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【精选热题·期末50道综合题专练】上海市数学八年级下册复习试卷
1．为了落实“阳光体育”，提升学生的综合素养，某学校对学生进行体育科目抽测，女生抽测项目为：坐位体前屈，跳远，米，仰卧起坐；男生抽测项目为：坐位体前屈，跳远，米，引体向上，每个学生必抽且只抽一个项目．结合信息回答下列问题．
（1）女同学小丽抽中“跳远”属于__________事件；（填“必然”，“随机”或“不可能”）
（2）男同学小明抽中“引体向上”的概率为__________；
（3）请用列表或画树状图的方法，求女同学小丽和男同学小明抽中相同项目的概率．
2．为打造书香校园，某中学计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格比乙图书每本价格多30元，用1000元单独购买甲图书与用400元单独购买乙图书数量相同．
（1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？
（2）如果该校计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的3倍多4本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过850元，那么该中学最多可以购买多少本甲图书？
3．为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买了40元的豆沙棕和96元的肉棕，已知肉粽单价是豆沙棕单价的2倍，肉棕比豆沙棕多2个．
（1）求豆沙粽和肉棕的单价．
（2）端午节当天，超市为了促销推出降价优惠活动，下表列出了芳芳妈妈、媛媛妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）：
豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额
芳芳妈妈 10 15 135
媛媛妈妈 15 10 115
请根据上表，求豆沙棕和肉粽优惠后的价格．
（3）端午节后，超市为进一步减少库存，将两粽子打包成，两种包装销售，每包都是20个（包装成本忽略不计），每种粽子的销售价格按（1）中的单价五折出售．包装中有个豆沙棕，包装中有个肉棕．活动某天统计发现， 种包装销量为包，B种包装销量为包，A，B两种包装的销售总额为3880元，试求的值．
4．
（1）作图：作∠MON的平分线OE，在OE上任取一点A，过A作AB∥OM，AC∥ON，连接BC交OA于D.（只保留作图痕迹）
（2）BC与OA的位置关系是什么？请加以证明。
（3）若OA=8，AC=5，则BD是多少？
5．“清明节”期间，班主任王老师带领全班同学去距离学校27千米的烈士墓扫墓，男生在班长的带领下骑自行车提前90分钟出发，女生在王老师的带领下乘客车同路前往，客车平均速度是自行车平均速度的3倍，结果两队同时到达.
（1）求自行车和客车的平均速度；
（2）若客车发车5分钟后，司机李师傅临时有急事停车处理4分钟，要使客车到达目的地的时间不比自行车晚，客车在司机停车处理事情后行驶的平均速度至少是多少？
6．如图，直线 分别与 x 轴，y 轴相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，A 点的坐标为 .
（1）求 k 的值；
（2）过线段
上一点 P（不与端点重合）作 x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为 M，N.当长方形 的周长是 10 时，求点 P 的坐标.
7．已知：如图，在ABCD中，点E为边AC上，点F在边AD上，AF=CE，EF与对角线BD相交于点O．
（1）求证：O是BD的中点．
（2）若EF⊥BD，ABCD的周长为24，连结BF，则△ABF的周长为
8．近段时间，我市积极应对台风“摩羯”和郁江2024年第1号洪水，确保了2001年以来最高洪峰在我市安全过境.9月14日，邕江南宁水文站水位已下降至紧急水位以下且持续回落，下午市政部门开始着手河道清淤治理工作，现有甲、乙两工程队，若甲工程队单独施工，恰好能在规定的时间内完成，若乙工程队单独施工，则需要的天数是甲工程队的倍，甲乙两工程队合作15天，余下的任务甲工程队单独完成仍需5天完成．
（1）甲、乙工程队单独完成此项工程各需要几天？
（2）经过预算，甲工程队每天的费用是3000元，乙工程队每天的施工费用为2000元，为尽可能缩短施工时间，市政部门打算让两个工程队合作完成，完成河道清淤的总费用是多少？
9．在一不透明的口袋中装有3个球，这3个球分别标有1，2，3，这些球除了数字外都相同.
（1）如果从袋子中任意摸出一个球，那么摸到标有数字是2的球的概率是多少
（2）小明和小亮玩摸球游戏，游戏的规则如下：先由小明随机摸出一个球，记下球的数字后 放回，搅匀后再由小亮随机摸出一个球，记下数字.谁摸出的球的数字大 ，谁获胜.请你用树状图或列表法分析游戏规则对双方是否公平 并说明理由.
10．如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点 ， ，对角线 所在的直线绕点 顺时针旋转角 ，所得的直线 分别交 ， 于点 .
（1）求证： ；
（2）当旋转角 为多少度时，四边形 为菱形？试说明理由.
11．把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AGFE，边FG与BC交于点H.
（1）试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想；
（2）若正方形的边长为2cm，∠BAG＝2∠BAE，求重叠部分(四边形ABHG)的面积.
12．小明、小亮和小强三人准备下象棋，他们约定用“抛硬币”的游戏方式来确定哪个人先下棋，规则如下：三人手中各持有一枚质地均匀的硬币，他们同时将手中硬币抛落到水平地面为一个回合，落地后，三枚硬币中，恰有两枚正面向上或者反面向上的两人先下棋；若三枚硬币均为正面向上或反面向上，则不能确定其中两人先下棋.
（1）请你完成下面表示游戏一个回合所有可能出现的结果的树状图；
解：树状图为：
（2）求出一个回合能确定两人下棋的概率.
13．为调查某市市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了部分市民进行调查，要求被调查者从“ ：自行车， ：家庭汽车， ：公交车， ：电动车， ：其他”五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题.
（1）本次调查中，一共调查了 名市民；扇形统计图中， 项对应的扇形圆心角是 ；
（2）补全条形统计图；
（3）若甲上班时从 三种交通工具中随机选择一种， 乙上班时从 三种交通工具中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两人都不选 种交通工具上班的概率.
14．已知：如图，在四边形 中， ，点 是 的中点.
（1）试说明： .
（2）当 是等边三角形的时候，求 的度数.
15．如图，菱形ABCD的对角线相交于O点，DEAC，CEBD.
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若AD =5，BD =8，计算DE的值.
16．如图，在平行四边形ABCD中，按下列步骤作图：
①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交AB于点N．交BC于点M；
②再分别以点M和点N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧交于点G；
③作射线BG交AD于F；
④过点A作AE⊥BF交BF于点P，交BC于点E；
⑤连接EF，PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝8，AD＝10，∠ABC＝60°，求△APD的面积．
17．已知一个红外线测温仪售价380元，一包口罩售价40元，某学校准备购进红外线测温仪20个，口罩若干包（超过30包）.某药店对这两种商品给出优惠活动，活动一：购买1个红外线测温仪送1包口罩；活动二：购买口罩30包以上，超出30包的部分按售价的五折优惠，红外线测温仪不打折.
（1）设购买口罩x包，选择活动一的总费用为y1元，选择活动二的总费用为y2元，请分别求出y1，y2与x的函数关系式；
（2）学校购买口罩的包数x在什么范围内，选择优惠活动一比活动二更省钱？请说明理由.
18．尺规作图如下：如图，在 中，①作AD平分 交 于D；②作线段AD的垂直平分线分别交AB于点E、交 于点 ；③连接DE、DF；
（1）在所作图的步骤中①得到角平分线AD的依据是______.
A． B． C． D．
（2）试判断四边形AEDF的形状，并说明理由.
19．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O.
（1）求证：四边形ADCE是矩形：
（2）若∠AOE=60°，AE=4，求AD的长.
20．如图，菱形的对角线相交于点O，．
（1）求菱形的面积；
（2）求菱形的周长．
21．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若a＋b＝3，ab＝1，求a2＋b2的值．
解：因为a＋b＝3，ab＝1，所以（a＋b）2＝9，2ab＝2
所以a2＋b2＋2ab＝9；得a2＋b2＝7
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x＋y＝6，x2＋y2＝30，求xy的值；
（2）请直接写出下列问题答案：
①若3a＋b＝7，ab＝2，则＝ ；
②若（3-x）（5-x）＝8，则（3-x）2＋（5-x）2＝ ．
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1＋S2＝76，求图中阴影部分面积．
22．为了倡导居民节约用水，生活用水按阶梯式水价计费，如图是居民每户每月的水费y（元）与所用的水量x（吨）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解答下列问题：
（1）当用水量不超过10吨时，每吨水收费 元.
（2）当用水量超过10吨且不超过30吨时，求y与x之间的函数表达式；
（3）某户居民四、五月份水费共85元，五月份用水比四月份多5吨，求这户居民四月份用水多少吨.
23．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于点E，交BC于点F，作EG∥AB交CB于点G．
（1）求证：△CEF是等腰三角形；
（2）求证：CF＝BG；
（3）若F是CG的中点，EF＝1，求AB的长．
24．某校为了解学生对“有礼衢州”城市标签的了解程度，做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A.不了解：B.基本了解：C.比较了解；D.非常了解.根据调查统计结果，绘制了如下三种不完整的统计图表.请结合统计图表，回答下列问题：
对“有礼衢州”的了解程度 百分比
不了解 5%
基本了解
比较了解 45%
非常了解 35%
（1）本次参与调查的学生共有 人， .
（2）求扇形统计图中扇形B的圆心角度数，并补全条形统计图（要求标注人数）.
（3）该校为提高学生对“有礼衢州”城市标签的了解程度，准备开展关于“有礼衢州”城市标签的知识竞赛，九（4）班欲从3名男生和1名女生中任选2人参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求出恰好选中“1男1女”的概率.
25．在一个不透明的口袋里装有分别标注 1、2 的两个小球 (小球除数字外， 其余都相同)， 另有背面完全一样、正面分别写有 3、4、5 的三张卡片， 现从口袋中任意摸出一个小球， 再从这三张背面朝上的卡片中任意摸出一张， 则
（1）共有多少种结果 （请用列表或者画树状图的方法表示说明）
（2）小方和小圆选择下列两个规则中的一个做游戏：
①若两次摸出的数字， 和为奇数， 则小方赢， 否则小圆赢；
②若两次摸出的数字， 积为奇数， 则小方赢， 否则小圆赢。
小方想要在游戏中获胜机会更大些， 他应选择哪一条规则， 请说明理由.
