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【精选热题·期末50道综合题专练】苏科版数学七年级下册复习卷
1．随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营A、B两种型号的自行车。
（1）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，求A型车最少进货多少辆？
（2）若该车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少，求：A型自行车去年每辆售价多少元？
2．某商品的进价为每件100元，商场按进价提高50%后标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润不低于20%，则至多可以打几折？
3．列方程（组）解应用题
如图所示，某工厂生产镂空的铝板雕花造型，造型由（绣球花）、B（样云）两种图案组合而成．因制作工艺不同，A、B两种图案成本不同，厂家提供了如下几种设计造型，造型1的成本64元，造型2的成本42元，造型3的成本是多少元？
4．文具店计划购进若干数量某品牌的圆规和笔袋．如果购进5个圆规和10个笔袋，那么需花费130元；如果购进20个圆规和30个笔袋，那么需花费440元．
（1）求每个圆规和每个笔袋的进价．
（2）该文具店决定购进圆规和笔袋共100个，且总费用不超过920元，那么该文具店最多可以购进多少个圆规？
5．某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元.
（1）若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球、足球各买了多少个？
（2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？
6．如图， ， 于点D， 于点F.
（1）请说明 的理由；
（2）若 ，求 的度数.
7．解不等式组：
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ．
（2）解不等式②，得 ．
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）所以原不等式组的解集为 ．
8．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助助理解数学问题.
（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式.
图1 ， 图2 ， 图3 .
（2）用4个全等的长和宽分别为的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你通过计算阴影部分的面积， 写出这三个代数式之间的等量关系.
（3）根据（2）中你探索发现的结论，计算： 当时， 求的值.
9．某商店欲购进A、B两种商品，若购进A种商品5件和B种商品4件需300元；若购进A种商品6件和B种商品8件需440元；
（1）求A、B两种商品每件的进价分别为多少元？
（2）商店准备用不超过1625元购进50件这两种商品，求购进A种商品最多是多少件？
10．
（1）如图是小颖家新房的户型图，小颖的爸爸打算把两个卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格为每平方米a元，那么购买地砖至少需要多少元？
（2）如果房屋的高度是h米，现在需要在客厅和两个卧室四周的墙上贴墙纸，那么至少需要多少平方米的墙纸？如果某种墙纸的价格为每平方米b元，那么购买所需的墙纸至少要多少元？（计算时不扣除门、窗所占的面积，忽略墙的厚度）
11．如图，已知 ，点 ， ， 在同一条直线上.
（1）已知 ，求 的度数；
（2）已知 ， ，求 的度数；
（3）当 ， 的度数变化时， ， ， 之间的数量关系会变化吗？如果不变，请写出它们之间的数量关系.
12．芳芳计算一道整式乘法的题：（2x+m）（5x﹣4），由于芳芳抄错了第一个多项式中m前面的符号，把“+”写成“﹣”，得到的结果为10x2﹣33x+20．
（1）求m的值；
（2）计算这道整式乘法的正确结果．
13．已知：如图，AB平分∠CBD，∠DBC=60°，∠C＝∠D.
（1）若AC⊥BC，求∠BAE的度数；
（2）请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；
（3）如图，过点D作DG∥BC交CE于点F，当∠EFG＝2∠DAE时，求∠BAD的度数.
14．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系．△ABC的顶点都在格点上．
（1）将△ABC 向右平移 6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2：
（3）若将△ABC 绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标.
15．六月毕业季，花店准备购进向日葵与百合两种鲜花，若购进向日葵支，百合支，需要元；若购进向日葵支，百合支， 需要元．
（1）求花店购进向日葵与百合两种鲜花每支需要多少元
（2）若花店准备元全部用来购进向日葵与百合两种鲜花，计划销售每支向日葵可获利润元，销售每支百合可获利润元，且销售两种鲜花的总利润不低于元，那么花店需要最多购进百合多少支
16．随着某市“灯光秀”展演活动的惊艳开演，该市的游客量逐日递增．某校数学学习小组通过调查了解到，演出地点附近的商铺通过售卖A、B两种品牌的饮料进行盈利，该商铺于“灯光秀”活动前夕购进A品牌饮料20箱，B品牌饮料10箱，一共花费2000元，且购买一箱B品牌饮料比购买一箱A品牌饮料多花20元．
（1）问购买一箱A品牌、一箱B品牌的饮料各需多少元？
（2）由于游客量逐步地增加，该商铺决定再次购进A、B两种品牌饮料共20箱，恰逢厂家对两种品牌饮料的售价进行调整，A品牌饮料售价比第一次购买时提高了，B品牌饮料按第一次购买时售价的9折出售．如果该商铺此次购买A、B两种品牌饮料的总费用不超过1350元，那么该商铺此次最多可购买多少箱B品牌饮料？
17．某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：
信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是3元；
信息2：甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元；
信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元.
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求甲、乙两种商品的零售单价；
（2）该商店平均每天卖出甲乙两种商品各600件，经调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售120件，商店决定把甲种商品的零售单价下降 元.在不考虑其他因素的条件下，当 为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1200元
18．已知关于x、y的二元一次方程组 （k为常数）．
（1）求这个二元一次方程组的解（用含k的代数式表示）；
（2）若方程组的解x、y满足x+y＞5，求k的取值范围；
（3）若k≤1，设m＝2x﹣3y，且m为正整数，求m的值．
19．2024年4月23日是第29个世界读书日，为了感悟阅读的幸福，体味生命的真谛，分享读书的乐趣．我校举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园——阅读·梦飞翔”的主题活动，为此特为每个班级订购了一批新的图书，初一（1）班订购《老舍文集》4套和《四大名著》2套，总费用为480元，初一（2）班订购《老舍文集》2套和《四大名著》3套，总费用为520元．
（1）求《老舍文集》和《四大名著》每套各多少元？
（2）学校准备再购买《老舍文集》和《四大名著》共20套，总费用不超过1720元，购买《老舍文集》的数量不超过《四大名著》2倍，问学校有几种购买方案？请你设计出来．
20．比较下列各题中幂的大小：
（1）比较，，，这个数的大小关系；
（2）已知，，，比较、、的大小关系；
（3）已知，，比较，的大小关系．
21．据永川区农业信息中心介绍，去年永川生态枇杷园喜获丰收，个体商贩张杰准备租车把枇杷运往外地去销售，经租车公司负责人介绍，用2辆甲型车和3辆乙型车装满枇杷一次可运货12吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满枇杷一次可运货17吨，现有21吨枇杷，计划同时租用甲型车m辆，乙型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满枇杷，根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆甲型车和1辆乙型车都装满枇杷一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮个体商贩张杰设计共有多少种租车方案？
22．如图，在中，，点是线段上一点．
（1）尺规作图：在内作，与边交于点（保留作图痕迹，不用写作法）；
（2）在（1）的条件下，当时，求的度数．
23．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC
（1）若∠B=70°，∠C=30°，求；
①∠BAE的度数．
②∠DAE的度数．
（2）探究：如果只知道∠B=∠C+40°，那么能求岀∠DAE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
24．
（1）如图①②，试探究其中 之间的数量关系，并选择一图进行证明
（2）如果我们把 称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式.
25．如图，D，E分别是 边 ， 上的点， ，点F在 的延长线上，且 .
（1）试判断 与 的位置关系，并说明理由.
（2）若 比 大 .求 的度数.
26．在篮球比赛中，小明一共投了20个球，命中率为，总共得了32分．小刚投20个球得了17分．（小明、小刚均无罚球）
（1）小明各投进几个三分球和几个二分球？
（2）小刚可能的投篮情况是命中几个三分球，几个二分球？
27．小芳去商店购买甲、乙两种商品. 现有如下信息：
信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是5元，按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了19元；
信息2：甲商品零售单价比甲进货单价多1元，乙商品零售单价比乙进货单价的2倍少1元．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元
（2）若小芳准备用不超过400元钱购买100件甲、乙两种商品，其中甲种商品至少购买多少件？
28．“共建环保模范城，共享绿色新重庆”，市政府强力推进城市生活污水处理、生活垃圾处理设施建设改造工作.为此，某化工厂在一期工程完成后购买了4台甲型和5台乙型污水处理设备，共花费资金102万元，且每台乙型设备的价格比每台甲型设备价格少3万元.已知每台甲型设备每月能处理污水240吨，每台乙型设备每月能处理污水180吨.今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两型设备共12台用于二期工程的污水处理，预算本次购买资金不超过129万元，预计二期工程完成后每月将产生不少于2220吨污水.
