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【真题真练】湘教版七年级下册期末模拟押题通关卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023七下·罗定期末）已知，则一定有□，“□”中应填的符号是（ ）
A．＞ B．＜ C．≥ D．＝
2．（2023七下·西充期末）不等式组 的解集是（ ）
A．﹣2≤x≤3 B．x＜﹣2，或x≥3
C．﹣2＜x＜3 D．﹣2＜x≤3
3．（2023七下·顺平期末）如图所示，嘉琪骑自行车自处沿正东方向前进，到达处后，行驶方向改为南偏东，行驶到处仍按正东方向行驶，则在处嘉琪向左拐弯的角度是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020七下·巴南期末）若整数a使关于x的不等式组 至少有4个整数解，且使关于x，y的方程组 的解为正整数，那么所有满足条件的整数a的值的和是（ ）.
A．－3 B．－4 C．－10 D．－14
5．（2022七下·乐亭期末）如图，点E在BA延长线上，下列条件不能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022七下·思明期末）如图， 沿 所在直线向右平移得到 ，已知 ，则平移的距离为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．6
7．（2022七下·成都期末）下列变形正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若（、均不为0），则
D．若，则
8．（2022七下·东阳期末）为了调查某校学生的身高情况，在全校的900名学生中随机抽取了80名学生，下列说法正确的是（ ）
A．此次调查属于全面调查 B．样本容量是80
C．900名学生是总体 D．被抽取的每一名学生称为个体
9．（2023七下·博罗期末）若关于x的不等式的解集如图所示，则m的值是（ ）
A．1 B．0 C． D．
10．（2019七下·天台期末）已知 ， ， 表示取三个数中最小的那个数﹒例如：当 ， ， ， = ， ， =3﹒当 ， ， = 时，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2022七下·诸暨期末）从汽车灯的点O处发出的一束光线经灯的反光罩反射后沿CO方向平行射出，已知入射光线OA的反射光线为AB，．在如图中所示的截面内，若入射光线OD经反光罩反射后沿DE射出，且，则的度数是 ．
12．（2022七下·广陵期末）求值： ．
13．（2022七下·张家港期末）在一次课外活动中，小明将一副直角三角板如图放置，E在AC上， ，，．小明将ADE从图中位置开始，绕点按每秒的速度顺时针旋转一周，在旋转过程中，第 秒时，边与边平行．
14．（2022七下·平原期末）如图，将三角形ABE向右平移1cm得到三角形DCF，如果三角形ABE的周长是10cm，那么四边形ABFD的周长是 ．
15．（2024七下·安州期末）如图，直线、交于点O，，是的平分线，是的平分线，，则 ．
16．（2024七下·河西期末）某高铁站客流量很大，某天开始售票时有个人在售票窗口等候购票，设购票人数按固定的速度增加，且每个窗口每分钟减少的排队人数也是固定的．若同时开放4个售票窗口，需要30分钟恰好不出现排队现象（即排队的人全部刚好购完票）；若同时开放6个售票窗口，需要10分钟恰好不出现排队现象，为减少旅客排队购票时间，车站承诺7分钟内不出现排队现象，则至少需要同时开放 个售票窗口．
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2022七下·梅里斯期末）为了创设全新的校园文化氛围，进一步组织学生开展课外阅读，让学生在丰富多彩的书海中，扩大知识源，亲近母语，提高文学素养．某校准备开展“与经典为友、与名著为伴”的阅读活动，活动前对本校学生进行了“你最喜欢的图书类型（只写一项）”的随机抽样调查，相关数据统计如下：
请根据以上信息解答下列问题：
（1）该校对 名学生进行了抽样调查．
（2）请将图1和图2补充完整；
（3）已知该校共有学生1800人，利用样本数据估计全校学生中最喜欢小说的人数约为多少人？
18．（2022七下·洮北期末）现有1元和5角的硬币共15枚，这些硬币的总币值小于9元．根据此信息，小强、小刚两名同学分别列出不完整的不等式如下：
小强：____，小刚：____．
（1）小强同学所列的不等式中，x表示的是 硬币的枚数：小刚同学所列的不等式中，x表示的是 硬币的枚数；
（2）在横线上补全小强、小刚两名同学所列的不等式；
（3）任选其中一个不等式，求可能有几枚5角的硬币．
19．（2022七下·阳信期末）
（1）计算：．
（2）解方程组：
（3）解不等式：并把解集在数轴上表示出来，并写出它的所有负整数解．
20．（2022七下·潍城期末）在四边形ABCD中，，．
（1）如图①，若，求出的度数；
（2）如图②，若的角平分线交AB于点E，且，求出的度数；
（3）如图③，若和的角平分线交于点E，求出的度数．
21．（2021七下·江州期末）如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2由图1中的阴影部分拼成的一个长方形.