26．如图，点C是的中点，四边形是平行四边形，．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，求四边形的周长．
27．某服装店用960元购进一批服装，并以每件46元的价格全部售完，由于服装畅销，服装店又用2220元，再次以比第一次进价多5元的价格购进服装，数量是第一次购进服装的2倍，仍以每件46元的价格出售，卖了部分后，为了加快资金周转，服装店将剩余的20件以售价的九折全部出售.问：
（1）该服装店第一次购买了此种服装多少件？
（2）两次出售服装共盈利多少元？
28．在一个不透明的袋子中装有完全相同的四个小球，小球上分别标有数字，，0，4，现从中任意摸出一个小球，将小球上面的数字记为a；将球放回袋中搅匀，再从中任意摸出一个小球，将小球上面的数字记为b．
（1）从袋子中随机摸出一个小球，摸到的数字是有理数属于 事件（填“不可能”、“必然”或者“随机”）；
（2）用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果，并求出点在第四象限的概率．
29．同学们要善于用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．
（1）观察发现
为了解某种小麦的发芽率，小明团队进行了试验，他们在相同条件下进行发芽试验，结果如下表：
试验的麦粒数n 100 200 500 1000 2000 5000
发芽的麦粒数m 94 191 473 954 1906 4748
发芽的频率m
①当试验的麦粒数位时， 发芽的频率为， 是小麦发芽的概率吗？（ ）
A．是 B．不是
②当任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率是 (结果精确到)
（2）探究迁移
七一班的学习小组在草地的外围画了一个长5米，宽4米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，将石子落点进行了记录．
记录结果如下：
项目名称组别 一组 二组 三组 四组
石子落在草地内的次数 112 92 177 121
石子落在草地外长方形内的次数 28 24 43 33
石子落在长方形外的次数 10 24 32 28
同学们将四个小组的数据收集并整理，他们认为用概率的相关知识就能算出草地的面积大约是多少平方米，请你帮他们写出计算过程．(结果保留整数)
（3）拓展应用
如图，学校操场旁的地面上铺满了正方形的地砖， 现在向这一地面上抛掷半径为的圆碟，圆碟与地砖间的缝隙相交的概率是 ．(直接写出答案)
30．某年级430名师生秋游，计划租用8辆客车，现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如下表：
甲种客车 乙种客车
载客量（座/辆） 60 45
租金（元/辆） 550 450
（1）设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元．求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式；
（2）当甲种客车有多少辆时，能保障所有的师生能参加秋游且租车费用最少，最少费用是多少元？
31．
（1）如图1，点P是正方形ABCD内的一点，把△ABP绕点B顺时针方向旋转，使点A与点C重合，点P的对应点是Q．若PA＝3，PB＝2 ，PC＝5，求∠BQC的度数．
（2）点P是等边三角形ABC内的一点，若PA＝12，PB＝5，PC＝13，求∠BPA的度数．
32．如图，平面直角坐标系中，一次函数 的图象 分别与 ， 轴交于 ， 两点，正比例函数的图象 与 交于点 ．
（1）求m的值及l2的解析式；
（2）求 的值；
（3）一次函数 的图象为 ，且 ， ， 不能围成三角形，直接写出 的值．
33．国庆期间，为了满足群众的消费需求，某电器商场计划用190000元购进一批家电，这批家电的进价和售价如下表：
类别 彩电 冰箱 洗衣机
进价（元/台） 2000 1400 1000
售价（元/台） 2400 1600 1100
若在现有资金允许的范围内，购买上表中三类家电共100台，其中彩电台数是洗衣机台数的2倍，设该电器商场购买洗衣机 台.
（1）电器商场至多可以购买洗衣机多少台？
（2）购买洗衣机多少台时，能使电器商场销售完这批家电后获得的利润最大？最大利润为多少元？
34．端午节是中华民族的传统节日，全国各地素来都有端午节吃粽子的习俗．在今年端午节前夕，某商场采购了一批甲、乙两种品牌的粽子共600盒，其中采购甲品牌粽子花费7200元，采购乙品牌粽子花费9600元，已知每盒甲品牌粽子的进价是乙品牌粽子进价的1.5倍．
（1）求该商场采购的甲、乙两种品牌的粽子每盒进价分别是多少元．
（2）该商场原计划确定甲品牌粽子的售价为60元/盒，乙品牌粽子的售价为32元/盒．后调整销售策略，对甲品牌粽子进行打折销售，乙品牌粽子按原价售出．若要使购进的甲、乙两种品牌的粽子全部售出后所获利润不低于5600元，则每盒甲品牌粽子最低能打几折？
35．为倡导“低碳出行”，每年9月22日为世界无车日，2020年9月22日，由中国城市公共交通协会联合清华大学中国城市研究院共同举办的第十四届“922绿色出行日”主题活动拉开序幕，环保部门对某城市居民出行使用交通方式的情况进行了问卷调查，将收回的问卷调查结果整理后，绘制了如下不完整的统计图，其中“骑自行车、电动车”所在的扇形的圆心角是162°．
请根据以上信息解答下列问题：
（1）请补全条形统计图．
（2）如果绿色出行是指“骑自行车、电动车”和“坐公交车”，计算绿色出行在所有交通方式中的频率，并在50万人口的城市中选择绿色出行的共有多少人．
（3）若参与问卷调查的人中选择“其他”交通方式的有两名女性，其余为男性，现从中随机选取两人进行跟踪调查，请借助树状图或者表格，求出恰好选到1男1女的概率．
36．如图，以△ABC中的AB、AC为边分别向外作正方形ADEB，ACGF，连接DC、BF．（相关知识链接：正方形的四条边都相等，四个角都是直角）
（1）观察图形，利用旋转的观点说明：△ADC绕着点 逆时针旋转 °得到．
（2）猜想：CD与BF有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的猜想．
37．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
（1）求证：AD＝CD；
（2）若∠B＝60°，BC＝3，求四边形ADCE的面积．
38．我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.
（1）请你写出一个等对边四边形的名称；
（2）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，设CD、BE相交于点O，若∠A=50°， .请写出图中其余等于50°的角，并猜想图中哪个四边形为等对边四边形(不需证明）；
（3）在 中，如果∠A是不等于50°的锐角，点D、E分别在AB、AC上，且 .探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.
39．如图，在 中， ，过点 的直线 为 边上一点，过点 作 交直线 于 ，垂足为 ，连接
（1）求证：
（2）当点 在 中点时，四边形 是什么特殊四边形 说明理由；
（3）若 为 的中点，则当 的大小满足什么条件时，四边形 是正方形 说明理由．
40．（1）如图①，将矩形纸片沿对角线折叠，使点B落在点处，与交于点E，求证：是等腰三角形；
（2）点O是矩形纸片对角线的交点，将该纸片沿过点O的线段折叠，使点A的对应点为，点B与点D重合，连接，求证：四边形是菱形；
41．如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB
（1）求证：△BCP≌△DCP；
（2）求证：∠DPE=∠ABC；
（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE= 度．
42．如图，矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD边上一点，DE= AD（n为大于2的整数），连接BE，BE的垂直平分线分别交AD，BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG。
（1）试判断四边形BFEG的形状，并说明理由；
（2）当AB=4，n=3时，求FG的长；
（3）记四边形BFEG的面积为S1，矩形ABCD的面积为S2，当 时，求n的值（直接写出结果，不必写出解答过程）。
43．已知甲、乙两地相距千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发前往乙地，轿车比货车晚出发2小时，轿车每小时比货车多行驶30千米，最后同时到达．
（1）求货车的速度；
（2）设货车行驶时间为x小时，离甲地的距离是y千米，如图，线段分别表示货车、轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系，那么点A的坐标是 ；线段对应的函数解析式为 ．（不需要写出定义域）
44．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=2x+b 与 x 轴交于点（1，0），与一次函数 y = x + 3的图象相交于点A．
（1）求b的值，并直接在图中画出这两个一次函数的图象（不写画图过程）；
（2）求点A的坐标；
（3）若 P 是
x 轴的正半轴上一点，且满足 是等腰三角形，直接写出点P的坐标．
45．如图，在平行四边形ABCD中， ， ， ，P是射线AD上一点，连接PB，沿 将 折叠，得 .
（1）如图所示，当 时，APB= 度；
（2）如图所示，当 时，求线段PA的长度；
（3）当点P为AD中点时，点F是边AB上不与点A、B重合的一个动点，将 沿 折叠，得到 ，连接 ，求 周长的最小值.
46．（教材呈现）下图是华师版九年级上册数学教材第103—104页的部分内容．
（1）定理证明：请根据教材图24.2.2的提示，结合图①完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明．
（2）定理应用：如图②，在 中， ，垂足为点D（点D在 上）， 是 边上的中线， 垂直平分 ．求证： ．
47．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，以OC，OD为邻边作平行四边形OCED，连接OE．
（1）求证：四边形OBCE是平行四边形；
（2）连接BE交AC于点F．若AB＝2，∠AOB＝60°，求BF的长．
48．如图①，已知正方形 ，把一个直角与正方形叠合，使直角顶点与正方形的一个顶点重合，当直角的一边与 相交于点 ，另一边与 的延长线相交于点 时.
=
（1）证明： ；
（2）如图②，作 的平分线交 于点 ，连接 .证明： .
49．如图，现有矩形和一个含内角的直角三角形按图所示位置放置和重合，其中，将绕点顺时针旋转，在旋转过程中，直线与边交于点，如图所示．
（1）求证：；
（2）连接、，当时，求出此时的度数；
（3）如图，以为边的矩形内部作正方形，直角边所在直线交线段于点，交于点设，，写出关于的函数解析式．
50．郑州到西安的路程为480千米，由于西安疫情紧张，郑州物资中心对西安进行支援.甲乙两辆物资车分别从郑州和西安出发匀速行驶相向而行.甲车到西安后立即返回，已知乙车的速度为每小时，且到郑州后停止行驶，进行消毒.它们离各自出发地的距离与行驶时间之间的关系如下图所示.
（1） ， .
（2）请你求出甲车离出发地郑州的距离与行驶时间之间的函数关系式.
（3）求出点P的坐标，并说明此点的实际意义.
（4）直接写出甲车出发多长时间两车相距40千米.