（1）请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少万元？
（2）请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案；
（3）请你说明在（2）的所有方案中，哪种购买方案的总花费最少？
29．如图，ADBC，∠DAC=105°，∠ACN=25°，CE平分∠BCN交AB于点E，过点E作EFAD交CN于点F，求∠FEC的度数．
（1）依题意补画出线段EF；
（2）完成下面求∠FEC的度数的过程．
证明：∵ADBC
∴∠DAC+∠ACB=180°（ ）
∵∠DAC=105°
∴∠ACB= ▲ 又∵∠ACN=25°
∴∠BCN=∠ACB－∠ACN= ▲
又CE平分∠BCN
∴∠BCE= ▲
∵ADBC，EFAD
∴ ▲ （ ）
∴ ▲ （两直线平行，内错角相等）
∴∠FEC= ▲ ．
30．端午节来临之际，哈市“隆兴”饰品商店准备购进A、B两种品牌的挂件进行销售，已知若购进A品牌的挂件2个，B品牌的挂件3个，共需90元，若购进A品牌的挂件4个，B品牌的挂件2个，共需100元．
（1）求A、B两种品牌的挂件每个各多少元？
（2）若该饰品店购进A、B两种品牌的挂件共100个，其中A品牌的挂件每个售价为25元，B品牌的挂件每个售价为35元，A品牌的挂件很快售完，B品牌的挂件最后有10个打八折销售，售完全部挂件该饰品店共获利1230元，求该饰品店A、B两种品牌的挂件分别购进多少个？
31．某家庭投资3.5万元资金建造屋顶光伏发电站，遇到晴天平均每天可发电30度，其他天气平均每天可发电5度，已知某月（按30天计）共发电600度.
（1）求这个月晴天的天数；
（2）已知该家庭每月平均用电150度，若按每月发电600度计算，问至少需要几年才能收回成本？（不计其他费用，结果取整数）
32．为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．
（1）科技类图书与文学类图书的单价分别是多少元？
（2）为支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但少于50本时，每本单价降低2元；不少于50本时，每本单价降低3元．社区购进两种图书共100本，总费用为3050元．则科技类图书与文学类图书各可以购买多少本？
33．用消元法解方程组 时，两位同学的解法如下：
（1）反思：上述两个解题过程中有无计算不符合题意？若有误，请在不符合题意处打“×”.
（2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答.
34．如图，已知∠A＝∠C，AD⊥BE，BC⊥BE，点E，D，C在同一条直线上.
（1）判断AB与CD的位置关系，并说明理由.
（2）若∠ABC＝120°，求∠BEC的度数.
35．如图，已知△ABC，
（1）画出与△ABC关于y轴对称的图形A1B1C1；
（2）求△ABC的面积.
36．某超市购进甲、乙两种型号的空气加湿器进行销售，其进价与售价如下表：
进价（元/台） 售价（元/台）
甲型 150 200
乙型 120 160
该超市决定用不超过6750元的资金采购甲、乙两种型号的空气加湿器共50台，且甲型空气加湿器的数量不少于23台．
（1）问超市有哪几种进货方案？
（2）请你通过计算判断，选择哪种进货方案该超市获得利润最多？
37．“佳园工艺店”打算制作一批有两边长分别是7分米，3分米，第三边长为奇数（单位：分米）的不同规格的三角形木框．
（1）要制作满足上述条件的三角形木框共有 种．
（2）若每种规格的三角形木框只制作一个，制作这种木框的木条的售价为8元╱分米，问至少需要多少钱购买材料？（忽略接头）
38．小明同学用四张长为a、宽为b的长方形卡片(a> b)，拼出如图所示的包含两个正方形的图(任两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙)
（1）图中小正方形的边长是 ．
（2）通过计算小正方形面积，可推出(a+b)、ab、(a-b)三者之间的等量关系式为 ．
（3）运用（2）中的结论，当a+b=9、ab=19时，求小正方形的边长．
39．已知关于x、y的二元一次方程组 的解x、y都是正数，且x的值小于y的值.
（1）求该二元一次方程组的解（用含m的代数式表示）
（2）求m的取值范围.
40．如图，在四边形中，，点、分别在、边上，连接交于，．
（1）求证：；
（2）若，，，求和的度数．
41．居家学习期间，小明坚持每天做运动．已知某两组运动都由波比跳和深蹲组成，每个波比跳耗时5秒，每个深蹲也耗时5秒．运动软件显示，完成第一组运动，其中做了20个波比跳，40个深蹲，共消耗热量132大卡（大卡是热量单位）；完成第二组运动，其中做了20个波比跳，70个深蹲，共消耗热量156大卡；（每个动作之间的衔接时间忽略不计）．
（1）每个波比跳和每个深蹲各消耗热量多少大卡？
（2）若小明想只做波比跳和深蹲两个动作，花10分钟，消耗至少200大卡，小明至少要做多少个波比跳？
42．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（∠D＝30°）的直角顶点放在点O处，一边OE在射线OA上，另一边OD与OC都在直线AB的上方．
（1）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，OD恰好平分∠BOC．
此时t的值为 ；（直接填空）
（2）此时OE是否平分∠AOC？请说明理由；
（3）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠DOE？请说明理由；
（4）在（3）问的基础上，经过多长时间OC平分∠DOB？请画图并说明理由．
43．如图1，直线MN与直线AB，CD分别交于点E，F，∠1与∠2互补
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH
（3）如图3，在(2)的条件下，连结PH，在GH上取一点K，使得∠PKG=2∠HPK，过点P作PQ平分∠EPK交EF于点Q，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．(温馨提示：三角形的三个内角和为180°．)
44．如图
（1）思考探究：如图，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P点，已知∠ABC＝70°，∠ACD＝100°.求∠A和∠P的度数.
（2）类比探究：如图，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P点，已知∠P＝n°.求∠A的度数（用含n的式子表示）.
（3）拓展迁移：已知，在四边形ABCD中，四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE的平分线所在直线相交于点P，∠P=n°，请画出图形；并探究出∠A+∠D的度数（用含n的式子表示）.
45．已知：直线 分别与直线 ， 交于点 ， ． 平分 ， 平分 ，并且 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2， ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个角，使写出的每个角的度数都为 ．
46．已知射线AB∥射线CD，点E、F分别在射线AB、CD上．
（1）如图①，点P在线段EF上，若∠A=25°，∠APC=70°，求∠C的度数；
（2）如图②，若点P在射线FE上运动（不包括线段EF），猜想∠APC、∠A、∠C之间有怎样的数量关系？说明理由；
（3）如图③，若点P在射线EF上运动（不包括线段EF），请直接写出∠A、∠APC、∠C之间的数量关系，不必说明理由．
47．疫情期间，小明家购买防护用品的收据如下表，有部分数据因污损无法识别.根据下表，解决下列问题：
商品名 单价（元） 数量（件） 金额（元）
消毒水
2 98
酒精喷剂 32 3
医用口罩 50
消毒纸巾 20
温度计 189 1
合计
16 703
（1）小明家此次购买的医用口罩和消毒纸巾各多少件？
（2）小明家计划再次购买消毒水和酒精喷剂共10件，且总价不超过360元，则消毒水最多购买多少件？
（3）随着疫情的发展，小明家准备用270元购买医用口罩和消毒纸巾，在270元恰好用完的条件下，有哪些购买方案？
48．已知多项式 与另一个多项式 的乘积为多项式 .
（1）若 为关于 的一次多项式 中 的一次项系数为0，直接写出 的值；
（2）若 为 ，求 的值.
（3）若 为关于 的二次多项式 ，判断 是否可能为关于 的三次二项式，如果可能，请求出b，c的值；如果不可能，请说明理由.
49．某机器人公司为扩大经营，决定购进
6 台机器用于生产某种小机器人．现有甲、乙两种机器供选择，其中每台机器的价格和日生产量如下表所示．经过预算，本次购买机器的费用不能超过 34 万元．
甲种机器 乙种机器
价格/（万元/台） 5 7
每台机器的日生产量/个 60 100
（1）按要求该公司有几种购买方案？
（2）若该公司购进的6台机器的日生产量不能少于380个，那么为了节约资金，应选择哪种购买方案？
50．问题情境：
我们知道，“如果两条平行直线被第三条直线所截，截得的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性度量中通过“构造平行线”可以起到转化角的作用．已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE//GF．
问题初探：
如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，则∠EMC的度数是多少呢？若过点C作CH//GF，则CH//DE，这样就将∠CAF转化为∠HCA，∠EMC转化为∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数为…．
（1）请你直接写出：∠CAF＝ °，∠EMC＝ °．
（2）类比再探：若将将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想∠EMC与∠CAF的数量关系？并说明理由．
（3）方法迁移：请你猜想（1）（2）解决问题的思路，在图（2）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．
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【精选热题·期末50道综合题专练】苏科版数学七年级下册复习卷
1．随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营A、B两种型号的自行车。
（1）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，求A型车最少进货多少辆？
（2）若该车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少，求：A型自行车去年每辆售价多少元？
【答案】（1）20辆
（2）2000元
2．某商品的进价为每件100元，商场按进价提高50%后标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润不低于20%，则至多可以打几折？
【答案】至多可以打8折
3．列方程（组）解应用题
如图所示，某工厂生产镂空的铝板雕花造型，造型由（绣球花）、B（样云）两种图案组合而成．因制作工艺不同，A、B两种图案成本不同，厂家提供了如下几种设计造型，造型1的成本64元，造型2的成本42元，造型3的成本是多少元？
【答案】造型3的成本是22元
4．文具店计划购进若干数量某品牌的圆规和笔袋．如果购进5个圆规和10个笔袋，那么需花费130元；如果购进20个圆规和30个笔袋，那么需花费440元．
（1）求每个圆规和每个笔袋的进价．
（2）该文具店决定购进圆规和笔袋共100个，且总费用不超过920元，那么该文具店最多可以购进多少个圆规？
【答案】（1）每个圆规的进价为10元，每个笔袋的进价为8元．
（2）60个
5．某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元.