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请用含a，b的代数式示：S1= ，S2= （只需表示，不必化简）；
（2）以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式；
（3）运用（2）中得到的公式，计算：20182-2019×2017.
22．（2019七下·卫辉期末）如图， 是等边三角形， 旋转后能与 重合.
（1）旋转中心是哪一点？
（2）旋转角度是多少度？
（3）连结 后， 是什么三角形？简单说明理由.
23．（2024七下·浏阳期末）对于点M，N，给出如下定义：在直线上，若存在点P，使得，则称点P是“点M到点N的k倍分点”．
例如：如图，点，，在同一条直线上，，，则点是点到点的倍分点，点是点到点的3倍分点．
已知：在数轴上，点A，B，C分别表示，，2．
（1）点B是点A到点C的________倍分点，点C是点B到点A的_________倍分点；
（2）点B到点C的3倍分点表示的数是________；
（3）点D表示的数是x，线段上存在点A到点D的4倍分点，写出x的取值范围．
24．（2020七下·昌平期末）如图，CE是∠ACD的平分线，过点A作CD的平行线交CE于点B．
（1）补全图形；
（2）求证：∠ACB＝∠ABC；
（3）点P是射线CE上的一点（点P不与点B和点C重合），连接AP，∠PCD＝α，∠PAB＝β，∠APC＝γ，请直接写出α，β与γ之间的数量关系．
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【真题真练】湘教版七年级下册期末模拟押题通关卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023七下·罗定期末）已知，则一定有□，“□”中应填的符号是（ ）
A．＞ B．＜ C．≥ D．＝
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据不等式的性质： 不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变； 不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数， 不等号 的方向不变； 不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向变，判断即可.
2．（2023七下·西充期末）不等式组 的解集是（ ）
A．﹣2≤x≤3 B．x＜﹣2，或x≥3
C．﹣2＜x＜3 D．﹣2＜x≤3
【答案】D
【解析】【解答】解不等式①，得：x＞﹣2，
解不等式②，得：x≤3，
所以不等式组的解集是：﹣2＜x≤3．
故答案为：D．
【分析】利用求解集口诀："大大取大，小小取小，小大大小跑不了".
3．（2023七下·顺平期末）如图所示，嘉琪骑自行车自处沿正东方向前进，到达处后，行驶方向改为南偏东，行驶到处仍按正东方向行驶，则在处嘉琪向左拐弯的角度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图
由题意可得，
∠FNH=90°-65°=25°
∵MF∥EG
∴∠GEH=∠FNH=25°
即：在E处嘉琪向左拐弯的角度是25°
故答案为：A.
【分析】如图，根据平行线的性质即可求解。
4．（2020七下·巴南期末）若整数a使关于x的不等式组 至少有4个整数解，且使关于x，y的方程组 的解为正整数，那么所有满足条件的整数a的值的和是（ ）.
A．－3 B．－4 C．－10 D．－14
【答案】D
【解析】【解答】解： ，
不等式组整理得： ，
由不等式组至少有4个整数解，得到 ，
解得： ，
解方程组 ，得 ，
又 关于 ， 的方程组 的解为正整数，
或 ，
解得 或 ，
所有满足条件的整数a的值的和是 .
故答案为：D.
【分析】根据不等式组求出a的范围，然后再根据关于x，y的方程组 的解为正整数得到 或 ，从而确定所有满足条件的整数 的值的和.
5．（2022七下·乐亭期末）如图，点E在BA延长线上，下列条件不能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】∵∠1=∠2，
∴AB∥CD，
所以A选项不符合题意；
∵∠3=∠4，
∴AD∥CD，
所以B选项符合题意；
∵∠EAD=∠ADC，
∴AB∥CD，
所以C选项不符合题意；
∵∠C+∠ABC=180°，
∴AB∥CD，
所以D选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用平行线的判定方法逐项判断即可。
6．（2022七下·思明期末）如图， 沿 所在直线向右平移得到 ，已知 ，则平移的距离为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．6
【答案】C
【解析】【解答】解：由平移的性质可得：BE=CF，
∵BF=2BE+EC=8，EC=2，
∴BE=3，即平移的距离为3.
