46．在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，△ABC绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），点A、B的对应点分别是点D、E．
（1）如图1，当点D恰好落在边AB上时，试判断DE与AC的位置关系，并说明理由．
（2）如图2，当点B、D、E三点恰好在一直线上时，旋转角α= °，此时直线CE与AB的位置关系是 ．
（3）在（2）的条件下，联结AE，设△BDC的面积S1，△AEC的面积S2，则S1与S2的数量关系是 ．
（4）如图3，当点B、D、E三点不在一直线上时，（3）中的S1与S2的数量关系仍然成立吗？试说明理由．
47．某中学准备组织七年级160名学生参加社会实践活动，租用35座和45座两种客车共四辆，每种客车至少租1辆，可以坐不满.
（1）参加本次活动至少需几辆45座客车
（2）如果35座客车的租金为每辆300元，45座客车的租金为每辆400元，要想使全部租车的费用不超过1550元，则有几种租车的方案？哪种方案最省钱？
48．综合与实践
（1）实践操作： 中， ，D为直线 上一点，过D点作 ，与直线 相交于点E，如图①，图②，图③所示，则 的形状为 .
（2）问题解决：等腰三角形是一种特殊的三角形，常与全等三角形的相关知识结合在一起解决问题.如图④， 中， ，E为 上一点，F为 延长线上一点，且 ， 交 于D，求证： .
（3）拓展与应用，在（2）的条件下，如图⑤，过点E作 的垂线，垂足为M，若 ，则 的长为 .
49．如图，，都是等边三角形，，．
（1）求证：；
（2）猜想，的位置关系，并证明；
（3）若将“，”改为“，”，其他条件不变，请直接写出的度数 （用含n的式子表示）．
50．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝3cm，∠B＝30°，点D在BC边上由C向B匀速运动（D不与B、C重合），匀速运动速度为1cm/s，连接AD，作∠ADE＝30°，DE交线段AC于点E.
（1）在此运动过程中，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；D点运动到图1位置时，∠BDA＝75°，则∠BAD＝ .
（2）点D运动3s后到达图2位置，则CD＝ .此时△ABD和△DCE是否全等，请说明理由；
（3）在点D运动过程中，△ADE的形状也在变化，判断当△ADE是等腰三角形时，∠BDA等于多少度（请直接写出结果）
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【精选热题·期末50道综合题专练】上海市数学七年级下册复习试卷
1．一根弹簧长，在弹性限度(总长不超过)内，每挂质量为的物体，弹簧伸长．
（1）代数式表示的实际意义是__________；
（2）这根弹簧最多可挂质量为多少的物体？
【答案】（1）表示的实际意义是挂质量为的物体，弹簧的长度．
（2）这根弹簧最多可挂质量为的物体
2．如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于P.
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠PBQ的度数.
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
在△ABE与△CAD中，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；
（2）解：由（1）知△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°.
∴∠PBQ=90°-∠BPQ=30°.
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAC=∠C=60°，然后利用“边角边”即可证明两三角形；
（2）由SAS可得△ABE≌△CAD，进而得出对应角相等，再通过角之间的转化即可求解∠BPD的度数，进而求得结论.
3．某水果店销售A、B两种规格的水果礼盒，A进货价为每盒60元，B进货价为每盒45元．表格中是该水果店近两周这两种水果礼盒的销售情况．（进价保持不变，不考虑水果变质等损耗）
销售时段 周销售数量 周销售总利润
第一周 40盒A水果礼盒 85盒B水果礼盒 2075元
第二周 60盒A水果礼盒 100盒B水果礼盒 2700元
（1）若这两周售价保持不变，求这两种规格水果礼盒的售价分别为每盒多少元？
（2）第三周，该店决定恰好9000元购进A、B两种水果礼盒，A水果礼盒按售价打九折进行促销，而B水果礼盒则按利润率为定价，使得第三周总利润至少为3000元，且A、B两种水果礼盒全部售完，求第三周最多进货A水果礼盒多少盒？
【答案】（1）解：设A水果礼盒的售价为每盒x元，B水果礼盒的售价为每盒y元，由题意可得：
，
解得：，
∴A水果礼盒的售价为80元，B水果礼盒的售价为60元；
（2）解：设购进A种水果礼盒m盒，B种水果礼盒n盒，则由题意可得：，
整理得：，
由题意得：第三周A种水果礼盒的售价为80×0.9=72（元），B种水果礼盒的售价为45×（1+40%）=63（元）.
∵第三周总利润至少为3000元，且A、B两种水果礼盒全部售完，
∴，
整理并化简得：，
∴，
解得：，
又∵为正整数，m取最大值，
∴m，n的取值为：m=48，n=136，
∴第三周最多进货A水果礼盒盒．
【解析】【分析】（1）设A水果礼盒的售价为x元，B水果礼盒的售价为y元，根据两周的总售价列出方程组，解之即可，总售价=总进价+总利润；
（2）设购进A种水果礼盒m盒，B种水果礼盒n盒，根据进货总价9000元列出方程并整理，用含m的代数式表示出n，表示出第三周A，B两种礼盒的售价，再根据第三周总利润至少为3000元列出不等式，代入求出最大整数解即可．
4．某商场计划购买、两种型号的洗衣机共80台．已知购买5台型洗衣机和4台型洗衣机需37元，且3台型洗衣机比2台型洗衣机多9元．
（1）求每台型和型洗衣机的价格；
（2）若商场用100元购买这两种洗衣机共30台，求最多可以购买多少台型洗衣机．
【答案】（1）型洗衣机每台元，型洗衣机每台元
（2）最多可以购买台型洗衣机
5．为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校决定在课后看护中增加乒乓球项目．体育用品商店得知后，第一次用600元购进乒乓球若干盒，第二次又用600元购进该款乒乓球，但这次每盒的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30盒．
（1）求第一次每盒乒乓球的进价是多少元？
（2）若要求这两次购进的乒乓球按同一价格全部销售完后获利不低于420元，则每盒乒乓球的售价至少是多少元？
【答案】（1）解：设第一次每盒乒乓球的进价为x元，则第二次每盒乒乓球的进价为元；
根据题意，得，
解得
检验：当时，分母不为0，所以是原分式方程的解．
答：第一次每盒乒乓球的进价是4元．
（2）解：设售价为y元，根据题意得
解得．
答：每盒乒乓球的售价至少是6元．
【解析】【分析】 （1）设第一次每盒乒乓球的进价为x元，则第二次每盒乒乓球的进价为元； 根据题意列分式方程，解之求解即可；