（1）若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球、足球各买了多少个？
（2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？
【答案】（1）解：设篮球、足球各买了 ， 个，根据题意，得
，
解得 ，
答：篮球、足球各买了20个，40个
（2）解：设购买了 个篮球，根据题意，得
，
解得 ，
∴最多可购买篮球32个
【解析】【分析】（1）根据篮球跟足球的总数和总价格，可列出方程组，解出结果即可。
（2）根据篮球总金额不超过足球可列出不等式，解出x的值即可。
6．如图， ， 于点D， 于点F.
（1）请说明 的理由；
（2）若 ，求 的度数.
【答案】（1）解：AD∥BC的理由如下：
∵∠A＋∠ABC＝180°，
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）；
（2）解：∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
又∵∠ADB＝45°，
∴∠DBC＝45°，
又∵BD⊥CD.EF⊥CD，
∴BD∥EF，
∴∠DBC＝∠FEC，
∴∠FEC＝45°.
【解析】【分析】（1）由同旁内角A＋∠ABC＝180°，判定两直线AD∥BC；
（2）根据平行线的判定与性质，等量代换求得∠FEC＝45°.
7．解不等式组：
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ．
（2）解不等式②，得 ．
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）所以原不等式组的解集为 ．
【答案】（1）x≤3
（2）x≥﹣2
（3）解：如图所示
（4）﹣2≤x≤3
【解析】【解答】（1）解不等式①，得；x≤3，
（2）解不等式②，得移项得x≥﹣2，
（4）所以原不等式组的解集为﹣2≤x≤3
【分析】（1）将不等式①先移项，合并同类项，然后将x的系数化为1，可求出不等式①的解集.
（2）将不等式②先去括号（括号外的数要与括号里的每一项相乘），再移项，合并同类项，然后将x的系数化为1，可得到不等式②的解集.
（3）利用大于向右边画，小于向左边画，含等号用实心圆点，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来.
（4）利用大于小，小于大，中间找，可得到不等式组的解集.
8．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助助理解数学问题.
（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式.
图1 ， 图2 ， 图3 .
（2）用4个全等的长和宽分别为的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你通过计算阴影部分的面积， 写出这三个代数式之间的等量关系.
（3）根据（2）中你探索发现的结论，计算： 当时， 求的值.
【答案】（1）a2+2ab+b2=（a+b）2；a2-2ab+b2=（a-b）2；（a+b）（a-b）=a2-b2
（2）解：∵S阴=（a-b）2=a2-2ab+b2，
S阴=（a+b）2-4ab=a2+2ab+b2-4ab=a2-2ab+b2，
∴（a-b）2=（a+b）2-4ab.
（3）解：∵a+b=5，ab=-6，
∴（a-b）2=（a+b）2-4ab
=52-4×（-6）
=25+24
=49.
又∵a-b＞0，
∴a-b=7.
【解析】【解答】解：（1）图一、阴影部分的面积：a2+2ab+b2=（a+b）2；
图2、阴影部分的面积：a2-2ab+b2=（a-b）2；
图3、阴影部分的面积：（a+b）（a-b）=a2-b2.
【分析】（1）根据阴影部分的面积的构成可求解；
（2）图4中的阴影部分的面积S阴是边长为（a-b）的正方形，于是S阴=（a-b）2，S阴也可看作是由边长为（a+b）的正方形的面积减去4个边长为ab的长方形的面积，整理可得（a-b）2=（a+b）2-4ab；
（3）把已知条件代入（2）中的式子计算即可求解.
9．某商店欲购进A、B两种商品，若购进A种商品5件和B种商品4件需300元；若购进A种商品6件和B种商品8件需440元；
（1）求A、B两种商品每件的进价分别为多少元？
（2）商店准备用不超过1625元购进50件这两种商品，求购进A种商品最多是多少件？
【答案】（1）解：设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，
依题意，得： ，
解得： ．
答：A种商品每件的进价为40元，B种商品每件的进价为25元．
（2）解：设购进A种商品m件，则购进B种商品（50﹣m）件，
依题意，得：40m+25（50﹣m）≤1625，
解得：m≤25．
答：购进A种商品最多是25件．
【解析】【分析】（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据“若购进A种商品5件和B种商品4件需300元；若购进A种商品6件和B种商品8件需440元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进A种商品m件，则购进B种商品（50﹣m）件，根据总价=单价×数量结合总价不超过1625元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
10．
（1）如图是小颖家新房的户型图，小颖的爸爸打算把两个卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格为每平方米a元，那么购买地砖至少需要多少元？
（2）如果房屋的高度是h米，现在需要在客厅和两个卧室四周的墙上贴墙纸，那么至少需要多少平方米的墙纸？如果某种墙纸的价格为每平方米b元，那么购买所需的墙纸至少要多少元？（计算时不扣除门、窗所占的面积，忽略墙的厚度）
【答案】（1）解：由题意知，两个卧室以外的部分面积为：
3y y+2y （3x﹣x﹣y）
＝3y2+4xy﹣2y2
＝y2+4xy（平方米）.
∴购买地砖所需的费用为：（y2+4xy）a＝ay2+4axy（元）.
（2）解：客厅贴墙纸的面积为：（2y+6y）h＝8yh，
两个卧室贴墙纸的面积为：（4x+6y）h＝4xh+6yh，
∴贴墙纸的总面积为：8yh+4xh+6yh＝14yh+4xh（平方米），
∴购买墙纸所需的费用为：（14yh+4xh）b＝14yhb+4xhb（元）.
【解析】【分析】（1）由题意知，两个卧室以外的部分面积为：3y·y+2y·(3x-x-y)，化简后乘以每平方米的价钱即可；
（2）分别表示出客厅的面积、两个卧室贴墙纸的面积，求出其和，然后乘以每平方米的价钱即可.
11．如图，已知 ，点 ， ， 在同一条直线上.
（1）已知 ，求 的度数；
（2）已知 ， ，求 的度数；
（3）当 ， 的度数变化时， ， ， 之间的数量关系会变化吗？如果不变，请写出它们之间的数量关系.
【答案】（1）解： ，
；
（2）解： ， ，
∴ ；
（3）解：不变，根据三角形外角的性质可知， .
【解析】【分析】（1）直接根据平行线的性质可得∠DCE的度数；
（2）根据三角形外角的性质可得∠ACD的度数；
（3）根据三角形外角的性质进行判断即可.
12．芳芳计算一道整式乘法的题：（2x+m）（5x﹣4），由于芳芳抄错了第一个多项式中m前面的符号，把“+”写成“﹣”，得到的结果为10x2﹣33x+20．
（1）求m的值；
（2）计算这道整式乘法的正确结果．
【答案】（1）解：由题意得
所以
解得
（2）解：
【解析】【分析】（1）根据题意可知（2x+m）（5x-4）=10x2﹣33x+20 ，将括号左边展开，根据对应项的系数相等，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
（2）将m的的值代入代数式（2x+5）（5x-4）；再利用多项式乘以多项式的法则进行计算.
13．已知：如图，AB平分∠CBD，∠DBC=60°，∠C＝∠D.
（1）若AC⊥BC，求∠BAE的度数；
（2）请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；
（3）如图，过点D作DG∥BC交CE于点F，当∠EFG＝2∠DAE时，求∠BAD的度数.
【答案】（1）解：∵AC⊥BC
∴∠BCA＝90°，
∵AB平分∠CBD，
∴∠ABC＝ ∠CBD， ∠CBD＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∵∠BAE是△ABC的外角，
∴∠BAE＝∠BCA+∠ABC=120°.
（2）解：结论：∠DAE＝2∠C—120°.