故答案为：C.
【分析】根据平移的性质可得BE=CF，BC=BF，平移的距离是线段BE或CF的长，利用线段的和差求出BE的长即可.
7．（2022七下·成都期末）下列变形正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若（、均不为0），则
D．若，则
【答案】D
【解析】【解答】解：A、由，可得出，故A选项不正确，不符合题意；
B、由，可得出，故B选项不正确，不符合题意；
C、由（、均不为0），无法判断的大小，故C选项不正确，不符合题意；
D、由，可得出，故D选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】给方程3x=2两边同时除以3可得x的值，据此判断A；将4x+y=3中不含y的项移至右边，据此判断B；根据不等式的性质，给不等式x＞y的两边同时除以xy，当x、y同号时，，当x、y异号时，，可判断C；给D中方程两边同时乘以6可得2(5x-1)-12=3(1+2x)，据此判断.
8．（2022七下·东阳期末）为了调查某校学生的身高情况，在全校的900名学生中随机抽取了80名学生，下列说法正确的是（ ）
A．此次调查属于全面调查 B．样本容量是80
C．900名学生是总体 D．被抽取的每一名学生称为个体
【答案】B
【解析】【解答】解：∵在全校的900名学生中随机抽取了80名学生，
A、∴此次调查是抽样调查，故A不符合题意；
B、样本的容量是80，故B符合题意；
C、900名学生的身高情况是总体，故C不符合题意；
D、被抽取的每一名学生的身高情况称为个体，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用抽样调查的定义，可对A作出判断；再根据总体是所有考查对象的全体；个体是指所考查的每个对象；样本是指抽取的所有考查对象；样本容量是指抽取的所有考查对象的数目，据此可对B，C，D作出判断.
9．（2023七下·博罗期末）若关于x的不等式的解集如图所示，则m的值是（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由数轴可知，
则m-1＝-1，
解得：m＝0.
故答案为：B.
【分析】由不等式结合数轴得出m-1＝-1，解之可得.
10．（2019七下·天台期末）已知 ， ， 表示取三个数中最小的那个数﹒例如：当 ， ， ， = ， ， =3﹒当 ， ， = 时，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：
当01时， ，
∴ ， ， ，则x=.
故答案为：C
【分析】当底数大于零而小于1时，指数越大值反而越小，当底数大于1时，指数越大，值越大。据此原理，先找出最小值是x2， 再列方程解出x即可。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2022七下·诸暨期末）从汽车灯的点O处发出的一束光线经灯的反光罩反射后沿CO方向平行射出，已知入射光线OA的反射光线为AB，．在如图中所示的截面内，若入射光线OD经反光罩反射后沿DE射出，且，则的度数是 ．
【答案】99°或45°
【解析】【解答】解：∵DE∥CF，
∴∠COD=∠ODE=27°.
如图1，∠AOD=∠COA-∠COD=72°-27°=45°；
如图2，∠AOD=∠COA+∠COD=72°+27°=99°.
故答案为：99°或45° .
【分析】由平行线的性质可得∠COD=∠ODE=27°，画出示意图，然后根据角的和差关系进行计算即可.
12．（2022七下·广陵期末）求值： ．
【答案】2022
【解析】【解答】解：．
故答案为：2022.
【分析】根据同底数幂的乘法法则以及积的乘方法则的逆用，可将待求式子变形为：2022×(2022×)2021，据此计算.
13．（2022七下·张家港期末）在一次课外活动中，小明将一副直角三角板如图放置，E在AC上， ，，．小明将ADE从图中位置开始，绕点按每秒的速度顺时针旋转一周，在旋转过程中，第 秒时，边与边平行．
【答案】或
【解析】【解答】解：①当DE在AB上方，
∵，∠B=60°，∠D=45°，
∴∠BAC=30°，∠E=45°，
∵AB∥DE，
∴∠BAE=∠E=45°，
∴∠CAE=∠BAC+∠BAE=75°，
∴旋转时间为：（秒）；
②当DE在AB下方，
∵，∠B=60°，∠D=45°，
∴∠BAC=30°，∠E=45°，
∵AB∥DE，
∴∠BAE+∠E=180°，
∴∠BAE=180°-∠E=135°，
∴∠CAE=∠BAE-∠BAC=105°，
∴旋转角度为：360°-∠CAE=255°，
∴旋转时间为：（秒），
综上所述：在旋转过程中，第或秒时，边与边平行，
故答案为：或．
【分析】分两种情况讨论：即①DE在AB的上方；②DE在AB下方，分别画出相应的图形，根据平行线的性质和角的和差求出旋转角，再根据“时间=旋转角÷旋转速度”计算，即可求出结果.