（2） 设售价为y元，根据 两次购进的乒乓球按同一价格全部销售完后获利不低于420元列不等式，解之即可。
6．如图1，平面直角坐标系中， ， ， ， 轴于点 ．
（1） ；
（2）连接 ，判断 的形状，并说明理由；
（3）如图2，已知 ， ，若 是等腰直角三角形，且 ，则点 坐标为 ．
【答案】（1）∵C（2，3）， 轴于点 ，
∴D（0，3）
∴OD=3，CD=2，
∵A（0，2），B（1，0），
∴OA=2，OB=1，
∴AD=1，
∴AD=OB，
在△AOB和△CDA中，
，
∴△AOB≌△CDA（SAS）；
（2）△ABC是等腰直角三角形，
理由如下：∵△AOB≌△CDA，
∴∠ABO=∠CAD，AC=AB，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠CAD+∠BAO=90°，
∴∠BAC=90°，又AC=AB，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（3） 或
【解析】【解答】（3）如图2，过点P作x轴的平行线GH，作MG⊥GH于G，QH⊥GH于H，
∵P（3，4），Q（6，2），
∴PH=3，QH=2，
∵△MPQ为等腰直角三角形，
∴∠MPQ=90°，PM=PQ，
∴∠MPG+∠HPQ=90°，
∵∠MPG+∠PMG=90°，
∴∠GMP=∠HPQ，
在△GMP和△HPQ中，
，
∴△GMP≌△HPQ（AAS）
∴GM=PH=3，GP=HQ=2，
∴点M坐标为（1，1），
过点P作y轴的平行线ST，作M′S⊥ST于S，QT⊥ST于T，
同理可得，△M′ST≌△PTQ，
∴M′S=PT=2，SP=TQ=3，
∴点M′坐标为（5，7），
故答案为：（1，1）或（5，7）．
【分析】（1）根据点的坐标分别求出OD、CD，得到AD=OB，利用SAS定理证明△AOB≌△CDA；（2）根据全等三角形的性质得到∠ABO=∠CAD，AC=AB，根据同角的余角相等得到∠BAC=90°，根据等腰直角三角形的定义解答；（3）根据题意画出点M和点M′，过点P作x轴的平行线GH，作MG⊥GH于G，QH⊥GH于H，证明△GMP≌△HPQ，根据全等三角形的性质得到GM=PH=3，GP=HQ=2，得到点M坐标为（1，1），同理求出点M′坐标．
7．用一条长44cm的细绳围成一个三角形，已知第一条边长为xcm，第二条边长比第一条边长的3倍少6cm．
（1）用含x的式子直接表示第三条边长：
（2）若能围成一个等腰三角形，求这个三角形的三边长；
（3）若第一条边长最短，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）解： 第一条边长为xcm，第二条边长比第一条边长的3倍少6cm，则第二条边长为 cm，
第三边长为
（2）解：已知三角形的三边长分别为 ，
①当 ，
解得 ，则底边长为 ，
，
此情况不存在，
②当 ，
解得 ，则底边长为 ，
，
此情况不存在，
③当 ，
解得 ，则底边长为 ，两腰的长分别为 ，
综上所述，若能围成一个等腰三角形，求这个三角形的三边长分别为
（3）解：依题意，
解得
【解析】【分析】（1）先表示出第二条边长，即可得出 第三条边长；
（2）已知三角形的三边长分别为 ，分当 ，当 ，当 ， 三种情况分类讨论即可；
（3）根据第一条边长最短及三角形的三边关系列出不等式组，即可求出x的取值范围。
8．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝33°，将三角形ABC沿AB方向向右平移得到三角形DEF.
（1）试求出∠E的度数.
（2）若AE＝9cm，DB＝2cm.请求出CF的长度.
【答案】（1）解：∵△DEF是△ABC平移而来，
∠E=∠ABC=180°-∠A-∠ACB=180°-33°-90°=57°；
（2）解：∵AB=DE，AB-DB=DE-DB，
∴AD=BE，
∴BE=（AE-DB）=（9-2）=.
【解析】【分析】 （1）先利用三角形内角和计算出∠B=57°，然后根据平移的性质确定∠E的值；
（2）根据平移的性质得到AB=DE，则AD=BE，然后利用AD+BD+BE=AE得到BE+2+BE=9，再解关于BE的方程即可．
9．某商场第一次购进一定数量的A，B两个款式的T恤，其中A款T恤一共花费1200元，B款T恤一共花费6000元，每件B款T恤的进价比每件A款T恤的进价高80元，且B款T恤的数量刚好是A款T恤数量的3倍．
（1）求第一次购进的A，B两款T恤的进价；
（2）第一批货卖完后，商场决定再购进一定数量的B款T恤，且进货量不超过60件，商场的销售情况如下：先按标价300元卖了15件，剩余的按标价打八折进行促销，若总利润不低于3220元，求第二次可购进B款T恤多少件．
【答案】（1）第一次购进的款恤的进价为120元，款恤的进价为200元
（2）第二次可购进款恤58件或59件或60件
10．学校计划组织121名师生租乘汽车外出研学一天，需租用大巴、中巴共m辆，且要求租用的车子不留空位也不超载，大巴每辆可乘坐33名乘客，中巴每辆可乘坐22名乘客．
（1）求该校应租用大巴、中巴各多少辆？（请用含m的代数式表示）．
（2）若每辆大巴租金是1500元/天，中巴租金是1200元/天，若租金不能超过6000元，则应租用大巴、中巴各多少辆？
【答案】（1）解：设学校应租用大巴车x辆，则需租用中巴车（m﹣x）辆，
依题意，得：33x+22（m﹣x）＝121，
解得：x＝11﹣2m，
∴m﹣x＝3m﹣11．
答：学校应租用大巴车（11﹣2m）辆，中巴车（3m﹣11）辆．
（2）解：依题意，得： ，
解得： ≤m≤ ．
∵m为整数，
∴m＝4，
∴11﹣2m＝3，3m﹣11＝1．
答：学校应租用大巴车3辆，中巴车1辆．
【解析】【分析】（1）设学校应租用大巴车x辆，则需租用中巴车（m﹣x）辆，根据大巴车所坐人数+中巴车所坐人数=总人数121，列出方程并解出方程即可；
（2）根据大巴总租金+中巴总租金≤6000列出不等式组，由3m﹣11 ≥0，可求出m的范围，由于 m为整数， 从而求出结论.
11．新冠疫情期间，某校九年级提前开学，根据政府疫情防控要求，学校后勤部老师购买了一批 口罩.由于疫情得到很好的拉制，七八年级的同学相继返校，学校后勤部老师又购买了一批一次性医用口罩，但物资清单不慎被墨汁覆盖，老师只记得 口罩的单价比一次性医用口罩的单价多12元，两次购买的数量相同.
疫情物资清单
口罩类型 单价（元/个） 总费用（元） 数量（个）
15000
一次性 3000
（1）两种类型口罩的单价备是多少元？
（2）后来一位爱心人士捐资6000元到学校用于购买口罩，学校还需要600个口罩，后勤部老师最多可以购买多少个 口罩？
【答案】（1）解：设一次性医用口罩的单价是x元， 口罩的单价（x+12）元.
由题意知：
解得：x=3，
检验：符合题意
口罩的单价= x+12=15元.
所以一次性医用口罩的单价是3元， 口罩的单价15元.
（2）解：设后勤部老师最多可以购买y个 口罩，则一次性口罩购买（600-y）个口罩.
由题意得：
解得：
所以，后勤部老师最多可以购买350个 口罩.
【解析】【分析】（1）设出未知数，根据总价除以单价=数量及两次购买的数量相同这一等量关系列出分式方程即可；
（2）设出未知数，总费用 元，列出不等式，解不等式即可.