证明：∵∠DAE+∠DAC=180°，
∴∠DAC =180°—∠DAE，
∵∠DAC+∠DBC+∠C +∠D =360°，
∴180—∠DAE+∠DBC+∠C +∠D
=360°，
∵∠DBC=60°，∠C＝∠D，
∴2∠C—∠DAE=120°，
∴∠DAE＝2∠C—120°
（3）解：∵∠EFG和∠DFA是对顶角，
∴∠EFG＝∠DFA，
∵∠EFG＝2∠DAE，
∴∠DFA＝2∠DAE，
∵DG∥BC，
∴∠DFA+∠C=180°，
∴2∠DAE +∠C=180°，
∵∠DAE＝2∠C—120°，
∴∠DAE＝48°，
∴∠DAC =132°，
∵AB平分∠CBD，
∴∠DBA＝∠CBA，
∵∠C＝∠D，
∴∠BAD＝∠BAC，
∴∠BAD＝ ∠DAC=66°
【解析】【分析】（1） 根据角平分线的定义得出∠ABC＝30°，根据垂直的定义得出 ∠BCA＝90°， 从而根据三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和，由 ∠BAE＝∠BCA+∠ABC 即可算出答案；
（2） 结论：∠DAE＝2∠C—120°. 理由如下：根据邻补角的定义得出 ∠DAC =180°—∠DAE， 根据四边形的内角和得出 ∠DAC+∠DBC+∠C +∠D =360°， 然后根据等量代换得出 2∠C—∠DAE=120°， 即 ∠DAE＝2∠C—120° ；
（3）根据对顶角相等及等量代换得出 ∠DFA＝2∠DAE， 根据二直线平行同旁内角互补及等量代换得出 2∠DAE +∠C=180°， 又 ∠DAE＝2∠C—120°， 故可算出∠DAE，∠DAC的度数，根据角平分线的定义及三角形的内角和得出 ∠BAD＝∠BAC， 从而即可得出答案。
14．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系．△ABC的顶点都在格点上．
（1）将△ABC 向右平移 6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2：
（3）若将△ABC 绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标.
【答案】（1）解：如图：
（2）解：如图：
（3）解：如图：
根据图形可得：旋转中心的坐标
【解析】【分析】（1）先找出点A、B、C平移后的点坐标，再连接即可；
（2）根据中心对称图形的定义作图即可。
15．六月毕业季，花店准备购进向日葵与百合两种鲜花，若购进向日葵支，百合支，需要元；若购进向日葵支，百合支， 需要元．
（1）求花店购进向日葵与百合两种鲜花每支需要多少元
（2）若花店准备元全部用来购进向日葵与百合两种鲜花，计划销售每支向日葵可获利润元，销售每支百合可获利润元，且销售两种鲜花的总利润不低于元，那么花店需要最多购进百合多少支
【答案】（1）向日葵每个元，百合每个元
（2）支
16．随着某市“灯光秀”展演活动的惊艳开演，该市的游客量逐日递增．某校数学学习小组通过调查了解到，演出地点附近的商铺通过售卖A、B两种品牌的饮料进行盈利，该商铺于“灯光秀”活动前夕购进A品牌饮料20箱，B品牌饮料10箱，一共花费2000元，且购买一箱B品牌饮料比购买一箱A品牌饮料多花20元．
（1）问购买一箱A品牌、一箱B品牌的饮料各需多少元？
（2）由于游客量逐步地增加，该商铺决定再次购进A、B两种品牌饮料共20箱，恰逢厂家对两种品牌饮料的售价进行调整，A品牌饮料售价比第一次购买时提高了，B品牌饮料按第一次购买时售价的9折出售．如果该商铺此次购买A、B两种品牌饮料的总费用不超过1350元，那么该商铺此次最多可购买多少箱B品牌饮料？
【答案】（1）购买一箱A品牌的饮料需元，购买一箱B品牌的饮料需元
（2）最多可购买箱品牌饮料
17．某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：
信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是3元；
信息2：甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元；
信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元.
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求甲、乙两种商品的零售单价；
（2）该商店平均每天卖出甲乙两种商品各600件，经调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售120件，商店决定把甲种商品的零售单价下降 元.在不考虑其他因素的条件下，当 为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1200元
【答案】（1）解：设甲种商品的进货单价为x元、乙种商品的进货单价为y元，
根据题意可得： ，
解得： ，
∴x+1=2，2y-1=3，
答：甲、乙两种商品的零售单价分别为2元和3元；
（2）解：根据题意得出：（2-1 m）（600＋ ×120）＋600×（3-2）＝1200
即2m2 m＝0，解得：m＝0.5或m＝0（舍去），
答：当m定为0.5元才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共1200元.
【解析】【分析】（1）设甲种商品的进货单价为x元、乙种商品的进货单价为y元，根据等量关系，即可得出方程组，进而求出即可；（2）根据降价后甲每天分别卖出：（600＋ ×120）件，每件降价后每件利润分别为：（1 m）元；即可得一元二次方程，进而解答即可.
18．已知关于x、y的二元一次方程组 （k为常数）．
（1）求这个二元一次方程组的解（用含k的代数式表示）；
（2）若方程组的解x、y满足x+y＞5，求k的取值范围；
（3）若k≤1，设m＝2x﹣3y，且m为正整数，求m的值．
【答案】（1）解： ，
2 +②得，4x＝2k﹣1，解得x＝ ；
②﹣①得2y＝3﹣4k，解得y＝ ，
∴二元一次方程组的解为
（2）解：∵方程组的解x、y满足x+y＞5，
∴ + ＞5，
2k﹣1+2（3﹣4k）＞20，
2k﹣1+6﹣8k＞20，
﹣6k＞15，
k＜﹣
（3）解：m＝2× ﹣3× ＝7k﹣5，
∴k＝ ≤1，
解得m≤2，
∵m是正整数，
∴m的值是1，2
【解析】【分析】（1）将方程组中的两个方程相加并化简可得x，将两个方程相减并化简可得y，据此可得方程组的解；
（2）根据（1）的结论结合x+y＞5可得关于k的不等式，求解可得k的范围；
（3） 根据m=2x-3y可得m=7k-5，根据k≤1可得m的范围，结合m为正整数可得m的值.
19．2024年4月23日是第29个世界读书日，为了感悟阅读的幸福，体味生命的真谛，分享读书的乐趣．我校举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园——阅读·梦飞翔”的主题活动，为此特为每个班级订购了一批新的图书，初一（1）班订购《老舍文集》4套和《四大名著》2套，总费用为480元，初一（2）班订购《老舍文集》2套和《四大名著》3套，总费用为520元．
（1）求《老舍文集》和《四大名著》每套各多少元？
（2）学校准备再购买《老舍文集》和《四大名著》共20套，总费用不超过1720元，购买《老舍文集》的数量不超过《四大名著》2倍，问学校有几种购买方案？请你设计出来．
【答案】（1）老舍文集每套50元，四大名著每套140元
（2）该学校共有两种购买方案：方案1：购买老舍文集12套，四大名著为8套；方案2：购买老舍文集13套，四大名著为7套
20．比较下列各题中幂的大小：
（1）比较，，，这个数的大小关系；
（2）已知，，，比较、、的大小关系；
（3）已知，，比较，的大小关系．
【答案】（1）解：，，，，
，
（2）解：，，，
，
，
；
（3）解：，
【解析】【分析】（1）根据题意，利用幂的乘方逆运算，将4个数转换为指数相同的情况，比较底数的大小；
（2）根据题意，利用幂的乘方逆运算，将3个数转换为底数相同的情况，比较指数的大小；
（3）根据题意，利用积的乘方、同底数幂的除法化简式子，比较大小即可。
21．据永川区农业信息中心介绍，去年永川生态枇杷园喜获丰收，个体商贩张杰准备租车把枇杷运往外地去销售，经租车公司负责人介绍，用2辆甲型车和3辆乙型车装满枇杷一次可运货12吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满枇杷一次可运货17吨，现有21吨枇杷，计划同时租用甲型车m辆，乙型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满枇杷，根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆甲型车和1辆乙型车都装满枇杷一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮个体商贩张杰设计共有多少种租车方案？
【答案】（1）解：设甲、乙两种车分别运载x吨，y吨；
，解得 ；
答：1辆甲型车和1辆乙型车都装满枇杷一次可分别运货3吨，2吨
（2）解：设租甲、乙两种车分别m辆，n辆，
由题意得：3m+2n=21.
， ， ， 共4种方案.
方案一：甲车1辆，乙车9辆；
方案二：甲车3辆，乙车6辆；
方案三：甲车5辆，乙车3辆
方案四：甲车7辆，乙车0辆.
答：甲车1辆，乙车9辆或甲车3辆，乙车6辆或甲车5辆，乙车3辆或甲车7辆，乙车0辆.
【解析】【分析】（1）设甲、乙两种车分别运载x吨，y吨，根据题意列出二元一次方程组，求出x，y即可得解；（2）列出二元一次方程，根据m，n都是整数，可得到方案.
22．如图，在中，，点是线段上一点．
（1）尺规作图：在内作，与边交于点（保留作图痕迹，不用写作法）；
（2）在（1）的条件下，当时，求的度数．
【答案】（1）解：如图，为所作；
（2）解：∵，，，
∴，
∴
【解析】【分析】（1）根据要求作出图象即可；
（2）先利用三角形的内角和求出，再利用平行线的性质可得。
23．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC
（1）若∠B=70°，∠C=30°，求；
①∠BAE的度数．
②∠DAE的度数．
（2）探究：如果只知道∠B=∠C+40°，那么能求岀∠DAE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：①∵∠B=70°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°-70°-30°=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=40°；
②∵AD⊥BC，∠B=70°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-70°=20°，
而∠BAE=40°，
∴∠DAE=20°
（2）解：∵AE为角平分线，
∴∠BAE= （180°-∠B-∠C），
∵∠BAD=90°-∠B，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD= （180°-∠B-∠C）-（90°-∠B）= （∠B-∠C），
又∵∠B=∠C+40°，
∴∠B-∠C=40°，
∴∠DAE=20°．
【解析】【分析】（1）①利用三角形的内角和定理求出∠BAC，再利用角平分线定义求∠BAE．②先求出∠BAD，就可知道∠DAE的度数．（2）用∠B，∠C表示∠DAE，即可求岀∠DAE的度数．
24．
（1）如图①②，试探究其中 之间的数量关系，并选择一图进行证明
（2）如果我们把 称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式.