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【精选热题·期末50道综合题专练】上海市数学八年级下册复习试卷
1．为了落实“阳光体育”，提升学生的综合素养，某学校对学生进行体育科目抽测，女生抽测项目为：坐位体前屈，跳远，米，仰卧起坐；男生抽测项目为：坐位体前屈，跳远，米，引体向上，每个学生必抽且只抽一个项目．结合信息回答下列问题．
（1）女同学小丽抽中“跳远”属于__________事件；（填“必然”，“随机”或“不可能”）
（2）男同学小明抽中“引体向上”的概率为__________；
（3）请用列表或画树状图的方法，求女同学小丽和男同学小明抽中相同项目的概率．
【答案】（1）随机
（2）
（3）
2．为打造书香校园，某中学计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格比乙图书每本价格多30元，用1000元单独购买甲图书与用400元单独购买乙图书数量相同．
（1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？
（2）如果该校计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的3倍多4本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过850元，那么该中学最多可以购买多少本甲图书？
【答案】（1）解：设乙图书每本价格为x元，则甲图书每本价格是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，x=20是所列方程的解，且符合题意，
∴x+30=20+30=50(元)，
答：甲图书每本价格为50元，乙图书每本价格为20元；
（2）设该中学可以购买m本甲图书，则可以购买本乙图书，
由题意得：，
解得：，
答：该中学最多可以购买7本甲图书．
【解析】【分析】（1）设乙图书每本价格为x元，则甲图书每本价格是元，根据题意得等量关系： 1000元单独购买甲图书的数量＝用400元单独购买乙图书的数量，据此列分式方程并求解即可．
（2）设该中学可以购买m本甲图书，则可以购买本乙图书，根据题意列出不等式求解即可得出答案．
3．为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买了40元的豆沙棕和96元的肉棕，已知肉粽单价是豆沙棕单价的2倍，肉棕比豆沙棕多2个．
（1）求豆沙粽和肉棕的单价．
（2）端午节当天，超市为了促销推出降价优惠活动，下表列出了芳芳妈妈、媛媛妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）：
豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额
芳芳妈妈 10 15 135
媛媛妈妈 15 10 115
请根据上表，求豆沙棕和肉粽优惠后的价格．
（3）端午节后，超市为进一步减少库存，将两粽子打包成，两种包装销售，每包都是20个（包装成本忽略不计），每种粽子的销售价格按（1）中的单价五折出售．包装中有个豆沙棕，包装中有个肉棕．活动某天统计发现， 种包装销量为包，B种包装销量为包，A，B两种包装的销售总额为3880元，试求的值．
【答案】（1）解：设豆沙粽的单价是x元，则肉粽的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：豆沙粽的单价是4元，肉粽的单价是8元
（2）解：设豆沙粽优惠后的单价是a元，肉粽优惠后的单价是b元，
根据题意得：
，
解得，
答：豆沙粽优惠后的单价是3元，肉粽优惠后的单价是7元
（3）解：根据题意得：
整理得：
解得：，，
答：m的值为15或9
【解析】【分析】（1）设豆沙粽的单价是x元，则肉粽的单价是元， 肉棕个数是；豆沙棕个数是． 等量关系式是肉棕的个数减去豆沙棕的个数=2个．解分式方程求解即可；
（2）设豆沙粽优惠后的单价是a元，肉粽优惠后的单价是b元，根据表中信息列出二元一次方程组，解方程组即可；
（3）根据题意A包装有m个豆沙粽，（20-m）个肉粽，卖出（60-2m）包；B包装有(20-m)个豆沙粽，m个肉粽，卖出（2m+4）包。单价是豆沙粽2元/个，肉粽4元/个，根据两种包装的销售总额为3880元，列出一元二次方程，解方程即可．
（1）解：设豆沙粽的单价是x元，则肉粽的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：豆沙粽的单价是4元，肉粽的单价是8元；
（2）解：设豆沙粽优惠后的单价是a元，肉粽优惠后的单价是b元，
根据题意得：
，
解得，
答：豆沙粽优惠后的单价是3元，肉粽优惠后的单价是7元；
（3）解：根据题意得：
，
整理得：，
解得：，，
答：m的值为15或9．
4．
（1）作图：作∠MON的平分线OE，在OE上任取一点A，过A作AB∥OM，AC∥ON，连接BC交OA于D.（只保留作图痕迹）
（2）BC与OA的位置关系是什么？请加以证明。
（3）若OA=8，AC=5，则BD是多少？
【答案】（1）解：作图如下
（2）证明
∵
∴四边形ABOC为平行四边形.
∵
∴∠CAO=∠BOA
OE平分∠MON
∴∠COA=∠BOA
∴∠COA=∠CAO
∴AC=OC
∴四边形ABOC为菱形
∴BC⊥OA且互相平分
（3）解：∵四边形ABOC为菱形
∴AC=OB=5BC⊥OAOD=AD=AO=4
∴OB2=OD2+BD2
即25=16+BD2
∴BD2=9
∴BD=3
【解析】【分析】（1）根据题中要求作图即可；
（2）利用两组对边分别平行可证四边形ABOC为平行四边形. 由
可得∠CAO=∠BOA，利用角平分线的定义∠COA=∠BOA，从而可得∠COA=∠CAO，根据等角对等边可得AC=OC，从而可证四边形ABOC为菱形，即得BC⊥OA且互相平分；
（3） 根据菱形的性质可得AC=OB=5，BC⊥OA，OD=AD=AO=4，根据勾股定理可得OB2=OD2+BD2，据此即可求出BD的长.
5．“清明节”期间，班主任王老师带领全班同学去距离学校27千米的烈士墓扫墓，男生在班长的带领下骑自行车提前90分钟出发，女生在王老师的带领下乘客车同路前往，客车平均速度是自行车平均速度的3倍，结果两队同时到达.
（1）求自行车和客车的平均速度；
（2）若客车发车5分钟后，司机李师傅临时有急事停车处理4分钟，要使客车到达目的地的时间不比自行车晚，客车在司机停车处理事情后行驶的平均速度至少是多少？
【答案】（1）解：设自行车平均速度为x千米/小时，则客车平均速度为3x千米/小时，由题意得：
解得：
经检验 是原分式方程的解.
所以3x=3×12=36
答：自行车平均速度为12千米/小时，客车平均速度为36千米/小时
（2）解：设客车在司机停车处理事情后行驶的平均速度为y千米/小时， 由题意得：
解得：
答：客车在司机停车处理事情后行驶的平均速度至少是40千米/小时，才能使客车到达目的地的时间比自行车晚
【解析】【分析】(1) 设自行车平均速度为x千米/小时，则客车平均速度为3x千米/小时， 根据男生和女生的时间差为90分钟，列出方程求解即可；
(2) 设客车在司机停车处理事情后行驶的平均速度为y千米/小时， 根据客车在规定的时间内行驶的路程不少于27千米列出不等式求解即可.
6．如图，直线 分别与 x 轴，y 轴相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，A 点的坐标为 .
（1）求 k 的值；
（2）过线段
上一点 P（不与端点重合）作 x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为 M，N.当长方形 的周长是 10 时，求点 P 的坐标.
【答案】（1）解： 直线 经过 ，
，
.
（2）解： 点 P 在直线 上，设 ，
， ，
四边形 是长方形，
长方形 的周长 ，
解得 ，
点 P 的坐标为 .
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入直线解析式即可；
（2）设点P的坐标为 ，由长方形的性质计算其周长即可解题.
7．已知：如图，在ABCD中，点E为边AC上，点F在边AD上，AF=CE，EF与对角线BD相交于点O．
（1）求证：O是BD的中点．
（2）若EF⊥BD，ABCD的周长为24，连结BF，则△ABF的周长为
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO．
又∵AF=CE，AD=BC，
∴FD=BE．
∴△DFO≌△BEO．
∴BO=DO
（2）12
【解析】【解答】解：（2）连接DE，
∵△DFO≌△BEO，
∴OE=OF，OB=OD，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE是菱形，
∴BF=DF，
∴△ABF的周长=AB+AF+BF=AB+AF+FD=AB+AD=×24=12.
【分析】（1）利用ASA证出△DFO≌△BEO，得出BO=DO，即可得出O是BD的中点． ；
（2）连接DE，证出四边形BFDE是菱形，得出BF=DF，从而得出△ABF的周长=AB+AD=平行四边形ABCD的周长的一半，即可得出答案.
8．近段时间，我市积极应对台风“摩羯”和郁江2024年第1号洪水，确保了2001年以来最高洪峰在我市安全过境.9月14日，邕江南宁水文站水位已下降至紧急水位以下且持续回落，下午市政部门开始着手河道清淤治理工作，现有甲、乙两工程队，若甲工程队单独施工，恰好能在规定的时间内完成，若乙工程队单独施工，则需要的天数是甲工程队的倍，甲乙两工程队合作15天，余下的任务甲工程队单独完成仍需5天完成．
（1）甲、乙工程队单独完成此项工程各需要几天？
（2）经过预算，甲工程队每天的费用是3000元，乙工程队每天的施工费用为2000元，为尽可能缩短施工时间，市政部门打算让两个工程队合作完成，完成河道清淤的总费用是多少？
【答案】（1）甲、乙工程队单独完成此项工程分别各需要30天，45天
（2）完成河道清淤的总费用是90000元
9．在一不透明的口袋中装有3个球，这3个球分别标有1，2，3，这些球除了数字外都相同.
（1）如果从袋子中任意摸出一个球，那么摸到标有数字是2的球的概率是多少
（2）小明和小亮玩摸球游戏，游戏的规则如下：先由小明随机摸出一个球，记下球的数字后 放回，搅匀后再由小亮随机摸出一个球，记下数字.谁摸出的球的数字大 ，谁获胜.请你用树状图或列表法分析游戏规则对双方是否公平 并说明理由.
【答案】（1）解：从3个球中随机摸出一个，摸到标有数字是2的球的概率是： .
（2）解：游戏规则对双方公平.列表如下：
小明小东 1 2 3
1 （1，1） （1，2） （1，3）
2 （2，1） （2，2） （2，3）
3 （3，1） （3，2） （3，3）
由表可知，P（小明获胜）= ，P（小东获胜）= ，
∵P（小明获胜）=P（小东获胜），
∴游戏规则对双方公平
【解析】【分析】（1）利用概率公式直接求出即可；（2）首先利用列表法求出两人的获胜概率，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等，即可得出答案.
10．如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点 ， ，对角线 所在的直线绕点 顺时针旋转角 ，所得的直线 分别交 ， 于点 .
（1）求证： ；
（2）当旋转角 为多少度时，四边形 为菱形？试说明理由.
【答案】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ .
（2）解：当 时四边形 为菱形，
理由：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 为菱形.
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得 ，利用平行线的性质得出∠AEO=∠CFO，根据AAS可证△AOE≌△COF；
（2）当时四边形 为菱形，理由：先证明四边形 为平行四边，由，可证四边形 为菱形.
11．把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AGFE，边FG与BC交于点H.
（1）试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想；
（2）若正方形的边长为2cm，∠BAG＝2∠BAE，求重叠部分(四边形ABHG)的面积.