12．观音桥的某水果店花费6000元购进淡雪草莓，另花费1000元购进牛奶草莓，淡雪草莓的进价是牛奶草莓的进价的2倍，淡雪草莓的数量比牛奶草莓的数量多100千克．
（1）求牛奶草莓每千克的进价；
（2）该水果店第一周以40元/千克的价格售出牛奶草莓3m千克，第二周每千克售价降低了0.5m元，售出20千克，第三周售价在第一周的基础上打七折，购进的牛奶草莓剩余部分全部售罄、若购进的牛奶草莓总利润不低于796元，求m的最小值．
【答案】（1）牛奶草莓每千克的进价为20元
（2）m的最小值为6
13．
（1）解不等式：x﹣4＜2（2x﹣1），并写出它的最小整数解；
（2）解不等式组： 并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）解：去括号得：x﹣4＜4x﹣2，
移项得：x﹣4x＜﹣2+4，
合并同类项得：﹣3x＜2，
系数化为1得：x＞
∴该不等式的最小整数解为0
（2）解： ，
解不等式①得x＜﹣1，
解不等式②得x＜3，
在数轴上表示出它们的解集为：
∴原不等式组的解集为x＜﹣1．
【解析】【分析】（1）先解不等式，再求解即可；
（2）先求出 x＜﹣1， 再求出 x＜3， 最后将解集在数轴上表示求解即可。
14．近些年全国各地频发雾霾天气，给人民群众的身体健康带来了危害，某商场看到商机后决定购进甲、乙两种空气净化器进行销售．若每台甲种空气净化器的进价比每台乙种空气净化器的进价少300元，且用6000元购进甲种空气净化器的数量与用7500元购进乙种空气净化器的数量相同．
（1）求每台甲种空气净化器、每台乙种空气净化器的进价分别为多少元？
（2）若该商场准备进货甲、乙两种空气净化器共30台，且进货花费不超过42000元，问最少进货甲种空气净化器多少台？
【答案】（1）解：设每台甲种空气净化器为x元，乙种净化器为(x+300)元，由题意得：
，
解得：x＝1200，
经检验得：x＝1200是原方程的解，
则x+300＝1500，
答：每台甲种空气净化器、每台乙种空气净化器的进价分别为1200元，1500元．
（2）解：设甲种空气净化器为y台，乙种净化器为(30﹣y)台，根据题意得：
1200y+1500(30﹣y)≤42000，
y≥10，
答：至少进货甲种空气净化器10台．
【解析】【分析】(1)设每台甲种空气净化器为x元，乙种净化器为(x+300)元，根据用6000元购进甲种空气净化器的数量与用7500元购进乙种空气净化器的数量相同，列出方程求解即可；(2)设甲种空气净化器为y台，乙种净化器为(30﹣y)台，根据进货花费不超过42000元，列出不等式求解即可．
15．如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，∠BDE=∠CDF，请你添加一个条件，使DE=DF成立.
（1）你添加的条件是
（2）在(1)的条件下，不再添加辅助线和字母，证明DE=DF
【答案】（1）答案不唯一，如AB=AC或∠B=∠C或∠BED=∠CFD，或∠AED=∠AFD等
（2）解：①若添加AB=AC，证明如下：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD(ASA)，
∴DE=DF；
②若添加∠B=∠C，证明如下：
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD(ASA)，
∴DE=DF；
③若添加∠BED=∠CFD，证明如下：
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD(ASA)，
∴DE=DF；
④若添加∠AED=∠AFD，证明如下：
∵∠AED=∠AFD，∠AED=∠B+∠BDE，∠AFD=∠C+∠CDF，
又∵∠BDE=∠CDF，
∴∠B=∠C，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD(ASA)，
∴DE=DF.
【解析】【解答】解：(1)答案不唯一，如AB=AC或∠B=∠C或∠BED=∠CFD，或∠AED=∠AFD等；
【分析】(1)答案不唯一，若添加AB=AC，根据AB=AC，推出∠B=∠C，根据ASA证出△BED和△CFD全等即可；或添加∠B=∠C，根据ASA证出△BED和△CFD全等即可；添加∠BED=∠CDF，根据AAS即可推出△BED和△CFD全等；根据∠AED=∠AFD推出∠B=∠C，根据ASA证△BED≌△CFD即可； (2)根据(1)中添加的条件结合三角形全等的判定方法进行证明即可.
16．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF.
（1）求证：ΔABC≌△DEF；
（2）若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数.
【答案】（1）证明：∵AC=AD+DC， DF=DC+CF，且AD=CF
∴AC=DF
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SSS）
（2）解：由（1）可知，∠F=∠ACB
∵∠A=55°，∠B=88°
∴∠ACB=180°－（∠A+∠B）=180°－（55°+88°）=37°
∴∠F=∠ACB=37°
【解析】【分析】（1）由等量加等量和相等可得AC=DF，然后用边边边可证△ABC≌△DEF；
（2）由全等三角形的性质可得∠E=∠B，∠EDF=∠A，然后用三角形内角和定理可求得∠F的度数。
17．如图，在等腰中，两条高线和交于点F，．
（1）你能在图中找到一对全等三角形吗？请说明理由；
（2）图中哪个三角形可以通过旋转得到另一个三角形？请说明是怎样旋转的．
【答案】（1）解：① ，理由如下：
， ，
， ，
， ，
，即 ，
为等腰三角形， ，
，
，
，
在 和 中，
，
；
② ，理由如下：
为等腰三角形， ，
， ，
在 和 中，
，
；
（2）解：由（1）知 ， ，
∴ 绕点E顺时针旋转 得到 或 绕点E逆时针旋转 得到 ．
【解析】【分析】（1） 由垂直的定义可得 ， ，利用余角的性质可得 ，从而可得 ，根据等腰三角形三线合一的性质可得 ，结合已知可得AF=BC，根据AAS证明△AEF≌△CEB；根据SSS证明△ABD≌△ACD；
（2） 由（1）知 ， 可得 绕点E顺时针旋转 得到 △CEB.
18．下面是小明同学解不等式组的过程，请认真阅读，完成相应的任务．
解：由不等式①，得． 第一步
解，得． 第二步
由不等式②，得． 第三步
移项，得． 第四步
解，得 第五步
所以，原不等式组的解集是． 第六步
（1）任务一：
小明的解答过程中，第 步开始出现错误，错误的原因是 ；
（2）第三步的依据是 ；
（3）任务二：
直接写出这个不等式组正确的解集是 ．
【答案】（1）五；化系数为1时没有变号
（2）去分母
（3）
【解析】【解答】（1）解：由题意得：
小明的解答过程中，第五步开始出现错误，则错误的原因是：化系数为1时没有变号，
故答案为：五，化系数为1时没有变号．
（2）第三步的依据是去分母，
故答案为：去分母．
（3）由不等式①，得，
解得，
由不等式②，得，
移项合并得，
解得，
∴原不等式组的解集为：．
【分析】（1）根据化系数为1时没有变号，求解即可；
（2）根据不等式的性质求解即可。
（3）利用不等式的性质求出原不等式组的解集为：.