14．（2022七下·平原期末）如图，将三角形ABE向右平移1cm得到三角形DCF，如果三角形ABE的周长是10cm，那么四边形ABFD的周长是 ．
【答案】12cm
【解析】【解答】解：∵△ABE向右平移1cm得到△DCF，
∴DF=AE，
∴四边形ABFD的周长=AB+BE+DF+AD+EF，
=AB+BE+AE+AD+EF，
=△ABE的周长+AD+EF，
∵平移距离为1cm，
∴AD=EF=1cm，
∵△ABE的周长是10cm，
∴四边形ABFD的周长=10+1+1=12cm．
故答案为12cm．
【分析】利用平移的性质可得DF=AE，再利用周长公式和等量代换可得四边形ABFD的周长=△ABE的周长+AD+EF，求出AD=EF=1cm，再结合△ABE的周长是10cm，即可得到四边形ABFD的周长。
15．（2024七下·安州期末）如图，直线、交于点O，，是的平分线，是的平分线，，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
，
，
，
，
∵是的平分线，是的平分线，
，
又，
，
故答案为：．
【分析】根据邻补角互补求得的度数，由垂线的定义可得，根据平角等于180°求得的度数，根据对顶角相等得，由角平分线的定义得，再根据角的和差即可求解．
16．（2024七下·河西期末）某高铁站客流量很大，某天开始售票时有个人在售票窗口等候购票，设购票人数按固定的速度增加，且每个窗口每分钟减少的排队人数也是固定的．若同时开放4个售票窗口，需要30分钟恰好不出现排队现象（即排队的人全部刚好购完票）；若同时开放6个售票窗口，需要10分钟恰好不出现排队现象，为减少旅客排队购票时间，车站承诺7分钟内不出现排队现象，则至少需要同时开放 个售票窗口．
【答案】8
【解析】【解答】解：设每分钟增加的购票人数为x人，每个窗口每分钟减少排队的人数为y人，车站同时开放m个售票窗口，
由题意得：，
解得n=10x，y=x，
∵ 7分钟内不出现排队现象 ，
∴7my≥n+7x，
∴7m·x≥10x+7x，
解得m≥，
∵m为正整数，∴m的最小值为8；
故答案为：8.
【分析】设每分钟增加的购票人数为x人，每个窗口每分钟减少排队的人数为y人，车站同时开放m个售票窗口，由“ 若同时开放4个售票窗口，需要30分钟恰好不出现排队现象（即排队的人全部刚好购完票）；若同时开放6个售票窗口，需要10分钟恰好不出现排队现象 ”列出方程组，解得n=10x，y=x，由题意得7my≥n+7x，从而求出m的范围，继而求出m的最小整数解即可.