【答案】（1）解：HG=HB.证明：联接AH，由旋转可知，AG=AB，∠G＝∠B＝90 ，AH=AH，
∴Rt△AHG≌Rt△AHB，∴HG=HB；
（2）解：由（1）知Rt△AHG≌Rt△AHB，∴∠GAH=∠BAH，
∵∠BAG=2∠BAE，∠GAE=90 ，∴∠BAE＝∠GAH=∠BAH=30 ，
设BH= ，则AH=2 ，而AB=2，∴ ， ，
解得 ∴重叠部分的面积= （cm2）
【解析】【分析】(1) 联接AH，由旋转可知，AG=AB，求出Rt△AHG≌Rt△AHB，即可证明.(2)根据题意得到∠GAH=∠BAH，求出∠BAE，设BH= ，则AH=2 随之可列式解答.
12．小明、小亮和小强三人准备下象棋，他们约定用“抛硬币”的游戏方式来确定哪个人先下棋，规则如下：三人手中各持有一枚质地均匀的硬币，他们同时将手中硬币抛落到水平地面为一个回合，落地后，三枚硬币中，恰有两枚正面向上或者反面向上的两人先下棋；若三枚硬币均为正面向上或反面向上，则不能确定其中两人先下棋.
（1）请你完成下面表示游戏一个回合所有可能出现的结果的树状图；
解：树状图为：
（2）求出一个回合能确定两人下棋的概率.
【答案】（1）解：画树状图得：
（2）解：∴一共有8种等可能的结果，
一个回合能确定两人先下棋的有6种情况，
∴一个回合能确定两人先下棋的概率为：
【解析】【分析】（1）此题需两步完成，可根据题意画树状图求得所有可能出现的结果；（2）根据树状图求得一个回合能确定两人先下棋的情况，再根据概率公式求解即可.
13．为调查某市市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了部分市民进行调查，要求被调查者从“ ：自行车， ：家庭汽车， ：公交车， ：电动车， ：其他”五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题.
（1）本次调查中，一共调查了 名市民；扇形统计图中， 项对应的扇形圆心角是 ；
（2）补全条形统计图；
（3）若甲上班时从 三种交通工具中随机选择一种， 乙上班时从 三种交通工具中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两人都不选 种交通工具上班的概率.
【答案】（1）2000；18
（2）解：C项对应的人数为： （名），
补全条形统计图：
（3）解：列表法：
从上面的表格可以看出，所有可能的结果共有 种，且每种结果出现的可能性相同， 其中甲、乙两人都不选 种交通工具上班的有 种，即 ， ， ， ，
∴P .
【解析】【解答】解：（1）本次调查的总人数为： ，
项对应的扇形圆心角为： ，
故答案为：2000，18；
【分析】（1）观察条形图和扇形图可知D的频数和百分数，根据样本容量=频数÷百分数可求得本次调查的总人数；根据圆心角=百分数×360°可求解A项对应的扇形圆心角 ；
（2）根据样本容量=各小组频数之和可求得C项对应的人数，然后条形图可补充完整；
（3）由题意列出表格，根据表格中的信息可知所有可能的结果共有9种， 其中甲、乙两人都不选B种交通工具上班的有4种，然后由概率公式可求解.
14．已知：如图，在四边形 中， ，点 是 的中点.
（1）试说明： .
（2）当 是等边三角形的时候，求 的度数.
【答案】（1）证明：∵△ADC和△ABC均为直角三角形，E为AC上的中点，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：
∴ ， ，
∴ ；
（2）解：∵△DBE为等边三角形，∴∠BED=60°，
由 可知：∠EDA=∠EAD= ∠DEC，
同理由EA=EB得到∠EAB=∠EBA= ∠BEC，
∴∠DAB=∠EAD+∠EAB= (∠DEC+∠BEC)= ∠BED= ×60°=30°，
在四边形ADCB中，由内角和360°可知，
∠DCB=360°-90°-90°-∠DAB=180°-30°=150°，
故答案为：150°.
【解析】【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得 ， ，从而得出DE=BE；
（2）由DE=AE可得∠EDA=∠EAD= ∠DEC，同理由EA=EB得到∠EAB=∠EBA= ∠BEC ，从而得出∠DAB=∠BED=30°， 再利用四边形ABCD的内角和360°即可求出∠DCB的度数.
15．如图，菱形ABCD的对角线相交于O点，DEAC，CEBD.
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若AD =5，BD =8，计算DE的值.
【答案】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∴四边形OCED是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD=8，
∴，OC=OA，AD=CD，
∵AD=5，
∴OC=，
∵四边形OCED是矩形，
∴DE=OC=3.
【解析】【分析】（1）由题意根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形OCED是平行四边形，由菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，则∠DOC=90°，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可求解；
（2）由菱形的对角线互相垂直平分可得OD=BD，用勾股定理可求得OC=OA的值，然后由矩形的对边相等可求解.
16．如图，在平行四边形ABCD中，按下列步骤作图：
①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交AB于点N．交BC于点M；
②再分别以点M和点N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧交于点G；
③作射线BG交AD于F；
④过点A作AE⊥BF交BF于点P，交BC于点E；
⑤连接EF，PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝8，AD＝10，∠ABC＝60°，求△APD的面积．
【答案】（1）证明：由作图知∠ABF＝∠EBF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠EBF＝∠AFB，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AB＝AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
又AB＝BE，
∴四边形ABEF是菱形
（2）解：作PH⊥AD于H，
∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝8，
∴AB＝AF＝8，∠ABF＝∠AFB＝30°，AP⊥BF，
∴AP＝ ＝4，
∴PH＝ ，
∴S△ADP＝
【解析】【分析】（1）由作图知∠ABF＝∠EBF， 再证明 证明四边形ABEF是平行四边形，从而可得结论；
（2）作PH⊥AD于H，分别求解AP＝ ＝4，PH＝ ，从而可得答案．
17．已知一个红外线测温仪售价380元，一包口罩售价40元，某学校准备购进红外线测温仪20个，口罩若干包（超过30包）.某药店对这两种商品给出优惠活动，活动一：购买1个红外线测温仪送1包口罩；活动二：购买口罩30包以上，超出30包的部分按售价的五折优惠，红外线测温仪不打折.
（1）设购买口罩x包，选择活动一的总费用为y1元，选择活动二的总费用为y2元，请分别求出y1，y2与x的函数关系式；
（2）学校购买口罩的包数x在什么范围内，选择优惠活动一比活动二更省钱？请说明理由.
【答案】（1）解：由题意可得，
y1＝20×380+（x﹣20）×40＝40x+6800，
y2＝20×380+30×40+（x﹣30）×40×0.5＝20x+8200，
即y1＝40x+6800，y2＝20x+8200
（2）解：学校购买口罩的包数超出30包，不足70包时，选择优惠活动一比活动二更省钱，
理由：令40x+6800＜20x+8200，
解得，x＜70，
即学校购买口罩的包数超出30包，不足70包时，选择优惠活动一比活动二更省钱
【解析】【分析】（1）根据题意，可以写出y1，y2与x的函数关系式；（2）令（1）中的y1＜y2，求出x的取值范围，即可解答本题.
18．尺规作图如下：如图，在 中，①作AD平分 交 于D；②作线段AD的垂直平分线分别交AB于点E、交 于点 ；③连接DE、DF；
（1）在所作图的步骤中①得到角平分线AD的依据是______.
A． B． C． D．
（2）试判断四边形AEDF的形状，并说明理由.
【答案】（1）D
（2）解：四边形AEDF是菱形，理由是：
∵EF垂直平分AD，
∴AE＝DE，FA＝FD.
∴∠EAD＝∠EDA，∠FAD＝∠FDA.
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD.
∴∠EAD＝∠FDA，∠FAD＝∠EDA.
∴AE//FD，ED//AF.
∴四边形AEDF是平行四边形.
又∵EA＝ED，
∴平行四边形AEDF是菱形.
【解析】【解答】解：（1）如图：连接ON、OM
由角平分线的作法可知：AM＝AN， MO＝NO，
∵AO＝AO.
∴△AMO≌△ANO（SSS）.
∴∠OAM＝∠OAN.
∴ 平分 .
故答案为：D.
【分析】（1）如图：连接ON、OM，根据SSS证明△AMO≌△ANO，利用全等三角形的性质即得结论；（2）菱形.理由： 由线段的垂直平分线的性质可得FA＝FD. 再求出AE//FD，ED//AF，从而可证四边形AEDF是平行四边形，结合AE＝DE，根据菱形的判定定理即证.
19．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O.
（1）求证：四边形ADCE是矩形：
（2）若∠AOE=60°，AE=4，求AD的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD//AE， BD=AE
∵D为BC中点，
∴DC=BD
∴AE=DC
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AB=AC， D为BC中点，
∴AD⊥BC
∴平行四边形ADCE是是矩形；
（2）解：∵四边形ADCE是矩形.
∴AO=CO=DO=EO
∵∠AOE=60°， AE=4
∴△AOE是等边三角形，
∴DO=EO= AE=4，DE=8
∵∠DAE=90°
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得BD//AE， BD=AE，根据中点的概念可得DC=BD，则AE=CD，推出四边形ADCE是平行四边形，由等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后根据矩形的判定定理进行证明；
（2）由矩形的性质可得AO=CO=DO=EO，推出△AOE是等边三角形，得到DO=EO= AE=4，DE=8，然后利用勾股定理计算即可.
20．如图，菱形的对角线相交于点O，．
（1）求菱形的面积；
（2）求菱形的周长．
【答案】（1）解：∵，
∴．
∴；
（2）解：∵四边形ABCD为菱形，，，
∴，，，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）先求出，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可；
（2）利用勾股定理求出AB的长，再利用菱形的周长公式可得。
21．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若a＋b＝3，ab＝1，求a2＋b2的值．
解：因为a＋b＝3，ab＝1，所以（a＋b）2＝9，2ab＝2
所以a2＋b2＋2ab＝9；得a2＋b2＝7
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x＋y＝6，x2＋y2＝30，求xy的值；
（2）请直接写出下列问题答案：
①若3a＋b＝7，ab＝2，则＝ ；
②若（3-x）（5-x）＝8，则（3-x）2＋（5-x）2＝ ．
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1＋S2＝76，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）解：x＋y＝6，x2＋y2＝30
（2）±5；20
（3）解：如图：
设，根据题意得：
，
则阴影部分的面积为
【解析】【解答】解：（2）①∵(3a-b)2=(3a+b)2-12ab=49-12×2=25，
∴3a-b=±5.
②∵(3-x)2+(5-x)2=[(3-x)-(5-x)]2+2(3-x)(5-x)，
∴(3-x)2+(5-x)2=4+2×8=20.