19．下面是小明完成“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得//．（不写作法，保留作图痕迹）
如图，直线PQ就是所求直线．
（1）根据作图痕迹，填空：
①AC是的 ▲ ，② ▲ ；
（2）根据作图痕迹，说明直线PQ与l为什么平行？
【答案】（1）①角平分线； ②PQ
（2）解：∵AC是的角平分线
∴∠PAC=∠BAC
∵PA=PQ
∴∠PAC=∠PCA
∴∠PCA=∠BAC
∴PQ//l（内错角相等，两直线平行）．
【解析】【解答】（1）解：①由作图过程可知AC是的角平分线
故答案为：角平分线．
②由作图过程可知PA=PQ
故答案为：PQ．
【分析】（1）利用角平分线的定义求解即可；
（2）先求出 ∠PAC=∠BAC ，再求出 ∠PCA=∠BAC ，最后证明求解即可。
20．某物流公司现有114吨货物，计划租用A，B两种车，经理发现一个运货货单上的一个信息是：
A型车（满载） B型车（满载） 运货总量
3辆 2辆 38吨
1辆 3辆 36吨
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）若物流公司打算一次运完，且恰好每辆车都装满货物．请你帮该物流公司设计租车方案：
（3）若A型车每辆需租金800元/次，B型车每辆需租金1000元/次．公司预算支出12000元．经理让会计小李和小王核算一下具体运费．请你帮他们算算，最少租车费是元，此时租车方案是(直接写出答案)
【答案】（1）解：设1辆型车和1辆型车一次分别可以运货吨，吨，
根据题意得：，
解得：，
则1辆型车和1辆型车一次分别可以运货6吨，10吨；
（2）解：∵某物流公司现有114吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，，
则有，
解得：，
∵为正整数，
．
∵为正整数，
∴，
∴．
∴满足条件的租车方案一共有3种，
即租用型车4辆，型车9辆，
租用型车9辆，型车6辆，
租用型车14辆，型车3辆．
（3）最少租车费为12200元；租用型车4辆，型车9辆
【解析】【解答】解：∵型车每辆需租金800元/次，型车每辆需租金1000元/次，
当，租车费用为：元；
当，租车费用为：元；
当，租车费用为：元．
，
∴最少租车费为12200元；租用型车4辆，型车9辆．
【分析】（1）设1辆型车和1辆型车一次分别可以运货吨，吨，根据题意，列出方程组，求出方程组的解得到与的值，即可得到答案；
（2）根据某物流公司现有114吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，列出方程，确定出的范围，结合为整数，确定出的值，即可确定出具体租车方案．
（3）根据（2）中求出的几个租车方案，分别得出租车费，比较大小，即可得到答案.
21．将两个直角三角形如图1摆放，已知，，，射线平分．
（1）如图1，当三点共线时，的度数为 ．
（2）如图2，将绕点C从图1的位置开始顺时针旋转，旋转速度为每秒，设时间为，作射线平分．
①若，的度数是否改变？若改变，请用含t的代数式表示；若不变，请说明理由并求出值．
②若，当t为何值时，？请直接写出t的值．
【答案】（1）
（2）解：①的度数为，保持不变，理由如下：
由（1）知，
旋转速度为每秒，
，
当时，在左侧，如下图所示：
由题意知，
，
平分，平分，
，，
，
【解析】【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∠DCE=45°，
∴∠BCE=∠ACB-∠DCE=45°，
∵CM平分∠BCE，
∴∠BCM=∠BCE=22.5°，
∴∠DCM=∠ACB-∠BCM=67.5°；
故答案为：67.5；
（2）②当时，在右侧，在左侧，如下图所示：
由题意知，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
解得．
【分析】（1）由角的和差得∠BCE=∠ACB-∠DCE=45°，由角平分线的定义得∠BCM=∠BCE=22.5°，进而根据∠DCM=∠ACB-∠BCM可算出答案；
（2）①∠MCN 的度数为67.5°，保持不变，理由如下：由题意易得当时，CE在CB左侧，∠ACD=6t°，由角的和差得∠BCE=45°-6t°，由角平分线的定义得∠NCD=∠ACD=3t°，∠ECM=∠BCE=22.5°-3t°，进而根据∠MCN=∠NCD+∠DCE+∠MCE，列式计算即可得出结论；
②当时，CE在CB右侧，CD在CB左侧，由题意得∠ACD=6t°，由角的和差得∠BCE=6t°-45°，由角平分线的定义得∠NCA=∠ACD=3t°，∠ECM=∠BCE=3t°-22.5°，由角的和差得∠BCN=90°-3t°，∠DCN=67.5°-3t°，进而根据∠BCN=2∠DCM列出方程，求解可得答案.
22．
（1）解不等式 ，并把它的解集表示在数轴上.
（2）
【答案】（1）解：
在数轴上表示解集如下：
（2）解：
解：解不等式①得
解不等式②得
不等式组的解集为
在同一数轴上表示不等式①②的解集如图所示：
【解析】【分析】（1）先去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1，求出不等式的解集，再根据数轴上表示不等式的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”在数轴上表示出来即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据“大小小大取中间”求出不等式组的解集，进而根据数轴上表示不等式的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”在数轴上表示出来即可.
23．某市教育局对某镇实施“教育精准扶贫”，为某镇建了中、小两种图书馆.若建立 个中型图书馆和 个小型图书馆需要 万元，建立 个中型图书馆和 个小型图书馆需要 万元.
（1）建立一个中型图书馆和一个小型图书馆各需要多少万元？
（2）现要建立中型图书馆和小型图书馆共 个，小型图书馆的数量不多于中型图书馆的数量，且总费用不超过 万元，请问有几种方案？哪种方案所需费用最少？
【答案】（1）解：设建立一个中型图书馆需要x万元，一个小型图书馆需要y万元，
依题意得： ，
解得： ，
答：建立一个中型图书馆需要5万元，一个小型图书馆需要3万元.
（2）解：设建立m个中型图书馆，则建立（10-m）个小型图书馆，
依题意得： ，
解得：5≤m≤ ，
又∵m为整数，
∴m可以取5，6，7，
∴共有3种建立方案，
方案1：建立5个中型图书馆，5个小型图书馆，该方案所需费用为5×5+3×5=40（万元）；
方案2：建立6个中型图书馆，4个小型图书馆，该方案所需费用为5×6+3×4=42（万元）；
方案3：建立7个中型图书馆，3个小型图书馆，该方案所需费用为5×7+3×3=44（万元）.
∵40＜42＜44，
∴有3种建立方案，方案1所需费用最少.
【解析】【分析】（1）设建立一个中型图书馆需要x万元，一个小型图书馆需要y万元， 根据“ 建立3个中型图书馆和5个小型图书馆需要30万元，建立2个中型图书馆和3个小型图书馆需要19万元 ”，列出二元一次方程组求解即可；
（2）设建立m个中型图书馆， 根据小型图书馆的数量不多于中型图书馆的数量，且总费用不超过 45万元，列出关于m的不等式组求解，在其范围内取整数，分别求出每种方案的费用，再比较即可解答.
24．小明准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈（篱笆全部用完），用于饲养家兔.已知第一条边长为a米，第二条边长是第一条边长的2倍多2米.
（1）请用a的代数式表示第三条边长；
（2）第一条边长可以为7米吗？为什么？
（3）如果围成的三角形是等腰三角形，求a的值.
【答案】（1）解：∵第二条边长为（2a+2）米，
∴第三条边长为30﹣a﹣（2a+2）＝（28﹣3a）米；
（2）解：不能，理由如下：
当a＝7时，三边长分别为7，16，7，
由于7+7＜16，所以不能构成三角形，
即第一条边长不能为7米；
（3）解：根据题意，需要分以下三种情况：
当a＝2a+2时，a＝﹣2，不合题意，不能构成等腰三角形；
当a＝28﹣3a时，a＝7，则该三角形的三边为：7，16，7，由于7+7＜16，所以不能构成三角形；
当2a+2＝28﹣3a时，a＝ ，则该三角形的三边为： ， ， ，由于0＜ ＜ ，所以能构成等腰三角形；
综上所述，当a＝ 时，能构成等腰三角形.
【解析】【分析】（1） 由第二条边长是第一条边长的2倍多2米，可得第二条边长为（2a+2）米，根据第三边长=总长-第一条边长-第二条边长计算即可；
（2）根据三角形三边关系解答即可；
（3）根据等腰三角形的性质分三种情况：①第一条边长=第二条边长；②第一条边长=第三条边长；③第三条边长=第二条边长，据此分别求解即可.