【答案】（1）解：∵∠3、∠4、∠5、∠6是四边形的四个内角，
∴∠3+∠4+∠5+∠6=360°，
∴∠3+∠4=360°-（∠5+∠6），
∵∠1+∠5=180°，∠2+∠6=180°，
∴∠1+∠2=360°-（∠5+∠6），
∴∠1+∠2=∠3+∠4；
（2）解：四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和.
【解析】【分析】（1）根据四边形的内角和等于360°用∠5+∠6表示出∠3+∠4，再根据平角的定义用∠5+∠6表示出∠1+∠2，即可得解；（2）从外角的定义考虑解答；
25．如图，D，E分别是 边 ， 上的点， ，点F在 的延长线上，且 .
（1）试判断 与 的位置关系，并说明理由.
（2）若 比 大 .求 的度数.
【答案】（1）解： .
证明：∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，
∵∠DFC＝∠A，
∴∠DFC＝∠BDE，
∴AB∥CF；
（2）解：∵DE∥AC，
∴∠ACF＋∠DFC＝180°，
由（1）中已证∠DFC＝∠BDE，
∴∠ACF＋∠BDE＝180°，
又∵∠ACF比∠BDE大40°，
∴∠BDE＋40°＋∠BDE＝180°，
∴∠BDE＝70°.
【解析】【分析】（1） ，只要证明∠DFC＝∠BDE，即可解决问题；（2）用构建方程组的思想即可解决问题.
26．在篮球比赛中，小明一共投了20个球，命中率为，总共得了32分．小刚投20个球得了17分．（小明、小刚均无罚球）
（1）小明各投进几个三分球和几个二分球？
（2）小刚可能的投篮情况是命中几个三分球，几个二分球？
【答案】（1）解：小明投中个数为（个），
设二分球个数为x，则三分球个数为，
，
解得，
即二分球个数为4个，
三分球个数为：（个）．
答：小明投进8个三分球和4个二分球．
（2）解：设小刚命中a个三分球，b个二分球，则，，
当时，，不是自然数，排除；
当时，，符合条件；
当时，，不是自然数，排除；
当时，，符合条件；
当时，，不是自然数，排除；
当时，，不是自然数，排除；
当时，，不符合条件，排除；
答：小刚可能的投篮情况是命中1个三分球，7个二分球；或者3个三分球，4个二分球；或者5个三分球，1个二分球
【解析】【分析】（1）设二分球个数为x，则三分球个数为，根据“得了32分”，可得：二分得分+三分得分=32，据此列出方程，解方程可求出x的值，进而可求出三分球的个数和二分球的个数；
（2）设小刚命中a个三分球，b个二分球，则，，令为0到6的整数，根据可求出b的值，再判断b的值是否为整数，可判断是否满足条件，进而可推出小刚可能的投篮情况．
（1）解：小明投中个数为（个），
设二分球个数为x，则三分球个数为，
，
解得，
即二分球个数为4个，
三分球个数为：（个）．
答：小明投进8个三分球和4个二分球．
（2）解：设小刚命中a个三分球，b个二分球，则，，
当时，，不是自然数，排除；
当时，，符合条件；
当时，，不是自然数，排除；
当时，，符合条件；
当时，，不是自然数，排除；
当时，，不是自然数，排除；
当时，，不符合条件，排除；
答：小刚可能的投篮情况是命中1个三分球，7个二分球；或者3个三分球，4个二分球；或者5个三分球，1个二分球．
27．小芳去商店购买甲、乙两种商品. 现有如下信息：
信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是5元，按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了19元；
信息2：甲商品零售单价比甲进货单价多1元，乙商品零售单价比乙进货单价的2倍少1元．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元
（2）若小芳准备用不超过400元钱购买100件甲、乙两种商品，其中甲种商品至少购买多少件？
【答案】（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别为x、y元.
.
.
答：甲、乙两种商品的进货单价分别为2元、3元.
（2）由⑴得：甲商品零售价为x+1=3（元），乙商品零售价为2y-1=5（元）.
设甲种商品购买m件，则
3m+5(100-m)≤400，
m≥50
答：甲种商品至少购买50件.
【解析】【分析】（1） 设甲、乙两种商品的进货单价分别为x、y元.，再根据题意列出方程组求解即可；
（2）设甲种商品购买m件，根据“准备用不超过400元钱购买100件”列出不等式3m+5(100-m)≤400， 求解即可。
28．“共建环保模范城，共享绿色新重庆”，市政府强力推进城市生活污水处理、生活垃圾处理设施建设改造工作.为此，某化工厂在一期工程完成后购买了4台甲型和5台乙型污水处理设备，共花费资金102万元，且每台乙型设备的价格比每台甲型设备价格少3万元.已知每台甲型设备每月能处理污水240吨，每台乙型设备每月能处理污水180吨.今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两型设备共12台用于二期工程的污水处理，预算本次购买资金不超过129万元，预计二期工程完成后每月将产生不少于2220吨污水.
（1）请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少万元？
（2）请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案；
（3）请你说明在（2）的所有方案中，哪种购买方案的总花费最少？
【答案】（1）解：设每台甲型设备是x万元，每台乙型设备的价格是y万元，根据题意得：
，
解得： .
答：每台甲型设备是13万元，每台乙型设备的价格是10万元.
（2）解：设购买甲型设备a（a为整数）台，乙型设备（12﹣a）台，根据题意得：
，
解得：1≤a≤3，
∵a为整数，
∴a＝，1，2，3.
∴购买方案有：①、甲型1台，乙型11台；
②、甲型2台，乙型10台；
③、甲型3台，乙型9台.
（3）解：方案①的费用为：1×13+11×10＝123万元；
方案②的费用为：2×13+10×10＝126万元；
方案③的费用为：3×13+9×10＝129万元.
∵123＜126＜129，
∴方案①总花费最少.
【解析】【分析】（1）设每台甲型设备是x万元，每台乙型设备的价格是y万元，根据题意列出方程就可以求出其解（2）设购买甲型设备a台，乙型设备（12﹣a）台，根据题意可以建立不等式组，从而求出其解.（3）分别计算出各种方案的费用，就可以比较出最少方案的花费.
29．如图，ADBC，∠DAC=105°，∠ACN=25°，CE平分∠BCN交AB于点E，过点E作EFAD交CN于点F，求∠FEC的度数．
（1）依题意补画出线段EF；
（2）完成下面求∠FEC的度数的过程．
证明：∵ADBC
∴∠DAC+∠ACB=180°（ ）
∵∠DAC=105°
∴∠ACB= ▲ 又∵∠ACN=25°
∴∠BCN=∠ACB－∠ACN= ▲
又CE平分∠BCN
∴∠BCE= ▲
∵ADBC，EFAD
∴ ▲ （ ）
∴ ▲ （两直线平行，内错角相等）
∴∠FEC= ▲ ．
【答案】（1）解：线段EF如图：
（2）解：∵AD//BC
∴∠DAC+∠ACB=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠DAC=105°
∴∠ACB=75°
又∵∠ACN=25°
∴∠BCN=∠ACB－∠ACN=50°
又CE平分∠BCN
∴∠BCE=25°
∵AD//BC，EF//AD
∴BC//EF（平行于同一条直线的两直线平行）
∴∠FEC=∠BCE（两直线平行，内错角相等）
∴∠FEC=25°．
【解析】【分析】 根据两直线平行，同旁内角互补可得∠DAC+∠ACB=180°，可求出∠ACB=75°，∠BCN=∠ACB－∠ACN=50°， 由角平分线的定义可得∠BCE=25° ，根据平行于同一条直线的两直线平行，可得BC//EF，利用两直线平行，内错角相等，可得∠FEC=∠BCE=25°.
30．端午节来临之际，哈市“隆兴”饰品商店准备购进A、B两种品牌的挂件进行销售，已知若购进A品牌的挂件2个，B品牌的挂件3个，共需90元，若购进A品牌的挂件4个，B品牌的挂件2个，共需100元．
（1）求A、B两种品牌的挂件每个各多少元？
（2）若该饰品店购进A、B两种品牌的挂件共100个，其中A品牌的挂件每个售价为25元，B品牌的挂件每个售价为35元，A品牌的挂件很快售完，B品牌的挂件最后有10个打八折销售，售完全部挂件该饰品店共获利1230元，求该饰品店A、B两种品牌的挂件分别购进多少个？
【答案】（1）A品牌的挂件每个15元，B品牌的挂件每个20元
（2）购进A品牌的挂件40个，B品牌的挂件60个
31．某家庭投资3.5万元资金建造屋顶光伏发电站，遇到晴天平均每天可发电30度，其他天气平均每天可发电5度，已知某月（按30天计）共发电600度.