【分析】（1）根据x+y=6可得(x+y)2=x2+y2+2xy=36，然后将x2+y2=30代入计算就可求出xy的值；
（2）①根据完全平方公式可得(3a-b)2=(3a+b)2-12ab，然后将已知条件代入进行计算；
②根据完全平方公式可得(3-x)2+(5-x)2=[(3-x)-(5-x)]2+2(3-x)(5-x)，然后代入进行计算；
（3）设AC=a，BC=b，由题意可得a+b=10，a2+b2=76，根据(a+b)2=a2+b2+2ab=100可求出ab的值，然后利用三角形的面积公式进行计算.
22．为了倡导居民节约用水，生活用水按阶梯式水价计费，如图是居民每户每月的水费y（元）与所用的水量x（吨）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解答下列问题：
（1）当用水量不超过10吨时，每吨水收费 元.
（2）当用水量超过10吨且不超过30吨时，求y与x之间的函数表达式；
（3）某户居民四、五月份水费共85元，五月份用水比四月份多5吨，求这户居民四月份用水多少吨.
【答案】（1）2
（2）解：当 时，设y关于x的函数解析式为 ，
，解得 ，
即y关于x的函数解析式为 ；
（3）解：设这户居民四月份用水x吨，则五月份用水 吨.
当 时，这户居民四、五月份水费为： ，
∴ .
∴ ，
解得：
答：这户居民四月份用水15吨.
【解析】【解答】解：（1）如图所示，用水量不超过10吨时每吨水收费为：20÷10＝2（元/吨）.
答：用水量不超过10吨时，水费为2元/吨；
【分析】（1）根据图象可知：10吨水的水费为20元，据此可得每吨水的水费；
（2）当10≤x≤30时，设y=ax+b，将（10，20）、（30，80）代入求出a、b的值，进而可得y与x之间的函数表达式；
（3）设这户居民四月份用水x吨，则五月份用水（x+5）吨，由题意可得四月份的水费为3x-10，五月份的水费为3(x+5)-10，结合四、五月份水费共85元列出方程，求解即可.
23．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于点E，交BC于点F，作EG∥AB交CB于点G．
（1）求证：△CEF是等腰三角形；
（2）求证：CF＝BG；
（3）若F是CG的中点，EF＝1，求AB的长．
【答案】（1）证明：过E作EM∥BC交AB于M，
∵EG∥AB，
∴四边形EMBG是平行四边形，
∴BG＝EM，∠B＝∠EMD，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠1+∠7＝90°，∠2+∠3＝90°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠4，
∴∠4＝∠7，
∴CE＝CF，
∴△CEF是等腰三角形；
（2）证明：过E作EM∥BC交AB于M，则四边形EMBG是平行四边形，
∴BG=EM，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠B＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠B＝∠EMD，
∵在△CAE和△MAE中
，
∴△CAE≌△MAE（AAS），
∴CE＝EM，
∵CE＝CF，EM＝BG，
∴CF＝BG．
（3）解：∵CD⊥AB，EG∥AB，
∴EG⊥CD，
∴∠CEG＝90°，
∵CF＝FG，
∴EF＝CF＝FG，
∵CE＝CF，
∴CE＝CF＝EF＝1，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠ECF＝60°，
∴BC＝3，∠B＝30°，
∴
∴Rt△ABC中
∴
解得．
【解析】【分析】（1）过E作EM∥BC交AB于M，对图形进行角标注，易得四边形EMBG是平行四边形，则BG＝EM，∠B＝∠EMD，根据角平分线的概念可得∠1＝∠2，根据对顶角的性质可得∠3=∠4，由等角的余角相等可得∠4＝∠7，则CE＝CF，据此证明；
（2）过E作EM∥BC交AB于M，则四边形EMBG是平行四边形，BG=EM，由同角的余角相等可得∠ACD＝∠B＝∠EMD，证明△CAE≌△MAE，得到CE＝EM，据此证明；
（3）由题意可得EG⊥CD，结合CF＝FG可得EF＝CF＝FG，推出△CEF是等边三角形，得到∠ECF=60°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AC=AB，然后利用勾股定理进行计算.
24．某校为了解学生对“有礼衢州”城市标签的了解程度，做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A.不了解：B.基本了解：C.比较了解；D.非常了解.根据调查统计结果，绘制了如下三种不完整的统计图表.请结合统计图表，回答下列问题：
对“有礼衢州”的了解程度 百分比
不了解 5%
基本了解
比较了解 45%
非常了解 35%
（1）本次参与调查的学生共有 人， .
（2）求扇形统计图中扇形B的圆心角度数，并补全条形统计图（要求标注人数）.
（3）该校为提高学生对“有礼衢州”城市标签的了解程度，准备开展关于“有礼衢州”城市标签的知识竞赛，九（4）班欲从3名男生和1名女生中任选2人参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求出恰好选中“1男1女”的概率.
【答案】（1）400；15
（2）解：扇形统计图中扇形B的圆心角度数为，
人数为140，条形统计图如图；
（3）解：列表如图，用A表示男生，B表示女生，
A1 A2 A3 B
A1 A1A2 A1A3 A1B
A2 A2A1 A2A3 A2B
A3 A3A1 A3A2 A3B
B BA1 BA2 BA3
所以，恰好选中“1男1女”的概率为.
【解析】【解答】解：（1）本次参与调查的学生共有（人），
；
【分析】（1）利用A的人数除以所占的比例可得总人数，根据百分比之和为1可得m的值；
（2）利用B所占的百分比乘以360°可得所占圆心角的度数，根据总人数求出D的人数，据此可补全条形统计图；
（3）用A表示男生，B表示女生，列出表格，找出总情况数以及1男1女的情况数，然后根据概率公式进行计算.
25．在一个不透明的口袋里装有分别标注 1、2 的两个小球 (小球除数字外， 其余都相同)， 另有背面完全一样、正面分别写有 3、4、5 的三张卡片， 现从口袋中任意摸出一个小球， 再从这三张背面朝上的卡片中任意摸出一张， 则
（1）共有多少种结果 （请用列表或者画树状图的方法表示说明）
（2）小方和小圆选择下列两个规则中的一个做游戏：
①若两次摸出的数字， 和为奇数， 则小方赢， 否则小圆赢；
②若两次摸出的数字， 积为奇数， 则小方赢， 否则小圆赢。
小方想要在游戏中获胜机会更大些， 他应选择哪一条规则， 请说明理由.
【答案】（1）解：画树状图如下，
共有6种结果
（2）解：小方应选择规则①，
理由：∵ 和为奇数的有3种情况，和为偶数的有3种情况；积为奇数的有2种情况，积为偶数的有4种情况，
∴小方应选择规则①.
【解析】【分析】（1）抓住关键条件，列树状图，再根据树状图可得到所有的可能的结果数.
（2）利用（1）中的树状图，分别求出和为奇数和积为奇数的情况数，由此可得到获胜机会更大的规则.
26．如图，点C是的中点，四边形是平行四边形，．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，求四边形的周长．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，∴，∵C为BE中点，∴，∴，∵，∴四边形ACED是平行四边形，∵，C为BE中点，∴，∴，即平行四边形ACED是矩形；
（2）解：∵，，∴，∵，且C
为BE中点，∴，∵在矩形ACED中，有，，∴在，有， ∴四边形的周长为．
【解析】【分析】（1）先证明四边形ACED是平行四边形，再结合，即可得到平行四边形ACED是矩形；
（2）先利用勾股定理求出DE的长，再利用四边形的周长公式计算即可。
27．某服装店用960元购进一批服装，并以每件46元的价格全部售完，由于服装畅销，服装店又用2220元，再次以比第一次进价多5元的价格购进服装，数量是第一次购进服装的2倍，仍以每件46元的价格出售，卖了部分后，为了加快资金周转，服装店将剩余的20件以售价的九折全部出售.问：
（1）该服装店第一次购买了此种服装多少件？
（2）两次出售服装共盈利多少元？
【答案】（1）解：设该服装店第一次购买了此种服装x件，则第二次购买了此种服装2x件
根据题意可得
解得：x=30
经检验：x=30是原方程的解
答：该服装店第一次购买了此种服装30件.
（2）解：第二次购买了此种服装30×2=60件
46×（30＋60－20）＋46×90%×20－960－2220=868（元）
答：两次出售服装共盈利868元.
【解析】【分析】（1）设该服装店第一次购买了此种服装x件，根据“第二次比第一次进价多5元的价格购进服装”列出分式方程即可求出结论；（2）根据“总利润=总售价－总成本”即可求出结论.
28．在一个不透明的袋子中装有完全相同的四个小球，小球上分别标有数字，，0，4，现从中任意摸出一个小球，将小球上面的数字记为a；将球放回袋中搅匀，再从中任意摸出一个小球，将小球上面的数字记为b．
（1）从袋子中随机摸出一个小球，摸到的数字是有理数属于 事件（填“不可能”、“必然”或者“随机”）；
（2）用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果，并求出点在第四象限的概率．
【答案】（1）必然
（2）解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中点 在第四象限的情况有2种，
∴点 在第四象限的概率为 ．
【解析】【解答】解：（1）∵-2，-1，0，4都是有理数，
∴从袋子中随机摸出一个小球，摸到的数字是有理数属于必然事件；
故答案为：必然.
【分析】（1）根据必然事件的定义判断即可；
（2）先画树状图，再求出 共有16种等可能的结果，其中点 在第四象限的情况有2种， 最后求概率即可。
29．同学们要善于用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．
（1）观察发现
为了解某种小麦的发芽率，小明团队进行了试验，他们在相同条件下进行发芽试验，结果如下表：
试验的麦粒数n 100 200 500 1000 2000 5000
发芽的麦粒数m 94 191 473 954 1906 4748
发芽的频率m
①当试验的麦粒数位时， 发芽的频率为， 是小麦发芽的概率吗？（ ）
A．是 B．不是
②当任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率是 (结果精确到)
（2）探究迁移
七一班的学习小组在草地的外围画了一个长5米，宽4米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，将石子落点进行了记录．
记录结果如下：
项目名称组别 一组 二组 三组 四组
石子落在草地内的次数 112 92 177 121
石子落在草地外长方形内的次数 28 24 43 33
石子落在长方形外的次数 10 24 32 28
同学们将四个小组的数据收集并整理，他们认为用概率的相关知识就能算出草地的面积大约是多少平方米，请你帮他们写出计算过程．(结果保留整数)
（3）拓展应用
如图，学校操场旁的地面上铺满了正方形的地砖， 现在向这一地面上抛掷半径为的圆碟，圆碟与地砖间的缝隙相交的概率是 ．(直接写出答案)
【答案】（1）①不是②
（2）草地的大体面积为16平方米
（3）
30．某年级430名师生秋游，计划租用8辆客车，现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如下表：
甲种客车 乙种客车
载客量（座/辆） 60 45
租金（元/辆） 550 450
（1）设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元．求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式；
（2）当甲种客车有多少辆时，能保障所有的师生能参加秋游且租车费用最少，最少费用是多少元？
【答案】（1）解：由题意，得：
y＝550x+450（8﹣x），
化简，得y＝100x+3600，
即y（元）与x（辆）之间的函数表达式是y＝100x+3600；
（2）解：由题意，得：
60x+45（8﹣x）≥430，
解得，x且x为整数，
∵y＝100x+3600，
∵100＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴x＝5时，租车费用最少，最少为：y＝100×5+3600＝4100（元），
即当甲种客车有5辆时，能保障所有的师生能参加秋游且租车费用最少，最少费用是4100元．
【解析】【分析】（1）由题意可得租用乙种客车(8-x)辆，根据甲种客车的数量×租金+乙种客车的数量×租金=总租金就可得到y与x的关系式；
（2）根据甲种客车的载客量×辆数+乙种客车的载客量×辆数≥总人数列出关于x的不等式，求出x的范围，然后根据一次函数的性质进行解答.