25．如图，点 、 、 、 在一条直线上，已知 ，且 ， ．
（1）求证： ≌ ；
（2）若 ， ，求线段 的长．
【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ≌ （ASA）
（2）解：由（1）得 ≌ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质，可得≌；
（2）根据全等三角形的性质，可得AC=FD=27cm，由计算即得.
26．为改善教学条件，学校准备对现有多媒体设备进行升级改造，已知购买3个键盘和1个鼠标需要190元；购买2个键盘和3个鼠标需要220元；
（1）求键盘和鼠标的单价各是多少元？
（2）经过与经销商洽谈，键盘打八折，鼠标打八五折．若学校计划购买键盘和鼠标共50件，且总费用不超过1820元，则最多可购买键盘多少个？
【答案】（1）解：设键盘的单价为 元/个，鼠标的单价为 元/个，
根据题意得： ，
解得： ．
答：键盘的单价为50元/个，鼠标的单价为40元/个．
（2）解：设购买键盘 个，则购买鼠标（50﹣ ）个， 根据题意得：50×0.8m+40×0.85（50﹣m）≤1820，
解得：m≤20．
答：最多可购买键盘20个．
【解析】【分析】（1）设键盘的单价为 元/个，鼠标的单价为 元/个，根据“购买3个键盘和1个鼠标需要190元；购买2个键盘和3个鼠标需要220元”，即可得出关于 ， 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买键盘m个，则购买鼠标（50 m）个，根据总价＝单价×折扣率×数量结合总费用不超过1820元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论．
27．（1）分解因式：．
（2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
把解集在数轴上表示如图所示：
【解析】【分析】（1）利用提公因式法和完全平方公式分解因式即可；
（2）利用不等式的性质求出不等式的解集x≤2，再将解集在数轴上表示即可。
28．如图， 在平面直角坐标系中， ， ， ．
（1） 与 关于 轴对称，请画出 ，并写出点 ， ， 的坐标；
（2）求 的面积．
【答案】（1）解：作 ，
， ， ；
（2）解： ，
，
.
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质，即可得到△A1B1C1进而得到点A1，B1，C1的坐标；
（2）根据割补法进行计算，即可得到三角形△A1B1C1的面积。
29．已知的三边长分别为，，8．
（1）求的取值范围；
（2）如果是等腰三角形，求的值．
【答案】（1）解：由题意得，
解得2（2）解：当m+2=2m时，解得m=2（不和题意，舍去）；
当m+2=8时，解得m=6，符合题意；
当2m=8时，解得m=4，符合题意；
∴如果是等腰三角形，的值为6或4．
【解析】【分析】（1）利用三角形三边的关系列出不等式组，再求解即可；
（2）分三种情况，再利用等腰三角形的性质求解即可。
30．某公司计划从商店购买台灯和手电筒，已知台灯的单价比手电筒的单价高50元，用240元购买台灯的数量和用90元购买手电筒的数量相等．
（1）求购买一盏台灯、一个手电筒各需要多少元？
（2）经商谈，商店给予该公司购买一盏台灯赠送一个手电筒的优惠．如果公司需要手电筒的数量是台灯数量的2倍还多8个，且购买台灯和手电筒的总费用不超过2440元，那么公司最多可购买多少盏台灯？
【答案】（1）解：设购买该品牌一个手电筒需要x元，则购买一个台灯需要元，
根据题意得
解得
经检验，是原方程的解
所以
答：购买一个台灯需要80元，购买一个手电筒需要30元；
（2）解：设公司购买台灯的个数为a，则还需要购买手电筒的个数是，
由题意得：
解得
答：公司最多可购买20个该品牌的台灯．
【解析】【分析】（1）设购买该品牌一个手电筒需要x元，则购买一个台灯需要元，根据题意列出方程，再求解即可；
（2）设公司购买台灯的个数为a，则还需要购买手电筒的个数是，根据题意列出不等式，再求解即可。
31．
（1）当 取何值时，代数式 与 的值的差大于 ？
（2）解不等组： （注意：用数轴确定不等式组的解集）
【答案】（1）解：根据题意，得
去分母，得
去括号，得
即
两边都除以-7，得 ；
（2）解：
解不等式①得
解不等式②得
如图，在同一数轴上表示不等式①、②的解集.可知这个不等组无解.
【解析】【分析】（1）令 与 的值的差大于 ，可得一元一次不等式，经历去分母 、 去括号 、 移项 、 合并同类项 、 系数化为1，可求解原不等式；
（2）分别求解两个不等式，进而根据在数轴上表示解集的三个步骤：①画数轴（注意正方向、原点、单位长度）；②定介点（有等号为实心，无等号为空心）；③定方向（大于朝右，小于朝左）可得结果.
32．某商场第一次用 元购进某款机器人进行销售，很快销售一空，商家又用 元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的 倍，但单价贵了 元．
（1）求该商家第一次购进机器人多少个？
（2）若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于 不考虑其他因素 ，那么每个机器人的标价至少是多少元？
【答案】（1）解：设该商家第一次购进机器人 个，依题意得：
+10=
解得 =100．
经检验 =100是原方程的解．
答：该商家第一次购进机器人100个．
（2）解：设每个机器人的标价是 元．则依题意得：
解得 ．
答：每个机器人的标价至少是140元．
【解析】【分析】（1）设该商家第一次购进机器人 x 个，根据“所购进数量是第一次的 2 倍，但单价贵了 10 元”列出分式方程解答即可；（2）设每个机器人的标价是 y 元，根据“全部销售完毕的利润率不低于 ”列出不等式解答即可．
33．今年疫情防控期间.某小区卫生所决定购买A，B两种口罩.以满足小区居民的需要.若购买A种口罩9包，B种口罩4包，则需要700元；若购买A种口罩3包.B种口罩5包.则需要380元.
（1）购买人A，B两种口罩每包各需名少元？
（2）卫生所准备购进这两种口罩共90包，并且A种口罩包数不少于B种口罩包数的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由.
【答案】（1）解：设A口罩的单价为x元/包，B口罩单价为y元/包，由题意可得：
，解得：
答：A口罩每包60元，B口罩每包40元；
（2）设购进B口罩m包，则购进A口罩（90-m）个，由题意可知
，解得：
由（1）可知，B口罩单价小于A口罩，
∴A口罩购进的越少越省钱
∴当m=60时，最省钱
即购进A口罩60包，B口罩30包时最省钱.
【解析】【分析】（1）设A口罩的单价为x元/包，B口罩单价为y元/包，根据购买A种口罩9包，B种口罩4包，则需要700元；若购买A种口罩3包，B种口罩5包，则需要380元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）购进B口罩m包，则购进A口罩（90-m）个，根据A种口罩包数不少于B种口罩包数的2倍，即可得出关于m的一元一次不等式，求得m的取值范围，然后结合两种口罩的单价分析求得省钱方案.