（1）求这个月晴天的天数；
（2）已知该家庭每月平均用电150度，若按每月发电600度计算，问至少需要几年才能收回成本？（不计其他费用，结果取整数）
【答案】（1）解：设这个月晴天的天数为x，
由题意得：30x+5（30-x）=600，
解得x=18，
∴这个月晴天的天数为18
（2）解：设需要y年才能收回成本，由题意得
（600-150）×（0.52+0.45）×12y≥35000，
5238y≥35 000，
y≥6.7，
∵y取整数，
∴至少需要7年才能收回成本
【解析】【分析】（1）利用晴天发电天数×30+其它天气发电的天数×5=600，设未知数，列方程求出方程的解。
（2）利用收回成本的总费用≥投资的总费用，设未知数，列不等式，然后求出不等式的最小整数解。
32．为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．
（1）科技类图书与文学类图书的单价分别是多少元？
（2）为支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但少于50本时，每本单价降低2元；不少于50本时，每本单价降低3元．社区购进两种图书共100本，总费用为3050元．则科技类图书与文学类图书各可以购买多少本？
【答案】（1）解：设科技类图书的单价为元，文学类图书的单价为元，
根据题意得，
解得，
答：科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元；
（2）解：设科技类图书买了m本，文学类图书买了n本，
①购买科技类图书不超过40本，则有
，解得，
由于不是整数，故不符合要求；
②购买科技类图书超过40本但少于50本，则有
，解得，符合要求；
③购买科技类图书不少于50本．则有
，解得，符合要求．
答：科技类图书买45本，文学类图书买55本或科技类图书买50本，文学类图书50本．
【解析】【分析】（1）设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，根据“ 购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元 ”列二元一次方程组求解即可；
（2）设科技类图书买了m本，文学类图书买了n本，根据题意分三种情况：①购买科技类图书不超过40本，②购买科技类图书超过40本但少于50本，③购买科技类图书不少于50本，分别列二元一次方程组求解即可.
33．用消元法解方程组 时，两位同学的解法如下：
（1）反思：上述两个解题过程中有无计算不符合题意？若有误，请在不符合题意处打“×”.
（2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答.
【答案】（1）解：解法一中的计算有误（标记略）
（2）解：用消元法解方程组 时，两位同学的解法如下：
由①-②，得 ，解得 ，
把 代入①，得 ，解得 ，
所以原方程组的解是
【解析】【分析】（1）方程①－②得-3x=3，据此判断即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可.
34．如图，已知∠A＝∠C，AD⊥BE，BC⊥BE，点E，D，C在同一条直线上.
（1）判断AB与CD的位置关系，并说明理由.
（2）若∠ABC＝120°，求∠BEC的度数.
【答案】（1）解：.
理由：∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）AB∥CD，理由如下：由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得AD∥BC，由二直线平行，同位角相等，得∠C=∠ADE，结合∠A=∠C得∠A=∠ADE，再由内错角相等，两直线平行，得AB∥CD；
（2）由二直线平行，同旁内角互补，求出∠C的度数，进而根据直角三角形两锐角互余即可得出∠BEC的度数.
35．如图，已知△ABC，
（1）画出与△ABC关于y轴对称的图形A1B1C1；
（2）求△ABC的面积.
【答案】（1）解：如图所示，A1B1C1即为所求；
（2）解：S△ABC＝3×5- .
【解析】【分析】（1）关于y轴对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此找出点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用割补法，用△ABC外接矩形的面积分别减去周围三个三角形的面积，即可求出△ABC的面积.
36．某超市购进甲、乙两种型号的空气加湿器进行销售，其进价与售价如下表：
进价（元/台） 售价（元/台）
甲型 150 200
乙型 120 160
该超市决定用不超过6750元的资金采购甲、乙两种型号的空气加湿器共50台，且甲型空气加湿器的数量不少于23台．
（1）问超市有哪几种进货方案？
（2）请你通过计算判断，选择哪种进货方案该超市获得利润最多？
【答案】（1）有三种方案：方案1：甲种型号的空气加湿器23台，乙种型号的空气加湿器27台，方案2：甲种型号的空气加湿器24台，乙种型号的空气加湿器26台，方案3：甲种型号的空气加湿器25台，乙种型号的空气加湿器25台
（2）购买甲种型号的空气加湿器25台，乙种型号的空气加湿器25台获利最多，最多为2250元
37．“佳园工艺店”打算制作一批有两边长分别是7分米，3分米，第三边长为奇数（单位：分米）的不同规格的三角形木框．
（1）要制作满足上述条件的三角形木框共有 种．
（2）若每种规格的三角形木框只制作一个，制作这种木框的木条的售价为8元╱分米，问至少需要多少钱购买材料？（忽略接头）
【答案】（1）3
（2）制作这种木框的木条的长为：3+5+7+3+7+7+3+7+9=51（分米），
∴51×8=408（元）．
答：至少需要408元购买材料．
【解析】【解答】（1）三角形的第三边x满足：7-3＜x＜3+7，即4＜x＜10．因为第三边又为奇数，因而第三边可以为5、7或9．故要制作满足上述条件的三角形木框共有3种．
【分析】( 1 )根据在三角形中任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边, 确定第三边的取值范围,从而确定符合条件的三角形的个数.
（2）求出各三角形的周长的和,再乘以售价为8元/分米,可得出所需钱数.
38．小明同学用四张长为a、宽为b的长方形卡片(a> b)，拼出如图所示的包含两个正方形的图(任两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙)
（1）图中小正方形的边长是 ．
（2）通过计算小正方形面积，可推出(a+b)、ab、(a-b)三者之间的等量关系式为 ．
（3）运用（2）中的结论，当a+b=9、ab=19时，求小正方形的边长．
【答案】（1）a-b
（2）（a+b）2-（a-b）2=4ab
（3）解：由（2）可知，小正方形的面积位：（a-b）2=（a+b）2-4ab=92-4×19=5，
∴小正方形的边长为：．
【解析】【解答】（1）解：由题图可以看出小正方形的边长等于长方形的长减去宽，即a-b；
（2）大正方形的面积等于（a+b）2，
大正方形的面积还等于4个小长方形的面积加小正方形的面积4ab+（a-b）2；
∴（a+b）2-（a-b）2=4ab；
【分析】（1）结合图形列出表达式即可；
（2）利用不同的表达式表示出同一个图形的面积即可得到（a+b）2-（a-b）2=4ab；
（3）将a+b=9、ab=19代入计算求解即可。
39．已知关于x、y的二元一次方程组 的解x、y都是正数，且x的值小于y的值.
（1）求该二元一次方程组的解（用含m的代数式表示）
（2）求m的取值范围.
【答案】（1）解： ，
由②得： ，
将 代入①中，
∴ ，
，
，
，
将 代入 中，
∴ ，
∴二元一次方程组的解为： .
（2）解：∵二元一次方程组的解x、y是正数，且x的值小于y的值，
∴ ，
∴解得： ，
∴m的取值范围是： .
【解析】【分析】（1）将m作为常数，运用加减消元法，即可求得x和y；
（2）根据x、y都是正数， 且x的值小于y的值 ，列出不等式组，即可求出m的取值范围.
40．如图，在四边形中，，点、分别在、边上，连接交于，．
（1）求证：；
（2）若，，，求和的度数．
【答案】（1）证明：如下图，
∵∠1＝∠BAC，
∴AB∥EF，
又∵AB∥CD，
∴EF∥CD.
（2）解：由（1）可知：AB∥EF，
∴∠B+∠BFE＝180°，
∵∠BFE＝∠2+∠3，∠2=45°，∠3=20°，
∴∠BFE＝65°，
∴∠B＝115°，
又∵∠1是△AGF的外角，∠CAF=15°，
∴∠1＝∠3+∠GAF＝35°，
∵EF∥CD，
∴∠ACD＝∠1＝35°．
【解析】【分析】（1）根据∠1＝∠BAC，易得AB∥EF，又有AB∥CD，再根据平行公理的推论可得EF∥CD；
（2）由（1）知AB∥EF，可得∠B+∠BFE＝180°，由∠BFE＝∠2+∠3，∠2=45°，∠3=20°，可求得∠B=115°，再根据外角性质求得∠1的度数，最后根据平行线性质即可求出∠ACD的度数.