三、综合题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2022七下·梅里斯期末）为了创设全新的校园文化氛围，进一步组织学生开展课外阅读，让学生在丰富多彩的书海中，扩大知识源，亲近母语，提高文学素养．某校准备开展“与经典为友、与名著为伴”的阅读活动，活动前对本校学生进行了“你最喜欢的图书类型（只写一项）”的随机抽样调查，相关数据统计如下：
请根据以上信息解答下列问题：
（1）该校对 名学生进行了抽样调查．
（2）请将图1和图2补充完整；
（3）已知该校共有学生1800人，利用样本数据估计全校学生中最喜欢小说的人数约为多少人？
【答案】（1）200
（2）解：喜欢科幻的人数是200-40-80-20=60（人），
对应的百分比是=30%．
补充图形如图所示：
；
（3）解：1800×20%=360（人），
答：全校学生中最喜欢小说的人数约为360人．
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
故答案为：200
【分析】（1）根据喜欢漫画的人数及其所占的百分比即可求解；
（2）先利用总人数减去其他组的人数即可求出喜欢科幻的人数，进而即可求出对应的百分比，再补充条形统计图和扇形统计图即可求解。
（3）运用总人数乘以所占的百分比即可求解。
18．（2022七下·洮北期末）现有1元和5角的硬币共15枚，这些硬币的总币值小于9元．根据此信息，小强、小刚两名同学分别列出不完整的不等式如下：
小强：____，小刚：____．
（1）小强同学所列的不等式中，x表示的是 硬币的枚数：小刚同学所列的不等式中，x表示的是 硬币的枚数；
（2）在横线上补全小强、小刚两名同学所列的不等式；
（3）任选其中一个不等式，求可能有几枚5角的硬币．
【答案】（1）1元；5角
（2）解：由（1）知：小强：x+0.5×（15 x）<9，
小刚：0.5x+1×（15 x）<9；
（3）解：解小刚所列的不等式：0.5x+1×（15 x）<9，
解得：x>12，
∵x是正整数，且
∴x可取13，14、15，
答：可能有5角的硬币13枚或14枚或15枚．
【解析】【解答】（1）根据“现有1元和5角的硬币共15枚，这些硬币的总币值小于9元”可知小强所列不等式中x表示的是1元，小刚所列不等式中x表示的是5角；
【分析】（1）根据不等式的定义直接求解即可；
（2）根据题意直接列出不等式即可；
（3）利用不等式的性质及不等式的解法求出解集即可。
19．（2022七下·阳信期末）
（1）计算：．
（2）解方程组：
（3）解不等式：并把解集在数轴上表示出来，并写出它的所有负整数解．
【答案】（1）解：原式=π﹣3+2+3﹣1
=π+1．
（2）解：方程组整理得：，
由①+②，得：，
∴，
把代入①，得：，
∴方程组的解为．
（3）解：解不等式，得
解不等式，得
不等式组的解集在数轴上表示如下：
不等式组的解集为，
不等式组的所有负整数解为．
【解析】【分析】（1）先利用有理数的乘方、立方根、二次根式和绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）利用加减消元法求解二元一次方程组即可；
（3）利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集并在数轴上画出解集即可。
20．（2022七下·潍城期末）在四边形ABCD中，，．
（1）如图①，若，求出的度数；
（2）如图②，若的角平分线交AB于点E，且，求出的度数；
（3）如图③，若和的角平分线交于点E，求出的度数．
【答案】（1）解：∵四边形的内角和是360°，，
∴
∵
∴
（2）解：∵，，
∴，
∵CE平分
∴
∵
∴
（3）解：∵BE，CE分别平分和
∴，
∴
∴在中，．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的内角和是360度，结合已知条件即可求解；
（2）根据平行线的性质得出的度数，再根据角平分线的定义得出，最后根据三角形外角的性质进行求解即可；
（3）根据四边形的内角和定理以及角平分线的概念求出，再进一步即可求解。
21．（2021七下·江州期末）如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2由图1中的阴影部分拼成的一个长方形.
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请用含a，b的代数式示：S1= ，S2= （只需表示，不必化简）；
（2）以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式；
（3）运用（2）中得到的公式，计算：20182-2019×2017.
【答案】（1）a2-b2；（a+b）（a-b）
（2）解：比较上面的结果，都表示同一阴影的面积，它们相等，
即（a+b）（a-b）=a2-b2，可以验证平方差公式，这也是平方差公式的几何意义；
故答案为：（a+b）（a-b）=a2-b2；
（3）解：
.
【解析】【解答】解：（1）大正方形的面积为a2，小正方形的面积为b2，
故图1阴影部分的面积值为a2-b2；
图2长方形的长和宽分别为（a+b）、（a-b），
故图2重拼的长方形的面积为（a+b）（a-b）；
故答案为：a2-b2，（a+b）（a-b）；
【分析】（1） 图1中阴影部分面积=大正方形的面积-小正方形的面积；图2中阴影部分是长为a+b，宽为a-b的矩形，可得图2中阴影部分面积=长×宽，据此即得结论；
（2）根据阴影部分的面积相等，可得 （a+b）（a-b）=a2-b2；
（3）先将原式变形为，然后利用（2）公式进行计算即可.
22．（2019七下·卫辉期末）如图， 是等边三角形， 旋转后能与 重合.
（1）旋转中心是哪一点？
（2）旋转角度是多少度？
（3）连结 后， 是什么三角形？简单说明理由.