34．已知：在 和 中， ， ．
（1）如图1，若 ，求证： ；
（2）如图2，若 ，求 的度数．
【答案】（1）证明：
，
在 和 中，
，
，
，
（2）解：同理得： ，
，
又 ，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）利用“SAS”证明，利用全等三角形的性质可得到DC=BE；
（2）同（1）利用“SAS”证明，利用三角形的内角和定理和三角形的外角之间的关系即可求出∠DOB的度数。
35．某社区原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型转运站和10个B型转运站处理．已知一个A型转运站比一个B型转运站每天多处理7吨生活垃圾．
（1）每个A型或B型转运站每天处理生活垃圾各多少吨？
（2）由于垃圾分类要求的提高，每个转运站每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该社区每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型转运站共5个，试问至少需要增设几个A型转运站才能当日处理完所有生活垃圾？
【答案】（1）解：设每个B型转运站每天处理生活垃圾x吨，则每个A型转运站每天处理生活垃圾吨．
根据题意可得，，
解得：．
答：每个B型点位每天处理生活垃圾38吨；
（2）解：设需要增设y个A型转运站才能当日处理完所有生活垃圾，
由（1）得每个A型转运站每天处理生活垃圾45吨，
分类要求提高后，每个A型点位每天处理生活垃圾（吨），
每个B型转运站每天处理生活垃圾（吨），
根据题意可得：，
解得，
∵y是正整数，∴符合条件的y的最小值为3，
答：至少需要增设3个A型转运站才能当日处理完所有生活垃圾．
【解析】【分析】（1）设每个B型转运站每天处理生活垃圾x吨，则每个A型转运站每天处理生活垃圾吨出，根据题意列出方程，解之即可；
（2） 设需要增设y个A型转运站才能当日处理完所有生活垃圾， 根据题意列出不等式组，解之求出最小整数解即可。
36．已知：如图，，相交于点O，，.
求证：
（1）
（2）.
【答案】（1）证明：在△ABO与△DCO中，
∵，
∴（AAS）
（2）证明：∵，
∴OB=OC，
∴.
【解析】【分析】（1）由对顶角的性质可得∠AOB=∠COD，结合已知条件AB=DC，∠ABO=∠DCO，用全等三角形的判定方法AAS进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得OB=OC，然后根据等腰三角形的性质可得结论.
37．
（1）解方程：
（2）已知等腰三角形的两边长为5cm和4cm，求它的周长．
【答案】（1）解：，
方程两边同时乘以：得，
，
检验：时，，
∴是原方程的解；
（2）解：等腰三角形的两边长分别为4cm和5cm，
①当腰长是5cm时，则三角形的三边是5cm，5cm，4cm，
，满足三角形的三边关系，
∴三角形的周长是（cm）；
②当腰长是4cm时，三角形的三边是4cm，4cm，5cm，
，满足三角形的三边关系．
∴三角形的周长是（cm）；
综上，三角形的周长为14cm或13cm．
【解析】【分析】（1）先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可；
（2）根据等腰三角形的性质及三角形三边的关系求解即可。
38．如图，在中，，点D、E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转后得CF，连接EF．
（1）补充完成图形；
（2）若，求证：．
【答案】（1）解：所补图形如图所示：
（2）解：由旋转的性质得：，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
在和中， ，
∴．
∴．
【解析】【分析】（1）根据题意，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转后得CF，连接EF，补充完成图形即可；
（2）由旋转的性质得：，由 得到 ，可证，即。
39．如图，已知∠ABC＝∠ADC，AB∥CD，E为射线BC上一点，AE平分∠BAD.
（1）如图1，当点E在线段BC上时，求证：∠BAE＝∠BEA.
（2）如图2，当点E在线段BC延长线上时，连接DE，若∠ADE＝3∠CDE，∠AED＝60°，求∠CED的度数.
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°.
∵∠B＝∠D，
∴∠C+∠D＝180
∴AD∥BC.
∴∠DAE＝∠BEA.
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE.
∴∠BAE＝∠BEA.
（2）解：∵∠ADE＝3∠CDE，设∠CDE＝x，
∴∠ADE＝3x，∠ADC＝2x.
∵AB∥CD，
∴∠BAD＋∠ADC＝180
∴
由（1）可知： ，
∵AD∥BC
∴∠BED+∠ADE＝180°
∴
∵∠AED＝60°，
即 ，
∴∠CDE＝x＝15°，∠ADE＝45°.
∵AD∥BC.
∴
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质求出∠DAE=∠BEA，由AE平分∠BAD得∠BAE=∠DAE，从而得出结论.（2）由根据∠ADE=3∠CDE设∠CDE=x°，∠ADE=3x°，∠ADC=2x°，根据平行线的性质得出方程 ，求出x即可.
40．某商场为做好“家电下乡”的惠民服务，决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电视机108台，其中甲种电视机的台数是丙种的4倍，购进三种电视机的总金额不超过147 000元，已知甲、乙、丙三种型号的电视机的出厂价格分别为1 000元/台，1 500元/台，2 000元/台.
（1）求该商场至少购买丙种电视机多少台？
（2）若要求甲种电视机的台数不超过乙种电视机的台数，问有哪些购买方案？
【答案】（1）解：设购买丙种电视机x台，则购买甲种电视机4x台，购买乙种电视机（108﹣5x）台，
根据题意，得1000×4x+1500×（108﹣5x）+2000x≤147000
解这个不等式得
x≥10
因此至少购买丙种电视机10台；
（2）解：甲种电视机4x台，购买乙种电视机（108﹣5x）台，根据题意，
得4x≤108﹣5x
解得x≤12
又∵x是正整数，由（1）得
10≤x≤12
∴x＝10，11，12，因此有三种方案.
方案一：购进甲，乙，丙三种不同型号的电视机分别为40台，58台，10台；
方案二：购进甲，乙，丙三种不同型号的电视机分别为44台，53台，11台；
方案三：购进甲，乙，丙三种不同型号的电视机分别为48台，48台，12台.
【解析】【分析】（1）设购买丙种电视机x台，则购买甲种电视机4x台，购买乙种电视机（108﹣5x）台，根据“购进三种电视机的总金额不超过147000元”作为不等关系列不等式即可求解；（2）根据“甲种电视机的台数不超过乙种电视的台数”作为不等关系列不等式4x≤108﹣5x，结合着（1）可求得x的取值范围，求x的正整数解，即可求得购买方案.
41．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E点．
（1）当∠BDA=115°时，∠BAD= °，∠DEC= °；
（2）当DC等于多少时，△ABD与△DCE全等？请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
【答案】（1）25；115
（2）解：当 时， ．理由如下：
， ，又 ， ， ．
在 和 中， ， ，当 时， ，
（3）解： ， ，分三种情况讨论：
①当 时， ， ， 此时不符合；
②当 时，即 ， ， ；
；
③当 时， ， ， ；
当 或 时， 是等腰三角形．
【解析】【解答】（1）在 中， ， ， ， ．
， ， ， ．
故答案为： ， ；
【分析】（1）根据三角形内角和定理，将已知数值代入即可求出 ，根据平角的定义，可求出 的度数，根据三角形内和定理，即可求出 ．（2）当 时，利用 可证明 ，即可得出 ．（3）假设 是等腰三角形，分为三种情况讨论：①当 时， ，根据 ，得出此时不符合；②当 时，求出 ，求出 ，根据三角形的内角和定理求出 ，根据三角形的内角和定理求出 即可；③当 时，求出 ，求出 ，根据三角形的内角和定理求出 ．
42．已知 是边长为4的等边三角形，点D是射线BC上的动点，将AD绕点A逆时针方向旋转 得到AE，连接DE.