41．居家学习期间，小明坚持每天做运动．已知某两组运动都由波比跳和深蹲组成，每个波比跳耗时5秒，每个深蹲也耗时5秒．运动软件显示，完成第一组运动，其中做了20个波比跳，40个深蹲，共消耗热量132大卡（大卡是热量单位）；完成第二组运动，其中做了20个波比跳，70个深蹲，共消耗热量156大卡；（每个动作之间的衔接时间忽略不计）．
（1）每个波比跳和每个深蹲各消耗热量多少大卡？
（2）若小明想只做波比跳和深蹲两个动作，花10分钟，消耗至少200大卡，小明至少要做多少个波比跳？
【答案】（1）解：设每个波比跳消耗热量x大卡，每个深蹲消耗热量y大卡，
依题意，得：
，
解得： ．
答：每个波比跳消耗热量5大卡，每个深蹲消耗热量0.8大卡
（2）解：设小明要做m个波比跳，则要做 ＝（120﹣m）个深蹲，
依题意，得：5m＋0.8（120﹣m）≥200，
解得：m≥24 ．
又∵m为正整数，
∴m可取的最小值为25.
答：小明至少要做25个波比跳．
【解析】【分析】（1）列出
，最后求解即可；
（2）先求出 5m＋0.8（120﹣m）≥200， 再求出 m≥24 ，最后求解即可。
42．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（∠D＝30°）的直角顶点放在点O处，一边OE在射线OA上，另一边OD与OC都在直线AB的上方．
（1）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，OD恰好平分∠BOC．
此时t的值为 ；（直接填空）
（2）此时OE是否平分∠AOC？请说明理由；
（3）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠DOE？请说明理由；
（4）在（3）问的基础上，经过多长时间OC平分∠DOB？请画图并说明理由．
【答案】（1）解：3
（2）是，理由如下：
∵转动3秒，∴∠AOE＝15°，
∴∠COE＝∠AOC﹣∠AOE＝15°，
∴∠COE＝∠AOE，
即OE平分∠AOC．
（3）解：三角板旋转一周所需的时间为＝ ＝72（秒），射线OC绕O点旋转一周所需的时间为 ＝45（秒），
设经过x秒时，OC平分∠DOE，
由题意：①8x﹣5x＝45﹣30，
解得：x＝5，
②8x﹣5x＝360﹣30+45，
解得：x＝125＞45，不合题意，
③∵射线OC绕O点旋转一周所需的时间为 ＝45（秒），45秒后停止运动，
∴OE旋转345°时，OC平分∠DOE，
∴t＝ ＝69（秒），
综上所述，t＝5秒或69秒时，OC平分∠DOE．
（4）解：如图3中，由题意可知，
OD旋转到与OB重合时，需要90÷5＝18（秒），OC旋转到与OB重合时，需要（180﹣30）÷8＝ （秒），
所以OD比OC早与OB重合，
设经过x秒时，OC平分∠DOB，
由题意：8x﹣（180﹣30）＝ （5x﹣90），
解得：x＝ ，
所以经 秒时，OC平分∠DOB．
【解析】【解答】解：(1)①∵∠AOC＝30°，∠AOB＝180°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝150°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝ BOC＝75°，
∴t＝ ；
故答案为3；
【分析】（1）①根据题意可直接求解；②根据题意易得∠COE＝∠AOE，问题得证；（3）根据题意先求出射线OC绕点O旋转一周的时间，设经过x秒时，OC平分∠DOE，然后由题意分类列出方程求解即可；（4）由（2）可得OD比OC早与OB重合，设经过x秒时，OC平分∠DOB，根据题意可列出方程求解．
43．如图1，直线MN与直线AB，CD分别交于点E，F，∠1与∠2互补
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH
（3）如图3，在(2)的条件下，连结PH，在GH上取一点K，使得∠PKG=2∠HPK，过点P作PQ平分∠EPK交EF于点Q，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．(温馨提示：三角形的三个内角和为180°．)
【答案】（1）解：如图，
∵∠1和∠2互补，∠2和∠3互补，
∴∠1=∠3
∴AB∥CD
（2）解：如图，
由(1)得AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，
∴∠FEP+∠EFP= (∠BEF+∠EFD)=90°，
∴∠EPF=90°，即EG⊥PF
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH．
（3）解：∠HPQ的大小不发生变化，理由如下：
∵EG⊥HG，∴∠KGP=90°
∴∠EPK=180°-∠4=180°-(180-∠3-∠KGP)=90°+∠3
∵∠3=2∠6，
∴∠EPK=90°+2∠6
∵PQ平分∠EPK，
∴∠QPK= ∠EPK=45°+∠6
∴∠HPQ=∠QPK-∠6=45°
∴∠HPQ的大小不发生变化，一直是45°
【解析】【分析】（1）利用邻补角的定义可证得∠2与∠3互补，再根据同角的补角相等，可证得∠1=∠3，然后利用同位角相等，两直线平行，可证得结论。
（2）利用两直线平行，同旁内角互补，可证得∠BEF+∠EFD=180° ，再利用角平分线的定义去证明 ∠EPF=90° 可得到EG⊥PF，然后利用同垂直于一条直线的两直线平行，可证得结论。
（3）利用垂直的定义可证得∠KGP=90°，利用邻补角的定义可证得 ∠EPK=90°+∠3，再由∠3=2∠6，可得到∠EPK=90°+2∠6，再利用角平分线的定义，可推出∠QPK=45°+∠6，由∠HPQ=∠QPK-∠6，即可求出∠HPQ的度数。
44．如图
（1）思考探究：如图，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P点，已知∠ABC＝70°，∠ACD＝100°.求∠A和∠P的度数.
（2）类比探究：如图，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P点，已知∠P＝n°.求∠A的度数（用含n的式子表示）.
（3）拓展迁移：已知，在四边形ABCD中，四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE的平分线所在直线相交于点P，∠P=n°，请画出图形；并探究出∠A+∠D的度数（用含n的式子表示）.
【答案】（1）解：∠A＝30°，∠P＝15°
∵∠ACD+∠ACB＝180°，∠ACD＝100°
∴∠ACB＝80°，
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°（三角形内角和定理），
又∵∠ABC＝70°，
∴∠A＝30°，
∵P点是∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，
∴∠PCD＝ ∠ACD＝50°，∠PBC＝ ∠ABC＝35°
∵∠PBC+∠PCB+∠P＝180°，∠PCB+∠PCD＝180°
∴∠PCD＝∠PBC+∠P
∴∠P＝50°－35°＝15°
（2）解：结论：∠A＝2n°，理由如下：
∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∠ACD＝∠A+∠ABC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和），
又∵P点是∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，
∴∠ACD＝2∠PCD，∠ABC＝2∠PBC，
∴∠A+∠ABC＝2（∠P+∠PBC）（等量替换），
∴∠A+∠ABC＝2∠P+2∠PBC，
∴∠A+∠ABC＝2∠P+∠ABC（等量替换），
∴∠A＝2∠P；
∴∠A＝2n°
（3）解：（Ⅰ）如图②延长BA交CD的延长线于F.
∵∠F＝180°﹣∠FAD﹣∠FDA
＝180°﹣（180°﹣∠A）﹣（180°﹣∠D）
＝∠A+∠D﹣180°，
由（2）可知：∠F＝2∠P＝2n°，
∴∠A+∠D＝180°+2n°。
（Ⅱ）如图③，延长AB交DC的延长线于F.
∵∠F＝180°﹣∠A﹣∠D，∠P＝ ∠F，
∴∠P＝ （180°﹣∠A﹣∠D）＝90°﹣ （∠A+∠D）.
∴∠A+∠D＝180°﹣2n°
综上所述：∠A+∠D＝180°+2n°或180°﹣2n° ；
【解析】【分析】(1) 根据三角形内角和定理可以算出∠A的大小，再根据角平分线的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠PCD=∠P+∠PBC，即可得解；
(2)和（1）证明方法类似，先证明∠A+∠ABC＝2（∠P+∠PBC），再证明∠A＝2∠P即可得到答案；(3) 延长BA交CD的延长线于F根据三角形内角和定理和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可得到第一种情况；延长AB交DC的延长线于F，同理即可得到答案.
45．已知：直线 分别与直线 ， 交于点 ， ． 平分 ， 平分 ，并且 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2， ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个角，使写出的每个角的度数都为 ．
【答案】（1）证明：∵ ，∴ ．
∵ 平分 ， 平分 ，∴ ， ．
∴ ．
∴ ．
（2）解：由（1）知AB CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∵∠AEF=2∠CFN=∠CFE，
∴∠AEF=∠CFE=90°，
∴∠CFN=∠EFN=∠FEM=∠BEM=45°，∠BEG=∠CFH=∠DFE=90°，
∴∠AEM=∠GEM=∠HFN=∠DFN=90°+45°=135°，
∴度数为135°的角有： 、 、 、 ．
【解析】【分析】（1）先求出
，再求出
，即可作答；
（2）先求出 ∠AEF+∠CFE=180° ，再求出 ∠AEF=∠CFE=90°， 进行计算求解即可。
46．已知射线AB∥射线CD，点E、F分别在射线AB、CD上．
（1）如图①，点P在线段EF上，若∠A=25°，∠APC=70°，求∠C的度数；
（2）如图②，若点P在射线FE上运动（不包括线段EF），猜想∠APC、∠A、∠C之间有怎样的数量关系？说明理由；
（3）如图③，若点P在射线EF上运动（不包括线段EF），请直接写出∠A、∠APC、∠C之间的数量关系，不必说明理由．
【答案】（1）解：过点P作PQ∥AB（如图），
∵AB∥CD（已知），
∴PQ∥CD，（平行于同一条直线的两直线互相平行）.