31．
（1）如图1，点P是正方形ABCD内的一点，把△ABP绕点B顺时针方向旋转，使点A与点C重合，点P的对应点是Q．若PA＝3，PB＝2 ，PC＝5，求∠BQC的度数．
（2）点P是等边三角形ABC内的一点，若PA＝12，PB＝5，PC＝13，求∠BPA的度数．
【答案】（1）解：连接PQ． 由旋转可知： ，QC=PA=3． 又∵ABCD是正方形， ∴△ABP绕点B顺时针方向旋转了90°，才使点A与C重合，
即∠PBQ=90°，∴∠PQB=45°，PQ=4．
则在△PQC中，PQ=4，QC=3，PC=5，∴PC2=PQ2+QC2．
即∠PQC=90°．
故∠BQC=90°+45°=135°．
（2）解：将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°得到△CBP'， 此时点P的对应点是点P'．
由旋转知，△APB≌△CP'B，即∠BPA=∠BP'C，P'B=PB=5，P'C=PA=12．
又∵△ABC是正三角形，∴∠ABP+∠PBC=60°，
∴∠CBP'+∠PBC=60°，∴∠PBP'=60°．
又∵P'B=PB=5，∴△PBP'也是正三角形，即∠PP'B=60°，PP'=5．
在△PP'C中，∵PC=13，PP'=5，P'C=12，∴PC2=PP'2+P'C2．
即∠PP'C=90°．
故∠BPA=∠BP'C=60°+90°=150°．
【解析】【分析】（1）根据题意得出△ABP绕点B顺时针方向旋转了90°，才使点A与C重合，进而得出∠PBQ=90°，再利用勾股定理得出∠PQC的度数，进而求出∠BQC的度数；（2）将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°得到△CBP'，由旋转知，△APB≌△CP'B，即∠BPA=∠BP'C，P'B=PB=5，P'C=PA=12，进而得出△PBP'也是正三角形，即∠PP'B=60°，PP'=5．在△PP'C中，由勾股定理的逆定理得出∠PP'C=90°，从而可以得出结论．
32．如图，平面直角坐标系中，一次函数 的图象 分别与 ， 轴交于 ， 两点，正比例函数的图象 与 交于点 ．
（1）求m的值及l2的解析式；
（2）求 的值；
（3）一次函数 的图象为 ，且 ， ， 不能围成三角形，直接写出 的值．
【答案】（1）解：将点 代入 得 ，解得m=2，
∴C（2，3）
设l2的解析式为y=nx，
将点C代入得：3=2n，
∴ ，
∴ 的解析式为： ；
（2）解：如图，过点C作CE⊥y轴于点E，作CF⊥x轴于点F，
∵C（2，3）
∴CE=2，CF=3，
∵一次函数 的图象 分别与 ， 轴交于 ， 两点，
∴当x=0时，y=4，当y=0时，x=8，
∴A（8，0），B（0，4），
∴OA=8，OB=4，
∴
（3）解：①当l1∥l3时， ， ， 不能围成三角形，此时k= ；
②当l2∥l3时， ， ， 不能围成三角形，此时k= ；
③当l3过点C时，将点C代入 中得： ，解得k=1，
综上所述，k的值为 或 或1．
【解析】【分析】（1）将点C坐标代入 即可求出m的值，利用待定系数法即可求出l2的解析式；（2）根据一次函数 ，可求出A（8，0），B（0，4），结合点C的坐标，利用三角形面积的计算公式即可求出 的值；（3）若 ， ， 不能围成三角形，则有三种情况，①当l1∥l3时；②当l2∥l3时；③当l3过点C时，根据得出k的值即可．
33．国庆期间，为了满足群众的消费需求，某电器商场计划用190000元购进一批家电，这批家电的进价和售价如下表：
类别 彩电 冰箱 洗衣机
进价（元/台） 2000 1400 1000
售价（元/台） 2400 1600 1100
若在现有资金允许的范围内，购买上表中三类家电共100台，其中彩电台数是洗衣机台数的2倍，设该电器商场购买洗衣机 台.
（1）电器商场至多可以购买洗衣机多少台？
（2）购买洗衣机多少台时，能使电器商场销售完这批家电后获得的利润最大？最大利润为多少元？
【答案】（1）解：根据题意，得：2000 2x+1000x+1400（100﹣x﹣2x）≤190000，
解得：x ，
∵x为正整数，
∴x至多为62，
答：商店至多可以购买洗衣机62台.
（2）解：设商店销售完这批家电后获得的利润为y元，
则y＝（2400﹣2000）2x+（1100﹣1000）x+（1600﹣1400）（100﹣3x）＝300x+20000，
∵k＝300＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵x 且x为正整数，
∴当x＝62时，y有最大值，最大值为：300×62+20000＝38600，
答：购买洗衣机62台时，能使商店销售完这批家电后获得的利润最大，最大利润为38600元.
【解析】【分析】（1）由 购买洗衣机 台和“彩电台数是洗衣机台数的2倍”可得购买彩电2x台，则购买冰箱（100-x-2x）台，根据三类家电的进价以及计划用 190000元 可得不等式，求解可得结果；
（2） 设商店销售完这批家电后获得的利润为y元， 根据利润=单个利润×数量以及（1）中三类家电的数量可得x与y之间的一次函数，根据一次函数的性质可得结果.
34．端午节是中华民族的传统节日，全国各地素来都有端午节吃粽子的习俗．在今年端午节前夕，某商场采购了一批甲、乙两种品牌的粽子共600盒，其中采购甲品牌粽子花费7200元，采购乙品牌粽子花费9600元，已知每盒甲品牌粽子的进价是乙品牌粽子进价的1.5倍．
（1）求该商场采购的甲、乙两种品牌的粽子每盒进价分别是多少元．
（2）该商场原计划确定甲品牌粽子的售价为60元/盒，乙品牌粽子的售价为32元/盒．后调整销售策略，对甲品牌粽子进行打折销售，乙品牌粽子按原价售出．若要使购进的甲、乙两种品牌的粽子全部售出后所获利润不低于5600元，则每盒甲品牌粽子最低能打几折？
【答案】（1）设乙品牌粽子进价为 元/盒，则甲品牌粽子进价为 元/盒．
由题意，得 ，
解得 ．
经检验， 是原方程的根．
所以 ．
答：每盒甲品牌粽子进价为36元，每盒乙品牌粽子进价为24元．
（2）由（1）可得，该商场购进甲品牌粽子 （盒），购进乙品牌粽子 （盒）．
设甲品牌粽子每盒打 折，由题意，得 ，
解得 ．
答：每盒甲品牌棕子最低打8折．
【解析】【分析】（1）设乙品牌粽子进价为 x 元/盒，则甲品牌粽子进价为 1.5x 元/盒，根据等量关系：甲、乙两种品牌的粽子共600盒；据此列出方程，并解答即可；
（2）设甲品牌粽子每盒打 a 折，依据甲、乙两种品牌的粽子全部售出后所获利润不低于5600元，列出不等式，并解答即可；
35．为倡导“低碳出行”，每年9月22日为世界无车日，2020年9月22日，由中国城市公共交通协会联合清华大学中国城市研究院共同举办的第十四届“922绿色出行日”主题活动拉开序幕，环保部门对某城市居民出行使用交通方式的情况进行了问卷调查，将收回的问卷调查结果整理后，绘制了如下不完整的统计图，其中“骑自行车、电动车”所在的扇形的圆心角是162°．
请根据以上信息解答下列问题：
（1）请补全条形统计图．
（2）如果绿色出行是指“骑自行车、电动车”和“坐公交车”，计算绿色出行在所有交通方式中的频率，并在50万人口的城市中选择绿色出行的共有多少人．
（3）若参与问卷调查的人中选择“其他”交通方式的有两名女性，其余为男性，现从中随机选取两人进行跟踪调查，请借助树状图或者表格，求出恰好选到1男1女的概率．
【答案】（1）解：被调查的总人数为： （人），
则骑自行车、电动车的人数为： （人），
“其他”人数为 （人）
补全条形统计图如图：
（2）解：绿色出行在所有交通方式中的频率为 ，
估计50万人口的城市中选择绿色出行的共有 （万人）．
（3）解：易知选择“其他”交通方式的有两名女性，三名男性，面树状图如下：
由树状图可知共有20种等可能的情况，其中是1男1女的情况有12种，
∴恰好选到1男1女的概率为 ．
【解析】【分析】（1）根据坐车的人数和所占的百分比求出总人数，用总人数乘以 骑自行车、电动车的人数所占的百分比，求出各自的人数，再用总人数减去其他的人数，求出其他人数，从而补全统计图；
（2）先求出绿色出行再所有交通方式中的频率，再乘以总人数即可；
（3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好选到是1男1女的情况有12种， 再根据概率公式即可得出答案。
36．如图，以△ABC中的AB、AC为边分别向外作正方形ADEB，ACGF，连接DC、BF．（相关知识链接：正方形的四条边都相等，四个角都是直角）
（1）观察图形，利用旋转的观点说明：△ADC绕着点 逆时针旋转 °得到．
（2）猜想：CD与BF有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的猜想．
【答案】（1）A；90
（2）解：CD＝BF，CD⊥BF．
理由：如图，
由（1）知，△DAC≌△BAF，
∴CD＝BF，∠AFN＝∠ACD，
∵在直角△ANF中，∠AFN+∠ANF＝90°，∠ANF＝∠CNM，
∴∠ACD+∠CNM＝90°，
∴∠NMC＝90°
∴CD⊥BF，
即CD与BF的数量关系是CD＝BF，位置关系是CD⊥BF．
【解析】【解答】解：（1）根据正方形的性质可得：AD＝AB，AC＝AF，
∠DAB＝∠CAF＝90°，
∴∠DAC＝∠BAF＝90°+∠BAC，
∴△DAC≌△BAF（SAS），
故△ADC可看作△ABF绕A点逆时针旋转90°得到．
故答案为：A，90；
【分析】（1）根据旋转的性质求解即可；
（2）根据全等三角形的性质可得CD＝BF，∠AFN＝∠ACD，再利用角的运算和等量代换可得∠NMC＝90°，即可得到CD⊥BF。
37．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
（1）求证：AD＝CD；
（2）若∠B＝60°，BC＝3，求四边形ADCE的面积．
【答案】（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴EC∥DB，且EC＝DB．
在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∴AD＝DB＝CD；
（2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B＝60°，BC＝3，
∴AD＝DB＝CD＝3．
∴AB＝6，由勾股定理得AC＝3．
∵四边形DBCE是平行四边形，∴DE＝BC＝3．
∵EC＝BD＝AD，CE∥DB，∴四边形ADCE是平行四边形．∴ED∥BC．∴∠AOD＝∠ACB．
∵∠ACB＝90°，∴∠AOD＝∠ACB＝90°．
∴平行四边形ADCE是菱形，
∴S菱形ADCE＝．
【解析】【分析】（1）先求出 四边形DBCE是平行四边形 ，再求出 EC∥DB，且EC＝DB ，最后证明求解即可；
（2）先求出 四边形ADCE是平行四边形 ，再求出 ∠AOD＝∠ACB＝90°，最后求解即可。
38．我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.