（1）.如图，猜想 是 三角形；（直接写出结果）
（2）.如图，猜想线段CA、CE、CD之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）①当BD= 时， ；（直接写出结果）
②点D在运动过程中， 的周长是否存在最小值？若存在.请直接写出 周长的最小值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）等边三角
（2）解： ，
证明：由旋转的性质可知， ，
是等边三角形
，
，
，即 ，
在 和 中，
，
，
（3）①2或8 ②点 在运动过程中， 的周长存在最小值，最小值为 ， 理由如下： ， ， 则 的周长 ， 当 最小时， 的周长最小， 为等边三角形， ， 的最小值为 ， 的周长的最小值为
【解析】【解答】解：（1）由旋转变换的性质可知， ，
是等边三角形，
故答案为：等边三角形
（ 3 ）① 为 或 时， ，
当点 在线段 上时， ，
，
，
，
，
，
当点 在线段 的延长线上时， ，
，
，
，
，
，
为 或 时，
【分析】（1）根据旋转的性质得到 ，根据等边三角形的判定定理解答；（2）证明 ，根据全等三角形的性质得到 ，结合图形计算即可；（3）①分点 在线段 上和点 在线段 的延长线上两种情况，根据直角三角形的性质解答；②根据 得到 ，根据垂线段最短解答.
43．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，以线段OA为边在第四象限内作等边三角形△AOB，点C为x正半轴上一动点(OC＞1)，连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E.
（1）求证：△OBC≌△ABD
（2）在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果变化，请说明理由。
（3）当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？
【答案】（1）证明：∵△AOB、△CBD都是等边三角形
∴ BO=BA，BC=BD， ∠OBA=∠CBD=600
∴ ∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC
∴ ∠OBC=∠ABD
∴ △OBC≌△ABD
（2）解：在点C的运动过程中，∠CAD的度数不会变化，理由如下：
∵ △AOB是等边三角形
∴ ∠BOA =∠OAB=60°
∵ △OBC≌△ABD
∴ ∠BAD =∠BOC= 60°
∴ ∠CAD=180°-∠0AB-∠BAD= 60°
（3）解：∵A(1，0)
∴ OA=1
∵∠EOA=90°，∠EAO=∠CAD=60°
∴ ∠OEA=30°
∴ AE=2OA=2
∵ ∠EAC=180°-∠EAO=120°
∴ 当以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE、AC是腰
∴ AE=AC=2
∴
OC=OA+AC=3
∴当点C运动到(3，0)时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形。
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的边、角性质，利用SAS即可证明；
（2）由（1）的结果可知∠BAD =∠BOC= 60° ，而∠OAB=60°，利用角的和差即可判断解答；
（3）一方面由（2）的根据可知∠EAC=120°，故只有当AE=AC时△AEC才是等腰三角形，另一方面在Rt△EOA中，由∠EAO=∠CAD=60°，利用含30°的直角三角形的性质可得AE的长，从而得AC的长，据此即可解答。
44．如图，在四边形ABCD中，AD=BC=12，AB=CD，BD=15，点E从D点出发，以每秒4个单位的速度沿D→A→D匀速移动，点F从点C出发，以每秒1个单位的速度沿CB向点B作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t秒．
（1）试说明：AD∥BC；
（2）在移动过程中，小明发现有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时的移动时间t和G点的移动距离．
【答案】（1）证明：在△ABD和△CDB中， ，
∴△ABD≌△CDB，
∴∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC，
（2）解：设G点的移动距离为y，
∵AD∥BC，
∴∠EDG=∠FBG，
若△DEG与△BFG全等，
则有△DEG≌△BFG或△DGE≌△BFG，
可得：DE=BF，DG=BG；或DE=BG，DG=BF，
①当E由D到A，
即0＜t≤3时，有4t=12﹣t，解得：t=2.4，
∵y=15﹣y，
∴y=7.5，
或4t=y，解得：t=1，
∵12﹣t=15﹣y，∴y=4，
②当F由A返回到D，即3＜t≤6时，有24﹣4t=12﹣t，解得：t=4，
∵y=15﹣y，∴y=7.5，
或24﹣4t=y，解得：t=4.2
∵12﹣t=15﹣y，y=7.2，
综上可知共有三次，移动的时间分别为1秒、2.4秒、4秒、4.2秒，
移动的距离分别为4、7.5、7.5、7.2．
【解析】【分析】（1）由AD=BC=12，AB=CD，BD为公共边，所以可证得△ABD≌△CDB，所以可知∠ADB=∠CBD，所以AD∥BC；（2）设运动时间为t，设G点的移动距离为y，根据全等三角形的性质进行解答即可．
45．
（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状并说明理由．
【答案】（1）解：如图1，
∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE
（2）解：如图2，
∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE
（3）解：如图3，
由（2）可知，△ADB≌△CEA，
∴BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF，
∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF＝∠FAE，
∵在△DBF和△EAF中，
，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，
∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，
∴△DEF为等边三角形．
【解析】【分析】（1）根据题意，结合三角形全等的判定定理，即可求得三角形BDA≌三角形AEC，根据全等三角形的对应边相等，即可得到DE=BD+CE。
（2）根据修改后的条件，由三角形全等的判定定理，即可证明△ADB≌△CEA，同样可以证明DE=BD+CE。
（3）根据（2）中的推导结论，即可得到△ADB≌△CEA，根据等边三角形的性质以及三角形判定的定理，即可证明△DBF≌△EAF，根据全等三角形的性质证明三角形DEF为等边三角形即可。
46．在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，△ABC绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），点A、B的对应点分别是点D、E．
（1）如图1，当点D恰好落在边AB上时，试判断DE与AC的位置关系，并说明理由．
（2）如图2，当点B、D、E三点恰好在一直线上时，旋转角α= °，此时直线CE与AB的位置关系是 ．
（3）在（2）的条件下，联结AE，设△BDC的面积S1，△AEC的面积S2，则S1与S2的数量关系是 ．
（4）如图3，当点B、D、E三点不在一直线上时，（3）中的S1与S2的数量关系仍然成立吗？试说明理由．
【答案】（1）解：DE∥AC．理由：
∵△ABC旋转后与△DCE全等，
∴∠A=∠CDE，AC=DC．
∵∠BAC=60°，AC=DC，
∴△DAC是等边三角形．
∴∠DCA=60°．
又∵∠CDE=∠BAC=60°，
∴∠DCA=∠CDE=60°，
∴DE∥AC．
（2）120；EC⊥AB
（3）S1=S2
（4）解：S1=S2仍然成立，理由如下：
如图3所示：过D作DH⊥BC于H，过A作AG⊥EC交EC的延长线于G．
∵DH⊥BC，AG⊥EC，
∴∠AGC=∠DHC=90°
∵△ABC旋转后与△DCE全等
∴∠ACB=∠DCE=90°，AC=DC，BC=CE．
∵∠ACE+∠BCD=180°，∠GCA+∠ECA=180°，
∴∠ACG=∠DCH，
又∵∠AGC=∠DHC，AC=DC，
∴△AGC≌△DHC，
∴AG=DH，
∴ EC AF= CB DG，即S1=S2．
【解析】【解答】（2）120°；EC⊥AB，理由如下：
如图2，延长EC交AB于点F，
∵在△ABC中，由∠C=90°，∠BAC=60°，
∴∠ABC=30°，
由旋转的性质可得：CE=BE，∠E=∠ABC=30°，
∵B、D、E的三点在同一直线上，
∴∠CBE=∠E=30°，
∴旋转角∠BCE=120°，
又∵∠BCE=∠ABC+∠BFC，∠ABC=30°，
∴∠BFC=120°-30°=90°，
∴EC⊥AB于点F（3）S1=S2，理由如下：
如图2，连接AE，过点D作DH⊥BC于点H，
∴∠AFC=∠DHC=90°，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACF=∠DCH，
又∵AC=DC，
∴△ACF≌△DCH，
∴AF=DH，
又∵EC=BC，
∴ CE·AF= BC·DH，即S1=S2；
【分析】（1）由旋转的性质可得∠EDC=∠BAC，DC=AC结合∠BAC=60°，可得△ADC是等边三角形，从而可得∠DCA=∠EDC=60°，由此可得DE∥AC；（2）如图2，在△ABC中，由∠C=90°，∠BAC=60°可得∠ABC=30°，延长EC交AB于点F，由旋转的性质可得CE=BE，∠E=∠ABC=30°，结合B、D、E的三点在同一直线上可得∠CBE=∠E=30°，从而可得旋转角∠BCE=120°，结合∠BCE=∠ABC+∠BFC，∠ABC=30°，可得∠BFC=90°，从而可得EC⊥AB；（3）如图2，过点D作DH⊥BC于点H，由∠DCF=∠ACB=90°易得∠ACF=∠DCH，结合∠AFC=∠DHC=90°，AC=DC可得△ACF≌△DCH，从而可得AF=DH，结合BC=EC即可得到S1=S2；（4）如图3，过D作DH⊥BC于H，过A作AG⊥EC交EC的延长线于G，与（3）同理可得△AGC≌△DHC，从而可得AG=HD，结合EC=BC即可得到S1=S2仍然成立.