∴∠C=∠2，（ 两直线平行，内错角相等）
∵PQ∥AB，
∴∠A=∠1，（ 两直线平行，内错角相等），
∴∠APC=∠1+∠2=∠A+∠C
∵∠A=25°，∠APC=70°，
∴∠C=∠APC－∠A=70°－25°=45°
（2）解：∠APC=∠C－∠A，理由如下：
过点P作PQ∥AB（如图），
∵AB∥CD（已知），
∴PQ∥CD，（平行于同一条直线的两直线互相平行）
∴∠C=∠CPQ，（ 两直线平行，内错角相等）
∵PQ∥AB，
∴∠A=∠APQ，（ 两直线平行，内错角相等），
∵∠APC=∠CPQ－∠APQ，
∴∠APC=∠C－∠A
（3）解：∠APC=∠A－∠C
【解析】【分析】（1）过P作PQ∥CD，根据平行线的性质得∠2=∠C，由AB∥CD得到AB∥PQ，则∠APC=∠1+∠2=∠A+∠C，把∠A=25°，∠APC=70°代入计算可得到∠C的度数；（2）证明方法与（1）一样，可得到∠APC=∠C-∠A；（3）证明方法与（1）一样，可得到∠APC=∠A-∠C．
47．疫情期间，小明家购买防护用品的收据如下表，有部分数据因污损无法识别.根据下表，解决下列问题：
商品名 单价（元） 数量（件） 金额（元）
消毒水
2 98
酒精喷剂 32 3
医用口罩 50
消毒纸巾 20
温度计 189 1
合计
16 703
（1）小明家此次购买的医用口罩和消毒纸巾各多少件？
（2）小明家计划再次购买消毒水和酒精喷剂共10件，且总价不超过360元，则消毒水最多购买多少件？
（3）随着疫情的发展，小明家准备用270元购买医用口罩和消毒纸巾，在270元恰好用完的条件下，有哪些购买方案？
【答案】（1）解：设购买的医用口罩有x件，消毒纸巾有y件.
根据题意，得
解得：
答：设购买的医用口罩有4件，消毒纸巾有6件.
（2）解：设购买消毒水m件.
根据题意，得49m＋32×(10－m)≤360.
解得m≤
∵m为整数，∴m最大取2.
答：消毒水最多购买2件.
（3）解：设购买的医用口罩有a件，消毒纸巾有b件.
根据题意，得 50a+20b=270.
∴b＝ ，
∵a、b为整数
∴a＝1，b＝11，a＝3，b＝6；a＝5，b＝1，
∴满足条件的购买方案一共有3种，分别是：
方案一医用口罩购买1件，消毒纸巾购买11件；
方案二医用口罩购买3件，消毒纸巾购买6件；
方案三医用口罩购买5件，消毒纸巾购买1件.
【解析】【分析】（1）设小明家此次购买医用口罩x件，消毒纸巾y件，根据总价=单价×数量结合表格中的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买消毒水m件，则购买酒精喷剂（10-m）件，根据总价=单价×数量结合总价不超过360元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最大的整数值即可得出结论；
（3）设可以购买医用口罩a件，消毒纸巾b件，根据总价=单价×数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为整数即可得出各购买方案.
48．已知多项式 与另一个多项式 的乘积为多项式 .
（1）若 为关于 的一次多项式 中 的一次项系数为0，直接写出 的值；
（2）若 为 ，求 的值.
（3）若 为关于 的二次多项式 ，判断 是否可能为关于 的三次二项式，如果可能，请求出b，c的值；如果不可能，请说明理由.
【答案】（1）解：a=-2
（2）解：设 为 ，
则 ，
∴
∴
（3）解：B可能为关于x的三次二项式，
理由如下：∵A为关于x的二次多项式x2＋bx+c，
∴b，c不能同时为0.
∵
当 时， ，
∵ ，
∴当 ，即 时， 为三次二项式，为 .
当 时， .
只有当 即 时， 为三次二项式，为 .
综上所述，当 或 时， 为三次二项式.
【解析】【解答】解：(1)根据题意可知，
∵B中 的一次项系数为0，
∴a+2=0，解得a=-2.
【分析】(1)根据题意列式，先根据多项式乘多项式的法则将括号展开，然后根据B中 的一次项系数为0，建立关于a的一元一次方程求解即可；
(2)根据题意设 为 ，先根据多项式乘多项式的法则将括号展开，再根据等式两边的x项相同指数的系数相等分别列式用t表示p、q，代入2p-q计算即可；
(3) B可能为关于x的三次二项式， 设A为关于x的二次多项式x2＋bx+c，得出b，c不能同时为0，然后分两种情况讨论，即当 时和当 时， 根据三次二项式的定义，分别确定某项系数等于0，建立方程联立求解即可.
49．某机器人公司为扩大经营，决定购进
6 台机器用于生产某种小机器人．现有甲、乙两种机器供选择，其中每台机器的价格和日生产量如下表所示．经过预算，本次购买机器的费用不能超过 34 万元．
甲种机器 乙种机器
价格/（万元/台） 5 7
每台机器的日生产量/个 60 100
（1）按要求该公司有几种购买方案？
（2）若该公司购进的6台机器的日生产量不能少于380个，那么为了节约资金，应选择哪种购买方案？
【答案】（1）解：设购买甲种机器x台，则购买乙种机器（6-x）台，依题意得5x+7（6-x）≤34，解得x≥4（3分）.∵6-x≥0，∴x≤6，∴x取4或5或6，
从而该公司有三种购买方案：①甲种机器4台，乙种机器2台；②甲种机器5台，乙种机器1台；③甲种机器6台
（2）解：依题意得：60x+100（6-x）≥380，解得
由（1）知∴ 从而x取4或5
当 x=4 时，购买资金为 5×4+7×2=34（万元）当 x=5 时，购买资金为 5×5+7×1=32（万元），
所以应选择的购买方案是甲种机器5台，乙种机器1台
【解析】【分析】（1） 设购买甲种机器x台，则购买乙种机器（6-x）台， 根据购买甲种机器的钱数+购买乙种机器的钱数不能超过34 万元列出不等式，求解就可以求出x的范围；
（2）根据甲种机器生产的零件数+乙种机器生产的零件数不能少于380个列出不等式，求解得出x的取值范围，结合（1）求出满足条件的x的正整数，分别计算出每种方案的需要资金，从而选择出合适的方案．
50．问题情境：
我们知道，“如果两条平行直线被第三条直线所截，截得的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性度量中通过“构造平行线”可以起到转化角的作用．已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE//GF．
问题初探：
如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，则∠EMC的度数是多少呢？若过点C作CH//GF，则CH//DE，这样就将∠CAF转化为∠HCA，∠EMC转化为∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数为…．
（1）请你直接写出：∠CAF＝ °，∠EMC＝ °．
（2）类比再探：若将将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想∠EMC与∠CAF的数量关系？并说明理由．
（3）方法迁移：请你猜想（1）（2）解决问题的思路，在图（2）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．
【答案】（1）30；60
（2）∠EMC+∠CAF=90°，
证明：如图2，过C作CH∥GF，则∠CAF=∠ACH，
∵DE∥GF，CH∥GF，
∴CH∥DE，
∴∠EMC=∠HCM，
∴∠EMC+∠CAF=∠MCH+∠ACH=∠ACB=90°；
（3）∠BAG-∠BMD=30°，
证明：如图2，过B作BK∥GF，则∠BAG=∠KBA，
∵BK∥GF，DE∥GF，
∴BK∥DE，
∴∠BMD=∠KBM，
∴∠BAG-∠BMD=∠ABK-∠KBM=∠ABC=30°．
【解析】【解答】解：（1）过点C作CH∥GF，
∵CH∥GF， DE//GF ，
∴CH∥DE∥GF，
∴∠EMC=∠BCH，∠FAC=∠HCA，
∵BN⊥DE，
∴∠BNE=90°，
又∵ED∥GF，
∴∠BNE=∠BAF=90°
∴∠CAF=∠BAF-∠BAC=90°-60°=30°，
∴∠EMC=∠BCH=90°-30°=60°；
故答案为：30，60；
【分析】（1）过点C作CH∥GF，则CH∥GF∥DE，这样就将∠CAF转化为∠HCA，∠EMC转化为∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数；
（2）过C作CH∥GF，则CH∥GF∥DE，由平行线的性质可得∠CAF=∠ACH，∠EMC=∠HCM，然后根据∠EMC+∠CAF=∠MCH+∠ACH=∠ACB进行解答；
（3）过B作BK∥GF，则BK∥GF∥DE，由平行线的性质可得∠BAG=∠KBA，∠BMD=∠KBM，然后根据∠BAG-∠BMD=∠ABK-∠KBM=∠ABC进行解答.
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