（1）请你写出一个等对边四边形的名称；
（2）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，设CD、BE相交于点O，若∠A=50°， .请写出图中其余等于50°的角，并猜想图中哪个四边形为等对边四边形(不需证明）；
（3）在 中，如果∠A是不等于50°的锐角，点D、E分别在AB、AC上，且 .探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.
【答案】（1）解：平行四边形，
∵平行四边形有两组对边相等，
∴平行四边形是等对边四边形
（2）解：∠BOD＝50°，∠COE＝50°，
∵∠A=50°，
∵∠BOD＝∠OBC＋∠OCB＝25°＋25°＝50°，
∴∠COE＝50°，
猜想：四边形DBCE是等对边四边形（证明过程见第三问）
（3）解：存在等对边四边形DBCE.
证明：如图，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点.
∵∠DCB＝∠EBC＝ ∠A，BC为公共边，
∴△BCF≌△CBG，
∴BF＝CG，
∵∠BDF＝∠ABE＋∠EBC＋∠DCB，∠BEC＝∠ABE＋∠A，
∴∠BDF＝∠BEC，
∴△BDF≌△CEG，
∴BD＝CE，
∴四边形DBCE是等对边四边形
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质和等对边四边形的定义即可求解；
（2）由三角形外角的性质结合已知求出∠BOD即可求解；
（3）用角角边可证△BGO≌△CFO，再证△BGD≌△CFE，可得到BD＝CE，结合 等对边四边形的定义即可求解．
39．如图，在 中， ，过点 的直线 为 边上一点，过点 作 交直线 于 ，垂足为 ，连接
（1）求证：
（2）当点 在 中点时，四边形 是什么特殊四边形 说明理由；
（3）若 为 的中点，则当 的大小满足什么条件时，四边形 是正方形 说明理由．
【答案】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC//DE，
∵MN//AB，即CE//AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE=AD
（2）解：四边形BECD是菱形，理由如下：
∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∵CE=AD，
∴BD=CE，∵BD//CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD=BD，
∴四边形BECD是菱形
（3）解：若D为AB中点，则当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由如下：
∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
∵四边形BECD是菱形，
∴DC=DB，
∴∠DBC=∠DCB=45°，
∴∠CDB=90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴四边形BECD是正方形．
【解析】【分析】（1）由已知易证AC//DE ，从而由平行四边形定义即可判定四边形ADEC是平行四边形， 再由平行四边形的性质得出结论；（2）先证明四边形BECD是平行四边形，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半说明邻边相等，证明该四边形是菱形；（3）由平行线的性质得出∠EDB=∠A，由正方形的性质得出∠BDC=90°，∠EDB= ∠BDC=45°，即可得出结论．
40．（1）如图①，将矩形纸片沿对角线折叠，使点B落在点处，与交于点E，求证：是等腰三角形；
（2）点O是矩形纸片对角线的交点，将该纸片沿过点O的线段折叠，使点A的对应点为，点B与点D重合，连接，求证：四边形是菱形；
【答案】（1）证明：将矩形纸片沿对角线折叠，使点落到点的位置，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）证明：连接，
将该纸片沿过点的线段折叠，使点的对应点为，点与点重合，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
【解析】【分析】（1）由折叠的性质可知∠ECA=∠ACB，再由平行线的性质得到∠EAC=∠ACB，等量代换，可得∠ECA=∠EAC，等角对等边，最后得等腰三角形；
（2）连接BD，证明△DOF≌△BOE（AAS），所以DF=BE，从而得出四边形BEDF是平行四边形，再根据菱形的判定可得出最终结论．
41．如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB
（1）求证：△BCP≌△DCP；
（2）求证：∠DPE=∠ABC；
（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE= 度．
【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，
∵在△BCP和△DCP中，，
∴△BCP≌△DCP（SAS）；
（2）证明：由（1）知，△BCP≌△DCP，
∴∠CBP=∠CDP，
∵PE=PB，∴∠CBP=∠E，∴∠CDP=∠E，
∵∠1=∠2（对顶角相等），
∴180°﹣∠1﹣∠CDP=180°﹣∠2﹣∠E，
即∠DPE=∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠ABC，
∴∠DPE=∠ABC；
（3）58
【解析】【解答】解：（3）在菱形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP，
在△BCP和△DCP中，
，
∴△BCP≌△DCP（SAS），
∴∠CBP=∠CDP，
∵PE=PB，
∴∠CBP=∠E，
∴∠DPE=∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠ABC，
∴∠DPE=∠ABC=58°，
故答案为：58
【分析】（1）根据SAS证明△BCP≌△DCP；
（2） 由△BCP≌△DCP可得∠CBP=∠CDP，由等腰三角形的性质可得∠CDP=∠E=∠CBP，根据三角形内角和可求出∠DPE=∠DCE =90°，从而得出∠DPE=∠ABC ；
（3）根据SAS可证明△BCP≌△DCP，可得∠CBP=∠CDP，结合PE=PB，可得∠CBP=∠E=∠CDP，同（2）可求出∠DPE=∠DCE，由AB∥CD可得∠DCE=∠ABC，从而得出∠DPE=∠ABC=58°.
42．如图，矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD边上一点，DE= AD（n为大于2的整数），连接BE，BE的垂直平分线分别交AD，BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG。
（1）试判断四边形BFEG的形状，并说明理由；
（2）当AB=4，n=3时，求FG的长；
（3）记四边形BFEG的面积为S1，矩形ABCD的面积为S2，当 时，求n的值（直接写出结果，不必写出解答过程）。
【答案】（1）解： ∵AB∥CD，∴∠EFO=∠BGO，
∵FG垂直平分BE，∴BO=OE，FB=EF，
在△EFO和△BGO中，，
∴△EFO≌△BGO（AAS），
∴EF=BG，
∵AD∥BC，∴四边形BGEF为平行四边形，
∵FB=EF，∴四边形BGEF为菱形；
（2）解： 当AB=4，n=3时，∴AD=8，AE=，
由勾股定理得BE=，
∴AF=AE-EF=AE-BF，
在Rt△ABF中，AB2+AF2=BF2，即（-BF）2+42=BF2，
解得BF=，则AF=，
菱形BGEF面积=BE·FG=EF·AB，即××FG=×4，
解的FG=5；
（3）解： 设AB=x，则DE=，
S1=BG·AB，S2=BC·AB
当 时 ，，∴BG=，
在Rt△ABF中，AB2+AF2=BF2，可得AF=，
∴AE=AF+FE=AF+BG=，DE=AD-AE=，
∴=，∴n=6.
【解析】【分析】（1）证明△EFO≌△BGO（AAS），可得EF=BG，由FG垂直平分BE，可得FB=EF，结合EF∥BG，可证四边形BGEF为菱形；
（2）先求出BE、EF，根据菱形BGEF面积=BE·FG=EF·AB，即可求出FG；
（3）设AB=x，则DE=，由菱形即矩形的面积可得S1=BG·AB，S2=BC·AB，由得出BG=，由勾股定理求出AF，再求出DE的长，从而得出方程=，解出n值即可.
43．已知甲、乙两地相距千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发前往乙地，轿车比货车晚出发2小时，轿车每小时比货车多行驶30千米，最后同时到达．
（1）求货车的速度；
（2）设货车行驶时间为x小时，离甲地的距离是y千米，如图，线段分别表示货车、轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系，那么点A的坐标是 ；线段对应的函数解析式为 ．（不需要写出定义域）
【答案】（1）解：设货车每小时行驶m千米，则轿车每小时千米，
则可列方程：，
解得：，，
经检验，，均为原方程的解，
但不符合题意，舍去．
∴，
答：货车的速度为60千米/小时．
（2）；
【解析】【解答】解：（2）设货车行驶时间为x小时到达，则轿车行驶时间为(x -2)小时到达，
由题意可得：60x = 90 (x -2)，
解得：x =6，
∴60 x 6 = 360，
∴A (6，360)，
设线段BA对应的函数解析式为y=ax+b，
把A(6，360)，B(2，0)代入解析式得：
，
解得：，
∴线段BA对应的函数解析式为y=90x-180，
故答案为：(6，360)，y = 90x-180.
【分析】（1）根据题意找出等量关系求出 ， 再解方程求解即可；
（2）根据题意先求出60x = 90 (x -2)，再求出A (6， 360)，最后利用待定系数法求函数解析式即可。
44．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=2x+b 与 x 轴交于点（1，0），与一次函数 y = x + 3的图象相交于点A．
（1）求b的值，并直接在图中画出这两个一次函数的图象（不写画图过程）；
（2）求点A的坐标；
（3）若 P 是
x 轴的正半轴上一点，且满足 是等腰三角形，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）解：由题意，将点 代入直线 得： ，
解得 ，
则直线的解析式为 ，
利用描点法画出这两个一次函数的图象如下所示：
（2）解：联立 ，解得 ，
故点A的坐标为 ；
（3） 或 或
【解析】【解答】解：（3）设点P的坐标为 ，
则 ，
，
，
根据等腰三角形的定义，分以下三种情况：
①当 时， 是等腰三角形，
则 ，即 ，
解得 或 （不符题意，舍去），
此时点P的坐标为 ，
②当 时， 是等腰三角形，
则 ，即 ，
解得 或 （不符题意，舍去），
此时点P的坐标为 ，
③当 时， 是等腰三角形，
则 ，即 ，
解得 ，
此时点P的坐标为 ，
综上，点P的坐标为 或 或 ．
【分析】（1） 将点 代入直线 中，求出b值， 再利用描点法画出这两个一次函数的图象即可；
（2）联立两个一次函数解析式为方程组，解出方程组，即得点A坐标；
（3）设点P的坐标为 ，根据等腰三角形的性质分三种情况：①当 时，②当 时，③当 时，据此分别解答即可.