47．某中学准备组织七年级160名学生参加社会实践活动，租用35座和45座两种客车共四辆，每种客车至少租1辆，可以坐不满.
（1）参加本次活动至少需几辆45座客车
（2）如果35座客车的租金为每辆300元，45座客车的租金为每辆400元，要想使全部租车的费用不超过1550元，则有几种租车的方案？哪种方案最省钱？
【答案】（1）解：设需要45座客车x辆，则35座客车需要（4-x）辆，根据题意
解得
∴参加本次活动至少需2辆45座客车
（2）解：设需要45座客车x辆，则35座客车需要（4-x）辆，根据题意
解得：
∵x必须为非负整数
∴x可以取2或3
所以有2种租车方案：
租35座客车2辆，45座客车2辆，此时费用为300×2+400×2=1400元
租35座客车1辆，45座客车3辆，此时费用为300×1+400×3=1500元
∵1400＜1500
所以共2种方案，选择租2辆35座客车，2辆45座客车最省钱.
【解析】【分析】(1) 设需要45座客车x辆，则35座客车需要（4-x）辆， 根据载客量不少于160列出不等式求解即可；
(2) 设需要45座客车x辆，则35座客车需要（4-x）辆， 根据载客量不少于160，总费用不多于1550列出不等式组求出x的范围，然后在x的范围内取非负整数即可得出方案，最后分别计算费用即可.
48．综合与实践
（1）实践操作： 中， ，D为直线 上一点，过D点作 ，与直线 相交于点E，如图①，图②，图③所示，则 的形状为 .
（2）问题解决：等腰三角形是一种特殊的三角形，常与全等三角形的相关知识结合在一起解决问题.如图④， 中， ，E为 上一点，F为 延长线上一点，且 ， 交 于D，求证： .
（3）拓展与应用，在（2）的条件下，如图⑤，过点E作 的垂线，垂足为M，若 ，则 的长为 .
【答案】（1）等腰三角形
（2）证明：过点E作 交BC于点G，如图④-1所示：
∵
∴ ，
∴
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
（3）3
【解析】【解答】解：（1）∵
∴
在图①中：
∵
∴
∴
∴
∴ 为等腰三角形；
在图②中：
∵
∴
∵
∴
∴ 为等腰三角形；
在图③中：
∵
∴
∴
∴
∴ 为等腰三角形；（3）过点E作 交BC于点G，如图⑤-1所示：
由（2）中可得
∵ ，且
∴
∴
【分析】（1）根据平行线的性质证得角相等再进行判断即可；（2）过点E作 交BC于点G，先根据平行线的性质证得 ， ，再根据等腰三角形性质得出EG=FC，然后证的 ，最后根据全等三角形的性质即可证明；（3）过点E作 交BC于点G，根据（2）中可得 ，再根据等腰三角形性质得 即可求解.
49．如图，，都是等边三角形，，．
（1）求证：；
（2）猜想，的位置关系，并证明；
（3）若将“，”改为“，”，其他条件不变，请直接写出的度数 （用含n的式子表示）．
【答案】（1）证明：如图所示，
∵，都是等边三角形，
∴，，，
∴．
∴，
∴，
∴．
（2）解：猜想：．
证明：∵，
∴．
∵在和中，，
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴在中，．
∴
∴．
（3）120°-60°n
【解析】【解答】解：（3）由（2）得：∵，，
∴．
∴在中，．
∴
．
【分析】（1）利用等边三角形的性质，可证，利用全等三角形的性质即得结论；
（2）由可得， 利用三角形内角和及对顶角相等可推出∠1=∠BGF=60°，根据三角形外角的性质可得， 结合已知求出∠ABE+∠ACD=30°，由三角形内角和得，从而推出∠BAC=90°，即得结论；
（3）由（2）得，，从而得出，在
中知，据此即可求解．
50．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝3cm，∠B＝30°，点D在BC边上由C向B匀速运动（D不与B、C重合），匀速运动速度为1cm/s，连接AD，作∠ADE＝30°，DE交线段AC于点E.
（1）在此运动过程中，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；D点运动到图1位置时，∠BDA＝75°，则∠BAD＝ .
（2）点D运动3s后到达图2位置，则CD＝ .此时△ABD和△DCE是否全等，请说明理由；
（3）在点D运动过程中，△ADE的形状也在变化，判断当△ADE是等腰三角形时，∠BDA等于多少度（请直接写出结果）
【答案】（1）大；75°
（2）3cm；△ABD和△DCE全等，理由：点D运动3s后到达图2位置，CD=3cm，此时△ABD≌△DCE， 理由如下：∵AB=AC，∠B=30°， ∴∠C=30°， ∵CD=CA=3cm， ∴∠CAD=∠CDA= ×（180°-30°）=75°， ∴∠ADB=105°，∠EDC=75°-30°=45°， ∴∠DEC=180°-45°-30°=105°， ∴∠ADB=∠DEC， 在△ABD和△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（ASA）.
（3）解：△ADE为等腰三角形分三种情况：
①当AD=AE时，∠ADE=30°，
∴∠AED=∠ADE=30°，∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=120°，
∵∠BAC=180°-∠B-∠C=120°，D不与B、C重合，
∴AD≠AE；
②当DA=DE时，∠ADE=30°，
∴∠DAE=∠DEA= （180°-∠ADE）=75°，
∴∠BDA=∠DEC=180°-∠AED=105°；
③当EA=ED时，∠ADE=30°，
∴∠EAD=∠EDA=30°，
∴∠AED=180°-∠EAD-∠EDA=120°，
∴∠BDA=∠DEC=180°-∠AED=60°，
综上可知：在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形，此时∠BDA的度数为60°或105°
【解析】【解答】解：（1）在此运动过程中，∠BDA逐渐变大，
D点运动到图1位置时，∠BAD=180°-∠B-∠BDA=75°，
故答案为：大；75°；
【分析】（1）根据点D的运动情况判断∠BDA的变化情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠BAD；
（2） △ABD和△DCE全等，理由如下：根据点D的运动情况求出CD，进而根据等腰三角形的性质及角的运算得出 ∠ADB=∠DEC ，然后利用ASA定理证明△ABD≌△DCE；
（3）分AD＝AE、DA＝DE、EA＝ED三种情况，根据等腰三角形的性质结合角的计算求出∠BDA的度数．
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