【答案】（1）解：∵△ABP旋转后能与△P′BC重合，点B是对应点，没有改变，
∴点B是旋转中心；
（2）解：AB与BC是旋转前后对应边，
旋转角=∠ABC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60 ，
∴旋转角是60 ；
（3）解： 是等边三角形
由旋转的性质可得：
∵
∴ 为等边三角形
【解析】【分析】（1）根据图形旋转后点B的位置没有改变可知点B是旋转中心；
（2）由题意可知旋转前后AB与BC是对应边，所以AB与BC的夹角等于旋转角度的度数，再根据等边三角形的性质即可求解；
（3）根据旋转的性质结合等边三角形的判定方法即可求解．
23．（2024七下·浏阳期末）对于点M，N，给出如下定义：在直线上，若存在点P，使得，则称点P是“点M到点N的k倍分点”．
例如：如图，点，，在同一条直线上，，，则点是点到点的倍分点，点是点到点的3倍分点．
已知：在数轴上，点A，B，C分别表示，，2．
（1）点B是点A到点C的________倍分点，点C是点B到点A的_________倍分点；
（2）点B到点C的3倍分点表示的数是________；
（3）点D表示的数是x，线段上存在点A到点D的4倍分点，写出x的取值范围．
【答案】（1），
（2）1或4
（3）解：设线段上存在一点F是点A到点D的4倍分点，点F对应的数字为，则，
，
，
若，则，
解得：，
从而，
解得：；
若，则，
解得：，
∴，
解得：；
综上所述，x的取值范围为：．
【解析】【解答】解：（1）∵点A，B，C分别表示，
∴，，．
，
∴点B是点A到点C的倍分点，
，
∴点C是点B到点A的倍分点．
故答案为：，；
（2）设这点为E，对应的数字为a，
则，，；
若点E在点B的左侧，不符合题意；
若点E在B，C之间，则
∴，
解得：．
若点E在C点的右侧，则
∴，
解得：．
综上，点B到点C的3倍分点表示的数是1或4．
故答案为：1或4．
【分析】（1）通过计算，的值，利用题干中的定义解答即可；
（2）设这点为E，对应的数字为a，则；利用数形结合的思想方法，进行分类讨论，分别列出方程求解即可；
（3）设线段上存在一点F是点A到点D的4倍分点，点F对应的数字为y，则，然后列不等式求解x的取值范围．
（1）解：∵点A，B，C分别表示，
∴，，．
，
∴点B是点A到点C的倍分点，
，
∴点C是点B到点A的倍分点．
故答案为：，；
（2）设这点为E，对应的数字为a，则，，； 若点E在点B的左侧，明显不符合题意；
若点E在B，C之间，则，
解得：．
若点E在C点的右侧，则，
解得：．
综上，点B到点C的3倍分点表示的数是1或4．
故答案为：1或4．
（3）设线段上存在一点F是点A到点D的4倍分点，点F对应的数字为，则，
，
，
若，则，
解得：，
从而，
解得：；
若，则，解得：，
从而，解得：；
综上，x的取值范围为：．
24．（2020七下·昌平期末）如图，CE是∠ACD的平分线，过点A作CD的平行线交CE于点B．
（1）补全图形；
（2）求证：∠ACB＝∠ABC；
（3）点P是射线CE上的一点（点P不与点B和点C重合），连接AP，∠PCD＝α，∠PAB＝β，∠APC＝γ，请直接写出α，β与γ之间的数量关系．
【答案】（1）解：根据题意作图如下，
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
∵∠ACB＝∠BCD，
∴∠ACB＝∠ABC；
（3）解：当点P在B、C两点之间时，α+β＝γ，如图2，过P点作PQ∥AB交AC于点Q，
∴∠CPQ＝∠PCD＝α，∠APQ＝∠BAP＝β，
∴∠CPQ+∠APQ＝α+β，
∴∠APC＝α+β，即α+β＝γ；
当点P在CB的延长线上时，α﹣β＝γ，如图3，过P作PQ∥AB交AC于点Q，
∴∠CPQ＝∠PCD＝α，∠APQ＝∠BAP＝β，
∴∠CPQ﹣∠APQ＝α﹣β，
∴∠APC＝α﹣β，即α﹣β＝γ．
【解析】【分析】（1）根据题意作出平行线便可；（2）由平行线的性质得∠ABC＝∠BCD，再根据角平分线定义得∠ACB＝∠BCD，进而由等量代换得结果；（3）分两种情况：P点在B、C之间时；P点在CB的延长线上时．分别写出关系式．
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