45．如图，在平行四边形ABCD中， ， ， ，P是射线AD上一点，连接PB，沿 将 折叠，得 .
（1）如图所示，当 时，APB= 度；
（2）如图所示，当 时，求线段PA的长度；
（3）当点P为AD中点时，点F是边AB上不与点A、B重合的一个动点，将 沿 折叠，得到 ，连接 ，求 周长的最小值.
【答案】（1）85
（2）解：如图2：作BH⊥AD于H
在Rt△ABH中
∵∠AHB= ，AB=10，
∴∠ABH=
∴AH= AB=5
BH=
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∵
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：
（3）解：如图3中，作BH⊥AD于H ，连接BP
∵PA=8，AH=5
∴PH=3
∵BH=
∴PB=
由翻折可知： PA= =8， FA= ，
的周长
+BF+ =AF+BF+ =AB+ =10+
∴当 最小时， 的周长最小
∵
∴
∴ 的最小值为
∴ 的周长的最小值为：
故答案为：
【解析】【解答】解：（1）如图1：
图1
∵
∴
由折叠的性质可知：
故答案为：
【分析】（1）求出 ，利用翻折不变性解决问题即可.（2）如图2中，作BH⊥AD于H.根据30度角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理求出AH，PH即可解决问题.（3） 的周长= +BF+ =AF+BF+ =AB+ =10+ ，推出当 的周长最小时， 的周长最小，由此即可解决问题.
46．（教材呈现）下图是华师版九年级上册数学教材第103—104页的部分内容．
（1）定理证明：请根据教材图24.2.2的提示，结合图①完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明．
（2）定理应用：如图②，在 中， ，垂足为点D（点D在 上）， 是 边上的中线， 垂直平分 ．求证： ．
【答案】（1）解：延长CD到点E，使CD=DE，连接AE、BE，
∵DC是AB边上的中线，
∴AD=BD，
又∵CD=DE，
∴四边形EBCA为平行四边形，
又∵∠ACB为直角，
∴四边形EBCA为矩形，
∴AB=CE，
∴ ，
∴直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）
解：连接ED，
∵△ABC中， 是 边上的中线，
∴E为AB的中点，
又∵ ，
∴DE是直角三角形ABD斜边上的中线，
∴DE=BE，
∴∠B=∠EDB，
∵ 垂直平分 ，
∴DE=DC，
∴∠DEC=∠BCE，
∵∠EDB=∠DEC+∠BCE，
∴∠EDB=2∠BCE，
∴ ．
【解析】【分析】定理证明：延长CD到点E，使CD=DE，通过条件证明四边形EBCA为矩形，利用矩形的性质可得到结论；定理应用：连接ED，通过定理得到DE=BE，即∠B=∠EDB，然后通过 垂直平分 ，得到DE=DC，即∠DEC=∠BCE，利用三角形外角可证得结论．
47．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，以OC，OD为邻边作平行四边形OCED，连接OE．
（1）求证：四边形OBCE是平行四边形；
（2）连接BE交AC于点F．若AB＝2，∠AOB＝60°，求BF的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵四边形OCED是平行四边形，
∴四边形OCED为菱形，
∴CE∥OB，CE＝OB，
∴四边形OBCE为平行四边形
（2）解：过F作FM⊥BC于M，过O作ON⊥BC于N，
∵FM⊥BC，ON⊥BC，
∴ON∥FM，
∵AO＝OC，
∴ON＝ AB＝1，
∵OF＝FC，
∴FM＝ ON＝ ，
∵∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴∠OAB＝60°，∠ACB＝30°，
在 Rt△ABC中：
∵AB＝2，∠ACB＝30°，
∴BC＝2 ，
∵∠ACB＝30°，FM＝ ，
∴CM＝ ，
∴BM＝BC﹣CM＝ ，
∴BF＝ ＝ ．
【解析】【分析】（1）矩形的对角线相等且互相平分，易得四边形OCED为菱形，即可得出CE∥OB且CE=OB，故四边形OBCE为平行四边形；
（2）O、F分别是BD、OC中点，从而可求出ON、FM，再根据直角三角形的性质可求BC，CM继而可求出BF。
48．如图①，已知正方形 ，把一个直角与正方形叠合，使直角顶点与正方形的一个顶点重合，当直角的一边与 相交于点 ，另一边与 的延长线相交于点 时.
=
（1）证明： ；
（2）如图②，作 的平分线交 于点 ，连接 .证明： .
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠B=∠ADC=90°，
∵∠EAF=90°，
∴∠EAD+∠FAD=90°，∠EAD+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠DAF，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴BE=DF；
（2）证明：∵△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，
∵∠EAF的平分线交CD于G点，
∴∠EAG=∠FAG，
在△AEG和△FAG中
，
∴△AEG≌△FAG（SAS），
∴GE=GF，
∵GF=DG+DF，
而BE=DF，
∴BE+DG=EG；
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得AB=AD，∠BAD=∠B=∠ADC=90°，再根据等角的余角相等得∠BAE=∠DAF，则可根据“ASA”证明△ABE≌△ADF，然后根据全等的性质即可得到BE=DF；
（2）由△ABE≌△ADF得AE=AF，再根据角平分线的定义得∠EAG=∠FAG，然后根据“SAS”可判断△AEG≌△FAG，得到GE=GF，由于GF=DG+DF，所以BE+DG=EG；
49．如图，现有矩形和一个含内角的直角三角形按图所示位置放置和重合，其中，将绕点顺时针旋转，在旋转过程中，直线与边交于点，如图所示．
（1）求证：；
（2）连接、，当时，求出此时的度数；
（3）如图，以为边的矩形内部作正方形，直角边所在直线交线段于点，交于点设，，写出关于的函数解析式．
【答案】（1）证明：连接，
四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
；
（2）解：当时，可知点在的垂直平分线上，
过点作于点，于点，
，
四边形是矩形，
，
，，
∴，
，
在中，，，
取的中点，则，
∴
即是等边三角形，
∴，
，
；
此时旋转角为.
（3）解：连接，
四边形是正方形，
，
，
在和中
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
整理得
【解析】【分析】（1）连接，先根据矩形的性质即可得到，进而得到，再运用旋转的性质结合三角形全等的判定与性质证明即可得到；
（2）当时，可知点在的垂直平分线上，过点作于点，于点， 进而根据垂直平分线的性质即可得到，进而根据矩形的判定与性质即可得到，进而结合题意即可得到，取的中点，则，进而得到是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得到，再结合题意即可得到，从而即可求解；
（3）连接，先根据正方形的性质即可得到，，再根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而结合题意即可得到，，，然后运用勾股定理即可求出y与x的函数解析式。
50．郑州到西安的路程为480千米，由于西安疫情紧张，郑州物资中心对西安进行支援.甲乙两辆物资车分别从郑州和西安出发匀速行驶相向而行.甲车到西安后立即返回，已知乙车的速度为每小时，且到郑州后停止行驶，进行消毒.它们离各自出发地的距离与行驶时间之间的关系如下图所示.
（1） ， .
（2）请你求出甲车离出发地郑州的距离与行驶时间之间的函数关系式.
（3）求出点P的坐标，并说明此点的实际意义.
（4）直接写出甲车出发多长时间两车相距40千米.
【答案】（1）8；6.5
（2）解：当甲车从郑州去西安时，
∵甲车的速度为120千米/小时，
∴甲车与郑州的距离，
当甲车从西安返回郑州时，
∵甲车的速度为120千米/小时，
∴甲车与郑州的距离，
∴；
（3）解：根据函数图象可知P点代表的实际意义是：在P点时，甲乙两车距自己的出发地的距离相同，
∵此时甲车处在返程途中，
∴，
解得，
∴，
∴点P的坐标为（5，360），
∴点P的实际意义是：甲车在行驶5小时后，甲乙两车分别距自己的出发地的距离为360千米；
（4）当甲车出发2.4小时或2.8小时或小时两车相距40千米
【解析】【解答】解：（1）∵甲乙两辆物资车分别从郑州和西安出发匀速行驶相向而行.甲车到西安后立即返回，乙车到底郑州后立即停止，
∴直线的函数图象是乙车的，折线的函数图象是甲车的，
由函数图象可知，甲车4小时从郑州行驶到西安走了480千米，
∴甲车的速度=480÷4=120千米/小时，
∴甲车从西安返回郑州需要的时间=480÷120=4小时，
∴m=4+4=8；
∵乙车的速度为80千米/小时，
∴乙车从西安到达郑州需要的时间=480÷80=6小时，
∵由函数图象可知乙车是在甲车出发0.5小时后出发，
∴n=0.5+6=6.5，
故答案为：8，6.5；
（4）当甲车在去西安的途中，甲乙两车相遇前，
由题意得：，
解得；
当甲车在去西安的途中，甲乙两车相遇后，
由题意得：，
解得；
当甲车在返回郑州的途中，乙未到郑州时，
由题意得：
解得（不符合题意，舍去），
当甲车在返回郑州的途中，乙已经到郑州时，
由题意得：
解得；
综上所述，当甲车出发2.4小时或2.8小时或小时两车相距40千米.
【分析】（1）根据两车行驶的路线可判断出直线的函数图象是乙车的，折线的函数图象是甲车的，求出甲车到西安后立即返回的总时间即为m值；求出乙车从西安到达郑州需要的时间，再加上0.5即得n值；（2）分求出甲车从郑州去西安时及当甲车从西安返回郑州时的y与x的关系即可；
（3）根据函数图象可知P点代表的实际意义是：在P点时，甲乙两车距自己的出发地的距离相同，而此时甲车处在返程途中， 根据“两车距自己的出发地的距离相同”列出方程求出x值，再代入y=960-120x求出y值即得点P坐标；
（4）分四种情况：①当甲车在去西安的途中，甲乙两车相遇前，②当甲车在去西安的途中，甲乙两车相遇后，③当甲车在返回郑州的途中，乙未到郑州时，④当甲车在返回郑州的途中，乙已经到郑州时，据此分别列出方程并求解即可.
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